Hiện tượng ngưng tụ Bose – Einstein của khí nguyên tử trong các bẫy

BỘ GIÁO DỤC

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ ĐÀO TẠO

VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------

Họ và tên: Vũ Thị Kim Liên

TÊN ĐỀ TÀI: HIỆN TƢỢNG NGƢNG TỤ BOSE - EINSTEIN CỦA
KHÍ NGUYÊN TỬ TRONG CÁC BẪY

LUẬN VĂN THẠC SĨ: VẬT LÝ

Hà Nội 04- 2019


BỘ GIÁO DỤC

VIỆN HÀN LÂM KHOA HỌC

VÀ ĐÀO TẠO

VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM

HỌC VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ
-----------------------------

Họ và tên: Vũ Thị Kim Liên

TÊN ĐỀ TÀI:HIỆN TƢỢNG NGƢNG TỤ BOSE – EINSTEIN CỦA
KHÍ NGUYÊN TỬ TRONG CÁC BẪY

Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 8440103

LUẬN VĂN THẠC SĨ : VẬT LÝ
NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC : GS. TS NGUYỄN TOÀN THẮNG

Hà Nội 04- 2019


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi và sự hƣớng dẫn
của giáo viên hƣớng dẫn. Luận văn không có sự sao chép tài liệu, công trình
nghiên cứu của ngƣời khác mà không chỉ rõ trong mục tài liệu tham khảo.
Những kết quả và các số liệu trong khóa luận chƣa đƣợc ai công bố dƣới bất
kỳ hình thức nào. Tôi hoàn toàn chịu trách nhiệm trƣớc nhà trƣờng về sự cam
đoan này.

Hà Nội, 04- 2019
Học viên
Vũ Thị Kim Liên


Lời cảm ơn
Trong quá trình học tập và làm việc tại Viện Vật lý, dƣới sự hƣớng dẫn

của GS. TS. Nguyễn Toàn Thắng, tôi đã học hỏi đƣợc rất nhiều kiến thức Vật
lý, Toán học. Để hoàn thành đƣợc Luận văn Thạc sĩ này và để có thể trở
thành một ngƣời có khả năng độc lập nghiên cứu Khoa học, tôi xin gửi đến
ngƣời thầy hƣớng dẫn trực tiếp của tôi lời cảm ơn sâu sắc nhất với tất cả tình
cảm yêu quý cũng nhƣ lòng kính trọng của mình. Một lần nữa tôi xin cảm ơn
các thầy và GS. TS. Nguyễn Toàn Thắng đã giúp đỡ tôi hoàn thành nội dung
chính của luận văn Thạc Sĩ.
Tôi xin chân thành cảm ơn Viện Vật lý đã tạo điều kiện thuận lợi cho
tôi học tập và nghiên cứu tại Viện, phòng sau đại học đã hỗ trợ tôi hoàn thành
các thủ tục bảo vệ luận văn.
Cuối cùng, tôi xin đƣợc dành tất cả những thành quả trong học tập của
mình dâng tặng những ngƣời thân trong gia đình mà hằng ngày dõi theo từng
bƣớc chân tôi.

Hà Nội, 04- 2019
Học viên
Vũ Thị Kim Liên


Danh mục các hình vẽ, đồ thị
Hình 1.1: Sơ đồ thí nghiệm điển hình nghiên cứu hiệu ứng BEC……………3
Hình 1.2: Thang nhiệt độ………………………………………………….......6
Hình 1.3: Làm lạnh bằng bốc hơi……………………………………………17
Hình 2.1: Hình tứ diện chứa các điểm có năng lƣợng nhỏ hơn …….……. .28


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
1. Lí do chọn đề tài. ........................................................................................... 1
2.Đối tƣợng nghiên cứu..................................................................................... 2

3.Mục đích và phƣơng pháp nghiên cứu của đề tài. ......................................... 2
4. Cấu trúc luận văn ......................................................................................... 2
CHƢƠNG 1: BẪY VÀ LÀM LẠNH CÁC NGUYÊN TỬ TRUNG HÒA. 3
1.1.SƠ ĐỒ ĐIỂN HÌNH CỦA THÍ NGHIỆM VỀ BẪY VÀ LÀM LẠNH KHÍ
NGUYÊN TỬ KIM LOẠI KIỀM...................................................................... 3
1.2.NHIỆT ĐỘ VÀ NHIỆT ĐỘNG HỌC TRONG LÀM LẠNH BẰNG
LASER[6, 7] ...................................................................................................... 4
1.3.BẪY TỪ[6] ................................................................................................. 6
1.4. BẪY QUANG HỌC [8].............................................................................. 9
1.5. MẠNG QUANG HỌC [8, 9, 10] .............................................................. 15
1.6. LÀM LẠNH BẰNG LASER VÀ LÀM LẠNH BẰNGBỐC HƠI. .......... 16
CHƢƠNG 2: NGƢNG TỤ BOSE- EINSTEIN TRONG CÁC BẪY. ...... 18
2.1.MỘT SỐ ĐẶC ĐIỂM KHI NGHIÊN CỨU BEC TRONG CÁC BẪY. ... 18
2.2.NGƢNG TỤ BOSE-EINSTEIN TRONG HỆ BOSON LÝ TƢỞNG. ...... 21
2.3.NGƢNG TỤ BOSE – EINSTEIN CỦA NGUYÊN TỬ TRUNG HÒA
KHÔNG TƢƠNG TÁC TRONG BẪY DẠNG THẾ DAO ĐỘNG TỬ ĐIỀU
HÒA. [12, 13, 15, 16] ...................................................................................... 25
2.4. BEC TRONG CÁC BẪY THẤP CHIỀU. [19] ........................................ 29
2.5. GẦN ĐÚNG BÁN CỔ ĐIỂN THOMAS- FERMI. [12, 13] .................... 31
CHƢƠNG 3: NGƢNG TỤ BOSE – EINSTEIN CỦA CÁC NGUYÊN TỬ
TRONG MẠNG QUANG HỌC. ................................................................. 36
3.1.MÔ HÌNH BOSE – HUBBARD. .............................................................. 36
3.2.DỊCH CHUYỂN BOGOLIUBOV [12, 13, 18,19] .................................... 37
3.3.GẦN ĐÚNG BOGOLIUBOV. ................................................................. 39
KẾT LUẬN .................................................................................................... 45
TÀI LIỆU THAM KHẢO. ........................................................................... 46


1
MỞ ĐẦU

1. Lí do chọn đề tài.
Việc phát hiện ra hiện tƣợng ngƣng tụ Bose-Einstein (BEC) trong khí
loãng các nguyên tử siêu lạnh vào năm 1995 của các nhà khoa học E.A.
Corvell, C.E.Wieman, W.Keterle (giải thƣởng Nobel về vật lý năm 2001)[1,
2] đã mở ra một kỉ nguyên mới trong vật lý hệ nhiều hạt, trong vật lý quang
học, nguyên tử và phân tử. Tuy hiệu ứng BEC đã đƣợc S. Bose và A. Einstein
tiên đoán bằng lý thuyết từ năm 1924 [3, 4, 5]. Nhƣng phải sau hơn 70 năm
điều này mới đƣợc khẳng định bằng thực nghiệm. Nguyên nhân cơ bản là
phải làm sao đạt đƣợc nhiệt độ siêu thấp ( cỡ nK ) cho các hệ nguyên tử trung
hòa. Chỉ sau khi các kĩ thuật bẫy các nguyên tử bằng các chùm laser hoặc
bằng từ trƣờng đƣợc hoàn thiện, cũng nhƣ khi các kĩ thuật làm lạnh nhƣ làm
lạnh bằng chùm laser, làm lạnh bằng bốc hơi nhiều bƣớc tập hợp các nguyên
tử đƣợc phát hiện [6, 7, 8] thì điều kiện cần thiết để xảy ra BEC mới đƣợc bảo
đảm và hiệu ứng BEC mới đƣợc phát hiện bằng thực nghiệm. Hơn thế nữa,
các nhà khoa học đã tạo nên các mạng quang học, đồng thời nghiên cứu BEC
và các hiện tƣợng vật lý thú vị khác xảy ra trên mạng quang học [9, 10, 11].
Về mặt lý thuyết những tính toán đầu tiên về BEC áp dụng cho hệ boson lý
tƣởng đƣợc thực hiện từ lâu và đƣợc trình bày trong các giáo trình và tài liệu
tổng quan, hoặc các cuốn sách chuyên khảo [3, 5, 12, 13]. Đó là các kết quả
giải tích, cho chúng ta sự phụ thuộc tƣờng minh của nhiệt độ chuyển pha vào
nồng độ và khối lƣợng nguyên tử, cũng nhƣ mối liên hệ của số hạt trong
ngƣng tụ, các đại lƣợng nhiệt động học phụ thuộc nhiệt độ. Khi chú ý đến
tƣơng tác giữa các hạt thì không thể nhận đƣợc các kết quả giải tích chính xác
trong trƣờng hợp tổng quát mà phải dùng các gần đúng khác nhau [12, 13,
14]. Khi nguyên tử ở trong bẫy thì vấn đề lại phức tạp hơn vì sự có mặt của
thế năng giam cầm các nguyên tử [15], vì vậy cũng có nhiều cách tiếp cận
khác nhau về mặt lý thuyết hiệu ứng BEC trong các bẫy [16, 17].
Với mong muốn tìm hiểu, cập nhập một số vấn đề trong hƣớng nghiên
cứu rất thú vị và thời sự này, tôi chọn đề tài của luận văn cao học là: “ Hiện
tượng ngưng tụ Bose –Einstein của khí nguyên tử trong các bẫy. ”

2
2.Đối tƣợng nghiên cứu.
Đối tƣợng tìm hiểu trong luận văn này là hiệu ứng BEC trong các bẫy,
cụ thể là tìm hiểu về nguyên lý hoạt động của hai loại bẫy thông dụng nhất:
bẫy từ và bẫy quang cũng nhƣ hai cơ chế làm lạnh:bằng chùm laser và bằng
bốc hơi.
3.Mục đích và phƣơng pháp nghiên cứu của đề tài.
Mục đích của luận văn là tổng quan một số vấn đề về lý thuyết BEC hệ
nguyên tử trung hòa siêu lạnh trong các bẫy.
Phƣơng pháp nghiên cứu là tìm, đọc tài liệu, sử dụng kiến thức đƣợc các
thầy trang bị, cụ thể là phƣơng pháp lý thuyếttrƣờng lƣợng tử để thu lại một
số kết quả của các tác giả khác đã công bố.
4. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu,kết luận và tài liệu tham khảo,cấu trúc luận văn
nhƣ sau:
Chƣơng 1:Bẫy và làm lạnh các nguyên tử trung hòa.
Chƣơng 2: Ngƣng tụ Bose -Einstein trong các bẫy.
Chƣơng 3: Ngƣng tụ Bose -Einstein của các nguyên tử trong mạng quang học.


3
CHƢƠNG 1: BẪY VÀ LÀM LẠNH CÁC NGUYÊN TỬ TRUNG HÒA.
Sự phát triển của công nghệ laser mở ra một giai đoạn mới với những
phƣơng pháp rất hiệu quả và tiên tiến để tạo ra và điều khiển các nguyên tử
siêu lạnh. Một trong những kết quả rực rỡ của hƣớng phát triển này là sự phát
hiện hiện tƣợng ngƣng tụ Bose-Einstein (BEC – Bose Einstein Condensation)
trong khí nguyên tử loãng [3, 4, 5] và chuyển pha siêu chảy- điện môi Mott
[11]. Trong chƣơng này chúng ta sẽ tìm hiểu những nguyên lý chung về bẫy

và làm lạnh các nguyên tử trung hòa.
1.1.SƠ ĐỒ ĐIỂN HÌNH CỦA THÍ NGHIỆM VỀ BẪY VÀ LÀM LẠNH
KHÍ NGUYÊN TỬ KIM LOẠI KIỀM.
Sơ đồ thí nghiệm điển hình nghiên cứu hiệu ứng BEC đƣợc cho trên hình 1.1:

Hình 1.1: Sơ đồ thí nghiệm điển hình nghiên cứu hiệu ứng BEC [13]
Đầu tiên ở trong lò tạo nhiệt độ 600K để một chùm nguyên tử kim loại
kiềm bắn ra với vận tốc quãng 800 m/s. Sau đó chùm khí nguyên tử đi vào
buồng làm chậm Zeeman để vận tốc giảm xuống còn 30m/s tƣơng ứng với
nhiệt độ 1K(trong phần 1.2 ta sẽ nói kĩ về khái niệm nhiệt độ trong khí loãng).
Vận tốc của nguyên tử giảm là do trong buồng Zeeman ngƣời ta chiếu một
chùm laser ngƣợc với hƣớng của chùm nguyên tử. Lực bức xạ do sự hấp thụ
photon sẽ làm chậm lại chuyển động của nguyên tử. Sự hấp thụ photon chỉ
xảy ra khi tần số sóng laser trùng với tần số sóng chuyển mức trong nguyên
tử. Tuy nhiên, do hiệu ứng Doppler nên tần số chuyển mức này sẽ phụ thuộc
vào vận tốc của nguyên tử mà vận tốc này thay đổi nên tần số cũng thay đổi.
Để duy trì tần số chuyển mức không đổi ngƣời ta áp dụng từ trƣờng không
đồng nhất để hiệu ứng Zeeman sẽ bù trừ hiệu ứng Doppler. Sau đó, từ buồng


4
làm chậm Zeeman thì nguyên tử đƣợc đƣa vào bẫy từ quang (MOT) để làm
lạnh tiếp tới 100µK do tƣơng tác với ánh sáng laser. Sau khi một số lớn
nguyên tử bị bẫy vào MOT (
) ngƣời ta tắt chùm laser và chỉ
dùng từ trƣờng để bẫy. Cuối cùng ngƣời ta tiếp tục làm lạnh tới nK bằng cách
cho khí nguyên tử bốc hơi để nghiên cứu hiệu ứng BEC. Nhƣ vậy về cơ bản
sẽ có hai dạng bẫy:bẫy bằng từ trƣờng và bẫy quang học và hai kĩ thuật làm
lạnh:làm lạnh bằng laser và làm lạnh bằng bốc hơi.
1.2.NHIỆT ĐỘ VÀ NHIỆT ĐỘNG HỌC TRONG LÀM LẠNH BẰNG

LASER[6, 7]
Trong nhiệt động học, khái niệm nhiệt độ đƣợc định nghĩa nhƣ là một tham số
của một hệ kín cân bằng nhiệt với môi trƣờng. Điều này mặc định là có một
tiếp xúc nhiệt để thực hiện trao đổi nhiệt. Khi bị bẫy và làm lạnh bằng laser
thì hệ nguyên tử thƣờng xuyên hấp thụ và tán xạ ánh sáng và về cơ bản không
có trao đổi nhiệt (ánh sáng không đƣợc coi là nhiệt, cho dù nó có năng lƣợng).
Nhƣ vậy hệ nguyên tử trong bẫy có thể coi là trạng thái dừng (steady state)
nhƣng không phải là ở trạng thái cân bằng nhiệt.
Thông thƣờng, ngƣời ta liên hệ giữa nhiệt độ và động năng trung bình
, thí dụ cho chuyển động một chiều;

(1.1)

Tuy nhiên cần rất cẩn thận trong khi áp dụng công thức trên vì trong hệ
nguyên tử trong trƣờng laser có nhiều cấp độ năng lƣợng với hàm phân bố
năng lƣợng khác hẳn nhau nhƣng có thể cho cùng một giá trị trung bình (3.1).
Vì vậy khái niệm nhiệt độ ở đây xác định cho từng cấp độ năng lƣợng. Cấp độ
năng lƣợng cao nhất là gắn với năng lƣợng dịch chuyển Doppler.
Nếu độ rộng vạch tự nhiên của nguyên tử là . Khối lƣợng của nguyên tử là
M thì năng lƣợng gắn với hiệu ứng Doppler [6]


5

(1.2)

Với k là số bƣớc sóng photon . Độ lớn của nhiệt độ này cỡ vài mK.
Cấp độ tiếp theo của nhiệt độ liên quan tới năng lƣợng gắn với độ rộng vạch

Tức là:

(1.3)

độ lớn quãng
và đƣợc coi là giới hạn thấp nhất của quá trình làm lạnh
laser và còn đƣợc gọi là giới hạn Doppler .
Cấp độ thứ ba là gắn với năng lƣợng do “giật” (recoil) tức là năng lƣợng
nguyên tử nhận đƣợc từ mỗi photon do photon va chạm với nguyên tử và bị
“giật lại”:

,

năng lƣợng này cỡ một vài µK.
Bài toán đặt ra cho công nghệ làm lạnh là phải làm sao vƣợt qua các giới hạn
này và ta không đi sâu vào các phƣơngpháp cụ thể. Trong hình 1.2 là một
thang nhiệt độ tƣơng ứng với các kĩ thuật làm lạnh:


6

3

k

Bề mặt mặt trời

300

Phòng TN

30

Va chạm

3

He lỏng

300

mk

Bức xạ

30
3
300

µK

Va chạm

Lạnh quang học
Giới hạn Doppler

30

Làm lạnh bằng laser

3

300
30

Giới hạn giật
Quá trình
Làm lạnh bằng bốc hơi

nk
3

Độ rộng vùng

Hình 1.2:Thang nhiệt độ

1.3.BẪY TỪ[6]
Bẫy từ dựa trên hiệu ứng Zeman do tƣơng tác giữa từ trƣờng ngoài ⃗ với
momen từ của nguyên tử đƣợc hợp thành từ tổng

các spin của electron

trong nguyên tử momen quỹ đạo toàn phần ⃗⃗⃗ của các electron và I là spin của
hạt nhân. Hamiltonian Zeeman có dạng:


7

=

trong đó

⃗

(

⃗,

(1.5)

là các thông số Lander .

Tƣơng tác giữa các spin của electron với từ trƣờng hiệu dụng của hạt nhân
dẫn tới số hạng tƣơng tác spin-quỹ đạo để tạo thành momen góc toàn phần
⃗

. Lúc đó là một số lƣợng tử tốt của hệ điện tử trong nguyên tử nên

(1.5) viết thành :

=

trong đó

⃗,

(

biểu diễn tƣờng minhqua

(1.6)

. Ngoài ra do tƣơng tác của spin

hạt nhân với từ trƣờng hiệu dụng của electron nên còn thêm số hạng siêu tinh
tế tỉ lệ
là:

. Vì vậy Hamitonian tƣơng tác của nguyên tử đặt trong từ trƣờng sẽ

H = A.

(

.

(1.7)

Trong đó A là hằng số cấu trúc siêu tinh tế của hạt nhân, thí dụ cho nguyên tử
87
Rb dùng trong các thí nghiêm BEC:A = h. 3, 417 GHz. Để tính năng lƣợng
của nguyên tử trong từ trƣờng ta vẫn giải phƣơng trình Schordinger với
Hamitonie (3.7). Ta phân ra hai trƣờng hợp:
a) Từ trƣờng nhỏ:Là khi mức tách do từ trƣờng ⃗ nhỏ hơn so với do
tƣơng tác siêu tinh tế. Khi đó, liên kết

là mạnh hơn với từ


8

trƣờng và ta có

với độ lớn của

số lƣợng tử tốt. Năng lƣợng

và hình chiếu

là các

lúc đó có dạng (giả thiết ⃗ // oz ):

= A[F(F + 1) – I(I + 1) – J(J + 1)] +

(1.8)

.

b)Từ trƣờng cao:ở giới hạn ngƣợc lại thì và liên kết mạnh hơn với từ
trƣờng so với giữa chúng với nhau. Vì vậy, các số lƣợng tử sẽ là

và

. Ta

có:

=A

+

(1.9)

.

Trong trƣờng hợp từ trƣờng trung gian ta phải chéo hóa (1.7) và không có các
công thức giải tích tổng quát.
Trong các thí nghiệm BEC thƣờng là giới hạn từ trƣờng nhỏ. Để tạo lực từ tác
dụng lên nguyên tử để bẫy nguyên tử ngƣời ta dùng từ trƣờng phụ thuộc tọa
độ. Lúc đó thế năng tƣơng tác với từ trƣờng phụ thuộc tọa độ:

=

(1.10)

.

Từ lực tác dụng lên nguyên tử sẽ là:

.

(1.11)


9
> 0 thì nguyên tử bị bẫy vào nơi từ trƣờng thấp

Từ (1.10) suy ra khi

(low –field seeking states). Cho87 Rb ở trạng thái cơ bản

=

nên từ trƣờng bẫy đƣợc các nguyên tử ở trạng thái với:|
|

và

=

〉= |

〉;

〉 |

〉 Sau khi nguyên tử bị bẫy thì ngƣời ta có thể làm lạnh bằng cách
sử dụng sóng điện từ để đƣợc các nguyên tử năng lƣợng cao sang các trạng
thái không bị bắt giữ.
Bẫy từ thì có ba ƣu điểm chính. Một là, có thể là một bẫy sâu(thành bẫy cao)
cỡ 100µK do sử dụng từ trƣờng cao(nhƣng vẫn thỏa mãn là nhỏ so với tƣơng
tác siêu tinh tế). Hai là, thời gian sống của bẫy lớn (vì tác nhân bẫy là từ
trƣờng giữ không đổi theo thời gian, nên thời gian sống chỉ phụ thuộc vào va
chạm nội tại trong khí nguyên tử). Ba là, do bẫy sâu nên có thể làm lạnh tiếp
bằng bốc hơi một cách chọn lọc với các trạng thái với F và

khác nhau.

1.4. BẪY QUANG HỌC [8]
Bẫy quang học dựa vào tƣơng tác lƣỡng cực điện của nguyên tử với
điện trƣờng của sóng điện từ.Ởtrạng thái cơ bản, nguyên tử kim loại kiềm có

đối xứng cầu và momen lƣỡng cực điện bằng không. Khi đặt trong trƣờng
laser, do điện trƣờng của chùm laser mà xuất hiện lƣỡng cực điện cảm ứng.
Lƣỡng cực điện cảm ứng này lại tác dụng với trƣờng điện từ của laser. Giả sử
nguyên tử đặt trong trƣờng laser với điện trƣờng là:

⃗(

)= ̂ ̃

.

(1.12)

Điện trƣờng (1.12) do cảm ứng sẽ gây ra momen lƣỡng cực điện của nguyên
tử:
̂̃

.

(1.13)


10
Trong đó ̂ là vectơ đơn vị. Biên độ momen lƣỡng cực từ liên hệ với biên độ
điện trƣờng qua hàm phân cực phức , phụ thuộc tần số góc
trƣờng:

̃.

của điện

(1.14)

Thế năng tƣơng tác của điện trƣờng với lƣỡng cực điện cảm ứng khi điện
trƣờng tăng từ 0 tới E là:

̃=∫

⃗.

Vì p và E dao động rất nhanh theo thời gian nên ta lấy trung bình theo thời
gian 〈 〉= ∫

trong đó T là chu kì dao động sóng laser. Thế năng tƣơng

tác của lƣỡng cực điện cảm ứng với trƣờng laser là:

〈⃗⃗⃗ ⃗ 〉

Trong đó

(1.15)

Re(

là hằng số điện môi chân không, c là vận tốc ánh sáng còn I là

cƣờng độ của trƣờng điện từ I = 2

| ̃| .

Cƣờng độ trƣờng laser I phụ thuộc vào tọa độ thông qua ̃ nên

sẽ tạo

nên một lực thế đƣợc gọi là lực lƣỡng cực tác dụng lên nguyên tử:

Re(

.

(1.16)


11

Chính lực thế này là lực bẫy nguyên tử, là tác nhân tích cực cho mục đích bẫy
nguyên tử trung hòa. Tuy nhiên trƣờng laser có gây lên một tác động tiêu cực
với quá trình bẫy nguyên tử, đó là sự tán xạ của các photon lên nguyên tử mà
thực chất là quá trình nguyên tử hấp thụ photon và sau đó tái bức xạ tự phát.
Bức xạ tự phát với bản chất là ngẫu nhiên (random) làm cho các nguyên tử
nóng lên và một số bay ra khỏi bẫy. Công suất hấp thụ tính bằng công thức:

=〈 ⃗〉

( ̃ ̃)

Im(

.

(1.17)

Chùm laser là chùm các photon với năng lƣợng mỗi photon là ħ nên tốc độ
tán xạ

là:

Im(

.

(1.18)

Để bẫy hoạt động tốt ta cần thế bắt nguyên tử lớn nhƣng tốc độ tán xạ lại cần
nhỏ. Muốn vậy cần so sánh (1.15) với (3.18). Nhƣ vậy ta cần tính hàm phân
cực . Cách đơn giản nhất là dùng mô hình Lorentz cho dao động tử cổ điển.
Ta hình dung nguyên tử khi chƣa có trƣờng ngoài nhƣ quả cầu, xung quanh là
đám mây electron, ở tâm là hạt nhân. Khi có trƣờng ngoài, do cảm ứng tâm
hạt nhân và tâm khối của đám mây không trùng nhau và tạo thành lƣỡng cực
điện, đƣợc hình dung nhƣ một dao động tử điều hòa, trong đó khối tâm đám
mây electron dao động xung quanh hạt nhân với tần số riêng
dần

và hệ số tắt

(Vì khối lƣợng hạt nhân lớn hơn nhiều khối lƣợng đám mây điện tử

nên có thể coi hạt nhân là đứng yên. Do trƣờng laser nên đám mây electron
dao động cƣỡng bức và thỏa mãn phƣơng trình:

12

̈

Cho dạng E(t) ~

̇

.

ta tìm lời giải X ~

và thu đƣợc:

Để tính hệ số tắt dần cổ điển ta giả sử electron chuyển động trên hình tròn và
áp dụng công thức Larmor về công suất phát xạ của điện tích chuyển động có
gia tốc và ta thu đƣợc:

Từ (1.21) biểu diễn

Trong đó ta kí hiệu Γ

qua

rồi thay vào (3.19)

là hệ số tắt dần tại tần số riêng (tần số cộng

hƣởng). Công thức (1.22) tuy tính từ lý thuyết cổ điển nhƣng là gần đúng
tƣơng đối tốt ngoại trừ ở trƣờng hợp trƣờng cƣỡng bức là quá lớn. Để so sánh


13
(1.15) và (1.18) ta đƣa vào khái niệm điều chỉnh (detuning) là sự khác biệt
của tần số laser so với tần số dao động riêng của hệ:

(1.23)

.

Ta nhận xét nếu điều chỉnh gần cộng hƣởng

thì Re

và nhƣ vậy

. Vì vậy trong các thí nghiệm ngƣời ta điều chỉnh xa (far –
detuning) sao cho | |
Nếu

.

thì giới hạn gọi là điều chỉnh đỏ, ngƣợc lại

thì gọi là điều

chỉnh xanh. Trong chế độ điều chỉnh xa ta có từ (1.15) và (1.18):

(

)

(

.

).

Trong các thí nghiệm, tuy là điều chỉnh xa, quy ra độ dài bƣớc sóng thì
tƣơng ứng vài chục nm, vì vậy so với tần số riêng

vẫn thỏa mãn

| |
Lúc đó có thể bỏ qua số hạng thức2 vế phải trong biểu thức (1.24) và (1.25)
và đặt

(gọi là gần đúng sóng quay). Khi đó từ (1.24) và (1.25) ta có:


14

,
I( .

Từ đây ta suy ra:

ħ

(1.28)

.

Công thức (1.28) cho ta hai hệ quả quan trọng trong kĩ thuật bẫy quang học.
Một là, do

, Γ đều là dƣơng nên dấu của thế giam cầm nguyên tử

thuộc vào dấu của . Nếu là điều chỉnh đỏ thì

phụ

và là thế hút, vì vậy

các nguyên tử sẽ khƣ trú tại các điểm mà cƣờng độ trƣờng laser I (

là cực

đại, còn nếu điều chỉnh xanh thì nguyên tử ở vùng cƣờng độ trƣờng laser I (
cực tiểu vì thế là đẩy. Hai là, để hạn chế ảnh hƣởng tiêu cực của tán xạ tự phát
thì cần điều chỉnh xa(nhƣng vẫn cần thỏa mãn | |

để áp dụng gần

đúng sóng quay để thu các công thức (1.26); (1.27).
Dạng hình học của thế giam cầm đƣợc xác định bởi phân bố trƣờng laser.
Chẳng hạn nếu là chùm loại Gauss với công suất P truyền dọc hƣớng z:

(

).


15

với

√

Trong đó
bẫy ̂ |

.

là các tham số. Vì

nên ta thấy độ sâu của thế

|. Nếu năng lƣợng nhiệt

của nguyên tử là nhỏ

hơn nhiều ̂thì thế bẫy có thể coi gần đúng là thế dao động tử điều hòa đối
xứng trục [8, 9]:

̂

].

(1.30)

Đây cũng là lí do tại sao trong nhiều công trình lý thuyết ngƣời ta mô hình
hóa bẫy bằng dạng thế dao động tử điều hòa.
1.5. MẠNG QUANG HỌC [8, 9, 10].
Bẫy quang học có nhƣợc điểm là do độ sâu của thế phụ thuộc vào công suất
laser nên thƣờng không sâu (~ mK). Vì vậy trƣớc khi đƣa vào bẫy thì cần làm
lạnh các nguyên tử. Nhƣng một ƣu điểm cơ bản của bẫy quang học là có thể
sử dụng linh hoạt và dễ dàng các nguồn laser nên có thể tạo nên các phân bố
đa dạng về mặt hình học của nhiều bẫy đồng thời. Một trong số đó là mạng
quang học.
Ta xét thí dụ mạng một chiều. Theo công thức (1.15) thế bẫy nguyên tử phụ
thuộc cƣờng độ laser I, và I lại phụ thuộc vào bình phƣơng modul của vectơ
cƣờng độ điện trƣờng ⃗ . Xét trƣờng hợp đơn giản một chiều gồm hai sóng
đơn sắc tần số , vectơ sóng k, biên độ
Biên độ điện trƣờng tổng hợp có dạng:

| | =

theo phƣơng x hƣớng vào nhau.

).

(1.31)


16

Trong đó

là hiệu hai pha các sóng. Ta chọn điều chỉnh đỏ để

thế là hút, các nguyên tử tập chung ở vùng cực đại của thế, ta có:

=-

).

Nhƣ vậy ta có mạng một chiều các hố thế và hằng số mạng d = .
Tƣơng tự nhƣ vậy, nếu ta dùng hai cặp chùm laser ta sẽ có mạng quang học
hai chiều, còn nếu dùng ba cặp chùm laser ta sẽ có mạng ba chiều.
Điều đáng chú ý ở đây là hằng số mạng d có thể thay đổi đƣợc bằng
cách thay đổi bƣớc sóng laser. Ngoài ra, các loại mạng khác nhau cũng có thể
tạo đƣợc bằng cách bố trí cấu hình các cặpchùm laser: mạng lập phƣơng,
mạng tam giác, mạng tổ ong.
1.6. LÀM LẠNH BẰNG LASER VÀ LÀM LẠNH BẰNGBỐC HƠI.
Nhƣ trên đã điểm qua, làm lạnh bằnglaser là dùng chùm tia laser để làm chậm
chuyển động của các nguyên tử. Lực của chùm photon trong laser tác dụng
lên nguyên tử phụ thuộc vào tần sóng laser. Tuy nhiên do hiệu ứng Doppler
nên tần số sóng laser mà nguyên tử “cảm nhận” phụ thuộc vận tốc chuyển
động của nguyên tử. Khi bị tác dụng và lạnh dần thì vận tốc nguyên tử giảm
dần, Vì vậy do ảnh hƣởng của hiệu ứng Doppler lực mà photon tác dụng lên
nguyên tử cũng thay đổi. Để giữ cho lực này không đổi, ngƣời ta dùng lực
Zeeman của một từ trƣờng ngoài bù trừ cho hiệu ứng Doppler. Vì vậy làm
lạnh bằng laser còn gọi là làm lạnh bằng Doppler. Làm lạnh bằng Dopper có
thể hạ nhiệt độ tới vài mK. Tuy nhiên nhiệt độ này chƣa đủ nhỏ để làm các thí
nghiệm về BEC. Ngƣời ta có thể đạt nhiệt độ thấp hơn bằng phƣơng pháp bốc
hơi. Ý tƣởng chính của phƣơng pháp này là trong số các nguyên tử bị bẫy hãy
để cho các nguyên tử có năng lƣợng cao nhất đi ra khỏi bẫy bằng cách hạ thấp

dần bờ cao của giếng thế giam cầm. (xem hình 1.3)


17

a)

b)

c)

d)

e)

E

E

E

Ecut
f(E)

f(E)

f(E)

Hình 1.3: Làm lạnh bằng bốc hơi.
Giả sử ban đầu nhiệt độ của hệ là

N(E) =

và hàm phân bố là hàm Boltzmann :

exp(-

Bƣớc 1:bằng cách hạ thấp bờ giếng thế, các nguyên tử với năng lƣợng lớn
hơn
η

E>

sẽ đƣợc phép ra khỏi hố thế. Thƣờng ngƣời ta chọn

=

với η = 3-6.

Các nguyên tử còn lại trong hố thế sau đó sẽ tái lập lại trạng thái cân bằng và
hàm phân bố mới sẽ ứng với
Bƣớc 2: lại hạ bờ cao hố thế

.
=η

đƣợc nhiệt độ thấp ở mức mong muốn.

. Sau nhiều lần hạ hố thế sẽ đạt

18
Tuy nhiên ta cũng không thể đạt đƣợc nhiệt độ thấp tùy ý vì khi hố thế quá
nông thì số hạt bị giam cầm quá nhỏ, chƣa kể là khi hố thế nông, lực giam
cầm nhỏ không thắng đƣợc trọng lực và các nguyên tử bị rơi xuống. Nhiệt độ
sau khi làm lạnh bằng bốc hơi có thể xuống nK.
CHƢƠNG 2: NGƢNG TỤ BOSE- EINSTEIN TRONG CÁC BẪY.
Các nguyên tử trong các bẫy chịu tác dụng của các thế giam cầm, vì
vậy chỉ chuyển động trong không gian hẹp. Do sự có mặt của các thế giam
cầm và sự giới hạn của không gian nên hệ boson không đồng nhất. Điều này
dẫn đến các tính chất vật lý mới thú vị và đòi hỏi những phƣơng pháp tiếp cận
khác. Trong chƣơng này chúng ta sẽ xem xét một số phƣơng pháp nghiên cứu
lý thuyết các hệ boson không đồng nhất. Để tiện so sánh chúng ta cũng sẽ xét
hệ boson tự do, hay còn gọi là hệ boson lý tƣởng.
2.1.MỘT SỐ ĐẶC ĐIỂM KHI NGHIÊN CỨU BEC TRONG CÁC BẪY.
Hệ nguyên tử trong các bẫy khác với hệ tự do là chúng bị tác động bởi
thế giam cầm. Vì vậy đây là một hệ không đồng nhất nên trạng thái lƣợng tử
của hạt không còn đƣợc mô tả bằng momen xung lƣợng ⃗ mà có thể bẫy một
bộ số lƣợng tử . Khi số hạt ở trạng thái
lƣợng vĩ mô (

(kí hiệu là

thì ta nói rằng hệ ngƣng tụ ở trạng thái lƣợng tử

một chính xác ta phải xét ở giới hạn nhiệt động học :

N

Trạng thái

là một đại

,V

.

đƣợc gọi là đƣợc chiếm một cách vĩ mô khi:

.

. Nói


19
Điều kiện (2.2) đƣợc gọi là tiêu chuẩn Einstein cho hiện tƣợng ngƣng tụ BEC.
Tuy nhiên, cho các nguyên tử trong các bẫy thể tích V có thể không xác định.
Vì vậy ta cần định nghĩa giới hạn nhiệt động học theo cách khác. [18 ]
Giả sử

là một đại lƣợng quảng giao (extensive) quan sát đƣợc, lúc đó giới

hạn nhiệt động học hiệu dụng đƣợc định nghĩa nhƣ sau:

N

,

.

Thí dụ, nếu đại lƣợng quan sát đƣợc là nội năng

của N hạt ta có giới hạn

nhiệt động học nhƣ sau:

N

,

.

Ngoài ra, cho hệ nguyên tử trong bẫy ta cũng cần chú ý định nghĩa của tham
số trật tự thông qua ma trận mật độ một hạt:

=〈

Trong đó

(2.5)

( ) và Ψ( ) là các toán tử trƣờng có thể biểu diễn qua các toán tử
( ) ở trạng thái 𝜆và hệ hàm cơ sở φ là hệ hàm riêng của các

sinh hủy hạt
toán tử

〉.

:

∫

d

=

( ).

(2.6)