Giáo án Toán 12 - Chuyên đề Thể tích các khối đa diện - khối tròn xoay

Chun đề: THỂ TÍCH CÁC KHỐI ĐA DIỆN-KHỐI TRỊN XOAY

Sưu tầm và biên soạn: Phan Trọng Tiệp - Trường THPT Chiêm Hóa-Tuyên Quang.
1. Một số kiến thức bổ trợ:
a) Hệ thống các ví dụ ơn lại lý thuyết:
a.1.Một số cơng thức tính thể tích:
- Thể tích khối hộp chữ nhật: V  a.b.c Trong đó a,b,c là ba kích thước.
Đặc biệt: Thể tích khối lập phương: V  a

3

Trong đó a là độ dài cạnh của khối lập phương .

V  B.h Trong đó: B: diện tích đáy, h: chiều cao.
1
- Thể tích của khối chóp: V  .B.h Trong đó: B: diện tích đáy, h: chiều cao.
3
- Thể tích khối lăng trụ:

- Tỷ số thể tích: Cho hình chóp S.ABCD.Trên các đoạn thẳng SA,SB,S lần lượt lấy 3 điểm
A’,B’,C’ khác với S. Ta có:

VS . A ' B ' C ' SA ' SB ' SC '

.
.
VS . ABC
SA SB SC

- Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2. .R.l ( R: bán kính đáy, l : độ dài đường sinh)
- Thể tích khối trụ: V =  .R 2 .h (h : độ dài đường cao)

- Diện tích xung quanh hình nón: Sxq =  .R.l
1
- Thể tích khối nón: V = . .R 2 .h
3
- Diện tích mặt cầu: S = 4. .R 2
4
- Thể tích khối cầu: V =  .R 3
3
a.2.Một số kiến thức bổ trợ:

3
3
2
Diện tích : S  a .
2
4
2
+ Hình vng ABCD có cạnh a: Đường chéo AC= a. 2 Diện tích S  a .
1
1
+ Cơng thức tính diện tích tam giác: S  .a.ha  .a.b.sin C .
2
2
+ Tam giác ABC đều cạnh a: Chiều cao: h  a.

+ Xác định góc giữa đường thẳng d và mp(P).



Nếu d  ( P) thì (

d,( P))  90
Nếu khơng vng góc với ( P) thì

-

Xác định hình chiếu vng góc d’ của d trên (P).

0





Khi đó : (d,( P))  (d, d ')   .
+Xác định góc giữa hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q).


( P)  (Q)  d 
a  ( P), a  d 
 
  (( P),(Q))  (a, b)
b  (Q), b  d 
a  b  I  d 
+ Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b.
* Nếu a  b thì
- Dựng mp(P)  b và mp(P)  a tại A
- Dựng AB vng góc với b tại B
Khi đó: d(a, b)  AB

* Nếu a và b khơng vng góc thì

Cách 1:
- Dựng mp(P)  a tại O và ( P)  b  I 
- Dựng hình chiếu vng góc b’ của b trên (P)
-Trong (P) dựng OH vng góc với b’tại H.
-Từ H kẻ đường thẳng // với a cắt b tại B
-Từ B kẻ đường thẳng // với OH cắt a tại A.
Khi đó: d(a, b)  AB
Cách 2:
- Dựng (P)  b và mp(P)//a .
- Dựng (Q) thỏa mãn A  (Q), A  a,

(Q)  (P),(Q)  (P)= c
- Trong (Q) kẻ AB vng góc với c tại B
Khi đó: d(a, b)  AB

Ví dụ 1: Tính chiều cao và diện tích tam giác ABC đều cạnh 3a.

3 3a 3
3 9a2 3
2
Giải: Ta có : Chiều cao: h  3a.
Diện tích : S   3a .


2
2
4
4
Ví dụ 2: Cho hình vng ABCD cạnh 5a 6 . Tính độ dài đoạn AC và diện tích hình vng
ABCD.



Giải: Ta có : AC  5a 6. 2  10a 3 và SABCD  5a 6



2

 150a2

Ví dụ 3:Tính diện tích tam giác ABC biết tam giác vng tại A và AC=a 7,
BC  5a .
Giải: Ta có: AB 

BC2  AC2  (5a)2  (a 7)2  18a2  3a 2 Khi đó:

Diện tích tam giác ABC là

2


1
1
a2 14
(đvdt)
SABCD  .AC.AB  .a 7.a 2 
2
2
2

Ví dụ 4: Tính diện tích tam giác ABC biết AB=5a,BC=2a 3 , 
ABC  600 .
Giải: Diện tích tam giác ABC là
2
1
  1 .5a.2a 3. 3  15a (đvdt)
SABCD  .AB.BC.sin ABC
2
2
2
2

Ví dụ 5: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC.
a. Xác định góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy (ABC) .
b. Xác định góc giữa mặt bên (SBC) và (ABC).
Giải
Giải:
a. Gọi M là trung điểm của BC và O là tâm của
tam giác ABC. Vì S.ABC là hình chóp tam giác
đều nên ta có:

O  AM , SO  ( ABC)

Khi đó OA là hình chiếu vng góc của SA trên
(ABC).Do đó




(SA

,( ABC))  (SA
, AO)  SAO
b.Vì SO  ( ABC) nên

OM là hình chiếu vng góc của SM trên
(ABC) mà BC  OM nên SM  BC .Do đó



((
SBC),( ABC))  (SM
,OM )  SMO

Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD. có đáy ABCD là hình vng, SA  ( ABCD )
a.Xác định góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy (ABCD).
b.Xác định góc giữa mặt (SBD) và (ABCD).
Giải:
a. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD
là hình vng nên ta có: AC  BD
Vì SA  ( ABCD ) Khi đó AC là hình chiếu
vng góc của SC trên (ABCD).Do đó




(SC
,( ABCD))  (SC
, AC)  SCA
b.Vì SA  ( ABCD ) nên AO là hình chiếu
vng

góc

của

SO

trên

BD  AO nên SO  BD

(ABCD)

mà

.Do đó



((
SBD),( ABCD))  (SO
,OA)  SOA

Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD. có đáy ABCD là hình vng, SA  ( ABCD )
Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BD và SC.

3


Giải:

Gọi O là tâm của hình vng ABCD. Ta thấy
AC  BD và SA  BD nên BD  (SAC)
Do đó SC  BD
(SAC)  SC,(SAC)  BD tại O
Trong (SAC) kẻ OH vng góc với SC tại H.
Khi đó :

d( BD, SC)  OH

Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABC. có đáy ABC là tam giác vng cân tại B, hai mặt phẳng
(SAB) và (SAC) cùng  ( ABC) .Gọi M là trung điểm của AB,mp qua SM và // BC cắt AC
tại N. Xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau AB và SN.
Giải: (ĐH khối A-2011)
Kẻ đt d đi qua N và //AB,Qua A kẻ đt đi //MN cắt d tại
E.

EN  AE 
  EN  (SAE)  (SEN )  (SAE) .
EN  SA 
Gọi K là hình chiếu vng góc của A trên SE. Khi đó
AK  (SEN ) .
Vì MN//EN mà EN  (SEN )  AM //(SEN )
Do đó

d  AB, SN   d( AB,(SEN )  d( A,(SEN ))  AK

b) Các dạng bài tập tương tự cho học sinh tự làm
Bài tập 1: Tính chiều cao và diện tích tam giác ABC đều cạnh 2a.
Bài tập 2: Cho hình vng ABCD cạnh 4a 3 . Tính độ dài đoạn AC và diện tích hình vng
ABCD.

Bài tập 3: Tính diện tích tam giác ABC biết tam giác vng tại A và AC=a 5,
BC  4a .

Bài tập 4: Tính diện tích tam giác ABC biết AB=3a,BC=2a 6 , 
ABC  30 .
Bài tập 5: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD.
a.Xác định góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy (ABCD).
b.Xác định góc giữa mặt bên (SCD) và (ABCD).
Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABC. có đáy ABC là tam giác vng tại A, SA=SB=SC.
a.Xác định góc giữa cạnh bên SA và mặt đáy (ABC).
b.Xác định góc giữa mặt (SAB) và (ABC).
0

Bài tập 7: Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có đáy là tam giác đều.Hình chiếu của A trên
(A’B’C’) là trung điểm của B’C’. Xác định góc giữa cạnh bên AA’ và mặt đáy (A’B’C’).
Bài tập 8: Cho lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vng tại A. Xác định
góc giữa đường chéo BC’ của mặt bên(BCC’B’) với mặt (ACC’A’).

4


2. Tiến hành giải quyết nội dung chuyên đề:
a) Ôn lại kiến thức cơ bản của chủ đề:
Dạng 1: Tính thể tích khối chóp tam giác tứ giác.
B 1: Xác định đáy và đường cao của khối chóp
B2: Tính diện tích đáy B và chiều cao h
B 3: Áp dụng cơng thức V =

1
B.h

3

Ví dụ 1.
Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng 2a, M là trung điểm AD.
a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
b) Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).
Giải:
a) Gọi E là trung điểm của BC và O là tâm của
ABC .Vì ABCD là tứ diện đều nên
và
và
DO  ( ABC )
AE  BC

O  AE , AO 

2
2a 3
AE 
3
3

Trong  vuông DAO : DO  AD 2  AO 2

 (2a ) 2  (

2a 3 2 2a 6
) 
3
3

Mặt khác: S ABC

 2a 


2

3

 a2 3 ,

4
Vậy thể tích khối tứ diện đều ABCD là
3
1
V  S ABC .DO  1 .a2 3. 2a 6  2a 2
3
3
3
3

b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M đến
mp(ABC) là MH
1
a 6
MH  DO 
2
3
Ví dụ 2. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Tính thể tích khối chóp

a.

Biết cạnh bên bằng a 3 .Gọi K là trung điểm của SA Tính thể tích khối tứ diện
K.ABC theo a.

b.

Biết cạnh bên tạo với mặt đáy một góc 60 .

c.

Biết mặt bên tạo với mặt đáy một góc 30 .

d.

Cạnh bên SA tạo với cạnh đáy AB một góc 45 .

0

0

Giải

5

0


Giải:
a. Gọi M là trung điểm của BC và O là tâm của

tam giác ABC. Vì S.ABC là hình chóp tam giác
đều nên ta có:

O  AM , SO  ( ABC)

O  AM , AO 

2
2 a 3 a 3
AM  .

3
3 2
3

Trong  vuông SAO : SO  SA2  AO 2

 (a 3) 2  (

a 3 2 2a 6
) 
3
3

Mặtkhác:
1
1 a 3 a2 3
S ABC  .BC. AM  .a.

2

2
2
4
Vậy thể tích chóp S.ABC là
2
3
1
VS . ABC  S ABC .SO  1 . a 3 . a 6  a 2
3
3 4
3
12

Gọi H là hình chiếu vng góc của K trên (ABC).Khi đó H  AM , KH // 

1
a 6
SO 
Vậy
2
3

Tính thể tích khối tứ diện K.ABC là

VK . ABC

1
1 a 2 3 a 6 a3 2
 S ABC .KH  .
.


(đvtt)
3
3 4
3
12

b.Vì SO  ( ABC) nên OA là hình chiếu vng góc của SA trên (ABC).Do đó



 = 600 .Trong tam giác vng SAO ta có:
(SA
,( ABC))  (SA
, AO)  SAO
2
  a 3 . 3  a ; S  a 3 (đvdt)
SO=AO.tanSAO
ABC
4
3
1
1 a2 3
a3 3
V

S
.
SO
 .

.a 
Vậy S . ABC
(đvtt)
ABC
3
3 4
12
c.Vì SO  ( ABC) nên OM là hình chiếu vng góc của SM trên (ABC) mà BC  OM nên

 = 300
SM  BC .Do đó ((
SBC),( ABC))  (SM
,OM )  SMO

a 3 1 a
a2 3
(đvdt)
.
 ; S ABC 
4
6
3 6


Trong tam giác vng SMO ta có: SO=OM.tanSMO

1
1 a2 3 a a3 3
V


S
.
SO

.
. 
Vậy S . ABC
(đvtt)
ABC
3
3 4 6 72
  450 ,AB=a
d. Vì S.ABC là hình chóp tam giác đều nên SAB là tam giác cân đỉnh S mà SAB
0

Do đó SAB vng cân đỉnh S Ta có: SA  AB.sin 45 

ng c : SO  SA2  AO 2  (
Trong SAO vu趔
Vậy

VS . ABC

a 2
a
a 6
)  ( )2 
6
2
3

1
1 a2 3 a 6 a3 2
 S ABC .SO  .
.

(đvtt)
3
3 4
6
24
6

a 2
2


Ví dụ 3:Tính thể tích khối chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật AB=a,BC=3a,
SA  ( ABCD) .Góc giữa SD và ABCD bằng 450 .
Giải:
a) Vì SA  ( ABCD ) nên AD là hình chiếu
vng góc của SD trên (ABCD).Do đó



  450
(SD
,( ABCD))  (SD
, AD)  SDA
  450 và

Xét tam giác SAD có
SDA
  900 nên SA=AD=3a
SAD
2
Ta có S ABCD  AB.BC  a.3a  3a ,

Vậy thể tích khối tứ diện đều ABCD là

1
1
VS . ABCD  S ABCD .SA  .3a 2 .a  3a 3
3
3
Dạng 2: Tính thể tích khối hộp,khối lăng trụ:
B1: Xác định đáy và đường cao của khối hộp,khối lăng trụ.
B2: Tính diện tích đáy B và chiều cao h
B3: Áp dụng cơng thức

V  B.h

Ví dụ 4: Tính thể tích của khối lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng

2a 15
Giải: Giả sử khối lăng trụ tam giác đều có cạnh
đáy bằng a và chiều cao bằng 2a 15 là
ABCA’B’C’.
Khi đó Thể tích của khối lăng trụ là
a2 3 3a3 5
VABCA ' B'C'  AA '.SABC  2a 15.


4
2
3
a 6
(đvtt)

12

Ví dụ 5: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác đều cạnh a và điểm
A’ cách đều các điểm A, B, C. Cạnh bên AA’ tạo với mp đáy một góc 600. Tính thể tích của
lăng trụ

7


Giải:
a. Gọi H là hình chiếu  của A’trên
(ABC). Do A’A=A’B=A’C nên H là
tâm của tam giác đều ABC.
Ta có AH=

a 3
0

và A'AH=60
3

Trong  vng AA’H ta có
A’H = AH. tan600 =

SABC

a 3
. 3a
3

a2 3
=
4

Vậy Thể tích khối lăng trụ là

VABCA ' B 'C '  S ABC . A ' H 
a2 3
a3 3

.a 
4
4

Ví dụ 6: Tính thể tích của khối lập phương ABCD.A’B’C’D’ có đường chéo bằng

AC'=2a 6
Giải:
Gọi b là độ dài cạnh của khối lập
phương ABCD.A’B’C’D’ Ta có

A'C'=a 2; AA'  b; AC '  b 3
Mặt khác Theo giả thiết ta có

AC'=2a 6 nên
b 3 =2a 6  b  2a 2



Khi đó SABCD  2a 2



2

 8a2

Vậy Thể tích khối lăng trụ là

VABCD. A ' B 'C ' D '  S ABCD . AA ' 
 2a 2.8a 2  16a 2 . 2

Dạng 3: Tính thể tích các khối trịn xoay
B 1: Xác định đáy,đường sinh,đường cao của khối trịn xoay
B2: Tính bán kính đáy R, độ dài đường sinh l, chiều cao h của khối trịn xoay
B 3: Áp dụng cơng thức :
- Diện tích xung quanh hình trụ: Sxq = 2. .R.l ( R: bán kính đáy, l : độ dài đường sinh)
- Thể tích khối trụ: V =  .R 2 .h ( h : độ dài đường cao )
- Diện tích xung quanh hình nón: Sxq =  .R.l
1
- Thể tích khối nón: V = . .R 2 .h
3
- Diện tích mặt cầu: S = 4. .R 2

8


4
 .R 3
3
Ví dụ 7: Tính thể tích,diện tích xung quanh,diện tích tồn phần của khối trụ ngoại tiếp khối
lăng trụ tam giác đều có cạnh đáy bằng 3a và cạnh bên bằng 4b.
- Thể tích khối cầu: V =

Giải:
Khối trụ có bán kính
Mặt khác Theo giả thiết ta có bán
kính R=AO=

2
2 3a 3
AH=
a 3
3
3 2

- Diện tích xung quanh của hình trụ là

Sxq = 2. .a 3.4b  8ab 3. (đvdt)
- Diện tích tồn phần của hình trụ là
Stp = Sxq +2.Sđ
2

= 2. .a 3.4b  2 .(a 3) 

 8ab 3.  6a2 .  2a (4b 3  3a)
Thể tích khối trụ có bán kính R và chiều cao
h=4b là
V=





2

 .R2 .h   a 3 .4b  12a2 b

Ví dụ 8: Tính thể tích,diện tích xung quanh,diện tích tồn phần của khối nón có chiều cao
0

bằng a và góc ở đỉnh bằng 120 .
Giải:
Giả sử hình nón có đỉnh S và đáy có tâm
O.Thiết diện qua trục là  SAB cân có
0
0


ASB=120
nên ASO=60

Trong  vng ASO Ta có:

R  AO  SO. tan 600  a 3;
l  SA 

AO
a 3

 2a
0
sin 60
3
2

- Diện tích xung quanh của hình nón là
2

Sxq =  Rl   .a 3.2a  2a 3. (đvdt)
- Diện tích tồn phần của hình nón là
2

Stp = Sxq +Sđ =  Rl   R 



 .a 3.2a   a 3



2

 2a2 3.  3 a2

  a2 (2 3  3) (đvdt)
Thể tích khối nón có bán kính R và chiều cao
h=a là
V=

2
1
1
. .R2 .h  . a 3 .a   a3
3
3





9


b) Các dạng bài tập tương tự tại lớp:
Bài tập 1: Tính thể tích khối chóp tam giác SABC có đường cao SA vng góc với đáy ABC
và tam giác ABC vuông tại B.Biết SA=3a,AB=4a,AC=5a.
Giải: Do SA  ( ABC) nên SA là đường cao
của khối chóp S.ABC.
Trong tam giác vng ABC.
Ta có:

BC  AC2  AB2 

 (5a)2  (4a)2  3a
1
1
SABC  AB.BC  .3a.4a  6a2
2
2
Vậy V =

1
3
SABC. SA = 6a (đvtt)
3

Bài tập 2: Tính thể tích khối chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a và
0
đường cao SA vng góc với đáy ABC,mặt bên (SBC) tạo với mặt đáy một góc 30
Giải:
Gọi M là trung điểm của BC.
Vì ABC là tam giác đều nên AM  BC mà

SA  ( ABC)

Nên AM là hình chiếu vng góc của SM trên
(ABC) Do đó SM  BC hơn nữa
BC  ( SBC )  ( ABC ) nên


((
SBC),( ABC))  (SM
, AM ) 

  300
 SMA

Trong  V SAM ta có
SA = AM. tan300 =
Vậy V =

a 3 3 a
.

2 3 2

1
SABC. SA =
3

1 a2 3 a a3 3
= .
(đvtt)
. 
3 4 2
24
Bài tập 3: Tính thể tích khối chóp tam giác SABC có đáy ABC là tam giác vng tại A,BC=a,
SA=SB=SC=

a 3
0
và mặt bên (SAB) tạo với mặt đáy một góc 60
2

10


Giải:
Gọi H là hình chiếu vng góc của S
trên (ABC).Do tam giác ABC vuông tại
A và SA=SB=SC nên H là trung điểm
của BC.
Gọi M là trung điểm của AB.
AM  BC Khi đó


((
SAB),( ABC))  (SM
, HM ) 
  600
 SMH

Trong  V SHC ta có

SH  SC2  CH 2 
a 3 2 a2 a 2
) ( ) 
2
2
2
Trong  V SHM ta có
 (

a 2

a 6
a 6
Do đó AC=2HM=
Khi đó
: 3
2
6
3
1
1
3 a 6 a2 2
SABC = AB.AC= .a
.

2
2 3 3
6
2
1 a 2 a 2 a3
1
Vậy V = SABC. SA = .
(đvtt)
.

3
3 6
2
18
HM = SH: tan600 =

Bài tập 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Tính thể tích khối chóp
a.Biết cạnh bên bằng a 2 .Gọi K là điểm nằm trên SA sao cho 5AM=SA Tính tỷ số thể
tích giữa khối tứ diện K.ABC và khối chóp S.ABCD.
0

b. Biết cạnh bên tạo với mặt đáy một góc 60 .
0

c. Biết mặt bên tạo với mặt đáy một góc 30 .

  60 .
d. Biết SAB
Giải:
a. Gọi O là tâm của hình vng ABCD. Vì
S.ABCD là hình chóp tam giác đều nên ta có:
0

SO  ( ABCD)

O  AC , AO 

1
1
a 2
AC  .a 2 
2
2
2

ng c : SO  SA2  AO 2

Trong SAO vu趔
 (a 2) 2  (
Mặtkhác:

a 2 2 a 6
) 
2
2

S ABCD  a 2

Vậy Thể tích khối chóp S.ABCD là
3
1
VS . ABCD  S ABCD .SO  1 .a2. a 6  a 6
3
3
2
6

11


Gọi H là hình chiếu vng góc của M trên (ABCD).

1
a2
1
1 a 6 a 6 S
Khi đó H  AO, MH //  SO  .

, ABC  .S ABCD 

2
2
5
5 2
10
Ta có thể tích khối tứ diện M.ABC là

VM . ABC

1
1 a 2 a 6 a3 6
 S ABC .KH  . .

3
3 2 10
60

a3 6
VM . ABC
60  1

Khi đó : V
a 3 6 10
S . ABCD
6
1
1
1


Cách 2: VS . ABCD  .S ABCD .SO  .2 S ABC .5MH  10  S ABC .MH   10VM . ABC
3
3
3

V
1
 M . ABC 
VS . ABCD 10
b.Vì SO  ( ABCD ) nên OA là hình chiếu vng góc của SA trên (ABCD).Do đó



 = 600 .Trong tam giác vng SAO ta có:
(SA
,( ABCD))  (SA
, AO)  SAO
2
  a 2 . 3  a 6 ; S  a 3 (đvdt)
SO=AO.tanSAO
ABC
4
2
2
1
1 2 a 6 a3 6
V

S

.
SO
 .a .

Vậy
(đvtt)
S . ABC
ABC
3
3
2
6
c.Gọi E là trung điểm của CD.Vì SO  ( ABCD ) nên OE là hình chiếu vng góc của SE trên
(ABCD) mà CD  OE nên SE  CD .

 = 300
Do đó ((
SCD),( ABCD))  (SE
,OE)  SEO

Trong tam giác vng SMO ta có:
2
  a . 1  a 3 ; S  a 3 (đvdt)
SO=OE.tanSEO
ABC
4
2 3
6
1
1 2 a 3 a3 3

V

S
.
SO

.a .

Vậy S . ABCD
(đvtt)
ABCD
3
3
6
18
  600 ,AB=a
d. Vì S.ABCD là hình chóp tứ giác đều nên SAB là tam giác cân đỉnh S mà SAB
Do đó SAB đều cạnh a Ta có: SA  AB  a

ng c : SO  SA2  AO 2  (a ) 2  (
Trong SAO vu趔

a 2 a 2
) 
2
2

1
1 2 a 2 a3 2
V


S
.
SO

.a .

Vậy S . ABC
(đvtt)
ABC
3
3
2
6
Bài tập 5: Tính thể tích khối chóp S.ABCD. có đáy ABCD là hình vng.
a. Biết AB=,2a SA  ( ABCD ) và góc giữa mặt (SBD) và (ABCD) bằng 60
b. Biết AC=2a và góc giữa SC và (ABCD) bằng 30

12

0

0


Giải:
a. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì ABCD là hình
vng cạnh 2a nên ta có: AC  BD và AO =

1

AC  a 2
2
Vì SA  ( ABCD ) Khi đó AO là hình chiếu vng góc
của SO trên (ABCD). mà BD  AO nên SO  BD
Do đó


 = 600
((
SBD),( ABCD))  (SO
, AO)  SOA

Trong tam giác vng SAO ta có:

  a 2. 1  a 6 ;
SA=AO.tanSOA
6
3
S ABCD   2a   4a 2 (đvdt)
2

1
1 2 a 6 2a3 6
V

S
.
SO
 .4a .


Vậy S . ABCD
ABCD
3
3
6
9

b. Vì SA  ( ABCD ) nên AC là hình chiếu vng góc của SC trên (ABCD).Do đó



 = 300 .Trong tam giác vng SAC ta có:
(SC
,( ABCD))  (SC
, AC)  SCA
  2a. 1  2a 3 ; Gọi b là độ dài cạnh của hình vng ABCD Ta có
SA=AC.tanSCA
3
3





2

b. 2  2a  b  a 2 Khi đó S ABCD  a 2  2a 2 (đvdt)
Vậy

3

1
VS . ABCD  S ABCD .SO  1 .2a2. 2a 3  4a 3 (đvtt)
3
3
3
9

Bài tập 6: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy ABCD là hình vng cạnh bằng 3a. Mặt bên
(SAB) là tam giác đều và vng góc với mặt đáy.Gọi H là trung điểm của AB
a. CMR SH  ( ABCD )
b. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
1
c. Gọi M là điểm nằm trên AD sao cho AM  AD .Tính VS . ABM theo a.
4
Giải:
a. Vì ABC là tam giác đều cạnh 3a và H là trung
điểm của AB nên SH  AB
và SH  3a.
Khi đó Ta có :

3 3a 3

2
2

(SAB)  ( ABCD)

SH  AB
  SH  ( ABCD)


SH  (SAB)


b. Mặtkhác:

S ABCD   3a   9a 2
2

Vậy Thể tích khối chóp S.ABCD là

VS . ABCD

1
1 2 3a 3 9a3 3
 S ABCD .SH  .9a .

3
3
2
2
13


c.Vì M là điểm nằm trên AD thỏa mãn AM 

S ABM

1
AD nên.Tính
4

1
1 1
1
9a 2
 .S ABD  . S ABCD  S ABCD 
4
4 2
8
8

Vậy Thể tích khối tứ diện S.ABM là

VS . ABM

1
1 9a 2 3a 3 9a 3 3
 S ABM .SH  .
.

3
3 8
2
16

Bài tập 7: Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy ABCD là hình thoi cạnh a.

  600 , SA  SC  a 5 , SB  SD .Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
BAD
2

Giải:
Gọi O là giao điểm của AC và BD Ta có SA=SC
và OA=OC nên SO  AC (1)
SB=SD và OB=OD nên SO  BD (2)
Từ (1) và (2) Ta có SO  ( ABCD )
Xét  ABD ta có AB = AD = a và

  600 nên  ABD là tam giác đều cạnh a.
BAD

Khi đó Ta có :

a 3
a2 3
AO 
; S  ABD 
2
4
a2 3
 SABCD  2. S  ABD 
2

Trong  vuông SAO Ta có:

a 5 2 a 3 2 a 2
) (
) 
2
2
2

Vậy Thể tích khối chóp S.ABCD là
SO  SA2  AO 2  (

2
1
VS . ABCD  S ABCD .SO  1 . a 3 . a 2 
3
3 2
2



a3 6
(đvtt)
12

Bài tập 8: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCDA’B’C’D’ có cạnh đáy bằng a và đường chéo hợp
với mặt đáy góc 300.Tính thể tích khối lăng trụ
Giải:
a. Vì ABCD.A’B’C’D’ lăng trụ tứ giác đều nên
AA'  ( ABCD) và ABCD là hình vng cạnh a.Khi đó ta
có

SABCD   5a   25a2 và
2

AC là hình chiếu vng góc của A’C trên ( ABCD )


nên AC'A'=60

Trong  V ABC ta có
0

14


AA’ = AC. tan600 = 5a 2 . 3 =5 a 6
Vậy Thể tích khối lăng trụ là

VABCD. A ' B 'C ' D '  S ABCD . AA '  25a 2 .5a 6  125a 3 6

Bài tập 9: Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BC = a,

  600 .Đường chéo A’B của mặt bên (ABB’A’) hợp với mặt bên (ABC) một góc
ACB

300.Tính thể tích lăng trụ đó.
Giải:
a. Vì ABC.A’B’C’ lăng trụ đứng nên AA '  ( ABC)
Do đó AB là hình chiếu vng góc của A’B trên
0

(ABC)Ta có: BC'A=30

Trong  V ABC ta có: AB = BC. tan600 = a 3
Trong  V AA’B Ta có: tan300 =

AA'
AB

1
=a
3
1
1
a2 3
= AB.AC = .a 3 .a =
2
2
2

 AA’=AB.tan300 = a 3 .
SABC

Vậy Thể tích khối lăng trụ là

VABCA ' B 'C '

a2 3
a3 3
 S ABC . AA ' 
.a 
2
2

Bài tập 10: Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC là tam giác vng tại A, AC = a,

  600 .Đường chéo BC’ của mặt bên (BCC’B’) hợp với mặt bên (ACC’A’) một góc
BCA

300.
a. Tính độ dài cạnh AC’
b. Tính thể tích lăng trụ
Giải:
a. Vì  ABC vng tại A nên BA  AC
Mặt khác vì ABC.A’B’C’ lăng trụ đứng nên BA  AA’ Do đó BA  ( ACC ' A ')
Ta có BA  ( ACC ' A ') nên AC’ là hình chiếu vng góc của BC’ trên ( ACC ' A ')
0

Theo giả thiết Ta có: BC'A=30

Trong  V ABC ta có: tan600 =

AB
 AB = AC. tan600 = a 3
AC

15


Trong  V BAC’ Ta có:

AB
AB
=AB 3 =3a
 AC’ =
AC
tan 300

tan300 =

Trong  V AA’C’:

AA' 

SABC

AC '2  A ' C '2  (3a ) 2  a 2  2a 2

1
1
a2 3
= AB.AC = .a 3 .a =
2
2
2

Vậy Thể tích khối lăng trụ là

VABCA ' B 'C '

a2 3
 S ABC . AA ' 
.2a 2  a 3 6
2

Bài tập 11: Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy ABC là một tam giác đều cạnh
a , AA'=

a 6

và hình chiếu của A trên (A’B’C’) là trung điểm của B’C’. Tính thể tích của
2

lăng trụ trên.

Giải:
a. Gọi H là trung điểm của B’C’.Theo
giả thiết ta có AH  ( A ' B ' C ')
Trong  vuông AA ' H Ta có:

AH 
 (

AA '2  A ' H 2

a 6 2 a 3 2 a 3
) (
) 
2
2
2

SA'B'C' =

a2 3
4

Vậy Thể tích khối lăng trụ là

VABCA ' B 'C '  S ABC . A ' H 

a 2 3 a 3 3a 3

.

4
2
8

Bài tập 12: Tính thể tích khối nón có độ dài đường sinh bằng 2a,diện tích xung quanh bằng
2

bằng 2 a .

16


Giải:
Giả sử hình nón có đỉnh S và đáy có tâm
O.Thiết diện qua trục là  SAB
- Diện tích xung quanh của hình nón là

Sxq =  Rl   Rl  2 a2 
2 a2 2 a2
 R

a
l
2 a

(đvdt)

Trong  vng SAO Ta có:

SO  SA2  AO 2 


 2a 

2

 a2  a 3

Vậy Thể tích khối nón có bán kính
R và chiều cao h=a là

1
1 2
 a3 3
2
V = . .R .h  . a .a 3 
3
3
3
c) Các dạng bài tập giao cho học sinh làm ở nhà:
Dạng 1: Tính thể tích khối chóp:
Bài 1 . Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vng cân ở B, AC  a 2 , SA vng
góc với đáy, SA  a
a) Tính thể tích của khối chóp S.ABC.
b) Gọi G là trọng tâm
tam giác ABC, mặt phẳng  qua AG và song song với BC cắt

SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN.
Lời giải:

1
VS . ABC  S ABC .SA
3
SA  a

a)Ta có:

+
n c : AC  a 2  AB  a
+ ABC c怏
1
 S ABC  a 2
2
1 1
a3
Vậy: VSABC  . a 2 .a 
3 2
6
b) Gọi I là trung điểm BC.
SG 2
G là trọng tâm,ta có :

SI 3
SM SN SG 2
 // BC  MN// BC 




SB SC SI 3
V
SM SN 4
 SAMN 
.

VSABC
SB SC 9

4
2a 3
Vậy: VSAMN  VSABC 
9
27
Bài 2.

17

Yêu cầu:
+Học sinh ghi
được thể tích
khối SABC và tính.
+Biết dùng định lý Talet tìm tỉ lệ các đoạn
thẳng để lập tỉ số thể tích hai khối.
+ Nắm được công thức (*) để lập tỉ số thể tích
đối với khối chóp


Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vng cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc

60 . Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và
cắt SD tại F.
a) Hãy xác định mp(AEMF)
b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
c) Tính thể tích khối chóp S.AEMF.
Lời giải:
HD
a) Gọi I  SO  AM .
Ta có (AEMF) //BD  EF // BD

1
VS . ABCD  S ABCD .SO
3
2
+ S ABCD  a

b)

+ SOC có : SO  AO.tan 60 
Vậy :

VS . ABCD

a 6
2

a3 6

6

Yêu cầu:
+Học sinh dựng được E, F dưới sự pháp vấn
của giáo viên.
+Tính được thể tích của khối S.ABCD sau
khi đã làm qua nhiều bài tập.
+Giáo viên gợi ý tính thể tích khối S.AMF.
Từ đó học sinh biết cách tính thể tích khối
S.AMF bằng cách lập tỉ số ( tương tự như bài
5)

c) VS . AEMF :
Xét khối chóp S.AMF và S.ACD
SM 1

Ta có : 
SC 2
SAC có trọng tâm I, EF // BD nên:
SI SF 2



SO SD 3
V
SM SF 1
 SAMF 
.

VSACD SC SD 3

1

1
a3 6
 VSAMF  VSACD  VSACD 
3
6
36

 VS . AEMF

a3 6 a3 6
2

36
18

Bài 3:
Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB  a . Trên đường thẳng qua C và vng góc với
mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD  a . Mặt phẳng qua C vng góc với BD, cắt
BD tại F và cắt AD tại E.
a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD.
b) Chứng minh CE  ( ABD)
c) Tính thể tích khối tứ diện CDEF.

18


Lời giải:
a)Tính

VABCD

Ta có:

1
1
VABCD  S ABC . AD  a 3
3
3

b) Ta có: AB  AC , AB  CD
 AB  EC
Ta có: DB  EC  EC  ( ABD)
c) Tính

VDCEF :

u cầu:
+Học sinh chứng
minh được đường
thẳng vng góc mặt phẳng.
DE DF
+Nắm được nhu cầu tính các tỉ số
,
.
DA DB
+Biết dụng hệ thức trong tam giác vuông để suy
DE
ra
DA

V
DE DF
Ta có: DCEF 
.
(*)
VDABC DA DB
Mà DE.DA  DC 2 , chia cho DA2
DE DC 2
a2
1




2
2
DA DA
2a
2
Tương tự:
DF DC 2
a2
1



2
2
2
DB DB

DC  CB
3
Từ (*) 
Vậy

VDCEF 1
 .
VDABC 6
VDCEF

1
a3
 VABCD 
6
36

Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vng cạnh a, SA vng góc đáy,

SA  a 2 . Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt
SC tại C’.
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.
b) Chứng minh SC  ( AB ' D ')
c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’
d)
Lời giải:
a) Ta có:

VS . ABCD

1

a3 2
 S ABCD .SA 
3
3

b) Ta có BC  ( SAB )  BC  AB '
Ta có
SB  AB '
Suy ra:
AB '  ( SBC )
c) Tính
+Tính

VS . A B 'C ' D '

VS . AB 'C ' :

VSA ' B 'C ' SB ' SC '

.
(*)
VSABC
SB SC
SC ' 1

SAC vuông cân nên
SC 2
Ta có:
Ta có:

Yêu cầu:
+Học sinh biết chứng

minh AB '  ( SBC )
+ Biết phân thành hai khối chóp bằng nhau:

S . AB ' C ', S . AC ' D '

19


+ Sử dụng tỉ số để giải như bài 7.

SB ' SA2
2a 2
2a 2 2




SB SB 2 SA2  AB 2 3a 2 3
V
1
Từ (*)  SA ' B 'C ' 
VSABC
3

 VSA ' B 'C '
+

B

A
O
M

D

c

A'

D'

B'

C'

1 a3 2 a3 2
 .

3 3
9

VS . A B 'C ' D '  2VS . A B 'C '

2a 3 2

9

Dạng 2: Tính thể tích khối hộp,khối lăng trụ:
Bài 5. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB  a 3 , AD = a, AA’=a, O là giao
điểm của AC và BD.
a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’
b) Tính thể tích khối OBB’C’.
c) Tính độ dài đường cao đỉnh C’ của tứ diện OBB’C’.
Lời giải:
a) Gọi thể tích khối hộp chữ nhật là V.
Ta có : V  AB. AD.AA '

 a 3.a2  a3 3
ABD có : DB  AB 2  AD 2  2a
.
* Khối chóp OA’B’C’D’ có đáy và đường cao
giống khối hộp nên:

1
a3 3
VOA' B'C ' D'  V 
3
3

b) M là trung điểm BC  OM  ( BB ' C ')

u cầu:
+Học
sinh
xác
định
cơng

thức
thể
tích của khối
1
1 a a 3 a 3
VOBB'C '  SBB'C ' .OM  . .

hộp và khối chóp.
3
3 2 2
12
+Biết khai thác tính chất của hình hộp đứng để
c) Gọi C’H là đường cao đỉnh C’ của tứ diện làm bài: Chọn đáy của khối OBB’C’ là
3V
(BB’C’) (thuộc mặt bên hình hộp)
OBB’C’. Ta có : C ' H  OBB 'C '
SOBB '
+Giải được câu b) tương tự như bài 1b
2

3

ABD có : DB  AB 2  AD 2  2a
1
 SOBB '  a 2  C ' H  2a 3
2
Bài 6. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh bằng a. Tính thể tích khối tứ diện
ACB’D’.

20

Lời giải:
Hình lập phương được chia thành: khối ACB’D’ và
bốn khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’.
+ Các khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’
có diện tích và chiều cao bằng nhau nên có cùng
thể tích.
1 1
1
Khối CB’D’C’ có V1  . a 2 .a  a 3
3 2
6
+ Khối lập phương có thể tích:
V2  a 3
Yêu cầu:
1 3 1 3
3
+Học sinh biết chọn đáy và chiều cao đối
 VACB ' D '  a  4. a  a
6
3
với khối nhỏ đang tính
Bài 7. Cho hình lăng trụ đứng tam giác có các cạnh bằng a.
a) Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC.
b) E là trung điểm cạnh AC,mp(A’B’E) cắt BC tại F. Tính thể tích khối CA’B’FE
Lời giải:
a) Khối A’B’ BC:
Gọi I là trung điểm AB, Ta có:

1
VA ' B ' BC  S A ' B ' B .CI
3
1 a 2 a 3 a3 3

.

3 2 2
12
b)Khối CA’B’FE: phân ra hai khối CEFA’ và
CFA’B’.
+Khối A’CEFcó đáy là CEF, đường cao A’A nên

1
VA 'CEF  SCEF . A ' A
3
1
a2 3
a3 3
SCEF  S ABC 
 VA 'CEF 
4
16
48
+Gọi J là trung điểm B’C’. Ta có khối A’B’CF có
đáy là CFB’, đường cao JA’ nên

1
VA ' B 'CF  SCFB' . A ' J
3

 V A ' B ' CF
+ Vậy :

; SCFB' 

1
a2
SCBB ' 
2
4

1 a 2 a 3 a3 3


3 4 2
24

VCA'B'FE

a3 3

16

Yêu
cầu:
+ Học sinh
biết
cách
tính khối A’B’
BC

+Biết phân khối chóp CA’B’FE thành hai
khối chóp
tam giác.
+ Biết được đường thẳng nào vng góc
với mp(CEF), ghi cơng thức thể tích cho
khối CEFA’.
+ Tương tự cho khối CFA’B’

Bài 8. Đáy của lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ là tam giác đều . Mặt (A’BC) tạo với đáy
một góc 300 và diện tích tam giác A’BC bằng 8. Tính thể tích khối lăng trụ.

21


C'

A'

B'

A

C
30
I
B

Lời giải.
Giả sử BI = x  AI 

2x 3
x 3
2

 AI  BC
Ta có 
 A' IA  30 0
 A' I  BC
2 AI 2 x 3
A' AI : A' I  AI : cos 30 0 

 2x
3
3
3
x
A’A = AI.tan 300 = x 3.
3
Vậy VABC.A’B’C’ = CI.AI.A’A = x3 3
Mà SA’BC = BI.A’I = x.2x = 8  x  2
Do đó VABC.A’B’C’ = 8 3
D'

C'

A'

B'

D

C

N
A

H
M

B

Bài 9 : Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình chữ nhật với AB = 3 , AD = 7 . Hai
mặt bên (ABB’A’) và (ADD’A’) lần lượt tạo với đáy những góc 450 và 600. Tính thể tích khối
lăng trụ đó nếu biết cạnh bên bằng 1.
Lời giải.
Kẻ A’H  ( ABCD) , HM  AB, HN  AD
 A' M  AB, A' N  AD (định lý 3 đường vng
góc)   A' MH  45 0 , A' NH  60 0
2x
Đặt A’H = x . Khi đó A’N = x : sin 600 =
3
AN =

AA' 2  A' N 2 

3  4x 2
 HM
3

Mà HM = x.cot 450 = x

Nghĩa là x =

3  4x 2
x
3

3
7

3
3
7
Bài 10: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC là tam giác vuông tại A, AC = a, BC = 2a
và AA’ = 3a. Tính thể tích của lăng trụ
B'
HD: * Đường cao lăng trụ là AA’ = 3a
’
* Tính: VABC.ABC = Bh = SABC .AA
Vậy VABCD.A’B’C’D’ = AB.AD.x =

3. 7 .

1
AB.AC (biết AC = a)
2
* Tính AB: Trong  V ABC tại A, ta có:
* Tính: SABC =

A'

3a
2a

AB2 = BC2 – AC2 = 4a2 – a2 = 3a2
ĐS: VABC.ABC

C'

B

3a3 3
=
2

C
a



A

Bài 11: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy là hình thoi cạnh a, góc A = 600.
Chân đường vng góc hạ từ B’ xuống đáy ABCD trùng với giao điểm
hai đường chéo của đáy. Cho BB’ = a.
a) Tính góc giữa cạnh bên và đáy
b) Tính thể tích hình hộp

22

HD: a) Gọi O là giao điểm của 2 đướng chéo AC và
BD
* B’O  (ABCD) (gt)
* Góc giữa cạnh bên BB’ và đáy (ABCD) là  =


BO
B


BO : Trong  V BB’O tại O, ta có:
* Tính  = B
cos  =

D'

C'
B'

A'

OB OB
=
BB
a

a



D

+  ABD đều cạnh a (vì A = 600 và AB = a)
 DB = a

C

60

O

A

 OB =



a

1
a
1
DB = . Suy ra: cos  =   = 600
2
2
2

B

a2 3 a2 3

b) * Đáy ABCD là tổng của 2  đều ABD và BDC  SABCD = 2.
=
4
2
2
a 3 ’
* VABCD.ABCD = Bh = SABCD .B’O =
.B O
2
a 3
3a3
’
’
’
* Tính B O: B O =
(vì  B BO là nửa tam giác đều) ĐS:
2
4
Dạng 3: Tính thể tích các khối trịn xoay
Bài 12: Trong khơng gian cho tam giác vng OAB tại O có OA = 4, OB = 3. Khi quay tam
giác vuông OAB quanh cạnh góc vng OA thì đường gấp khúc OAB tạo thành một hình nón
trịn xoay.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
HD:
A
a) * Sxq =  Rl =  .OB.AB = 15 
Tính: AB = 5 (   AOB tại O)
* Stp = Sxq + Sđáy = 15  + 9  = 24 
b) V =

=12 

1 2
1
1
R h = .OB2 .OA = .32.4 =
3
3
3

4

O

B

3

Bài 13: Một hình nón có thiết diện qua trục là một tam giác đều cạnh 2a.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
HD:
a) * Sxq =  Rl =  .OB.SB = 2  a2
* Stp = Sxq + Sđáy = 2  a2 +  a2 = 23  a2
b) V =

S

1 2
1

R h = .OB2 .SO =
3
3
2a

23
A

O

B


1 2
a3 3
.a .a 3 
3
3
2a 3
 a 3 (vì SO là đường cao của
Tính: SO =
2
 SAB đều cạnh 2a)
Bài 14: Một hình nón có chiều cao bằng a và thiết diện qua trục là tam giác vng.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình nón
b) Tính thể tích của khối nón
HD: a) * Thiết diện qua trục là tam giác vuông cân




tại S nên A = B = 450
* Sxq =  Rl =  .OA.SA =  a2 2

S

Tính: SA = a 2 ; OA = a (   SOA tại O)
* Stp = Sxq + Sđáy =  a2 2 +  a2 = (1 +

2 )  a2
1 2
1
R h = .OA 2 .SO =
3
3
3
1 2
a
.a .a 
3
3
b) V =

A

45

B

O

Bài 15: Một hình trụ có bán kính đáy bằng R và thiết diện qua trục là một hình vng.Tính
diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ.Tính thể tích của khối trụ.
HD:
* Sxq = 2  Rl = 2  .OA.AA’ = 2  .R.2R = 4  R2
B
* OA =R; AA’ = 2R
O
* Stp = Sxq + 2Sđáy = 4  R2 +  R2 = 5  R2
A
2
2
2
3
* V = R h = .OA .OO = .R .2R  2R
l

h

Bài 16: Một hình trụ có bán kính đáy r = 5cm và khoảng cách giữa hai đáy bằng 7cm.
a) Tính diện tích xung quanh và diện tích tồn phần của hình trụ
B'
b) Tính thể tích của khối trụ
O'
A'
c) Cắt khối trụ bởi một mặt phẳng song song với trục và cách trụ 3cm. Hãy tính diện tích
của thiết diện được tạo nên
HD:
a) * Sxq = 2  Rl = 2  .OA.AA’ = 2  .5.7 =
70  (cm2)

B
* OA = 5cm; AA’ = 7cm
O
* Stp = Sxq + 2Sđáy = 70  + 50  =
I
r
=120  (cm2)
A
2
2
b) * V = R h = .OA .OO =  .52.7 =
l
= 175  (cm3)
h
c) Gọi I là trung điểm của AB  OI = 3cm
* SABBA = AB.AA’ = 8.7 = 56 (cm2) (hình chữ
O'
B'
nhật)
* AA’ = 7 * Tính: AB = 2AI = 2.4 = 8

24

A'


* Tính: AI = 4(cm) (   OAI tại I)
Bài 17: Cho tứ diện ABCD có DA = 5a và vng góc với mp(ABC),  ABC vng tại B và
AB = 3a, BC = 4a.
a) Xác định mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D

b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu
D
HD:
a) * Gọi O là trung điểm của CD.
* Chứng minh: OA = OB = OC = OD;
* Chứng minh:  DAC vuông tại A
O

 OA = OC = OD =

1
CD
2

(T/c: Trong tam giác vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền
bằng nửa cạnh ấy)
* Chứng minh:  DBC vuông tại B  OB =

C

A

1
1
CD * OA = OB = OC = OD = CD
B  A, B, C, D
2
2

CD

)
2
CD 1
1
AD 2  AC2 =
AD 2  AB2  BC2 =
b) * Bán kính R =
=
2
2
2
1
5a 2
=
25a2  9a2  16a2 
2
2
2
3
 5a 2 


4
4
5
a
2
125 2a3
2
3

* S = 4 
  50a ; * V =  R =  
 
2
3
3
2
3




thuộc mặt cầu S(O;

Bài 18: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a.
a) Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S
b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu
HD:
a) Gọi O là tâm hình vng (đáy). Chứng minh: OA
= OB = OC = OD = OS

a 2
a3  2
2
b) R = OA =
; S = 2a  ; V =
2
3
Bài 19: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hính vng cạnh bằng a. SA = 2a và vng
góc với mp(ABCD).

a) Xác định mặt cầu đi qua 5 điểm A, B, C, D, S
b) Tính bán kính của mặt cầu nói trên. Tính diện tích và thể tích của mặt cầu
HD:
* Gọi I là trung điểm AB. Kẻ  vng góc với mp(SAB) tại I
* Dựng mp trung trực của SC cắt  tại O  OC = OS (1)
C
* I là tâm đường tròn ngoại tiếp  SAB (vì  SAB vng tại S)
 OA = OB = OS (2)
* Từ (1) và (2)  OA = OB = OC = OS
Vậy: A, B, C, S thuộc S(O; OA)
c

25

O
S

B

b
a

I