Đề thi học sinh giỏi vòng trường

Phòng GD&ĐT Thanh Sơn
Trờng THCS Lê Quý Đôn
Đề thi chọn Học sinh giỏi vòng trờng
năm học 2010- 2011
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút Không kể thời gian giao đề)
Câu 1(4 điểm): Tìm x, y, z nguyên dơng thoả mãn
x
4
+ y
4
+ z
4
= 2009
Câu 2(3 điểm): Cho các số thực
1 2 2010
; ; ...;a a a
thỏa mãn
1 2 2010
... 1a a a+ + + =
.
Chứng minh rằng.
2 2 2
1 2 2010
1
...
2010
a a a+ + +
Câu 3(3 điểm):
Cho phơng trình
( )

( )
2
2 1 2
2 2
x + x - 2 x m x m = 0

+

Tìm điều kiện của m để phơng trình trên có 4 nghiệm phân biệt.
Câu 4(2 điểm): Gọi a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và h
a
, h
b
, h
c
là các
chiều cao tơng ứng. Gọi S, r lần lợt là diện tích và bán kính đờng tròn nội tiếp tam
giác. Chứng minh:
a) S = pr
b)
1 1 1 1
a b c
h h h r
+ + =
Câu 5(4 điểm): Cho đờng tròn tâm O và hai điểm B, C thuộc đờng tròn. Các tiếp
tuyến với đờngtròn tại B và C cắt nhau tại A. M là điểm thuộc cung nhỏ BC. Tiếp
tuyến với đờng tròn tại M cắt AB, AC thứ tự tại D, E. Gọi giao điểm của OD, OE với
BC theo thứ tự ở I, K. Chứng minh:
a) Các tứ giác OBDK và DIKE nội tiếp.
b) Các đờng thẳng OM, DK, EI đồng quy.

Câu 6(4 Điểm):
Giả sử
1 2
x , x
là nghiệm của phơng trình
( )
2
2
1
x px 0 p 0
p
+ + =
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
4 4
1 2
x x+
.
-----------------------Hết------------------
Họ tên thí sinh:.................................................................................SBD:.................
( Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)
Phòng GD&ĐT Thanh Sơn
Trờng THCS Lê Quý Đôn
đáp án thi chọn HSG vòng trờng
năm học 2010- 2011
Môn: Toán
Câu 1(4 điểm): Tìm x, y, z nguyên dơng thoả mãn
x
4
+ y

4
+ z
4
= 2009
Phần Nội dung Điểm
Chứng minh bổ đề: a
4
chia 5 có d là một trong các số 0; 1( Với a là số
nguyên)
Thật vậy, khi chia a cho 5 ta có các khả năng
a = 5k; a =5k

1 ; a = 5k

2 (k là số nguyên)
Nếu a = 5k => a
4


M
5
Nếu a = 5k

1 => a
4


: 5 d 1
Nếu a = 5k

2 => a
4


: 5 d 1
Vậy bổ đề đợc chứng minh.
0,5
0,5
0,5
0,5
Giả sử pt đã cho có nghiệm nguyên (x, y, z).
áp dụng kết quả bổ đề ta có:
x
4
: 5 d 0 hoặc 1; y
4
: 5 d 0 hoặc 1; z
4
: 5 d 0 hoặc 1;
Nên x
4
+ y
4
+ z
4
: 5 d chỉ có thể là 0; 1; 2; 3
Nhng 2009: 5 d 4
Vậy phơng trình đã cho không có nghiệm nguyên.
0,5
0,5

0,5
0,5
Cách
khác
Chứng minh bổ đề: a
4
chia 7 có d là một trong các số 0; 1; 2; 4
(Với a là số nguyên)
Giả sử pt đã cho có nghiệm nguyên (x, y, z). Ta có
x
4
+ y
4
+ z
4
= 2009 (1)
VP = 2009
M
7 => VT = x
4
+ y
4
+ z
4

M
7, áp dụng bổ đề trên
x, y, z cùng chia hết cho 7 => x = 7m; y = 7n; z = 7p, thay vào (1)
suy ra 7
4

(m
4
+ n
4
+ p
4
) = 2009 => 2009
M
7
4
=> 2009
M
2401 (vô lý).
Vậy phơng trình đã cho không có nghiệm nguyên.
1
1
1
1
Câu2(4 Điểm):
Giả sử
1 2
x , x
là nghiệm của phơng trình
( )
2
2
1
x px 0 p 0
p
+ + =

.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
4 4
1 2
x x+
.
Phần Nội dung Điểm
Điều kiện để pt có nghiệm:
2 4
2
2
p 0 p 4 0 p 2
p
=



2
2
p
p




Với điều kiện
p 2
phơng trình đã cho có hai nghiệm là x
1
, x

2
. Theo định
lí Viet ta có
1 2
x x p+ =
;
1 2
2
1
x x
p
=
.
Do đó
( ) ( )
2
2
2 2
4 4 2 2 2 2 2 2 2 4
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 4 4
2 2 2
x x x x 2x x x x 2x x 2x x p p 4
p p p


+ = + = + = = +
ữ

Lại có
( )
4
4 4 4
4
4 4 4
7 2
2 p 2 7p p 2 7 1
p 4 4 2 . 4 1 4
p 8 p 8 8 p 8 2 2

+ = + + + = + =
ữ

.
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
p 2=
(thỏa mãn điều kiện phơng
1
1
0,5
1
=> x
4
+ y
4
+ z
4
2009

a
c
b
r
r
r
I
B
C
A
trình có nghiệm). Do đó
( )
4 4
1 2
min
1
x x
2
+ =
<=>
p 2=
0,5
Câu 3(3 điểm):
Tìm m để phơng trình
( )
( )
2
2 1 2
2 2
x + x - 2 x m x m = 0

+

có 4 nghiệm phân biệt.
Phần Nội dung Điểm
Phơng trình
( )
( ) ( )
2 2 2
x + x - 2 x 2 m 1 x m 2 = 0 *

+

tơng đơng với
( )
( ) ( )
2
2 2
x + x - 2 = 0 1
x - 2 m -1 x + m - 2 = 0 2




Phơng trình (1) có hai nghiệm nghiệm phân biệt là 1 và -2 nên phơng trình
(*) có 4 nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phơng trình (2) có hai nghiệm phân
biệt khác 1 và khác -2.
Do đó ta phải có hệ
( )
( )

( )
( )

= >


+


+


2
/ 2
2
2
m 1 m 2 0
1 2 m 1 m 2 0
4 4 m 1 m 2 0+
2
2
2m 3 0
m 1,5
m 2m 1 0 m 1
m 4m 2 0
m 2 6
+ >


<

+


+



Vậy: Với
m 1,5; m 1; m 2 6<
phơng trình dã cho có 4 nghiệm
phân biệt.
1
0,5
1
0,5
Câu 4(2 điểm): Gọi a, b, c là ba cạnh của một tam giác và h
a
, h
b
, h
c
là các chiều cao t-
ơng ứng. Gọi S, r lần lợt là diện tích và bán kính đờng tròn nội tiếp tam giác. Chứng
minh rằng: a) S = pr b)
1 1 1 1
a b c
h h h r
+ + =

Phần Nội dung Điểm
a
Giả sử tam giác ABC có BC = a; AC = b; AB = c
I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC => I nằm trong
tam giác ABC.
=> S = S
AIB
+ S
BIC
+ S
AIC
=
1
2
r.a +
1
2
r.b +
1
2
r.c =
1
2
r(a + b + c) = p.r
0,5
+
0,5
b
S =
1

2
h
a
.a =
1
2
h
b
.b =
1
2
h
c
.c = p.r
=>
1 1 1 2 2 1
2 2 2 2 2 2
a b c
a b c a b c p p
h h h S S S S S pr r
+ +
+ + = + + = = = =
(Đpcm)
0,5
0,5
Câu 5(4 điểm): Cho đờng tròn tâm O và hai điểm B, C thuộc đờng tròn. Các tiếp tuyến
với đờngtròn tại B và C cắt nhau tại A. M là điểm thuộc cung nhỏ BC. Tiếp tuyến với đ-
ờng tròn tại M cắt AB, AC thứ tự tại D, E. Gọi giao điểm của OD, OE với BC theo thứ
tự ở I, K. Chứng minh:
a) Các tứ giác OBDK và DIKE nội tiếp.

b) Các đờng thẳng OM, DK, EI đồng quy.
Phần Nội dung Điểm
K
I
O
A
B
C
D
E
M
a
ã
ã
ẳ
1
DBK = DOE = SdBMC
2
=> Tứ giác OBDK nội tiếp ( Theo quỹ tích
cung chứa góc)
=>
ã
ã
0
180DBO DKO+ =
=>
ã
0
90DKO =
và

ã
0
90DKE =
Chứng minh tơng tự
ã
0
90DIE =
=> DIKE nội tiếp đơng tròn đờng kính DE
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
0,5
b
Theo câu a) EI và; DK là các đờng cao của

DOE; OM cũng là đờng
cao của

DOE
=> Các đờng thẳng OM, DK, EI đồng quy tại một điểm.
0,5
0,5
Câu 6(3 điểm): Cho
1 2 2010
... 1a a a+ + + =
. Chứng minh rằng.
2 2 2
1 2 2010

1
...
2010
a a a+ + +
Phần Nội dung Điểm
Đặt
1 1 2 2 2010 2010
1 1 1
; ;...;
2010 2010 2010
a x a x a x= + = + = +
(1)
0.5
Suy ra :
2 2
1 1 1
2
1 1
2 .
2010 2010
a x x= + +
2 2
2 2 2
2
1 1
2 .
2010 2010
a x x= + +
(2)
.

.
.
2 2
2010 2010 2010
2
1 1
2 .
2010 2010
a x x= + +
0.5
0.5
Cộng từng vế các đẳng thức ở (1), kết hợp với giả thiết ta có :
1 2 2010
... 0x x x+ + + =
0.5
Cộng từng vế của các đẳng thức ở (2) ta có :
2 2 2
1 2 2010
...a a a+ + + =
2 2 2
1 2 2010
1
...
2010
x x x+ + + +
1
2010

0.5
Vậy :

2 2 2
1 2 2010
1
...
2010
a a a+ + +
(đpcm). Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi:
1 2 2010
1
...
2010
a a a= = = =
0.5
Cách
khác
áp dụng BĐT Bu_nhia_côpxki ta có
(
1 2 2010
...a a a+ + +
)
2


(
2 2 2
1 2 2010
...a a a+ + +
)(1
2
+ 1

2
+ ... + 1
2
)
= (
2 2 2
1 2 2010
...a a a+ + +
).2010
=> 1
2


(
2 2 2
1 2 2010
...a a a+ + +
).2010
=> Đpcm. Dấu "=" xảy ra <=>
1 2 2010
1
...
2010
a a a= = = =
1
1
0,5
0,5