ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

SỞ GD-ĐT BẮC NINH
TRƯỜNG THPT QUẾ VÕ SỐ 1
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN CẤP TRƯỜNG LẦN 1
Thời gian : 150 phút
---------------------------------------------------
Câu 1 .( 2 điểm )
Cho hàm số :
2
y x 4x 3= − +
a. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
b. Tìm m để phương trình
2
x 4x 3 m
− + =
có 4 nghiệm phân biệt
Câu 2 .( 2 điểm )
a. Giải phương trình :
2
x 3x 2 2x 2
− + = −
b. Tìm m để phương trình
3m 1
x 6 x 9 m x 2 x 9 8 x
2
+
+ − + + − − = +

có hai nghiệm
1 2
x ,x
sao cho

1 2
x 10 x< <

Câu 3. ( 3 điểm )
1. Cho tam giác ABC có A(0;1), B(1;0) , C(5;4)
a. Chứng minh tam giác ABC vuông
b. Gọi I là giao điểm của trung tuyến AM và phân giác trong BN .
Tìm tọa độ điểm I
2. Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn tâm O , điểm D là trung điểm của
AB , E là trọng tâm tam giác ACD . Chứng minh rằng :
CD OE
⊥
Câu 4 . ( 2 điểm )
Cho hệ phương trình :
( )
2 2
2
x y 2x 2y 2m
x y 2 4

+ − − =


+ − =


a. Giải hệ khi m=4
b. Tìm m để hệ có đúng hai nghiệm phân biệt
Câu 5 . ( 1 điểm )
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn : ab+bc+ca=3 . Chứng minh rằng :

( ) ( ) ( )
2 2 2
1 1 1 1
1 a b c 1 b c a 1 c a b abc
+ + ≤
+ + + + + +
ĐÁP ÁN
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
X
Y
Đáp án Thang điểm
Câu 1
a, +TXĐ, tính đồng biến nghịch biến ,Bảng biến thiên
+Đồ thị đúng đẹp
b, +Lập luận để vẽ và vẽ đúng đồ thị hàm
2
y x 4x 3
= − +
+Từ đồ thị suy ra để PT có 4 nghiệm phân biệt
thì : 0<m<1
Câu 2
a, PT

2 2 2
x 1 x 1
x 3x 2 4x 8x 4 3x 5x 2 0
≥ ≥
 
⇔ ⇔
 
− + = − + − + =
 

x 1
x 1
x 1
2
x
3
≥


 =

⇔ ⇔ =




=




b, PT
( )
3m 1
x 9 3 m x 9 1 x
2
+
⇔ − + + − + = +
đặt
t x 9,t 0
= − ≥
PT trở thành :
( ) ( )
2 2
3m 1
t 3 m t 1 t 9 2t 2 m 1 t m 13 0
2
+
+ + + = + + ⇔ − + + + =
(1)
PT ban đầu có nghiệm
1 2
x 10 x< <

⇔
(1) có nghiệm
( ) ( )
1 2 1 2
1 2
' 0
0 t 1 t t 1 t 1 0

t t 0
∆ >


≤ < < ⇔ − − <


+ >


( ) ( )
2
2
m 1 2 m 13 0
m 25 0
m 13
m 1 1 0 13 m 0 m 13
2
m 1
m 1 0

+ − + >


− >
+


⇔ − − + < ⇔ − < ⇔ >
 

 
> −

+ >


0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
Câu 3
1.a, Ta có
( ) ( )
AB 1; 1 ;BC 4;4= − =
uuur uuur


AB.BC 0 AB BC= ⇒ ⊥ ⇒
uuur uuur
tam giác ABC vuông tại B

b, Theo tính chất của phân giác trong ta có :

2
2
2 2

= = ⇒ = −
IA AB
IM IA
IM BM
uuur uur

Từ đó , tính được tọa độ của I là
4
1;
3
 
 ÷
 
2.Gọi M là trung điểm của AC
Vì E là trọng tâm tam giác ACD nên
3OE OA OC OD 2OM OD= + + = +
uuur uuur uuur uuur uuuur uuur
D là trung điểm của AB nên
2CD CA CB= +
uuur uuur uuur
Vì (O) ngoại tiếp
ABC
∆
nên
OD AB;OM AC⊥ ⊥
,
ABC
∆
cân nên OD=OM
Do đó ,

( ) ( )
OD OM DM mà DM//BC OD OM BC+ ⊥ ⇒ + ⊥
uuur uuuur uuuur uuur uuuur uuur
Ta có :
( ) ( )
3OE.2CD OA OC OD CA CB= + + +
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
( ) ( ) ( )
2OM OD CA CB 2OM.CB OD CA CB= + + = + +
uuuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur uuur
( )
2OM.CB OD 2CB BA 2OM.CB 2OD.CB= + + = +
uuuur uuur uuur uuur uuur uuuur uuur uuur uuur
( )
2 OM OD CB 0= + =
uuuur uuur uuur r
Câu 4. HPT
( ) ( )
( ) ( )
2 2
2
x 1 y 1 2m 2
x 1 y 1 4

− + − = +

⇔

 
− + − =


 

đặt
a x 1;b y 1= − = −
ta được

( )
( )
( )
( )
2 2
2
a b 2 1
a b 2m 2
a b 2 2
a b 4
ab 1 m 3


+ =

+ = +


 
⇔ + = −
 



+ =



= −


(*)
a, Khi m=4 ta có
a b 2 a b 2
ab 3 ab 3
+ = + = −
 
∨
 
= − = −
 


( ) ( ) ( ) ( ) ( )
{ }
a;b 1; 3 , 3;1 , 1;3 , 3; 1⇔ ∈ − − − −
Từ đó ra các nghiệm của hệ ban đầu : (2;-2),(-2;2),(0;4),(4;0)
(Lưu ý : nếu thí sinh thay m vào luôn HPT thì câu a vẫn tính 1 điểm )
b, ĐK cần :Ta có hệ ban đầu có nghiệm
⇔
hệ (*) có nghiệm;
0,5 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm

0,5 điểm
0,5 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,5 điểm
0,5 điểm
Số nghiệm của hệ đầu cũng là số nghiệm của (*).
Nếu (a
0
,b
0
) là nghiệm của (*) ( dễ thấy a
0
≠-b
0
) thì (-a
0
;-b
0
),(b
0
;a
0
),(-b
0
;-a
0

) , do đó để
hệ có đúng 2 nghiệm phân biệt thì : a=b
Thay vào (*) ta được m=0
ĐK đủ :với m=0 dễ dàng kiểm tra thấy thỏa mãn
Lưu ý : Có thể giải bằng việc thế (1) , (2) vào (3) ra PT

( )
( )
2
2
a 2a 1 m 0 4
a 2a 1 m 0 5
− + − =
+ + − =
Từ đó , dẫn đến hệ có 2 nghiệm phân biệt khi : (4) và (5) có nghiệm kép hoặc
(4) có 2 no p/b, (5) vô no hoặc (4) vô no , (5) có 2 no pb
Câu 5
Từ giả thiết
3
2 2 2
3 3 1ab bc ca a b c abc= + + ≥ ⇒ ≤
Nên ta có :
( ) ( ) ( )
2 2
1 1 1 1
1 a b c abc a b c a ab bc ca 3a
≤ = =
+ + + + + +
Tương tự
( ) ( )

2 2
1 1 1 1
;
1 b c a 3b 1 c a b 3c
≤ ≤
+ + + +
Cộng vế với vế các BĐT ta được điều phải CM
Dấu bằng xảy ra
⇔
a=b=c=1
0,5 điểm
0,25 điểm
0,25 điểm
0,5 điểm
0,25 điểm