CĐ PT,BPT MŨ LOGARÍT

KiÕn thøc c¬ b¶n
I .Hàm số mũ
• y=a
x
; TXĐ D=R
• Bảng biến thiên
a>1 0<a<1
x
−∞ 0 +∞
x
−∞ 0 +∞
y
+∞
1
−∞
y
+∞
1
−∞
• Đồ thị
f(x)=3^x
-17 -16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1
-15
-14
-13
-12
-11
-10
-9
-8
-7

-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
y=3
x
f(x)=(1 /3)^x
-16 -15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-15
-14
-13
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1

1
2
3
x
y
x
y






=
3
1
II .Hàm số lgarit
• y=log
a
x, ĐK:



≠<
>
10
0
a
x
; D=(0;+∞)

• Bảng biến thiên
a>1 0<a<1
x
0 0 +∞
x
0 0 +∞
y
+∞
1
−∞
y
+∞
1
−∞
• Đồ thị
f(x) =ln(x)/ ln(3)
f(x) =3^x
f(x) =x
-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-15
-14
-13
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6
-5

-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
y=x
y=3
x
y=log
3
x
f(x)=ln(x)/ln(1/3 )
f(x)=(1/3)^x
f(x)=x
-15 -14 -13 -12 -11 -10 -9 -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-15
-14
-13
-12
-11
-10
-9
-8
-7
-6

-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
x
y






=
3
1
xy
3
1
log
=
y=x
III.Các công thức
1. Công thức lũy thừa :

Với a>0, b>0; m, n∈R ta có:
a
n
a
m
=a
n+m
;
mn
m
n
a
a
a
−
=
;(
n
a
1
=a
−
m
; a
0
=1; a
−
1
=
a

1
);
(a
n
)
m
=a
nm
; (ab)
n
=a
n
b
n
;
m
n
n
b
a
b
a
=






;

n m
n
m
aa
=
.
2. Công thức logarit : log
a
b=c⇔a
c
=b (0<a≠1; b>0)
Với 0<a≠1, 0<b≠1; x, x
1
, x
2
>0;
α
∈R ta có:
1
log
a
(x
1
x
2
)=log
a
x
1
+log

a
x
2
; log
a
2
1
x
x
= log
a
x
1
−log
a
x
2
;
xa
x
a
=
log
; log
a
x
α
=
α
log

a
x;
xx
a
a
log
1
log
α
α
=
;(log
a
a
x
=x); log
a
x=
a
x
b
b
log
log
;(log
a
b=
a
b
log

1
)
log
b
a.log
a
x=log
b
x; a
log
b
x
=x
log
b
a
.
IV.Phương trình và bất phương trình mũ−logarit
1. Phương trình mũ−logarit
a. Phương trình mũ :
4Đưa về cùng cơ số
+0<a≠1: a
f(x)
=a
g(x)
(1) ⇔ f(x)=g(x).
+ 0<a≠1: a
f(x)
=b ⇔
( )




=
>
bxf
b
a
log
0
.
Chú ý: Nếu a chứa biến thì (1) ⇔(a−1)[f(x)−g(x)]=0
4Đặt ẩn phụ: Ta có thể đặt t=a
x
(t>0), để đưa về một phương trình đại số..
Lưu ý những cặp số nghịch đảo như: (2
3
±
), (7
4 3
±
),… Nếu trong một phương trình có chứa {a
2x
;b
2x
;a
x
b
x
} ta có

thể chia hai vế cho b
2x
(hoặc a
2x
) rồi đặt t=(a/b)
x
(hoặc t=(b/a)
x
.
4Phương pháp logarit hóa: a
f(x)
=b
g(x)
⇔ f(x).log
c
a=g(x).log
c
b,với a,b>0; 0<c≠1.
b. P hương trình logarit :
4Đưa về cùng cơ số:
+log
a
f(x)=g(x)⇔
( )
( )



=
≠<

xg
axf
a 10
+log
a
f(x)= log
a
g(x)⇔
( ) ( )
[ ]
( ) ( )





=
>>
≠<
xgxf
xgxf
a
00
10
.
4Đặt ẩn phụ.
2. Bất phương trình mũ−logarit
a. Bất phương trình mũ :
4 a
f(x)

>a
g(x)
⇔
( ) ( ) ( )
[ ]



>−−
>
01
0
xgxfa
a
; 4 a
f(x)
≥a
g(x)
⇔
( ) ( ) ( )
[ ]



≥−−
>
01
0
xgxfa
a

.
Đặt biệt:
* Nếu a>1 thì: a
f(x)
>a
g(x)
⇔ f(x)>g(x);
a
f(x)
≥a
g(x)
⇔ f(x)≥g(x).
* Nếu 0<a<1 thì: a
f(x)
>a
g(x)
⇔ f(x)<g(x);
a
f(x)
≥a
g(x)
⇔ f(x)≤g(x).
b. Bất phương trình logarit :
4log
a
f(x)>log
a
g(x)⇔
( ) ( )
( ) ( ) ( )

[ ]





>−−
>>
≠<
01
0,0
10
xgxfa
xgxf
a
; 4log
a
f(x)≥log
a
g(x)⇔
( ) ( )
( ) ( ) ( )
[ ]





≥−−
>>

≠<
01
0,0
10
xgxfa
xgxf
a
.
Đặt biệt:
2
+ Nếu a>1 thì: log
a
f(x)>log
a
g(x) ⇔
( ) ( )
( )



>
>
0xg
xgxf
;
+ Nếu 0<a<1 thì: log
a
f(x)>log
a
g(x) ⇔

( ) ( )
( )



>
<
0xf
xgxf
.
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH−BẤT PHƯƠNG TRÌNH−HỆ
PHƯƠNG TRÌNH MŨ-LOGARIT
I. Biến đổi thành tích
Ví dụ 1: Giải phương trình:
( )
( )
2 2 2
2 2
2 4.2 2 4 0 2 1 . 2 4 0
x x x x x x x x+ − −
− − + = ⇔ − − =
.
Nhận xét: Mặc dù cùng cơ số 2 nhưng không thể biến đổi để đặt được ẩn phụ do đó ta phải phân tích thành tích:
( )
( )
2
2
2 1 . 2 4 0
x x x−
− − =

. Đây là phương trình tích đã biết cách giải.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
( )
( )
2
9 3 3
2 log log .log 2 1 1x x x
= + −
.
Nhận xét: Tương tự như trên ta phải biến đổi phương trình thành tích:
( )
3 3 3
log 2log 2 1 1 .log 0x x x
 
− + − =
 
.
Đây là phương trình tích đã biết cách giải.
Tổng quát: Trong nhiều trường hợp cùng cơ số nhưng không thể biến đổi để đặt ẩn phụ được thì ta biến đổi thành
tích.
II. Đặt ẩn phụ-hệ số vẫn chứa ẩn
Ví dụ 1: Giải phương trình:
9 2( 2)3 2 5 0
x x
x x
+ − + − =
. Đặt t = 3
x
(*), khi đó ta có:
( )

2
2 2 2 5 0 1, 5 2t x t x t t x+ − + − = ⇒ = − = −
. Thay vào (*) ta tìm được x.
Lưu ý: Phương pháp này chỉ sử dụng khi ∆ là số chính phương.
Ví dụ 2: Giải phương trình:
( ) ( ) ( )
2
3 3
log 1 5 log 1 2 6 0x x x x+ + − + − + =
. Đặt t = log
3
(x+1), ta có:
( )
2
5 2 6 0 2, 3t x t x t t x+ − − + = ⇒ = = −
⇒ x = 8 và x = 2.
III. Phương pháp hàm số
Các tính chất:
Tính chất 1: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=k (k∈R) có không quá một nghiệm
trong khoảng (a;b).
Tính chất 2: Nếu hàm f tăng (hoặc giảm) trên khoảng (a;b) thì ∀u, v ∈(a,b) ta có
( )
( )f u f v u v= ⇔ =
.
Tính chất 3: Nếu hàm f tăng và g là hàm hằng hoặc giảm trong khoảng (a;b) thì phương trình f(x)=g(x) có nhiều
nhất một nghiệm thuộc khoảng (a;b).
Định lý Lagrange: Cho hàm số F(x) liên tục trên đoạn [a;b] và tồn tại F'(x) trên khoảng (a;b) thì
( )
bac ;
∈∃

:
( )
( ) ( )
ab
aFbF
cF
−
−
=
'
. Khi áp dụng giải phương trình nếu có F(b) – F(a) = 0 thì
( ) ( ) ( )
; : ' 0 ' 0c a b F c F x∃ ∈ = ⇔ =
có nghiệm thuộc (a;b).
Định lý Rôn: Nếu hàm số y=f(x) lồi hoặc lõm trên miền D thì phương trình f(x)=0 sẽ không có quá hai nghiệm thuộc
D.
Ví dụ 1: Giải phương trình:
2
log
2.3 3
x
x
+ =
.
3
Hng dn:
2 2
log log
2.3 3 2.3 3
x x

x x
+ = =
, v trỏi l hm ng bin, v phi l hm nghch bin nờn phng trỡnh
cú nghim duy nht x=1.
IV. Mt s bi toỏn (c bit l cỏc bi logarrit) ta th ng phi a v phng trỡnh h phng trỡnh bt
phng trỡnh m ri s dng cỏc phng phỏp trờn.
1.Dng 1: Khỏc c s:
Vớ d: Gii phng trỡnh
7 3
log log ( 2)x x= +
. t t =
7
log 7
t
x x
=
Khi ú phng trỡnh tr thnh:
3
7 1
log ( 7 2) 3 7 2 1 2.
3 3
t
t
t t t
t


= + = + = +
ữ
ữ

.
2.Dng 2: Khỏc c s v biu thc trong du log phc tp
Vớ d 1: Gii phng trỡnh
( )
4
2 2
5
6
log ( 2 2) 2log 2 3x x x x =
.
t t = x
2
2x 3 ta cú
( )
6 5
log 1 logt t+ =
.
Vớ d 2: Gii phng trỡnh
( )
6
log
2 6
log 3 log
x
x x
+ =
. t
6

logt x
=
, phng trỡnh tng ng
3
6 3 2 3 1
2
t
t t t t

+ = + =
ữ

.
3. Dng 3:
( )
log
b
x c
a x
+
=
( iu kin: b = a + c )
Vớ d 1: Gii phng trỡnh
( )
7
log 3
4
x
x
+

=
. t
( )
7
log 3 7 3
t
t x x
= + = +
, phng trỡnh tng ng
4 1
4 7 3 3. 1
7 7
t t
t t

= + =
ữ ữ

.
Vớ d 2: Gii phng trỡnh
( )
42
5log
3
+=
+
x
x
. t t = x+4 phng trỡnh tng ng
( )

t
t
=
+
1log
3
2
Vớ d 3: Gii phng trỡnh
( )
( )
( )
3 3
log 1 log 1
4 1 2 0
x x
x x
+ +
=
.
4. Dng 4:
( )
log
ax b
s
s c dx e x

+
= + + +
, vi
,d ac e bc

= + = +
Ph ng phỏp: t
log ( )
s
ay b dx e
+ = +
ri chuyn v h hai phng trỡnh, ly phng trỡnh hai tr phng trỡnh
mt ta c:
ax b ay b
s acx s acy
+ +
+ = +
. Xột
( )
at b
f t s act
+
= +
.
Vớ d: Gii phng trỡnh
1
7
7 6log (6 5) 1
x
x

= +
. t
( )

7
1 log 6 5y x =
. Khi ú chuyn thnh h
( )
( )
1
1
1 1
1
7
7 6 1 1
7 6 5
7 6 7 6
1 log 6 5
7 6 5
x
x
x y
y
y
y
x y
y x
x

= +
=

+ = +

=
=




. Xột hm s
( )
1
7 6
t
f t t

= +
suy ra x=y, Khi ú:
1
7 6 5 0
x
x

+ =
. Xột hm s
( )
567
1

+=

xxg
x
p dng nh lý Rụn v nhm nghim ta c 2 nghim ca
phng trỡnh l: x = 1, x = 2.
5. Dng 5: t n ph chuyn thnh h phng trỡnh.
Vớ d: Gii phng trỡnh
1 1 1
8 2 18
2 1 2 2 2 2 2
x
x x x x

+ =
+ + + +
HD: Vit phng trỡnh di dng
1 1 1 1
8 1 18
2 1 2 2 2 2 2
x x x x
+ =
+ + + +
, t
1 1
2 1, 2 1. , 0
x x
u v u v

= + = + >

.
Nhn xột: u.v = u + v. T ú ta cú h:
8 1 18
.
u v u v
u v u v

+ =

+


= +


Bài tập
I Giải các ph ơng trình mũ
1)
13
86
2
=
+
xx


x =2 và x=4.
4
2)
xx

=
)
2
25,0
(4.125,0
82


x =
3
38

3) 5
2x-1
+5
x+1
- 250 = 0

x =2
4) 9
x
+ 6
x
= 2.4
x


x =0
5)

43
64
255


=
x
x


x =7/5
6)
22
43
93


=
x
x


x = ?
7) 2
2x-3
- 3.2
x-2
+ 1 = 0

x =1 và x=2

8)
2442
)
2
5
()
5
2
(

=
xx


x =1
9)
033.43
24
=+
xx


x =0 và x=
4
1

10) 5
2x
- 7
x

- 5
2x
.35 + 7
x
.35 = 0

x =
2
1


11)
4
410
2
9
2
2
x
x
+
=



x =3
12)
33,0.2
100
3

2
+=
x
x
x


x =
13lg
3lg

13)
x
x
1001,0.1000
=


x =1 và x=
2
1

14)
73
3
1
3 13
82

=
x
x
x
x


x
15) 2
x
.5
x
=0,1(10
x-1
)
5

x =
2
3

16)
363.2
=
xx


x =4

17)
4
2
1
)1(
39
=

xx


x =
2
3
và x=
2
1


18)
431
)
3
4
(
2
1
3
4
.)

4
3
(

=
xx


x =2
19) 3
x
+3
x+1
+3
x+2
=5
x
+5
x+1
+5
x+2

x =
43
31
log
5
3

20) 2

x
+2
x-1
+2
x-2
=7
x
+7
x-1
+7
x-2

x =
343
228
log
7
2

21)
4
4
xx
xx
=


x =1 và x=
3
256

22)
161
42.2
++
=
xx


x =
2
1
23)
4)32()32(
=++
xx


x =?
24)
10)625()625(
=++
xx


x =2 và x=-2
23)
xxx
)22()154()154(
=++

x =2
24)
xxx
)5()23()23(
=++


x =? HvQHQTế:1997
25)
3
2)125(7)215(
+
=++
xxx


x =0 và x=
7log
2
215
+
ĐHQGHN: D
1997
26)
2)625()625(
sinsin
=++
xx

x=

k
với:
Zk

ĐHcần thơ: D
2000
27)
2653
+=+
x
xx


x=0 và x=1 ĐHSPHN: A
2002
28)
21
)1(22
2
=

x
xxx


x=1 ĐHthuỷlợi: A

2002
29)
093.613.73.5
1112
=++
+
xxxx


x=
5
3
log
3
;x=
5log
3

ĐHHồng đức: A
2002
30)
112
323

+=
xx


x=? ĐHDL đông đô: A-D
31)

11
34
2
=
+
xx
x


x=0;x=2;x=3 CĐsp đồng nai: 2002
5
32)
xxx
6242.33.8
+=+


x=1 và x=3 ĐHQGHN: D
2001
33)
x
x
231
2
=+


x=2 ĐHthái Nghuyên: D
2001
34)

022.92
2212
22
=+
+++
xxxx


x=-1;x=2 ĐHthuỷ lợi cơ sở II: 2000
35)
8444)24(2
22
1
+=+
xxxx
x


x=1/2 ĐHmở HN: D
2001
36) 4x
2
+ x.3
x
+ 3
x+1
=2x
2
.3
x

+ 2x + 6

x=-1;x=3/2;
3
3
1; ;log 2
2




37) 4
sinx
-2
1+sinx
.cosxy+
y
2
=0

x=k

;y=o và k

Z
38)
11
2
1
9

++

=
xx
x


x=
2log
3


39)
1
2
12
33
1
2.62
3
=+


x
xx
x


x=1 ĐHyHN: 2001
40)

12122
11
2
+=
++
+
xx
x


x

{ }
[
)

;13

41)
1)1(
34
2
=+
+
xx
x


x

{ }
3;1;0
42)
1313)1(3)4(
1
11
+++=+
+

xx
x
xxx


x

{ }
[ ]
1;01


43)
xx
xx
=


x=1 và x=4
44)
232

14231
=+
++
yxyx


x=0,5 và y=0,5
45)
2 2 4 2 1
3 3 6 7 1 2.3
x x
x x
+ +
+ + = +


x=-1
46)
)32(10
101
)32()32(
1212
22

=++
+
xxxx


x=

)32lg(
)32(10lg
1
+
+


Bi 2: Gii v bin lun phng trỡnh:
a .
( )
2 .2 .2 0
x x
m m m

+ + =
. b .
.3 .3 8
x x
m m

+ =
.
Bi 3: Tỡm m sao cho phng trỡnh sau cú nghim:
( 4).9 2( 2).3 1 0
x x
m m m
+ =
.
II: Gii cỏc phng trỡnh logarit
1)

3loglog
2
9log
222
3. xxx
x
=


x=2
2)
xx
32
log)1(log
=+


x=9
3) lg(x
2
-x-6) + x =lg(x+2) + 4

x=4
4)
)2(log2)2(log5log)1(log
25
15
5
1
2

5
+=++
xxx


x=
21
/2
5)
016)1(log)1(4)1(log)2(
3
2
3
=+++++
xxxx


x=2, x=
81
80

.
6)
5,1lg)1(log
=+
x
x


x

7)
2
1
)213(log
2
3
=+
+
xx
x


x
2
53
+
=
và x =
2
299

8)
x
x
=
3)29(log
2

x=0 và x =3
9)
x
x
x
x
2
3
323
log
2
1
3
loglog
3
log
+=


x=1 và x =
8
3
10) log
2
x + 2log
7
x = 2 + log
2
xlog
7

x

x=7 và x = 4
11)
2log)2(log
2
2
=++
+
xx
x
x


x=2 ĐHNNghiệp I: B
2002
12)
)32(log)44(log
1
2
12
=+
+
xx
x


x=2 ĐHCĐoàn: 2002
13)
4)21236(log)4129(log

2
32
2
73
=+++++
++
xxxx
xx


x= -1/4 ĐHKTQD: 2002
6