phuong trinh và bpt mu logarit

Phương trình và bất phương trình siêu việt
A. Phương trình và bất phương trình mũ, lôgarit.
I. Các kiến thức cơ bản.
1. Định nghĩa và các tính chất của luỹ thừa.
2. Tính chất của hàm số mũ và hàm số lôgarit.
3. Các phương trình và bất phương trình cơ bản:
• Với mọi số dương m thì:
+
);10(log
≠<=⇔=
amxma
a
x
+



≠<<
>>
⇔>
10log
1log
akhimx
akhimx
ma
a
a
x
• Với mọi số thực m thì:
+
m

a
axmx
=⇔=
log
+



<<<
>>
⇔>
10
1
log
akhiax
akhiax
mx
m
m
a
Trường hợp
mxma
a
x
<<
log;
xét tương tự.
II. Một số phương pháp giải:
1. Phương pháp đưa về cùng cơ số :
Bài 1: Giải các phương trình:

1.
521
10.25.2
++
=
xxx
2.
x
x
−
−+
3
1
log)12(log
3
13
.
3.
Bài 2: Giải các bất phương trình:
1.
)12(log42log4)1444(log
2
555
+<−+
−
xx
.
2.
1
1

1
)25()25(
−
+
−
+≤−
x
x
x
Lưu ý: Cần nhớ:
+
);()(
)()(
xgxfaa
xgxf
=⇔=

+
;0)()()(log)(log
>=⇔=
xgxfxgxf
aa
+



<<<
>>
⇔>
10)()(

;1)()(
)()(
akhixgxf
akhixgxf
aa
xgxf
+



<<<
>>
⇔>
.10)()(
;1)()(
)(log)(log
akhixgxf
akhixgxf
xgxf
aa
2. Phương pháp đặt ẩn số phụ:
Bài 1: Giải các phương trình, và bất phương trình::
1.
62)154()154(
=−++
xx
.
2.
2
2

2
log
4
2log
6
x
x
+
3.
0414.249.3
=−+
xxx
Lưu ý: Mục đích của phương pháp đặt ẩn số phụ là chuyển các bài toán đã cho về phương
trình hoặc bất phương trình đẫ biết cách giải.
+ Dạng
cbaba
xfxf
=−±+
)()(
)()(
(hoặc > c) với
mbaba
=−+
))((
( m là hằng số) ta
nên dặt
)(
)(
xf
bat

+=
.
+ Dạng
0.)(.
)(2)()(2
=++
xfxfxf
vcuvbua
thì nên chia cho
)(2 xf
v
rồi đặt
)( xf
v
u
t






=
.
+ Dạng a.f(x)
2
+b.f(x)+c=0 (hoặc >0) với f(x)=m
g(x)
hoặc f(x)=log
m

g(x) ta đặt t=f(x) để đưa
phương trình hoặc bất phương trình bậc hai ẩn t.
3. Phương pháp lôgarit hoá:
Lưu ý: Phương pháp lôgarit hoá có hiệu lực khi hai vế của phương trình có dạng tíchcác
luỹ thừa nhằm chuyển ẩn số khỏi số mũ. Cần nhớ:
+
)0,10(log)(
)(
>≠<=⇔=
babxfba
a
xf
+
bxgxfbaba
a
xg
a
xf
a
xgxf
log)()(loglog
)()()()(
=⇔=⇔=
hoặc
)(log)( xgaxf
b
=
Bài 1: Giải các phương trình:
1.
24

32
2
−+
=
xx
2.
68.3
2
=
+
x
x
x
4. Phương pháp sử dụng tính chất của hàm số:
Lưu ý: nếu PT có nghiệm x
0
, một vế của PT là hàm số đồng biến , vế kia là hàm số nghịch
biến hoặc là hàm số hằng thì nghiệm x
0
là duy nhất.
Bài 1: Giải các PT :
1.
x
x
5
log33
−=
(ĐS x=1).
2.
132

2
+=
x
x
(ĐS x=2)
5. Hệ phương trình mũ và lôgarit:
Lưu ý: Để giải hệ phương trình mũ và lôgarít ta cũng dùng các phương pháp thế, cộng đại
số , phương pháp đặt ẩn số phụ… như hpt đã biết.
Bài 1: Giải các hệ phương trình:
1.



=
=
182.3
123.2
yx
yx
(ĐS: (x;y)=(2;1)).
2.



=−
=−+−
3log3)9(log3
121
3
3

2
9
yx
yx
(ĐS: (1;1), (2;2))
3.



−=−
−=−
9loglog10
8log3log5
4
2
2
42
yx
yx
(HD: đặt u=log
2
x; v=log
4
y)
4.



=+
=+

2)23(log
2)23(log
xy
yx
y
x
(HD: đây là hpt đối xứng loại 2 nên tìm được (x;y)=(5;5))
Bài 2:
Bài tập
Bài 1: Giải các phương trình sau:
1. 2
x+4
=4
2x-1
.
2.
22
43
93
−
−
=
x
x
.
3. 7
x+2
-
7
1

.7
x+1
-14.7
x-1
+2.7
x
=48.
4. 7
3x
+9.5
2x
=5
2x
+9.7
3x.
5. 9
x
-
2
1
2
+
x
=
2
3
2
+
x
-3

2x-1.
6.
039.369
31
22
=+−
−−
xx
.
7.
( ) ( )
10
105
33
−
+
xx
=84.
8.
502.5
1
12
=
+
−
x
x
x
ĐS: x=2; x=log
5

10.
9. x
2lgx
=10x ĐS: x=10; x=10
-2
.
10.
xx
x
=
+
lg
5
1
10
1
ĐS: x=1; x=100.
11.
5
24
28
=
−
+
x
xx
ĐS: x=1;x=log
2
( )
293

−
.
12.
( ) ( )
62154154
=−++
xx
ĐS: x=-2; x=2.
13.
0210.325
2
1
1
2
11
=−+
++
xxx
ĐS: x=-1.
14.
68383
33
=






−+







+
xx
ĐS: x=3; x=-3.
15. 3.16
x
+2.81
x
=5.36
x
ĐS: x=0; x=
2
1
.
16. 5
x
+12
x
=13
x
ĐS: x=2.
17. 6
x
-2
x

=32 ĐS: x=2.
18. 3.4
x
+(3x-10).2
x
+3-x=0 ĐS: x=1; x=-log
2
3.
19. 1+(
3
)
x
=2
x
ĐS: x=2.
20. 9.7
x
+1=
x
8
2
(Tính đơn điệu) ĐS: x=1.
21.
x
xx
23232
=







−+






+
ĐS: x=2.
22. 9
x
+2(x-2).3
x
+2x-5=0 ĐS: x=1.
23.
B. Phương trình lượng giác:
I. Các kiến thức cơ bản:
CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC
Hệ thức cơ bản Cung đối Cung bù
s in
2
α
+ cos
2
α

= 1

1 + tan
2
α
=
2
1
cos
α
1 +
2
cot
α
=
tan
α
=
sin
cos
α
α

cot
α
=
cos
sin
α
α

tan

α
.cot
α
= 1
cos(-
α
) = cos
α

sin(-
α
) = - sin
α

tan(-
α
) = - tan
α

cot(-
α
) = - cot
α



sin(
π
-
α

) = sin
α

cos(
π
-
α
) = -cos
α
tan(
π
-
α
) = -
tan
α
cot(
π
-
α
) =
-cot
α


2
1
sin
α
Cung phụ Hơn kém

π
/2 Hơn kém
π
Chu kỳ
sin(
π
/2 -
α
) = cos
α
cos(
π
/2 -
α
) = sin
α
tan(
π
/2 -
α
) =
cot
α
cot(
π
/2 -
α
)
= tan
α

sin(
α
+
π
/2 ) =
cos
α
cos(
α
+
π
/2) =-
sin
α
tan(
α
+
π
/2)
=- cot
α

cot(
α
+
π
/2) =
-tan
α

sin(
α
+
π
) = -sin
α

cos(
α
+
π
) = -cos
α

tan(
α
+
π
) = tan
α

cot(
α
+
π
) = cot
α
sin(
α
+k2

π
) = sin
α
cos(
α
+k2
π
) =
cos
α
tan(
α
+k
π
)
= tan
α
cot(
α
+k
π
) = tan
α
Công thức cộng Công thức nhân đôi Công thức hạ bậc
cos(a + b) = cosa.cosb – sina.sinb
cos(a - b) = cosa.cosb + sina.sinb
sin(a + b) = sina.cosb + sinb.cosa
sin(a - b) = sina.cosb – sinb.cosa
tan(a + b) =
tan tan

1 tan .tan
a b
a b
+
−

tan( a - b) =
tan tan
1 tan .tan
a b
a b
−
+

cos2a=
2 2
cos sina a−
=2cos
2
a -1
= 1 - 2sin
2
a
sin2a = 2sina.cosa
tan2a =
2
2tan
1 tan
a
a−

cos
2
a =
1 os2a
2
c+
sin
2
a =
1 os2a
2
c−
tan
2
a =
1 os2a
1 os2a
c
c
−
+
Công thức biến đổi tổng thành tích Công thức biến đổi tích thành tổng
cosa + cosb = 2cos
2
a b+
.cos
2
a b−
cosa – cosb = -2sin

2
a b+
.sin
2
a b−
sina + sinb = 2sin
2
a b+
.sin
2
a b−
sina – sinb = 2cos
2
a b+
.sin
2
a b−
tana + tanb =
sin( )
cos .cos
a b
a b
+
tana – tanb =
sin( )
cos .cos
a b
a b
−
cosa.cosb =

1
2
[ ]
cos( ) cos( )a b a b− + +

sina.sinb =
[ ]
1
cos( ) cos( )
2
a b a b− − +

sina.cosb =
[ ]
1
sin( ) sin( )
2
a b a b− + +

Hệ quả
cosx + sinx =
2
cos(x -
π
/4)
cosx – sinx =
2
cos(x +
π
/4)

sinx +cosx =
2
sin(x +
π
/4)
sinx –cosx =
2
sin(x -
π
/4)

Công thức nhân ba
cos3a = 4cos
3
a –
3cosa
sin3a = 3sina –
4sin
3
a
tan3a =
3
2
3tan tan
1 3tan
a a
a
−
−
PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

I. Phương trình cơ bản
sinx = a (-1
a≤ ≤
1) cosx = a (-1
a≤ ≤
1) tanx = a (a
∈
R) cotx = a (a
∈
R)
⇔
sinx = sin
α
⇔
2
2
x k
x k
α π
π α π
= +


= − +

⇔
cosx = cos
α
⇔
x =

±
α
+k2
π
⇔
tanx = tan
α
⇔
x =
α
+k
π
⇔
cotx = cot
α
⇔
x =
α
+k
π
II. Phương trình lượng giác thường gặp
1 .Phương trình bậc hai theo một hàm số lượng giác
Dạng : asin
2
x +b sinx + c =0
acos
2
x +bcosx + c = 0
cách giải:
Đặt t = sinx , t = cosx (-1

≤
t
≤
1)
Dạng : atan
2
x + btanx + c = 0
acot
2
x + bcotx + c = 0
cách giải:
Đặt t = tanx , t = cotx ,(t
∈
R)
2. Pt bậc nhất theon sinx và cosx 3.Pt thuần nhất bậc hai theo sinx và cosx
Dạng : acosx + bsinx = c
cách giải:
+Điều kiện có nghiệm: a
2
+b
2
≥
c
2
+Chia cả hai vế cho
2 2
a b+
ta có:
2 2 2 2 2 2
b c

osx + sinx =
a a
a
c
a b b b+ + +
⇔
cos(x -
α
) =
2 2
c
a b+
(với cos
α
=
2 2
a
a b+
, sin
α
=
2 2
b
a b+
)

Dạng : asin
2
x +bsinx.cosx +cos
2

x= d
cách giải:
+Xét cosx =0
+Xét cosx
≠
0
Chia cả hai vế cho cos
2
x, đưa về pt bậc
hai theo tanx
4.Pt đối xứng đối với sinx và cosx
Dạng : a(sinx +cosx) +bsinx.cosx =c
cách giải:
Đặt t =sinx + cosx
2
sin(x+
π
/4)
(đk -
2
≤
t
≤
2
)
Đưa pt về bậc hai theo t
Chú ý: Pt phản xứng:
a(sinx - cosx) +bsinx.cosx = c
vẩn giải tương tự

BẢNG GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CÁC CUNG (GÓC) ĐẶC BIỆT
0
π
/6
π
/4
π
/3
π
/2 2
π
/3 3
π
/4 5
π
/6
π
sin
α
0 1/2
2
/ 2
3
/ 2
1
3
/ 2
2
/2
1/ 2 0

cos
α
1
3
/ 2
2
/ 2
1/ 2 0 - 1/ 2
-
2
/
2
-
3
/
2
-1
tan
α
0
3
/3
1
3
/ /
-
3
-1
-
3

0
cot
α
/ /
3
1
3
/ 3
0
-
3
/
3
-1
-
3
/ /
II.Một số baì tập:
Bài 1: Giải các phương trình: