Phân tích dao động ngẫu nhiên và độ tin cậy theo thời gian của kết cấu chịu tải trọng động phát sinh hàm mật độ phổ công suất PSD
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (5.51 MB, 78 trang )
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
LÊ TẤN THANH BÌNH
PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN
VÀ ĐỘ TIN CẬY THEO THỜI GIAN
CỦA KẾT CẤU CHỊU TẢI TRỌNG ĐỘNG
PHÁT SINH HÀM MẬT ĐỘ PHỔ CÔNG SUẤT PSD
LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT
XÂY DỰNG CÔNG TRÌNH DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP
Đà Nẵng, năm 2018
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG
TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA
LÊ TẤN THANH BÌNH
PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN
VÀ ĐỘ TIN CẬY THEO THỜI GIAN
CỦA KẾT CẤU CHỊU TẢI TRỌNG ĐỘNG
PHÁT SINH HÀM MẬT ĐỘ PHỔ CÔNG SUẤT PSD
Chuyên ngành
Mã số
: Kỹ thuật Xây dựng công trình DD&CN
:
60.58.02.08
LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT
XÂY DỰNG CÔNG TRÌNH DÂN DỤNG VÀ CÔNG NGHIỆP
Người hướng dẫn khoa học: TS. ĐẶNG CÔNG THUẬT
Đà Nẵng, năm 2018
LỜI CAM ĐOAN
Tôi cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các số liệu, kết quả
nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kỳ công trình
nào khác.
Tác giả luận văn
Lê Tấn Thanh Bình
PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN VÀ ĐỘ TIN CẬY THEO THỜI GIAN
CỦA KẾT CẤU CHỊU TẢI TRỌNG ĐỘNG
PHÁT SINH HÀM MẬT ĐỘ PHỔ CÔNG SUẤT
Học viên: Lê Tấn Thanh Bình
Chuyên ngành: Kỹ thuật Xây dựng công trình Dân dụng và Công nghiệp
Mã số: 60.58.02.08 Khóa: K32 Trường Đại học Bách khoa – ĐHĐN
Tóm tắt - Nghiên cứu đánh giá độ tin cậy của kết cấu khi kể đến các yếu tố ngẫu
nhiên như vật liệu làm kết cấu, tải trọng tác dụng… là một trong những nhiệm vụ
được quan tâm trong các nghiên cứu hiện nay. Tuy nhiên, các nghiên cứu hiện nay
ở Việt Nam chỉ tập trung đánh giá độ tin cậy tổng thể, chưa đánh giá theo thời
gian tác động của tải trọng. Thực tế, các hàm tải trọng và độ bền của kết cấu chịu
tác động của rất nhiều yếu tố khác nhau và biến đổi theo quy luật ngẫu nhiên. Vì
vậy, việc ứng dụng quá trình ngẫu nhiên trong cơ học được xem xét, áp dụng
trong việc tạo tải trọng ngẫu nhiên và phân tích dao động ngẫu nhiên của kết cấu.
Trong phạm vi luận văn này, các hệ kết cấu được mô hình hóa bởi hệ một bậc tự
do tuyến tính và phi tuyến và hệ nhiều bậc tự do chịu tác động của tải trọng động
ngẫu nhiên được tạo ra bởi phương pháp hàm mật độ phổ công suất. Từ đó, tiến
hành tích đáp ứng kết cấu và độ tin cậy theo thời gian tác động của tải trọng gió
bằng phương pháp mô phỏng Monte Carlo (MCS) và phương pháp tiến hóa hàm
mật độ xác suất (PDEM) và so sánh kết quả tính toán.
Từ khóa – độ tin cậy; dao động ngẫu nhiên; tải trọng động ngẫu nhiên;
phương pháp mô phỏng Monte Carlo; phương pháp tiến hóa hàm mật độ xác
suất.
TIME-DEPENDENT RANDOM VIBRATION AND RELIABILITY
ANALYSIS OF STRUCTURES SUBJECTED TO SEISMIC LOAD
GENERATED BY THE POWER SPECTRAL DENSITY FUNCTION
Abstract – The study on the reliability of structures when considering several
random factors such as structural materials, applied load... is one of the main
concerns in the present study. However, the current research in Vietnam only
focuses on the overall reliability, and not consider the impact of the
time-dependent loading. In actual, the loading function and structural strength are
influenced by many different factors and vary according to the random regulation.
Therefore, the application of random process in mechanics need to be considered
and applied in random load generation and random vibration analysis of the
structure. In this thesis, structural systems are modeled by a linear and nonlinear
single-degree of freedom system and multi-degree of freedom system subjected to
random dynamics load generated by the Power Spectral Density Function. Based
on this, the response and time-dependent reliability of structures subjected to wind
load are evaluated by using the Monte Carlo simulation method (MCS) and
probability density evolution method (PDEM) and comparing the results of
calculations.
Key words – reliability; random vibration; random dynamics load; Monte Carlo
simulation method; probability density evolution method.
MỤC LỤC
MỞ ĐẦU ......................................................................................................................... 1
1. Tính cấp thiết của đề tài ....................................................................................... 1
2. Mục tiêu nghiên cứu ............................................................................................ 1
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ....................................................................... 1
4. Phương pháp nghiên cứu ..................................................................................... 1
5. Bố cục đề tài ........................................................................................................ 2
CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN VỀ BÀI TOÁN PHÂN TÍCH KẾT CẤU VỚI
THAM SỐ ĐẦU VÀO NGẪU NHIÊN ........................................................................ 3
1.1. SƠ LƯỢC VỀ BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ QUY LUẬT PHÂN BỐ XÁC
SUẤT ............................................................................................................................... 3
1.1.1. Biến ngẫu nhiên.............................................................................................. 3
1.1.2. Hàm mật độ xác suất, hàm phân bố xác suất ................................................. 3
1.1.3. Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên .............................................................. 10
1.2. QUÁ TRÌNH NGẪU NHIÊN .............................................................................. 14
1.2.1. Định nghĩa quá trình ngẫu nhiên .................................................................. 14
1.2.2. Các đặc trưng của quá trình ngẫu nhiên ....................................................... 15
1.2.3. Vấn đề nghiên cứu quá trình ngẫu nhiên trong miền tần số ........................ 17
1.3. ĐỊNH NGHĨA BÀI TOÁN PHÂN TÍCH KẾT CẤU VỚI THAM SỐ ĐẦU VÀO
NGẪU NHIÊN .............................................................................................................. 18
1.3.1. Nhắc lại phương trình vi phân động lực học ................................................ 18
1.3.2. Những yếu tố ngẫu nhiên ảnh hưởng đến đáp ứng của kết cấu ................... 19
1.3.3. Bài toán phân tích dao động ngẫu nhiên và độ tin cậy của kết cấu ............. 20
1.4. KẾT LUẬN CHƯƠNG ........................................................................................ 22
CHƯƠNG 2. PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG TẢI TRỌNG NGẪU NHIÊN VÀ
PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG, ĐỘ TIN CẬY CỦA KẾT CẤU THEO THỜI
GIAN ............................................................................................................................ 23
2.1. PHƯƠNG PHÁP MÔ PHỎNG TẢI TRỌNG NGẪU NHIÊN TỪ HÀM MẬT
ĐỘ PHỔ CÔNG SUẤT PSD ........................................................................................ 23
2.1.1. Khái niệm hàm mật độ phổ công suất .......................................................... 23
2.1.2. Phương pháp mô phỏng tải trọng ngẫu nhiên .............................................. 25
2.2. PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN CỦA KẾT CẤU ............................. 30
2.2.1. Hệ kết cấu một bậc tự do chịu kích động ồn trắng Gauss ............................ 30
2.2.2. Dao động ngẫu nhiên của hệ kết cấu nhiều bậc tự do chịu tải trọng bất
kỳ ............................................................................................................................ 34
2.3. PHÂN TÍCH ĐỘ TIN CẬY CỦA KẾT CẤU KHI CHỊU TẢI TRỌNG
ĐỘNG ............................................................................................................................ 38
2.4. KẾT LUẬN CHƯƠNG ........................................................................................ 41
CHƯƠNG 3. PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG NGẪU NHIÊN VÀ ĐỘ TIN CẬY CỦA
KẾT CẤU THEO THỜI GIAN TÁC ĐỘNG CỦA TẢI TRỌNG ......................... 42
3.1. VÍ DỤ 1 - HỆ MỘT BẬC TỰ DO CHỊU KÍCH ĐỘNG ỒN TRẮNG
GAUSS .......................................................................................................................... 42
3.1.1. Mô hình hệ kết cấu một bậc tự do ................................................................ 42
3.1.2. Mô hình tải trọng kích thích và đáp ứng của kết cấu ................................... 42
3.1.3. Dao động ngẫu nhiên của kết cấu ................................................................ 44
3.1.4. Phân tích độ tin cậy của kết cấu ................................................................... 45
3.2. VÍ DỤ 2 – NHÀ NHIỀU TẦNG CHỊU TẢI TRỌNG GIÓ ................................. 48
3.2.1. Tác động của gió lên công trình xây dựng ................................................... 48
3.2.2. Mô hình tải trọng gió ................................................................................... 49
3.2.3. Mô tả kết cấu ................................................................................................ 52
3.2.4. Kết quả phân tích ......................................................................................... 53
3.3. KẾT LUẬN CHƯƠNG ........................................................................................ 56
KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ ..................................................................................... 57
TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................... 58
QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (BẢN SAO)
DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT
BBN
PTHH
CDF
PMF
PSD
PDEM
FPK
: Biến ngẫu nhiên
: Phần tử hữu hạn
: Cumulative Distribution Function – Hàm phân phối tích lũy
: Probability Density Function – Hàm mật độ xác suất
: Probability Mass Function – Hàm khối xác suất
: Power Spectral Density – Mật độ phổ công suất
: Probability Density Evolution Method – Phương pháp tiến hóa hàm mật độ
xác suất
: Fokker – Planck Kolmogorov
DANH MỤC CÁC BẢNG
Số hiệu
bảng
3.1
Tên bảng
Độ tin cậy của kết cấu
Trang
54
DANH MỤC CÁC HÌNH
Số hiệu
hình
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
3.12
3.13
3.14
Tên hình
Trang
CDF của biến ngẫu nhiên X
CDF của biến ngẫu nhiên X với (a) N = 10, (b) N = 50, và (c) N
→∞
Mối quan hệ giữa PDF và CDF của một biến ngẫu nhiên
Minh họa hàm PDF (a) và hàm PDF có điều kiện tương ứng b)
Mô hình tính toán hệ nhiều bậc tự do chịu tải trọng động đất
Định nghĩa các biến cho một hệ khung
Sơ đồ liên kết của các biến cho một mô hình tải trọng và một
mô hình sức kháng
Việc thực hiện quy trình ngẫu nhiên X(t) cùng với sự gia hạn
định kỳ
So sánh PSD chính xác với xấp xỉ rời rạc cho ví dụ 2.1
Minh họa một quá trình ngẫu nhiên của ví dụ 2.1
Lọc miền thời gian để tạo ra một quá trình ngẫu nhiên Gauss
màu
Phản ứng xung và đầu ra của bộ lọc được thiết kế trong ví dụ
2.3
Mô phỏng Monte Carlo thô
Các trạng thái của kết cấu
Mô hình các kết cấu một bậc tự do: Tuyến tính (trái), BoucWen (giữa) và Coulomb (phải)
Phổ kích ứng ngẫu nhiên
Minh họa kích ứng ngẫu nhiên và đáp ứng kết cấu
Kết quả chuyển vị trung bình và độ lệch chuẩn tương ứng
Sơ đồ khối đánh giá xác suất phá hủy theo MCS
Sơ đồ khối của phương pháp PDEM
Xác suất phá hủy và độ tin cậy theo thời gian
Sự hình thành cơn xoáy tác dụng vào kết cấu
Định nghĩa tải trọng gió và hướng gió
Minh họa vận tốc gió và cường độ rối
Minh họa phổ Kaimal
Minh họa vận tốc gió u(z,t)
Mô hình kết cấu công trình
Mật độ xác suất chuyển vị đỉnh
05
05
07
09
18
20
20
26
27
27
28
30
35
39
42
43
43
44
45
46
48
48
49
50
51
51
52
53
Số hiệu
hình
3.15
3.16
Tên hình
Trang
Mật độ xác suất chuyển vị đỉnh ở các thời điểm khác nhau
Kết quả phân tích độ tin cậy của kết cấu theo thời gian ứng với
các ngưỡng phá hủy khác nhau
54
55
1
MỞ ĐẦU
1. Tính cấp thiết của đề tài
Hiện nay ở nước ta, trong tính toán kết cấu công trình thường sử dụng hỗn hợp
các phương pháp: phương pháp ứng suất cho phép, phương pháp hệ số an toàn và
phương pháp trạng thái giới hạn cùng với mô hình thiết kế truyền thống. Theo mô hình
thiết kế này tải trọng và độ bền tính toán được mặc định theo các tiêu chuẩn thiết kế
hiện hành trong suốt thời gian khai thác của công trình. Nhưng thực tế các hàm tải
trọng và độ bền chịu tác động của rất nhiều yếu tố khác nhau và biến đổi theo quy luật
ngẫu nhiên. Vì vậy quan niệm về quan hệ giữa tải trọng và sức chịu tải của công trình
trong quá trình làm việc của mô hình thiết kế truyền thống ngày càng trở nên lạc hậu.
Xu hướng tiến bộ hiện nay là thiết kế công trình theo lý thuyết ngẫu nhiên và
phân tích độ tin cậy. Thật vậy, chúng giữ vai trò rất quan trọng do tính liên ngành và
khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học, kỹ thuật, công nghệ, kinh
doanh và quản lý hiện đại. Các kết cấu công trình xây dựng (nhà xưởng, cầu cống,
cảng biển...), trong quá trình sử dụng bình thường, sẽ chịu tác động ngẫu nhiên của các
tải trọng động (ví dụ như gió bão, động đất…). Bên cạnh đó, chúng ta cần phải kể đến
đồng thời các yếu tố ngẫu nhiên của vật liệu làm kết cấu, của kích thước và của tải
trọng tác dụng ... Điều này dẫn đến ứng xử đầ u ra của kết cấu cũng dao động ngẫu
nhiên, và sẽ có một số trường hợp ứng xử đầ u ra vượt quá giới hạn cho phép (ngưỡng
thiệt hại) được định trước như: chuyển vị vượt quá chuyển vị cho phép, ứng suất vượt
quá ứng suất cho phép, v.v. Xác suất các trường hợp ứng xử đầ u ra vượt quá giới hạn
cho phép được gọi là xác suất không an toàn của kết cấu hay xác suất phá hủy kết cấu.
Khi đó, việc xác định xác suất phá hủy của kết cấu khi có sự dao động ngẫu nhiên của
các yếu tố đầ u vào được gọi là bài toán phân tích độ tin cậy cho kết cấu.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Mô phỏng tải trọng ngẫu nhiên từ hàm mật độ phổ công suất và phân tích dao
động ngẫu nhiên và độ tin cậy theo thời gian của kết cấu chịu tải trọng động.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Kết cấu chịu tải trọng động ngẫu nhiên phát sinh hàm
mật độ phổ công suất PSD.
- Phạm vi nghiên cứu: Các phương pháp phân tích dao động ngẫu nhiên và độ
tin cậy của kết cấu chịu tải trọng động.
4. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp lý thuyết:
+ Phương pháp phân tích dao động ngẫu nhiên của kết cấu: Dao động ngẫu
nhiên của kết cấu chịu kích động ồn trắng Gauss và chịu tải trọng động (gió, động đất).
+ Các phương pháp phân tích độ tin cậy: Phương pháp mô phỏng Monte-Carlo
và phương pháp tiến hóa hàm mật độ xác suất.
2
- Phương pháp số: Xây dựng các chương trình trong phần mềm Matlab.
5. Bố cục đề tài
Mở đầu
1) Tính cấp thiết của đề tài
2) Mục tiêu nghiên cứu
3) Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
4) Phương pháp nghiên cứu
Chương 1: Tổng quan về bài toán phân tích kết cấu với tham số đầu vào
ngẫu nhiên
1.1. Sơ lược về biến ngẫu nhiên và quy luật phân bố xác suất
1.2. Quá trình ngẫu nhiên
1.3. Định nghĩa bài toán phân tích kết cấu với tham số đầu vào ngẫu nhiên
1.4. Kết luận chương
Chương 2: Phương pháp mô phỏng tải trọng ngẫu nhiên và phân tích dao
động, độ tin cậy của kết cấu theo thời gian
2.1. Phương pháp mô phỏng tải trọng ngẫu nhiên từ hàm mật độ phổ công
suất PSD
2.2. Phân tích dao động ngẫu nhiên của kết cấu
2.3. Phân tích độ tin cậy của kết cấu khi chịu tải trọng động
2.4. Kết luận chương
Chương 3: Phân tích dao động ngẫu nhiên và độ tin cậy của kết cấu theo
thời gian tác động của tải trọng
3.1. Ví dụ 1 – Hệ một bậc tự do chịu kích động ồn trắng Gauss
3.2. Ví dụ 2 - Hệ nhiều tầng chịu tải trọng gió
3.3. Kết luận chương
Kết luận và kiến nghị
Tài liệu tham khảo
3
CHƯƠNG 1
TỔNG QUAN VỀ BÀI TOÁN PHÂN TÍCH KẾT CẤU VỚI THAM SỐ
ĐẦU VÀO NGẪU NHIÊN
1.1. Sơ lược về biến ngẫu nhiên và quy luật phân bố xác suất
1.1.1. Biến ngẫu nhiên
Đinh
̣ nghiã 1.1: Mô ̣t biế n ngẫu nhiên (BNN) là một hàm giá trị thực của các
phần tử của một không gian mẫu S. Cho một phép thử E với không gian mẫu S, biến
ngẫu nhiên X ánh xạ mỗi kết quả có khả năng xảy ra ξ ∈ S, với một số thực duy nhất
X(ξ). Nếu biến ngẫu nhiên X có miền giá trị hữu hạn hoặc vô hạn đếm được thì X
được gọi là BNN rời rạc. Ngược lại, nếu biến ngẫu nhiên X có miền giá trị là hợp một
số khoảng trên trục số thì X được gọi là BNN liên tục.
1.1.2. Hàm mật độ xác suất, hàm phân bố xác suất
a) Hàm khối xác suất (Probability Mass Function - PMF)
Đinh
̣ nghiã 1.2: Hàm khố i xác suất PX(x), của một biến ngẫu nhiên rời rạc X là
một hàm phân phố i xác suất cho mỗi giá trị có thể của biến ngẫu nhiên X. Xác suất mà
biến ngẫu nhiên X nhâ ̣n giá trị xác định x là giá trị của hàm khố i xác suất cho x. Đó là,
PX(x) = P(X = x).
Hàm khối xác suất liên hệ với một biến ngẫu nhiên X phải tuân theo các thuộc
tính nhất định. Thứ nhất, vì PX(x) là xác suất, nó phải là không âm và không lớn hơn 1.
Thứ hai, nếu tổng các PX(x) trên tất cả miền của x, thì điều này cũng giống như tổng
các xác suất của tất cả các kết quả trong không gian mẫu, phải bằng 1. Xét về mă ̣t toán
học, chúng ta có thể kết luận rằng:
0 PX ( x) 1,
(1.1a)
P ( x) 1
X
(1.1b)
x
Khi phát triển hàm khố i xác suất cho một biến ngẫu nhiên, điề u này hữu ích để
kiểm tra xem PMF có đáp ứng được những đặc tính này hay không.
Mặc dù viê ̣c mô tả này đúng đố i với các biến ngẫu nhiên rời rạc, nhưng nó không
thích hợp để mô tả các biến ngẫu nhiên liên tục. Để chứng minh sự cần thiết phải thay
thế hàm khối xác suất, ta xem xét một biến ngẫu nhiên rời rạc, X, lấy giá trị từ
tập {0, 1/N, 2/N, ... , (N − 1)/N} với xác suất bằng nhau. Tức là, hàm khối xác suất của
X là:
k 1
PX , k 0,1,2,..., N 1
(1.2)
N N
Đây là loại biến ngẫu nhiên được ta ̣o thành bởi các bộ tạo số "ngẫu nhiên" trong
các ngôn ngữ bậc cao, chẳng hạn như Fortran và C, và trong các gói toán học như
MATLAB, MathCAD và Mathematica. Trong những trường hợp này, N được lấ y phải
4
một số khá lớn để xuất hiện số ngẫu nhiên có thể là bất cứ số nào trong phạm vi liên
tục [0,1]. Xét trường hợp hữu ha ̣n là N → ∞ để biến ngẫu nhiên thực sự ở bất cứ điể m
nào trong khoảng [0,1]. Kết quả của phép lấy giới ha ̣n lúc này là:
1
k
(1.3)
lim PX lim 0
N
N N N
Khi đó, xảy ra việc mỗi điểm có xác suất bằng 0. Tuy nhiên, điề u gì đó đã xảy ra
không thật sự đúng. Vấn đề này là phổ biến đối với các biến ngẫu nhiên liên tục và rõ
ràng là hàm xác suất khối không phải là cách biể u diễn thích hợp cho một biến ngẫu
nhiên như vậy.
b) Hàm phân phối tích lũy (Cumulative Distribution Function – CDF)
Một biến ngẫu nhiên liên tục thường có một xác suất bằng 0 khi lấy một giá trị cụ
thể, chúng ta tránh đề câ ̣p đế n các xác suất như vậy. Thay vào đó, các biế n cố có dạng
{X ≤ x} có thể được xem xét.
Định nghĩa 1.3: Hàm phân phối tích lũy (CDF) của một biến ngẫu nhiên X, là:
FX x P X x
(1.4)
Từ định nghĩa này, có thể suy ra một số tính chất của các hàm phân phối tích lũy
được tóm tắt như sau:
1 FX 0, FX 1
(1.5a)
2 0 FX x 1
(1.5b)
3 Víi x1 x2 , Fx x1 FX x2
4 Víi x1 x2 , P x1 X x2 FX x2 FX x1
(1.5c)
(1.5d)
Để minh họa cu ̣ thể hơn về tính chấ t của CDF, hãy quay trở lại máy phát số ngẫu
nhiên máy tính tạo ra các giá trị N có thể có từ tâ ̣p {0, 1/N, 2/N, ... , (N − 1)/N với xác
suất bằng nhau. CDF cho biến ngẫu nhiên cụ thể này có thể được mô tả như sau. Thứ
nhất, FX(x) = 0 với mo ̣i x <0, vì biến ngẫu nhiên không thể lấy giá trị âm. Tương tự,
FX(x) = 1 với mo ̣i x ≥ (N-1)/N vì biến ngẫu nhiên không thể lớn hơn (N-1)/N. Tiếp
theo, xét một giá trị x trong khoảng 0≤x<1/N. Trong trường hợp này,
P(X ≤ x) = P(X = 0) vì giá trị duy nhất trong dãy đã xác định mà biến ngẫu nhiên này
có thể nhâ ̣n đươ ̣c là X = 0. Do đó, FX(x) = P(X = 0) = 1/N cho 0 ≤ x <1/N. Tương tự,
với 1/N ≤ x <2/N, FX(x) = P(X = 0) + P(X = 1/2N) = 2/N.
Theo cách lập luận này, về mă ̣t tổ ng quát, đối với một số nguyên k sao
cho 0
5
Hình 1.1. CDF của biến ngẫu nhiên X
Trong Hình 1.2(a) và 1.2(b), CDF được đưa ra với các giá trị cụ thể N = 10 và
N = 50. Ta cầ n thấ y rõ rằ ng những đồ thi ̣ này nằ m trong giới hạn khi N tiến đế n vô
ha ̣n, kế t quả CDF trong Hình 1.2(c). Hàm số của CDF này là:
0 x 0
FX x x 0 x 1
1 x 1
(1.6)
Trong trường hợp hữu ha ̣n này, biến ngẫu nhiên X là một biến ngẫu nhiên liên
tục và lấy các giá trị trong dãy [0,1] với xác suất bằng nhau hay được gọi là một biến
ngẫu nhiên phân bố đều.
Hình 1.2. CDF của biến ngẫu nhiên X với (a) N = 10, (b) N = 50, và (c) N → ∞
6
Đối với các biến ngẫu nhiên rời rạc, CDF có thể được viết dưới dạng hàm khố i
xác suất. Xem xét một biến ngẫu nhiên tổ ng quát X, có thể lấy các giá trị từ tập rời rạc
{x1, x2, x3,...}. CDF cho biến ngẫu nhiên này là:
k
FX x PX xi , víi ®iÒu kiÖn xk x xk 1
(1.7)
i 1
Ràng buộc trong công thức này có thể được được đưa vào bằng cách sử dụng các
hàm bước đơn vị, trong trường hợp đó CDF của một biến ngẫu nhiên rời rạc có thể
được viết như :
k
FX x PX xi u x xi
(1.8)
i 1
Tóm lại, nếu chúng ta biết PMF của một biến ngẫu nhiên rời rạc, chúng ta có thể
dễ dàng xây dựng CDF của nó.
c) Hàm mật độ xác suấ t (Probability Density Function- PDF)
Mă ̣c dù CDF được giới thiệu ở trên là một công cụ toán học để mô tả một biến
ngẫu nhiên về mặt thống kê, tuy nhiên la ̣i khá rườm rà để làm việc với nhiề u CDF. Ví
dụ, trong mục này chúng ta sẽ thấy biến ngẫu nhiên quan trọng nhất và thường được
sử dụng nhiề u nhấ t, biến ngẫu nhiên Gauss, có hàm CDF không thể biểu diễn dưới
dạng đóng. Hơn nữa, thông thường sẽ khó để suy ra các tính chất khác nhau của một
biến ngẫu nhiên từ CDF của nó. Để giải quyế t những vấn đề này, hàm mật độ xác suất
(PDF) thường được sử dụng để thay thế và thuận tiện hơn.
Định nghĩa 1.4: Hàm mật độ xác suất (PDF) của biến ngẫu nhiên X được xác
đinh
̣ ở điểm x:
f X x lim
Px X x
(1.9)
Như tên gọi, hàm mật độ xác suất là xác suất mà biến ngẫu nhiên X nằm trong
khoảng vi phân ta ̣i điể m X = x, đươ ̣c chuẩ n hóa bằ ng đô ̣ dài của khoảng.
Xác suất của một biến ngẫu nhiên nằm trong một khoảng có thể được viết theo
CDF của nó. Đối với các biến ngẫu nhiên liên tục,
P x X x FX x FX x
(1.10)
0
Vì vâ ̣y
dFX x
(1.11)
0
dx
Do đó, người ta thấy rằng PDF của một biến ngẫu nhiên là đa ̣o hàm của CDF của
nó. Ngược lại, CDF của một biến ngẫu nhiên có thể được biểu diễn như là tích phân
của PDF của nó . Đă ̣c điể m này được minh họa trong Hình 1.3.
f X x lim
FX x FX x
7
Hình 1.3. Mối quan hệ giữa PDF và CDF của một biến ngẫu nhiên
Từ định nghĩa của PDF trong công thức (1.9), rõ ràng rằng PDF là một hàm số
không âm, mặc dù nó không bị hạn chế là nhỏ hơn 1 giống như CDF. Từ các tin
́ h chấ t
của CDF, chúng ta cũng có thể suy luận một số tiń h chấ t quan trọng của PDF. Một số
tin
́ h chấ t của PDF là:
1
f X x 0
2
fX x
(1.12a)
dFX x
(1.12b)
dx
x
3 FX x
f X y dy
(1.12c)
4
f X x dx 1
(1.12d)
b
5 f X x dx P a X b
(1.12e)
a
d) Phân phố i xác suất có điề u kiê ̣n và hàm mật độ xác suất có điều kiện
Tương tự như khái niệm xác suất có điều kiện của biến cố, ta có thể dễ dàng nói
về phân phố i hay hàm mâ ̣t đô ̣ của biế n ngẫu nhiên có điề u kiê ̣n của một vài biế n cố A.
Giố ng như nghiên cứu ban đầ u về các loa ̣i biế n ngẫu nhiên trong phầ n đầ u chương
này, chúng ta sẽ thuâ ̣n tiê ̣n hơn khi bắ t đầ u với khái niê ̣m về CDF có điề u kiê ̣n.
d1) Hàm CDF có điều kiện
Định nghiã 1.5: Hàm phân phối tích luỹ có điều kiện của một biến ngẫu nhiên X
với điều kiện sự kiện A đã xảy ra là:
FX | A x P X x | A
P X x , A
P A
(1.13)
Định nghĩa này yêu cầ u phải biế t trước rằ ng xác suấ t của biế n cố A phải khác 0.
Các tính chấ t của CDF được liệt kê trong các công thức (1.5a - 1.5d) cũng áp
dụng cho CDF có điều kiện, dẫn đến các tin
́ h chấ t sau đây của CDF có điều kiện:
1
FX | A 0, FX | A 1
(1.14a)
8
2 0 FXA x 1
3 Víi x1 x2 : FX | A x1 FX | A x2
4 Víi x x : P x X x A F x F x
1
2
1
2
X |A
2
X |A
1
(1.14b)
(1.14c)
(1.14d)
Giả sử rằng đối với một số biến ngẫu nhiên X, biế n cố có điều kiện có dạng
A = a < X ≤ b cho một số hằng số a < b. Khi đó:
P X x, a X b
FX |a X b x
(1.15)
P a X b
Nếu x ≤ a, sau đó các sự kiện {X ≤ x} và a < X ≤ b là đôi một xung khắc và
CDF có điều kiện là 0. Đối với x > b sự kiện a < X ≤ b là một tập hợp con
của {X ≤ x} và vì vậy P(X ≤ x, a < X ≤ b) = P(a < X ≤ b) sao cho CDF có điều
kiện là 1. Khi a
0
F x FX a
FX |a X b x X
FX b FX a
1
xa
a xb
(1.16)
xb
Cũng như các biến ngẫu nhiên thông thường, thường thuận tiện hơn khi làm việc
với PDF có điều kiện thay vì một CDF có điều kiện. Định nghĩa của PDF có điều kiện
là một mở rộng đơn giản của các định nghĩa trước đây cho một PDF.
d2) Hàm PDF có điều kiện
Định nghĩa 1.6: Hàm mật độ xác suất có điều kiện của một biến ngẫu nhiên X có
điều kiện trên một số sự kiện A là:
f X | A x lim
P x X x | A
(1.17)
Cũng giống như CDF có điều kiện, không khó để chứng minh rằng tất cả các đă ̣c
điể m của các PDF thông thường đều áp dụng cho các PDF có điều kiện. Cu ̣ thể ,
0
1
f X |A x 0
2
f X |A x
3
f X |a x
(1.18a)
dFX | A x
dx
x
f X | A y dy
(1.18b)
(1.18c)
9
4
5 a
b
f X | A x dx 1
(1.18d)
f X | A x dx P a X b | A
(1.18e)
Hơn nữa, kết quả trong phương trình (1.16) có thể được mở rộng đến PDF có
điều kiện bằng cách áp dụng phương trình (1.18b). Điều này dẫn đến công thức chung
sau cho PDF có điều kiện của một biến ngẫu nhiên X khi sự kiện điều
kiện A = {a ≤ X
fX x
a xb
f X |a X b x P a X b
0
hoÆc ngîc l¹i
(1.19)
Hình 1.4. Minh họa hàm PDF (a) và hàm PDF có điều kiện tương ứng b)
Tóm lại, PDF có điều kiện có cùng dạng hàm (nhưng được thu nhỏ bởi xác suất
của sự kiện điều kiện) trong phạm vi của x mà điều kiện được thỏa mãn và PDF có
điều kiện bằ ng 0 ta ̣i bấ t kỳ nơi nào điều kiện không thõa mãn. Kết quả này được minh
họa trong Hình 1.4.
Nói chung, xem xét một tập hợp các biế n cố đô ̣c lâ ̣p và loa ̣i trừ lẫn nhau A1,
A2,..., AN. Giả sử chúng ta có thể tiếp cận các CDF có điều kiện FX|An(x), trong đó
n = 1, 2, ..., N và muốn tìm CDF không có điều kiện FX(x). Theo định lý của tổng xác
suất:
N
N
n 1
n 1
FX x P X x P X x | An P An FX | An x P An
(1.20)
Do đó, CDF của X (không điều kiện) có thể được tìm đươ ̣c bằng cách xây dựng
một tổng trọng số của CDF có điều kiện với các trọng số được xác định bởi xác suất
mà mỗi biến cố điều kiện là đúng sự thật. Bằng cách lấy các đa ̣o hàm của cả hai vế của
phương trình trước, kết quả tương tự cũng thu được đối với các hàm PDF có điều kiện,
cụ thể là:
N
f X x f X | An x P An
n 1
(1.21)
10
Ta cũng có thể quan tâm đến việc tìm mọi thứ theo chiều ngược lại. Đó là, giả sử
chúng ta quan sát thấy rằng biến ngẫu nhiên đã lấy giá trị của X = x. Liệu xác suất của
biến cố An có thay đổi không? Để trả lời điều này, chúng ta cần tính P(An|X = x) . Nếu
X là một biến ngẫu nhiên rời rạc, ta có:
P X x | An P An
P An | X x
(1.22)
P X x
Trong trường hợp các biến ngẫu nhiên liên tục, cần phải cẩn thận hơn vì cả hai
P(X=x|An) và P(X = x) sẽ là 0, dẫn đến một biểu thức không xác định. Để tránh vấn đề
này, viết lại sự kiện {X = x} thành {x ≤ X
P x X x | An P An
P An | x X x
(1.23)
Px X x
Với ε, P(x ≤ X
f X | An x P An f X | An x P An
P An | x X x
fX x
fX x
(1.24)
Cuối cùng, khi giới hạn ε → 0 cho kết quả cầ n tim
̀ :
P An | X x lim P An | x X x
f X | An x P An
fX x
0
(1.25)
Ta cũng có thể kết hợp kết quả này với công thức (1.21) để tạo ra sự mở rộng cho
định lý của Bayes:
P An | X x
f X | An x P An
N
f x P A
n 1
X | An
(1.26)
n
1.1.3. Các đặc trưng của biến ngẫu nhiên
a) Kỳ vọng của biến ngẫu nhiên
Định nghĩa 1.7: Giá trị kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên X có PDF, fX(x), là
E X xf X x dx
(1.27)
Các thuật ngữ số trung bình, trung bình mẫu, kỳ vọng và mô men bậc 1 là tất cả
các tên khác cho khái niệm giá trị kỳ vọng . Hơn nữa, dấu gạch ngang trên đầu ký tự
thường được sử dụng để biểu thị giá trị dự kiến để biểu tượng X được hiểu là có nghĩa
giống như E[X]. Một ký hiệu thông dụng khác là μX=E[X].
Đối với các biến ngẫu nhiên rời rạc, PDF có thể được viết bằng hàm xác suất khối,
11
f X x PX xk x xk
(1.28)
k
Kỳ vọng cho các biến ngẫu nhiên rời rạc như sau:
E X xk PX xk
(1.29)
k
Do đó, giá trị kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên rời rạc chỉ đơn giản là một giá trị
trung bình của các giá trị mà biến ngẫu nhiên có thể đạt được, được tính trọng số bởi
hàm khối xác suất của mỗi giá trị.
b) Kỳ vọng của hàm biến ngẫu nhiên
Định nghĩa 1.8: Với một biến ngẫu nhiên X với PDF fX(x), giá trị kỳ vọng của
một hàm g(X) của biến ngẫu nhiên đó được cho bởi:
E f X g x f X x dx
(1.30)
Đối với một biến ngẫu nhiên rời rạc, định nghĩa này trở thành:
Eg X g xk PX xk
(1.31)
k
Để bắt đầu, chúng ta chứng minh một tính chất cực kỳ hữu ích của sự kỳ vọng
trong định lý sau đây.
Định lý 1.1: Với hằng số a và b bất kỳ,
EaX b aEX b
(1.32)
Hơn nữa, đối với bất kỳ hàm g(x) có thể được viết như là một tổng của một số
hàm số khác (tức là g(x) = g1(x) + g2(x) + ... + gN(x)),
N
N
E g k X E g k X
(1.33)
k 1
k 1
Nói cách khác, kỳ vọng là một phép tính tuyến tính và toán tử kỳ vọng
(expectation operator) có thể được trao đổi (theo thứ tự) với bất kỳ phép toán tuyến
tính nào khác.
Chứng minh: Cách chứng minh trực tiếp nhờ vào tính chất tuyến tính của toán
tử tích hợp.
E aX b
ax b f X x dx
a xf X x dx b aE X b
(1.34)
Phần thứ hai của định lý được chứng minh một cách đồng nhất:
N
N
N
N
E g k X g k x f X x dx g k x f X x dx E g k X (1.35)
k 1
k 1
k 1
k 1
c) Các mô men và phương sai của biến ngẫu nhiên
c1) Định nghĩa mô men của biến ngẫu nhiên
Định nghiã 1.9: Mô men bậc n của một biến ngẫu nhiên X được xác định là:
12
E X n x n f X x dx
(1.36)
Đối với một biến ngẫu nhiên rời rạc, định nghĩa này trở thành:
E X n xkn PX xk
(1.37)
k
Mô men không đơn giản là vùng dưới PDF và do đó phải bằ ng 1 đố i với bất kỳ
biến ngẫu nhiên nào. Những mô men được sử dụng phổ biến nhất là những mô men
bậc một và bậc hai. Mô men bậc một là những gì chúng ta đã đề cập ở phần trên, như
là giá tri ̣ trung bình, trong khi mô men bậc hai là biǹ h phương giá tri ̣ trung biǹ h. Đối
với một số biến ngẫu nhiên, mômên bậc hai có ý nghiã quan tro ̣ng hơn mô men bậc
một.
c2) Mô men trung tâm và phương sai của biến ngẫu nhiên
Xét một biến ngẫu nhiên Y có thể được biểu diễn bằng tổng Y = a + X của một
phần xác định (tức là không ngẫu nhiên) là a và một phần ngẫu nhiên X. Hơn nữa, giả
sử phần ngẫu nhiên có xu hướng rất nhỏ so với phầ n xác đinh.
̣ Nghĩa là, biến ngẫu
nhiên Y có khuynh hướng biến đổi nhỏ về một giá trị không đổi a. Như vậy có thể là
trường hợp này có một tín hiệu cố định bị hỏng do nhiễu. Trong trường hợp này, ta có
thể viết Yn = (a + X)n ≈ an. Trong trường hợp này, mô men bậc n của Y sẽ bị chi
phối bởi phần cố định. Tức là, khó xác định tính ngẫu nhiên trong Y bằng cách nhìn
vào những mô men. Để khắc phục điều này, ta có thể sử dụng khái niệm những phân
phố i chuẩ n.
Định nghiã 1.10: Mô men trung tâm bậc n của một biến ngẫu nhiên X được xác
định là:
E X X
n
n
x X f X x dx
(1.38)
Trong phương trình này, μX là giá tri ̣ trung bình (mô men bậc 1) của biến ngẫu
nhiên. Đối với các biến ngẫu nhiên rời rạc, định nghĩa này trở thành:
E X X xk X PX xk
n
k
(1.39)
k
Với phân phố i chuẩ n, giá tri ̣trung bình được trừ khỏi biến trước khi tính mô men
để loại bỏ sự chênh lê ̣ch giữa những mô men cao hơn giá tri ̣ trung bình. Giống như
những mô men thông thường, mô men trung tâm bậc 0 là
E[(X - μX)0] = E[1] = 1.
Ngoài ra, mô men trung tâm bậc 1 là E[(X − µX )0]= E[1]= 1.Vì vậy, mô men trung
tâm bậc thấp nhất thực sự có ý nghĩa là mô men bậc 2. Phân phố i chuẩ n này có tên đặc
biệt là phương sai và chúng ta thường sử dụng ký hiệu σ2X để biểu diễn biến thiên của
biến ngẫu nhiên X.
X2
2
E X X E X 2 2 X X X2 E X 2 2 X E X X2
2
2
E X X
(1.40)
13
Một đa ̣i lượng phổ biến khác liên quan đến mô men bậc hai của biến ngẫu nhiên
là độ lệch chuẩn, được xác định là căn bậc hai của phương sai,
X E X X 2
Cả phương sai và độ lệch tiêu chuẩn đề u là thước đo chiều rộng của PDF của một
biến ngẫu nhiên. Một số phân phố i chuẩ n cao hơn cũng có tên đặc biệt, mặc dù chúng
ít được sử dụng hơn. Mô men trung tâm bậc ba được gọi là độ lệch và là thước đo đối
xứng của PDF về trung bình. Mô men trung tâm bậc bốn được gọi là kurtosis và là
thước đo của điể m cao nhấ t của một biến ngẫu nhiên gần với giá trị trung bình. Không
phải tất cả các biến ngẫu nhiên đều có những mô men xác đinh
̣ và (hoặc) phân phố i.
Định nghĩa 1.11: Hệ số bất đối xứng hay độ xiên (skewness) là:
cs
E X X
3
3
X
(1.41)
Đây là một số không có định lượng là dương nếu biến ngẫu nhiên có PDF
nghiêng sang bên phải và âm nếu nghiêng sang trái. Hệ số nhọn hay độ gù (kurtosis)
cũng không có chiều rộng và được tiń h là:
ck
E X X
4
4
X
(1.42)
PDF càng tập trung gần với giá tri ̣trung bình của nó, thì hệ số kurtosis càng lớn.
Nói cách khác, một biến ngẫu nhiên với một hệ số lớn của kurtosis sẽ có điể m cao nhấ t
gần mức trung bình.
d) Hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên
Hàm đặc trưng của một biến ngẫu nhiên liên quan chặt chẽ đến biến đổi Fourier
của PDF của biến ngẫu nhiên đó, do đó hàm đặc trưng cung cấp một loại đại diện
"miền tần số" của một biến ngẫu nhiên.
Định nghiã 1.12: Hàm đặc trưng của một biến ngẫu nhiên, X, được cho bởi:
X E ei X ei x f X x dx
(1.43)
Biến đổi Fourier của hàm fX(x) sẽ là Ф (-ω). Với mối quan hệ giữa PDF và hàm
số đặc trưng, chúng ta có thể nhận được PDF của một biến ngẫu nhiên từ hàm đặc
trưng của nó thông qua một phép biến đổi Fourier ngược:
1 jx
f X x
e X d
(1.44)
2
Đinh
̣ lý 1.2: Đối với bất kỳ biến ngẫu nhiên có hàm đặc trưng khả vi ở ω = 0,
khi đó ta có:
EX j
d
X
0
d
(1.45)
14
Chứng minh: Các phép tính kỳ vọng và đạo hàm đều là tuyến tính và do đó thứ
tự của các phép tiń h này có thể được hoán đổi.
d
d
d j X
X
E E j X E
e E jXe j X jE Xe j X
d
d
d
Nhân hai bên với -j và tính tại ω = 0 cho kết quả cầ n tìm.
Định lý 1.2 cho thấy tính hữu du ̣ng của hàm đă ̣c trưng. Một khi hàm đặc trưng
của một biến ngẫu nhiên đã tính đươ ̣c, viê ̣c tính giá tri ̣ trung bình của biến ngẫu nhiên
là rấ t đơn giản. Ngoài ra, bằng cách lấy đa ̣o hàm bậc k của hàm đặc trưng và tiń h tại
ω = 0, một biểu thức tỉ lệ thuận với mô men bậc k của biến ngẫu nhiên được tạo ra.
Cu ̣ thể là:
E X k j
k
dk
X
0
d k
(1.46)
Do đó, hàm đặc trưng là công cụ thuận tiện để xác định mô men của một biến
ngẫu nhiên.
Đối với các biến ngẫu nhiên có hàm đặc trưng phức tạp hơn, việc tính đa ̣o hàm k
thường không dễ dàng. Tuy nhiên, phương trình (2.38) chỉ yêu cầu đa ̣o hàm bậc k tại
một điểm duy nhất (ω = 0), có thể trích ra từ sự mở rộng của chuỗi Taylor đối với hàm
đặc trưng. Để xem xét điều này, từ định lý của Taylor, hàm đặc trưng có thể được mở
rộng của chuỗi lũy thừa như:
k
1 dk
X
k
0
k
!
d
k 0
X
(1.47)
Nếu ta có thể có thể mở rộng hàng loạt các hàm đặc trưng, thì các đa ̣o hàm được
yêu cầu tỉ lệ với các hệ số của chuỗi lũy thừa. Cụ thể, giả sử sự mở rộng có da ̣ng:
X k k
(1.48)
k 0
là có thể tính toán được. Sau đó đa ̣o hàm của hàm đă ̣c trưng đươ ̣c cho bởi:
dk
X
k !k
0
d k
(1.49)
Các mô men của biến ngẫu nhiên sau đó được tiń h bởi
E X k j k !k
k
(1.50)
1.2. Quá trình ngẫu nhiên
1.2.1. Định nghĩa quá trình ngẫu nhiên
Định nghĩa 1.13: Một quá trình ngẫu nhiên là một hàm của các phần tử của một
không gian mẫu S và một biến t độc lập khác. Cho một phép thử E, với không gian
15
mẫu S, quá trình ngẫu nhiên, X(t), xác định tất cả các kết quả có thể với ζ ∈ S, tạo ra
hàm của t, x(t,ζ), dựa trên một số nguyên tắc nhất định.
1.2.2. Các đặc trưng của quá trình ngẫu nhiên
Giống như các biến ngẫu nhiên, chúng ta có thể mô tả toán học một quá trình
ngẫu nhiên dưới dạng một hàm phân phối tích luỹ, một hàm mật độ xác suất, hoặc
một hàm xác suất khối. Trong thực tế, cho một quá trình ngẫu nhiên, X(t), được lấy
mẫu tại một số điểm xác định trong thời gian, t = tk, kết quả là một biến ngẫu nhiên,
Xk = X (tk). Biến ngẫu nhiên này có thể được mô tả dưới dạng PDF, fX(xk;tk). Một biến
thời gian bổ sung đã được thêm vào PDF. Điều này là cần thiết do thực tế là PDF của
mẫu của quá trình ngẫu nhiên có thể phụ thuộc vào thời điểm quá trình được lấy mẫu.
Nếu muốn, CDF hoặc PMF có thể được sử dụng thay vì PDF để mô tả mẫu của quá
trình ngẫu nhiên.
PDF (hoặc CDF hoặc PMF) của một mẫu của một quá trình ngẫu nhiên được
thực hiện tại một thời điểm bất kỳ đến một thời điểm khác sẽ biểu diễn một quá trình
ngẫu nhiên, nhưng nó không phải là một mô tả đầy đủ. Để xem điều này, xem xét hai
mẫu, X1 = X(t1) và X2 = X(t2), được xét tại hai điểm tùy ý trong thời gian. Hàm PDF
fX(x; t) mô tả cả X1 và X2, nhưng nó không mô tả mối quan hệ giữa X1 và X2. Đối với
một số quá trình ngẫu nhiên, có thể hợp lý khi kỳ vọng rằng X1 và X2 có mối tương
quan cao nếu t1 gần t2, ngược lại khi X1 và X2 sẽ hầu như không tương quan nếu t1 và t2
cách xa nhau. Để mô tả các mối quan hệ của loại này, cần có một hàm PDF chung của
hai mẫu. Do đó, nó sẽ là cần thiết để xây dựng một PDF chung của các hình thức fX1,X2
(x1,x2; t1,t2). Đây được gọi là PDF bậc hai của quá trình ngẫu nhiên X(t).
Như vậy để mô tả đầy đủ quá trình ngẫu nhiên, cần phải chỉ định thứ tự PDF thứ
n cho một n tùy ý. Nghĩa là, giả sử quá trình ngẫu nhiên được lấy mẫu tại thời điểm t 1,
t2, ..., tn, tạo ra các biến ngẫu nhiên X1 = X(t1), X2 = X(t2), ... , Xn = X(tn). Các hàm
PDF chung của các mẫu n, fX1,X2 ,...,Xn (x1, x2, ... , xn; t1, t2, ... , tn), cho một thời gian
lấy mẫu tùy ý n và bất kỳ sẽ cho mô tả đầy đủ quá trình ngẫu nhiên. Để làm cho ký
hiệu này trở nên nhỏ gọn hơn, các véc tơ X = (X1, X2, ... , Xn)T , x = (x1, x2, ... , xn)T ,
và t = (t1, t2, ... , tn)T được giới thiệu và tập hợp PDF thứ n được viết bằng fX(x;t).
a) Hàm trung bình
Định nghĩa 1.14: Các hàm trung bình của một quá trình ngẫu nhiên chỉ đơn giản
là giá trị kỳ vọng của quá trình. Đối với các quá trình với thời gian liên tục được viết
như trong các quá trình thời gian rời rạc, ký hiệu sau được sử dụng:
X t E X t xf X x; t dx
(1.51)
Nói chung, ý nghĩa của một quá trình ngẫu nhiên có thể thay đổi theo thời gian,
nhưng trong nhiều trường hợp, hàm này là không đổi. Ngoài ra, chỉ cần PDF đầu tiên
của quá trình này là cần thiết để tính toán các hàm trung bình.
