luận văn tiến sỹ phân tích dao động của tấm chữ nhật mỏng trực hướng trên nền đàn hồi với biên hoàn toàn tự do bằng phương pháp biến đổi tích phân cosin hữu hạn kép

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ
VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM
VIỆN CƠ HỌC



VŨ THỊ AN NINH




PHÂN TÍCH DAO ĐỘNG CỦA TẤM CHỮ NHẬT MỎNG
TRỰC HƯỚNG TRÊN NỀN ĐÀN HỒI VỚI BIÊN HOÀN TOÀN
TỰ DO BẰNG PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN
COSIN HỮU HẠN KÉP





LUẬN VĂN THẠC SĨ







Hà Nội - 2011

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng tất cả những kết quả khoa học trình bày trong luận văn
này là thành quả lao động của bản thân tôi với sự giúp đỡ của người hướng dẫn
khoa học.
Học viên


Vũ Thị An Ninh

LỜI CÁM ƠN

Trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này, tôi đã nhận được sự
hướng dẫn tận tình của các thầy, cô giáo và sự giúp đỡ của các cán bộ công tác
tại khoa cơ học Kỹ thuật và Tự động hóa trường Đại học Công nghệ - Viện cơ.
Trước hết, tôi xin chân thành cảm ơn tới các thầy cô giáo, các cán bộ công
tác tại khoa cơ học Kỹ thuật và Tự động hóa trường Đại học Công nghệ - Viện

cơ đã tận tình dạy bảo cho tôi trong suốt quá trình học tập tại trường.
Tôi xin gửi lời biết ơn sâu sắc tới TS. Phạm Thị Toan, người đã dành rất
nhiều thời gian và tâm huyết hướng dẫn nghiên cứu và giúp đỡ tôi hoàn thành
luận văn tốt nghiệp.
Nhân đây, tôi xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp trong Bộ môn Cơ
lý thuyết- Trường Đại học Giao thông Vận tải đã tạo rất nhiều điều kiện để tôi
học tập và hoàn thành tốt luận văn.
Cuối cùng tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè và người thân đã
động viên khích lệ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn.
Mặc dù tôi đã có nhiều cố gắng hoàn thiện luận văn bằng tất cả nhiệt tình
và năng lực của mình, tuy nhiên không thể tránh khỏi những thiếu sót, rất mong
nhận được sự đóng góp quí báu của thầy cô và các bạn.
Hà nội, ngày 01 tháng 3 năm 2011
Học viên
Vũ Thị An Ninh













- 1i -

MỤC LỤC
MỤC LỤC………………………………………………………………….
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT……………………
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ……………………………………………
MỞ ĐẦU…………………………………………………………………
Chương 1. TỔNG QUAN…………………………………………
1.1 Tổng quan các nghiên cứu về dao động tấm…………
1.2 Phương pháp biến đổi tích phân cosin hữu hạn kép…………….
Kết luận chương 1……………………………………………………
Chương 2. THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DAO ĐỘNG UỐN
CỦA TẤM MỎNG TRÊN NỀN ĐÀN HỒI THEO MÔ HÌNH NỀN

WINKLER………………………………………………………………….
2.1 Các giả thiết cơ bản của lý thuyết tấm mỏng…………………….
2.2 Thiết lập phương trình vi phân dao động uốn của tấm mỏng trực
hướng……………………………………………………………
2.3 Phương trình vi phân dao động uốn của tấm mỏng đẳng hướng…
2.4. Phương trình vi phân dao động uốn của tấm mỏng trên nền đàn
hồi theo mô hình nền Winkler…………………………………
2.4.1 Ứng xử của nền đàn hồi………………………………
2.4.2 Mô hình nền Winkler…………………………………
2.4.3 Phương trình vi phân dao động uốn của tấm mỏng trên
nền đàn hồi theo mô hình nền Winkler…………………
Kết luận chương 2
Chương 3. GIẢI BÀI TOÁN DAO ĐỘNG CỦA TẤM MỎNG TRỰC
HƯỚNG TRÊN NỀN ĐÀN HỒI VỚI BIÊN HOÀN TOÀN TỰ DO………
3.1 Bài toán………………………………………………………………….
3.2 Giải bài toán…………………………………………………………….
3.3 Kết quả số……………………………………………………………….
Kết luận chương 3……………………………………………………………

1i
3i
5i
1
3
3
4
5


6
6

7
16

17
17
18

19
20

21
21
22
40
40
- 2i -

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ…………………………………….
TÀI LIỆU THAM KHẢO…………………………………………
PHỤ LỤC
PL1. Chương trình Matlab tính định thức cho tấm trực hướng
PL2. Chương trình Matlab tính định thức cho tấm đẳng hướng







41
43
46
46
50

- 3i -
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

Q
x
,: Lực cắt trên một đơn vị dài ở các mặt cắt x = const theo hướng z.
Q
y
: Lực cắt trên một đơn vị dài ở các mặt cắt y = const theo hướng z.
M
x
: Mô men uốn trên một đơn vị dài ở các mặt cắt x = const.
M
y
: Mô men uốn trên một đơn vị dài ở các mặt cắt y = const.

M
xy
: Mô men xoắn trên một đơn vị dài, vuông góc với mặt cắt x= const.
M
yx
: Mô men xoắn trên một đơn vị dài, vuông góc với mặt cắt y = const.
q: Tải trọng ngoài phân bố trên một đơn vị diện tích, vuông góc với mặt trung
hòa.
w(x,y,t): Dịch chuyển của các điểm thuộc mặt trung hòa theo hướng z.
u: Dịch chuyển theo phương x của điểm M cách mặt trung hòa một khoảng z.
v: Dịch chuyển theo phương y của điểm M cách mặt trung hòa một khoảng z.
w: Dịch chuyển theo phương z của điểm M cách mặt trung hòa một khoảng z.
u
0
: Dịch chuyển theo phương x của điểm A thuộc mặt trung hòa.
v
0
: Dịch chuyển theo phương y của điểm A thuộc mặt trung hòa.
w
0
: Dịch chuyển theo phương z của điểm A thuộc mặt trung hòa.
E
x
, E
y
: mô đun đàn hồi theo các phương x và y.
yxxy


,

: hệ số Poisson theo phương y,x.
G
xy
: mô đun cắt.
D
x
: độ cứng uốn của tấm đối với trục x.
D
y
: độ cứng uốn của tấm đối với trục y.
D
xy
: độ cứng xoắn của tấm.
2

: toán tử Laplace.
p: Phản lực nền.
k : hệ số phản lực nền.
a : Chiều dài của tấm.
b : Chiều rộng của tấm.

: mật độ khối của tấm.
- 4i -
h: bề dày của tấm.
ω : Tần số riêng của tấm.
W(x, y) : hàm dạng mô tả ‘‘mode’’ dao động của tấm.

- 5i -
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ

Hình 2.1: Cách thiết lập hệ trục tọa độ…………………………………
Hình 2.2: Phân tố hình hộp chữ nhật chịu tác dụng của các lực

và mô men……………………………………………………
Hình 2.3: Tại mặt cắt y = const của tấm…………………………………
Hình 2.4: Mô tả sự biến dạng của tấm chịu tác động của tải trọng phân

bố theo mô hình nền Winkler………………………

7

8
11

18


- 1 -
MỞ ĐẦU

Trong thực tế, tấm chữ nhật trực hướng thường gặp nhiều trong các ứng
dụng kỹ thuật khác nhau của vật liệu composite như các kết cấu, công trình xây
dựng, cơ khí và công nghiệp hàng không. Dao động của tấm chữ nhật với các
điều kiện biên thay đổi được nghiên cứu rộng rãi từ lâu. Hầu hết các nghiên cứu
đó chỉ thích hợp với các điều kiện biên đặc biệt.
Phương pháp được sử dụng nhiều nhất trong phân tích dao động tự do của tấm là
phương pháp năng lượng Rayleigh – Ritz. Gorman áp dụng phương pháp chồng
chất để giải xấp xỉ bài toán dao động tự do của tấm với các điều kiện biên hình
học thay đổi [9,10]. Hurlebaus và các tác giả khác [8] mở rộng lời giải chuỗi
Fourier với các điều kiện biên phức tạp hơn điều kiện biên tựa đơn giản. Các

phương pháp số khác như phương pháp phần tử hữu hạn [20] và phương pháp
phần tử biên [21] được nhiều nhà nghiên cứu áp dụng để phân tích tấm trên nền
đàn hồi. Tuy nhiên, rất khó thu được lời giải chính xác thỏa mãn cả phương trình
đạo hàm riêng và các điều kiện biên của tấm.
Biến đồi tích phân là một trong các phương pháp tốt nhất thu được lời giải
hiển của phương trình đạo hàm riêng trong đàn hồi [17]. Phương pháp này
thường sử dụng để phân tích một số bài toán kết cấu [18]. Trong thiết kế mặt
đường cứng cao tốc hoặc mặt đường bê tông xi măng là mô hình giống như tấm
mỏng Kirchhoff với các biên tự do hoàn toàn. Rất tiếc, dựa trên hiểu biết của tác
giả, không có bài báo nào nói về cách áp dụng phép biến đổi tích phân hữu hạn
để phân tích tấm chữ nhật trực hướng trên nền đàn hồi.
Luận văn này trình bày chi tiết cách thiết lập phương trình vi phân dao
động uốn của tấm mỏng trực hướng và áp dụng phương pháp biến đổi tích phân
cosin hữu hạn kép để xác định tần số dao động riêng của tấm mỏng trực hướng
đặt trên nền đàn hồi theo mô hình nền Winkler. Do chỉ áp dụng các biến đổi tích
phân cơ bản vào phương trình chuyển động của tấm mỏng trên nền đàn hồi, nên
lời giải trình bày trong luận văn này là hợp lý và đơn thuần lý thuyết.
- 2 -

Mục đích của đề tài: Xác định tần số riêng của tấm mỏng chữ nhật trực hướng
với điều kiện biên tự do. Áp dụng phương pháp biến đổi tích phân cosin hữu hạn
kép để giải bài toán.
Bố cục luận văn gồm ba chương:
Chương 1. Tổng quan. Tổng hợp các phương pháp nghiên cứu dao động của tấm
nói chung và trình bày phương pháp được áp dụng trong luận văn.
Chương 2. Thiết lập phương trình vi phân dao động uốn của tấm mỏng trên nền
đàn hồi theo mô hình nền Winkler. Dựa trên nguyên lý Đ’Alembert và các
phương trình cơ bản trong lý thuyết đàn hồi và các giả thiết cơ bản của lý thuyết
tấm mỏng để thiết lập phương trình vi phân dao động uốn của tấm mỏng trực
hướng đặt trên nền đàn hồi theo mô hình nền Winker.

Chương 3. Giải bài toán dao động của tấm mỏng trực hướng trên nền đàn hồi
với biên hoàn toàn tự do. Trình bày chi tiết cách thiết lập định thức để xác định
tần số dao động riêng của tấm trực hướng đặt trên nền đàn hồi dựa trên phương
pháp biến đổi tích phân cosin hữu hạn kép. Áp dụng phần mềm Matlab để giải
định thức trên.














- 3 -

CHƯƠNG 1. TỔNG QUAN

Trong các ngành kỹ thuật hiện đại, nhiều kết cấu và chi tiết là những tấm
dị hướng, tức là tấm làm bằng vật liệu có tính chất đàn hồi khác nhau theo các
phương. Trong số những vật liệu dị hướng, vật trực hướng có tầm quan trọng
trong các ứng dụng thực tế. Do vậy, dao động tấm mỏng chữ nhật trực hướng
được rất nhiều tác giả quan tâm. Tuy nhiên, rất khó thu được lời giải chính xác
thỏa mãn cả phương trình đạo hàm riêng và các điều kiện biên của tấm.
Xác định tần số riêng trong dao động tự do của tấm chữ nhật mỏng trực

hướng biên hoàn toàn tự do không đặt tải bằng phương pháp biến đổi tích phân
hữu hạn kép được đặt ra. Phương pháp này không cần phải xác định hàm biến
dạng mà chỉ cần sử dụng một số phép biến đổi toán học cơ bản áp dụng cho
phương trình chuyển động của tấm trực hướng trong lý thuyết tấm kinh điển.
1.1 Tổng quan các nghiên cứu về dao động tấm.
Nghiên cứu tần số dao động của tấm đầu tiên phải kể đến Chaladni [22],
người tiên phong trong lĩnh vực nghiên cứu thực nghiệm. Sau đó Navier và
Levy tìm được các lời giải giải tích đối với các điều kiện biên đặc biệt. Tuy
không tìm được nghiệm dạng đóng đối với trường hợp tấm chữ nhật với các
điều kiện biên tự do, nhưng cũng đã đưa ra một số phương pháp giải xấp xỉ.
Warburton [19] áp dụng các hàm dao động mô tả đặc tính của dầm theo
phương pháp Rayleigh [16] để thu được biểu thức xấp xỉ đơn giản cho tần số
dao động tự nhiên của tấm mỏng trực hướng. Bài báo của ông được Hearmon
[13] mở rộng và áp dụng cho tấm trực hướng đặc biệt, và Dickinson [6] nghiên
cứu các bài toán tải trọng phẳng. Tuy nhiên, số cạnh tự do càng nhiều thì càng
làm giảm độ chính xác của tần số dao động.
Kim và Dickinson [7] cải tiến biểu thức xấp xỉ, sử dụng phương pháp
Rayleigh kết hợp với lý thuyết năng lượng thế năng cực tiểu. Iguchi [23] giới
thiệu lời giải tấm chữ nhật đẳng hướng. Tuy nhiên, công việc chỉ dừng lại với
tấm vuông. Rajalingham và một số tác giả khác [4] rút gọn phương trình dao
- 4 -
động của tấm thành hệ phương trình vi phân thường. Tuy nhiên, cũng chỉ đưa ra
các kết quả đối với các tham số mô tả đặc tính của tấm chữ nhật đẳng hướng bị
ngàm.
Liew và Lam [14] phân tích dao động tấm chữ nhật tựa tại một điểm dựa
trên phương pháp Rayleigh – Ritz và tổ hợp các hàm tấm trực hướng Gram –
Schmidt. Một phương pháp xấp xỉ được đề xuất, có thể áp dụng rộng rãi đối với
bài toán tấm tựa tại một điểm chịu sự phân bố tùy ý với sự kết hợp bất kỳ các
điều kiện biên cổ điển. Bài báo của Lessa được Deobald và Gibson [5] mở rộng,
họ cũng áp dụng phương pháp Rayleigh - Ritz cho tấm trực hướng. Gorman

[11,12] giải phương trình vi phân đối với tấm đẳng hướng cũng như tấm trực
hướng bằng phương pháp siêu vị trí.
Gần đây, Wang và Lin [15] đưa ra phương pháp tổng quát hóa xét dao
động của tấm trực hướng. Ông đưa ra nghiệm dạng chuỗi. Sự hội tụ của nghiệm
được đảm bảo và chính xác đến từng điểm. Tần số riêng được kiểm nghiệm
bằng phương pháp khác và chỉ ra rằng phương pháp này là đơn giản và hiệu quả.
Chính vì những ưu điểm của cách tiếp cận này mà luận văn đã chọn
phương pháp biến đổi tích phân cosin hữu hạn kép vào bài toán mở rộng hơn, đó
là bài toán xác định tần số riêng của tấm trực hướng trên nền đàn hồi.
Thiết lập phương trình chuyển động của tấm chữ nhật trực hướng trên nền
đàn hồi, sau đó áp dụng phương pháp biến đổi tích phân cosin hữu hạn kép để
xây dựng định thức xác định tần số riêng của tấm. Tiếp theo, sử dụng phần mềm
Matlab để tính toán trên định thức đã được thiết lập.
1.2 Phương pháp biến đổi tích phân cosin hữu hạn kép
Nếu f (x,y) là hàm của hai tham biến độc lập x và y, với

0 < x < a, 0 < y < b, thì biến đổi tích phân cosin hữu hạn kép được định nghĩa
bởi phương trình:
ydxdyxyxfnmf
n
a b
m

coscos),(),(
0 0


Công thức ngược của biến đổi tích phân cosin hữu hạn kép được xác định:
- 5 -













1 11
1
coscos),(
4
cos),0(
2
cos)0,(
2
)0,0(
1
),(
m n
nm
n
n
m
m
yxnmf

ab
ynf
ab
xmf
ab
f
ab
yxf




Kết luận chương 1
Nêu tổng quan về nghiên cứu dao động tấm của các nhà nghiên cứu bằng
các phương pháp khác nhau, phương pháp biến đổi tích phân côsin hữu hạn kép
áp dụng trong luận văn và phương pháp số dùng để giải định thức xác định tần
số dao động.

- 6 -
CHƯƠNG 2.
THIẾT LẬP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN DAO ĐỘNG UỐN CỦA TẤM
MỎNG TRÊN NỀN ĐÀN HỒI THEO MÔ HÌNH NỀN WINKLER

Tấm là phần tử kết cấu có dạng phẳng mà bề dày của nó nhỏ so với các
kích thước khác. Cũng như khi nghiên cứu dao động uốn của dầm, khi tính toán

dao động uốn của tấm người ta sử dụng nhiều mô hình cơ học khác nhau. Tiêu
chuẩn phân biệt quan trọng nhất là tỷ số giữa bề dày h của tấm với các kích
thước bề mặt của tấm. Người ta thường phân ra bốn loại tấm: tấm rất mỏng, tấm
mỏng, tấm trung bình và tấm dày. Trong chương này, tác giả sẽ trình bày chi tiết
cách thiết lập phương trình dao động uốn của tấm mỏng theo lý thuyết của
Kirchhoff trên nền đàn hồi Winkler.
2.1 Các giả thiết cơ bản của lý thuyết tấm mỏng
Để thiết lập phương trình dao động uốn của tấm, ta thừa nhận các giả
thiết của lý thuyết tấm mỏng của G. R. Kirchoff (1824 - 1887) [3] như sau:
1- Biến dạng uốn của tấm khi dao động là những biến dạng nhỏ tuân theo
định luật Hooke.
2- Trong tấm luôn luôn tồn tại một lớp trung hòa mà khoảng cách giữa
các điểm của nó không thay đổi. Khi tấm bị uốn ít, lớp trung hòa trùng
với mặt cong trung bình chia đôi bề dày của tấm. Ta gọi mặt này là
mặt trung hòa.
3- Các phần tử của tấm nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt trung
hòa, khi tấm bị uốn vẫn nằm trên đường thẳng đó và đường thẳng đó
vẫn vuông góc với mặt trung hòa.
4- Không xét đến các ứng suất vuông góc với mặt trung hòa.
5- Bỏ qua ảnh hưởng của biến dạng trượt và quán tính quay.




- 7 -
2.2 Thiết lập phương trình vi phân dao động uốn của tấm mỏng trực hướng
Xét dao động uốn của tấm mỏng trực hướng có bề dày h nhỏ so với các
kích thước khác của mặt đáy, mật độ khối

không đổi. Mặt phẳng song song

với mặt đáy và chia đôi bề dày h của tấm được gọi là mặt giữa hay mặt trung
hòa. Ta chọn hệ trục tọa độ như trên hình 2.1 với trục ox, oy nằm trong mặt
giữa, trục oz vuông góc với mặt giữa và hướng về phía dưới.


Hình 2.1: Cách thiết lập hệ trục tọa độ.

Ta tưởng tượng tách ra từ tấm một phân tố hình hộp chữ nhật có các cạnh
dx, dy, h . Khi đó phân tố chịu tác dụng của các lực và mô men như hình vẽ 2.2:
h

dx

dy
0

x

z

y

- 8 -

Hình 2.2: Phân tố hình hộp chữ nhật chịu tác dụng của các lực và mô men

trong đó:
Q
x
, Q

y
: Lực cắt trên một đơn vị dài ở các mặt cắt x = const, y = const theo
hướng z.
M
x
, M
y
: Mô men uốn trên một đơn vị dài ở các mặt cắt x = const, y =
const.
M
xy
, M
yx
: Mô men xoắn trên một đơn vị dài, vuông góc với mặt cắt x=
const, y = const.
q = q(x,y,t): Tải trọng ngoài phân bố trên một đơn vị diện tích, vuông góc
với mặt trung hòa.
w(x,y,t): Dịch chuyển của các điểm thuộc mặt trung hòa theo hướng z.
Áp dụng nguyên lý Đ’Alembert, viết các phương trình cân bằng tĩnh –
động cho các lực tác dụng lên phân tố hình hộp chữ nhật ở trên. Cụ thể:
Tổng hình chiếu các lực theo phương trục z là:
Q
x
dy – (Q
x
+ Q
x,x
dx )dy + Q
y
dx – (Q

y
+ Q
y,y
dy )dx - (q -

h

w
)dxdy = 0
Rút gọn phương trình trên ta được:
Q
x,x
+ Q
y,y
+ q -

h

w
= 0
(q -

h

w
)dxdy
Q
y
dx
h

(M
xy
+M
xy,x
dx)dy
M
xy
dy
(M
yx
+M
yx,y
dy)dx
M
yx
dx
(M
y
+M
y,y
dy)dx
M
y
dx
(Q
x
+ Q
x,x
dx)dy
(M

x
+M
x,x
dx)dy
M
x
dy
Q
x
dy
(Q
y
+Q
y,y
dy)dx
dy
dx
- 9 -
hay :
0
2
2










q
t
w
h
y
y
Q
x
x
Q

(2.1)
Phương trình mô men theo đường thẳng phía bên trái nằm trong mặt giữa và
song song với trục 0y là:
-M
x
dy + (M
x
+ M
x,x
dx)dy + M
yx
dx - (M
yx
+ M
yx,y
dy)dx – (Q
x
+ Q

x,x
dx)dy.dx
+ Q
y
dx.
2
dx
- (Q
y
+Q
y,y
dy)dx.
2
dx
- (q -

h

w
)dxdy.
2
dx
= 0
rút gọn phương trình trên ta được:
M
x,x
dxdy - M
yx,y
dxdy – Q
x

dy.dx - Q
x,x
 
2
dx
dy - Q
y,y
 
2
2
dx
dy
- (q -

h

w
)
 
2
2
dx
dy = 0
bỏ qua các số hạng nhỏ bậc cao, ta có:
M
x,x
- M
yx,y
– Q
x

= 0
hay

0





x
Q
y
yx
M
x
x
M
(2.2)
Tương tự, phương trình mô men theo đường thẳng phía trong nằm trên mặt giữa
và song song với trục 0x là:
M
y
dx - (M
y
+M
y,y
dy)dx + M
xy
dy - (M
xy

+M
xy,x
dx)dy + (Q
y
+Q
y,y
dy)dx. dy -
Q
x
dy.
2
dy
+ (Q
x
+ Q
x,x
dx)dy.
2
dy
+ (q -

h

w
)dxdy.
2
dy
= 0
rút gọn phương trình trên, ta có:
- M

y,y
dxdy - M
xy,x
dxdy + Q
y
dxdy + Q
y,y
 
2
dy
dx + Q
x,x
 
2
2
dy
dx
+ (q -

h

w
)
 
2
2
dy
dx = 0
Bỏ qua các số hạng nhỏ bậc cao, ta nhận được :
M

y,y
+ M
xy,x
- Q
y
= 0
hay
- 10 -

0





y
Q
x
xy
M
y
y
M
(2.3)
Từ phương trình (2.2) suy ra :

y
yx
M
x

x
M
x
Q






(2.4)
Từ phương trình (2.3) suy ra :

x
xy
M
y
y
M
y
Q






(2.5)
Thế (2.4), (2.5) vào phương trình (2.1):
0

2
2












































q
t
w
h
x
xy
M
y
y
M
y
y
yx
M
x

x
M
x


khai triển các số hạng trong phương trình trên, ta được :
0
2
2
2
2
22
2
2















q

t
w
h
yx
xy
M
y
y
M
yx
yx
M
x
x
M

(2.6)
Mặt khác, theo quy luật đối ứng của ứng suất tiếp:
M
xy
= - M
yx
(2.7)
Thay (2.7) vào phương trình (2.6):
0
2
2
2
2
22

2
2















q
t
w
h
yx
xy
M
y
y
M
yx
xy
M

x
x
M


cuối cùng ta được :
0
2
2
2
2
2
2
2
2












q
t
w

h
yx
xy
M
y
y
M
x
x
M

(2.8)
Bây giờ, ta biểu diễn mối quan hệ giữa M
x,
M
y
, M
xy
qua độ võng w của
mặt trung hòa. Cần lưu ý rằng, theo [1] :



2/
2/
h
h
zdz
xxx
M


,



2/
2/
h
h
zdz
yyy
M

,



2/
2/
h
h
zdz
xyxy
M

(2.9)
Xét điểm M(x, y, z) thuộc pháp tuyến của mặt trung hòa của tấm và cách
mặt trung hòa một khoảng là z. Ta ký hiệu u, v, w là các thành phần dịch chuyển
của điểm M theo các trục x, y, z, tương ứng. Ký hiệu u
0

, v
0
, w
0
là các thành phần
- 11 -
dịch chuyển tương ứng của điểm A thuộc mặt trung hòa mà MA vuông góc với
mặt trung hòa. Từ các giả thiết trên, ta có :
u
0
= v
0
= 0, w
0
= w(x,y,t)
Muốn tìm mối quan hệ giữa chuyển vị u và độ võng w(x,y,t), ta cắt tấm
bằng mặt phẳng song song với mặt phẳng 0xz, hình 2.3. Xét điểm M cách điểm
A một đoạn z. Sau khi biến dạng thì pháp tuyến của mặt trung hòa vẫn thẳng và
chỉ xoay đi một góc α quanh trục đi qua điểm này, bề dày của tấm không thay
đổi và mặt giữa không biến dạng vì không có lực căng, cho nên tất cả các điểm
trên mặt giữa chỉ có chuyển vị thẳng đứng. Do vậy chuyển vị của điểm M theo
phương x sẽ là:

tan
z
u
→ u = z tanα

mà

x
w




tan

suy ra:
u = z
x
w



Trong kỹ thuật người ta thường quy ước độ võng hướng xuống dưới là
dương, tức là ngược lại với quy ước ở hình vẽ trên. Vì vậy để phù hợp về dấu
khi quy ước độ võng hướng xuống dưới là dương, ta thêm vào dấu âm trước vế
phải của biểu thức trên:
z
α
M
*

α
u
M
A
0
z

x
Hình 2.3: Tại mặt cắt y = const của tấm
- 12 -
u = - z
x
w


(2.10)
Tương tự, mối quan hệ giữa chuyển vị v và độ võng w(x,y,t) là:
v = - z
y
w


(2.11)
Công thức Cauchy liên hệ giữa biến dạng và dịch chuyển trong lý thuyết
đàn hồi tuyến tính [1], ta có:





















x
v
y
u
xy
y
v
yy
x
u
xx
2
1
,,

(2.12)
Thế các công thức (2.10) và (2.11) vào phương trình (2.12), ta được:
yx
w
z
xy
y

w
z
yy
x
w
z
xx









2
,
2
2
,
2
2

(2.13)
Liên hệ giữa biến dạng và ứng suất viết cho vật liệu trực hướng [2] như
sau:

xy
xy

G
xy
xx
x
E
xy
yy
y
E
yy
yy
y
E
yx
xx
x
E
xx







2
1
1
1




(2.14)
trong đó:
E
x
, E
y
: mô đun đàn hồi theo các phương x và y.
yxxy


,
: hệ số Poisson hay hệ số co ngang theo phương y,x khi tấm chịu
kéo theo phương x, y tương ứng.
G
xy
: mô đun cắt hay còn gọi là mô đun đàn hồi loại 2 của tấm, đặc trưng
cho sự thay đổi độ lớn của góc giữa các phương x và y.
Để đơn giản, ta ký hiệu như sau:
xy
G
G
yx
yxyx



,
,






với ký hiệu trên, phương trình (2.14) được viết lại:
- 13 -

xy
G
xy
xx
x
E
x
yy
y
E
yy
yy
y
E
y
xx
x
E
xx








2
1
1
1



(2.15)
Đối với vật liệu trực hướng [2], ta có sự liên hệ sau đây:

xy
E
yx
E




x
E
x
y
E
y



 (2.16)
Thế (2.16) vào phương trình (2.15) và viết gọn lại, ta được:

xy
G
xy
xxyyy
y
E
yy
yyxxx
x
E
xx



2
1
1
1
















(2.17)
Từ (2.17), ta có thể biểu diễn ứng suất qua biến dạng như sau:

xy
G
xy
yx
xxx
E
yyyy
E
yy
yx
yyy
E
xxxx
E
xx










2
1
1







(2.18)
Thay (2.13) vào phương trình (2.18), ta nhận được:



- 14 -
yx
w
Gz
xy
y
w
x
y
w
yx
y

zE
x
w
x
E
y
y
w
y
E
yx
z
yy
y
w
y
x
w
yx
x
zE
y
w
y
E
x
x
w
x
E

yx
z
xx

































































2
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1
2
2
2
2
1













(2.19)
Thế phương trình (2.19) vào (2.9) ta sẽ biểu diễn được các thành phần mô
men uốn và mô men xoắn qua hàm độ võng w:
yx
w
Gh
dzz
yx
w
G
xy
M
x
w
x
y
w
yx
h
y

E
dzz
x
w
x
y
w
yx
y
E
y
M
y
w
y
x
w
yx
h
x
E
dzz
y
w
y
x
w
yx
x
E

x
M
h
h
h
h
h
h























































































2
12
3
2
2
2
2
2
2
2
2
112
3
2
2
2
2
2
1
2
2
2
2
112
3
2
2
2

2
2
1
2/
2
/
2/
2/
2/
2/









đặt :
 
yx
h
x
E
x
D




112
3
: được gọi là độ cứng uốn của tấm đối với trục x.
 
yx
h
y
E
y
D



112
3
: được gọi là độ cứng uốn của tấm đối với trục y.
12
3
Gh
xy
D 
: được gọi là độ cứng xoắn của tấm.
Khi đó phương trình trên được viết lại:
- 15 -

yx
w
xy
D
xy

M
x
w
x
y
w
y
D
y
M
y
w
y
x
w
x
D
x
M
































2
2
2
2
2
2
2
2
2
2



(2.20)
Thế (2.20) vào phương trình (2.8):
0
2
2
2
2
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2



















































q
t
w
h
yx
w
yx
xy
D
x
w
x
y
w
y
y
D
y
w

y
x
w
x
x
D


(2.21)

khai triển và nhóm các số hạng trên lại:
q
t
w
h
yx
w
xy
D
yx
w
y
D
x
y
w
y
D
yx
w

x
D
y
x
w
x
D


















2
2
22
4
4

22
4
4
4
22
4
4
4


(2.22)
với biểu thức liên hệ (2.16), ta có :

x
D
yy
D
x
D




1
(2.23)
Thay (2.23) vào (2.22) và viết gọn lại, ta có:
q
t
w
h

y
w
y
D
yx
w
xy
DD
x
w
x
D 











2
2
4
4
22
4
)2

1
(2
4
4

(2.24)
đặt:
H = D
1
+ 2D
xy

khi đó phương trình (2.24) có dạng :

q
t
w
h
y
w
y
D
yx
w
H
x
w
x
D 












2
2
4
4
22
4
2
4
4

(2.25)
phương trình (2.25) được gọi là phương trình dao động uốn của tấm mỏng trực
hướng theo lý thuyết Kirchhoff.
- 16 -
Nếu q = 0, phương trình dao động uốn tự do của tấm mỏng trực hướng có
dạng:
0
2
2
4

4
22
4
2
4
4












t
w
h
y
w
y
D
yx
w
H
x
w

x
D

(2.26)
2.3 Phương trình vi phân dao động uốn của tấm mỏng đẳng hướng
Nếu tấm mỏng là đẳng hướng, ta có :
E
x
= E
y
= E,





yx
(2.27)
mô đun cắt G có thể tính theo mô đun đàn hồi E và hệ số Poisson

bằng hệ
thức:

 



12
E
G (2.28)

Từ (2.27), (2.28) suy ra :
D
x
= D
y
= H = D =







2
112
3

Eh
(2.29)
khi đó phương trình (2.25) trở thành:

q
t
w
h
y
w
yx
w
x

w
D 





















2
2
4
4
22
4
2

4
4

(2.30)
Phương trình (2.30) được gọi là phương trình dao động uốn của tấm mỏng
đẳng hướng theo lý thuyết Kirchhoff.
Nếu ta sử dụng toán tử Laplace:
2
2
2
2
2
y
x







khi đó toán tử Laplace kép hay còn gọi là toán tử điều hòa kép có dạng:

4224
4
4
2
4
4
yyxx 










sử dụng toán tử trên, phương trình (2.30) được viết gọn hơn như sau:

q
t
w
wD h 



2
2
4

(2.31)
- 17 -
Nếu q = 0, khi đó dao động uốn tự do của tấm mỏng đẳng hướng có dạng:

0
2
2
2





t
w
wD h

(2.32)
2.4 Phương trình vi phân dao động uốn của tấm mỏng trên nền đàn hồi
theo mô hình nền Winkler
2.4.1 Ứng xử của nền đàn hồi
Ứng dụng thành công các nguyên lý kỹ thuật công trình vào thiết kế các
mô hình kết cấu, trên cơ sở đó tiến hành phân tích chính xác và thiết kế “đúng”
với mô hình thực là một vấn đề rất khó khăn. Trong phân tích nền, sự tương tác
giữa nền đàn hồi và kết cấu rất phức tạp do đó để đạt đến mô hình thực càng khó
hơn. Mô hình cấu trúc chung thường là tấm bê tông đặt trực tiếp trên nền đàn
hồi (nền đất).
Tải trọng của kết cấu được truyền trực tiếp tới môi trường nền, giữa nền
và kết cấu có sự tác động qua lại lẫn nhau hướng theo tải trọng đỡ và chống. Các
tính chất tự nhiên của nền rất phức tạp, không thuần nhất và không đẳng hướng
nên khi mô hình hóa được coi như phi tuyến, còn các kết cấu thép và bê tông có
thể được mô hình hóa và phân tích như tuyến tính, đẳng hướng hoặc dị hướng.
Như đã đề cập ở trên, tính chất của nền đất rất khó xác định, nó là vật liệu
“mềm”, nên khó thu được các mẫu thực nghiệm khi làm thí nghiệm có kết quả
giống với ứng xử thực “ trong đất”. Mặt khác, loại nền đất ảnh hưởng đến khả
năng thu được các mẫu đặc trưng (ví dụ, đất sét cứng khó lấy mẫu hơn đất sét
mềm). Ứng xử của các mẫu trong phòng thí nghiệm khác xa so với sự phức tạp
của bài toán thực tế. Tính chất vật liệu nền và môi trường nền là hai nhân tố
phức tạp của bài toán, tính chất vật liệu nền phụ thuộc vào ứng suất, và môi

trường nền trong thực tế phụ thuộc vào các lớp vật liệu có tính chất và cấu thành
khác nhau. Do các nhân tố này, cấu thành và các tính chất thực sự của nền chưa
được xác định và vẫn còn là một ẩn số. Như vậy, ta cần đưa ra các giả thuyết
đơn giản hơn để phân tích sự tương tác giữa nền đất và kết cấu.