SKKN một số phương pháp giúp học sinh giải tốt các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử

I. PHẦN MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Toán học là cơ sở then chốt cho các ngành khoa học khác: công nghệ thông tin, dầu khí....
Những kiến thức toán học là một yêu cầu rất gần gủi, cần thiết và trở thành một nhu cầu
không thể thiếu được trong cuộc sống hàng hàng ngày và trong công việc.
Là một môn học có liên quan đến quá trình tư duy lô gíc tổng hợp và các môn học khác.
…. Chính vì lẽ đó là một giáo viên Toán tôi nghĩ và cần làm cho học sinh nắm được một
cách chính xác, vững chắc và có hệ thống những kiến thức và kỹ năng toán học phổ
thông cơ bản, hiện đại và có năng lực vận dụng những tri thức đó vào đời sống, lao động
sản xuất, vào việc học tập các môn học khác.
Qua thực tế giảng dạy ở trường THCS dù tuổi nghề còn ít ỏi nhưng bản thân tôi luôn
có mong muốn, trong mỗi giờ mình lên lớp, mình sẽ phải làm những gì? Làm như thế
nào? Để học sinh hứng thú, học thật hiểu thật nhằm nâng cao chất lượng bộ môn mình
đảm nhiệm. Đứng trước yêu cầu đó tôi luôn trăn trở và luôn tìm tòi ra các biện pháp
nhằm truyền thụ kiến thức một cách nhanh nhất hiệu quả nhất.
Để dạy tốt bộ môn Toán ngoài những việc như soạn bài, chuẩn bị đồ dùng dạy học,
kiểm tra đánh giá theo đúng quy định, vào sổ điểm đầy đủ, lên lớp đúng giờ, giảng dạy
theo đúng nội dung chương trình của ngành quy định mà cần hiểu biết sâu sắc về kiến
thức cơ bản của bộ môn, cần có kỹ năng tốt trong giảng dạy, có phương pháp tốt và đúng
với đặc trưng của bộ môn, nắm bắt được tâm sinh lý lứa tuổi và tình hình học tập của
từng học sinh trong lớp, thường xuyên học hỏi tìm tòi nâng cao trình độ chuyên môn
nghiệp vụ để nâng cao chất lượng và hiệu quả giảng dạy và giáo dục.
Một trong những mục tiêu cơ bản của nhà trường là đào tạo và xây dựng thế hệ học
sinh trở thành những người mới phát triển toàn diện, có đầy đủ phẩm chất đạo đức, năng
lực, trí tuệ để đáp ứng với yêu cầu của thời đại.
Muốn giải quyết thành công nhiệm vụ quan trọng này, trước hết chúng ta phải tạo
tiền đề vững chắc, lâu bền trong phương pháp học tập của học sinh cũng như trong
phương pháp giảng dạy của giáo viên các bộ môn nói chung và môn Toán nói riêng.
Là một giáo viên cấp trung học cơ sở, tôi luôn ý thức được trách nhiệm của bản thân
cũng như tầm quan trọng của môn học mình đảm nhiệm. Qua nhiều năm giảng dạy bộ
môn Toán, tôi nhận thấy đây là bộ môn khoa học có tác dụng phát triển tư duy, hình thành

kĩ năng, kĩ xảo, phát huy tính tích cực trong học tập của học sinh, giúp học sinh trở thành
con người mới chủ nghĩa xã hội. Ngoài ra, việc học tốt môn Toán còn giúp cho học sinh
học tốt các môn học khác. Vì vậy, dưới góc độ là một giáo viên dạy Toán tôi thấy việc
hướng dẫn các em nắm vững đối với từng dạng toán là rất cần thiết.
Tuy nhiên, trong thực tế giảng dạy vẫn còn một ít giáo viên chỉ chú trọng việc truyền
thụ kiến thức đầy đủ theo từng bước, chưa chú ý nhiều đến tính chủ động sáng tạo của
học sinh.
Qua nhiều năm giảng dạy bộ môn Toán 8, tôi nhận thấy rất nhiều học sinh lúng túng,
thường mắc phải những sai lầm khi thực hiện bài toán phân tích đa thức thành nhân tử


đặc biệt đối với những học sinh trung bình, học sinh yếu, từ đó các em cũng gặp không ít
khó khăn trong việc giải những bài toán ứng dụng có liên quan. Ngược lại, đối với học
sinh khá, giỏi thì bài toán phân tích đa thức thành nhân tử làm cho các em hết sức thích
thú, say mê học tập. Xét thấy dạng toán Phân tích đa thức thành nhân tử có vị trí khá
quan trọng trong chương trình Đại số 8, việc nắm vững dạng toán này sẽ giúp cho các em
rất nhiều trong việc giải các bài toán khác, chẳng hạn: giải phương trình, rút rọn phân
thức, tính giá trị biểu thức, chứng minh, tìm x, ... Thực tế sách giáo khoa chỉ giới thiệu
một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: đặt nhân tử chung; dùng hằng
đẳng thức; nhóm hạng tử; phối hợp các phương pháp. Do đó, khi gặp những bài tập phức
tạp thì các phương pháp này chưa thể áp dụng để giải được, làm cho học sinh gặp nhiều
khó khăn trong quá trình giải toán, chưa đáp ứng được nhu cầu tìm tòi, học tập đối với
những học sinh khá giỏi. Chính vì lí do đó, nên tôi chọn SKKN: "Một số phương pháp
giúp học sinh giải tốt các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử" để nghiên cứu.
2. Điểm mới và phạm vi áp dụng của SKKN.
Điểm mới của đề tài là ngoài phân tích các phương pháp phân tích đa thức thành nhân
tử ở sách giáo khoa, bản thân tôi còn giới thiệu thêm các phương pháp như: Phân tích đa
thức thành nhân tử bằng phương pháp tách hạng tử, phương pháp thêm bớt hạng tử,
phương pháp đặt ẩn phụ, phương pháp dùng hệ số bất định, phương pháp nhẩm nghiệm của đa
thức ... Đồng thời vận dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để làm một số

dạng bài tập.
Khi học chuyên đề này học sinh tiếp thu rất thích thú. Các ví dụ đa dạng, có nhiều bài
tập vận dụng tương tự nên giúp cho học sinh nắm vững chắc các phương pháp phân tích
đa thức thành nhân tử tạo tiền đề cho các em học tập kiến thức mới và giải các bài toán
khó.
Đề tài nghiên cứu trong phạm vi học sinh lớp 8 của trường THCS mà tôi giảng dạy.
Ý tưởng của đề tài rất phong phú, đa dạng, phạm vi nghiên cứu rộng, nên bản thân
chỉ nghiên cứu qua bốn phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử ở chương trình
SGK, SBT Toán 8 hiện hành và một số phương pháp phân tích khác (năm phương pháp)
ở sách tham khảo cùng một số bài tập ứng dụng có liên quan.
II. NỘI DUNG
1. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu.
Toán học là môn học giữ vai trò quan trọng trong suốt quá trình học tập, là một môn
học khó, đòi hỏi ở mỗi học sinh phải có một sự nổ lực rất lớn để chiếm lĩnh những tri
thức cho mình. Chương trình toán rất rộng, các em được lĩnh hội nhiều kiến thức, các
kiến thức lại có mối quan hệ chặt chẽ với nhau. Do vậy khi học, các em không những
nắm chắt lý thuyết cơ bản mà còn phải biết tự diễn đạt theo ý của mình, từ đó biết vận
dụng để giải từng loại toán. Qua cách giải các bài toán rút ra phương pháp chung để giải
mỗi dạng toán, trên cơ sở đó tìm ra các cách trình bày bài toán ngắn gọn hơn.


Với những nét đặc thù của môn Toán, để nắm vững được kiến thức thì đòi hỏi học
sinh không phải chỉ chú ý học lí thuyết là đủ mà phần lớn phải thực hành được các dạng
bài tập. Bởi vì bài tập Toán học nói chung chiếm một vị trí quan trọng trong quá trình dạy
– học môn Toán. Nó giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển năng lực tư duy, thực
hiện tốt các mục đích dạy – học Toán ở trường phổ thông, hình thành kĩ năng, kĩ xảo, khả
năng ứng dụng vào thực tiển. Riêng đối với dạng bài tập phân tích đa thức thành nhân tử
đã góp phần rèn luyện trí thông minh và năng lực tư duy sáng tạo, tính cẩn thận, chính
xác cho học sinh, giúp các em có khả năng ứng dụng vào giải được một số dạng bài tập
khác.

Các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử không khó mấy đối với những học sinh
khá, giỏi nhưng lại khá khó khăn đối với những đối tượng học sinh trung bình, yếu. Bởi
vì, để giải được các bài tập dạng này không chỉ yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức mà
nó còn đòi hỏi học sinh cần có một kĩ năng giải bài tập nhất định.
Giải toán phân tích đa thức thành nhân tử, đòi hỏi học sinh phải kết hợp tốt các
phương pháp phân tích được giới thiệu trong sách giáo khoa:

Phương pháp đặt nhân tử chung;


Phương pháp dùng hằng đẳng thức;



Phương pháp nhóm hạng tử;



Phương pháp phối hợp nhiều phương pháp.

Đó là điều kiện là tiền đề để học sinh giải tốt các bài tập phân tích đa thức thành
nhân tử. Ngoài ra, cần giới thiệu cho các em nắm được một số phương pháp phân tích
khác để kích thích sự tìm tòi, học hỏi của các em chẳng hạn như:
 Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử;


Phương pháp đặt ẩn phụ;



Phương pháp hệ số bất định;



Phương pháp tìm nghiệm của đa thức;



Phương pháp đổi dấu một hạng tử A = -(-A).

Đồng thời giáo viên cần hệ thống những dạng bài tập có liên quan để học sinh thấy
được việc ứng dụng của bài toán phân tích đa thức thành nhân tử trong việc giải một số
bài toán khác, thông qua đây học sinh cũng được củng cố sâu sắc hơn.
Xuất phát từ thực tế là các em học sinh ngại khó khi giải các bài toán, tôi thấy cần
tạo ra cho các em có niềm tin, yêu thích say mê học tập, luôn tự đặt ra những câu hỏi và
tự mình tìm ra câu trả lời. Khi gặp những bài toán khó, phải có nghị lực, tập trung tư
tưởng, tin vào khả năng của mình trong quá trình học tập. Để giúp học sinh bớt khó khăn
và cảm thấy dễ dàng hơn trong việc “Phân tích đa thức thành nhân tử” ở lớp 8, tôi thấy
cần phải hướng dẫn học sinh nắm vững các phương pháp phân tích rồi phân tích các đa
thức thành kĩ năng, sau đó áp dụng vào các bài toán liên quan.
Trên thực tế, đối với học sinh khi giải các bài toán dạng này cần phải có khá nhiều
thời gian nghiên cứu. Với thời lượng phân phối chương trình chỉ có 6 tiết (4 tiết học lí
thuyết, 2 tiết luyện tập) thì các em học sinh chỉ kịp hoàn thành phần bài tập còn việc đi


sâu vào nghiên cứu, khai thác, tìm hiểu các cách giải bài toàn phân tích đa thức thành
nhân tử là rất hạn chế. Hơn nữa, đa số học sinh là con em của nông dân lao động, thuộc
vùng sâu nên điều kiện tự học, tự tìm hiểu của các em chưa thật tốt, các bậc phụ huynh
phần lớn phó thác việc học tập của con em mình cho nhà trường dẫn đến kết quả học tập
còn thấp.

Kết quả bài làm 15 phút của học sinh về phân tích đa thức thành nhân tử (năm học
2014- 2015) thật đáng lo ngại:
Khá giỏi
Trung bình
Yếu kém
TS
HS
SL
%
SL
%
SL
%
44
3
6.8
18
41
23
52.2
Tuy vậy, với sự trang bị khá đầy đủ sách tham khảo của Thư viện nhà trường kết hợp
với sự say mê, tìm tòi học hỏi của phần lớn học sinh và lòng nhiệt tình, tâm huyết với
nghề của giáo viên giảng dạy là điều kiện rất thuận lợi cho việc nghiên cứu và áp dụng
kinh nghiệm này.
Qua thực tế giảng dạy tôi thấy dạy và học theo phương pháp cổ điển thì chất lượng
thu được còn hạn chế so với phương pháp tôi đã áp dụng; việc hệ thống các phương pháp
giải đối với từng loại toán là rất cần thiết, nó giúp các em thấy được sự đa dạng và phong
phú về nội dung của từng loại toán. Đồng thời giúp các em có một cách nhìn nhận dưới
nhiều góc độ khác nhau của một dạng toán, từ đó kích thích các em có một sự tìm tòi
sáng tạo, khám phá những điều mới lạ say mê trong học tập, có nhiều hứng thú trong học

bộ môn Toán.
2. Các giải pháp thực hiện
Trước hết giáo viên cần cho học sinh ôn lại một số kiến thức cơ bản có liên quan đến
việc giải bài toán “Phân tích đa thức thành nhân tử” như: đơn thức, đa thức, các quy tắc
nhân, chia đa thức, hằng đẳng thức,… và cho học sinh thấy rõ: Phân tích đa thức thành
nhân tử (hay thành thừa số) là phép biến đổi đa thức cho trước thành tích của những đơn
thức hoặc đa thức. Đồng thời nắm vững được những phương pháp phân tích đã tìm hiểu
trong sách giáo khoa và cho học sinh biết được một số ứng dụng của bài toán dạng này:

Bài toán chứng minh chia hết;


Rút gọn biểu thức;



Tính giá trị biểu thức;



Giải toán tìm x;



Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất;



Quy đồng phân thức…

Trong phạm vi những kinh nghiệm này, tôi tập trung nghiên cứu các vấn đề sau đây:
2.1. Phân tích đa thức thành nhân tử bằng những phương pháp thông thường.
Sách giáo khoa chỉ sử dụng những bài tập cụ thể để đưa đến từng phương pháp phân
tích, do đó học sinh gặp không ít khó khăn để nắm vững được phương pháp. Chính vì vậy
cần có một cách khái quát cho từng phương pháp phân tích và những điểm lưu ý dễ gặp
sai sót trong quá trình phân tích.


2.1.1. Phương pháp đặt nhân tử chung
Học sinh cần nắm được: Giả sử cần phân tích đa thức A + B thành nhân tử, ta đi
xác định trong A và B nhân tử chung C, khi đó:
A + B = C.A1 + C.A2 = C.(A1 + A2)
Cách làm như vậy được gọi là phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp
đặt nhân tử chung.
Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a) 4xy2 + x2y
b) 10x – 5y
c) 5x(x – 1) – 3y(x – 1)
d) 2x(x – 3) – 5(3 – x)
Đây là những bài tập không khó, nhưng nếu chủ quan học sinh rất dễ bị mắc phải sai
lầm. Chẳng hạn đối với ví dụ a, thì dễ dàng học sinh thấy được nhân tử chung của hai
hạng tử là xy, do đó học sinh sẽ thực hiện một cách nhanh chóng. Tuy nhiên ở ví dụ b,
một số học sinh khẳng định là không có nhân tử chung nào (vì x ≠ y) do chỉ chú trọng
quan sát phần biến mà quên đi hệ số của hạng tử, còn trường hợp ở ví dụ c, thì học sinh
gặp khá khó khăn khi không hiểu được nhân tử chung ở đây là một đa thức (x – 1). Riêng
đối với ví dụ d, học sinh dễ mắc sai lầm khi chọn nhân tử chung là x – 3. Vì thế, trong
việc hướng dẫn cho học sinh tìm nhân tử chung thì giáo viên cần hướng dẫn thật kĩ và lưu
ý những trường hợp thường mắc sai sót này.
Để tránh sai sót ở trường hợp d, cần hướng dẫn học sinh sử dụng tính chất đổi dấu A
= -(-A).

Giải :
a/ 4xy2 + x2y = xy(4y + x)
b/ 10x – 5y = 5(2x – y)
c/ 5x(x – 1) – 3y(x – 1) = (x – 1)(5x – 3y)
d/ 2x(x – 3) – 5(3 – x) = 2x(x – 3) + 5(x – 3)
= (x – 3)(2x + 5)
2.1.2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức.
Trước tiên để sử dụng tốt phương pháp này, học sinh phải nắm vững bảy hằng đẳng
thức đáng nhớ:
+ ( A + B ) = A2 + 2 AB + B 2
2

+ ( A − B ) = A2 − 2 AB + B 2
2

+ A2 − B 2 = ( A − B ) ( A + B )
+ ( A + B ) = A3 + 3 A2 B + 3 AB 2 + B 3
3

+ ( A − B ) = A3 − 3 A2 B + 3 AB 2 − B 3
3

+ A3 − B 3 = ( A − B ) ( A2 + AB + B 2 )


+ A3 + B 3 = ( A + B ) ( A2 − AB + B 2 )

(Với A, B là hai biểu thức tùy ý)
Giáo viên lưu ý học sinh, thông thường đề bài cho sẽ có dạng ở vế phải các hằng
đẳng thức: bình phương một tổng, một hiệu; lập phương một tổng, một hiệu hoặc cho vế

trái của các hằng đẳng thức còn lại.Vì vậy cần cho học sinh học thuộc các hằng đẳng thức
này theo cả chiều thuận và chiều nghịch để các em vận dụng được tốt. Việc sử dụng hằng
đẳng thức để phân tích đa thức thành nhân tử thường đi theo hai hướng:
*Hướng 1: Biến đổi đa thức ban đầu về dạng quen thuộc của hằng đẳng thức.
Ví dụ 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a/ x2 + 6x + 9
b/ x2 – 5
c/ 1 – 27x3
d/ (x – y)2 – 2(x – y)(x + y) + (x + y)2
Ở ví dụ trên các hằng đẳng thức đã được khai triển, việc phân tích chỉ là cách viết
theo chiều ngược lại của các hằng đẳng thức các em học sinh dễ dàng thực hiện được nếu
như các em thuộc và biết cách vận dụng các hằng đẳng thức. Thế như, nếu chủ quan thì
học sinh sẽ dễ bị mắc sai lầm, chẳng hạn: ở ví dụ b, học sinh sẽ gặp khó khăn khi nhận
dạng hằng đẳng thức, vì hạng tử thứ hai (số 5) chưa có dạng bình phương, để có dạng
hằng đẳng thức thì giáo viên phải nhắc lại khái niệm căn bậc hai của một số (5 =( 5 )2), ở
ví dụ c học sinh thường gặp khó khăn khi viết 27x3 = (3x)3. Riêng đối với ví dụ d, học
sinh sẽ khó nhận dạng được hằng đẳng thức, bởi vì thông thường các bài tập hay cho
dưới dạng các hạng tử là những đơn thức, gặp các hạng tử là những đa thức thì học sinh
chưa hình dung nhận diện được.
Giải:
a/ x2 + 6x + 9 = x2 + 2.3.x + 32 = (x + 3)2
b/ x2 – 5 = (x + 5 )(x - 5 )
c/ 1 – 27x3 = 13 – (3x)3 = (1 – 3x)[12 + 1.3x + (3x)2] = (1 – 3x)(1 + 3x + 9x2)
d/ (x – y)2 – 2(x – y)(x + y) + (x + y)2 = [(x – y) – (x + y)]2
= (x – y – x – y)2
= (-2y)2 = 4y2
*Hướng 2: Sử dụng hằng đẳng thức để làm xuất hiện nhân tử chung hoặc xuất hiện
hằng đẳng thức mới.
Ví dụ 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a/ 4x(a2 – b2) + 8(a + b)

b/ x2 - 2xy + y2 – z2
Ở những ví dụ này, khi phân tích đa thức thành nhân tử không chỉ riêng dùng hằng
đẳng thức là đủ mà phải có sự phối hợp tốt giữa các phương pháp : đặt nhân tử chung và


nhóm hạng tử. Do đó việc nhóm những hạng tử thích hợp cũng góp phần thuận lợi cho
chúng ta phân tích đa thức thành nhân tử.
Giải :
a/ 4x(a2 – b2) + 8(a + b) = 4x(a – b)(a + b) + 8(a + b)
= 4(a + b) [x(a – b) + 2]
= 4(a + b) (ax – bx + 2)
b/ x2 - 2xy + y2 – z2 = (x2 - 2xy + y2) – z2
= (x – y)2 – z2
= (x – y – z)(x – y + z)
2.1.3. Phương pháp nhóm hạng tử
Chúng ta đã biết, để phân tích đa thức thành nhân tử công việc quan trọng nhất là tạo
ra được nhân tử chung. Do đó, trong nhiều trường hợp không thể áp dụng trực tiếp
phương pháp đặt nhân tử chung hay hằng đẳng thức thì việc nhóm hạng tử để làm xuất
hiện nhân tử chung lại rất cần thiết. Tuy nhiên, đối với phương pháp này giáo viên cần
hướng dẫn cho học sinh nhóm thích hợp và chú ý đến dấu trước ngoặc đặc biệt là dấu trừ
“ – ”.
Ta có thể tổng quát phương pháp này như sau:
“Cho đa thức
A + B + C + D (A,B,C,D là các biểu thức)
Nếu A, B, C, D không có nhân tử chung nào thì hãy thử với (A + B) và (C + D) hoặc
các phép giao hoán khác. Tức là nhóm các hạng tử có nhân tử chung lại với nhau hoặc
tạo thành một hằng đẳng thức để làm xuất hiện nhân tử chung của đa thức”.
Ví dụ 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a/ x2 – 3x + xy – 3y
b/ 2xy + 3z + 6y + xz

c/ x2 – x – y2 – y
Các ví dụ trên mặc dù ở mức độ không khó lắm, chỉ cần nhóm hợp lí và áp dụng
được phương pháp đặc nhân tử chung và hằng đẳng thức thì dễ dàng thực hiện được. Tuy
nhiên ở ví dụ câu a và c nếu không để ý về dấu thì học sinh sẽ mắc sai lầm khi nhóm
hạng tử đằng trước dấu ngoặc là dấu trừ ‘‘ –’’ mà không đổi dấu những hạng tử trong
ngoặc. Đây là một sai lầm mà phần lớn học sinh mắc phải.
Giải :
a/ x2 – 3x + xy – 3y = (x2 + xy) – (3x + 3y)
= x(x + y) – 3(x + y)
= (x + y)(x – 3)
b/ 2xy + 3z + 6y + xz =(2xy + 6y) + (3z + xz)
=2y(x + 3) + z(3 + x)
=(x + 3)(2y + z)


c/ x2 – x – y2 – y =( x2 – y2 ) – (x + y)
= (x + y) (x – y) – (x +y)
=(x + y) (x – y – 1)
Ngoài ra có một số bài toán phân tích đa thức phân tích đa thức thành nhân tử mà
chúng ta không thể áp dụng trình tự những phương pháp đã biết, đòi hỏi tư duy linh hoạt
của học sinh để biến đổi đa thức một vài bước, sau đó mới áp dụng các phương pháp đã
biết để phân tích. Chẳng hạn bài tập ở ví dụ sau đây :
Ví dụ 5 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
bc(b + c) + ca(c – a) – ab(a + b)
Đối với đa thức dạng này phương pháp chung là khai triển hai trong số ba hạng tử
còn giữ nguyên hạng tử thứ ba để từ đó làm xuất hiện nhân tử chung chứa trong số hạng
tử thứ ba. Do đó, ta có thể khai triển hai hạng tử đầu còn giữ nguyên hạng tử thứ ba để
làm xuất hiện nhân tử chung là a + b:
bc(b + c) + ca(c – a) – ab(a + b)
= b2c + bc2 + c2a – ca2 – ab(a + b)

= (b2c – ca2) + (bc2+ c2a) – ab(a + b)
= c(b2 – a2) + c2(b + a) – ab(a + b)
= c(b – a)(b + a) + c2(b + a) – ab(a + b)
= (b + a)(cb – ca + c2) – ab(a + b)
= (a + b)(cb – ca + c2 – ab)
= (a + b)[(cb + c2) – (ca + ba)]
= (a + b)[c(b + c) – a(c + b)]
= (a + b)(b + c)(c – a)
Với cách làm đó, ta có thể khai triển hai hạng tử cuối rồi nhóm hạng tử để làm xuất
hiện nhân tử chung b + c, hoặc khai triển hai hạng tử đầu và cuối để có nhân tử chung là c
– a hoặc riêng đối với bài tập này, ta có thể hướng dẫn như sau:
Vì (c – a) + (a + b) = (b + c) nên ta có:
bc(b + c) + ca(c – a) – ab(a + b)
= bc[(c – a) + (a + b)] + ca(c – a) – ab(a + b)
= bc(c – a) + bc(a + b) + ca(c – a) – ab(a + b)
= [bc(c – a) + ca(c – a)] + [bc(a + b) – ab(a + b)]
= (c – a)(bc + ca) + (a + b)(bc – ab)
= c(c – a)(a + b) + b(a + b)(c – a)
= (a + b)(b + c)(c – a)
Đây là dạng bài tập khá thú vị nhưng cũng không ít phức tạp ta chỉ nên giới thiệu
cho đối tượng học sinh khá, giỏi nhằm nâng cao sự hiểu biết và kích thích tính tích cực
của các em.


Nhìn chung, các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhóm
như thế nào thì cuối cùng cũng phải đạt được mục đích là có nhân tử chung hoặc vận
dụng được hằng đẳng thức. Như vậy, đòi hỏi học sinh phải nắm vững hai phương pháp
này (đặt nhân tử chung và dùng hằng đẳng thức).
Trên đây chúng ta vừa xem xét các ví dụ phân tích một đa thức thành nhân tử bằng
những phương pháp thông thường đã nêu trong sách giáo khoa. Tuy nhiên, nếu chỉ dừng

lại ở các phương pháp đó thì chỉ thích hợp cho đối tượng học sinh trung bình, yếu còn đối
với những học sinh khá, giỏi thì sẽ làm cho các em dễ nhàm chán. Mặt khác, có những
bài toán phân tích đa thức thành nhân tử mà những phương pháp trên chúng ta chưa thể
áp dụng để phân tích được ngay. Vì lí do đó nên chúng ta có thể giới thiệu thêm cho các
em một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử khác để giúp các em có điều
kiện tìm hiểu tốt dạng toán này.
2.2. Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử khác
2.2.1. Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử
Phương pháp này áp dụng cho những đa thức chưa phân tích được ngay thành nhân
tử. Ta tách một hạng tử trong đa thức thành nhiều hạng tử để vận dụng các phương pháp
đã biết.
Ví dụ 6: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a/ x2 + 4x + 3
b/ x2 – 7x + 12
Đối với ví dụ a, ta có thể làm theo một số cách sau:
*Cách 1: Tách hạng tử 4x = x + 3x
Ta có x2 + 4x + 3 = x2 + x + 3x + 3
= (x2 + x) + (3x + 3)
= x(x + 1) + 3(x + 1)
= (x + 1)(x + 3)
*Cách 2: Tách hạng tử x2 = 4x2 – 3x2
Ta có x2 + 4x + 3 = 4x2 – 3x2 + 4x + 3
= (4x2 + 4x) – (3x2 – 3)
= 4x(x + 1) – 3(x2 – 1)
= 4x(x + 1) – 3(x – 1)(x + 1)
= (x + 1)(4x – 3x + 3)
= (x + 1)(x + 3)
*Cách 3: Tách hạng tử 3 = 4 – 1
Ta có x2 + 4x + 3 = x2 + 4x + 4 – 1
= (x2 – 1) + (4x + 4)

= (x – 1)(x + 1) + 4(x + 1)
= (x + 1)(x – 1 + 4)
= (x + 1)(x + 3)


*Cách 4: Tách hạng tử 3 = 4 – 1 để tạo hằng đẳng thức
Ta có x2 + 4x + 3 = x2 + 2.2.x + 22 – 1
= (x + 2)2 – 1
= (x + 2 – 1)(x + 2 + 1)
= (x + 1)(x + 3)
Tương tự như câu a, câu b chúng ta cũng có một số cách làm sau:
*Cách 1: Tách hạng tử -7x thành – 4x – 3x
Ta có x2 – 7x + 12 = x2 – 4x – 3x + 12
= (x2 – 4x) – (3x – 12)
= x(x – 4) – 3(x – 4)
= (x – 4)(x – 3)
*Cách 2: Tách hạng tử 12 thành 21 – 9
Ta có x2 – 7x + 12 = x2 – 7x + 21 – 9
= (x2 – 9) – (7x – 21)
= (x – 3)(x + 3) – 7(x – 3)
= (x – 3)(x + 3 – 7)
= (x – 3)(x – 4)
Cách 3: Tách hạng tử 12 thành -16 + 28
Ta có x2 – 7x + 12 = x2 – 7x + 28 – 16
= (x2 – 16) – (7x – 28)
= (x – 4)(x + 4) – 7(x – 4)
= (x – 4)(x + 4 – 7)
= (x – 4)(x – 3)
Cách 4: Tách hạng tử -7x thành -6x – x và 12 = 9 + 3
Ta có x2 – 7x + 12 = x2 – 6x + 9 – x + 3

= (x2 – 6x + 9) – (x – 3)
= (x – 3)2 – (x – 3)
= (x – 3)(x – 3 – 1)
= (x – 4)(x – 3)
Cách 5: Tách hạng tử -7x thành -8x + x và 12 = 16 – 4
Ta có x2 – 7x + 12 = x2 – 8x + 16 + x – 4
= (x2 – 8x + 16) + (x – 4)
= (x – 4)2 + (x – 4)
= (x – 4)(x – 4 + 1)
= (x – 4)(x – 3)


Với hai câu của ví dụ vừa nêu, khi phân tích các đa thức này thành nhân tử có nhiều
lời giải tương ứng với nhiều cách tách hạng tử, học sinh có thể lựa chọn cách nào phù
hợp với trình độ năng lực của mình nhất.
Thông qua các bài tập dạng này, giáo viên cần tổng kết cho học sinh thấy được nhiều
cách tách hạng tử nhưng trong đó có hai cách tách thông dụng nhất đó là:
+Tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử dựa vào cách suy luận ngược lại sau:
(mx + n)(px + q) = mpx2 + (mq + np)x + nq
Như vậy đa thức ax2 + bx + c, hệ số b được tách thành hai hạng tử b = b 1 + b2 sao
cho b1. b2 = ac.
+Tách hạng tử tự do thành hai hạng tử (c = c1 + c2) như trong ví dụ vừa nêu
Tuy nhiên có nhiều đa thức khi phân tích ta không áp dụng được hai cách vừa nêu,
vì thế phương pháp tách tách hạng tử được mở rộng cho trường hợp cần tách nhiều hạng
tử trong đa thức. Để minh họa chúng ta xem xét ví dụ sau:
Ví dụ 7: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a/ x3 – 2x – 4 = x3 – 2x – 8 + 4
= (x3 – 8) – (2x – 4)
= (x – 2)(x2 + 2x + 4) – 2(x – 2)
= (x – 2)(x2 + 2x + 4 – 2)

= (x – 2)(x2+ 2x + 2)
b/ x3 + 8x2 + 17x + 10 = x3 + x2 + 7x2 + 10x + 7x + 10
= (x3 + x2) + (7x2 + 7x) + (10x + 10)
= x2(x + 1) + 7x(x + 1) + 10(x + 1)
= (x + 1)(x2 + 7x + 10)
= (x + 1)(x2 + 2x + 5x + 10)
= (x + 1)[x(x + 2) + 5(x + 2)]
= (x + 1)(x + 2)(x + 5)
2.2.2. Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử
Với các đa thức đã cho không có chứa thừa số chung, không có dạng một hằng đẳng
thức cũng không thể nhóm số hạng tử. Đối với những đa thức dạng này ta phải biến đổi
đa thức bằng cách thêm, bớt cùng một hạng tử để có thể vận dụng được các phương pháp
phân tích đã biết.
Ví dụ 8 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử
x4 + 4 = x4 + 4 + 4x2 – 4x2 ( ta đã thêm, bớt hạng tử 4x2)
= (x4 + 4x2 + 4) – 4x2
= [(x2)2 + 2.x.2 + 22] – (2x)2
= (x2 + 2)2 – (2x)2
= (x2 + 2 + 2x)(x2 + 2 – 2x)
= (x2 + 2x + 2)(x2 – 2x + 2)


Phương pháp thêm, bớt cùng một hạng tử được mở rộng tự nhiên khi cần thêm, bớt
nhiều hạng tử, để minh họa chúng ta xem ví dụ sau đây :
Ví dụ 9 : Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a/ x5 + x4 + 1 = x5 + x4 + x3 – x3 + x2 – x2 + x – x + 1
= (x5 + x4 + x3) – (x3 + x2 + x) + (x2 + x + 1)
= x3(x2 + x + 1) – x(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)( x3 – x + 1)
Ta đã thêm, bớt các hạng tử x3, x2, x vào đa thức đã cho

b/ x5 + x + 1 = x5 + x4 – x4 + x3 – x3 + x2 – x2 + x + 1
= (x5 + x4 + x3) – (x4 + x3 + x2) + x2 + x + 1
= x3(x2 + x + 1) – x2 (x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)
= (x2 + x + 1)(x3 – x2 + 1)
Ta đã thêm, bớt các hạng tử x4, x3, x2 vào đa thức đã cho.
Phương pháp trên có thể sử dụng đối với các đa thức có dạng:
x5 + x4 + 1; x8 + x4 + 1; x10 + x8 + 1 ...
Các đa thức này đều có dạng: xm + xn + 1 trong đó m = 3k + 1; n = 3h + 2.
2.2.3. Phương pháp đặt ẩn phụ
Phương pháp này thường áp dụng đối với những đa thức có dạng A(x).B(x) + C.
Trong đó A(x), B(x) có thể biểu diễn được qua nhau. Ví dụ A(x) có thể viết dưới dạng của
B(x) hoặc ngược lại. Ta xét ví dụ sau:
Ví dụ 10: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử
a/ (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12
Đặt x2 + x + 1 = y ⇒ x2 + x + 2 = y + 1
Ta có y(y + 1) – 12 = y2 + y – 12
= y2 – 9 + y – 3
= (y – 3)(y + 3) + (y – 3)
= (y – 3)(y + 3 + 1)
= (y – 3)(y + 4)
Thay y = x2 + x + 1 ta được :
(y – 3)(y + 4) = (x2 + x + 1 – 3)(x2 + x + 1 + 4)
= (x2 + x – 2) (x2 + x + 5)
= (x2 – 1 + x – 1)(x2 + x + 5)
= [(x – 1)(x + 1) + x - 1](x2 + x + 5)
= (x – 1)(x + 1 + 1)(x2 + x + 5)
= (x – 1)(x + 2)(x2 + x + 5)


Ở ví dụ này ta đã đổi biến x thành biến y sau đó đi phân tích đa thức chứa biến y

thành nhân tử rồi quay trở lại đa thức với biến ban đầu là x. Cuối cùng ta lại tiếp tục phân
tích đa thức chứa biến x thành nhân tử.
b/ 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2
Với đa thức đã cho nếu chúng ta để nguyên thì rất khó đặt ẩn phụ nên ta phải biến
đổi thêm :
4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 = 4x(x + y + z)(x + y)(x + z) + y2z2
= 4(x2 + xy + xz)(x2 + xy + xz + yz) + y2z2
Đặt : x2 + xy + xz = m
Ta có : 4m(m + yz) + y2z2
= 4m2 + 4myz + y2z2
= (2m + yz)2
Thay m = x2 + xy + xz ta được :
(2m + yz)2 = (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2
2.2.4. Phương pháp dùng hệ số bất định
Cơ sở của phương pháp này là : Hai đa thức (viết dưới dạng thu gọn) là đồng nhất
khi và chỉ khi mọi hệ số của các đơn thức đồng dạng chứa trong hai đa thức đó phải bằng
nhau.
Ví dụ 11 : Phân tích đa thức sau thành tích của 2 đa thức : một đa thức bậc nhất,
một đa thức bậc hai
x3 – 19x – 30
Ta có kết quả phân tích có dạng :
x3 – 19x – 20 = (x + a)( x2 + bx + c)
= x3 + bx2 + cx + ax2 + abx + ac
= x3 + (b + a)x2 + (c + ab)x + ac
Ta phải tìm hệ số a, b, c thỏa mãn:
a+b=0
c + ab = -19
ac = -30
Vì a, c ∈ Z và tích ac = -30 do đó a, c ∈ { ± 1; ± 2; ± 3; ± 5; ± 6; ± 10; ± 15; ± 30}
Với a = 2; c = -15 khi đó b = -2 thỏa mãn hệ thức trên, đó là bộ số phải tìm tức là:

x3 – 19x – 30 = (x + 2)(x2 – 2x – 15).
Trên đây là một số phương pháp thường dùng để phân tích đa thức thành nhân tử.
Thông qua các phương pháp phân tích này ta thấy, trong việc phân tích đa thức thành
nhân tử không phải lúc nào cũng áp dụng khuôn mẫu theo một phương pháp giải cố định
nào đó. Do đó, tùy từng bài tập mà học sinh lựa chọn cho mình một phương pháp giải
thích hợp, đôi khi phải phối hợp nhiều phương pháp để có một cách phân tích nhanh nhất
và có hiệu quả nhất.


Nếu chỉ có đi giải những bài tập phân tích đa thức thành nhân tử mà không giới thiệu
những ứng dụng của bài toán này thì chưa gây được sự say mê, tìm tòi của các em. Sau
đây là một số ứng dụng của bài toán phân tích đa thức thành nhân tử.
2.3. Một số bài tập ứng dụng
Như chúng ta đã biết: Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành
một tích của những đơn thức, đa thức khác. Do vậy, đối với một số dạng toán nếu ta áp
dụng kết quả phân tích thành nhân tử thì sẽ giúp cho việc giải một số dạng toán dưới đây
một cách dễ dàng.
Dạng 1: Tính nhanh
Ví dụ 12: Tính nhanh
a/ 732 – 272
= (73 – 27)(73 + 27)
= 46 . 100
= 4600
b/ 20022 – 4
= 20022 – 22
= (2002 + 2)(2002 – 2)
= 2004 . 2000
= 4008000
c/ 37,5.6,5 - 7,5.3,4 – 6,6.7,5 + 3,5.37,5
= (37,5.6,5 + 3,5.37,5) – (7,5.3,4 + 6,6.7,5)

= 37,5(6,5 + 3,5) – 7,5(3,4 + 6,6)
= 37,5.10 – 7,5.10
= 375 – 75 (hoặc: = 10(37,5 – 7,5) = 10.30 = 300)
= 300.
d/ 452 + 402 – 152 + 80.45
= 452 + 2.40.45 + 402 – 152
= (45 + 40)2 – 152
= 852 – 152
= (85 – 15)(85 + 15)
= 70.100
= 7000
Dạng 2: Tính giá trị biểu thức
Ví dụ 13: Tính giá trị các biểu thức sau
a/ 15.91,5 + 150.0,85
= 15.91,5 + 15.8,5
= 15(91,5 + 8,5) = 15.100 = 1500


b/ 5x5(x – 2z) + 5x5(2z – x) , với x = 2010; y = 2011; z = -1.
Ta có: 5x5(x – 2z) + 5x5(2z – x)
= 5x5 (x – 2z + 2z – x) = 5x5.0 = 0
Với x = 2010; y = 2011; z = -1 thì biểu thức bằng 0
( 43-11) ( 43+11)
432 -112
32.54 32
=
=
c/
2
2 =

36,5 - 27,5 ( 36,5- 27,5) ( 36,5 + 27,5 ) 9.54
9
3
3
97 +83) ( 972 -97.83+832 )
(
97
+83
d/
-97.83 =
-97.83
180
180
180.8247
=
-97.83 = 8247 -97.83 = 8247 -8051=196
180
Trong ví dụ trên, đặc biệt là câu b nhận thấy nếu như học sinh không sử dụng các
phương pháp để phân tích đa thức thành nhân tử thì việc tính toán sẽ gặp rất nhiều khó
khăn nên cần hướng dẫn cho các em:
+Trước hết hãy phân tích các biểu thức đã cho thành nhân tử
+Thay giá trị của biến vào biểu thức đã phân tích để tính
Có những biểu thức học sinh chỉ tính theo cách tính thông thường, tức là thay ngay
các giá trị của biến vào biểu thức để tính giá trị. Cách làm đó thường rất phức tạp khi cho
kết quả. Vì vậy, giáo viên cần gợi ý cho học sinh phân tích biểu thức thành nhân tử rồi
mới thay giá trị của biến vào để tính giá trị của biểu thức. Chẳng hạn như ví dụ sau đây:
Ví dụ 14: Tính giá trị biểu thức x(x – 1) – y(1 – x) tại x = 2000, y = 1999
Ta có x(x – 1) – y(1- x) = x(x – 1) + y(x – 1)
= (x – 1)(x + y)
Thay x = 2001, y = 1999 ta được

(2001 – 1)(2001 + 1999) = 2000.4000 = 8000000
Dạng 3: Tìm x thỏa mãn điều kiện cho trước
Ví dụ 15: Tìm x, biết
a/ x(x – 2) + x – 2 = 0
Ta có x(x – 2) + x – 2 = x(x – 2) + (x – 2) = (x – 2)(x + 1)
Nên (x – 2)(x + 1) = 0 ⇔ hoặc x = 2 hoặc x = - 1
b/ 5x(x – 3) – x + 3 = 0
Ta có 5x(x – 3) – x + 3 = 5x(x – 3) – (x – 3) = (x – 3)(5x – 1)
1
Nên (x – 3)(5x – 1) = 0 ⇔ hoặc x = 3 hoặc x =
5
Trong dạng toán này có thể nhận thấy đây là một cách biến đổi đưa một vế của
đẳng thức về một tích của những nhân tử vế còn lại bằng 0 nên giáo viên có thể hướng
dẫn học sinh thực hiện theo trình tự sau:
+Chuyển tất cả các hạng tử của đẳng thức về vế trái và vế phải bằng 0
+Sao đó phân tích vế trái thành nhân tử để được dạng A(x).B(x) = 0
+Sao đó lần lượt tìm x của các đẳng thức A(x) = 0 và B(x) = 0 ta được kết quả.


Dạng 4: Chứng minh chia hết
Đây là dạng toán không khó lắm, nhưng việc vận dụng phân tích đa thức thành
nhân tử để giải thì lại là khó cho các em học sinh, có thể hướng dẫn các em giải theo định
hướng sau đây:
+Phân tích biểu thức ra thừa số nguyên tố để xuất hiện số chia
+Số nguyên a chia hết cho số nguyên b (b≠ 0) nếu có số nguyên k sao cho
a = b.k
Ví dụ 16: Chứng minh rằng 55n + 1 – 55n chia hết cho 54 với mọi số tự nhiên n
Ta có: 55n + 1 – 55n = 55n(55 – 1) = 55n.54 chia hết cho 54
Ví dụ 17: Chứng minh rằng (5n + 2)2 – 4 chia hết cho 5 với mọi số nguyên n
Ta có: (5n + 2)2 – 4 = (5n + 2 – 2)(5n + 2 + 2) = 5n(5n + 4) chia hết cho 5 với mọi số

nguyên n.
Dạng 5: Chứng minh đẳng thức
Ví dụ 18: CMR nếu a3 + b3 + c3 = 3abc thì a = b = c hoặc a + b + c = 0
Từ đẳng thức đã cho suy ra: a3 + b3 + c3 – 3abc = 0
Ta có: b3 + c3 = (b + c)(b2 + c2 – bc)
= (b + c)[(b + c)2 – 3bc]
= (b + c)3 – 3bc(b + c)
a3 + b3 + c3 = a3 + (b3 + c3)
= a3 + (b + c)3 – 3bc(b + c)
= (a + b +c) [a2 – a(b + c) + (b + c)2] – 3bc(a + b +c)
= (a + b +c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)
Do đó nếu a3 + b3 + c3 – 3abc = 0 thì a + b + c = 0 hoặc:
a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca = 0 hay (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a) 2 = 0
suy ra a = b = c.
Qua ví dụ trên nhận thấy bằng cách phân tích đa thức thành nhân tử của vế trái để
đẳng thức về dạng tích bằng 0, sau đó xét từng thừa số bằng 0 rồi chứng minh đẳng thức
ta có được kết quả cần tìm.
Tóm lại, trong quá trình giải toán không chỉ nắm được phương pháp là đầy đủ mà
cần phải chú ý về kĩ năng thực hành nhằm tránh những sai sót không đáng có. Mặc khác,
việc khai thác kết quả của từng dạng toán không kém phần quan trọng, bởi vì thông qua
những bài tập này giúp cho học sinh củng cố một cách vững chắc kiến thức được tìm
hiểu. Đó chính là nội dung cơ bản của chuyên đề. Qua thời gian áp dụng chuyên đề này
vào thực tế giảng dạy đã có sự tác động tích cực khá mạnh mẽ đến các đối tượng học
sinh.
3. Kết quả đạt được và bài học kinh nghiệm.
Trong quá trình giảng dạy học kỳ I vừa qua khi áp dụng kinh nghiệm của mình để soạn
giảng và vận dụng vào thực tế tôi nhận thấy có sự thay đổi đáng mừng:
- Học sinh đã có thái độ học tập tích cực, thích thú hơn trong tiết học, chủ động nêu
lên những thắc mắc, khó khăn với giáo viên, các em hưởng ứng rất nhiệt tình. Bên cạnh

đó bài tập giao về nhà đã được các em làm một cách nghiêm túc, tự giác học bài và nắm
được kiến thức cơ bản sau khi học xong mỗi bài.
- Phần lớn các bài kiểm ta đã được nâng lên, các em làm bài đúng, xác định hướng đi
bài toán, số học sinh chứng minh lôgíc và chặt chẽ được tăng.
- Từ những bài học đa số các em đều vận dụng vào thực tiễn các kiến thức như: giải các
bài tập thông thường, các bài tập nâng cao.
- Kết quả đạt được qua thực tế giảng dạy: Kết quả kiểm tra 15 phút trong năm
2015-2016 vừa rồi thật đáng phấn khởi :
Khá giỏi
Trung bình
Yếu kém
TS
HS
SL
%
SL
%
SL
%
44
24
54.5
13
29.5
7
16
*Bài học kinh nghiệm.
Thực tiễn dạy học trong thời gian qua và việc áp dụng phương pháp trên vào quá trình
giảng dạy, tôi đã rút ra một số bài học cơ bản sau:

Một là: Mỗi giáo viên phải thường xuyên tự học, tự bồi dưỡng, rèn luyện để không
ngừng trau dồi về kiến thức, kỹ năng dạy học nói chung, Đại số nói riêng. Nâng cao và
rèn luyện kỹ năng sư phạm ở độ nhuần nhuyễn.
Hai là: Thường xuyện đổi mới về cách soạn, cách giảng; đưa các ứng dụng công nghệ
thông tin vào dạy học, đa dạng hóa các phương pháp và hình thức tổ chức dạy học để lôi
cuốn được học sinh vào quá trình học tập.
Ba là: Cần quan tâm sâu sát đến từng đối tượng học sinh, đặc biệt là học sinh yếu
kém, giúp đỡ ân cần, nhẹ nhàng, tạo niềm tin, hứng thú cho các em trong môn học.
Bốn là: Trong quá trình giảng dạy giáo viên phải hướng học sinh vào việc phát huy
tính tích cực, chủ động sáng tạo, tạo ra những tình huống có vấn đề để học sinh thảo
luận. Trong mỗi tiết học phải tạo ra được sự giao lưu đa chiều giữa giáo viên - học sinh,
học sinh - học sinh, giữa các tổ - nhóm.
Năm là: Giáo viên cần mạnh dạn đưa các ứng dụng công nghệ thông tin vào dạy học
như các phần mềm vẽ hình, các loại máy đa năng, các hiệu ứng hình ảnh để tiết học thêm
sinh động.
III. PHẦN KẾT LUẬN.
1. Ý nghĩa, phạm vi áp dụng của đề tài
Qua việc hướng dẫn học sinh các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, khai
thác các kết quả của bài toán này từ đó có hướng áp dụng vào giải các bài toán tương tự
đã tạo ra các bài tập phong phú và đa dạng, đồng thời định hướng được những cách giải


hay giúp học sinh hứng thú trong học tập. Trong mức độ kiến thức toán ở trung học cơ sở
còn hạn hẹp nên chưa thể mở rộng được phương pháp giải cũng như việc khai thác và đề
xuất ra những ứng dụng của phân tích đa thức thành nhân tử.
Tuy nhiên khi áp dụng chuyên đề này vào giảng dạy, các đối tượng học sinh lớp 8 đã
tiếp thu khá tốt, 100% học sinh khá, giỏi đã biết khai thác, phân tích kết quả của bài toán
để tổng kết thành các phương pháp giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử. Đối với
học sinh đại trà, sau khi sau khi được hướng dẫn, chữa những bài tập có nội dung khá đơn
giản (bài tập trong SGK) thì hầu hết các em đã nắm được các cách phân tích đa thức

thành nhân tử; biết phân loại và sử dụng các phương pháp phân tích thích hợp; tự chọn
được cách giải và biết trình bày bài làm; có hứng thú suy nghĩ, tìm tòi các bài toán có nội
dung tương tự và từ chỗ lo ngại với dạng toán này thì các em đã có hứng thú học hơn.
Bài toán phân tích đa thức thành nhân tử chỉ chiếm một thời lượng khá khiêm tốn
song nó chứa đựng nhiều kiến thức cơ bản, trọng tâm, quan trọng. Do đó, kinh nghiệm
này có thể áp dụng rộng rãi cho mọi đối tượng học sinh khối lớp 8. Tuy nhiên, đối với
học sinh khá giỏi thì áp dụng chuyên đề này hoàn toàn hữu ích, khai thác được tìm năng
học toán của các em, còn đối với học sinh đại trà giáo viên chú ý hướng dẫn các em các
phương pháp phân tích thông thường (phương pháp SGK giới thiệu), kết hợp với lưu ý
cho học sinh những sai lầm thường mắc phải trong quá trình phân tích sao cho phù hợp
với chuẩn kiến thức, kĩ năng thì các em sẽ dễ hiểu hơn.
Để sáng kiến này được áp dụng rộng rãi thì nhà trường nên thường xuyên tổ chức
các chuyên đề áp dụng đề tài kinh nghiệm để giáo viên có điều kiện tham gia trao đổi lẫn
nhau, học sinh được mở rộng nhiều hiểu biết. Đồng thời giáo viên phải kiên trì sử dụng
các phương pháp dạy học một cách linh hoạt, thường xuyên kiểm tra, đánh giá học sinh
theo định hướng đổi mới. Mặc khác, giáo viên cần phải đầu tư thời gian nghiên cứu bài
dạy để đạt được hiểu quả cao. Bên cạnh đó, học sinh phải đầy đủ phương tiện học tập đặc
biệt là sách giáo khoa.
Tuy nhiên, những kinh nghiệm của tôi cũng chỉ là một trong những biện pháp nhỏ bé
trong vô vàn kinh nghiệm được đút kết qua sách vở, cũng như của quý thầy, cô giáo đi
trước và quý đồng nghiệp. Vì vậy, bản thân tôi rất mong được sự góp ý, xây dựng của
quý lãnh đạo, quý đồng nghiệp nhằm giúp tôi từng bước hoàn thiện phương pháp giảng
dạy của mình và cống hiến nhiều hơn nữa cho sự nghiệp giáo dục nước nhà.
2. Kiến nghị, đề xuất:
Để làm tốt và hiệu quả hơn công tác giáo dục, giảng dạy Toán học nói chung, Đại
số nói riêng trong nhà trường THCS, tôi xin mạnh dạn đề xuất một vài ý kiến nhỏ sau:
- Các cấp lãnh đạo tổ chức thường xuyên các cuộc hội thảo, chuyên đề bàn về
phương pháp dạy học Toán theo hai phân môn: đại số và hình học để cán bộ giáo viên
được trao đổi nhiều hơn nữa nhằm học hỏi, nâng cao chuyên môn nghiệp vụ.
- Tạo điều kiện hơn về đồ dụng dạy học nhằm phát huy hiệu quả dạy học.