Góc định hướng và ứng dụng trong giải toán hình học phẳng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRỊNH XUÂN HUY

GÓC ĐỊNH HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG TRONG
GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2016


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

TRỊNH XUÂN HUY

GÓC ĐỊNH HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG TRONG
GIẢI TOÁN HÌNH HỌC PHẲNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số:
60 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS. TS. TRẦN TRUNG

Thái Nguyên - 2016


LỜI CẢM ƠN
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Khoa Học Đại học Thái Nguyên. Qua đây tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo
Khoa Toán - Tin, Ban Giám hiệu, Phòng Đào tạo nhà trường đã trang bị
kiến thức cơ bản và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong quá trình học tập
và nghiên cứu.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới PGS. TS. Trần Trung, người
đã tận tình chỉ bảo, tạo điều kiện và giúp đỡ tôi có thêm nhiều kiến thức,
khả năng nghiên cứu, tổng hợp tài liệu để hoàn thành luận văn.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè và các đồng nghiệp đã
động viên, giúp đỡ tôi quá trình học tập của mình.
Do thời gian và trình độ còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi
những thiếu sót. Chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô
để luận văn được hoàn thiện hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!

1


Mục lục
Lời cảm ơn

1

Mở đầu

4

1 Kiến thức chuẩn bị
1.1 Một số kiến thức liên quan . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Đoạn thẳng, đoạn thẳng định hướng . . . . . . . .
1.1.2 Vectơ, hướng của vectơ . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Hướng và phương của tia . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Hướng hỗn tạp, phương hỗn tạp, đường thẳng định
hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Góc định hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Góc định hướng giữa hai vectơ . . . . . . . . . . .
1.2.2 Góc định hướng giữa hai đường thẳng . . . . . . .
1.2.3 Một số định lý về góc định hướng giữa hai vectơ và
góc định hướng giữa hai đường thẳng . . . . . . .

.
.
.
.

. 8
. 10
. 10
. 13
. 16

2 Ứng dụng góc định hướng trong giải bài tập hình học
phẳng
2.1 Ứng dụng góc định hướng trong các bài toán về góc . . . .
2.2 Ứng dụng trong các bài toán về đường thẳng . . . . . . . .
2.2.1 Chứng minh ba điểm thẳng hàng . . . . . . . . . . .
2.2.2 Chứng minh các đường thẳng đồng quy . . . . . . .

2.2.3 Chứng minh các đường thẳng song song, vuông góc .
2.3 Ứng dụng trong các bài toán về đường tròn . . . . . . . . .
2.4 Ứng dụng trong phép đồng dạng và phép biến hình . . . . .
2.5 Ứng dụng trong chứng minh một số định lý điển hình . . .
2

5
5
5
6
7

18
18
21
21
26
30
35
45
51


Kết luận

61

Tài liệu tham khảo

62

3


Mở đầu
Hình học phẳng là một bộ phận quan trọng của toán học. Đây là một
phân môn có tính hệ thống chặt chẽ, có tính logic và trừu tượng cao. Rất
nhiều bài toán hình học phẳng tương đối khó trong việc tìm được lời giải
hoặc phải qua rất nhiều bước chứng minh, biện luận phức tạp mới có thể
đi đến kết luận. Đặc biệt, các bài toán hình học phẳng về góc, đường tròn,
đường thẳng hay những bài toán liên quan đến phép biến hình, phép đồng
dạng thường khiến học sinh gặp nhiều khó khăn, lúng túng và dễ mắc phải
sai lầm.
Trong quá trình học tập, nghiên cứu và công tác, tôi nhận thấy việc
giải các bài toán về góc, đường tròn, đường thẳng, phép biến hình, đồng
dạng. . . đòi hỏi chúng ta phải xét rất nhiều trường hợp và thứ tự vị trí
các điểm, góc trong bài toán. Việc ứng dụng góc định hướng vào việc giải
các bài toán trên tạo ra rất nhiều thuận lợi. Khái niệm và các tính chất
liên quan đến góc định hướng không được giảng dạy trong chương trình
toán Trung học phổ thông đại trà và trong chương trình Đại học cũng chỉ
giới thiệu sơ lược.
Với những lí do trên và với mong muốn có một tài liệu và các ví dụ
minh họa cho đối tượng học sinh giỏi nên tác giả đã chọn đề tài "Góc
định hướng và ứng dụng trong giải toán hình học phẳng" làm đề tài luận
văn của mình với mục tiêu tìm hiểu, nghiên cứu các kiến thức về góc định
hướng giữa hai tia, góc định hướng giữa hai đường thẳng. . . và ứng dụng
vào việc giải một vài bài toán hình học phẳng.
Thái Nguyên, ngày 28 tháng 12 năm 2015
Người thực hiện
Trịnh Xuân Huy

4


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
1.1
1.1.1

Một số kiến thức liên quan
Đoạn thẳng, đoạn thẳng định hướng

Định nghĩa 1.1.1. [1] Bộ không phân biệt thứ tự gồm hai điểm khác nhau
A, B được gọi là đoạn thẳng, hoặc kí hiệu là AB hoặc kí hiệu là BA.
Bộ không phân biệt thứ tự gồm hai điểm trùng nhau A, B cũng được
gọi là đoạn thẳng (đoạn thẳng-không, khi cần nhấn mạnh), kí hiệu bởi
một trong các cách sau AB, BA, AA, BB .
Định nghĩa 1.1.2. [1] Bộ có phân biệt thứ tự gồm hai điểm (A, B) được
−→
gọi là đoạn thẳng định hướng, kí hiệu là AB .
−→
Khi các điểm A, B trùng nhau, đoạn thẳng định hướng AB được gọi
là đoạn thẳng định hướng-không, còn kí hiệu bởi một trong các cách sau
−→ −−→ −→
BA, BB, AA.
Định nghĩa 1.1.3. [1] Hình thang là tứ giác lồi có một bộ hai cạnh đối
thuộc hai đường thẳng song song.
Định nghĩa 1.1.4. [1] Hình thang có đúng một cạnh đáy là đoạn thẳng
không được gọi là hình thang-không.
−→ −−→

Định nghĩa 1.1.5. [1] Hai đoạn thẳng định hướng AB, CD được gọi là
cùng hướng nếu tồn tại đoạn thẳng-khác không XY sao cho các tứ giác
ABY X và CDY X là hình thang (có thể là hình thang-không).
−→ −−→
−→ −−→
Để biểu thị AB, CD cùng hướng hoặc ta viết AB ⇈ CD hoặc ta viết
−−→ −→
CD ⇈ AB .
5


−→ −−→
Định nghĩa 1.1.6. [1] Hai đoạn thẳng định hướng AB, CD được gọi là
ngược hướng nếu tồn tại đoạn thẳng-khác không XY sao cho các tứ giác
ABXY và CDXY là hình thang (có thể là hình thang-không).
−→ −−→
−→
−−→
Để biểu thị AB, CD ngược hướng hoặc ta viết AB ↑↓ CD hoặc ta viết
−−→
−→
CD ↑↓ AB .
Định lý 1.1.1. [1] Với hai điểm A, B , ta có
−→
−→
1) AB ↑↑ AB.
−→
−→
2) AB ↑↓ BA.

−→ −−→ −→
Định lý 1.1.2. [1] Với ba đoạn thẳng định hướng-khác không AB, CD, EF ,
ta có
−→
−−→ −−→
−→
−→
−→
1) Nếu AB ↑↑ CD; CD ↑↑ EF thì AB ↑↑ EF .
−→
−−→ −−→
−→
−→
−→
2) Nếu AB ↑↑ CD; CD ↑↓ EF thì AB ↑↓ EF .
−→
−−→ −−→
−→
−→
−→
3) Nếu AB ↑↓ CD; CD ↑↓ EF thì AB ↑↑ EF .
Nhận xét 1.1.1. [1] Theo định lý 1.1.1, định lý 1.1.2, dễ dàng thấy rằng
trong tập hợp các đoạn thẳng định hướng-khác không quan hệ cùng hướng
là quan hệ tương đương.
Định nghĩa 1.1.7. [1] Mỗi lớp tương đương sinh ra bởi quan hệ cùng
hướng trong tập hợp các đoạn thẳng định hướng-khác không được gọi là
hướng của đoạn thẳng định hướng.
−→
Hướng của đoạn thẳng định hướng chứa đoạn thẳng định hướng AB
−→

được gọi đơn giản là hướng của đoạn thẳng định hướng AB .
Định nghĩa 1.1.8. [1] Hai hướng của đoạn thẳng định hướng được gọi là
ngược nhau nếu mỗi đoạn thẳng định hướng thuộc hướng của đoạn thẳng
định hướng này và mỗi một đoạn thẳng định hướng thuộc hướng của đoạn
thẳng định hướng kia ngược hướng.
1.1.2

Vectơ, hướng của vectơ

Theo định lý 1.1.1, định lý 1.1.2, chú ý rằng trong tập hợp các đoạn
thẳng quan hệ bằng nhau là quan hệ tương đương, dễ dàng thấy rằng trong
tập hợp các đoạn thẳng định hướng quan hệ bằng nhau cũng là quan hệ
tương đương.
6


Định nghĩa 1.1.9. [1] Mỗi lớp tương đương sinh ra bởi quan hệ bằng nhau
trong tập hợp các đoạn thẳng định hướng được gọi là vectơ.
−→
−→
Vectơ chứa đoạn thẳng định hướng AB được kí hiệu là [AB].
Vectơ chứa các đoạn thẳng định hướng-không được gọi là vectơ-không, kí
→
−
hiệu là [ 0 ].
→
−
−
Định nghĩa 1.1.10. [1] Hai vectơ [→
a ], [ b ] được gọi là cùng hướng nếu

mỗi đoạn thẳng định hướng thuộc vectơ này cùng hướng với mỗi đoạn thẳng
→
−
−
định hướng thuộc vectơ kia. Kí hiệu là [→
a ] ⇈ [ b ].
→
−
−
Định nghĩa 1.1.11. [1] Hai vectơ [→
a ], [ b ] được gọi là ngược hướng nếu
mỗi đoạn thẳng định hướng thuộc vectơ này ngược hướng với mỗi đoạn
→
−
−
thẳng định hướng thuộc vectơ kia. Kí hiệu là [→
a ] ↑↓ [ b ].
Định lý 1.1.3. [1] Với hai điểm A, B , ta có
−→
−→
1) [AB] ↑↑ [AB].
−→
−→
2) [AB] ↑↓ [BA].

→
− −
−
Định lý 1.1.4. [1] Với ba vectơ-khác không [→
a ], [ b ], [→

c ], ta có
→
− →
−
−
−c ] thì [→
−
−c ].
1) Nếu [→
a ] ↑↑ [ b ]; [ b ] ↑↑ [→
a ] ↑↑ [→
→
−
−
2) Nếu [→
a ] ↑↑ [ b ];
→
−
−
3) Nếu [→
a ] ↑↓ [ b ];

→
−
−c ] thì [→
−
−c ].
[ b ] ↑↓ [→
a ] ↑↓ [→
→

−
−c ] thì [→
−
−c ].
[ b ] ↑↓ [→
a ] ↑↑ [→

Nhận xét 1.1.2. [1] Theo định lý 1.1.3, định lý 1.1.4, dễ dàng thấy rằng
trong tập hợp các vectơ-khác không quan hệ cùng hướng là quan hệ tương
đương.
Định nghĩa 1.1.12. [1] Mỗi lớp tương đương sinh ra bởi quan hệ cùng
hướng trong tập hợp các vectơ-khác không được gọi là hướng của vectơ.
Định nghĩa 1.1.13. [1] Hai hướng của vectơ được gọi là ngược nhau nếu
mỗi vectơ thuộc hướng của vectơ này và mỗi vectơ thuộc hướng của vectơ
kia ngược hướng.
1.1.3

Hướng và phương của tia

Định nghĩa 1.1.14. [1] Hướng của đoạn thẳng định hướng tương thích
−
→
với tia Ix là hướng của đoạn thẳng định hướng IA với A thuộc tia Ix.
7


Định nghĩa 1.1.15. [1] Hai tia Ix, Jy được gọi là cùng hướng nếu các
hướng của đoạn thẳng định hướng tương thích với chúng bằng nhau. Hai
tia Ix, Jy được gọi là ngược hướng nếu các hướng của đoạn thẳng định
hướng tương thích với chúng ngược nhau.

Định nghĩa 1.1.16. [1] Hai tia Ix, Jy được gọi là cùng phương nếu chúng
hoặc cùng hướng hoặc ngược hướng.
Định lý 1.1.5. [1] Với mọi tia Ix, ta có
1) Ix↑↑Ix.
2) Ix↑↓ Ix′ , ở đây, Ix′ là tia đối của tia Ix.
Định lý 1.1.6. [1] Với ba tia Ix, Jy, Kz , ta có
1) Nếu Ix ↑↑ Jy; Jy ↑↑ Kz thì Ix ↑↑ Kz.
2) Nếu Ix ↑↑ Jy; Jy ↑↓ Kz thì Ix ↑↓ Kz.
3) Nếu Ix ↑↓ Jy; Jy ↑↓ Kz thì Ix ↑↑ Kz.
Nhận xét 1.1.3. [1] Theo các định lí 1.1.5, định lý 1.1.6, dễ dàng thấy
rằng trong tập hợp các tia quan hệ cùng hướng là quan hệ tương đương.
Định nghĩa 1.1.17. [1] Mỗi lớp tương đương sinh ra bởi quan hệ cùng
hướng trong tập hợp các tia được gọi là hướng của tia.
Định nghĩa 1.1.18. [1] Hai hướng của tia được gọi là ngược nhau nếu
mỗi tia thuộc hướng của tia này và mỗi tia thuộc hướng của tia kia ngược
hướng.
Định nghĩa 1.1.19. [1] Mỗi lớp tương đương sinh ra bởi quan hệ cùng
phương trong tập hợp các tia được gọi là phương của tia.
1.1.4

Hướng hỗn tạp, phương hỗn tạp, đường thẳng định hướng
−→
−
Định nghĩa 1.1.20. [1] Đoạn thẳng định hướng AB và vectơ [→
a ] được
−→
gọi là cùng hướng (ngược hướng) nếu AB cùng hướng (ngược hướng) với
−
mỗi đoạn thẳng định hướng thuộc [→
a ].

8


Nhận xét 1.1.4. [1] Dễ dàng thấy rằng trong tập hợp các đoạn thẳng
định hướng-khác không, các vectơ-khác không và các tia quan hệ cùng
hướng là quan hệ tương đương.
Định nghĩa 1.1.21. [1] Mỗi lớp tương đương sinh bởi quan hệ cùng hướng
trong tập hợp các đoạn thẳng định hướng-khác không, các vectơ-khác không
và các tia được gọi là hướng hỗn tạp.
Định nghĩa 1.1.22. [1] Hai hướng hỗn tạp được gọi là ngược nhau nếu
mỗi đoạn thẳng định hướng-khác không, mỗi vectơ-khác không và mỗi tia
thuộc hướng hỗn tạp này ngược hướng với mỗi đoạn thẳng định hướng khác
không, mỗi vectơ-khác không và mỗi tia thuộc hướng hỗn tạp kia.
Nhận xét 1.1.5. [1] Dễ dàng thấy rằng trong tập hợp các đoạn thẳng
định hướng-khác không, các vectơ-khác không và các tia quan hệ cùng
phương cũng là quan hệ tương đương.
Định nghĩa 1.1.23. [1] Mỗi lớp tương đương sinh ra bởi quan hệ cùng
phương trong tập hợp các đoạn thẳng định hướng-khác không, các vectơkhác không và các tia được gọi là phương hỗn tạp.
Định nghĩa 1.1.24. [1] Phương hỗn tạp chứa các đoạn thẳng định hướngkhác không thuộc đường thẳng ∆ được gọi là phương hỗn tạp tương thích
với ∆.
Định nghĩa 1.1.25. [1] Cho đường thẳng ∆. Lấy đoạn thẳng định hướng−→
khác không AB thuộc phương hỗn tạp tương thích với ∆. Bộ hai thành
−→
phần (∆, AB) được gọi là đường thẳng ∆ định hướng bởi đoạn thẳng định
−→
hướng AB .

−
Định nghĩa 1.1.26. [1] Cho đường thẳng ∆. Lấy vectơ-khác không [→
a]

→
−
thuộc phương hỗn tạp tương thích với ∆. Bộ hai thành phần (∆, [ a ]) được
−
gọi là đường thẳng ∆ định hướng bởi vectơ [→
a ].
Định nghĩa 1.1.27. [1] Cho đường thẳng ∆. Lấy tia Ox thuộc phương
hỗn tạp tương thích với ∆. Bộ hai thành phần (∆, Ox) được gọi là đường
thẳng ∆ định hướng bởi tia Ox.

9


1.2

Góc định hướng

1.2.1

Góc định hướng giữa hai vectơ
−→
−−→
Định nghĩa 1.2.1. Cho hai vectơ OA và OB (đều khác vectơ không)
trong mặt phẳng (OAB) cho tia Ox quay quanh O một hướng nhất định
từ tia OA đến tia OB ta nói tia Ox quét một góc định hướng, kí hiệu là
−→ −−→
−→
−−→
(OA, OB) với OA là vectơ đầu OB là vectơ cuối.
−→

−−→
Góc định hướng của vectơ OA và vectơ OB chính là góc lượng giác của tia
OA và tia OB .
Thông thường, người ta quy ước hướng quay của của tia Ox quay quanh
điểm O là hướng dương nếu hướng quay ngược với hướng quay của kim
đồng hồ và là âm nếu hướng quay thuận với hướng quay của kim đồng hồ.
Khi xác định góc định hướng ta không quan tâm đến độ dài vectơ nên
−→ −−→
để thuận tiện ta có thể xét các vectơ OA, OB có độ dài bằng nhau,
−→
−−→
|OA| = |OB| = r

Hình 1.2
Khi cho điểm X chuyển động trên đường tròn tâm O bán kính r = OA =
OB từ điểm A đến điểm B và quay k vòng theo một hướng xác định thì
điểm X vẽ nên một cung định hướng, ký hiệu là AB , trong đó k ≥ 0 nếu
quay theo hướng dương và k < 0 nếu quay theo hướng âm.
Ta có công thức về số đo cung định hướng
sđAB = a◦ + k.360◦
10


với k là số nguyên và AOB = a◦ .
Nếu sử dụng số đo radian với α.180◦ = α.π thì ta có công thức:
sđAB = a + k.2π
−→ −−→
−→
Như vậy mỗi góc định hướng (OA, OB) được xác định bởi vectơ đầu OA,
−−→

vectơ cuối OB và một số nguyên k , mỗi góc định hướng có một số đo nhất
định.
−−→ −→
Định nghĩa 1.2.2. Cho hai vectơ M N , P Q (đều khác vectơ không) nằm
trên cùng một mặt phẳng. Từ một điểm (gọi là điểm gốc) O nào đó trên
−−→ −→
−→ −−→
−−→
mặt phẳng chứa hai vectơ M N , P Q dựng các vectơ OA = M N và OB =
−→
−−→
−→
P Q.Với mỗi vectơ đầu M N vectơ cuối P Q và số nguyên k , ta xác định
−−→ −→
một góc định hướng, kí hiệu là (M N , P Q), với
−−→ −→
−→ −−→
sđ(M N , P Q) = sđ(OA, OB) = α◦ + k.360◦ ,
trong đó AOB = α◦ và |k| là số vòng quay từ tia OA đến tia OB , k ≥ 0
nếu quay theo hướng dương, k < 0 nếu quay theo hướng âm (Hình 1.3).

Hình 1.3
−−→ −→
Cách xác định góc định hướng (M N , P Q) không phụ thuộc vào vị trí điểm
gốc O. Thật vậy, giả sử với hai điểm gốc E và F ta dựng được các vectơ
−→ −−→ −→
−−→ −→ −−→
OA = M N = F C và OB = P Q = F D thì AOB = CF D đồng thời số
−→ −−→
−→ −−→

vòng quay k là như nhau nên sđ(F C, F D) = sđ(OA, OB).
−→ −−→
−−→ −→
Hai góc định hướng (AB, CD) và (M N , P Q) gọi là bằng nhau khi
−→ −−→
−−→ −→
−→ −−→
−−→ −→
sđ(AB, CD) = sđ(M N , P Q), kí hiệu (AB, CD) = (M N , P Q). Hai góc
định hướng bằng nhau không nhất thiết có hai vectơ gốc của chúng cùng
hướng.
11


*Một số hệ thức cơ bản về số đo góc định hướng giữa hai vectơ
Người ta thường xét số đo góc định hướng theo module 2π để không phải
quan tâm đến số k , khi chỉ xét những góc định hướng có số đo từ 0 đến
2π thì số đo đó xác định duy nhất.
Một số hệ thức cơ bản về số đo góc định hướng đối với các góc định
−−→
hướng chung gốc và các góc định hướng không chung gốc, trong đó M N =
−→ −→ −−→
−→ −→
−−→
−−→
OA, P Q = OB và ST = OC . Chú ý rằng XY = −Y X .
1) Góc không
2) Góc bẹt

−→ −→

(OA, OA) ≡ 0
−→ −→
(OA, −OA) ≡ π

(mod 2π)
(mod 2π)

3) Hai góc ngược hướng
−→ −−→
−−→ −→
(OA, OB) ≡ −(OB, OA) (mod 2π)
−−→ −→
−→ −−→
(M N , P Q) ≡ −(P Q, M N ) (mod 2π)
4) Hệ thức Chasles
−→ −−→
−→ −→
−→ −−→
(OA, OB) ≡ (OA, OC) + (OC, OB) (mod 2π))
−−→ −→
−−→ −→
−→ −→
(M N , P Q) ≡ (M N , ST ) + (ST , P Q) (mod 2π)
Như vậy ta đưa ra công thức mở rộng cho n tia: trong mặt phẳng định
hướng, chọn n tia chung gốc O lần lượt là OA1 , OA2 , . . . , OAn . Ta có
hệ thức Chasles mở rộng
−−→ −−→
−−→ −−→
−−−−→ −−→
−−→ −−→

(OA1 , OA2 )+(OA2 , OA3 )+· · ·+(OAn−1 , OAn ) = (OA1 , OAn ) (mod 2π)
5) Hai góc ngược hướng bù nhau hoặc hai góc định hướng có cạnh tương
ứng song song bù nhau
−→ −−→
−→ −−→
−→ −−→
(OA, OB) ≡ π + (−OA, OB) ≡ π + (OA, −OB) (mod 2π)
−−→ −→
−−→ −→
−−→ −→
(M N , P Q) ≡ π + (−M N , P Q) ≡ π + (M N , −P Q) (mod 2π)
6) Hai góc đối đỉnh
−→ −−→
−→ −−→
(OA, OB) ≡ (−OA, −OB) (mod 2π)
−−→ −→
−−→ −→
(M N , P Q) ≡ (−M N , −P Q) (mod 2π)
12


7) Hiệu hai góc định hướng chung tia đầu
−→ −−→
−→ −−→
−→ −→
(OA, OB) ≡ (OC, OB) − (OC, OA) (mod 2π)
−−→ −→
−→ −→
−→ −−→
(M N , P Q) ≡ (ST , P Q) − (ST , M N ) (mod 2π)

1.2.2

Góc định hướng giữa hai đường thẳng

Định nghĩa 1.2.3. Trên mặt phẳng cho hai đường thẳng a và b cắt nhau
tại O. Một đường thẳng c tùy ý quay quanh điểm O theo một chiều nhất
định từ đường thẳng a đến đường thẳng b, ta nói nó quét một góc định
hướng của hai đường thẳng a và b. Ta gọi a là đường thẳng đầu, b là đường
thẳng cuối và kí hiệu góc định hướng đó là (a, b).
Ta quy ước chiều quay ngược với chiều quay của kim đồng hồ gọi là
chiều dương, chiều quay thuận với chiều kim đồng hồ là chiều âm. Đường
thẳng c có thể quay từ a đến b theo chiều dương hoặc chiều âm. Ngoài ra
c có thể quay đến b lần thứ nhất rồi dừng lại, hoặc quay tiếp một vòng,
hai vòng,... Như vậy với hai đường thẳng a, b cho trước ta có vô số góc
định hướng (a, b) và số đo các góc định hướng này sai khác nhau một bội
số nguyên của π . Tức là sđ(a, b) = α + kπ , trong đó |k| số lần quay nửa
vòng từ đường thẳng a đến đường thẳng b, α ∈ [0, π), k ≥ 0, nếu quay
theo chiều dương, k < 0 nếu quay theo chiều âm.

Hình 1.4

13


Nếu hai đường thẳng a, b song song hoặc trùng nhau và k là số tùy ý ta
quy ước có một góc định hướng của hai đường thẳng này và sđ(a, b) = kπ .
Người ta thường xét số đo góc định hướng của hai đường thẳng theo
module π để không quan tâm đến k , cuối cùng khi chỉ xét những góc định
hướng có số đo từ 0 đến π thì số đo đó xác định duy nhất. Xét các hệ thức
về số đo góc theo module π ta sẽ nhận được nhiều đồng dư thức đẹp và

trong thực tế sử dụng những đồng dư thức này thuận lợi trong giải toán.
Hai góc định hướng (a, b) và (c, d) được gọi là bằng nhau khi sđ(a, b) =
sđ(c, d), kí hiệu (a, b) = (c, d). Hai góc định hướng bằng nhau thì không
nhất thiết hai đường thẳng đầu của chúng là cùng phương.
*Mối liên hệ giữa các số đo của góc định hướng giữa hai đường
thẳng và góc định hướng giữa hai vectơ
Từ công thức sđ(a, b) = α + k.π ta suy ra sđ(a, b) = α (mod π).
Ta thấy, nếu có đồng dư thức a ≡ b (mod 2π) thì a = b + k.2π (k
nguyên) suy ra a ≡ b (mod π). Nói cách khác, một đồng dư thức đúng
theo module 2π thì cũng đúng theo module π (điều ngược lại không chắc
xảy ra).
Giả sử M, E, N thuộc đường thẳng a và P, E, Q thuộc đường thẳng b
với EN, EQ là tia đối của tia EM, EP theo thứ tự, từ các hệ thức cơ
bản của số đo góc định hướng giữa hai vectơ ta có
−−→ −→
Với (EM , EP ) ≡ α (mod 2π) thì
−−→ −→
−−→ −→
(−EM , EP ) ≡ (EN , EP ) ≡ π + α (mod 2π),
−−→ −→
−−→ −→
(−EM , −EP ) ≡ (EM , EP ) ≡ α (mod 2π)
Theo nhận xét trên, khi xét theo module π thì
−−→ −→
−−→ −→
−−→ −→
(EM , EP ) ≡ (−EM , EP ) ≡ (EM , −EP ) ≡ α

(mod π)

Từ các điều trên, ta có
−−→ −→
−−→ −→
(a, b) ≡ (EM , EP ) ≡ (−EM , EP ) (mod π)
−−→ −→
−−→ −→
≡ (EM , −EP ) ≡ (−EM , −EP ) (mod π)
Hay

−−→ −→
−−→ −→
−−→ −→
−−→ −→
(a, b) ≡ (M N , P Q) ≡ (N M , P Q) ≡ (M N , QP ) ≡ (N M , QP )
14

(mod π)


Từ đó suy ra hệ thức

−−→ −→
(M N, P Q) ≡ (M N , P Q)

(1.1)

(mod π)

Hệ thức này tương đương với hai hệ thức sau
−−→ −→

(M N, P Q) ≡ (M N , P Q) (mod 2π)
−−→ −→
(M N, P Q) ≡ (M N , −P Q) (mod 2π)

(1.2)

Các hệ thức (1.1) và (1.2) đặc trưng cho số đo góc định hướng của hai
đường thẳng M N, P Q và cũng chỉ ra mối liên hệ giữa số đo góc định
hướng giữa hai đường thẳng và số đo góc định hướng giữa hai vectơ.
*Một số hệ thức cơ bản của số đo góc định hướng giữa hai đường
thẳng
Từ các hệ thức cơ bản của số đo góc định hướng giữa hai vectơ và mối liên
hệ giữa góc định hướng giữa hai vectơ và góc định hướng giữa hai đường
thẳng, ta có các hệ thức về số đo của góc định hướng giữa hai đường thẳng
1) Hai đường thẳng a, b trùng nhau hoặc song song khi và chỉ khi

(a, b) ≡ 0

(mod π)

2) Hai góc định hướng giữa hai đường thẳng ngược hướng

(a, b) ≡ −(b, a)

(mod π)

3) Hệ thức Chasles về góc định hướng giữa hai đường thẳng

(a, c) ≡ (a, b) + (b, c)

(mod π)

Hệ thức Chasles mở rộng: trong mặt phẳng đã được định hướng cho
các đường thẳng a1 , a2 , . . . , an cắt nhau tại O. Khi đó ta có

(a1 , a2 ) + (a2 , a3 ) + · · · + (an−1 , an ) = (a1 , an )

(mod π)

4) Hiệu của hai góc định hướng chung đường thẳng đầu

(b, c) ≡ (a, c) − (a, b)

(mod π)

5) Hai đường thẳng a, b vuông góc với nhau khi và chỉ khi
π
(a, b) ≡
(mod π)
2
15


Nhận xét 1.2.1. Khi chuyển số đo góc định hướng giữa hai đường thẳng
từ vế này sang vế kia của đồng dư thức theo module π ta phải đổi dấu của
nó.
*Các tính chất của góc định hướng giữa hai đường thẳng

• Tính chất 1 [5] (Điều kiện để 4 điểm đồng viên ): Cho bốn điểm
A, B, C, D bất kỳ, khi đó bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc đường tròn

(đồng viên) khi và chỉ khi
(AC, AD) ≡ (BC, BD)

(mod π)

• Tính chất 2 [5]: Đường thẳng a và a′ đối xứng nhau qua d khi và chỉ
khi (a, d) ≡ (d, a′ ) (mod π)
• Tính chất 3 [5]: (Quan hệ giữa góc nội tiếp và góc ở tâm): Cho ba
điểm M, A, B trên đường tròn (0) thì ta có
1 −→ −−→
(M A, M B) = (OA, OB) = (BA, BT ) (mod π)
2
với BT là tiếp tuyến của (O) tại B .
• Tính chất 4 [5]: Nếu a′ là ảnh của a qua phép quay với góc quay α thì
(a, a′ ) ≡ α (mod π)
• Tính chất 5 [5]: Cho a′ , b′ lần lượt là ảnh của đường thẳng a, b qua
phép đối xứng trục △. Khi đó (a, b) ≡ (b′ , a′ ) (mod π)
1.2.3

Một số định lý về góc định hướng giữa hai vectơ và góc
định hướng giữa hai đường thẳng

Định lý 1.2.1 (Định lý Miquel). Các điểm M, N, P theo thứ tự nằm trên
các đường thẳng chứa các cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC . Khi đó
các đường tròn (AN P ), (BP M ), (CM N ) cùng đi qua một điểm.
Hệ quả 1.2.1. Một đường thẳng cắt các đường thẳng chứa các cạnh
BC, CA, AB của tam giác ABC theo thứ tự tại M, N, P . Khi đó các
đường tròn (ABC), (AN P ), (BP M ) và (CM N ) cùng đi qua một điểm.
Chú ý 1.2.1. Từ hệ quả định lý Miquel gọi K là giao điểm của các đường
tròn (ABC), (AN P ), (BP M ) và (CM N ), điểm K được gọi là điểm

Miquel của △ABC và đường thẳng qua M, N, P.
16


Định lý 1.2.2. Tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O), P = AB ∩ CD,
Q = AC ∩ BD. Khi đó
1
sđ(P A, P D) = sđ(P B, P C) = (sđBC + sđAD) (mod π)
2
1
sđ(QA, QD) = sđ(QC, QB) = (sđCB + sđAD) (mod π)
2
Định lý 1.2.3. Cho đường thẳng d tiếp xúc với đường tròn (O) tại M và
N, P ∈ (O), N, P không trùng với M . Khi đó
sđ(d, M N ) = sđ(P M, P N )

(mod π)

Định lý 1.2.4. [1] Ta có các phát biểu sau
→
−
→
−
−
−
1) (→
a , b ) ≡ π + (→
a , − b ) (mod 2π).

→

− →
→
−
→
− →
−
−
→
−
−
−
2) Nếu →
a ⇈ a′ , b ⇈ b′ thì (→
a , b ) ≡ ( a′ , b′ ) (mod 2π).
→
− →
→
−
→
− →
−
−
→
−
−
−
3) Nếu →
a ↑↓ a′ , b ↑↓ b′ thì (→
a , b ) ≡ ( a′ , b′ ) (mod 2π).
→

−
→
−
−
−
4) Với hai vectơ khác vectơ không →
a , b , ta có (→
a , b ) ≡ 0 (mod 2π)
→
−
−
khi và chỉ khi →
a ⇈ b.
→
−
→
−
−
−
5) Với hai vectơ khác vectơ không →
a , b , ta có (→
a , b ) ≡ π (mod 2π)
→
−
−
khi và chỉ khi →
a ↑↓ b .
→
− −
→

−
−
→
−
−
−
−c , →
−
−c .
6) Nếu →
a , b ,→
c = 0 và (→
a , b ) ≡ (→
b ) (mod 2π) thì →
a ⇈→
→
− − →
−
→
−
−
→
−
−
−
−c , →
7) Với bốn vectơ →
a , b ,→
c , d = 0 ta có (→
a , b ) ≡ (→

d ) (mod 2π)
→
−
→
−
−
−c ) ≡ ( b , d ) (mod 2π).
khi và chỉ khi (→
a ,→
8) Nếu a

a′ ; b

b′ thì (a, b) ≡ (a′ , b′ ) (mod π).

9) Nếu a⊥a′ ; b⊥b′ thì (a, b) ≡ (a′ , b′ ) (mod π).
−→ −−→
−−→ −−→
10) Nếu (AB, CD) ≡ (XY , XT ) (mod 2π) thì

(AB, CD) ≡ (XY, XT )

(mod π).

11) Với bốn đường thẳng a, b, c, d ta có

(a, b) + (c, d) ≡ (a, d) + (c, d)

(mod π).

12) Với ba điểm A, B, C đôi một khác nhau ta có
−→ −→
−−→ −→
−→ −−→
(AB, AC) + (BC, BA) + (CA, CB) ≡ π
17

(mod 2π)


Chương 2

Ứng dụng góc định hướng trong
giải bài tập hình học phẳng
2.1

Ứng dụng góc định hướng trong các bài toán về góc

Bài toán 2.1.1. [2] Cho △ABC . Về phía ngoài tam giác ta dựng các tam
giác đều ABE, ACF . Gọi G là tâm △ABE và K là trung điểm của cạnh
EF . Chứng minh rằng △KGC vuông góc và có một góc bằng 60◦ .
Chứng minh. Không mất tính tổng quát, giả sử (AB, AC) là góc dương.
Lấy điểm P sao cho K là trung điểm của GP thì tứ giác EGF P là hình
bình hành nên GE = P F . Từ giả thiết G là tâm tam giác đều ABE , ta
có GA = GE . Vậy
AG = P F
(2.1)
Từ giả thiết △ACF đều, ta có

CA = CF

(2.2)
−→ −→
−−→ −→
−→ −−→
Mặt khác, (F P , F C) = (GE, F C) (mod 2π) (vì F P , GE cùng hướng)
nên
−→ −→
−−→ −→
−→ −→
−→ −→
−→ −→
(F P , F C) ≡ (GE, GA) + (GA, CA) + (CA, CF ) + (CF , F C) (mod 2π)
−→ −→
−→ −→
2π
π
⇒ (F P , F C) ≡ − + (AG, AC) − + π (mod 2π)
3
3
−→ −→
−→ −→
⇒ (F P , F C) ≡ (AG, AC) (mod 2π).
Suy ra

GAC = P F C
18

(2.3)

Từ (2.1), (2.2), (2.3) suy ra △GAC = △CP F . Do vậy, CG = CP nên
tam giác cân GCP có trung tuyến CK vừa là đường cao, vừa là trung
tuyến. Do đó tam giác KGC vuông tại K .
Mặt khác, ta có

GCA = P CF ⇒ GCA + ACP = P CF + ACP
hay

GCP = ACF = 60◦
Do đó KGC = 60◦ (Hình 2.1).
Bài toán 2.1.2. [IMO Shortlisted 2000] Cho tứ giác lồi ABCD sao cho
AB không song song với CD và điểm X bên trong tứ giác thỏa mãn
ADX = BCX < 90◦ và DAX = CBX < 90◦ . Gọi Y là giao điểm
đường trung trực của AB và CD. Chứng minh rằng AY B = 2ADX .
Để chứng minh bài toán này, ta dựa vào nội dung bổ đề sau
Bổ đề 2.1.1. Cho hai đường tròn (O1 ) và (O2 ) cắt nhau tại X, Y . Lấy A
là một điểm bất kỳ nằm trên (O1 ). Dựng tia ZB đối xứng tia ZA qua ZX
với B thuộc (O2 ). Gọi (O) là đường tròn ngoại tiếp △ABZ . Khi đó ta có
OO1 = OO2 .

19


Chứng minh. Ta có

(OO1 , O1 O2 ) = (OO1 , AZ) + (AZ, ZX) + (ZX, O1 O2 )
= (O1 O2 , ZX) + (ZX, ZB) + (ZB, OO2 )
= (O1 O2 , OO2 )

(mod π)

Do đó △OO1 O2 cân tại O nên OO1 = OO2 (Hình 2.1).
Chứng minh bài toán 2.1.2.

Hình 2.2
Gọi (O1 ), (O2 ) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp △XDA và △XBC . Ta
gọi Z là giao điểm thứ hai của hai đường tròn (O1 ), (O2 ). Tiếp tục gọi các
đường tròn (O), (O′ ) lần lượt là đường tròn ngoại tiếp △ZAB và △ZCD.
Giả sử Y ′ là giao điểm thứ hai của (O), (O′ ). Ta có

M = ZX ∩ (O) (M = Z), N = ZX ∩ (O′ ) (N = Z)
Do đó

(ZA, ZX) ≡ (DA, DX) ≡ (CX, CB) ≡ (ZX, ZB)

(mod π)

Áp dụng bổ đề 2.1.1 ta có OO1 = OO2 . Tương tự, ta có O′ O1 = O′ O2 .
Suy ra OO′ ⊥O1 O2 . Mặt khác XZ⊥O1 O2 , ZY ′ ⊥OO′ nên ZY ′ ⊥ZX .
20


Xét đường tròn (O) có XY ′ ⊥ZM và M là điểm chính giữa cung AB
không chứa Y ′ , ta suy ra Y ′ A = Y ′ B . Tương tự ta có Y ′ C = Y ′ D nên
Y ≡ Y ′.
Vì vậy AY B = AZB = 2ADX (Hình 2.2).

2.2
2.2.1

Ứng dụng trong các bài toán về đường thẳng
Chứng minh ba điểm thẳng hàng

Phương pháp: Từ định nghĩa, ta có
(i) Ba điểm phân biệt A, B, C cùng nằm trên một đường thẳng khi và chỉ
khi (AB, AC) ≡ 0 (mod π)
(ii) Với điểm M tùy ý ba điểm phân biệt A, B, C cùng nằm trên một
đường thẳng khi và chỉ khi

(AB, AM ) ≡ (AC, AM )

(mod π))

Bài toán 2.2.1 (Đường thẳng Simson). Cho △ABC và điểm M nằm
trên đường tròn (O) ngoại tiếp △ABC . Gọi N, P, Q lần lượt là hình chiếu
vuông góc của M trên các đường thẳng BC, CA, AB . Chứng minh ba điểm
N, P, Q thẳng hàng.
Chứng minh. Theo tính chất 1 về sự đồng viên của 4 điểm ta có

Hình 2.3

21


(P N, P Q) ≡ (P N, P M ) + (P M, P Q) ≡ (CN, CM ) + (AM, AQ)
≡ (BC, M C) + (M A, BA) ≡ 0

(mod π)

(mod π)

Từ đó suy ra ba điểm P, N, Q thẳng hàng.
Đường thẳng chứa ba điểm P, N, Q được gọi là đường thẳng Simson của
tam giác ABC ứng với điểm M (Hình 2.3).
Nhận xét 2.2.1. Với việc ứng dụng góc định hướng giữa hai đường thẳng
ta đã đưa ra được một lời giải khác ngắn gọn hơn và không phụ thuộc
nhiều vào hình vẽ.
Bài toán 2.2.2. Cho hai đường tròn (O1 ), (O2 ) cắt nhau tại A, B . Xét
−−→ −−−→
−−→ −−−→
Mi ∈ (Oi ) (i = 1, 2) sao cho (O1 A, O1 M1 ) ≡ (O2 A, O2 M2 ). Chứng minh
ba điểm M1 , B, M2 thẳng hàng.

Hình 2.4
Chứng minh. Do B ∈ (O1 ), (O2 ) nên

1 −−→ −−−→
1 −−→ −−−→
(BA, BM1 ) ≡ (O1 A, O1 M1 ) ≡ (O2 A, O2 M2 ) ≡ (BA, BM2 )
2
2

(mod π)

Suy ra ba điểm M1 , B, M2 thẳng hàng (Hình 2.4).
Bài toán 2.2.3. Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn (O). Gọi
ba điểm E, F, G theo thứ tự là giao điểm của các cặp đường thẳng AB, CD,
và BC, DA, và AC, BD. Các đường tròn (DAE), (DCF ), cắt nhau tại
giao điểm thứ hai H . Phân giác của góc AHB cắt AB tại I , phân giác
của góc DHC cắt CD tại J . Chứng minh ba điểm I, G, J thẳng hàng.

22


Chứng minh. Từ giả thiết suy ra

(HD, HE) ≡ (AD, AE) ≡ (AD, AB) ≡ (CD, CB)
≡ (CD, CF ) ≡ (HD, HF )

(mod π)

(mod π)

Do đó ba điểm H, E, F thẳng hàng.
Áp dụng bổ đề Miquel cho △BEC , ta được các đường tròn (BAF ),
(CF D) và (DEA) cùng đi qua một điểm khác D. Do đó, bốn đường
tròn (BAF ), (CF D), (DEA), (EBC) cùng đi qua H . Do vậy ta có

(HA, HD) ≡ (EA, ED) ≡ (EB, EC) ≡ (HB, HC)

(mod π)

và

(CB, CH) ≡ (CB, CD) + (CD, CH) ≡ (AB, AD) + (F D, F H)
≡ (EA, EH) ≡ (DA, DH)

(mod π)

Suy ra △AHC ∼ △HDA suy ra

HB
BC
HC
=
=
HD
HA
DA
Từ đó ta có

IB
JC
HC
BC
GC
GB
=
=
=
=
=
IA
JD
HD
DA GD
GA
23

(mod π))