Tiêu chuẩn eisenstein về tính bất khả quy của đa thức

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
--------------



-------------

NGUYỄN KHẮC HƯỞNG

TIÊU CHUẨN EISENSTEIN
VỀ TÍNH BẤT KHẢ QUY CỦA ĐA THỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2018


ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
--------------



-------------

NGUYỄN KHẮC HƯỞNG

TIÊU CHUẨN EISENSTEIN
VỀ TÍNH BẤT KHẢ QUY CỦA ĐA THỨC
Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8460113

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
GS.TS. Lê Thị Thanh Nhàn

THÁI NGUYÊN - 2018


1

Möc löc
Líi nâi ƒu
Ch÷ìng 1 Ti¶u chu'n Eisenstein

3
5

1.1 a thøc b§t kh£ quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Ti¶u chu'n Eisenstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Làch sß ph¡t hi»n v chøng minh Ti¶u chu'n Eisenstein . . .
Ch÷ìng 2 Mºt sŁ mð rºng cıa ti¶u chu'n Eisenstein

5
11
14
18

2.1 Mð rºng cho tr÷íng hæp a thøc vîi h» sŁ nguy¶n . . . . . . .

2.2 Mi•n ph¥n t‰ch duy nh§t (UFD) . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Mð rºng cho tr÷íng hæp a thøc vîi h» sŁ tr¶n mi•n UFD . .
2.4 V“n döng x†t t‰nh b§t kh£ quy cıa a thøc . . . . . . . . . .
K‚t lu“n

18
25
29
31
45

T i li»u tham kh£o

46


2

LIC MèN
Lun vôn Tiảu chu'n Eisenstein v tnh bĐt khÊ quy ca a thức ữổc
thỹc hiằn ti Trữớng i hồc Khoa hồc - i hồc ThĂi Nguyản v ho n th nh dữợi
sỹ hữợng dÔn ca GS. TS. Lả Th Thanh Nh n. TĂc giÊ xin ữổc b y tọ
lặng bit ỡn chƠn th nh v sƠu sc tợi ngữới hữợng dÔn khoa hồc ca m
nh. Cổ Â d nh nhiu thới gian hữợng dÔn v tn tnh giÊi Ăp nhng thc
mc ca tĂc giÊ trong sut quĂ trnh l m lun vôn. Lun vôn ca tổi ữổc
ho n th nh cụng nhớ sỹ ổn c nhc nh v hữợng dÔn nhiằt tnh ca cổ.
TĂc giÊ xin trƠn trồng cÊm ỡn Ban giĂm hiằu Trữớng i hồc Khoa hồc
- i hồc ThĂi Nguyản, Ban Ch nhiằm Khoa ToĂn - Tin, cũng cĂc thy,
cổ Â tham gia giÊng dy, Â to iu kiằn tt nhĐt tĂc giÊ hồc tp v nghiản
cứu.

Tổi cụng xin chƠn th nh cÊm ỡn Ban giĂm hiằu v cĂc ỗng nghiằp
Trữớng THPT Qu Vê s 2 - Bc Ninh  to iu kiằn cho tổi ho n th nh tt
nhiằm vử hồc tp ca mnh.
NhƠn dp n y, tổi cụng xin gòi lới cÊm ỡn tợi tp th lợp cao hồc ToĂn
K10C (khõa 2016 - 2018), cÊm ỡn gia nh v bn b  ng viản giúp
ù tổi rĐt nhiu trong quĂ trnh hồc tp.
Tổi xin trƠn trồng cÊm ỡn!


3

Lới nõi

u

Trong cĂc k thi hồc sinh giọi cĐp quc gia, quc t, cĂc k thi
Olympic toĂn sinh viản gia cĂc trữớng i hồc th cĂc b i toĂn liản quan
n a thức thữớng xuyản ữổc cp v ữổc xem nhữ l nhng b i toĂn khõ.
Trong lỵ thuyt a thức th a thức bĐt khÊ quy õng mt vai trặ quan
trồng ging nhữ vai trặ ca s nguyản t trong tp cĂc s nguyản. CĂc b
i toĂn v xt tnh bĐt khÊ quy ca cĂc a thức trản cĂc trữớng s C v R Â
ữổc giÊi quyt t khi ngữới ta chứng minh ữổc nh lỵ cỡ bÊn ca i s v
chứng minh ho n chnh n y ữổc ữa ra bi Gauss nôm 1816. Những
cĂc b i toĂn v tnh bĐt khÊ quy ca cĂc a thức trản Q vÔn ang thò thĂch
cĂc nh toĂn hồc th giợi. Vợi cĂc lỵ do trản, tổi  chồn t i Tiảu chu'n
Eisenstein v tnh bĐt khÊ quy ca a thức trản Q.
Mửc ch ca lun vôn l trnh b y li mt s kt quÊ gn Ơy v nhng
m rng ca tiảu chu'n Eisenstein cho tnh bĐt khÊ quy ca a thức.
n
n1

Tiảu chu'n Eisenstein phĂt biu rng, nu f x
a nx a n 1x
a1x
a0 l a thức vợi hằ s nguyản sao cho cõ mt s nguyản t p thọa mÂn p
2
l ữợc ca ai vợi mồi i n, p khổng l ữợc ca an v p khổng l ữợc ca a0, th
f x bĐt khÊ quy trản trữớng hu t Q. Lun vôn nghiản cứu n cĂc vĐn
sau Ơy:

pq

pq

VĐn 1. M rng tiảu chu'n Eisenstein cho trữớng hổp s nguyản
t p khổng l ữợc ca mt hằ s ak vợi k l mt s tỹ nhiản tũy ỵ
2

khổng nhĐt thit bng n v p khổng l ữợc ca at vợi t tũy ỵ khổng
nhĐt thit bng 0 (dỹa theo t i liằu [1], [4] v [5]);
VĐn 2. M rng tiảu chu'n Eisenstein cho trữớng hổp hằ s ca


4

a thức thuc mt min phƠn tch duy nhĐt tũy ỵ (khổng nhĐt thit
l min Z cĂc s nguyản). T õ xt tnh bĐt khÊ quy ca a thức nhiu
bin (dỹa theo t i liằu [6]);
VĐn 3. Trnh b y lch sò phĂt hiằn v chứng minh Tiảu chu'n
Eisenstein (dỹa theo t i liằu [3]).
Lun vôn gỗm hai chữỡng. Trong Chữỡng 1, chúng tổi nhc li khĂi niằm

a thức bĐt khÊ quy, Tiảu chu'n Eisenstein v lch sò phĂt hiằn v chứng
minh Tiảu chu'n Eisenstein. Chữỡng 2 l ni dung chnh ca lun vôn,
nảu mt s m rng ca tiảu chu'n Eisenstein. Tit u d nh m rng cho
trữớng hổp a thức vợi hằ s nguyản. Tit 2.2 trnh b y cĂc khĂi niằm v
min phƠn tch duy nhĐt, chu'n b cho viằc m rng tiảu chu'n vợi
trữớng hổp a thức vợi hằ s trản min UFD. Tit cui trnh b y vn dửng
cĂc m rng trản xt tnh bĐt khÊ quy ca a thức.
Ni dung nghiản cứu chữa ữổc tip cn bc ph thổng v i hồc,
những gn lin vợi toĂn sỡ cĐp.

ThĂi Nguyản, thĂng 4 nôm 2018
TĂc giÊ

Nguyn Khc Hững


5

Ch֓ng 1
Ti¶u chu'n Eisenstein
Möc ti¶u cıa Ch÷ìng 1 l tr…nh b y v• a thøc b§t kh£ quy v Ti¶u chu'n
Eisenstein. Trong ti‚t ƒu cıa ch÷ìng chóng tæi nh›c l⁄i mºt sŁ kh¡i ni»m
v• a thøc b§t kh£ quy v mºt sŁ ph÷ìng ph¡p chøng minh a thøc b§t kh£
quy. Ti‚t ti‚p theo d nh ” tr…nh b y Ti¶u chu'n Eisenstein. Trong phƒn
cuŁi ch÷ìng chóng tæi tr…nh b y làch sß ph¡t hi»n còng c¡c chøng
minh Ti¶u chu'n Eisenstein.

1.1

a thøc b§t kh£ quy

a thøc b§t kh£ quy âng mºt vai trÆ quan trång giŁng nh÷ vai trÆ
cıa sŁ nguy¶n tŁ trong v nh Z c¡c sŁ nguy¶n. Nhí ành l‰ cì b£n cıa sŁ
håc, ” nghi¶n cøu v nh c¡c sŁ nguy¶n th… ta câ th” xu§t ph¡t tł c¡c sŁ
nguy¶n tŁ. T÷ìng tü nh÷ th‚ ” nghi¶n cøu v nh a thøc th… ta s‡ i nghi¶n
cøu c¡c a thøc b§t kh£ quy.
Trong suŁt ti‚t n y, luæn gi£ thi‚t V l mi•n nguy¶n, tøc V l v nh giao
ho¡n kh¡c 0 v n‚u a; b 0 l hai phƒn tß cıa V th… ab 0. Ta câ kh¡i
ni»m a thøc b§t kh£ quy trong v nh a thøc V x . Chó þ r‹ng V x l
mi•n nguy¶n. Nºi dung cıa ti‚t n y ÷æc tham kh£o tł t i li»u [1].

tu

rs

pq P
pq
pq

rs

rs

ành ngh¾a 1.1.1 Cho f x
V x l a thøc kh¡c 0 v khæng kh£
nghàch. Ta nâi f x l b§t kh£ quy tr¶n V n‚u nâ khæng câ ÷îc thüc sü. Ta
nâi f x kh£ quy n‚u f x câ ÷îc thüc sü.

pq

6

Chú ỵ rng tnh bĐt khÊ quy ca a thức phử thuc v o v nh cỡ s.
Chflng hn, a thức 2x 6 l bĐt khÊ quy trản trữớng Q. Tuy nhiản 2x 6
khổng bĐt khÊ quy trản v nh Z bi v cĂc a thức 2 v x 3 u l ữợc thỹc
2
sỹ ca 2x 6. Tữỡng tỹ, a thức x 4 l bĐt khÊ quy trản R những khổng bĐt
khÊ quy trản C.

p q l bĐt khÊ quy nu v ch nu fpx aq l bĐt khÊ quy vợi

B 1.1.2 a thức f x
mồi a
V.

P

V mỉi phn tò khĂc 0 trong mt trữớng u khÊ nghch, nản t nh
nghắa a thức bĐt khÊ quy ta cõ kt quÊ sau.

pq
pqĂ pq

B 1.1.3 a thức f x vợi hằ s trản mt trữớng K l bĐt khÊ quy nu v
ch nu deg f x
0 v f x khổng phƠn tch ữổc th nh tch ca
hai a thức cõ bc b hỡn.
Chú ỵ rng a thức bc nhĐt vợi hằ s trong mt trữớng u cõ nghiằm.
V th ta cõ kt quÊ sau.

B 1.1.4 Trản mt trữớng K, cĂc phĂt biu sau l

úng.

i) a thức bc nhĐt luổn bĐt khÊ quy.
ii) a thức bc 2 v bc 3 l bĐt khÊ quy nu v ch nu nõ khổng cõ
nghiằm trong K.
Tip theo chúng tổi trnh b y mt s phữỡng phĂp xt tnh bĐt khÊ
quy ca a thức trản tp cĂc s hu t Q. Trữợc ht ta nhc li khĂi niằm a
thức nguyản bÊn.

rs

nh nghắa 1.1.5 Mt a thức khĂc khổng trong v nh Z x ữổc gồi l
nguyản bÊn nu cĂc hằ s ca nõ cõ ữợc chung lợn nhĐt bng 1.
B 1.1.6 Tch ca hai a thức nguyản bÊn l

a thức nguyản bÊn.

p q P Zrxs. GiÊ sò ppxq gpxqfpxq vợi
gpxq; fpxq P Qrxs. Khi õ tỗn ti gpxq; fpxq P Zrxs sao cho
B 1.1.7 (B Gauss). Cho p x

pq

deg g x

pq

pq

deg g x ; deg f x

p q v ppxq gpxqfpxq:

deg f x


7

pq

c biằt, nu p x l khÊ quy trản Q th nõ phƠn tch ữổc th nh t
ch ca hai a thức vợi hằ s nguyản cõ bc thĐp hỡn.

p q af1pxq v gpxq bg1pxq, trong õ a; b P Q v
f1pxq; g1pxq P Zrxs l cĂc a thức nguyản bÊn. Khi õ f1pxqg1pxq l a
Chứng minh. Vit f x

thức nguyản bÊn (theo B 1.1.6). Rê r ng ppxq abf1pxqg1pxq

Ta chứng minh ab

P Z. Tht vy, giÊ sò ab R Z. Khi

l phƠn s ti giÊn v s

Ă 1: Vit f1pxqg1pxq

n

a nx

P Zrxs.

õ ab

r vợi r
s
s

::: a1x a0.

V f1pxqg1pxq l nguyản bÊn nản gcdpan; an 1; :::; a0q 1. V ppxq

P Zrxs

nản ta cõ ran ; :::; ra1 ;ra0
Z. Suy ra s l ữợc chung ca an; :::; a1; a0,
s
s s P
iu n y l
vổ l. Vy ab P Z. t fpxq abf1pxq v gpxq g1pxq. Khi

pq pqpq

p q p q P Zrxs v

deg fpxq deg fpxq v

õ p x f x g x vợi f x ; g x
deg gpxq deg gpxq.

l

a thức vợi hằ s nguyản
n
Chú ỵ rng nu f x anx ::: a1x a0 l
nhn phƠn s ti giÊn p l m nghiằm th p l ữợc ca a0 v q l
ữợc ca
q
nghiằm
an. c biằt, nu an 1 th mồi nghiằm hu t ca fpxq u l
nguyản.
Viằc sò dửng B Gauss xt tnh bĐt khÊ quy ca a thức trản Q

pq

l phữỡng phĂp hu hiằu. Mt s v dử minh hồa cho phữỡng phĂp n y
chúng ta cõ th xem trong t i liằu [1]. Sau Ơy l mt s v dử khĂc.

pq

V dử 1.1.8 Chứng minh a thức p x

x

4

x

2

1 bĐt khÊ quy trản Q.

p q cõ nghiằm hu t th nghiằm õ phÊi l nghiằm nguyản

Lới giÊi. Nu p x

(do hằ s ca s hng cao nhĐt bng 1) v l ữợc ca s hng tỹ do. Kim tra ln

pq

lữổt cĂc ữợc ca 1 l 1; 1 thĐy chúng khổng l nghiằm ca p x . Do õ

p q khổng cõ nghiằm hu t . V th ppxq khổng l tch ca mt a
thức bc nhĐt v mt a thức bc ba. GiÊ sò ppxq khÊ quy trản Q. Theo B
Gauss, ppxq cõ sỹ phƠn tch ppxq gpxqhpxq trong õ gpxq;
2
hpxq P Zrxs cõ bc 2 v cõ hằ s cao nhĐt bng 1. Ta vit gpxq x ax b
2
v hpxq x cx d, trong õ a; b; c; d P Z. ỗng nhĐt hằ s hai v ca
p x


8

$a
flng thức p

pxq

ac

ta

gpxqhpx

1 v vai

bc 0

1

% tnh tng quĂt ta cõ th giÊ thit

1. Nu b d 1 th a c 0; ac
1 th a c 0; ac 1. Suy ra

1, vổ l. Nhữ vy,

1
. V bd

ad

trặ ca b; d l nhữ nhau nản khổng mĐt

2

d

&'

' bd

a

b

ữổc

q

b d 1 hoc b d
vổ l. Nu b d

c 0

3. Suy ra a

2

3

ề a R Z,

pxq bĐt khÊ quy trản Q.

a thức p

V dử 1.1.9 Chứng minh a thức f
bĐt khÊ quy trản Q.

pxq

x

6

6x

4

3

6x 12x

2

36x 1

pq

Lới giÊi. D d ng kim tra ữổc f x
khổng cõ nghiằm hu t . V
th f x khổng l tch ca mt a thức bc nhĐt v mt a thức bc nôm. GiÊ
sò f x khÊ quy trản Q. Theo B Gauss (xem B 1.1.7), tỗn ti phƠn t
ch f x
g x h x , trong õ g x ; h x

Z x cõ hằ s
cao nhĐt bng 1 v cõ bc dữỡng. V deg f x
6 nản ta cõ hai trữớng hổp.

pq
pq
pq pqpq

pq pq P rs
pq
2
4
3
2
Trữớng hổp 1 : fpxq px ax bqpx cx dx ex gq, trong õ a; b; c; d; e;
g P Z. ỗng nhĐt hằ s ta ữổc

$a c 0

'

ac b d

ad bc e

& ae
'

6

ag

bd
be

g

6

12

36

bg 1

%

V bg 1 nản ch cõ th xÊy ra 2 trữớng hổp nhọ sau. Vợi b 1; g 1,

(1.1)


9

thay v o h» (1.1) ta

$

־c

a

'
&
'
Tł (1.2b) v (1.2d) suy ra

c 0

(1.2a)

ac

d

7

ad

c

e

(1.2b)
6

(1.2c)

ae d 11

(1.2d)

a

(1.2e)

e

36

%

a

pe c q

18

(1.3)

Tł (1.2a) v (1.2e) lƒn l÷æt rót c v e theo a th‚ v o (1.3) ta ÷æc ph÷ìng
1
tr…nh a
36 a a
18 suy ra a
2, væ l‰. Vîi b 1; g 1 thay
v o h» (1.1) ta ÷æc

p

q

$

a c 0

(1.4a)

' ac d 5
& ae d 13
'
Tł (1.4b) v (1.4d) suy ra%
ad

a

a

c e

e

(1.4b)
6

(1.4d)

36

pc e q

(1.4c)
(1.4e)

8

(1.5)

Tł (1.4a) v (1.4e) lƒn l÷æt rót c v e theo a th‚ v o (1.5) ta ÷æc ph÷ìng
tr…nh a
a a 36
8, suy ra a 9 4 2, væ l‰.

p

Tr÷íng hæp 2 : f
g

q

?

pxq px3 ax2 bx cqpx3 dx2 ex gq, trong â a; b; c; d; e;

P Z. L“p lu“n t÷ìng tü nh÷ tr÷íng hæp 1 ð tr¶n ta công d¤n

pxq b§t kh£ quy tr¶n Q.

‚n væ l‰. Do â f

Ti‚p theo, chóng ta tr…nh b y ph÷ìng ph¡p rót gån theo modulo mºt
sŁ nguy¶n tŁ ” x†t t‰nh b§t kh£ quy cıa a thøc tr¶n tr÷íng c¡c sŁ hœu t
Q. Chó þ r‹ng n‚u p l sŁ nguy¶n tŁ th… v nh Z p c¡c sŁ nguy¶n modulo


10

pq

n

p l mt trữớng. Vợi mỉi a thức f x

pq

n

anx ::: a1x a0

P rs

P Zrxs v mỉi s

nguyản t p, ta t f x anx ::: a1x a0
Zp x :
nh lỵ sau Ơy cho ta mt cổng cử rĐt mnh xt tnh bĐt khÊ quy
trản Q ca a thức vợi hằ s nguyản.

pq

nh lỵ 1.1.10 Nu tỗn ti s nguyản t p sao cho deg f x
f x bĐt khÊ quy trản Zp th f x bĐt khÊ quy trản Q.

pq

pq

pqv

deg f x

p q l a thức bĐt khÊ quy trản Zp nản deg fpxq Ă 0: Suy ra
deg fpxq Ă 0. GiÊ sò a thức fpxq khÊ quy trản Q. Theo B Gauss, fpxq cõ
phƠn tch fpxq gpxqhpxq trong õ gpxq; hpxq P Zrxs v gpxq; hpxq
cõ bc nhọ hỡn bc ca fpxq: Chú ỵ rng fpxq gpxqhpxq. Do õ, ta cõ deg
fpxq deg gpxq deg hpxq. Rê r ng deg gpxq Ơ deg gpxq v deg hpxq Ơ
deg hpxq. V deg fpxq deg fpxq nản deg gpxq deg gpxq v deg hpxq
deg hpxq. Do õ fpxq phƠn tch ữổc th nh tch ca hai a thức gpxq; hpxq
Chứng minh. V f x

cõ bc thĐp hỡn. iu n y mƠu thuÔn vợi tnh bĐt khÊ quy ca

p q trản Zp.

l

f x

Chú ỵ rng giÊ thit deg fpxq deg fpxq trong nh lỵ 1.1.10 l

thit. Chflng hn, xt a thức f pxq 5px

q9

1

bĐt khÊ quy trản Q v nõ cõ ữợc thỹc sỹ l x

px

cn

1q

P Zrxs. a thức n y khổng
1. Ta cõ fpxq x 1 P Z5rxs. V

deg fpxq 1 nản fpxq bĐt khÊ quy trản Z5.

V dử 1.1.11 CĂc a thức sau l bĐt khÊ quy trản Q.

p q 2017x2 2018x 770.
3
gpxq p2a 1qx
p2b 1qx2 2cx
4
3
2
hpxq 19x
5x

1890x
2x 9.

i) f x
ii)
iii)

2d 1, vợi a; b; c; d

P Z.

Lới giÊi.

p q x2 2x 2 P Z3rxs khổng cõ nghiằm trong Z3 v deg fpxq
2 nản fpxq bĐt khÊ quy trản Z3. Rê r ng deg fpxq deg fpxq nản
theo nh lỵ 1.1.10 th fpxq bĐt khÊ quy trản Q.

i) V f x


11

pq
pq
pq
V hpxq

3

2

P rs

ii) V g x
x x 1
Z2 x khổng cõ nghiằm trong Z2 v deg
g x
3 nản g x bĐt khÊ quy trản Z2. Rê r ng deg g x
deg
g x nản theo nh lỵ 1.1.10 th a thức g x bĐt khÊ quy trản Q.
iii)

pq

pq

pq

P Z2rxs khổng cõ nghiằm trong Z2 nản nõ
khổng cõ nhƠn tò bc mt. GiÊ sò h pxq khÊ quy trản Z2. Khi õ
2
2
hpxq px ax bqpx cx dq vợi a; b; c; d P Z2. ỗng nhĐt hằ s
4

3

x x 1

hai v ca flng thức n y ta ữổc a c 1; ac b d 0; ad bc 0, bd 1: V bd

1 nản b d 1 th cĂc phữỡng trnh u v cui cho

pq

ta a c 1 v a c 0; vổ l. V vy a thức h x bĐt khÊ quy trản Z2. V
deg h x 4 deg h x nản theo nh lỵ 1.1.10 th a thức

pq

pq

p q bĐt khÊ quy trản Q.

h x

1.2

Tiảu chu'n Eisenstein

B i toĂn xt tnh bĐt khÊ quy ca cĂc a thức trản trữớng phức C v
trữớng thỹc R ữổc giÊi quyt trồn vàn dỹa v o nh l cỡ bÊn ca i s.
Cử th, a thức bĐt khÊ quy trản C l v ch l cĂc a thức bc nhĐt; a thức
bĐt khÊ quy trản R l v ch l cĂc a thức bc nhĐt hoc a thức bc hai cõ
biằt thức Ơm. Tuy nhiản, b i toĂn xt tnh bĐt khÊ quy ca
cĂc a thức trản trữớng Q cĂc s hu t cho n nay vÔn l b i toĂn m. Cõ
mt s phữỡng phĂp xt tnh bĐt khÊ quy trản Q nhữ phữỡng phĂp dũng
B Gauss (xem B 1.1.7), phữỡng phĂp rút gồn theo modulo mt
s nguyản t (xem nh lỵ 1.1.10), phữỡng phĂp dũng tiảu chu'n bĐt khÊ
quy. Tit n y chúng ta tp trung v o Tiảu chu'n Eisenstein ( nh lỵ
1.2.1).

pqP rs
pq

pq

GiÊ sò f x
Q x : Chú ỵ rng f x l bĐt khÊ quy trản Q khi v
ch khi af x l bĐt khÊ quy, trong õ a l mÔu s chung ca cĂc hằ s ca

pq

pqP rs

f x . Rê r ng af x
Z x . Do õ ta ch cn xt tnh bĐt khÊ
quy trản Q cho cĂc a thức vợi hằ s nguyản. T nay n ht mửc n y, luổn
n
giÊ thit f x anx ::: a1x a0
Z x ; trong õ an 0 v n 0:

pq

P rs

Ă


12

nh lỵ 1.2.1 (Tiảu chu'n Eisenstein).
n
n1
Cho a thức f x
anx an 1x ::: a1x a0
s nguyản t p thọa mÂn cĂc tnh chĐt

pq

P Zrxs: GiÊ sò tỗn ti mt

i) p khổng l ữợc ca hằ s cao nhĐt an;
ii) p l ữợc ca cĂc hằ s a0; a1; :::; an 1;
2

iii) p khổng l ữợc ca hằ s tỹ do a0.

pxq l bĐt khÊ quy trản Q.
Chứng minh. GiÊ sò fpxq khÊ quy trản Q. Theo B Gauss (xem
Khi õ f

B 1.1.7), tỗn ti biu din
f

pxq gpxqhpxq; trong

õg

pxq

P rs
|

k

m

bmx

:::

b0 P Zrxs v

b1x
h

pxq

pq
|

pq

ckx ::: c1x c0
Z x vợi deg g x
m; deg h x
k v m; k n.
2
Do p l ữợc ca a0 b0c0 nản p b0 hoc p c0. Li do p khổng l ữợc ca a0
nản trong hai s b0 v c0, cõ mt v ch mt s chia ht cho p. GiÊ sò p

| c0.

Khi õ b0 khổng chia ht cho p. V an bmck v an khổng chia ht cho p nản
bm v ck u khổng chia ht cho p. Do õ tỗn ti s r b nhĐt sao cho cr khổng l
bi ca p. Ta cõ ar b0cr
Theo cĂch chồn r ta cõ p

pb1cr 1 b2cr 2 ::: brc0q. V r Ô k n nản p | ar.
| b1cr 1 b2cr 2 ::: brc0. Suy ra p | b0cr, iu n y l vổ l

v cÊ hai s b0 v cr u khổng l bi ca

p. Vy a thức f

pxq l

bĐt khÊ quy trản Q.

l

V dử 1.2.2
100

i) a thức x
11.

ii)

a thức 4x

99 l bĐt khÊ quy trản Q theo tiảu chu'n Eisenstein vợi p
17

10x

4

35x

3

50x 60 l bĐt khÊ quy trản Q theo tiảu

chu'n Eisenstein vợi p 5.

p xq
a thức fpx 2q

4

V dử 1.2.3 a thức f

x

trản Q v

x

4

2x
6x

3

3

27x
15x

2
2

40x 16 l
60x

12 l

bĐt khÊ quy
bĐt khÊ quy


tr¶n Q theo ti¶u chu'n Eisenstein vîi p 3.


13

Mt trong nhng ứng dửng in hnh ca Tiảu chu'n Eisenstein l
chứng minh tnh bĐt khÊ quy ca a thức chia ữớng trặn. Cho p l s

nguyản t. a thức chia ữớng trặn thứ p ữổc nh nghắa bi
p

pxq

x

p1

:::

x

1:

Nôm 1801, Carl Friedrich Gauss  ữa ra chứng minh u tiản cho tnh
bĐt khÊ quy ca a thức chia ữớng trặn thứ p trong cun sĂch Disquisitiones Arithmeticae . Dữợi Ơy, chúng ta trnh b y chứng minh ca
Eisenstein nôm 1850.
Hằ quÊ 1.2.4 Vợi mỉi s nguyản t p, a thức chia ữớng trặn thứ p l
bĐt khÊ quy trản Q.
Chứng minh. Chú ỵ rng p

pxq l bĐt khÊ quy trản Q khi v ch khi ppx

q l bĐt khÊ quy. Ta cõ

1

p

px

1

q px 1q

1

p

x
p
p2
1 x

xp 1

trong õ

p

p!
k!pp

k

p

::: k

p

xp k 1

::: p

p

2 x p;

l s t hổp chp k ca p phn tò. Do p nguyản

kq !

l bi ca p vợi mồi k 1; :::; p

t nản k
khÊ quy theo tiảu chu'n Eisenstein.

2. V th p

px 1q l

bĐt
l

Khi n l s tỹ nhiản bĐt ký (khổng nhĐt thit nguyản t), a thức chia
ữớng trặn thứ n ữổc nh nghắa nhữ sau:
n

pxq

ạ

px

"kq

k n

pk;nq1

trong õ "k cos

k 2
n

i sin

k 2
n

; vợi k 0; 1; :::; n 1: Khi õ n

Ngữới ta  chứng minh ữổc rng a thức n

pxq P Zrxs.

pxq l bĐt khÊ quy trản Q

(xem S. H. Weintraub, Several proofs of the irreducibility of the cyclotomic
polynomial, Preprint (PDF from lehigh.edu)). c biằt, khi n nguyản t


14

pq

n1

pq

n2

ta cõ n x
x
x
::: x 1: Tuy nhiản, viằc chứng minh n x bĐt
khÊ quy trản Q khổng l mửc tiảu ca lun vôn nản chúng tổi khổng
trnh b y Ơy.
Hằ quÊ ỡn giÊn sau Ơy ch ra rng vợi mỉi s tỹ nhiản n luổn tỗn ti
cĂc a thức bĐt khÊ quy trản Q bc n.
Hằ quÊ 1.2.5 Cho a pn11 pn22

pnkk l sỹ phƠn tch tiảu chu'n ca s tỹ

nhiản a th nh tch cĂc tha s nguyản t. Nu tỗn ti 1
n
th x
a l bĐt khÊ quy trản Q vợi mồi n.

Ô j Ô k sao cho nj

1

Chứng minh. Theo giÊ thit, a l bi ca s nguyản t p j những khổng l
bi ca p2j. V th theo Tiảu chu'n Eisenstein ta cõ kt quÊ.

1.3

l

Lch sò phĂt hiằn v chứng minh Tiảu chu'n Eisenstein

Mửc tiảu ca tit n y l trnh b y tõm tt lch sò phĂt hiằn Tiảu chu'n
Eisenstein cho tnh bĐt khÊ quy ca a thức vợi hằ s nguyản, dỹa theo
b i bĂo ca D. A. Cox Why Eisenstein proved the Eisenstein Criterion
and why Schonemann discovered it first ông trản The American Mathematical Monthly nôm 2011. B i bĂo ca D. A. Cox thÊo lun nhiu ch ,
t lỵ thuyt s th k 19, bao gỗm B Gauss, trữớng hu hn, cĂc nhõm
Abel, cĂc s nguyản Gauss, ... B i bĂo mổ tÊ lch sò phong phú, bĐt
ngớ ca viằc khĂm phĂ ra Tiảu chu'n Eisenstein.
B i bĂo trản ca D. A. Cox giÊi thch ti sao Theodor Schonemann
khĂm phĂ ra tiảu chu'n bĐt khÊ quy n y trữợc Eisenstein. CÊ hai nh toĂn
hồc u lĐy cÊm hứng t cun sĂch Disquisitiones Arithmeticae ca
Gauss, mc dũ hồ Â cõ nhng con ữớng rĐt khĂc nhau trong quĂ trnh
tm ra tiảu chu'n n y. phn cui b i bĂo, D. A. Cox khflng nh rng
Schonemann v Eisenstein  khĂm phĂ ra tiảu chu'n bĐt khÊ quy ca hồ
mt cĂch c lp. Trong b i bĂo cổng b nôm 1846, Schonemann Â
nghiản cứu cĂc phữỡng trnh ỗng dữ bc cao, t õ dÔn n B Hensel,
sau õ ữa v mt cƠu họi cho tnh bĐt khÊ quy ca a thức theo

15
2

modulo p , rỗi tiảu chu'n bĐt khÊ quy ca Schonemann nhn ữổc ho n
to n rĐt tỹ nhiản. Cặn Eisenstein, trong mt b i bĂo cổng b nôm
1850, ng  nghiản cứu vĐn ca Abel v ữớng lemniscate v xt cĂc hằ
s ca a thức thữỡng v dữ trong php chia a thức, rỗi tiảu chu'n bĐt khÊ
quy ca Eisenstein xuĐt hiằn cụng ho n to n tỹ nhiản, khĂc xa bi cÊnh
m Schonemann xem xt. Nhữ vy, cĂi tản Tiảu chu'n Schonemann
- Eisenstein ữổc sò dửng bi Dorwart ln u tiản v o nôm 1935 l chnh
xĂc nhĐt lch sò. Tuy nhiản, hu ht mồi ngữới sò dửng phiản bÊn ca
Eisenstein, v vy cĂi tản Tiảu chu'n Eisenstein - Schonemann cụng hổp
lỵ. Khổng ging nhữ nhng nh toĂn hồc khĂc  ữổc lữu danh cho
n nay, Theodor Schonemann khổng phÊi l mt tản tui quen thuc.
Thm ch, ng khổng cõ tiu sò ghi trong cun lữu tr Lch sò toĂn hồc
MacTutor History of Mathematics Archive . Chúng ta bit rĐt t thổng tin

v Theodor Schonemann nhữ sau: ng sng t 1812 n 1868 v ữổc o to
ti Koonigsberg v Berlin dữợi sỹ hữợng dÔn ca Jacobi v Steiner. ng nhn
bng tin sắ nôm 1842. õng gõp ca ổng ch yu trong L thuyt s liản
quan n phữỡng trnh ỗng dữ bc cao. Kt quÊ ữổc xem
l quan trồng nhĐt ca ng, ữổc vit trong b i bĂo d i chia l m hai phn,
cổng b trản Crelles Journal v o nôm 1845 v 1846. Trong phn m u
b i bĂo õ, ổng cõ nhc n cĂc th nh tỹu vit trong cun sĂch
Disquisitiones Arithmeticae ca Gauss. B i bĂo õ cụng cung cĐp nhng
minh chứng cho thĐy Theodor Schonemann b Ênh hững lợn t cun sĂch
n y. Phn hai b i bĂo ca Schonemann cõ tiảu Von denjenigen Moduln,
welche Potenzen von Primzahlen sind ông trản J. Reine Angew. Math

nôm 1846, trong õ ng xem xt sỹ phƠn tch a thức th nh nhƠn tò theo
modulo mt lụy tha ca mt s nguyản t, v nghiản cứu sỹ thay i ca
phƠn tch khi s mụ ca s nguyản t bin thiản, v t õ ổng tm ra mt

tiảu chu'n bĐt khÊ quy, cõ th phĂt biu nhữ sau.

pqP rs
pq

Ă

Trữợc tiản ta nhc li rng, cho f x
Z x v m 0 l mt s tỹ nhiản
sao cho hằ s cao nhĐt ca f x khổng l bi ca m. Ta nõi f x l

pq


16

p q khổng th biu din dữợi dng
f pxq gpxqhpxq mkpxq

bĐt khÊ quy theo modulo m nu f x

pq pq pqP rs

vợi g x ; h x ; k x
Z x ; deg g
nhĐt ca gh khổng l bi ca m.

Ă 0; deg h Ă 0 v hằ s cao

nh lỵ 1.3.1 (Tiảu chu'n bĐt khÊ quy ca Schonemann). Cho a thức
f x
Z x vợi deg f x
n. GiÊ sò cõ mt s nguyản a, mt s
nguyản t p v mt a thức F x
Z x sao cho

pqP rs

Nu F

paq khổng l

pq
pqP rs
n
fpxq px aq pF pxq:
2
bi ca p th fpxq l bĐt khÊ quy theo modulo p .
pq

Chứng minh. Trữợc ht ta chứng minh hằ s cao nhĐt ca f x khổng l
2
bi ca p . Tht vy, gồi b l hằ s cao
q nhĐt ca f x . ỗng nhĐt hằ s bc
n hai v ca flng thức fpxq

px

a

n

pq

pF pxq ta ữổc b 1 pmod pq. Suy ra, b

khổng l bi ca p v v th b khổng l bi ca p2.

p q khổng bĐt khÊ quy theo

Tip theo,
ta giÊ sò phÊn chứng rng f x
2
modulo p . Khi õ

p q gpxqhpxq

f x

p kpxq vợi gpxq; hpxq; kpxq
2

P Zrxs; deg g Ă 0; deg

hĂ0

2

v hằ s cao nhĐt ca gh khổng l bi ca p . Suy ra

px

qn

pF

a

pxq gpxqhpxq

p kpxq:
2

V th px

qn

a

gpxqhpxq

P Zprxs. Ta cõ th giÊ thit gpxq v hpxq cõ hằ

s cao nhĐt bng 1. Tht vy, ỗng nhĐt hằ s cao nhĐt ca flng thức

P Zp; trong õ r v s tữỡng ứng l hằ s cao nhĐt ca gpxq v hpxq.

Suy ra fpxq psgpxqq prhpxqq P Z rxs l phƠn tch ca fpxq p
trản ta ữổc 1 rs

th nh tch hai a thức cõ bc dữỡng vợi hằ s cao nhĐt bng 1.
Do p l s nguyản t nản Zp l mt trữớng, v th Zprxs cõ tnh chĐt phƠn tch


duy nh§t. Trong v nh Zprxs, v… px

a

qn

câ ÷îc b§t kh£ quy duy nh§t l x

gpxq v hpxq công ch¿ câ duy nh§t ÷îc b§t kh£ quy l

a, n¶n


17

qi

px a P Zprxs v hpxq px a P Zprxs, trong õ i j n.
V deg g Ă 0; deg h Ă 0 nản i; j Ă 0. Thay x a v o hai flng thức n y ta ữổc g paq 0
P Zp v hpaq 0 P Zp. Suy ra
x

a. Suy ra gpxq

qj

pF
V th F

paq fpaq gpaqhpaq

p kpaq 0 pmod p
2

q

2

:

paq chia ht cho p, iu n y mƠu thuÔn.

l

iu ngc nhiản thú v l Tiảu chu'n bĐt khÊ quy ca Schonemann suy
ra Tiảu chu'n bĐt khÊ quy ca Eisenstein.
Chứng minh. Tht vy, giÊ sò

pq

f x

n

a nx

n1

an 1x

:::

a1x

a0 P Zrxs

l a thức thọa mÂn giÊ thit ca Tiảu chu'n Eisenstein vợi mt s nguyản
t p. V an khổng l bi ca p v p nguyản t nản gcd an; p
1. V
th, tỗn ti cĂc s nguyản b; c sao cho 1 a nb pc: Suy ra gcd b; p
1.
Do cĂc s ai u l bi ca p vợi mồi i 0; 1; :::; n 1, nản ta cõ

p

p q banxn ban 1xn 1
v
trong õ F pxq P Zrxs
F p0 q
bf x

gcd pb; pq 1, nản F p0q

khổng l

pq

:::

ba1x

ba0 x

n

q
p q

pF pxq;

2

ba0 . V a0 khổng l bi ca p v
p
bi ca p. Theo Tiảu chu'n bĐt khÊ

pq

quy ca Schonemann, f x bĐt khÊ quy theo modulo p2. GiÊ sò f x
khổng bĐt khÊ quy trản Q. Khi õ, theo B Gauss, fpxq cõ phƠn tch
fpxq gpxqhpxq

P Zrxs vợi gpxq; hpxq P Zrxs v deg gpxq Ă 0; deg hpxq Ă 0.

pq

Chú ỵ rng hằ s cao nhĐt ca f x v ca gh u l an v an khổng l bi
2
2
ca p . V th a thức f x khổng bĐt khÊ quy theo modulo p . iu
n y l vổ l.
l

pq


18

Chữỡng 2
Mt s m rng ca tiảu chu'n
Eisenstein
Mửc ch ca Chữỡng 2 l giợi thiằu hai m rng ca Tiảu chu'n Eisentein. M rng cho trữớng hổp a thức vợi hằ s nguyản v m rng cho
trữớng hổp a thức vợi hằ s trản min UFD. Phn cui Chữỡng trnh b
y nhng ứng dửng xt tnh bĐt khÊ quy ca a thức.

2.1

M rng cho trữớng hổp

a thức vợi hằ s nguyản

Trữợc tiản ta nảu li Tiảu chu'n Eisenstein:
Cho a thức

pq

f x

n

a nx

n1

an 1x

:::

a1x

a0 P Zrxs:

GiÊ sò tỗn ti mt s nguyản t p thọa mÂn cĂc tnh chĐt
i) p khổng l ữợc ca hằ s cao nhĐt an;
ii) p l ữợc ca cĂc hằ s a0; a1; :::; an 1;
2

iii) p khổng l ữợc ca s hng tỹ do a0.

p ql

Khi õ f x

bĐt khÊ quy trản Q.

Mt m rng ca Tiảu chu'n Eisenstein ữổc ữa ra bi S. H.
Weintraub nôm 2013 (xem [5]):


19

pq

P rs

n

nh lỵ 2.1.1 Cho a thức f x anx ::: a1x a0
Z x v giÊ sò cõ
mt s nguyản t p sao cho p khổng l ữợc ca an, p l ữợc ca ai

Ô Ô

vợi i 0; :::; n 1; v tỗn ti ch s k vợi 0
k
n 1 sao cho p2 khổng l
ữợc ca ak. Gồi k0 l giĂ tr nhọ nhĐt trong nhng s k nhữ vy. Nu

p q gpxqhpxq l phƠn tch ca fpxq th nh nhƠn tò trong Zrxs
th min tdeg gpxq; deg hpxqu Ô k0:

f x

pq

pq

c biằt, nu k0 0 th f x l bĐt khÊ quy trản Q; nu k0 1 v f x
khổng cõ nghiằm trong Q th f x l bĐt khÊ quy trản Q.

pq

p q gpxqhpxq

Chứng minh. GiÊ sò cõ mt phƠn tch th nh nhƠn tò f x

p q p q P Zrxs. Gồi bc ca gpxq l d0 v
d
e
::: b1x b0 v
gpxq bd x
hpxq ce x
vợi g x ; h x
0

d0

0

0

e0 n v

p ql

bc ca h x

e0. Vit

::: c1x c0. Khi õ

0

an bd0 ce0 . Theo giÊ thit, an khổng l bi ca p. Suy ra
bi ca p. V th, trong cĂc hằ s ca gpxq cõ t nhĐt

bd0 v ce0 khổng l
mt hằ s khổng l bi ca p, v

p q cõ t nhĐt mt

trong cĂc hằ s ca h x

hằ s khổng l bi ca p. Do õ ta chồn ữổc ch s d nhọ nhĐt sao
cho bd khổng l bi ca p, v ch s e nhọ nhĐt sao cho c e khổng l bi

pq

p q pg2pxq, trong õ g1pxq bd xd
bd 1 d 1
b 1 b 0
d
::: bd 1x bd v g2pxq

::: p x p :
p x
Theo cĂch chồn d ta suy ra g 1pxq; g2pxq P Zrxs v hằ s tỹ do bd
ca g1pxq khổng chia ht cho p. Tữỡng tỹ, ta cõ biu din h pxq
e
x h1pxq ph2pxq, trong õ h1pxq; h2pxq P Zrxs v hằ s tỹ do ce
ca h1pxq khổng l bi ca p. Suy ra
f pxq gpxqhpxq
ca p. Suy ra g x

d

x g1 x

0

0

xd eg1pxqh1pxq p xeh1pxqg2pxq xdh2pxqg1pxq p2g2pxqh2pxq:
de

p q p q l bdce. V th,

Chú ỵ rng hằ s bc d e ca a thức x g1 x h1 x
ỗng nhĐt hằ s bc d e ca flng thức trản ta ữổc
ad e bdce

pmod pq:

20

V… bdce khæng l bºi cıa p n¶n a d e khæng l bºi cıa p. Chó þ r‹ng c¡c
h» sŁ cıa f x , trł h» sŁ cao nh§t, •u l bºi cıa p. Do â d e n. Suy ra

pq

pq

d d0 v e e0. Do â g x

bd0 x

d0

p q v hpxq

pg2 x

ce0 x

e0

pq

ph2 x . Suy

ra

p q gpxqhpxq

f x

n

anx

d0

pq

ph2 x

ce0 x

e0

pq

pg2 x

p g2pxqh2pxq:
2

pq
p qu: N‚u k0 0, th… fpxq
khæng câ nh¥n tß b“c b† hìn, do â f pxq b§t kh£ quy. Gi£ sß k 0 1, n‚u fpxq
khæng câ nghi»m trong Q, th… fpxq khæng câ nh¥n tß b“c nh§t, v…
th‚ fpxq b§t kh£ quy.
l

V… th‚ k0

¥ mintd0; e0u

bd0 x

Nh“n x†t 2.1.2 Trong

t

min deg g x ; deg h x

ành lþ tr¶n khi k0 0 th…

ành lþ ch‰nh l Ti¶u

chu'n Eisenstein. Nh÷ v“y, ành lþ 2.1.1 l mºt mð rºng cıa Ti¶u chu'n
Eisenstein. a thøc trong v‰ dö sau ¥y, vîi Ti¶u chu'n Eisenstein th…
khæng hi»u qu£ nh÷ng ¡p döng ành lþ 2.1.1 th… ta câ ngay k‚t qu£.

pq

V‰ dö 2.1.3 Chøng minh r‹ng a thøc f x
tr¶n Q.

x

2018

2x 4 b§t kh£ quy

pq

Líi gi£i. p döng ành lþ 2.1.1 cho f x vîi sŁ nguy¶n tŁ p 2. Khi â k 0 1. N‚u
f x câ nghi»m hœu t th… nghi»m â ph£i l nghi»m nguy¶n (do h» sŁ cao
nh§t cıa f x b‹ng 1) v l ÷îc cıa 4. Ki”m tra c¡c ÷îc cıa

pq

pq

pq
pq

pq

4 l 1; 2; 4, th§y chóng khæng l nghi»m cıa f x . Do â f x khæng câ nghi»m
hœu t . Do v“y, theo ành lþ 2.1.1 th… a thøc f x b§t kh£ quy

tr¶n Q.
Mºt mð rºng kh¡c cıa ti¶u chu'n Eisenstein ÷æc chøng minh bði
Howard Chao n«m 1974 nh÷ sau (xem [4]).

pq

ành lþ 2.1.4 Cho a thøc q x

n

P rs

anx ::: a1x a0
Z x . N‚u p l mºt sŁ
2
nguy¶n tŁ sao cho câ c¡c ch¿ sŁ l v k vîi l k; p al; p ak; p ai vîi måi i l v

|

p q l t‰ch cıa hai a thøc tr¶n Q th… b“c cıa mºt trong hai a thøc â
khæng nhä hìn |l k|.
n‚u q x


21

l mt phƠn tch ca qpxq th nh tch

p q rpxqspxq

Chứng minh. Cho q x

rs

hai a thức trong Q x , trong õ
m
rpxq

nm

bixi; spxq

á

i 0

á

cixi:

i 0

Ta cõ th giÊ thit bi v ci l cĂc s nguyản, v theo B Gauss mồi a thức

rs

trong Z x phƠn tch ữổc th nh hai a thức vợi hằ s hu t th u phƠn
tch ữổc th nh tch hai a thức vợi hằ s nguyản cõ cũng bc (xem
n
n
P
i
i
B 1.1.7). Vợi a thức q x
aix , ta kỵ hiằu
q pxq
ai x Zprxs

pq

iá0

iá0

p q trong Zrxs th

l a thức thu ữổc bng cĂch chuyn cĂc hằ s ca q x
nh cĂc hằ s tữỡng ứng trong Zp x . Theo giÊ thit ta cõ

rs

n
qpxq

á

aixi alxl rpxqspxq:

i 0

Do Zp l

rs

mt trữớng, nản Zp l

min phƠn tch duy nhĐt. V th Zp x
l

l min phƠn tch duy nhĐt (theo nh lỵ 2.2.9). V alx ch cõ duy nhĐt
mt ữợc bĐt khÊ quy l x nản t tnh chĐt phƠn tch duy nhĐt ca Zp x ,

rs

pq pq
pq pq
|

a thức r x ; s x cụng ch cõ duy nhĐt mt ữợc bĐt khÊ quy l x. Do õ
u
t
r x ; s x phÊi tữỡng ứng cõ dng r x
bux v s x
ctx ; trong õ u
t l. T õ suy ra p bi vợi i u v p ci vợi i t. Theo giÊ thit l k. Ta chia th nh
hai trữớng hổp.
Trữớng hổp 1 : k
hoc n
tvn

mu
mk

Do õ u k

Ă l. V l

pq

|

u t, nản k

pq

Ă u v k Ă t. Ta khflng nh hoc m t Ơ k

Ơ k. Tht vy, giÊ sò ngữổc li, khi õ m t k v n m u k. Suy ra m k
u. V deg rpxq m v deg spxq n m, nản u Ô m v t Ô n m.

tvtk

u.

V p l ữợc ca bi vợi mồi i u v p l ữợc ca c j vợi mồi j t, nản tỗn ti s
nguyản z sao cho
ak b0ck
Do k

pq

r x

u

Ăn

b1ck 1

:::

bk 1c1

pq

m v deg s x

n

bkc0 buck u

m, nản ck u 0: V k
2

2

bk tct

m, nản bk t 0. Do õ ak chia ht cho p . iu n y l mƠu

p z:

t

Ă m v deg