Tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi Toán THCS

1 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung

Chủ đề 1a. BỔ SUNG BÀI TẬP ĐA THỨC VÀ CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN
(Phần chứng minh biểu thức có điều kiện)
Bài tập tính giá trị của một biểu thức đại số có hai loại chính là :
Tính giá trị của biểu thức không có điều kiện ràng buộc giữa các biến số
Tính giá trị của biểu thức trong đó giá trị của các biến số lại bị dàng buộc bởi một hoặc
nhiều điều kiện nào đó
1. Tính giá trị của biểu thức không có điều kiện
VD1.
1) Tính f(2) biết f(x) = 5x5+ 4x4+ 3x3+ 2x2+ x + 1
2) Cho biểu thức

 1  x3

x(1  x 2 ) 2  1  x3
:

x

x




A = 1  x2
1

x
1


x



Tính giá trị của A biết x = 2007
2. Tính giá trị của biểu thức có điều kiện
VD 2.
1) Cho a3+ b3+ c3 = 3abc với abc  0

 a  b  c 
Tính giá trị của biểu thức B = 1  1  1  
 b  c  a 
2) Cho a + b + c = 0 với a2+ b2+ c2 = 14
Tính giá trị của biểu thức: C = a4+b4+ c4
3. Bài tập:
Bài 1. Cho x+y = 3. Tính giá trị của biểu thức
A = x2+ y2+ 2xy – 4x – 4y + 1
Bài 2. Cho a3+b3+c3= 3abc  0 . Tính giá trị của biểu thức

 a  b  c 
B = 1  1   1  
 b  c  a 
Bài 3. Cho ba số dương thỏa mãn điều kiện xy+yz+xz=1
Tính giá trị của biểu thức
𝐴 = 𝑥. √

(1+𝑦 2 )(1+𝑧 2 )
1+𝑥 2

+ 𝑦. √

(1+𝑧 2 )(1+𝑥 2 )
1+𝑦 2

+ 𝑧. √

(1+𝑥 2 )(1+𝑦 2 )
1+𝑧 2

1 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung


2 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung

Bài 4. Tính giá trị của biểu thức

 x  5 y  1
M=
x  x  5

biết 𝑥 2 + 9𝑦 2 = 6𝑥𝑦 − |𝑥 − 3|

Bài 5.
Cho x, y, z thỏa mãn

x  y  z  1
 2
2
2
x  y  z  1

 x3  y 3  z 3  1


x4  y5  z 6

1/ Tính giá trị của biểu thức

Q=

2/ Tính giá trị của biểu thức

A = a + b 2 + c3

Bài 6. Cho
3

3

𝑥 = √20 + 14√2 + √20 − 14√2
Tính giá trị của biểu thức 𝑃 = 𝑥 3 − 6𝑥 + 2020
Bài 7. Cho a+b=ab
Tính giá trị của biểu thức

A = ( a3+ b3− a3b3 ) + 27a6b6

Bài 8. Tính giá trị của biểu thức

A =

1

2 2
2 2
 1
3
3

1

2 2
2 2
 1
3
3

Bài 9. Cho a, b thỏa mãn
3
2
= 19 Tính giá trị của biểu thức B = ( a2 + b2 )3
{𝑎3 − 3𝑎𝑏
2
𝑏 − 3𝑎 𝑏 = 98
Bài 10. Cho
3𝑥 – 𝑦 = 3𝑧
{
với xy  0
2𝑥 + 𝑦 = 7𝑧
Tính giá trị của biểu thức

x 2  2 xy

C 2 2
x y

2 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung


3 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung

Bài 11. Cho a3 + b3 + c3 = 3abc
Tính giá trị của biểu thức 𝐷 =

với a + b + c  0

𝑎2 +𝑏2 +𝑐 2
(𝑎+𝑏+𝑐)2

Bài 12. Cho

b2  c2  a 2
x 
2bc

2

2
, Tính giá trị của biểu thức
a

b


c


y 
2

b  c   a2

Bài 13. Cho
a  b  c  0
 2 2 2
Tính giá trị của biểu thức
a  b  c  14
Bài 14. Cho

Q = x + y +xy

E = a 4 + b4 + c 4

x  y  a
 2 2
Tính giá trị của biểu thức M = x3 + y3 theo a , b
x  y  b
Bài 15. Cho

13
 a

x y x z


 169
27


2
  x  z   z  y  2 x  y  z 
Tính giá trị của biểu thức

2a3  12a 2  17a  2
E
a2

Bài 16.
x y z
  0

a b c
Cho  a b c
Tính giá trị của biểu thức
   2

x y z

a 2 b2 c 2
N= 2  2  2
x
y
z

Bài 17

1/ Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + √𝑥𝑦𝑧 = 4
Tính giá trị của biểu thức
3 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung


4 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung

𝐻 = √𝑥(4 − 𝑦)(4 − 𝑧) + √𝑦(4 − 𝑧)(4 − 𝑥) + √𝑧(4 − 𝑥)(4 − 𝑦) − √𝑥𝑦𝑧
2/ Cho (𝒙 + √𝒙𝟐 + 𝟏𝟒𝟒 ). (𝒚 + √𝒚𝟐 + 𝟏𝟒𝟒 ) = 𝟏𝟗𝟔𝟐
Tính giá trị của biểu thức

K= x+y

Bài 18. Cho
𝑥+𝑦+𝑧 =𝑎
2
2
2
2
{𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑏
1

𝑥

1

1

𝑦

𝑧

+ + =𝑐

Tính giá trị của biểu thức

M = x3+ y3+ z3 theo a , b , c

Bài 19. Cho các số dương x, y, z thỏa mãn
𝑦2
𝑥 + 𝑥𝑦 +
= 25
3
𝑦2
+ 𝑧2 = 9
3
{ 𝑧 2 + 𝑥𝑧 + 𝑥 2 = 16
Tính giá trị của biểu thức N = xy + 2yz + 3zx
2

Bài 20. Cho các số dương a, b, c phân biệt sao cho các phương trình
x2 + a.x + 1 = 0 và x2 + bx + c = 0 có nghiệm chung. Đồng thời các phương trình
x2 + x + a = 0 và x2 + cx + b = 0 cũng có nghiệm chung. Tính giá trị của biểu thức
P = a+b+c
3. Hướng dẫn giải:
Bài 1. Cho x+y = 3. Tính giá trị của biểu thức
A = x2+ y2+ 2xy – 4x – 4y + 1
Giải:
Bài này không tính được trực tiếp x, y nên cần biến đổi A về dạng có x+y rồi thay
x+y=3 vào.

A = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 2𝑥𝑦 – 4𝑥 – 4𝑦 + 1 = (𝑥 + 𝑦)2 − 4(𝑥 + 𝑦) + 1 = 9 − 12 + 1 =
−2
Bài 2. Cho a3+b3+c3= 3abc  0 . Tính giá trị của biểu thức

 a  b  c 
B = 1  1   1  
 b  c  a 
Giải

4 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung


5 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung

Ta có B =

 a  b  b  c  a  c 
abc

Từ giả thiết ( a + b )3+ c3- 3ab( a + b ) – 3abc = 0
 ( a + b + c)( a2+ 2ab + b2- ac – bc + c2) – 3ab( a + b + c) = 0
 ( a + b + c )( a2+ b2+ c2- ab – bc – ca ) = 0

Vậy ta được a + b + c = 0 hoặc a2+ b2+ c2 – ab – bc – ca = 0
* Với a + b + c = 0 , ta được: a + b = - c ; b + c = - a ; c + a = - b

 abc
Khi đó, B =
= -1
abc

* Với a2+ b2+ c2- ab – bc – ca = 0
 2a2+ 2b2+ 2c2- 2ab – 2bc – 2ca = 0
 ( a – b)2+ ( b – c)2+ ( c – a)2 = 0

. Vậy a = b = c

2b.2c.2a
Khi đó B =
bca = 8
Bài 3. Cho ba số dương thỏa mãn điều kiện xy+yz+xz=1
Tính giá trị của biểu thức
𝐴 = 𝑥. √

(1+𝑦 2 )(1+𝑧 2 )
1+𝑥 2

+ 𝑦. √

(1+𝑧 2 )(1+𝑥 2 )
1+𝑦 2

+ 𝑧. √

(1+𝑥 2 )(1+𝑦 2 )
1+𝑧 2

Ta thấy xy+yz+zx=1 nên thay 1 vào các biểu thức sau, ta được
1 + x2 = xy + yz + zx + x2 = y( x + z ) + x( x + z ) = ( x + y )( x + z )
1 + y2 = xy + yz + zx + y2 = y( x + y) + z( x + y) = ( x + y )( y + z )
1 + z2 = xy + yz + zx + z2 = y( x + z ) + z( x + z) = ( x + z )( y + z )

Thay vào A và rút gọn, ta được
𝐴 = 𝑥. √

(1+𝑦 2 )(1+𝑧 2 )
1+𝑥 2

+ 𝑦. √

(1+𝑧 2 )(1+𝑥 2 )
1+𝑦 2

+ 𝑧. √

(1+𝑥 2 )(1+𝑦 2 )
1+𝑧 2

Ta có :
𝑥. √

(1+𝑦 2 )(1+𝑧 2 )
1+𝑥 2

= 𝑥. √

(𝑥+𝑦)(𝑦+𝑧)(𝑥+𝑧)(𝑦+𝑧)
(𝑥+𝑦)(𝑥+𝑧)

= 𝑥. √(𝑦 + 𝑧)2 = 𝑥. |𝑦 + 𝑧| = 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧

(vì y>0 ; z>0 nên y+z>0)

Tương tự các biểu thức còn lại được yz+yx ; zx+yz
5 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung


6 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung

Do đó A=𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧 = 2(𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧) = 2.1 = 2
Bài 4. Tính giá trị của biểu thức

 x  5 y  1
M=
x  x  5

biết 𝑥 2 + 9𝑦 2 = 6𝑥𝑦 − |𝑥 − 3|

Ta chỉ cần giải phương trình 𝑥 2 + 9𝑦 2 = 6𝑥𝑦 − |𝑥 − 3| để tìm ra nghiệm x, y.
𝑥 2 + 9𝑦 2 = 6𝑥𝑦 − |𝑥 − 3| => 𝑥 2 + 9𝑦 2 − 6𝑥𝑦 + |𝑥 − 3| = 0
(𝑥 − 3𝑦)2 + |𝑥 − 3| = 0=> x=3y và x=3=>y=1.
Thay x=3, y=1 vào M ta được M=−

8
3

Bài 5.
Cho x, y, z thỏa mãn

x  y  z  1
 2
2
2

x  y  z  1
 x3  y 3  z 3  1

1/ Tính giá trị của biểu thức

Q=

x4  y5  z 6

Ta chỉ cần giải hệ phương trình đã cho để tìm x, y, z
Ta có 13 = ( x + y + z )3 = x3+ y3+ z3+ 3( x + y)( y + z)( z + x) mà x3+ y3+ z3 = 1
Vì vậy ( x + y)( y + z)( z + x) = 0 . Nên x = - y , hoặc y = - z , hoặc z = - x
Nếu x = - y thì x+ y = 0 và từ x + y + z = 1 ta có z = 1 nên z2 = 1 và x2+ y2 = 0 suy
ra x = y = 0 khi đó Q = 04+ 05 + 16 = 1 .
Hoàn toàn tương tự với các trường hợp còn lại ta được Q = 1. Tóm lại Q=1
2/ Tính giá trị của biểu thức A = a + b2 + c3
Giải:
13 = ( a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3( a + b)( b + c)( c + a) . Mà a3 + b3 + c3 = 1 nên ta
có
( a + b)( b + c)( c + a) = 0 . Vậy a + b = 0 hoặc b + c = 0 hoặc c + a = 0.
Nếu a + b = 0 thay vào (1) ta có c = 1  c2 = 1 thay vào (2) ta được a = b = 0  A
=1
Nếu b + c = 0 thay vào (1) ta có a = 1  a2 = 1 thay vào (2) ta được b = c = 0  A
=1
Nếu a + c = 0 thay vào (1) ta có b = 1 b2 = 1 thay vào (2) ta được a = c = 0  A =
1
6 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung


7 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung

Vậy A=1
Bài 6. Cho
3

3

𝑥 = √20 + 14√2 + √20 − 14√2
Tính giá trị của biểu thức 𝑃 = 𝑥 3 − 6𝑥 + 2020
Ta có: Lập phương hai vế của x, ta được
3
3

3

𝑥 3 = ( √20 + 14√2 + √20 − 14√2)
3

= 20 + 14√2 + 20 − 14√2 + 3𝑥 √202 − 2. 142 = 6𝑥 + 40
Vậy 𝑥 3 = 6𝑥 + 40 => 𝑥 3 − 6𝑥 = 40. Thay vào P ta được:
𝑃 = 𝑥 3 − 6𝑥 + 2020 = 40 + 2020 = 2060
Bài 7. Cho a+b=ab
Tính giá trị của biểu thức

A = ( a3+ b3- a3b3 ) + 27a6b6

Giải:
Ta có: a + b = ab  ( a + b)3 = a3b3  a3 + b3 + 3ab( a + b) = a3b3
 a3 + b3 – a3b3 = – 3ab( a + b) = – 3ab.ab  (a3 + b3 – a3b3)3 = – 27a6b6
 (a3 + b3 – a3b3)3 + 27a6b6 = 0 . Vậy D = 0

Bài 8. Tính giá trị của biểu thức

A =

Giải: Đặt

a

2 2
3

1 a  1 a
A

1 a  1 a
Sau đó, thay a 



2 2
3

1

2 2
2 2
 1
3
3

1

2 2
2 2
 1
3
3

ta có

1 a  1 a
2a
ta được



2

1  1  a2

a
A =

2

7 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung


8 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung

Bài 9. Cho a, b thỏa mãn
3
2
= 19
{𝑎3 − 3𝑎𝑏
2
𝑏 − 3𝑎 𝑏 = 98
Giải:

Tính giá trị của biểu thức B = ( a2 + b2 )3

Ta có : 192 = a6 – 6a4b2 + 9a2b4 vµ 982 = b6 – 6a2b4 + 9a4b2
 192 + 982 = a6 + 3a4b2 + 3a2b4 + b6 = ( a2 + b2)3 . Vậy B = 192 + 982 = 9965
Bài 10. Cho
3𝑥 – 𝑦 = 3𝑧
{
với xy  0
2𝑥 + 𝑦 = 7𝑧
Tính giá trị của biểu thức

x 2  2 xy
C 2 2
x y

Giải
3𝑥 – 𝑦 = 3𝑧
Từ {
2𝑥 + 𝑦 = 7𝑧

cộng hai vế lại, ta được 5𝑥 = 10𝑧 => 𝑥 = 2𝑧

Thay x=2z vào, ta tìm được y=3z.
Thay x=2z; y=3z vào C, ta được C=−
3

3

13

với a + b + c  0

3

Bài 11. Cho a + b + c = 3abc
Tính giá trị của biểu thức 𝐷 =

8

𝑎2 +𝑏2 +𝑐 2
(𝑎+𝑏+𝑐)2

Giải:
( a + b )3+ c3−3ab( a + b ) – 3abc = 0
 ( a + b + c)( a2+ 2ab + b2- ac – bc + c2) – 3ab( a + b + c) = 0
 ( a + b + c )( a2+ b2+ c2- ab – bc – ca ) = 0

Do a + b + c  0 (gt) => a2+ b2+ c2 – ab – bc – ca = 0
Ta có: a2+ b2+ c2−ab – bc – ca = 0
 2a2+ 2b2+ 2c2− 2ab – 2bc – 2ca = 0
 ( a – b)2+ ( b – c)2+ ( c – a)2 = 0 . Vậy a = b = c

𝐷=

𝑎2 +𝑏2 +𝑐 2
(𝑎+𝑏+𝑐)2

=

𝑎2 +𝑎2 +𝑎2
(𝑎+𝑎+𝑎)2

=

3𝑎2
9𝑎2

=

1
3

8 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung


9 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung

Bài 12. Cho

b2  c2  a 2
x 

2bc

2

2
, Tính giá trị của biểu thức
a

b

c


y 
2

b  c   a2


Q = x + y +xy theo a, b, c

Giải:
Ta có: Q=𝑥 + 𝑦 + 𝑥𝑦 = 𝑥 + 𝑦(𝑥 + 1)
Ta có 𝑥 + 1 =

𝑏2 +𝑐 2 −𝑎2
2𝑏𝑐

+1=

𝑎2 −(𝑏−𝑐)2
2𝑏𝑐

Thay vào Q, ta được 𝑄 =

𝑏−𝑐
𝑏

Bài 13. Cho
a  b  c  0
 2 2 2
Tính giá trị của biểu thức E = a4 + b4 + c4
a  b  c  14
Giải
Ta có 142 = ( a2 + b2 + c2)2 = a4 + b4 + c4 + 2( a2b2 + b2c2 + c2a2)
=> a4 + b4 + c4 = 196 – 2(a2b2 + b2c2 + c2a2) .
Ta lại có: 02 = a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2( ab + bc + ca ) = 14 + 2( ab + bc + ca) .
=> ab + bc + ca = – 7  49 = ( ab + bc + ca )2 = a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2 ( ab2c + a2bc
+ abc2)
 49 = a2b2 + b2c2 + c2a2 + 2abc( a + b + c) . Vậy: a2b2 + b2c2 + c2a2 = 49.
Do đó, a4 + b4 + c4 = 196 – 2.49 = 196 – 98 = 98
Bài 14. Cho

x  y  a
 2 2
Tính giá trị của biểu thức M = x3 + y3 theo a , b
x

y


b

Giải :
Ta có a3 = ( x + y)3 = x3 + y3 + 3xy( x + y) = M + 3axy . Vậy: M = a3 – 3axy
Ta lại có a2 = ( x + y)2 = x2 + y2 + 2xy = b + 2xy  xy =
3𝑎𝑏 − 𝑎3
𝑀=
2

𝑎2 −𝑏
2

Bài 15. Cho

13
 a

x y x z

 169
27


2
  x  z   z  y  2 x  y  z 
9 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung

. Thay vào M ta có

10 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung

2a3  12a 2  17a  2
E
a2

Tính giá trị của biểu thức

2a3  12a 2  17a  2
Ta có E 
= 2a2 – 8a + 1
a2
a2
Giải : Ta có



 x  y

a2

 x  y
a2

 x  y

2

2







2

169

 x  z

169

 x  z

2



2



27
27

 z  y  2 x  y  z   x  z  x  y  x  z  x  y 

27

27

 x  z    x  y    x  z    x  y    x  z 2   x  y 2

169  27

 x  z   x  z   x  y
2

2

2



196

x  y

2

Vậy a = ± 14

Thay vào biểu thức, tính được P.
Bài 16.
x y z
  0

a b c
Cho  a b c

Tính giá trị của biểu thức
   2

x y z

a 2 b2 c 2
N= 2  2  2
x
y
z

 x y z   bcx  acy  abz 
Giải: Từ giả thiết, ta có 02 =      
 . Vậy bcx + acy + abz
abc
a b c 

=0
Lại có
2

2

2

 a b c  a 2 b2 c 2  ab bc ca  a 2 b2 c 2
abz  bcx  acy
2







2






2

2 =


 2 2 2
2
2
2
xyz
x y z x y z
 xy yz xz  x y z
do bcx + acy + abz = 0 nên N = 4
Bài 17
1/ Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + √𝑥𝑦𝑧 = 4
Tính giá trị của biểu thức
𝐻 = √𝑥(4 − 𝑦)(4 − 𝑧) + √𝑦(4 − 𝑧)(4 − 𝑥) + √𝑧(4 − 𝑥)(4 − 𝑦) − √𝑥𝑦𝑧
Giải:

10 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung


11 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung

Ta có √𝑥(4 − 𝑦)(4 − 𝑧) = √𝑥 (16 − 4𝑧 − 4𝑦 + 𝑦𝑧) = √𝑥 [𝑦𝑧 − 4(𝑦 + 𝑧 − 4)] (1)
mà theo giả thiết 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + √𝑥𝑦𝑧 = 4 => 𝑦 + 𝑧 = 4 − 𝑥 − √𝑥𝑦𝑧 (2). Thay (2)
vào (1), ta được:
√𝑥(4 − 𝑦)(4 − 𝑧) = √𝑥(𝑦𝑧 + 4√𝑥𝑦𝑧 + 4𝑥)=√𝑥(√𝑦𝑧 + 2√𝑥)2 = √𝑥. (√𝑥𝑦 +
2√𝑥) = 2𝑥 + √𝑥𝑦𝑧
Tương tự:
√𝑦(4 − 𝑧)(4 − 𝑥) = 2𝑦 + √𝑥𝑦𝑧
√𝑧(4 − 𝑥)(4 − 𝑦) = 2𝑧 + √𝑥𝑦𝑧
Do đó:
𝐻 = 2𝑥 + √𝑥𝑦𝑧 + 2𝑦 + √𝑥𝑦𝑧 + 2𝑧 + √𝑥𝑦𝑧 − √𝑥𝑦𝑧 = 2(𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + √𝑥𝑦𝑧) =
4.2 = 8
2/ Cho (𝒙 + √𝒙𝟐 + 𝟏𝟒𝟒 ). (𝒚 + √𝒚𝟐 + 𝟏𝟒𝟒 ) = 𝟏𝟗𝟔𝟐
Tính giá trị của biểu thức

K= x+y

Bài 18. Cho
𝑥+𝑦+𝑧 = 𝑎
(1)
2
2
2
2
{ 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 𝑏 (2)
1

𝑥

1

1

𝑦

𝑧

+ + =𝑐

(3)
M = x3+ y3+ z3 theo a , b , c

Tính giá trị của biểu thức
Giải:

Bình phương hai vế của (1), ta được (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)2 = 𝑎2
=> 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 + 2(𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧) = 𝑎2 , thay (2) vào ta được:
𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧 =

𝑎2 −𝑏2

(4)

1

2

1

1

𝑥𝑦+𝑦𝑧+𝑧𝑥

𝑥

𝑦

𝑧

𝑥𝑦𝑧

Từ (3) cho ta: + + = 𝑐 =>
Từ (4) và (5) suy ra

𝑎2 −𝑏2
2

= 𝑐 => 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧 = 𝑐. 𝑥𝑦𝑧 (5)

= 𝑐𝑥𝑦𝑧 => 𝑥𝑦𝑧 =

𝑎2 −𝑏2
2𝑐

Như vậy ta có:

11 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung

12 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung

𝑥+𝑦+𝑧=𝑎
𝑥𝑦 + 𝑦𝑧 + 𝑥𝑧 =
{ 𝑥𝑦𝑧 =

𝑎2 −𝑏2
2

𝑎2 −𝑏2
2𝑐

3

Ta có: 𝑥 + 𝑦 3 + 𝑧 3 = (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)3 − 3(𝑥 2𝑧 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑧 2 + 𝑥 2 𝑦 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑦 2 +
𝑦 2 𝑥 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑦𝑧 2 ) + 3𝑥
= (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)3
− 3[(𝑥 2 𝑧 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑧 2 ) + (𝑥 2 𝑦 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑥𝑦 2 ) + (𝑦 2 𝑥 + 𝑥𝑦𝑧 + 𝑦𝑧 2 )]
+ 3𝑥𝑦𝑧
= (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)3 − 3[𝑥𝑧(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) + 𝑥𝑦(𝑥 + 𝑦 + 𝑧) + 𝑦𝑧(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)] + 3𝑥𝑦𝑧
= (𝑥 + 𝑦 + 𝑧)3 − 3(𝑥 + 𝑦 + 𝑧)(𝑥𝑧 + 𝑥𝑦 + 𝑦𝑧) + 3𝑥𝑦𝑧
𝑎3 − 3.

𝑎2 −𝑏2
𝑐

.𝑎 +

3(𝑎2 −𝑏2 )
2𝑐

. Từ đó tìm ra kết quả

Bài 19. Cho các số dương x, y, z thỏa mãn
𝑦2
𝑥 + 𝑥𝑦 +
= 25
3
𝑦2
+ 𝑧2 = 9
3
{ 𝑧 2 + 𝑥𝑧 + 𝑥 2 = 16
Tính giá trị của biểu thức N = xy + 2yz + 3zx
2

Bài 20. Cho các số dương a, b, c phân biệt sao cho các phương trình
x2 + a.x + 1 = 0 và x2 + bx + c = 0 có nghiệm chung. Đồng thời các phương trình
x2 + x + a = 0 và x2 + cx + b = 0 cũng có nghiệm chung. Tính giá trị của biểu thức
P = a+b+c

12 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung


13 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung

13 |Tài liệu Bồi dưỡng học sinh giỏi THCS- Đinh Quang Trung