Bộ 18 đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán 9 năm 2017 2018

18 Bộ HSG Toán 9 Cấp Tỉnh, TP HCM – Hà Nội
Năm học: 2017 – 2018
SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
THANH HÓA
ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
Năm học: 2017- 2018
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu I

1 + 2x - 2 x
x- 2 x
x+1
, với x  0, x  1. Rút gọn
+
+
x x- 1 x x + x+ x
x2 - x
P và tìm tất cả các giá trị của x sao cho giá trị của P là một số nguyên.
1/ Cho biểu thức: P =

4(x + 1)x 2018 - 2x 2017 + 2x + 1
1
3
tại x =
2/ Tính giá trị biểu thức: P =
.
2

2x + 3x
2 3- 2 2 3+ 2
Câu II
1/ Biết phương trình (m - 2)x 2 - 2(m - 1)x + m = 0 có hai nghiệm tương ứng là độ dài hai
cạnh góc vuông của một tam giác vuông. Tìm m để độ dài đường cao ứng với cạnh huyền của
2
tam giác vuông đó bằng
.
5
ìï (x + y) 2 (8x 2 + 8 y 2 + 4xy - 13) + 5 = 0
ïï
2. Giải hệ phương trình í
1
ïï 2x +
=1
ïïî
x+ y
Câu III
1/ Tìm nghiệm nguyên của phương trình y2 - 5y + 62 = (y - 2)x 2 + (y2 - 6y + 8)x.
2/ Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn p = a 2 + b2 là số nguyên tố và p - 5 chia hết
cho 8. Giả sử x, y là các số nguyên thỏa mãn ax 2 - by2 chia hết cho p . Chứng minh rằng cả hai
số x, y chia hết cho p .
Câu IV
Cho tam giác ABC có (O), (I), (Ia ) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội
tiếp và đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh A của tam giác với các tâm tương ứng là O, I, Ia . Gọi
¼ của (O) , PI cắt (O) tại điểm
D là tiếp điểm của (I) với BC , P là điểm chính giữa cung BAC
a
K . Gọi M là giao điểm của PO và BC, N là điểm đối xứng với P qua O.
1. Chứng minh IBIa C là tứ giác nội tiếp.

2. Chứng minh NIa là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác Ia MP.
· = KAI
·
3. Chứng minh DAI
.
a

Câu V : Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x ³ z. Chứng minh rằng:
xz
y2
x + 2z 5
+
+
³ .
2
2
y + yz xz + yz
x+ z


SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
NAM ĐỊNH
ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
Năm học: 2017- 2018
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1

1/ Rút gọn biểu thức: P = 109 - 36 7 + 109 + 36 7

ìï a 3 + b3 + c3 = abc
2/ Xét 3 số thực a, b, c thay đổi và thõa mãn điều kiện ïí
. Chứng minh
ï
2
2
2
a
b
c
0
+
+
¹
ï
î
a + 3b + 5c
biểu thức Q =
có giá trị không đổi.
2
(a + b + c)

Bài 2
1/ Giải phương trình: x 2 - 3x + 3 -

x- 2-

7- x = 0

ìï x + 3 = 2 (3y - x)(y + 1)
2/ Giải hệ pt: ïí
ïï 2y - 3 ïî

x- y = x- 3

Bài 3
1/ Cho đa thức P(x) = x 4 + ax3 + bx 2 - cx + d với (a,b,c,d Î ¡ ) thõa mãn P(1) = 3, P(2) = 6, P(3)
= 11. Tính S = 10P(4) + P(-2).
2/ Phân tích số 16032018 thành tổng của một số hạng nguyên dương. Gọi S là tổng các lập
phương của tất cả các số hạng đó. Hỏi S chia cho 6 dư bao nhiêu?
Bài 4: Cho D ABC nhọn, có AB < AC. Gọi I là trung điểm của BC. Hai đường cao BD và CE của
tam giác cắt nhau tại H. Đường tròn tâm O ngoại tiếp tam giác BEI và đường tròn tâm O’ ngoại
tiếp tam giác CDI cắt nhau tại K khác I, DE cắt BC tại M.
1/ CMR: Tứ giác AEKD nội tiếp đường tròn và ba điểm A, K, I thẳng hàng.
·
·
= ECK
2/ CMR: EMK
3/ Chứng minh ba đường thẳng EC, DB, MK đồng quy.
Bài 5
1/ Xét 3 số thực không âm a, b, c thõa mãn a + b + c = 1 và không có hai số nào đồng thời
2
2
bằng 0. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P =
+
+ (c + 2)(3 + a + b)
(a + b)(b + c)

2/ Một hình tròn được chia thành 10 ô hình quạt
như hình vẽ. Trên mỗi ô người ta đặt một viên bi. Nếu
ta thực hện liên tục thao tác lấy ở hai ô bất kỳ mỗi ô
một viên bi rồi chuyển sang ô liền kề thì có thể
chuyển tất cả các viên bi về cùng một ô hay không?

(c + a)(a + b)


SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
THÁI BÌNH

KÌ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
Năm học: 2017- 2018
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC

Bài 1: Cho x =

( 5 - 1) 3 16 + 8 5
3

10 + 6 3 -

. Tính giá trị biểu thức A = (77x 2 + 35x + 646)2017

3

Bài 2: Cho các đa thức P(x) và Q(x) thõa mãn P(x) = Q(x) + (x2 – x + 1)Q(1-x) với " x Î ¡ . Biết rằng
các hệ số của P(x) là các số nguyên không âm và P(0) = 0. Tính giá trị Q(2017)
Bài 3: Tìm nghiệm nguyên (x;y) của phương trình (2x – y - 2)2 = 7(x – 2y – y2 – 1)
Bài 4
3x - 1 + x 2 + 17x + 1 = x 2 + 3
ïì x 3 - 3xy2 - x + 1 = x 2 - 2xy - y 2
2/ Giải hệ pt sau: ïí 3
ïï y - 3x 2 y + y - 1 = y 2 - 2xy - x 2
î

1/ Giải pt sau:

Bài 5
Cho tam D ABC và M là một điểm nằm bên trong tam giác. Gọi D là điểm trên AB sao cho
MD // BC. E là điểm trên BC sao cho ME // AC, F là điểm trên AC sao cho MF // AB. Kí hiệu
SABC và SDEF lần lượt là diện tích của D ABC và D DEF.
Chứng minh rằng: SABC ³ 3SDEF.
Bài 6
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O có đường cao AH = OA. Gọi E và
F theo thứ tự là chân các đường vuông góc kẻ từ H đến AB và AC.
Chứng minh rằng đường thẳng EF đi qua trung điểm của đoạn OA.
Bài 7
12 20 15
Cho các số thực dương x, y, z thõa mãn
+
+
£ 1. Tìm GTLN của biểu thức :
P=

3

2

x +9

+

xy
4

y 2 + 16

yz

+

zx
5

z 2 + 25


S GIO DC - O TO
TP. NNG

Kè THI CHN HS GII LP 9 CP TNH
Nm hc: 2017- 2018
Mụn thi: TON
Thi gian: 150 phỳt (khụng k thi gian giao )

CHNH THC

Bi 1: Tớnh A =

1 + 11
2
+
2 + 11
18 - 5 11

ổ x+ 2
Bi 2: Cho biu thc A = ỗỗỗ
+
ốỗ x x - 1

x
1
+
x + x + 1 1-

Hóy rỳt gn biu thc A v Chng minh A <

ử
x- 1
ữ
ữ
vi x > 0; x ạ 1.
:
ữ
ữ
ứ 2 x

2
3

Bi 3
Cho ng thng dm cú phng trỡnh y = mx + 2m 1, vi m tham s.
a/ Chng minh rng khi tham s m thay i thỡ ng thng dm luụn i qua mt im H c
nh. Tỡm ta im H.
b/ Tỡm giỏ tr ca m sao cho khong cỏch t im A(1;2) n dm ln nht.
Bi 4
a/ Tỡm tt c cỏc s x thừa món:

x- 4 x- 2 + 2 + x+ 6 x- 2 + 7 = 7
ỡù x 2 - 2x = y
ùù
b/ Tỡm tt c b cỏc s x, y, z thừa: ùớ y 2 + 2y = z
ùù
ùù x + y + z + 1 + x - 1 = 0
ợ

Bi 5
Mt tha rung hỡnh ch nht, nu gim chiu rng i 1m v tng chiu di thờm 2m thỡ
din tớch khụng i; ngoi ra nu gim chiu di 4m ng thi tng chiu rng 3m ta c tha
rung hỡnh vuụng.
Tớnh din tớch tha rung ban u.
Bi 6
ã = 1500 . Gi E, F ln lt
Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD cú di ng chộo AC bng 4, ABC
l chõn ng cao h t C n ng thng AB v AD.
Tớnh di on FE.

Bi 7
Cho tam giỏc ABC nhn, ni tip ng trũn tõm O. Tip tuyn ti B ca ng trũn (O) ct
ng thng qua C v song song vi AB ti D.
a/ CMR: BC2 = AB.CD
b/ Gi G l trng tõm tam giỏc ABC; E l giao im ca CG v BD. Tip tuyn ti C ca ng
trũn (O) ct BG ti F
ã = FAC
ã
Chng minh rng: EAB


SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
HƯNG YÊN
ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
Năm học: 2017- 2018
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1
a/ Cho hai số thực a, b thõa mãn

1 1
1
. CMR:
+ =
a b 2018

b/ Cho a là nghiệm dương của phương trình 6x2 +

a+ b =
3x -

a - 2018 +

b - 2018.

3 = 0. Tính giá trị biểu thức

a+ 2

A=

a4 + a + 2 - a2

Bài 2
1/ Giải phương trình: (1- 1- x ) 3 2 - x = x
2/ Tìm tất cả các cặp số nguyên (x;y) thõa mãn: (x – 2018)2 = y4 – 6y3 + 11y2 – 6y
Bài 3
2
ìï
ïï 2x + 1 + 2y + 1 = (x - y)
a/ Giải hệ phương trình: í
2
ïï
2
ïïî (3x + 2y)(y + 1) = 4 - x

b/ Cho ba số thực dương x, y, z thõa mãn 2 y + z =

1
3yz 4zx 5xy
+
+
³ 4
. CMR:
x
y
z
x

Bài 4
Cho đường tròn (O; R) và điểm A cố định với OA = 2R; đường kính BC quay quanh O sao
cho tam giác ABC nhọn. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng OA tại điểm thứ
hai I. Các đường thẳng AB, AC cắt (O; R) lần lượt tại điểm thứ hai D và E. Gọi K là giao điểm
của DE và OA.
a/ CMR: AK.AI = AE.AC
b/ Tính độ dài AK theo R
c/ Chứng minh tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE luôn thuộc một đường thẳng cố
định.
Bài 5
Từ 625 số tự nhiên liên tiếp 1; 2; 3; ... ; 625 chọn ra 311 số sao cho không có hai số nào có
tổng bằng 625. Chứng minh rằng trong 311 số được chọn, bao giờ cungxcos ít nhất một số chính
phương.


SỞ GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
BÌNH ĐỊNH

ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HS GIỎI LỚP 9 CẤP TỈNH
Năm học: 2017 - 2018
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1
1/ Chứng minh n6 – 2n4 + n2 chia hết cho 36 với mọi n nguyên dương.
2/ Cho ba số a, b, c phân biệt.
Đặt : x = (a + b + c)2 – 9ab, y = (a + b + c)2 – 9bc, z = (a + b + c)2 – 9ac.
Chứng minh rằng: Trong ba số x, y, z có ít nhất một số dương.
Bài 2
1/ Tìm nghiệm nguyên của phương trình: (x – y)(2x + y + 1) + 9(y – 1) = 13
2/ Giải phương trình: x2  x  2018  2018
Bài 3
1/ Cho a, b, c là ba số không âm thỏa mãn điều kiện : a2 + b2 + c2  2(ab + bc + ca) và p, q, r
là ba số thỏa mãn : p + q + r = 0. Chứng minh rằng : apq + bqr + crp  0.
2/ Cho các số dương a, b thỏa mãn điều kiện ab = 1.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : M =  a  b  1  a2  b2  

4
ab

Bài 4
1/ Cho tam giác nhọn ABC có các đường cao AD, BE, CF và trực tâm là H.
a/ Chứng minh rằng: AC.BD.CE = BE.CD.BH;
b/ Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AH và BC. Đường tròn đường kính AH cắt đoạn thẳng
IJ tại K. Tia AK cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại M và cắt đoạn thẳng BC tại P. Tia
MD cắt đường tròn ngoại tiếp ABC tại Q.

Chứng minh tứ giác AQDP là tứ giác nội tiếp.
2/ Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên các cạnh
AB, AC sao cho BD = AE. Xác định vị trí các điểm D, E sao cho:
a/ DE có độ dài nhỏ nhất.
b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.


S GIO DC - O TO
BC GIANG

Kè THI CHN HS GII LP 9 CP TNH
Nm hc: 2017 - 2018
Mụn thi: TON
Thi gian: 150 phỳt (khụng k thi gian giao )

CHNH THC

Bi 1
ổ x+1
1/ Cho biu thc A = ỗỗỗ
+
ỗố x - 1

ổ x
x - 1 3 x + 1ử
2 ử
ữ
ữ
ỗỗ
ữ

ữ
vi x 0;x ạ 1
:
+
ữ
ữ
ỗ
ữ
ữ
1 - x ứ ốỗ x - 1 x - 1ứ
x+1

a/ Rỳt gn biu thc A
b/ Tỡm x biu thc A t giỏ tr nh nht.
c/ Tỡm giỏ tr ca m phng trỡnh x2 2(m + 1)x + m = 0 cú hai nghim phõn bit x1, x2
thừa món

2x1 - 1 2x 2 - 1
3
.
+
= x1x 2 +
x2
x1
x1x 2

Bi 2
1/ Gii phng trỡnh:

2x 2 + x + 6 +

ỡù x 3 + x + 2 = 2y
2/ Gii h pt: ùớ 2
3

ùù 3(x + x) = y - y
ợ

x2 2 + x + = x +

4
x

(x, y ẻ Ă )

Bi 3
1/ Tỡm tt c cỏc cp s nguyờn (x;y) sao cho 3(x4 y2) = 2(x2 y) + 7
2/ Cho biu thc B =

1
2
3
2018
2017
v B2018
+ 2 + 3 + .... + 2018 . So sỏnh: B
16 16
16
16

Bi 4
1/ Cho hai ng trũn(O; 4cm) v (I; 2cm) ct nhau tai hai im phõn bit A, B sao cho
ã ạ 900 . Tip tuyn ca ng trũn (O) ti A ct ng (I) ti C khỏc A. Tip tuyn ca ng
OAI

trũn (I) ti A ct ng trũn (O) ti D khỏc A. Gi E l giao im ca AB v CD. Gi P, Q ln
lt l trung im ca AD, CD.
Chng minh rng:
a/ D APQ v D ABC ng dng.
b/ ED = 4EC.
2/ Cho hỡnh vuụng ABCD ni tip ng trũn (O). im E thuc cung nh CD ca ng
trũn (O), E khỏc C v D. Cú EA ct DB, DC ln lt ti M v N; EB ct CA, CD ln lt ti P v
Q. Gi G l giao im ca CM v DP.
Chng minh rng:

GM GP NQ
+
+
=1
EM EP CD

Bi 5
(x 3 + y3 ) - (x 2 + y 2 )
Tớnh giỏ tr nh nht ca biu thc P =
, trong ú x, y l cỏc s thc ln
(x - 1)(y - 1)

hn 1.

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO
TP. BẮC GIANG
ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HS GIỎI CẤP TP LỚP 9
Năm học: 2017 - 2018
Môn thi: TOÁN
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1:
 x2 x 4

a/ Cho biểu thức M  

 x x 8

2 x  10 
x  2 x 1   3 x  5

 : 

x  1   x  2 x  6 x  5 

Rút gọn M và tìm x để M > 1
b/ Cho a, b, c >0 thỏa mãn

ab  bc  ca  1 . Tính H =

a b
b c

c a


1 c
1 a
1 b

Bài 2:
a/ Giải phương trình

30 

5
5
 6 x2  2  6 x2
2
x
x

b/ Tìm số thực x để 3 số x  3; x 2  2 3; x 

2
là số nguyên
x

Bài 3:
a/ Tìm x nguyên dương để 4 x3  14 x2  9 x  6 là số chính phương
b/ Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x  y  z  xyz .
2
1  1  y2 1  1  z2

Chứng minh rằng: 1  1  x 

 xyz
x
y
z
Bài 4:

Cho đoạn thẳng OA = R, vẽ đường tròn (O;R). Trên đường tròn (O;R) lấy H bấy kỳ sao cho
AH < R, qua H vẽ đường thẳng a tiếp xúc với đường tròn (O;R). Trên đường thẳng a lấy B và C
sao cho H nằm giữa B và C và AB = AC = R. Vẽ HM vuông góc với OB (M  OB), vẽ HN ^ OC
(N  OC)
a/ Chứng minh OM  OB = ON  OC và MN luôn đi qua 1 điểm cố định
b/ Chứng minh OB  OC = 2R2
c/ Tìm giá trị lớn nhất của diện tích tam giác OMN khi H thay đổi
Bài 5: Cho dãy số n, n + 1, n + 2, …, 2n với n nguyên dương. Chứng minh trong dãy có ít nhất
một lũy thừa bậc 2 của 1 số tự nhiên.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------