Bộ 50 đề luyện thi học sinh giỏi môn Toán 9 có đáp án Sở GD ĐT Thanh Hóa

Bộ 50 đề thi HSG môn Toán lớp 9

Sở GD&ĐT Thanh Hóa

Đề Số 1
Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9
(Thời gian làm bài 150’)
Câu 1: Giải phương trình.
6x  3
= 3 + 2 x  x2
x  1 x

Câu 2: Cho hệ phương trình:
x - 3y - 3 = 0
x2 + y2 - 2x - 2y - 9 = 0
Gọi (x1; y1) và (x2; y2) là hai nghiệm của hệ phương trình trên. Hãy tìm giá trị
của biểu thức.
M = (x1- x2)2 + (y1-y2)2.
Câu 3: Từ điểm A nằm ngoài đường tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến AB và AC
(B,C là các tiếp điểm). Gọi M là điểm bất kỳ trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) (M
khác B và C). Tiếp tuyến tại M cắt AB và AC tại E, F, đường thẳng BC cắt OE và OF
ở P và Q. Chứng minh rằng tỷ số

PQ
không đổi khi M di chuyển trên cung nhỏ BC.
EF

Câu 4: Tìm các số x, y, z nguyên dương thoả mãn đẳng thức.
2(y+z) = x (yz-1)
Câu 5: Một ngũ giác có tính chất: Tất cả các tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh liên
tiếp của ngũ giác đều có diện tích bằng 1. Tính diện tích của ngũ giác đó.

1


Bộ 50 đề thi HSG môn Toán lớp 9

Sở GD&ĐT Thanh Hóa

Đề Số 2
Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp 9
(Thời gian làm bài: 150’)
Câu 1: Cho biểu thức.
(x + x 2  2006) (y  y 2  2006)  2006
Hãy tính tổng: S = x + y
Câu 2: Trong các cặp số thực (x;y) thoả mãn:

x2  x  y2  y
0
x 2  y 2 1

Hãy tìm cặp số có tổng x+2y lớn nhất.
Câu 3:
Tìm các số nguyên dương n sao cho x = 2n + 2003 và y = 3n + 2005 đều là những
số chính phương.
Câu 4: Cho hai đường tròn (C1) và (C2) tiếp xúc ngoài nhau tại điểm T. Hai
đường tròn này nằm trong đường tròn (C3) và tiếp xúc với (C3) tương ứng tại M và N.
Tiếp tuyến chung tại T của (C1) và (C2) cắt (C3) tại P. PM cắt đường tròn (C1) tại diểm
thứ hai A và MN cắt (C1) tại điểm thứ hai B. PN cắt đường tròn (C2) tại điểm thứ hai D
và MN cắt (C2) tại điểm thứ hai C.
a. Chứng minh rằng tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp.

b. Chứng minh rằng AB, CD và PT đồng quy.
Câu 5: Giải phương trình.
x2 + 3x + 1 = (x+3) x 2  1

2


Bộ 50 đề thi HSG môn Toán lớp 9

Sở giáo dục và đào tạo
Thanh hoá
*****

Sở GD&ĐT Thanh Hóa

Đề thi học sinh giỏi lớp 9
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút

Bài 1: Có số y nào biểu thị trong dạng sau không?

y  5  13  5  13  5  ...

1 1 1
1
  
. Chứng minh rằng :
a b c abc
1
1 1

1
Với mọi số nguyên n lẻ ta đều có: n  n  n  n
a b c
a  bn  c n
Bài 3: Giải hệ phương trình:
 x  2  2 y  1  9

 x  y  1  1
Bài 4: Cho hệ phương trình hai ẩn x, y sau:
(m  1) x  my  2m  1

2
mx  y  m  2
Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x; y) thoả mãn P = xy đạt giá trị lớn nhất
Bài 5: Tìm m để phương trình (x2-1)(x+3)(x+5) = m có bốn nghiệm phân biệt x1, x2,
1 1 1 1
x3, x4 thoả mãn điều kiện     1
x1 x2 x3 x4
1
Bài 6: Cho Parabol (P) là đồ thị của hàm số y  x 2
2
a. Tìm m sao cho điểm C(-2; m)thuộc Parabol
b. Có bao nhiêu điểm thuộc Parabol và cách đều hai trục toạ độ
Bài 7: Giải phương trình nghiệm nguyên:
x3 – y3 – 2y2 – 3y – 1 = 0
Bài 8: Cho góc vuông xOy. Các điểm A và B tương ứng thuộc các tia Ox và Oy sao
cho OA = OB. Một đường thẳng d đi qua A cắt đoạn OB tại điểm M nằm giữa O
và B. Từ B hạ đường vuông góc với AM tại H và cắt đường thẳng OA tại I
1. Chứng minh OI = OM và tứ giác OMHN nội tiếp được
2. Gọi K là hình chiếu của O lên BI. Chứng minh OK = KH và tìm quỹ tích

điểm K khi M di động trên đoạn OB.
Bài 9: Cho tam giác ABC có A  900 , M là một điểm di động trên cạnh BC. Gọi O và
E lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên AB và AC. Xác định vị trí của M
để độ dài đoạn thẳng OE ngắn nhất.
Bài 2: Cho ba số a, b, c thoả mãn hệ thức:

--------------------------------------------------------

3


Bộ 50 đề thi HSG môn Toán lớp 9

Sở GD&ĐT Thanh Hóa

Đề thi học sinh giỏi lớp 9

đ

Bài I (2 )
Rút gọn A

1  2a
1  1  2a



1  2a
1  1  2a

Với a =

3
4

Bài II (6đ)
a) Tìm nghiệm nguyên của phương trình
2x2 + 4x = 19-3y2
b) Giải hệ phương trình
x3 =7x +3y
y3 = 7y+3x
Bài III (3đ)
Cho x,y,z là các số không âm và x+y+z =1
Tìm giá trị lớn nhất của M = xy+yz+zx
Bài IV (6đ)
Cho hình thang ABCD (AD//CD,AB ≠? CD) M,N lần lượt thứ tự là trung
điểm của các đường hcéo AC và BD , kẻ NH ⊥ AD, MH’ ⊥ BC. Gọi I là giao điểm
của MH’ và NH. Chứng minh rằng I cách đều 2 điểm C và D.
Bài V (3đ)
Cho a,b,c >0 và a+b+c = 1. Chứng minh b+c ≥ 16abc.

4


Bộ 50 đề thi HSG môn Toán lớp 9

Sở GD&ĐT Thanh Hóa

Đề thi học sinh giỏi - lớp 9
Môn toán -thời gian : 150 phút

người ra đề : lê thị hương – lê thị tâm
Câu 1: (4 điểm)
Chứng minh biểu thức sau không phục thuộc giá trị x
A=

6 x  ( x  6) x  3
3
1


2( x  4 x  3)(2  x )  2 x  10 x  12 3 x  x  2

điều kiện x # 4; x # 9 ; x # 1
Câu 2: (3 điểm) giải phương trình
x 2  48 = 4x - 3 +

x 2  35

Câu 3: (4 điểm)
Phân tích ra thừa số
A = x3 y3 + z3 - 3xyz
Từ đó tìm nghiệm nguyên (x, y , z) của phương trình
x3 + y3 + z3 - 3xyz = x (y - z)2 + z (x - y)2 + y( z-x)2

(1)

t/m đk:
max (x, y, z) < x + y + z - max (x, y, z)

(2)

Câu 4: (3 điểm)
Tìm GTNN của biểu thức



1 x10 y10 1 16
= ( 2  2 )  ( x  y16 )  (1  x 2 y 2 )2
2 y
x
4

Câu 5: (3 điểm) cho tam giác ABC có AB = 3cm; BC = 4cm ; CA = 5cm đường cao,
đường phân giác, đường trung tuyến của tam giác kẻ từ đỉnh B chia tam giác thành 4
phần. Hãy tính diện tích mỗi phần.
Câu 6: (3 điểm) Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong (0) có 2 đường chéo AC&BD vuông
với nhau tại H < H không trùng với tâm của (0). Gọi M,N lần lượt là chân đường
vuông góc hạ từ H xuống các đường thẳng AB, BC; P&Q lần lượt là giao điểm của
đường thẳng MH & NH với các đường thẳng CD; OA. chứng minh rằng đường thẳng
PQ // đường thẳng AC và 4 điểm M, N, P, Q nằm trên một (0).

5


Bộ 50 đề thi HSG môn Toán lớp 9

Sở GD&ĐT Thanh Hóa

Sở GD-ĐT thanh hoá
Đề thi học sinh giỏi Toán lớp 9

TrườngTHPT Bỉm Sơn
Bảng A
( Đề đề nghị )
Thời gian 150 phút ( Không kể thời gian phát đề)

Câu1 : (4 điểm) Cho biểu thức A=

( x  y )2
x xy y



x xy y
x y

x y
x y



1,Rút gọn biểu thức A
2, So sánh A và

A

Câu 2: ( 5 Điểm)
1, Giải phương trình:

x2 + 4x + 5 = 2 2 x  3

2, Cho 1  a  2 và 1  b  2
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

( a  b) 2
P= 3 3
a b

Câu 3, (6 điểm)
1, Số đo hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông là nghiệm của phương
trình bậc hai: (m-2)x2-2(m-1)x +m = 0
Hãy xác định giá trị m để số đo của đường cao ứng với cạnh huyền của tam
giác là:

2
5

2, Cho 2 điểm A,B phân biệt trên đường thẳng (  ) . Đường tròn (o) tiếp xúc với
đường thẳng (  ) tại A. Hãy dựng đường tròn (o’) tiếp xúc với đường tròn (o) và tiếp
xúc với đường thẳng (  ) tại B.
Câu 4:

(5 điểm)

Cho hai đường tròn (o1) và (o2) cắt nhau tại A và B. Tiếp tuyến chung gần B
của hai đường tròn lần lượt tiếp xúc với (o 1) và (o2) tại C và D. Qua A kẻ đường
thẳng song song với CD lần lượt cắt (o1) và (o2) tại M và N. Các đường thẳng BC và
BD lần lượt cắt đường thẳng MN tại P và Q . Các đường thẳng CM và DN cắt nhau tại
E . Chứng minh rằng:
1, Đường thẳng AE vuông góc với đường thẳng CD
2, Tam giác EPQ là tam giác cân.

6


Bộ 50 đề thi HSG môn Toán lớp 9

Sở GD&ĐT Thanh Hóa

Sở giáo dục và đào tạo thanh hoá
Đề thi học sinh giỏi lớp 9 – bảng b
Môn: Toán
Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)


Bài 1: Rút gọn A= 

1

22 a



1
22 a



a 2  1  1 
1   với a > 0 và a 1
1  a 2  a 

Bài 2: Phân tích đa thức B = x4 + 6x3 + 7x2 – 6x + 1 thành nhân tử
Bài 3: Tìm m để phương trình x 2 

15
x  m 2  0 có hai nghiệm và nghiệm này bằng
4

bình phương nghiệm kia.
Bài 4: Xác định m để hệ sau có nghiệm duy nhất (x, y) với x, y là số nguyên
 mx  2 y  m  1

2 x  my  2m  1

1
2

Bài 5: Giải phương trình x 2  x  5  5
Bài 6: Cho đường thẳng (d): y = x + 2m – 3 gọi A, B lần lượt là giao điểm của d với
Ox, Oy. Xác định m để SABO bằng 4.
Bài 7: Cho x, y, z > 0, x + y + z = 1.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức C = ( xyz)(x+y)(y+z)(z+x)
Bài 8: Tính bán kính đường tròn nội tiếp ABC vuông ở A biết rằng đường
phân giác trong AD chia cạnh huyền thành 2 đoạn thẳng có độ dài 10 cm và 20
cm.
Bài 9: Cho đường tròn tâm O, tiếp tuyến đường tròn tại B, C cắt nhau ở A,


0

BAC = 60 , M thuộc cung nhỏ BC, tiếp tuyến tại M cắt AB, AC tại D, E. Gọi

giao điểm của OD, OE với BC lần lượt là I, K. Chứng minh rằng tứ giác IOCE
nội tiếp.
Bài 10: Chứng minh rằng trong một tứ diện bất kỳ tồn tại 3 cạnh cùng xuất
phát từ một đỉnh mà một cạnh nhỏ hơn tổng hai cạnh kia.
Tài liệu:
- Bài 1, 2, 5: Một số vấn đề phát triển Đại số 9
- Bài 3, 6 : Đại số nâng cao lớp 9
- Bài 7
: Bất đẳng thức – Phan Đức Chính
- Bài 8, 9, 10: Một số vấn đề phát triển Hình học 9.
7


Bộ 50 đề thi HSG môn Toán lớp 9

Sở Giáo dục và Đào Tạo
thanh hoá

Sở GD&ĐT Thanh Hóa

Đề thi chọn học sinh giỏi lớp 9 THCS
Môn thi : Toán
( Thời gian làm bài : 150 phút)

Bài I (3,0 điểm):
Tính giá trị của biểu thức P =

a 1

.Trong đó a là

a  a 1  a
nghiệm dương của phương trình : 4x2+ 2 x- 2 = 0
Bài II ( 6,0 điểm):
1) Giả sử phương trình : x2+ax+b = 0 có hai nghiệm x1 , x2 và phương
trình :x2+cx +d = 0 có hai nghiệm x3 , x4 .Chứng minh rằng :
2(x1+x3) (x1+x4) (x2+x3) (x2+x4) = 2(b-d)2- (a2-c2)(b-d)+(a+c)2(b+d)
2) Chứng minh rằng nếu phương trình :
ax4+bx3+cx2-2bx+4a=0 (a  0)
có hai nghiệm x1,x2 thoả mãn x1x2=1 thì 5a2=2b2+ac
4

2

Bài III (5,0 điểm):
Cho tam giác ABC có cả ba góc nhọn . AA’,BB’,CC’ lần lượt là các
đường cao. H là trực tâm
AH BH CH


6
1) Chứng minh rằng:
HA ' HB ' HC '
2) Cho biết

AH
 m . Hãy tính tgB.tgC theo m
A' H

Bài IV (4,0 điểm):
Từ một điểm O tuỳ ý trên mặt phẳng chứa hình bình hành ABCD .Ta
nối với các đỉnh của hình bình hành đó .
Chứng minh rằng diện tích của tam giác AOC bằng tổng hoặc hiệu
diện tích của hai tam giác kề nhau,mỗi tam giác được tạo bởi hai trong
các đường thẳng OA,OB,OC,OD và các cạnh của hình bình hành
Bài V (2,0 điểm):
Gọi A là tập hợp các số nguyên tố p sao cho phương trình :
x2+x+1 = py có nghiệm nguyên x,y.
Chứng minh rằng A là một tập hợp vô hạn

------------------------------------------------------

8


Bộ 50 đề thi HSG môn Toán lớp 9

Sở GD&ĐT Thanh Hóa

Sở GD-ĐT Thanh Hóa
Trường THPT Mai Anh Tuấn

Đề thi học sinh giỏi lớp 9
Môn : Toán - Năm học: 2005 - 2006
(Thời gian làm bài: 180 phút)

Bài 1: (2,0đ)
Tính giá trị biểu thức:

1

A=

2  2 3



1
2  2 3

Bài 2: (5,0đ)
Cho parabol(P):

1
4

y= x 2

a.Viết phương trình đường thẳng (d) di qua 2 điểm A và B thuộc (P) và có hoành
độ lần lượt là 2 và - 4.
b.Tìm điểm C trên cung AB của (P) sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất
Bài 3: (4,0đ)
Cho tam giác ABC vuông cân tại B, nội tiếp đường tròn (O;R). Trên cung AC có
chứa điểm B, lấy 1 điểm D tùy ý; trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE = DC.
a. Chứng minh rằng trung điểm I của EC và điểm D thẳng hàng với 1 điểm thứ ba cố
định.
b.Tìm tập hợp các điểm E khi D di động trên cung ABC.
c.Xác định vị trí của D trên cung ABC để độ dài AE lớn nhất, tính độ dài ấy theo R.
Bài 4: (4,0 đ)

Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều. Điểm A’ cách đều
các điểm A, B, C.
a. Chứng minh rằng chân đường cao hạ từ đỉnh A’ của lăng trụ trùng với tam của
đáy ABC
b. Chứng minh rằng mặt bên BCC’B’ của lăng trụ là hình chữ nhật.
Bài 5: (5,0 đ)
a.Giải phương trình:
(x - 1) (x - 3) (x - 4) (x - 6) + 9 = 0
b.Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
2x 2 +7xy + 6y 2 = 60
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

9


Bộ 50 đề thi HSG môn Toán lớp 9

Sở gd & đt Thanh hoá
Trường thpt trần phú
Nga Sơn

Sở GD&ĐT Thanh Hóa

đề thi học sinh giỏi lớp 9 thcs
Môn : Toán
Thời gian : 150 phút không kể thời gian giao

Bài 1: (6 điểm)
x2 + y2 = 5

1- Giải phương trình :

x4 + x2y2 + y4 = 13
2- Cho biểu thức: A =

2x- 1
x2+ 2

Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất.

Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Bài 2 : (3 điểm)
Cho Phương trình : x2 – 2 .(m -21) x + m – 3 = 0
x
1)Chứng minh rằng luôn có nghiệm với V giá trị của m.
+ 2
2)Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu nhau.
Bài 3: (3 điểm)
Cho a + b + c + d = 2 . Trong đó a, b, c, d ê R.
Hãy chứng minh : a2 + b2 + c2 + d2 ≥ 1
Bài 4: (4 điểm)
Cho đường tròn nội tiếp ∆ ABC , tiếp xúc với cạnh BC tại D.
Chứng minh rằng: ∆ ABC vuông tại A khi và chỉ chỉ khi:
AB. AC = 2DB . DC.
Bài 5: ( 4 điểm)
Cho hình chóp SABC có SA
SB

SB, SA

SC,

SC.

Biết SA = a; SB + SC = k. Đặt SB = x.
a)Tính thể tích hình chóp SABC theo : a, k, x.
b)Tính SB, SC để thể tích hình chóp S. ABC lớn nhất

10


Bộ 50 đề thi HSG môn Toán lớp 9

Sở GD&ĐT Thanh Hóa

đề xuất ngân hàng đề
Đề thi Học sinh giỏi lớp 9 – Môn Toán
----------------o0o--------------

Sở GD&ĐT Thanh hóa
Trường thpt hậu lộc 3
--------o0o-------

Câu 1: (1 điểm) Rút gọn biểu thức:

A

2
1 x
x

2

2

 1
4
, với x < 0.
2
1 x
1   2  2 x   1
4

1

Câu 2: (2 điểm) Giải phương trình sau biết phương trình có 2 nghiệm đối nhau:
x4 – 4x3 + 3x2 + 8x – 10 = 0.
Câu 3: (2 điểm) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = x2 + y2, biết
rằng: x2 + y2 – xy = 4.
Câu 4: (2 điểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau:

7x2 + 13y2 = 1820.

Câu 5: (3 điểm)
Cho ABC cân nội tiếp trong đường tròn (O; R) có AB = AC = R 2 .
a) Tính BC theo R?
b) Cho M là điểm di động trên cung AC nhỏ. Gọi D là giao điểm của AM và
BC. Chứng minh rằng AM.AD là hằng số.
c) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp MCD di động trên một đường
cố định khi M di động trên cung AC nhỏ.
-------------------------------------------Hết-------------------------------------------------

11


Bộ 50 đề thi HSG môn Toán lớp 9

Sở gd và ĐT thanh hoá
Bài 1 :

đề thi học sinh giỏi lớp 9
Môn : Toán
Thời gian làm bài : 150 phút

Cho biểu thức
A

Sở GD&ĐT Thanh Hóa

a a a a
:
a 1

a  a 
2

a) Tìm a để biểu thức A có nghĩa
b) Rút gọn A
Bài 2 : Cho 2 số dương x,y thoả mãn x+y=1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1 

1 

B  1  2 1  2 
y 
 x 

x2
1
Bài 3 : Cho phương trình   m( x  1) 
4
2

(m là tham số )

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với m  R
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 thoả mãn biểu thức
2
x12 x2  x1 x2 đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị này
Bài 4 :
Một vận động viên bắn súng đã bắn hơn 11 viên và đều trúng vào vòng 9,10
điểm; tổng số điểm đạt được là 109 điểm. Hỏi vận động vieen đó đã bắn bao
nhiêu viên và kết quả bắn vào các vòng ra sao?
Bài 5 : Giải phương trình
x  3  4 x 1  x  8  6 x 1  5
1
Bài 6 : Cho parabol(P) : y=  x 2 và đường thẳng (d) : y= mx – 2m – 1
4

a) tìm m để đường thẳng (d) tiếp xúc với (P)
b)chứng minh rằng đường thẳng (d) luôn đi qua điểm cố định A  (P)

Bài 7:
Tìm các nghiệm nguyên của phương trình
7 x 2 13 y 2  1820

Bài 8 :

Cho tam giác nhọn ABC, gọi AH,BI,CK là các đường cao của tam giác
Chứng minh rằng
S HIK
 1  cos 2 A  cos 2 B  cos 2 C
S ABC

Bài 9:
Cho hình vuông ABCD. Gọi MNPQ là tứ giác lồi có 4 đỉnh lần lượt nằm trên
4 cạnh của hình vuông. Xác định tứ giác MNPQ sao cho nó có chu vi nhỏ nhất
Bài 10 :
Cho đường tròn (O;R) và điểm P cố định ở ngoài đường tròn, vẽ cát tuyến PBC
bất kì . tìm quỹ tích các điểm O1 đối xứng với O qua BC khi cát tuyến PBC quay
quanh P
12


Bộ 50 đề thi HSG môn Toán lớp 9

Sở giáo dục & đào tạo
Thanh hoá

Sở GD&ĐT Thanh Hóa

Đề thi học sinh giỏi lớp 9 THcs

Đề chính thức
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút.
Bài I (1,0 điểm)
Cho hai phương trình: x2 + ax + 1 = 0 và x2 + bx + 17 = 0. Biết rằng hai phương
trình có nghiệm chung và a  b nhánhÊt. Tìm a và b.
Bài II (2 điểm)
Giải phương trình: x  x  5  x  x 2  5x  20 .
Bài III (2,5 điểm)
x 3  y 3  1
1/ Giải hệ phương trình:  7
7
4
4
x  y  x  y
2/ Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x3 + y3 + 6xy = 21.
Bài IV (2,5 điểm)
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O ) tâm O. M là điểm chính giữa
cung BC không chứa điểm A. Gọi M’ là điểm đối xứng với M qua O. Các đường
phân giác trong góc B và góc C của tam giác ABC cắt đường thẳng AM ’ lần
lượt tại E và F .
1/ Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp được trong đường tròn.
2/ Biết đường tròn nội tiếp tam giác ABC có tâm I bán kính r.
Chứng minh:
IB.IC = 2r.IM.
Bài V (2 điểm)
1/ Cho các số a, b thoả mãn các điều kiện: 0  a  3 ; 8  b  11
và a + b = 11. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = a.b .
2/ Trong mặt phẳng ( P ) cho 3 tia chung gốc và phân biệt Ox ; Oy ; Oz .

Tia Ot không thuộc (P) và xOt = yOt = zOt . Chứng minh Ot vuông góc với
mặt phẳng (P).
---------------------------------------------------Họ và tên thí sinh: …………………………………..Số báo danh: ……….
Chữ ký của hai người coi thi: Số 1: ……………..

Số 2: ………………..

13


Bộ 50 đề thi HSG môn Toán lớp 9

Sở GD&ĐT Thanh Hoá
Trường THPT Hoằng Hoá 2

Sở GD&ĐT Thanh Hóa

Đề thi học sinh giỏi lớp 9
Môn : Toán
Thời gian làm bài : 150 phút
( không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (2 điểm)
Rút gọn biểu thức :
1
1
1
1
P=



 ... 
1 5
5 9
9  13
2001  2005
Bài 2 (2 điểm)
Cho ba số dương x; y; z thoả mãn điều kiện xy + yx + xz = 1
Hãy tính giá trị của biểu thức sau :
(1  y 2 )(1  z 2 )
(1  z 2 )(1  x 2 )
(1  x 2 )(1  y 2 )
S= x
y
z
1  x2
1  y2
1 z2
Bài 3 ( 2 điểm)
Giải phương trình :

2x
13x

6
3x 2  5 x  2 3x 2  x  2

Bài 4 (2 điểm)

 x 3  y 3  3( x  y )

Giải hệ phương trình : 
 x  y  1
Bài 5 (2 điểm)
Tìm giá trị của x để đẳng thức sau là đẳng thức đúng :
2
3x  18x  28  4 x 2  24 x  45 = – x2 + 6x -5
Bài 6 (2 điểm)

1
Cho Parabol (P) : y = x 2 và đường thẳng (d) qua hai điểm A, B trên (P) có
4
hoành độ lần lượt là -2 và 4. Tìm điểm M trên cung AB của (P) tương ứng có hoành độ
x [-2; 4] sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất.
Bài 7 ( 2 điểm)

x4  2
Tìm mọi cặp số nguyên dương (x; y) sao cho 2
là số nguyên dương.
x y 1

14


Bộ 50 đề thi HSG môn Toán lớp 9

Sở GD&ĐT Thanh Hóa

Bài 8 (2 điểm):
Cho 2 đường tròn (0 1 , R 1 ) và (0 2 , R 2 ) có R 1 > R 2 tiếp xúc ngoài với nhau tại A.
Đường thẳng d đi qua A cắt đường tròn (0 1 , R 1 ) tại M và đường tròn (0 2 , R 2 ) tại N (

các điểm M, N khác A). Tìm tập hợp các trung điểm I của các đoạn thẳng MN khi
đường thẳng d quay quanh điểm A.
Bài 9 (2 điểm):
Trong hình vuông mà độ dài mỗi cạnh bằng 4 có cho trước 33 điểm, trong đó
không có 3 điểm nào thẳng hàng. Người ta vẽ các đường tròn có bán kính đều bằng
2 , có tâm là các điểm đã cho. Hỏi có hay không 3 điểm trong số các điểm nói trên
sao cho chúng đều thuộc vào phần chung của 3 hình tròn có các tâm cũng chính là 3
điểm.
Bài 10 (2 điểm):
Cho tứ diện ABCD có các cặp cạnh đối bằng nhau, trong mặt phẳng (BCD)
dựng các điểm P, Q, R sao cho B, C, D lần lượt là trung điểm của PR; QR; QP.
Chứng minh rằng AP; AQ; AR đôi một vuông góc./

15


Bộ 50 đề thi HSG môn Toán lớp 9

Sở GD&ĐT Thanh Hóa

Đề thi học sinh giỏi lớp 9 - Môn Toán: Thời gian: 150phút
Bài 1(2 điểm): Thực hiện phép tính:
A

5  17  5  17  10  4 2  4
3 5  3 5  2 2

Bài 2(2 điểm): Phân tích đa thức ra phân tử
24x3 - 26x2 + 9x - 1
Bài 3(2 điểm): Tìm m để phương trình:

x2 - 2x - x-1 + m = 0 có 4 nghiệm phân biệt
Bài 4(2 điểm): Tìm m để hệ sau có nghiệm:
x 2 y 3
2 x y m

Bài 5(2 điểm): Tìm m để hệ:

mx  y  1
2x  3 y  m 1

có nghiệm (x;y) thoả x2 + y2 = 1
Bài 6(2 điểm): Cho đường (dm): y = mx - 3m + 2
a) Vẽ đồ thị (d2) (tức khi m = 2)
b) Tìm m để khoảng cách từ gốc toạ độ O tới (dm) lớn nhất.
Bài 7(2 điểm): Tìm (x;y) nguyên thoả y 

2 x 3  x 2  11x  5
2x  3

Bài 8(2 điểm): Cho điểm I, qua I kẻ 2 đường a và b thoả a  b.
Trên a về hai phía của I lấy 2 điểm A, D
Trên b về hai phía của I lấy 2 điểm B, C
Thoả IA.ID = IB.IC.
a) Chứng minh rằng A, B, C, D thuộc 1 đường tròn
b) Qua D kẻ đường song song với b cắt AB kéo dài tại F. Hãy xác định điểm E
trên FD sao cho AE  FI. Khi đó ICED là hình gì?
Bài 9(2 điểm): Cho hình bình hành ABCD có chu vi không đổi là 2p. M, N trên AB
thoả AM = MN = NB.
P, Q trên DC sao cho DP = PQ = QC
AQ cắt DN, BP lần lượt tại A1D1

CM cắt DN, BP lần lượt tại B1C1
Hỏi hình bình hành ABCD có đặc điểm gì thì tứ giác A1B1C1D1 có diện tích đạt giá trị
lớn nhất.
Bài 10(2 điểm): Cho hình trụ bán kính đáy R, chiều cao h và có thể tích là 30m3. 2 đáy
là 2 đường tròn (O) và (O'), AB là 1 đường kính của đường tròn tâm (O), C di động
trên đường tròn (O). S thuộc đường tròn tâm (O').
a) Xác định C để diện tích  ABC là lớn nhất
b) Khi  ABC đạt giá trị lớn nhất. Hãy tính thể tích hình chóp SABC.
16


Bộ 50 đề thi HSG môn Toán lớp 9

Sở GD&ĐT Thanh Hóa

Sở giáo dục - đào tạo thanh hóa
Đề thi học sinh giỏi lớp 9 THCS
Trường THPT bc lê viết tạo
****************************
Bài 1:
a) Chứng minh rằng:
3 3

2 1  3

1 3 2 3 4


9
9

9

b) Tính giá trị biểu thức
E  2 x 5  x 3  3x 2  x  1 với x  1 2
Bài 2: Cho a  b , a  c , b  c
chứng minh rằng
b2  c2
c2  a2
a2  b2
bc ca a b





(a  b)(a  c) (b  c)(b  a) (c  a)(c  b) b  c c  a a  b
Bài 3: Cho phương trình:
x 2  2mx  2m  1  0

Tìm m để phương trình có 2 nghiệm sao cho nghiệm này bằng bình phương
nghiệm kia.
Bài 4: Giải phương trình:
8 x  5 x  5
Bài 5: Chứng minh nếu a  2 thì hệ sau vô nghiệm:
 x 5  2 y  a
 2
 x  y 2  1
1
4

1
2

Bài 6: Cho Parabol (P) y  x 2 và đường thẳng (d): y   x  2 . Gọi A và B là giao
điểm của (P) và (d). Tìm M trên cung AB của (P) sao cho diện tích  MAB lớn nhất.
Bài 7: Tìm nghiệm nguyên của phương trình
8x 4  4 y 4  2 z 4  t 4

Bài 8: Cho tam giác ABC. Phân giác AD, trung tuyến AM. Lấy đối xứng trung tuyến
NB AB 2

AM qua AD cắt BC tại N. Chứng minh:
NC AC 2

Bài 9: Diện tích của một hình thang bằng 1. Hỏi đường chéo lớn nhất có giá trị bé
nhất là bao nhiêu.
Bài 10: Cho đường tròn ( 0; R) với 2 đường kính AB và MN. Tiếp tuyến với (0) tại
A cắt BM và BN tại M1, N1. Gọi P là trung điểm của AM1, Q là trung điểm của AN1.
Đường kính AB cố định, tìm tập hợp tâm các đường tròn ngoại tiếp tam giác BPQ khi
đường kính MN thay đổi.

17


Bộ 50 đề thi HSG môn Toán lớp 9

Sở GD&ĐT Thanh Hóa

Sở giáo dục & đào tạo thanh hoá
đề thi học sinh giỏi lớp 9

Thời gian: 150 phút
Bài 1: (4 điểm) Cho biểu thức
 x 3 x   x 3
x 2
9x 
P  1 


:

x  9  2  x 3  x x  x  6


a. Rút gọn biểu thức P
b. Tìm giá trị của x để P = 1
Bài 2: (5 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ, cho 3 điểm A(-1; -2); B(-3; 4); C(2;4)
a. Chứng minh rằng A, B, C không thẳng hàng
b. Cho Parabol (P): y = ax2 + bx + c
Xác định a, b, c để (P) đi qua các điểm A, B, C
c. Qua O có thể kẻ được đường thẳng d nào tiếp xúc với (P) hay không ?
Bài 3: (4 điểm) Giải các phương trình và hệ phương trình sau
a)

 x 1  y  4
 xy7

5
 x 2  4x  1  0
x  4x  5

b) 

2

Bài 4: (5 điểm) Cho tam giác ABC vuông ở A, đường cao AH vẽ đường tròn tâm
O đường kính AH. Đường tròn này cắt các cạnh AB, AC lần lượt tại D và E.
a. Chứng minh tứ giác ADHE là hình chữ nhật và 3 điểm D, O, E thẳng hàng
b. Các tiếp tuyến của đường tròn tâm O kẻ từ D và E cắt cạnh BC tương ứng tại
M và N. Chứng minh M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn HB, HC.
c. Cho AB = 8cm, AC = 9cm . Tính diện tích tứ giác MDEN
Bài 5: (2 điểm) Chứng minh bất đẳng thức sau:
1
1
2
với x  1, y  1


2
2
1  xy
1 x 1 y

Người ra đề
Nguyễn Thị Tuyết

18


Bộ 50 đề thi HSG môn Toán lớp 9

Sở GD & ĐT Thanh hoá
Trường THPT Quảng Xương 1

Sở GD&ĐT Thanh Hóa

đề thi học sinh giỏi tỉnh lớp 9
Môn: môn toán - bảng A -năm học 2005 - 2006
(Thời gian 150 phút, không kể thời gian giao đề)

Bài 1: (5 điểm)

1 x x
 1  x x





P


x

x
1> cho
 1 x
 1  x





a> Rút gọn P
b> Tìm giá trị lớn nhất của

1
P

2>> Tìm trên đường thẳng y= x+ 1 những điểm có toạ độ thoã mãn:
y2 - 3y x + 2x =0
Bài 2: (5 điểm)
1> Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình x2 + mx + n =0. Tìm m, n thoã mãn hệ

 x1  x 2  5
 3
3
 x1  x 2  35
2> Giải phương trình:

x2
( x  1  1) 2

 x4

Bài 3: (5 điểm)
1> Cho đường tròn tâm O nội tiếp hình thang ABCD (AB // CD). E, F là tiếp điểm
của AB và CD với đường tròn (O).
BE DF

a> CMR:
AE CF

b> Biết AB = a, CD = 2a, BE = 2AE. Tính diện tích ABCD
2> Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC có B= 1v, cạnh bên SA vuông góc (ABC) tại A.
Gọi H, K là hình chiếu vuông góc của A lên SC và SB. Chứng minh tứ giác BCHK
nội tiếp
Bầi 4: (5 điểm)
11
2
2
1> Tìm a  R để phương trình ẩn x sau: 2 x  (4a  ) x  4a  7  0
2
có nghiệm nguyên
2> Chứng minh rằng:

4x 2 y 2
x2 y2


3
(x 2  y 2 )2 y 2 x 2

với x, y khác 0
------------------Hết----------------19


Bộ 50 đề thi HSG môn Toán lớp 9

Sở GD & ĐT Thanh Hoá
Trường THPT Quảng Xương II
-----------------------Bài1 (5điểm)
a. Rút gọn

3
2

1

P=

1 1


3
2

Sở GD&ĐT Thanh Hóa

Đề thi Học sinh giỏi lớp 9
Môn: Toán
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

1

3
2

1 1

3
2

b. Giải phương trình:

3

x  1  3 x  1  3 5x

Bài 2 (5điểm)
a. Giải hệ phương trình
x  y  4z  1

 y  z  4x  1

 x  z  4 y  1

b. Tìm nghiệm nguyên: x+xy+y=9
Bài3 (5điểm)
a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
P=

4a
9b
16c


bca a cb a bc

Với a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác
b. Với a,b,c là độ dài 3 cạnh của tam giác chứng minh phương trình:
x2+(a+b+c)x+ab+bc+ca=0 vô nghiệm
Bài 4 (5điểm)
Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. Đường cao HE. Trên đoạn HE lấy điểm B sao cho
tia CB  AH. Hai trung tuyến AH và BK của tam giác ABC cắt nhau tại I. Hai trung

trực của AC và BC cắt nhau tại O.
a. Chứng minh  ABH đồng dạng với  MKO
b. Chứng minh

3

2
IO 3  IK 3  IM 3
=
3
3
3
4
IA  IH  IB

20


Bộ 50 đề thi HSG môn Toán lớp 9

Sở GD&ĐT Thanh Hóa

Ngân hàng đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 9
Thời gian: 150 phút.
Tổ Toán, Trường THPT Quảng Xương III
Bài 1:
1)
(2đ) Rút gọn biểu thức:
1
1

1
1
27a 4  6a 2   3 a 3  a 
27a 4  6a 2  .
3
3
3
3
1
(2đ) Trục căn thức ở mẫu số của biểu thức: A 
.
1  33 2  23 4

A  3 a3  a 

2)

Bài 2:
1) (2đ) Giải phương trình: x 2  5 y 2  9 z 2  x  4 xy  6 yz  1  1  x  2  x 2  x .

 x 2  y 2  10
2) (2đ) Giải hệ phương trình sau: 
.
2
2
x y  y x  12
Bài 3:
1)
(2đ) Giải phương trình: x 4  2 x 2  12 x 2  1  12  0
2)

(2đ) Lập phương trình đường thẳng đi qua A( 1; 0) và tiếp xúc với đồ thị của
hàm số
y  x 2  x  x 2  x (C).
Bài 4:
1
a

1
b

1) (2đ) Tìm giá trị lớn nhất của T   

1
với a, b, c  N và T < 1.
c

2) (2đ) Cho tam giác ABC nhọn có AB = AC, đường cao BM. Chứng minh rằng
2

AM
 AB 
 2
 1.
MC
 BC 

Bài 5:
Cho tứ giác lồi ABCD, E là trung điểm AD. Tìm tập hợp các điểm M nằm trong
tứ giác sao cho tổng diện tích các tam giác AMB và CMD bằng tổng diện tích các tam
giác AEB và CED trong các trường hợp:

1) (2đ) AB và CD song song.
2) (2đ) AB và CD không song song.
Hết.

21


Bộ 50 đề thi HSG môn Toán lớp 9

Sở GD&ĐT Thanh Hóa

Đề thi học sinh giỏi lớp 9
Môn: Toán - Thang điểm: 20

Bài 1: (6đ)
1. (2đ) Rút gọn biểu thức A =

2 3
2  2 3



2 3
2  2 3

2. (4đ) Tính giá trị của tổng
B = 1

1
1

1
1
1
1
 2 .  1  2  2  ..  1  2 
2
1
2
2
3
99
100 2

Bài 2: (2đ) Tìm x, y, z nguyên dương đôi một khác nhau thoả mãn:
3x + 3y + 3z = 6831
Bài 3: (4đ).
1. (2đ) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị bé nhất của hàm số:
y=

x 3  6 x

2. (2đ) Cho các số dương a, b, c biết
Chứng minh rằng: abc 

a
b
c


1

1 a 1 b 1 c

1
8

Bài 4: (2đ) Giải phương trình:
x(x - 2)(x + 2)(x + 4) = -7
Bài 5: (6 đ).
Cho ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi (P), (Q) theo thứ tự là đường tròn
nội tiếp hai tam giác AHB và AHC. Kẻ tiếp tuyến chung ngoài (khác BC) của (P) và
(Q) cắt AB, AH, AC theo tự M, K, N. Chứng minh rằng.
a. (2đ) HPQ ~ ABC
b. (2đ) KP // AB, KQ // AC.
c. (2đ)

tứ giác BMNC nội tiếp được

22


Bộ 50 đề thi HSG môn Toán lớp 9

Sở GD&ĐT Thanh Hóa

sở gd & đt thanh hoá
truờng thpt đặng thai mai
-------------------------

Đề thi học sinh giỏi lớp 9
môn : Toán

thời gian: 150 phút
--------------------------

Câu1:(4đ)
1.Đơn giản các biểu thức sau:
A  52 2 94 2

B

a 6  2a 5  a  2
a5  1

; a  1 .

2.Tính giá trị biểu thức B ở phần 1, khi
a
5
25
16

và

2
x y xz
x  z  z  y 2 x  y  z 

Câu2:(4đ)
Giải các phương trình sau:
1. x 2  2 x  1  x 2  6 x  9  2
2. x  12  x 3 

27
với 1  x  2
256

Câu3: (4đ)
Cho họ đường thẳng (Dm) có phương trình : y 

m 1
m2
x

m2  m  1
m2  m  1

1.Tìm điểm cố định của họ đường thẳng (D m).
2.Tìm m để đường thẳng của họ (Dm) cắt Parabol (P) : y = x2 tại hai điểm có
hoành độ dối nhau.Xác định toạ độ các giao điểm ấy.
Câu4: (4đ)
Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn tâm O . M là một điểm bất kỳ trên đường
tròn đó . Gọi A/,B/,C/ lần lượt là hình chiếu của M trên các đường thẳng BC , CA , AB
.
1.Chứng minh các tứ giác BC/A/M và CA/MB/ nội tiếp.
2.Chứng minh 3 điểm A/, B/ , C/ thẳng hàng.
3.Trên đường tròn tâm O đã cho lấy điểm M1M. Gọi A1, B1, C1 lần lượt là hình
chiếu của M1 lên các đường thẳng BC , CA , AB . Tìm vị trí của điểm M 1 trên
đường tròn tâm O để đường thẳng A1B1C1 vuông góc với đường thẳng A/B/C/.
Câu5: (4đ)
Chứng minh rằng:
1. x 8  x 5  x 2  x  1  0 với mọi số thực x.

1
n

2. 

1
1
   2  1 với mọi số tự nhiên n  1./.
n 1
n

23


Bộ 50 đề thi HSG môn Toán lớp 9

Sở GD&ĐT Thanh Hóa

đề thi học sinh giỏi lớp 9 THcs
môn toán
( Thời gian: 150 phút)
Câu 1:
a.(1 đ) Rút gọn biểu thức
A = 4  10  2 5 + 4  10  2 5
b.(1 đ) Tính giá trị biểu thức
B=

1  2x
1  1  2x

+

1  2x
1  1  2x

với x =

3
4

Câu 2:(1 đ) Cho phương trình x2 - mx + m - 1 = 0
Tìm Giá trị lớn nhất của biểu thức

C

2 x1 x2  3
x  x 22  2( x1 x2  1)
2
1

Với x1, x2 là các nghiệm của phương trình đã cho.
Câu 3:
a.(1 đ) Giải Phương trình: 4x2 +3x(4 1  x -9) = 27
b.(1.5 đ) Giải phương trình nghiệm nguyên:

xy
yz zx
+ + =3
y
z

x

Câu 4:(1.5 đ) Cho x, y, z là các số nguyên thoả mãn
(x-y)(y-z)(z-x) = x + y + z
Chứng minh rằng: (x + y + z) là bội của 27
Câu 5: Cho đường tròn( O, R) và hai đường kính AB, MN. Các đường thẳng BM, BN
cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn( O) tương ứng tại M’ và N’. Gọi P, Q theo thứ tự là
các trung điểm M’A và N’A
a.(1 đ) Chứng minh tứ giác MNN’M’ nội tiếp.
b.(1 đ ) Chứng minh rằng các đường cao của  BPQ cắt nhau tại trung điểm của bán
kính OA.
c.(1 đ) Giả sử AB cố định, MN thay đổi. Tính giá trị nhỏ nhất của diện tích  BPQ
theo R.

24


Bộ 50 đề thi HSG môn Toán lớp 9

Sở GD&ĐT Thanh Hóa

sở gd&đt thanh hóa
trường thpt tĩnh gia 3
đề thi tuyển sinh vào chuyên toán trường lam sơn hệ thpt
( vòng thi thứ 2)
môn thi : toán
thời gian :150 phút

Câu 1 (3diểm)
a. Tìm m để phương trình sau có nghiệm duy nhất

x 2  2m 2 x  2m 4  7 m 2  6
0
x 2  7 x  12

b. Giả hệ phương trình sau
x2 +y2 =

1
2

(1)

4x( x3 –x2 +x-1) =y2+2xy -2 (2)
Câu 2 (1.5điểm)
Giải phương trình nghiệm nguyên
x2y2-x2 -8y2 = 2xy (1)
Câu 3 (1.5 điểm )
Cho ba số thực dương x,y, z thỏa mãn điều kiện x+y+z  1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
x

1
y

1
z

Q = 2( x  y  z )  3(   )
Câu 4 (1điểm)

Tìm các số tự nhiên m,n sao cho
A= 33m 6n61  4 là số nguyên tố
Câu5 (3 điểm)
Cho ba điểm A,B,C theo thứ tự nằm trên đường thẳng d sao cho AB=2 ;
BC=4 (đơn vị dài ) .Một đường tròn (O) di động có tâm O và đi qua BC .Gọi AT ,AT’
là hai tiếp tuyến kẻ từ A đến đường tròn (O) với T,T’ là hai tiếp điểm .
a. Tìm quỹ tích điểm T và T’
b. Vễ đường kính MB của đường tròn (O) .Gọi P là giao điểm của AM và (O)
.Chứng minh rằng : AM.AP = AO2-OC2
c. Tìm quỹ tích các điểm M và P.
2

Đề thi học sinh giỏi lớp 9
môn toán
Đề đề xuất
Thời gian150’
Bài 1:(4đ) Cho biểu thức:
25