bai tap boi duong hsg 8

Chuyên đề bồi dưỡng HSG 8 Trường THCS Diễn Nguyên
BÀI TẬP ĐẠI SỐ - BDHSG 8
Chia hết :Số nguyên và đa thức
1/ Cho đa thức P(x) =
4 3 2
2 7 2 13 6x x x x− − + +
a) Phân tích P(x) thành nhân tử.
b) CMR
( )
6P x M
với mọi
x Z
∈
.
2/ a) Cho
2
3 2
4 4
2 4 8
a a
A
a a a
+ +
=
+ − −
. b) Cho B =
3 2
3 2
2 1
2 2 1
n n

n n n
+ −
+ + +

1. Rút gọn A . 1. Rút gọn B.
2.Tìm
a Z
∈
để A là số nguyên. 2. Tìm
n Z
∈
để B là số nguyên.
3/ Tìm số tự nhiên n để n
3
-3n
2
- 3n -1 chia hết cho n
2
+n + 1.
4/ Tìm số dư trong phép chia của biểu thức
( ) ( ) ( ) ( )
1 3 5 7 2002x x x x+ + + + +
cho
2
8 12x x+ +
.
5/ Cho x, y, z là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR:
a)
( )
2

2 2 2 2 2
4 0x y x y z− + − 〉
. c)
2
a b c
b c c a a b
+ + 〈
+ + +
.
b)
2 2 2 2 2 2 3 3 3
0x y y z z x zx yz xy x y z+ + + + + − − − 〉
.
6/ a) CMR:
3 2
( 11 6 6) 6a a a+ − − M
với
a Z
∈
.
b)CMR: Tổng lập phương 3 số nguyên liên tiếp chia hết cho 9.
7/ Cho a, b là 2 số nguyên. CMR:
a) Nếu a chia cho 13 dư 2 và b chia cho 13 dư 3 thì a
2
+ b
2
chia hết cho 13.
b) 10a
2
+ 5b

2
+12ab + 4a – 6b +13
≥
0. Dấu “=” xảy ra khi nào?
8) Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. CMR:
a)
( )
2 2 2
2ab bc ca a b c ab bc ca+ + ≤ + + 〈 + +
.
b) Nếu
( ) ( )
2
3a b c ab bc ca+ + = + +
thì tam giác đó là tam giác đều.
9/ Xác định đa thức bậc ba sao cho khi chia đa thức ấy lần lượt cho các nhị thức ( x -1), (x – 2), (x –
3) đều có số dư là 6 và tại x = - 1 thì đa thức nhận giá trị tương ứng là – 18.
10/ CMR:a) 21
30
+ 39
21
chia hết cho 45.
b) 8351
634
+ 8241
142
chia hết cho 26.
11/ Cho biểu thức:
4 3
4 3 2

1
2 1
x x x
A
x x x x
+ + +
=
− + − +
.
a) Rút gọn A.
b) Chứng tỏ rằng A không âm với mọi giá tri của x.
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của A và giá trị tương ứng của x khi đó.
12/ Tìm số có 2 chữ số mà bình phương của nó bằng lập phương của tổng các chữ số của nó.
13/ Tìm 4 số tự nhiên liên tiếp, biết tích của chúng là 57120.
14/ CMR: A = n
8
+ 4n
7
+ 6n
6
+ 4n
5
+n
4
chia hết cho 16 với mọi n là số nguyên.
15/ CMR: Với mọi n
∈
Z, n chẵn, ta có số n
3
+ 20n luôn chia hết cho 48.

16/ Cho A(x) = 8x
2
– 26x + m và B(x) = 2x – 3. Tìm m để A(x) chia hết cho B(x).
17/ Cho đa thức bậc 2: P(x) = ax
2
+ bx + c . Tìm a, b, c biết P(0) = 26; P(1) = 3; P(2) = 2000.
18/ CMR: a) 11
10
– 1 chia hết cho 100.
b) 9.10
n
+18 chia hết cho 27.
c) 16
n
– 15n – 1 chia hết cho 225.
19/ CMR: x
3
+ y
3
– z
3
+ 3xyz chia hết cho x + y – z . Tìm thương của phép chia.
20/ CMR: a) Đa thức x
2001
+ x
2000
+…+ x + 1 chia hết cho đa thức x
181
+ x
180

+ … + x + 1.
b)Đa thức x
9999
+ x
8888
+ x
7777
+ … + x
1111
+ 1 chia hết cho đa thức x
9
+ x
8
+ … + x + 1.
21/ Xác định giá trị của a và b để: 6x
4
– 7x
3
+ ax
2
+ 3x +2 chia hết cho đa thức x
2
– x + b.
GV:Phan Xuân Duẩn – 0973 488 480
1
Chun đề bồi dưỡng HSG 8 Trường THCS Diễn Ngun
BÀI TẬP ĐẠI SỐ –BDHSG 8
(Đơn thức, đa thức)
Bài 1: Tính giá trò của biểu thức:
a. A =

4 3 2
17 17 17 20x x x x− + − + tại x = 16.
b. B =
5 4 3 2
15 16 29 13x x x x x− + − + tại x = 14.
c. C =
14 13 12 11 2
10 10 10 ... 10 10 10x x x x x x− + − + + − + tại x = 9
d. D =
15 14 13 12 2
8 8 8 ... 8 8 5x x x x x x− + − + − + − tại x = 7.
Bài 2: Tính giá trò của biểu thức:
a. M =
1 1 1 650 4 4
2 . .3
315 651 105 651 315.651 105
− − +
b. N =
1 3 546 1 4
2 . .
547 211 547 211 547.211
− −
Bài 3: Tính giá trò của biểu thức:
a. A =
( ) ( )
3 2 2 2 3 3
x x y y x y− + −
với x = 2;
1y =
.

b. M.N với
2x =
.Biết rằng:M =
2
2 3 5x x− + +
; N =
2
3x x− + .
Bài 4: Tính giá trò của đa thức, biết x = y + 5:
a.
( ) ( )
2 2 2 65x x y y xy+ + − − +
b.
( )
2
2 75x y y x+ − +
Bài 5: Tính giá trò của đa thức:

( ) ( )
2
1 1x y y xy x y+ − − −
biết x+ y = -p, xy = q
Bài 6: Chứng minh đẳng thức:
a.
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
x a x b x b x c x c x a ab bc ca x− − + − − + − − = + + −
; biết rằng 2x = a + b + c
b.
( )

2 2 2
2 4bc b c a p p a+ + − = −
; biết rằng a + b + c = 2p
Bài 7:
a. Số a gồm 31 chữ số 1, số b gồm 38 chữ số 1. Chứng minh rằng ab – 2 chia hết cho 3.
b. Cho 2 số tự nhiên a và b trong đó số a gồm 52 số 1, số b gồm 104 số 1. Hỏi tích ab có chia hết
cho 3 không? Vì sao?
Bài 8: Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng M = N = P với:

( ) ( )
M a a b a c= + +
;
( ) ( )
N b b c b a= + +
;
( ) ( )
P c c a c b= + +
Bài 9: Cho biểu thức: M =
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
x a x b x b x c x c x a x− − + − − + − − +
. Tính M theo a, b, c, biết
rằng
1 1 1
2 2 2
x a b c= + +
.
Bài 10: Cho các biểu thức: A = 15x – 23y ; B = 2x + 3y . Chứng minh rằng nếu x, y là các số nguyên và
A chia hết cho 13 thì B chia hết cho 13. Ngược lại nếu B chia hết cho 13 thì A cũng chia hết cho 13.
Bài 11: Cho các biểu thức: A = 5x + 2y ; B = 9x + 7y

a. Rút gọn biểu thức 7A – 2B.
b. Chứng minh rằng: Nếu các số nguyên x, y thỏa mãn 5x + 2y chia hết cho 17 thì 9x + 7y cũng
chia hết cho 17.
Bài 12: Chứng minh rằng:
a.
7 9 13
81 27 9− − chia hết cho 405.
b.
2 1 2
12 11
n n+ +
+
chia hết cho 133.
Bài 13: Cho dãy số 1, 3, 6 , 10, 15,…,
( )
1
2
n n +
, …
Chứng minh rằng tổng hai số hạng liên tiếp của dãy bao giờ cũng là số chính phương.
GV:Phan Xn Duẩn – 0973 488 480
2
Chun đề bồi dưỡng HSG 8 Trường THCS Diễn Ngun
BÀI TẬP ĐẠI SỐ – BDHSG 8
(Hằng đẳng thức- Pt đa thức thành nhân tử)
Bài 1: a)Thực hiện phép tính:
A =
( ) ( )
9 7 23 21 19 17 14 10 9 7
2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 .+ + − + − + − + − +

b) Số
32
2 1+ có là số nguyên tố không?
Bài 2: Hãy viết các số 3599, 889, 9991 dưới dạng tích của hai số tự nhiên khác 1.
Bài 3: Chứng minh rằng biểu thức sau viết được dưới dạng tổng các bình phương của hai biểu
thức :
( ) ( ) ( )
2 2 2
2
2 1 3 2 4 3x x x x+ + + + + +
.
Bài 4: Cho
0; 0.x y z xy yz zx+ + = + + =
Chứng minh rằng
.x y z= =
Bài 5: a) Tính A =
2 2 2 2 2 2
1 2 3 4 ... 99 100 .− + − + − − +
b) Tính A =
( )
2 2 2 2 2
1 2 3 4 ... 1 . .
n
n− + − + − + −
Bài 6: Cho
2 2 2 2
;x y a b x y a b+ = + + = +
.Chứng minh rằng
3 3 3 3
x y a b+ = +

.
Bài 7: Rút gọn biểu thức :
a)
( ) ( )
2 2
2 2a b c b c ab ac− + − − + −
; c)
( )
( ) ( ) ( ) ( )
2 4 8 64
2 1 2 1 2 1 2 1 ... 2 1+ + + + +
;
b)
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
3 1 2 3 1 3 5 3 5x x x x+ − + + + +
; d)
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 4 8 16 32
3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1+ + + + + +
;
Bài 8: a) Cho x + y = 5 .
Tính giá trò của biểu thức A =
( ) ( )
3 3 2 2
2 2 3 4 3 10x y x y xy x y xy x y
+ − − + + − + + +
.
b) Cho x – y = 7. Tính giá trò của biểu thức B =

( ) ( )
2 2 2 37x x y y xy+ + − − +
.
c) Cho x + 2y = 5. Tính giá trò của biểu thức C =
2 2
4 2 10 4 4x y x xy y+ − + + −
.
Bài 9: a) Cho
( )
2 2 2
3 2a b c a b c+ + + = + +
. Chứng minh rằng: a = b = c = 1.
b) Cho
( ) ( )
2
3a b c ab ac bc+ + = + +
. Chứng minh rằng: a = b = c.
c) Cho
2 2 2
a b c ab ac bc+ + = + +
. Chứng minh rằng: a = b = c.
Bài 10: Cho
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2 2 2 2
2 2 2a b b c c a a b c b c a c a b− + − + − = + − + + − + + −
.
Chứng minh rằng: a = b = c.
Bài 11: Cho a,b,c,d là các số khác 0 và
( ) ( ) ( ) ( )
a b c d a b c d a b c d a b c d+ + + − − + = − + − + − −

.
Chứng minh rằng:
a b
c d
=
.
Bài 12: Cho a + b + c = 0. Chứng minh rằng:
3 3 3
3a b c abc+ + =
.
Bài 13: Cho
2 2 2
.a b c m+ + =
Tính giá trò của biểu thức sau theo m:
A =
( ) ( ) ( )
2 2 2
2 2 2 2 2 2 .a b c b c a c a b+ − + + − + + −
Bài 14: Chưng minh rằng các biểu thức sau luôn có gia trò dương với mọi giá trò của biến:
a)
2
1x x+ +
c)
2 2
1x xy y+ + +
.
b)
2
2 2 1x x+ +
d)

2 2 2
4 2 6 8 15x y z x z y+ + − − + +
.
Bài 15: Tìm giá trò nhỏ nhất của các biểu thức:
a)
2
3 5A x x= − +
b)
( ) ( )
2 2
2 1 2B x x= − + +
c)
2 2
2 4 7C x x y y= − + − +
d)
( ) ( ) ( ) ( )
1 2 3 6D x x x x= − + + +
Bài 16: Tìm giá trò lớn nhất của các biểu thức:
a)
2
5 8A x x= − −
b)
2 2
5 2 4 4B x x y y= − + − −
c)
( )
4 2 4 .C x x= − − −
GV:Phan Xn Duẩn – 0973 488 480
3