tài liệu ôn thi TN toán 12

Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (255.34 KB, 26 trang )

ĐỀ CƯƠNG
ÔN TẬP THI TỐT NGHIỆP THPT
NĂM HỌC 2010-2011
-------------
CHƯƠNG TRÌNH BAN CƠ BẢN
MÔN : TOÁN
Phần I : GIẢI TÍCH
CHƯƠNG I : ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT
VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ
I.Các kiến thức cơ bản cần nhớ:
1. Ứng dụng đạo hàm cấp mộ để xét tính đơn điệu của hàm số.Mối liên hệ giữa sự đồng
biến, nghịch biến của một hàm số và dấu đạo hàm cấp một của nó.
2. Cực trị của hàm số: Điều kiện đủ để hàm số có cực trị, các qui tắc tìm cực trị, điểm cực
đại ,ccj tiểu của hàm số.
3. GTLN và GTNN của hàm số :Cách tìm GTLN, GTNN của hàm số trên một đoạn.Quy tắc
tìm GTLN,GTNN của hàm số lien tục trên một đoạn.
4. Đường tiệm cận:Tìm tiệm cận đứng, tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.
5. Khảo sát hàm số: Sự tương giao của hai đồ thị. PTTT của đồ thị hàm số.Các bước khảo
sát và vẽ đồ thị hàm số.
II. Các dạng toán luyện tập:
A.Dạng : Xét dấu các biểu thức sau :
Bài tập- luyện tập:
1. A = 3x -2 ; B = 5 – x ; C = 7x.
2. A = x
2
+ x + 6 ; B = -x
2
+ 2x -12 ; C = x
2
4x – 12
D = -x

2
+8x -16 ; E = 2x
2
+ 5x + 3 ; F = -x
2
+9x + 10
1.Tìm các khoảng đơn điệu và các điểm cực trị của hàm số:
Luyện tập:Tìm các khoảng đồng biến hay nghịch biến của các hàm số sau:
a)
532
2
+−=
xxy
; b)
2
34 xxy
−+=
; c)
283
3
1
23
−+−=
xxxy
d)
13
23
+−=
xxy
; e)

32
24
+−=
xxy
; f)
32
24
−+−=
xxy
g)
x
x
y
−
+
=
1
13
; h)
2
12
+
−
=
x
x
y
; i)
1
2

2
−
−
=
x
xx
y
2. Dạng Tìm cực trị của hàm số:
Luyện tập : tìm các điểm cưc trị của đồ thị các hàm số sau:
1) y = x
2
- 3x +2. 2) y = x
3
- 3x
2
+ 1
3) y = -
23
3
1
3
−+
xx
4) y = x
4
- 2x
2
+ 3 .
5) y =
x

x
1
+
3. Tìm GTLN-GTNN của hàm số:
Luyện tập: Tìm GTLN,GTNN của các hàm số :
1. y = 4x
3
– 3x
4
.
2.
)0(;
)2(
2
>
+
=
x
x
x
y
3. Tìm GTLN, GTNN của hàm số f(x) = x
3
– 3x
2
– 4 trên :
a) [ -1 ;
2
1
] ; b) [

2
1
;3 ] ; c) [3 ; 5 ] .
4. Tìm GTLN ,GTNN của hàm số f(x) =
65
2
+−
xx
trên đoạn [-5 ; 5]
4. Giới hạn - Tiệm cận
Luyện tập : Tìm tiệm cận của đồ thị các hàm số sau :
1.
x
x
y
−
=
2
, 2.
x
x
y
32
−
=
, 3.
2
9
2
x

x
y
−
+
=
,
4.
2
1
+
=
x
y
, 5.
1
32
2
−
+−
=
x
xx
y
, 6.
12
63
2
+
−+−
=

x
xx
y
,
7.
32
1
2
+
−
=
x
x
y
III.Bài tập :
Bài 1 :Chứng minh các đẳng thức sau ;
1. xy’+ y = 3 , với hàm số y =
x
5
3
+
( x
≠
0 ).
2. xy – 2(y’ – sinx) + xy’’ = 0, với hàm số y = x.sinx.
3.
x
eyy
=−
'

,với hàm số y = (x + 1)
x
e
.
4. y’.cosx – y.sinx - y’’ = 0, với hàm số y = e
sinx
.
Bài 2: Lập bảng xét dấu đạo hàm y’ và kết luận tính đồng biến, nghịch biến và cực trị của
các hàm số sau:
1. y= x
3
-3x+5
3. y=
1
3
x
3
+x
2
-3
5. y= x
4
-2x
2
7. y=
4
2
x 3
x
2 2

+ -
9. y=
x 1
x 1
+
-
2. y= -x
3
+3x
2
-1
4. y= -x
3
+2x
2
-3x
6. y= -
1
4
x
4
+2x
2
8. y= -x
4
+10x
2
-9
10. y=
2x 1

4 2x
-
-
Bài 3:
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số:
1. y= x
2
-4x+3
3. y= 2x
3
-3x
2
-12x+10 trên đoạn [-3;3]
5. y=x
3
+3x
2
-9x-7 trên đoạn [-4;3]
7. y= x
4
-2x
2
trên đoạn [0;2]
9. y=
4 2
x 2x 2- +
trên đoạn [-2;1]
11.
3
4

2sinx- sin
3
y x=
trên đoạn [0;π]
2. y= -x
2
+6x-1
4. y= -3x
2
+4x-8 trên đoạn [0;1]
6. y= -x
3
+3x+2 trên đoạn [-1;3]
8. y= -
1
4
x
4
+2x
2
trên đoạn [-3;1]
10. y=
5 4x-
trên đoạn [-1;1] 12.
2 os2x+4sinxy c=
x∈[0;π/2]
Bài 4.
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y=x
3
+3x

2
+1
b. Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình x
3
+3x
2
+1-m=0
c. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi (C) , Ox và 2 đường thẳng x=-2, x=0
Bài 5.
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y=-x
3
+3x+1
b. Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình x
3
-3x+m-1=0
c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 1
Bài 6.
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y= -x
3
+3x
2
-4x+2
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ x
0
, biết rằng y”(x
0
)=0
c. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi (C) , Ox và Oy
Bài 7.
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y=x

3
-3x+1
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của nó với trục tung
c. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi (C), trục hoành và 2 đường thẳng x=0, x=1
Bài 8.
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y = x
3
– 3x +5
b. Dùng đồ thị (C), biện luận theo k số nghiệm của phương trình:x
3
– 3x – k +4 = 0
c. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C) và đường thẳng (D): y = 3.
Bài 9.
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y=-x
3
+3x
2
-2
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng -1
c. Tính thể tích vật thể tròn xoay được sinh ra bỡi hình phẳng giới hạn bỡi (C), Ox,
x=1, x=2 quay quanh Ox
Bài 10.
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y=x
4
-2x
2
+1
b. Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm phương trình x
4
-2x

2
=m-1
c. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi (C) và trục hoành
Bài 11.
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y=
4
2
x 3
x
2 2
- - +
b. Tính thể tích vật thể tròn xoay sinh ra bỡi (C) quay quanh Ox
c. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của nó với trục Ox
Bài 12.
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) củahàm số y=x
4
+2x
2
-3
b. Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình x
4
+2x
2
-3-m=0
c. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi (C) và đường thẳng y=3x-3
Bài 13.
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y= 2x
2
- x
4

b. Dùng đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình x
4
-2x
2
+m=0
c. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi (C) và Ox
Bài 14.
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
x 2
y
x 2
+
=
-
.
b. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), tiệm cận ngang của nó và các đường
thẳng x = 3, x = 4.
Bài 15.
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
x 1
y
x 1
-
=
+
.
b. CMR (C) luôn cắt (d): y=m-x với mọi giá trị của m
Bài 16.
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số
1

1
−
+
=
x
x
y
b. Biện luận theo m số giao điểm của (C) và đường thẳng y= mx - 1
c. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi (C), Oy và Ox
Bài 17.
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y =
x 3
1 x
+
-
.
b.Cho điểm A có hoành độ
2 3
thuộc (C).Viết PT tiếp tuyến của (C) tại A
Bài 18.
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y=
2 x
2x 1
-
+
b. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 0
c. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi (C), trục tung và trục hoành
Bài 19. Cho hàm số y = x
3
-3mx

2
+3(2m-1)x+1
a. Xác định m để hàm số đồng biến trên TXĐ
b. Với giá trị nào của m thì hàm số có một cực đại và một cực tiểu?
c. Xác định m để y”>6x
Bài 20.Cho hàm số y = f(x) = x(3 –x)
2
có đồ thị (C)
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số .
b. Một đường thẳng (d) đi qua O và có hệ số góc k . Với giá trị nào của k thì (d) cắt
(C) tại 3 điểm phân biệt O;A;B ?
Bài 21. Cho hàm số y= x
3
– mx
2
+ 1 .
a. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = -3 .
b. Tìm m để hàm số có cực trị .
Bài 22. Cho hàm số y = f(x) =
mx
mxm
−
+−
)1(
, m
≠
0 .
a. Tìm m để hàm số luôn đồng biến
b. Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số khi m = 2 . Gọi (C) là đồ thị .
c. Biện luận theo k số giao điểm của (C) và đường thẳng (d) : y = -4x + k .

Bài 23. Cho hàm số y =
1
43
−
+
x
x
.
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b. Xác định a để đường thẳng y = ax + 3 không cắt (C)
Bài 24. Cho hàm số y= -x
4
+2(m + 1)x
2
–2m – 1
a. Tìm m để hàm số có 3 cực trị
b. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m=0 ..
c.Tính diện tích hình phẳng giới hạn bỡi (C) và trục hoành
Bài 25. Cho hàm số y = - x
4
+ 2x
2
+3
a. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
b. Dựa vào (C), hãy xác định các giá trị m để phương trình x
4
- 2x
2
+ m =0 có
4 nghiệm phân biệt.

Bài 26. Cho hàm số y = x
4
+ 2(m – 2)x
2
+ m
2
-5m + 5 (C
m
)
a. Khảo sát hàm số khi m = 1
b. Tìm m để hàm số có 3 cực trị
c. Tìm m để (C
m
) cắt 0x tại 4 điểm phân biệt
CHƯƠNG II :
HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ,HÀM SỐ LÔGARIT
I/Những kiến thức cần nhớ
Khái niệm và các tính chất của lũy thừa với số mũ nguyên, số mũ hữu tỉ
Khái niệm và các tính chất của lôgarit,qui tắc tính lôgarit, qui tắc đổi cơ số của lôgarit
Khái niệm lôgarit thập phân,lôgarit tự nhiên
Khái niệm và tính chất của hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit
Công thức tính đạo hàm của các hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số lôgarit
II/ Các kĩ năng cần có:
Biết dùng các tính chất của lũy thừa để đơn giản biểu thức,so sánh những biểu thức có chứa
lũy thừa
Vận dụng định nghĩa để tính một số biểu thức chứa lôgarit đơn giản.
Vận dụng các tính chất cuả lôgarit vào các bài tập biến đổi,tính toán các biểu thức chứa
lôgarit.
Vận dụng tính chất của các hàm số mũ, hàm số lôgarit vào việc so sánh hai số,hai biểu thức
chứa mũ và lôgarit.

Tính đạo hàm các hàm số y = e
x
, y = lnx .
Giải được một số phương trình, bất phương trình mũ đơn giản bằng các phương pháp đưa
về lũy thừa cùng cơ số, dùng ẩn phụ,sử dụng tính chất của hàm số.
Giải được một số phương trình, bất phương trình lôgarit đơn giản bằng các phương pháp
đưa về lôgarit cùng cơ số, dùng ẩn phụ,sử dụng tính chất của hàm số.
III/ Một số ví dụ:
VD1: Đơn gia
̉
n ca
́
c biê
̉
u thư
́
c sau :

4 1 2
3 3 3
1 3 1
4 4 4
a (a a )
a (a a )
−
−
+
+
(a>0)
Giải:

4 1 2 4 1 4 2
2
3 3 3 3 3 3 3
1 3 1 1 3 1 1
4 4 4 4 4 4 4
a (a a ) a a a a
a
a 1
a (a a ) a a
− − +
− + −
+ + +
= = =
+
+ +
VD2: Tính giá trị biểu thức sau : A= log
3
log
2
8
Giải:
A= log
3
log
2
8 = log
3
3 = 1
VD3: So sánh:
a/ 3

20
và 2
30
b/log
3
15 và log
3
17
Giải:
a/ 3
20
= 9
10
; 2
30
= 8
10
9
10
> 8
10

⇒
3
20
> 2
30
b/ Ta có 17>15 và cơ số 3 > 1 nên log
3
15 < log

3
17
VD4: Tính đạo hàm của hàm số:
y = 2xe
x
– lnx
Giải:
y
'
= 2e
x
+ 2xe
x
-
1
x
VD5: Tìm tập xác định của hàm số:
a/ y = ( 4x + 3)
-2
b/ y = log
3
(x+5)
Giải:
a/ y xác định ⇔ 4x +3
≠
0 ⇔
3
x
4
≠ −

. Tập xác định D=R\{-3/4}
b/ y xác định ⇔ x + 5 >0 ⇔ x > -5 . Tập xác định D= (-5;+
∞
)
VD6:Giải các phương trình:
a/
2
x 1
x 2x 3
1
7
7
+
− −
 
=
 ÷
 
b/ 2.16
x
- 17.4
x
+ 8 = 0
Giải:
a/
2
x 1
x 2x 3
1
7

7
+
− −
 
=
 ÷
 
⇔
2
x 2x 3 x 1
7 7
− − − −
=
⇔
x
2
- 2x - 3 =-x -1
⇔
x
2
– x - 2 = 0
⇔
x = -1 ; x = 2
PT có 2 nghiệm x = -1 ; x = 2
b/ Đặt 4
x
= t > 0. PT trở thành: 2t
2
- 17t + 8 = 0
⇔

t=8; t =
1
2

t = 8
⇔
4
x
=8
⇔
2
2x
= 2
3
⇔
x =
3
2
t =
1
2

⇔
4
x
=
1
2

⇔

2
2x
=2
-1
⇔
x =
1
2
−
PT có 2 nghiệm x =
3
2
;x =
1
2
−
VD7:Giải các phương trình:
a/ log
4
(x + 2) = log
2
x b/ log
2

5
x + log
5
x

- 2= 0

Giải:
ĐK: x > 0
a/ log
4
(x + 2) = log
2
x
⇔
log
2
(x + 2) = log
2
x
2

⇔
x
2
– x – 2 = 0
⇔
x = 2; x = -1(loại)
PT có nghiệm x = 2
b/ ĐK: x > 0
Đặt log
5
x= t. PT trở thành: t
2
+ t - 2 = 0
⇔
t = 1; t = -2

t = 1
⇔
log
5
x =1
⇔
x = 5
t = -2
⇔
log
5
x = - 2
⇔
x =
1
25
PT có 2 nghiệm x = 5; x =
1
25
IV/ Bài tập
Bài 1:Tính
-0,75 5
-
2
3 2 1- 2 -4- 2
3+ 5
2+ 5 1+ 5
1
a) + 0,25
16

b) 4 .2 .2
6
c)
2 .3
 
 ÷
 
3
1
log 4
2
5log 2
3
d) 3
e) log log 8
3 2
g) 2log log1000
27
1
h)
9
 
 ÷
 
Bài 2: Rút gọn
1
3
1
1
6

3
2
4
3
3
a) a a
b) b .b b
c) a : a
3
7 7 7
2 2
3 3
1
d) log 36 log 14 3log 21
2
1
log 24 log 72
2
e)
1
log 18 log 72
3
− −
−
−
Bài 3: Giải các phương trình:
1/
− −
 
 

=
 ÷
 ÷
 
 
2x 3 3x 7
7 11
11 7
2/
 
 ÷
 
x+1
5x-7
2
(1,5) =
3
3/ 7
(x – 1)
= 2
x
2
x 5x 6
4 / 5 1
− −
=
2
x 2x 3
x 1
1

5 / 7
7
− −
+
 
=
 ÷
 
6/ ln(x + 1) + ln(x + 3) = ln(x + 7)
7/ log
4
log
2
x + log
2
log
4
x = 2
8/ log
2
x + log
2
(x + 1) = 1
9/ log(x
2
– 6x + 7) = log(x – 3)
10/ log
2
(3 – x) + log
2

(1 – x) = 3
Bài 4: Giải các phương trình:
1) 4
x
+ 2
x+1
– 8 = 0
2)
16 17.4 16 0
x x
− + =
3)
1
49 7 8 0
x x
+
+ − =
4) 5
x-1
+ 5
3 – x
= 26
5) 9
x
+ 6
x
= 2. 4
x

6) 4

x
– 2. 5
2x
= 10
x

7) 27
x
+ 12
x
= 2. 8
x
8)
2
2
2
log 3.log 2 0x x
− + =
9)
9
4log log 3 3
x
x
+ =
10)
( ) ( )
3
2
2 2
2log 1 log – 1 5x x

− + =
11)
2
2 2
log ( 3) log 3 5x x
− + − =

12)
2
2 8
log -9log 4x x =
13)
4lglg3lg
22
−=−
xxx
Bài 5: Giải các bất phương trình:
1)
13
52
>
+
x

2) 27
x
<
3
1

3)
4
2
1
45
2
>






+−
xx

4)
2
1
2
log ( -5 - 6) -3x x
≥
5) log
0,8
(x
2
+ x + 1) < log
0,8
(2x + 5)
6) log

2
(x + 4)(x + 2)
6
−≤

CHƯƠNG III :
NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG
I) Những kiến thức cần nhớ :
1. Định nghĩa , tính chất của nguyên hàm, bảng nguyên hàm của một só hàm số sơ cấp .
Phương pháp đổi biến số, P
2
tính nguyên hàm từng phần.(các tính chất của luỹ thừa , căn
thức và các phép biến đổi ngược lại)
2. ĐN và các tính chất của tích phân .Tính tích phân của một hàm số bằng định nghĩa, bằng
P
2
đổi biến số, P
2
tích phân từng phần.
3. Diện tích các hình phẳngvà thể tích các vật thể tròn xoay đơn giản.
II) Các dạng toán :
1.Tính nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất :
Luyện tập : Tính :
a)
∫
−
dxx )3(
2
=
Cx

x
dxdxx
+−=−
∫∫
3
3
3
3
2
b)
Cxx
x
x
dx
dxxdxdx
x
xx
++−=+−=
+−
∫∫ ∫ ∫
ln52
2
52
52
22
Bài tập : Tìm họ các nguyên hàm của các hàm số sau :
1.
∫
+
dxx )13(

2.
∫
+−
dxxx )
3
1
4(
3
3.
∫
+−
dxxxxx )3(
2
4.
dx
x
xxx
)
53
(
2
∫
+−
5.
∫
+
−
dx
x
x

)
3
12
(
6.
dx
x
xx
∫
+
+−
2
65
(
2
2..Tính nguyên hàm bằng P
2
đổi biến số ( Chú ý công thức vi phân : y = f(x)  dy = f’(x)dx
hoặc dy = y’dx )
Luỵen tập :
Ví dụ ; Tính :
1.
∫
+
dxx
10
)1(
đặt : u = x+1
dxdxxdu
=+=⇒

)'.1(

⇒

∫
+
dxx
10
)1(
=
=
∫
duu
10

C
x
C
u
+
+
=+
11
)1(
11
1111
2.
dxex
x
2

.
∫
đặt : u = x
2

dxx
du
.
2
=⇒

⇒

dxex
x
2
.
∫
=
∫
due
u
.
2
1
=
CeCe
xu
+=+
2

2
1
2
1
Bài tập : Tìm họ các nguyên hàm của các hàm số sau :
1.
∫
−
dxx
7
)52(
2.
∫
− dxxx )8(5
2
3.
∫
+
43
.5
2
x
dxx
4.
∫
−
dxxx 82
2
5.
∫

+
53
2
x
xdx
6.
∫
+
13
5
x
dx
7.
dxxxSin .cos.
2
∫
8.
∫
+
dxxx .)2(
632
9.
∫
−
2
)21(
.7
x
dx
10.

∫
xx
dx
ln.
11.
∫
dxxe
x
.cos.
sin
12.
∫
+
dxxx .cos.sin41
3. P
2
tính nguyên hàm từng phần : ( Chú ý công thức :
∫ ∫
−=
duvvudvu ...
.
Và vân dụng bảng sau đây để đặt trước khi áp dụng công thức).
∫
dxexP
x
)(
xdxxP cos)(
∫
∫
xdxxP ln)(

sxdxcoe
x
∫
u P(x) P(x) lnx
ex
hoặc cosx
dv e
x
dx cosx dx P(x)dx cosxdx hoặc e
x
dx
Luyện tập
Ví dụ : Tính
1.
dxxx .sin.
∫
Đặt :



=
=
dxxdv
xu
.sin




−=

=
⇒
xv
dxdu
cos

∫∫
+−=⇒
dxxosxcxdxxx .cos..sin
= -x cosx + sinx + C
2.
∫
xdxx ln.
Đặt :







=
=
⇒



=
=
2

.
ln
2
x
v
x
dx
du
dxxdv
xu
∫ ∫
+−=−=⇒
C
x
x
x
dxxx
x
xdxx
4
ln.
2
.
2
1
ln.
2
ln
222
Bài tập: Tìm họ các nguyên hàm của các hàm số sau :

1.
∫
dxxx .cos.
2.
∫
+
dxxx .sin)23(
3.
∫
dxex
x3
.
4.
∫
dxex
x
.
2
5.
∫
dxxe
x
.cos.
6.
∫
dxx.ln
7.
∫
dxxx .ln.2
8.

∫
dxxx .ln.
2
4 Tính tích phân bằng định nghĩa và vận dụng các tính chất của tích phân.
Chú ý vận dụng các tính chất sau:
+
∫∫
=
b
a
b
a
dxxfkdxxfk )()(.
+
[ ]
∫ ∫∫
±=±
b
a
b
a
b
a
dxxgdxxfdxxgxf )()()()(
Luyện tập :
Ví dụ :

[ ]
12
17