Tổng hợp các dạng toán thi vào lớp 10

ôn thi vào lớp 10 môn toán
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Dạng I : rút gọn biểu thức
Có chứa căn thức bậc hai
I/ Biểu thức số học
Ph ơng pháp:
Dùng các phơng pháp biến đổi căn thức(đa ra ; đa vào; ;khử; trục; cộng,trừ căn thức đồng dạng;
rút gọn phân số) để rút gọn biểu thức.
Bài tập:
Thực hiện phép tính:
1)
2 5 125 80 605 +
;
2)
10 2 10 8
5 2 1 5
+
+
+
;
3)
15 216 33 12 6 +
;
4)
2 8 12 5 27
18 48 30 162
+

+
;
5)

2 3 2 3
2 3 2 3
+
+
+
;
6)
16 1 4
2 3 6
3 27 75

;
7)
4 3
2 27 6 75
3 5
+
;
8)
( )
3 5. 3 5
10 2
+
+
9)
8 3 2 25 12 4 192 +
;
10)
( )
2 3 5 2 +

;
11)
3 5 3 5 + +
;

-------------
12)
4 10 2 5 4 10 2 5+ + + +
;
13)
( ) ( )
5 2 6 49 20 6 5 2 6+
;
14)
1 1
2 2 3 2 2 3
+
+ +
;
15)
6 4 2 6 4 2
2 6 4 2 2 6 4 2
+
+
+ +
;
16)
( )
2
5 2 8 5

2 5 4
+

;
17)
14 8 3 24 12 3
;
18)
4 1 6
3 1 3 2 3 3
+ +
+
;
19)
( ) ( )
3 3
2 1 2 1+
20)
3 3
1 3 1 1 3 1
+
+ + +
.
II/ Biểu thức đại số:
Ph ơng pháp:
- Phân tích đa thức tử và mẫu thành nhân tử;
- Tìm ĐKXĐ (Nếu bài toán cha cho ĐKXĐ)
- Rút gọn từng phân thức(nếu đợc)
- Thực hiện các phép biến đổi đồng nhất nh:
+ Quy đồng(đối với phép cộng trừ) ; nhân ,chia.

+ Bỏ ngoặc: bằng cách nhân đơn ; đa thức hoặc dùng hằng đẳng thức
+ Thu gọn: cộng, trừ các hạng tử đồng dạng.
+ Phân tích thành nhân tử rút gọn
Chú ý: - Trong mỗi bài toán rút gọn thờng có các câu thuộc các loại toán: Tính giá trị biểu thức;
giải phơng trình; bất phơng trình; tìm giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên; tìm giá trị nhỏ
nhất ,lớn nhấtDo vậy ta phải áp dụng các phơng pháp giải tơng ứng, thích hợp cho từng loại bài.
1
ôn thi vào lớp 10 môn toán
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
ví dụ:
Cho biểu thức:
12
1
:
1
11
+
+









+

=

aa
a
aaa
P
a/ Rút gọn P.
b/ Tìm giá trị của a để biểu thức P có giá trị nguyên.
Giải: a/ Rút gọn P:
- Phân tích:
2
)1(
1
:
1
1
)1(
1

+







+

=
a
a

aaa
P
- ĐKXĐ:
101
;0

>
aa
a

- Quy đồng:
1
)1(
.
)1(
1
2
+


+
=
a
a
aa
a
P
- Rút gọn:
.
1

a
a
P

=
b/ Tìm giá trị của a để P có giá trị nguyên:
- Chia tử cho mẫu ta đợc:
a
P
1
1
=
.
- Lý luận: P nguyên
a
1

nguyên
a

là ớc của 1 là
1

.



=

=

11
)(1
a
ktm
a
Vậy với a = 1 thì biểu thức P có giá trị nguyên.
Bài tập:
Bài 1: Cho biểu thức
x 1 x x x x
A =
2
2 x x 1 x 1

+

ữ ữ
ữ ữ
+

a) Rút gọn biểu thức A;
b) Tìm giá trị của x để A > - 6.
Bài 2: Cho biểu thức
x 2 1 10 x
B = : x 2
x 4
2 x x 2 x 2



+ + +

ữ
ữ
ữ

+ +


a) Rút gọn biểu thức B;
b) Tìm giá trị của x để A > 0.
Bài 3: Cho biểu thức
1 3 1
C =
x 1 x x 1 x x 1
+
+ +
a) Rút gọn biểu thức C;
b) Tìm giá trị của x để C < 1.
Bài 4: Rút gọn biểu thức :
2 2
2 2
x 2 x 4 x 2 x 4
D =
x 2 x 4 x 2 x 4
+ + +
+
+ + +

2
ôn thi vào lớp 10 môn toán
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Bài5: Cho các biểu thức:
2x 3 x 2
P =
x 2


và
3
x x 2x 2
Q =
x 2
+
+
a) Rút gọn biểu thức P và Q;
b) Tìm giá trị của x để P = Q.
Bài 6: Cho biểu thức:
2x 2 x x 1 x x 1
P =
x x x x x
+ +
+
+
a) Rút gọn biểu thức P
b) So sánh P với 5.
c) Với mọi giá trị của x làm P có nghĩa, chứng minh biểu thức
8
P
chỉ nhận đúng một giá trị nguyên.
Bài 7: Cho biểu thức:
3x 9x 3 1 1 1

P = :
x 1
x x 2 x 1 x 2

+
+ +
ữ
ữ

+ +

a) Tìm điều kiện để P có nghĩa, rút gọn biểu thức P;
b) Tìm các số tự nhiên x để
1
P
là số tự nhiên;
c) Tính giá trị của P với x = 4 2
3
.
Bài 8: Cho biểu thức :
x 2 x 3 x 2 x
P = : 2
x 5 x 6 2 x x 3 x 1

+ + +

ữ ữ
ữ ữ
+ +

a) Rút gọn biểu thức P;
Tìm x để
1 5
P 2

Bài 9: Cho biểu thức :
P =









+
+








+


a

a
aa
a
a
aa
1
1
.
1
1

a) Rút gọn P
b) Tìm a để P<
347

Bài 10: Cho biểu thức:
P =

+


+
+
1
3
22
:
9
33
33
2
x
x
x
x
x
x
x
x
a) Rút gọn P
b) Tìm x để P <

2
1
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P
Bài 11: Cho biểu thức :
3
ôn thi vào lớp 10 môn toán
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
P =








+





+

3
2
2
3
6
9
:1
9
3
x
x
x
x
xx
x
x
xx
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P<1
Bài 12: Cho biểu thức :
P =
3
32
1
23

32
1115
+
+



+
+

x
x
x
x
xx
x
a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của x để P=
2
1
c) Chứng minh P
3
2

Bài 13: Cho biểu thức:
P =
2
2
44
2

mx
m
mx
x
mx
x



+
+
với m > 0
a) Rút gọn P
b) Tính x theo m để P = 0.
c) Xác định các giá trị của m để x tìm đợc ở câu b thoả mãn điều kiện x >1
Bài 14: Cho biểu thức :
P =
1
2
1
2
+
+

+
+
a
aa
aa
aa

a) Rút gọn P
b) Tìm a để P = 2
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P ?
Bài 15: Cho biểu thức
P =








+

+

+
+










+

+
+
+
1
11
1
:1
11
1
ab
aab
ab
a
ab
aab
ab
a

a) Rút gọn P
b) Tính giá trị của P nếu a =
32

và b =
31
13
+

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của P nếu
4
=+

ba
Bài 16: Cho biểu thức :
P =








+

+

+






+
+
+



1
1

1
1111
a
a
a
a
a
a
aa
aa
aa
aa
a) Rút gọn P
b) Với giá trị nào của a thì P = 7
c) Với giá trị nào của a thì P > 6
Bài 17: Cho biểu thức:
4
ôn thi vào lớp 10 môn toán
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
P =









+

+










1
1
1
1
2
1
2
2
a
a
a
a
a
a
a) Rút gọn P
b) Tìm các giá trị của a để P < 0
c) Tìm các giá trị của a để P = -2
Bài 18: Cho biểu thức:

P =
( )
ab
abba
ba
abba

+
+
.
4
2
a) Tìm điều kiện để P có nghĩa.
b) Rút gọn P
c) Tính giá trị của P khi a =
32
và b =
3
Bài 19: Cho biểu thức :
P =
2
1
:
1
1
11
2

+
++
+

+
x
xxx
x
xx
x
a) Rút gọn P
b) Chứng minh rằng P > 0

x
1

Bài 20: Cho biểu thức :
P =

++
+












+
1
2
1:
1
1
1
2
xx
x
xxx
xx
a) Rút gọn P

b) Tính
P
khi x =
325
+
Bài 21: Cho biểu thức:
P =
xx
x
x
x 24
1
:
24
2
4
2
3
2
1
:1

+
+
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của x để P = 20
Bài 22: Cho biểu thức :
P =
( )
yx
xyyx
xy
yx
yx
yx
+
+

+


2
33
:
a) Rút gọn P
b) Chứng minh P
0

Bài 23: Cho biểu thức :
P =








++

+
+
+
baba
ba
bbaa
ab
babbaa
ab
ba
:
31
.
31
a) Rút gọn P
5
ôn thi vào lớp 10 môn toán

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
b) Tính P khi a =16 và b = 4
Bài 24: Cho biểu thức:
P =
12
.
1
2
1
12
1











+


+
+
a
aa
aa

aaaa
a
aa
a) Rút gọn P
b) Cho P =
61
6
+
tìm giá trị của a
c) Chứng minh rằng P >
3
2
Bài 25: Cho biểu thức:
P =










+
+
+

+

3
5
5
3
152
25
:1
25
5
x
x
x
x
xx
x
x
xx
a) Rút gọn P
b) Với giá trị nào của x thì P < 1

Bài 26: Cho biểu thức:
P =
( )
( )
baba
baa
babbaa
a
baba
a
222
.1
:
133
++










+


++
a) Rút gọn P

b) Tìm những giá trị nguyên của a để P có giá trị nguyên
Bài 27: Cho biểu thức:
P =









+


+








1
2
2
1
:
1

1
1
a
a
a
a
aa
a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị của a để P >
6
1
Bài 28: Cho biểu thức:
P =
33
33
:
112
.
11
xyyx
yyxxyx
yx
yxyx
+
+++

++
+








+
a) Rút gọn P
b) Cho x.y=16. Xác định x,y để P có giá trị nhỏ nhất
Bài 29: Cho biểu thức :
P =
x
x
yxyxx
x
yxy
x


+


1

1
.
22
2
2
3
a) Rút gọn P
b) Tìm tất cả các số nguyên dơng x để y=625 và P<0,2
Bài 30: Cho biểu thức:
P =
.
1
1
1
1
1
2
:1









+

++

+
+

+
x
x
xx
x
xx
x
a) Rút gọn P
6
ôn thi vào lớp 10 môn toán
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
b) So sánh P với 3
Dạng ii:
đồ thị
)0(&)0(
'2'
=+=
axayabaxy
và tơng quan giữa chúng
I/. iểm thuc ng ng i qua im.
im A(x
A
; y
A
) thuc th hm s y = f(x) y
A
= f(x

A
).
Vớ d 1: Tỡm h s a ca hm s: y = ax
2
bit th hm s ca nú i qua im A(2;4)
Gii:
Do th hm s i qua im A(2;4) nờn: 4 = a.2
2
a = 1
Vớ d 2: Trong mt phng ta cho A(-2;2) v ng thng (d) cú phng trỡnh:
y = -2(x + 1). ng thng (d) cú i qua A khụng?
Gii:
Ta thy -2.(-2 + 1) = 2 nờn im A thuc v o ng thng (d)
II.Cỏch tỡm giao im ca hai ng y = f(x) v y = g(x).
Bc 1: Honh giao im l nghim ca phng trỡnh f(x) = g(x) (*)
Bc 2: Ly nghim ú thay vo 1 trong hai cụng thc y = f(x) hoc y = g(x) tỡm tung giao
im.
Chỳ ý: S nghim ca phng trỡnh (*) l s giao iểm ca hai ng trờn.
III.Quan h gia hai ng thng.
Xột hai ng thng : (d
1
) : y

= a
1
x + b
1
. và (d
2
) : y

= a
2
x + b
2
.
a) (d
1
) ct (d
2
) a
1
a
2
.
b) d
1
) // (d
2
)
c) d
1
) (d
2
)
d) (d
1
) (d
2
) a

1
a
2
= -1
IV.Tỡm iu kin 3 ng thng ng qui.
Bc 1: Gii h phng trỡnh gm hai ng thng khụng cha tham s tỡm (x;y).
Bc 2: Thay (x;y) va tỡm c vo phng trỡnh cũn li tỡm ra tham s .
V.Quan h gia (d): y = ax + b v (P): y = a

x
2
(a

0).
1.Tỡm ta giao im ca (d) v (P).
Bc 1: Tỡm honh giao im l nghim ca phng trỡnh:
a

x
2
= ax + b (#)

a

x
2
- ax b = 0
Bc 2: Ly nghim ú thay vo 1 trong hai cụng thc y = ax +b hoc y = ax
2
tỡm tung giao

im.
Chỳ ý: S nghim ca phng trỡnh (#) l s giao im ca (d) v (P).
7
ôn thi vào lớp 10 môn toán
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2.Tỡm iu kin (d) v (P) cắt;tiếp xúc; không cắt nhau:
Từ phơng trình (#) ta có:
baabaxxa .4)(0
'22'
+==
a) (d) v (P) ct nhau phng trỡnh (#) cú hai nghim phõn bit
0
>
b) (d) v (P) tip xỳc vi nhau phng trỡnh (#) cú nghim kộp
0=
c) (d) v (P) khụng giao nhau phng trỡnh (#) vụ nghim
0
<
VI.Vit phng trỡnh ng thng y = ax + b :
1.Biết quan h v h s gúc(//hay vuông góc) v i qua im A(x
0
;y
0
)
Bc 1: Da vo quan h song song hay vuụng gúc để tỡm h s a.
Bc 2: Thay a va tỡm c v x
0
;y
0
vo cụng thc y = ax + b tỡm b.

2.Bit th hm s i qua im A(x
1
;y
1
) v B(x
2
;y
2
).
Do th hm s i qua im A(x
1
;y
1
) v B(x
2
;y
2
) nờn ta cú h phng trỡnh:
Gii h phng trỡnh tỡm a,b.
3.Bit th hm s i qua im A(x
0
;y
0
) v tip xỳc vi (P): y = a

x
2

+) Do ng thng i qua im A(x
0

;y
0
) nờn cú phng trỡnh :
y
0
= ax
0
+ b
+) Do th hm s y = ax + b tip xỳc vi (P): y = a

x
2
nờn:
Pt: a

x
2
= ax + b cú nghim kộp
+) Giải hệ



=
+=
0
00
baxy
tỡm a,b.
VII.Chng minh ng thng luụn i qua 1 im c nh ( gi s tham s l m).
+) Gi s A(x

0
;y
0
) l im c nh m ng thng luụn i qua vi mi m, thay x
0
;y
0
vo phng
trỡnh ng thng chuyn v phng trỡnh n m h s x
0
;y
0
nghim ỳng vi mi m.
+) ng nht h s ca phng trỡnh trờn vi 0 gii h tỡm ra x
0
;y
0
.
VIII.Tìm khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ A; B
Gọi x
1
; x
2
lần lợt là hoành độ của A và B; y
1
,y
2
lần lợt là tung độ của A và B
Khi đó khoảng cách AB đợc tính bởi định lý Pi Ta Go trong tam giác vuông ABC:
2

12
2
12
22
)()( yyxxBCACAB
+=+=
8
ôn thi vào lớp 10 môn toán
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
IX. Mt s ng dng ca th hm s :
1.ng dng vo phng trỡnh.
2.ng dng vo bi toỏn cc tr.
bài tập về hàm số .
Bài 1 . cho parabol (p): y = 2x
2
.
1. tìm giá trị của a,b sao cho đờng thẳng y = ax+b tiếp xúc với (p) và đi qua A(0;-2).
2. tìm phơng trình đờng thẳng tiếp xúc với (p) tại B(1;2).
3. Tìm giao điểm của (p) với đờng thẳng y = 2m +1.
Bài 2 : Cho (P)
2
2
1
xy
=
và đờng thẳng (d): y = ax + b .
1. Xác định a và b để đờng thẳng (d) đi qua điểm A(-1;0) và tiếp xúc với (P).
2. Tìm toạ độ tiếp điểm.
Bài 3 : Cho (P)
2

xy
=
và đờng thẳng (d) y = 2x + m
1. Vẽ (P)
2. Tìm m để (P) tiếp xúc (d)
3. Tìm toạ độ tiếp điểm.
Bài 4 : Cho (P)
4
2
x
y
=
và (d): y = x + m
1. Vẽ (P)
2. Xác định m để (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
3. Xác định phơng trình đờng thẳng (d') song song với đờng thẳng (d) và cắt (P) tại điẻm có tung
độ bằng -4
4. Xác định phơng trình đờng thẳng (d'') vuông góc với (d') và đi qua giao điểm của (d') và (P)
Bài 5 : Cho hàm số (P):
2
xy
=
và hàm số(d): y = x + m
1. Tìm m sao cho (P) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt A và B
2. Xác định phơng trình đờng thẳng (d') vuông góc với (d) và tiếp xúc với (P)
3. Tìm m sao cho khoảng cách giữa hai điểm A và B bằng
23
Bài 6 : Cho điểm A(-2;2) và đờng thẳng (
1
d

) y = -2(x+1)
1. Điểm A có thuộc (
1
d
) không ? Vì sao ?
2. Tìm a để hàm số (P):
2
.xay
=
đi qua A
3. Xác định phơng trình đờng thẳng (
2
d
) đi qua A và vuông góc với (
1
d
)
4. Gọi A và B là giao điểm của (P) và (
2
d
) ; C là giao điểm của (
1
d
) với trục tung . Tìm toạ độ
của B và C . Tính chu vi tam giác ABC?
Bài 7 : Cho (P)
2
4
1
xy

=
và đờng thẳng (d) đi qua hai điểm A và B trên (P) có hoành độ lần lợt là
-2 và 4
9
ôn thi vào lớp 10 môn toán
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1.Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số trên
2.Viết phơng trình đờng thẳng (d)
3.Tìm điểm M trên cung AB của (P) tơng ứng hoành độ
[ ]
4;2

x
sao cho tam giác MAB có diện
tích lớn nhất.
(Gợi ý: cung AB của (P) tơng ứng hoành độ
[ ]
4;2

x
có nghĩa là A(-2;
A
y
) và B(4;
B
y
)

tính
BA

yy ;
;
;S
MAB
có diện tích lớn nhất

M là tiếp điểm của đờng thẳng (d
1
)với (P)và(d
1
)//(d).
Bài 8 : Cho (P):
4
2
x
y
=
và điểm M (1;-2)
1. Viết phơng trình đờng thẳng (d) đi qua M và có hệ số góc là m
HD: Phơng trình có dạng:
baxy
+=
mà a = m. thay x = 1; y = -2 tính b = - m-2. vậy PT:
.2
=
mmxy
2. Chứng minh: (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B khi m thay đổi
3. Gọi
BA
xx ;

lần lợt là hoành độ của A và B .Xác định m để
22
BABA
xxxx
+
đạt giá trị nhỏ nhất và
tính giá trị đó?
Bài 9 : Cho hàm số (P):
2
xy
=
1. Vẽ (P)
2. Gọi A,B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lợt là -1 và 2. Viết ph. trình đờng thẳng AB
3. Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P)
Bài 10 : Trong hệ toạ độ xOy cho Parabol (P)
2
4
1
xy
=
và đờng thẳng (d):
12
=
mmxy

1. Vẽ (P)
2. Tìm m sao cho (P) và (d) tiếp xúc nhau.Tìm toạ độ tiếp điểm
3. Chứng tỏ rằng (d) luôn đi qua một điểm cố định
Bài 11 : Cho (P):
2

4
1
xy
=
và điểm I(0;-2). Gọi (d) là đờng thẳng qua I và có hệ số góc m.
1. Chứng minh rằng (d) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B với
Rm

2.Tìm giá trị của m để đoạn AB ngắn nhất
Bài 12 : Cho (P):
4
2
x
y
=
và đờng thẳng (d) đi qua điểm I(
1;
2
3
) có hệ số góc là m
1. Vẽ (P) và viết phơng trình (d)
2. Tìm m sao cho (d) tiếp xúc (P)
3. Tìm m sao cho (d) và (P) có hai điểm chung phân biệt
Bài 13 : Cho (P):
4
2
x
y
=
và đờng thẳng (d):

2
2
+=
x
y
1. Vẽ (P) và (d)
2. Tìm toạ độ giao điểm của (P) và (d)
3. Tìm toạ độ của điểm thuộc (P) sao cho tại đó đờng tiếp tuyến của (P) song song với (d)
Bài 14 : Cho (P):
2
xy
=

1.Gọi A và B là hai điểm thuộc (P) có hoành độ lần lợt là -1 và 2 . Viết ph. trình đờng thẳng AB
2.Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song với AB và tiếp xúc với (P)
10
ôn thi vào lớp 10 môn toán
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Bài 14 : Cho (P):
2
2xy
=
1.Vẽ (P)
2.Trên (P) lấy điểm A có hoành độ x = 1 và điểm B có hoành độ x = 2 . Xác định các giá trị của m
và n để đờng thẳng (d): y = mx + n tiếp xúc với (P) và song song với AB
Bài 15 : Xác định giá trị của m để hai đờng thẳng có phơng trình
1:)(
:)(
2
1

=+
=+
ymxd
myxd
cắt nhau tại
một điểm trên (P)
2
2xy
=
.
Dạng III:
Phơng trình và Hệ phơng trình
------------- -----------
A/ Ph ơng trình bâc nhất một ẩn giảI và biện luận:
+ Phơng trình bậc nhất một ẩn có dạng
)0(0
=+
abax
+ Giải và biện luận:
- Nếu
0;0
==
ba
thì phơng trình vô số nghiệm.
- Nếu
0;0
=
ba
thì phơng trình vô nghiệm.
- Nếu

0

a
thì phơng trình có một nghiệm duy nhất
a
b
x
=
ví dụ : Giải và bịên luận phơng trình sau:
14)1(4
2
+=
mxxm
Giải:
144)14(144414)1(4
22222
+=+=+=
mmxmmxmxmmxxm
2
)12().12)(12(
=+
mxmm
Biện luận: + Nếu
2
1

m
thì phơng trình có một nghiệm:
12
12

+

=
m
m
x
+ Nếu
2
1
=
m
thì phơng trình có dạng:
0.0
=
x
nên phơng trình vô số nghiệm.
+ Nếu
2
1
=
m
thì phơng trình có dạng:
0)
2
1
.(2.0
=
x
nên phơng trình vô nghiệm.
Bài tập : Giải và biện luận các phơng trình sau:

Bài 1 .
2
32
)1(
=
+


xmxm

Bài 2 .
( )
10
1
2
11
2
2
=

+
+
+

+

+
a
a
ax

a
ax
a
ax
HD: Quy đồng- thu gọn- đa về dạng ax + b = 0
Bài 3 .
)0;0;;;(
4
1
++
++
=
+
+
+
+
+
cbacba
cba
x
a
xcb
b
xca
c
xba
.
HD:
cba
x

a
xcb
b
xca
c
xba
++
+=+
+
++
+
++
+ 4
13111
cba
x
a
xcb
b
xca
c
xba
++
=+
+
++
+
++
+

4
4111
11
ôn thi vào lớp 10 môn toán
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
cba
xcba
abc
xcba
++
++
=






++++
)(4111
)(
0
)(4
).(
=
++
++

++
++

cba
xcba
abc
cba
xcba
0
4
)(
=






++

++
++
cbaabc
cba
xcba
0
)(
4)(
)(
2
=

++
++
++
cbaabc
abccba
xcba

Nếu
[ ]
0...

cbaxxcba
++==++
0)(
Nếu
[ ]
0...
=
thì phơng trình vô số nghiệm.

b. hệ ph ơng trình bậc nhất có hai ẩn số:
+ Dạng tổng quát:



=+

=+
0
0
''
bxa
bax
+ Cách giải:
- Phơng pháp thế.
- Phơng pháp cộng đại số.
+ Số nghiệm số:
- Nếu
'
aa

Thì hệ phơng trình có một nghiệm .
- Nếu
'''
;; ccbbaa
==
Thì hệ phơng trình có vô nghiệm .
- Nếu
'''
;; ccbbaa
===
Thì hệ phơng trình có vô số nghiệm.
+ Tập nghiệm của mỗi phơng trình biểu diễn trênmặt phẳng toạđộ là đồ thị hàm số dạng:
baxy
+=
Ví dụ: Giải các HPT sau:
Bài1 :

2 3
3 7
x y
x y
=


+ =


Giải:
+ Dùng PP thế:
2 3
3 7
x y
x y
=


+ =


2 3 2 3 2 2
3 2 3 7 5 10 2.2 3 1
y x y x x x
x x x y y
= = = =

+ = = = =

Vaọy HPT đã cho có nghiệm là:
2
1
x
y
=


=

+ Dùng PP cộng:
2 3
3 7
x y
x y
=


+ =


5 10 2 2
3 7 3.2 7 1
x x x
x y y y
= = =

+ = + = =

Vaọy HPT đã cho có nghiệm là:
2
1
x
y
=


=

Bài2:
2 3 2
5 2 6
x y
x y
+ =


+ =

Để giải loại HPT này ta thờng sử dụng PP cộng cho thuận lợi.
12
«n thi vµo líp 10 m«n to¸n
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

2 3 2
5 2 6

x y
x y
+ = −


+ =


10 15 10 11 22 2 2
10 4 12 5 2 6 5 2.( 2 6) 2
x y y y x
x y x y x y
+ = − = − = − =
   
⇔ ⇔ ⇔ ⇔
   
+ = + = + − = = −
   
Vậy HPT cã nghiƯm lµ
2
2
x
y
=


= −


Bµi 3:

2 3
1
1
2 5
1
1
x y
x y

+ = −

+



+ = −

+

*§èi víi HPT ë d¹ng nµy ta cã thĨ sư dơng hai c¸ch gi¶i sau ®©y:
+ C¸ch 1: Sư dơng PP céng. §K:
1, 0x y≠ − ≠
.

2 3
1
1
2 5
1
1

x y
x y

+ = −

+



+ = −

+


2
2
1 1
1 3
1
2 2
2 5 2
2 5
1 4
1 1
1
1 1 1
1
y y
y
x x

y y
x x
x y

=
= =
 
 

+ = − = −
    
⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔
    
+ = = −
    
= =
+ =
+ +
 
 

+


Vậy HPT cã nghiƯm lµ
3
2
1
x
y


= −



=

+ C¸ch 2: Sư dơng PP ®Ỉt Èn phơ. §K:
1, 0x y≠ − ≠
.
§Ỉt
1
1
a
x
=
+
;
1
b
y
=
. HPT ®· cho trë thµnh:
2 3 1 2 5 1 2 5.1 1 2
2 5 1 2 2 1 1
a b a b a a
a b b b b
+ = − + = + = = −
   
⇔ ⇔ ⇔

   
+ = = = =
   
1
2
3
1
2
1
1
1
x
x
y
y

= −


= −
+
 
⇒ ⇔
 
 
=
=




(TM§K)
Vậy HPT cã nghiƯm lµ
3
2
1
x
y

= −



=

L u ý : - NhiỊu em cßn thiÕu §K cho nh÷ng HPT ë d¹ng nµy.
- Cã thĨ thư l¹i nghiƯm cđa HPT võa gi¶i.
Bµi tËp vỊ hƯ ph ¬ng tr×nh:
Bµi 1: Giải các hệ phương trình sau (bằng pp thế)
1.1:
3
)
3 4 2
x y
a
x y
− =


− =


7 3 5
)
4 2
x y
b
x y
− =


+ =

13
«n thi vµo líp 10 m«n to¸n
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
1.2.
2 2 5
)
2 2
x y
a
x y

− =


+ =



Bµi 2 : Giải các hệ phương trình sau (bằng pp cộng đại số)
2.1.
3 3
)
2 7
x y
a
x y
+ =


− =


4 3 6
)
2 4
x y
b
x y
+ =


+ =


3 2 10
)
2 1
3

3 3
x y
c
x y
− =



− =


2.2.
2 3 1
)
2 2 2
x y
a
x y

− =


+ = −



5 3 2 2
)
6 2 2
x y

b
x y

+ =


− =


Bµi 3 :
Giải hệ phương trình
2
3 1
( 1) 6 2
x y
m x y m
+ =


+ + =

trong mỗi trường hợp sau
a) m = -1 b) m = 0 c) m = 1
Bµi 4 a) Xác đònh hệ số avàb, biết rằng hệ phương trình
2 4
5
x by
bx ay
+ =



− = −

có nghiệm là (1; -2)
b) Cũng hỏi như vậy nếu hệ phương trình có nghiệm
( )
2 1; 2−
Bµi 5 : Giải hệ phương trình sau:
2 2
3 1
x y
x y

+ =


+ = −


a) Từ đó suy ra nghiệm của hệ phương trình
2
2
1 1
3
1
1 1
m n
m n
m n
m n


+ =


+ +


+ = −

+ +

Bµi 6 : Cho hƯ ph¬ng tr×nh



=+
=−
1
2
byax
bayx
a) Gi¶i hƯ khi a =3 ; b =-2
b) T×m a;b ®Ĩ hƯ cã nghiƯm lµ (x;y) = (
)3;2
Bµi 7 : Gi¶i c¸c hƯ ph¬ng tr×nh sau: (pp ®Ỉt Èn phơ)
7.1)








=
−
−
+
=
−
−
+
3
45
2
21
yxyx
yxyx
7.2)





=+
−=−
22
843
yx
yx
7.3)






=−+−
=−−−
1222
32423
yx
yx
(®k x;y
≥
2 )
7.4)
3 3 3 2 3
2 3 6 2
x y
x y

− = −


+ = +


; 7.5)
( 1) 2( 2) 5
3( 1) ( 2) 1
x y

x y
+ + − =


+ − − =

; 7.6)
( 5)( 2) ( 2)( 1)
( 4)( 7) ( 3)( 4)
x y x y
x y x y
+ − = + −


− + = − +

.
14