Luận văn sư phạm Bài toán biên ban đầu đối với phương trình loại Hypecbolic

Tr

ng H S Ph m HƠ N i 2

Khóa lu n t t nghi p

U

M

Toán h c là m t môn khoa h c g n li n v i th c ti n. S phát tri n c a
Toán h c đ

c đánh d u b i nh ng ng d ng c a Toán h c vào vi c gi i

quy t các bài toán th c ti n. Trong l nh v c toán h c ng d ng th
nhi u bài toán liên quan đ n ph

ng trình vi phân đ o hàm riêng.

Ra đ i t nh ng n m 60, ph
kh ng đ nh đ

ng g p r t

ng trình đ o hàm riêng đã nhanh chóng

c v trí và t m quan tr ng c a mình trong khoa h c nói chung

và Toán h c nói riêng.

c bi t ph

ng trình đ o hàm riêng lo i Hypecbolic

có ng d ng r t l n trong khoa h c và trong th c ti n.
Chúng ta bi t r ng, vi c nghiên c u tính ch t đ nh tính và vi c tìm
nghi m c a ph

ng trình đ o hàm riêng lo i Hypecbolic r t khó kh n và ph c

t p. V i kh n ng ng d ng r ng rãi trong khoa h c và trong th c ti n, vì v y
các nhà Toán h c đã t p trung nghiên c u và tìm đ
gi i các bài toán v ph
cs h

c nhi u ph

ng pháp đ

g trình đ o hàm riêng lo i Hypecbolic.

ng d n t n tình c a T.S Tr n V n B ng cùng v i lòng yêu

thích môn này em xin m nh d n nghiên c u đ tài: Bài toán biên ban đ u đ i
v i ph

ng trình Hypecbolic

Khoá lu n g m 3 ph n
Ph n I : M đ u

Ph n II : N i dung
*Ch

ng 1 : Nh ng ki n th c ch n b

*Ch

ng 2 : Ph

ng trình lo i Hypecbolic. Bài toán Cauchy

*Ch

ng 3 : Ph

ng trình lo i Hypecbolic. Bài toán h n h p

*Ch

ng 4: M t s bài toán áp d ng

Ph n III : K t lu n

Bùi Th Th y

1

K32A-Khoa Toán

Tr

ng H S Ph m HƠ N i 2

Khóa lu n t t nghi p

L IC M

N

hoàn thành khóa lu n t t nghi p này, tôi xin bày t lòng bi t n chân
thành t i các th y giáo và cô giáo trong khoa Toán – Tr

ng

iH cS

ph m Hà N i 2, đã t n tình giúp đ ch b o trong su t th i gian tôi theo h c
t i khoa và trong th i gian làm khóa lu n.
c bi t tôi xin bày t lòng bi t n sâu s c t i T.S Tr n V n B ng –
Gi ng viên khoa Toán - Tr
h

ng

i H c S Ph m Hà N i 2, ng

ng d n tôi, luôn t n tâm ch b o và đ nh h

làm khóa lu n đ tôi có đ

i tr c ti p

ng cho tôi trong su t quá trình

c k t qu nh ngày hôm nay.

M c dù đã có r t nhi u c g ng, song th i gian và kinh nghi m b n thân
còn nhi u h n ch nên khóa lu n không th tránh kh i nh ng thi u sót r t
mong đ

c s đóng góp ý ki n c a các th y cô giáo, các b n sinh viên và b n

đ c.
Hà N i, tháng 4 n m 2010
Sinh viên
Bùi Th Thu

Bùi Th Th y

2

K32A-Khoa Toán


Tr

ng H S Ph m HƠ N i 2

Ch

Ph

Khóa lu n t t nghi p

ng 1. Nh ng ki n th c chu n b
ng trình đ o hƠm riêng tuy n tính

1.1. Các khái ni m t ng quát
nh ngh a ph

1.1.1.

ng trình đ o hƠm riêng

ng trình liên h gi a các n hàm u1,…,uN, các bi n s đ c l p x1,…,

Ph

xn và các đ o hàm riêng c a các n hàm đ

c g i là ph

ng trình đ o hàm

riêng. Nó có d ng

u1
uN u1
 kui
F ( x1 , x2 ,..., xn ; u1 , u2 ,..., un ;

,...,
;
,..., k
)0
x1
x1 x2
 x1.. k xn
đây F là m t hàm s c a nhi u bi n s .
C p c a ph
trong ph

ng trình đ o hàm riêng là c p cao nh t c a đ o hàm có m t

ng trình.

 2u
 2 x  y là ph
Ví d :
xy
1.1.2.
Ph

nh ngh a ph

ng trình đ o hàm riêng c p 2.

ng trình đ o hƠm riêng c p 1

ng trình đ o hàm riêng c p 1 có d ng

F ( x1 , x2 ,..., xn , u,

u u
u
,
,...,
)0
x1 x 2
x n

(1.1)

Trong đó u  u  x1 , x2 ,..., xn  là hàm ph i tìm c a n bi n s

đ c l p

x1 , x2 ,...xn . F là hàm đã cho c a các đ i s trong m t mi n nào đó trong không
gian (2n+1) chi u.
Nghi m c a ph

ng trình (1.1) là hàm u  u  x1 , x2 ,..., xn  xác đ nh và liên

t c v i các đ o hàm riêng

u u
u
trong m t mi n bi n thiên nào đ y
,
,...,
x1 x 2

x n

c a các bi n s x1 , x2 ,...xn và bi n ph

ng trình (1.1) thành đ ng nh t th c .

đây ta gi thi t các giá tr c a x1 , x2 ,...xn mà t i đó hàm u xác đ nh nh các giá
Bùi Th Th y

3

K32A-Khoa Toán


Tr

ng H S Ph m HƠ N i 2

tr t

Khóa lu n t t nghi p

ng ng c a hàm u và các đ o hàm c a nó n m trong mi n xác đ nh c a

hàm F.
1.1.3. Ph
Ph

ng trình đ o hƠm riêng c p 1 tuy n tính không thu n nh t
ng trình có d ng

u1
u
u
 X2 ( x1 , x2 ,..., xn , u ) 1  ...  Xn ( x1 , x2 ,..., xn , u) 1
x1
x2
xn

X1 ( x1 , x2 ,..., xn , u )

 f ( x1 , x2 ,..., xn , u)
đ

c g i là ph

(1.2)

ng trình đ o hàm riêng tuy n tính c p 1 (không thu n nh t ).

N u v ph i c a ph

ng trình (1.2) đ ng nh t b ng không ( f  0 ) còn

các hàm s Xi (i=1,n ) không ph thu c hàm s ph i tìm u, thì ph

ng trình

(1.2) có d ng

X1 ( x1 , x2 ,..., xn , u )

u
u
u
 X2 ( x1 , x2 ,..., xn , u )
 ...  Xn ( x1 , x2 ,..., xn , u )
0
x1
x 2
x n
(1.3)

nh t

Khi đó ph
Ví d : Ph

x

x

ng trình (1.3) đ

c g i là ph

ng trình tuy n tính thu n

ng trình

u

u
 y  0 là ph
x
y

ng trình tuy n tính thu n nh t còn các ph

u
u
u
u
 y  2u ho c x  yu
 0 đ u là ph
x
y
x
y

ng trình

ng trình tuy n tính

không thu n nh t.

1.2. Ph

ng trình tuy n tính thu n nh t

Xét ph

ng trình (1.3)
u
u
u
X1 ( x1 , x2 ,..., xn , u )
 X2 ( x1 , x2 ,..., xn , u )
 ...  Xn ( x1 , x2 ,..., xn , u )
0
x1
x 2
x n

Bùi Th Th y

4

K32A-Khoa Toán


Tr

ng H S Ph m HƠ N i 2

Khóa lu n t t nghi p

Gi s r ng X1,X2,…,Xn xác đ nh và liên t c cùng v i các đ o hàm riêng
c p 1 c a chúng theo t t c các bi n

 x , x ,..., x 
0

1

0
2

0
n

trong 1 lân c n nào đó c a đi m

và không đ ng th i b ng không t i đi m này ch ng h n

Xn  x10 , x20 ,..., xn0   0

(1.4)

Nghi m c a ph

ng trình đ o hàm riêng tuy n tính c p 1 thu n nh t là

hàm u  u  x1 , x2 ,..., xn  tho mãn đi u ki n sau
a. u  u  x1 , x2 ,..., xn  xác đ nh trên D .
b. Kh vi liên t c trong lân c n đi m  x10 , x20 ,..., xn0  (t n t i các đ o hàm
riêng

u
và liên t c trên D).
x i

c. Thay u  u  x1 , x2 ,..., xn  và các đ o hàm riêng

u
vào ph
x i

ng trình (1.3)

nó tr thành đ ng nh t.
Rõ ràng ph

ng trình (1.3) bao gi c ng có nghi m u=c (1.5) v i c là

h ng s tu ý. Ta g i nghi m (1.5) là nghi m t m th
cùng v i ph

ng trình (1.3). Ta xét h ph

ng c a ph

ng trình vi phân th

ng trình

ng d ng đ i

x ng sau đây

dx1
dx2
dxn


 ..... 
X1 ( x1 , x2 ,..., xn ) X1 ( x1 , x2 ,..., xn )
X1 ( x1 , x2 ,..., xn )
ng trình (1.6) g i là h đ i x ng t

H ph

nh ngh a : Hàm s  ( x1 , x2 ,..., xn ) đ
trong

m t

mi n

nào

đó

c a

ng ng v i ph

(1.6)
ng trình (1.3).

c g i là tích phân c a h (1.6)

các

bi n

s

x1,x2,…,xn

n u




X1 
X2  ...... 
Xn  0 .
x1
x2
xn
nh lí

Bùi Th Th y

5

K32A-Khoa Toán


Tr

ng H S Ph m HƠ N i 2

Khóa lu n t t nghi p

1) N u hàm s  ( x1 , x2 ,..., xn ) là tích phân kh vi liên t c c a h (1.6) thì
hàm s u=  ( x1 , x2 ,..., xn ) là nghi m c a ph

ng trình (1.3)

2) N u hàm u = ( x1 , x2 ,..., xn )  const là nghi m c a ph

ng trình (1.3) thì

hàm s  ( x1 , x2 ,..., xn ) là tích phân c a h (1.6).
Ch ng minh
1) Hi n nhiên (d a vào đ nh ngh a tích phân c a h (1.6)).
2) L y vi phân toàn ph n c a hàm 



d 
dx1 
dx2  ........ 
dxn
x1
x2
xn

d a vào h

(1.6) ta đ

c

  X1  X2
 Xn 
.
.
.  .dxn


 ...... 
x
X
x
X
x
Xn 



 1 n
2
n
n

 

  1
  X1.
 X2 .
 .....  Xn .

 . X dxn



x
x
x

1
2
n 
n

(Ta gi thi t thêm r ng Xn ( x10 , x20 ,......., xn0 )  0 )
Khi đó t (1.5) ta có d  0 t c   c là tích phân đ u c a h (1.6).
T đ nh lí trên ta suy ra r ng vi c tìm nghi m c a (1.3) t

ng đ

vi c tìm tích phân c a h (1.6). Ta gi thi t r ng h (1.6) có (n-1) ph

ng v i
ng trình

vi phân c p 1 sau đây

dx1 X1 dx2 X2
dx
X


;

;...........; n1  n1
dxn Xn dxn Xn
dxn
Xn

(1.8)

Trong đó các v ph i c a h (1.8) là các hàm s xác đ nh và kh vi liên
t c trong lân c n c a đi m  x10 , x20 ,..., xn0  . Ta l p m t hàm kh vi liên t c c a
các tích phân (1.7)

u   (1 ,2 ,......,n1 )

Bùi Th Th y

6

(1.9)

K32A-Khoa Toán


Tr

ng H S Ph m HƠ N i 2

Khóa lu n t t nghi p

Khi đó hàm s xác đ nh b i (1.9) c ng là tích phân c a (1.6) do đó c ng là
nghi m c a ph

ng trình (1.3).

Ta g i nghi m (1.9) trong đó  là hàm s b t kì (kh vi liên t c c a các
tích phân c a nó ) là ngh êm t ng quát c a ph
Ví d : Cho ph

ng trình
x

u
u
u
 y z 0
x
y
z

ng trình vi phân đ i x ng t

H ph

ng trình (1.3).

ng ng là

dx dy dz



x
y
z

Ta có
dx dy

 ln x  ln y  ln c1
x
y

 c1 x  y  c1  y/x= 1
dx dz
  ln x  ln z  ln c2
x
z
 c2 x  z  c2 

V y nghi m t ng quát c a ph

1.3. Ph

z
 2 (c1 , c2 là các h ng s )
x

ng trình đã cho là u   ( y / x, z / x) .

ng trình tuy n tính không thu n nh t

Ta xét ph

ng trình d ng (1.2)

X1 ( x1 , x2 ,..., xn , u )

u1
u
 X2 ( x1 , x2 ,..., xn , u ) 1  ... 
x1
x2

 Xn ( x1 , x2 ,..., xn , u)

Bùi Th Th y

u1
 f ( x1 , x2 ,..., xn , u)
xn

7

(1.10)

K32A-Khoa Toán


Tr

ng H S Ph m HƠ N i 2

Khóa lu n t t nghi p

Trong đó các hàm s Xi ( i  1, n ) và f xác đ nh liên t c cùng các đ o
hàm riêng c p 1 c a chúng. Ngoài ra Xn ( x10 , x20 ,......, xn0 , u 0 )  0
Ta s ch ng t

r ng nghi m c a ph

(1.11)

ng trình (1.10) có d ng n

V( x1 , x2 ,...., xn , u)  0

(1.12)

Trong đó V là hàm s nào đó kh vi liên t c theo các đ i s và tho mãn
V 0 0
( x1 , x2 ,......, xn0 , u 0 )  0
u

(1.13)

Th t v y ta l y vi phân h th c (1.12) theo xk (k  1, n) trong đó u là hàm
c a x1,x2,…,xn ta đ

c

u
V V
:
, k  1, n

x k
x k u
t (1.14) vào (1.10) ta đ

X1
Ph

(1.14)

c

V
V
V
V
 X2
 ........  Xn
f
0
x1
x2
xn
u

ng trình (1.15) là ph

(1.15)

ng trình tuy n tính thu n nh t v i hàm s

ph i tìm V.
H ph

ng trình đ i x ng t

ng ng c a (1.15) s là

dx1 dx2
dx du

 .......  n 
X1 X2
Xn
f

(1.16)

H (1.16) có n tích phân đ c l p.

1 ( x1 , x2 ,......, xn , u),2 ( x1, x2 ,......, xn , u),......., n ( x1, x2,......, xn ,u )
Khi đó hàm s
ph

(1.17)

V   (1 ,2 ,.....,n ) (1.18) là nghi m t ng quát c a

ng trình (1.15).
N u đ t (1.18) vào (1.12) ta đ

c nghi m c a ph

ng trình (1.10) d ng

V   (1 ,2 ,.....,n ) =0 (1.19) . ó là đi u ph i ch ng minh.
Chú ý:

Bùi Th Th y

8

K32A-Khoa Toán


Tr

ng H S Ph m HƠ N i 2

Khóa lu n t t nghi p

1) Nghi m (1.19) là nghi m t ng quát c a ph
2) N u t ph

ng trình (1.19) ta tìm đ

ng trình (1.10).

c u   ( x1 , x2 ,...., xn ) (1.20) trong đó

 là hàm s tu ý, kh vi liên t c thì (1.20) là nghi m t ng quát
minh c a ph

ng

ng trình (1.10).

Ví d : Tìm nghi m t ng quát c a ph
a) y

d ng t

ng trình sau

z
z
 x  x  y (*)
x
y

b) xy

z
z
 x2
 yz (**)

x
y

L i gi i:
a) y

z
z
 x  x  y (*)
x
y

H ph

ng trình đ i x ng t

ng ng là

dx dy
dz


y
x y  x

Ta có
dx dy
1
1
1


 xdx  ydy  x2  y2  c1
2
2
2
y
x
 c1  x2  y2   1

T

ng t

dx
dz

 c2  x  y  z   2
y y  x

V y nghi m t ng quát c a ph

ng trình(*) là u   ( 1 , 2 ) hay

F(x2-y2,x-y+z)=0.
b) xy

z
z
 x2
 yz (**)

x
y

Bùi Th Th y

9

K32A-Khoa Toán


Tr

ng H S Ph m HƠ N i 2

H ph

Khóa lu n t t nghi p

ng trình đ i x ng t

ng ng là

dx dy dz


xy  x2 yz

Ta có

dx dx


  xdx  ydy
xy  x2

1
1
1
  x2  c1  y2  c1  x2  y2   1
2
2
2
T ong t
dx dz
  ln x  ln y  ln c2
xy yz

 c2 x  z  c2 

z
 2
x

z
V y nghi m t ng quát c a (**) là : F( x2  y2 , )=0.
x

1.4. Bài toán biên
Bài toán biên c a ph

ng trình đ o hàm riêng là bài toán tìm các

nghi m c a nó trong mi n nào đ y tho mãn các đi u ki n trên biên c a mi n
g i là đi u ki n biên.
nh lí liên quan t i s t n t i duy nh t nghi m c a bài toán biên g i là
đ nh lí t n t i và duy nh t nghi m.
Ví d :

u
u
 4  0 v i u(0,y)=8e-3y
x
y

1.5. Nguyên lí c ng nghi m vƠ ph

Bùi Th Th y

10

ng pháp tách bi n

K32A-Khoa Toán


Tr

ng H S Ph m HƠ N i 2

Có nhi u ph

Khóa lu n t t nghi p

ng pháp gi i bài toán biên c a ph

ng trình đ o hàm

riêng tuy n tính.
Ph
ph

ng pháp tách bi n (ph

ng pháp Phuarie) là m t trong nh ng

ng pháp quan tr ng nh t.
u tiên ta tìm nghi m t ng quát sau đó cho tho mãn đi u ki n biên.
Các đ nh lí sau đây là c s quan tr ng cho ph

ng pháp.

1.5.1. Nguyên lí c ng nghi m
nh lí: Gi

s

1 ,2 ,....,n1 là nghi m c a ph

C11  C22  C33  ......  Cn1n1 c ng là nghi m c a ph
Nghi m t ng quát c a ph

ng trình (1.4) thì
ng trình (1.4).

ng trình đ o hàm riêng tuy n tính không

thu n nh t b ng t ng c a nghi m t ng quát c a ph
nh t v i m t nghi m riêng nào đó c a ph

ng trình tuy n tính thu n

ng trình tuy n tính không thu n

nh t.
1.5.2. Ph

ng pháp tách bi n

Gi thi t r ng nghi m có th bi u di n d

i d ng tích c a các hàm ch a

bi t mà m i hàm ch ph thu c vào m t bi n ,vì v y m i v ph i b ng h ng
s .
Ta l n l

t gi i cho t ng hàm ch a xác đ nh.

H p các nghi m này cho ta nghi m c n tìm.
Ví d : Gi i ph

ng trình
u
u
 4  0 (1) v i u(0,y)=8e-3y
x
y

L i gi i :
Gi s nghi m c a bài toán là u ( x, y)  X ( x).Y( y)
Ta có

Bùi Th Th y

11

K32A-Khoa Toán


Tr

ng H S Ph m HƠ N i 2

Khóa lu n t t nghi p

u
 X ' ( x).Y( y)
x
u
 X ( x).Y' ( y)
y

Thay vào ph

ng trình (1) ta đ

X ' Y'

c : X Y  4 XY hay
4X Y
'

'

Vì X ch ph thu c vào x , Y ch ph thu c vào y, nên m i v ph i b ng
h ng s , ch ng h n kí hi u C. Do v y

X '  4 XC  0 , Y'  CY  0
Ta có h ph

ng trình

 X'
 X  4C

 '
Y
 C
 Y

 dX

 X  4Cdx


dY

 Cdy
 Y


Nghi m c a ph

ln X  4Cx  ln C1

ln Y  Cy  ln C2

 X ( x)  C1 .e 4Cx

Cy
Y( y)  C2 .e

ng trình đã cho là: u ( x, y)  C1.C2 .eC (4 x y)  k.eC (4 x y) .

T đi u ki n biên: u (0, y)  kecy = 8e3 y đi u này x y ra khi k=8 và C=-3 .
V y nghi m c n tìm u(x,y)=8e-3(4x+y) .

1.6. Bài toán Cauchy
1.6.1. Bài toán Cauchy v i ph

ng trình đ o hƠm riêng tuy n tính thu n

nh t
Hãy tìm nghi m u  u( x1 , x2 ,....., xn ) (1.21) c a ph

ng trình (1.1) sao

cho khi c đ nh m t bi n s (ch ng h n x n ) thì nó tr thành hàm s kh vi liên
t c c a các bi n còn l i, t c là u   ( x1 , x2 ,......, xn1 ) khi xn  xn0

(1.22).

i u ki n (1.22) g i là đi u ki n đ u c a nghi m (1.21).

Bùi Th Th y

12

K32A-Khoa Toán


Tr

ng H S Ph m HƠ N i 2

Khóa lu n t t nghi p

tìm nghi m c a bài toán Cauchy đ i v i ph

ng trình (1.3) ta ti n

hành nh sau

Gi s 1 ,2 ,....,n1 là n-1 tích phân đ c l p c a h (1.6) và đ t xn  xn0 ,
ta kí hi u 1 ,2 ,.....,n1 nh sau
1 ( x1 , x2 ,....., xn1 , x0 n )  1

.....................................

0
n1 ( x1 , x2 ,....., xn1 , x n )  n 1

Gi i đ

c t

h

(1.23)

(1.23) đ i v i các x1 , x2 ,....., xn1 trong lân c n

 x , x ,......, x 
0
1

0
2

0
n

 x1  1 (1 ,2 ,..., n1 )


................................

 xn 1  n 1 (1 ,2 ,..., n 1 )

(1.24)

Hàm s có d ng

u   1 (1 ,2 ,.....,n1 ),......., n1(1,2 ,....., n1) 
Trong đó i  i ( x1 , x2 ,...., xn )
Cauchy c a ph

(1.25)

( i  1, n ) s là nghi m c a bài toán

ng trình (1.3)-(1.22)

Ví d : Tìm nghi m c a ph
y

ng trình

z
z
 x  0 tho mãn đi u ki n z=y2 khi x=0.
x
y

L i gi i :
Gi s (0,y0) , y0  0. Xét ph

ng trình đ i x ng t

ng ng

dy dx
1
1
1
1

 ydy   xdx  C1  y2   x2  C1
2
2
2
2
x y
 C1  x2  y2  

Bùi Th Th y

13

K32A-Khoa Toán


Tr

ng H S Ph m HƠ N i 2

Khóa lu n t t nghi p

c : y2   . Do đó y   

t x=0 vào bi u th c trên ta đ

Nghi m ph i tìm s là z    x, y t c là z  x2  y2 .
1.6.2. Bài toán Cauchy đ i v i ph

ng trình đ o hƠm riêng tuy n tính

không thu n nh t
i v i ph

ng trình (1.10) ta c ng có bài toán Cauchy t

ng t

Ví d : Tìm nghi m t ng quát và nghi m tho mãn đi u ki n ban đ u c a
ph

ng trình
x

z
z
  y  x2   z
x

y

z= y-4 khi x=2
L i gi i:
Xét h ph

ng trình đ i x ng t

ng ng

dx
dy
dz
 2

x x y z

Ta có

dx dz
  ln C1 x  ln z
x
z

 C1 x  z
 C1 
T

ng t

z
 1
x

dx
dy
2 xdx
dy
 2


x x y
2 x2
x2  y
2
2 xdx  dy dx d  x  y  dx
 

x
x
x2  y
x2  y

 ln x 2  y  ln x C2
x2  y
 C2 
 2 ( 1 ,2 đ c l p tuy n tính )
x
Bùi Th Th y

14

K32A-Khoa Toán


Tr

ng H S Ph m HƠ N i 2

Khóa lu n t t nghi p

V y nghi m t ng quát c a ph

 z x2  y 
ng trình đã cho là : z    ,

x x 

tìm nghi m c a bài toán Cauchy, ta đ t x=2 vào các tích phân trên

y4
z
 1 ,  2 và có y  21  4, z  22
2
2

 22  21  4  4
z x2  y
Do đó 
hay z  y  x2 là nghi m ph i tìm.

x
x

Ch

ng 2: Ph

ng trình lo i hypecbolic

Bài toán Cauchy
2.1. BƠi toán d n đ n ph

ng trình truy n sóng

Gi thi t dây đàn h i có chi u dài L bu c ch t

hai g i có cùng m c

n m ngang do đó có th l y tr c x d c theo dây. Dây đàn h i có th là dây đàn
dây truy n tin .
Cho dây chuy n đ ng, nó dao đ ng trong m t ph ng th ng đ ng và kí
hi u u(x,t) là chuy n d ch c a dây t i đi m x và th i đi m t .
G i s là ph n tác d ng cung c a dây . Vì s c c ng T gi thi t là h ng
s ,l ch

ng th ng đ ng tác d ng lên s cho b i T sin2  T sin1

Vì sin   tg do góc  nh nên l c này có d ng:

u

u
 x  T
T
x X
x

X

  2u

 s  2   
 t


  0, s  0
Vì dao đ ng nh nên ta có th l y g n đúng s  x
Do đó
Bùi Th Th y

u
u
 x 
2
T x X
x X  u
.
 2 

x
t

15

K32A-Khoa Toán


Tr

ng H S Ph m HƠ N i 2

Khóa lu n t t nghi p

L y gi i h n khi x  0( c ng d n t i 0) ta đ

T   u   2u
c .   2
 x  x  t

2
T
 2u
2  u
hay là 2  a
trong đó a 2  (T là s c c ng không đ i c a dây,  kh i
2

t
x

l

ng không đ i trên m t đ n v dài c a dây ).

2.2. Bài toán Cauchy c a ph

ng trình truy n sóng vƠ đ nh lí

duy nh t c a nó
2.2.1. Bài toán Cauchy c a ph

ng trình truy n sóng

Ta xét bài toán Cauchy c a ph

ng trình truy n sóng, c th là bài toán

2
 2u
 2u 
2 u
 a  2  2   f ( x, y, t )
t 2
 x y 

(2.1.1)

u( x, y, t0 )    x, y

(2.1.2)

u

 x, y, t0     x, y 
t

(2.1.3)

Nh v y m t mang d ki n Cauchy đ i v i bài toán này là m t ph ng
t=t0. Nó không ph i là m t đ c tr ng c a ph
tr ng c a ph

ng trình này. H các m t đ c

ng trình này là h các m t nón tròn xoay, có tr c song song v i

tr c 0t và có ph

ng trình

 x-c    y  c 
2

1

2

2

 a 2  t  c3   0
2

(2.1.4)

Trong đó (c1,c2,c3) là to đ đ nh hình nón và có th là đi m b t kì trong
không gian (x,y,t).
Gi s

trên m t ph ng t=t0 c a không gian (x,y,t)

cho m t tròn

G:  x  c1    y  c2   R2 .
2

2

T n t i hai hình nón tròn xoay đ i x ng nhau qua m t ph ng t=t0 có đáy
là m t tròn G và m i m t bên S là ph n c a m t m t đ c tr ng trong h

Bùi Th Th y

16

K32A-Khoa Toán


Tr

ng H S Ph m HƠ N i 2

Khóa lu n t t nghi p

(2.1.4). Ta g i K là m t trong hai hình nón k trên, ch ng h n hìn nón có đ nh
h

ng theo chi u d

ng t.

nh lí duy nh t

2.2.2.

n lí (2.1.1). Gi s u(x,y,t) là nghi m c a bài toán Cauchy (2.1.1), (2.1.2),
(2.1.3) sao cho nó và t t c các đ o hàm riêng c a nó k cho t i c p 2 liên t c
trong hình nón kín K  G  S . Khi đó nghi m u(x,y,t) đ

c xác đ nh m t cách

duy nh t trong hình nón kín K  G  S k trên b i các d

ki n Cauchy

(2.1.2), (2.1.3) cho trên m t đáy G c a hình nón .
Tr

c khi ch ng minh đ nh lí, ta chú ý nh ng đi u sau đây :

a. B ng cách co dãn to đ ta đ t t’=at
ta có th gi s h s a trong ph

(2.1.1)

ng trình (2.1.1) là b ng 1.

b. B ng cách t nh ti n to đ t , ta có th gi s t0=0.
c.

ch ng minh đ nh lí, ta ch ng minh hi u c a 2 nghi m b t kì c a bài toán

đ ng nh t b ng 0.
Hi u u(x,y,t)=u1(x,y,t) - u2(x,y,t) c a 2 nghi m u1(x,y,t), u2(x,y,t) c a bài
toán (2.1.1), (2.1.2), (2.1.3) tho mãn :

 2 u  2 u  2u


t 2 x2 y2

 x,y,t    G  S

(2.1.5)

u(x,y,t)=0

v i (x,y) G

(2.1.6)

v i (x,y) G

(2.1.7)

u
 x, y,0   0
t

Nh v y ta s ch ng minh nghi m u(x,y,t) c a bài toán (2.1.5), (2.1.6),
(2.1.7) đ ng nh t b ng không
u ( x, y, t )  0 trong K  G  S.

d. H n n a, l i ch c n ch ng minh r ng n u u(x,y,t) tho mãn (2.1.5), (2.1.6),
(2.1.7) thì u(x,y,t) =0 t i đ nh hình nón K.

Bùi Th Th y

17

K32A-Khoa Toán


Tr

ng H S Ph m HƠ N i 2

Khóa lu n t t nghi p

Th c v y, n u ch ng minh đ

c đi u này thì u ( x, y, t )  0 trong hình

nón K  G  S . L y m t đi m P b t kì trong hình nón K  G  S .D ng m t

m t đ c tr ng c a h (2.1.4) có đ nh là P, c t m t ph ng t=0 theo biên c a m t
m t tròn G’.
M t tròn G’ n m hoàn toàn trong G. Do đó n u ta có (2.1.6), (2.1.7) trong
G thì c ng có (2.1.6), (2.1.7) trong G’.
G i K’ là hình nón đ nh P, đáy là G’. L p l i đi u đã ch ng minh cho
hình nón K’, vì ta có (2.1.6), (2.1.7) trong G’ nên ta có u(x,y,t) =0 t i đ nh
c a nó, t c là u(P)=0.
Nh v y u ( x, y, t )  0 trong K  G  S .
e. Nghi m u(x,y,t) đ

c xác đ nh duy nh t trong hình nón K và c trong hình

nón K* đ i x ng v i K qua m t ph ng c a đáy .
Bây gi ta ch ng minh đ nh lí
G i A là đ nh c a hình nón K. Gi s nghi m u(x,y,t) tho mãn (2.1.5),
(2.1.6), (2.1.7). Nh v y trong K

u   2u  2u  2u 


0
t  t 2 x2 y2 

u   2u  2u  2u 
I    2  2  2  dtdxdy  0
x y 
K t  t

Và

(2.1.8)

Rõ ràng ta có

u  2u 1   u 
.

 
t t 2 2 t  t 

2

u  2u   u u   2u u   u u  1   u 
.
.   . 
  . 
 
t x2 x  t x  t.x x x  t x  2 t  x 
u  2u   u u  1   u 
.
.


t y2 y  t y  2 t  y 

2

2

Do đó (2.1.8) có th vi t

Bùi Th Th y

18

K32A-Khoa Toán


Tr

ng H S Ph m HƠ N i 2

Khóa lu n t t nghi p

2
2
2
 1   u   u   u     u u    u u  
I   
           .    .   dtdxdy  0
 x   y   x  t x  y  t y  
K  2 t  t 



Áp d ng công th c Ôtstrôgratski, ta có
2
2
2

 

1   u   u   u  
u u
c
os
n,
t
2
.
.
c
os
n,
x 




    
2 SG   t   x   y  
t x


 

2

 

  
u u

. .cos n, y  ds  0
t y


 

(2.1.9)


v i n là pháp tuy n trong c a m t biên S  G
Ph

ng trình m t đ c tr ng S có th vi t

  x, y, t   t 

x c    y c 
2

1

2

2

=const

(2.1.10)

Trong đó hàm   x, y, t  tho mãn

        

 
 
 0
 t   x   y 
2

2

2

(2.1.11)

Vì m t S có ph ng trình (2.1.10), nên trên m t S các đ i l ng

 
 
  
,
,
cos(n, t ), cos(n, x), cos(n, y) t l v i
và t (2.1.11) ta suy ra trên
t x y

 
 
(2.1.12)
m t S có h th c cos 2 (n, t )  cos 2 (n, x)  cos 2 (n, y)  0

Trên m t đáy G, do (2.1.6) và (2.1.7) ta có
u
u
u
 x, y,0   0,  x, y,0   0,  x, y,0   0
x
y
t


V y trong (2.1.9), ch còn tích phân l y trên S. Chú ý r ng cos n, t  0

 


trên m t S nên ta có th nhân (2.1.9) v i cos n, t , sau đó dùng h th c

 

(2.1.12) thì ta vi t đ
Bùi Th Th y

c (2.1.9) d

i d ng
19

K32A-Khoa Toán

Tr

ng H S Ph m HƠ N i 2

Khóa lu n t t nghi p

   u 2
   u 2
   u 2

 u 2
2
2
2
2
c
n
x
c
n
y
c
n
t
c
n



os

,
os
,
os
,
os
,t

 
 
S  t 
 
 t 
 x 

 y 
 

 

u u
u u
2 . .cos n, x .cos n, t  2 . .cos n, y .cos n, t  ds  0
t x
t y


 

 

 

 

 

 

 

 

Hay
  u
   2  u
  u
   2 
  u
S  t .cos n, x  x .cos n, t    t .cos n, y  y .cos n, t   ds  0

 


 

 

T đó, đ i l

ng d

 

i d u tích phân đ ng nh t b ng không trên S, hay

u
u
u
y
x  
t   v
  
cos n, x cos n, y cos n, t

 

G i m là ph
có trên đ

 

 

ng c a m t đ

 

(2.1.13)

ng sinh  b t kì nào đó c a m t bên S. Ta

ng sinh 
  u
  u
 
u u
 cos m, x  cos m, y  cos m, t
m x
y
t
 
 
 
 
 

 v cos m, x cos n, x  cos m, y cos n, y  cos m, t cos n, t 


 
 vcos m, n  0

 
 
 
           
 

 

Vì m  n . Nh v y u(x,y,t)=const d c trên đ
u(x,y,t)=0 nên u(x,y,t)=0 d c đ
nh lí hoàn toàn đ

ng sinh  .

ng sinh  . Vì t i đáy

c bi t t i đ nh A :u(A)=0

c ch ng minh.

2.3. Công th c cho nghi m c a bƠi toán Cauchy v i ph

ng

trình truy n sóng
Gi s trong không gian (x,y,z) cho hai hàm   x, y, z và   x, y, z 
trong đó  là hàm sao cho nó và t t c các đ o hàm c a nó k cho t i c p 3

Bùi Th Th y

20

K32A-Khoa Toán


Tr

ng H S Ph m HƠ N i 2

Khóa lu n t t nghi p

liên t c v i m i x,y,z và  c ng v y nh ng đ o hàm k t i c p 2. Gi s
f(x,y,z,t) là hàm liên t c đ i v i t và có đ o hàm cho t i c p 2 liên t c đ i v i
(x,y,z).
Ta tìm nghi m u(x,y,z,t) trong mi n t  0 c a ph

ng trình truy n sóng

2
 2u
 2u  2u 
2 u
 a  2  2  2   f ( x, y, z, t )
t 2
 x y z 

(2.2.1)

tho mãn các đi u ki n sau

u  x, y, z,0     x, y, z 

(2.2.2)

u
 x, y, z,0     x, y, z 
t

(2.2.3)

Nghi m này đ

c gi thi t là kh vi liên t c 2 l n đ i v i các bi n trong

mi n t  0 . Theo đ nh lí duy nh t nó đ

c hoàn toàn xác đ nh trong mi n t>0 .

gi i bài toán (2.2.1), (2.2.2), (2.2.3) ta l n l

t gi i 3 bài toán sau

Bài toán 1. Tìm nghi m v(x,y,z,t) sao cho
2
 2v
 2v  2v 
2  v
a  2  2  2 
t 2
 x y t 

(2.2.4)

v( x, y, z,0)  0

(2.2.5)

v

 x, y, z,0     x, y, z 
t

(2.2.6)

Bài toán 2. Tìm nghi m  (x,y,z,t) sao cho
2
 2
 2  2 
2 
a  2  2  2 
t 2
y
t 
 x

(2.2.7)

 ( x, y, z,0)    x, y, z

(2.2.8)


 x, y, z,0   0
t

(2.2.9)

Bài toán 3. Tìm nghi m u*(x,y,z,t) sao cho
Bùi Th Th y

21

K32A-Khoa Toán


Tr

ng H S Ph m HƠ N i 2

Khóa lu n t t nghi p

2 *
 2u *
 2u *  2u * 
2 u
a


 x2 y2  t 2   f ( x, y, z, t )
t 2



(2.2.10)

u* ( x, y, z,0)  0

(2.2.11)

u *
 x, y, z,0   0
t

(2.2.12)

Rõ ràng b ng ph

ng pháp ch ng ch t nghi m, đ t :u=v+w+u* (2.2.13)

Thì u s là nghi m c a bài toán (2.2.1), (2.2.2), (2.2.3) xu t phát .
1) Gi i bài toán 1
G i Sat là m t c u tâm (x,y,z) bán kính at,  , ,  là bi n đi m tích
phân ch y trên m t c u đó. Ta ch ng minh nghi m c a bài toán 1 cho b i
công th c

v x, y, z, t  

  , , 
1
ds
2 
4 a S
t

(2.2.14)

at

B ng phép th bi n

  x   at ,  y   at ,  z   at
Thì m t c u Sat trong không gian  , ,  chuy n thành m t c u đ n v
S1 v i tâm là g c to đ trong không gian  ,  ,   . H n n a g i dS1 là vi
phân trên m t S1 thì ta có : dS=a2t2dS1
T đó (2.2.14) có th vi t d

v x, y, z, t  

i d ng khác

t
  x   at , y   at , z   at  dS1
4 S

(2.2.15)

1

Sau đây tu s ti n l i c a t ng tr

ng h p ta dùng d ng (2.2.14) ho c

(2.2.15).
Bây gi ta th tr c ti p đ th y công th c (2.2.14) cho ta nghi m bài
toán 1.

Bùi Th Th y

22

K32A-Khoa Toán


Tr

ng H S Ph m HƠ N i 2

Khóa lu n t t nghi p

Vì   x, y, z  liên t c, nên áp d ng đ nh lí trung bình cho (2.2.14) ta có

v x, y, z, t  

1
  * , * ,  *   ds  t  * , * , * 
2
4 a t
S
at

Trong đó  * , * , *  là m t đi m nào đó trên m t Sat. Do tính liên t c
c a   , ,  nên rõ rãng khi t  0,  * , * , *  là m t đ i l

ng gi i n i

và vì v y
lim
v x, y, z, t   v  x, y, z,0   0
t 0

V y (2.2.5) đ

c tho mãn.

th l i đi u ki n (2.2.6), ta xét đ o hàm c a v (d ng (2.2.5) )

v 1
at

  x   at , y   at , z   at  dS1 

t 4 S
4
1

v at
 
t 4

         dS

1

S1

          dS

(2.2.16)

1

S1

Vì các đ o hàm riêng c a  c ng liên t c, nên c ng áp d ng đ nh lí
c r ng khi t  0 h ng th c th 2 trong

trung bình nh trên, ta kh ng đ nh đ
v ph i c a (2.2.16) d n t i 0. Do đó

t  * , * , * 
v
v
 lim  lim
   x, y, z
lim
t 0
t t 0 t t 0
t
V y (2.2.6) đ
Bây gi

c tho mãn .
ch còn ph i ch ng minh v(x,y,z,t) tho mãn ph

ng trình

(2.2.4).
T (2.2.15) ta có ngay
vxx  vyy  vzz 

Bùi Th Th y

t
4

          dS

1

S1

23

K32A-Khoa Toán


Tr

ng H S Ph m HƠ N i 2

Khóa lu n t t nghi p



1
         dS
4 a 2t S

(2.2.17)

at

M t khác t (2.2.16) và sau đó dùng công th c Ôtstrôgratski v i chú ý
r ng  ,  ,   là cosin ch ph

ng c a pháp tuy n ngoài c a m t Sat, t i

đi m  , , 
v v at
 
t t 4

         dS

1

S1

v
1
 
          dS
t 4 at S
at

v
1
 
          dV

t 4 at V
at

Trong đó Vat là hình c u có m t bên là Sat .

t

I (t )            dV
Vat

at  2

      r , ,  r 2 sin  drd d

(2.2.18)

0 0 0

v v
1
I (t )
 
t t 4 at

Ta có

(2.2.19)

v 1v
 2v

1
1
I (t ) 
I '(t )
 2  .

2
2
t t t
t
4 at
4 at

T đó

(2.2.20)

Chú ý (2.2.19) thì (2.2.20) có th vi t

 2v
1
1
1
v 1 v



.(

(

))

(
)

I
t
I
t
I '(t )
t 2
4 at
4 at 2
4 at
t2 t t


Bùi Th Th y

1
I '(t )
4 at

(2.2.21)

24

K32A-Khoa Toán

Tr

ng H S Ph m HƠ N i 2

Khóa lu n t t nghi p

Dùng (2.2.18) th y ngay đ

c

 2

I '(t )  a    a 2t 2 sin  d d  a   dS
0 0

Sat

T đó (2.2.21) cho ta

1
 2v

       dS
2
4 t S
t
at

So sánh v i (2.2.17), ta đ

c (2.2.4)

2
 2v
 2v  2v 
2  v
a  2  2  2 
t 2
 x y t 

Bài toán 1 đ

c gi i xong.

2) Gi i bài toán 2: Ta ch ng minh r ng nghi m c a bài toán 2 s là

  x, y, z, t  

v
t

(2.2.22)

Trong đó v là nghi m c a bài toán 1 v i v ph i c a (2.2.6) là hàm 
Th c v y t ph

v 

 tt

ng trình

 a 2  v  xx   v  yy   v  zz  đ o hàm theo t hai v , ta có



 v 
 v 
 v 
 v  
2 
a




 t 





 

tt
 t  xx  t  yy  t  zz 

t c là có (2.2.7)

Vì v là nghi m c a bài toán 1, chú ý (2.2.4) và (2.2.5), (2.2.6) ta đ

c

v
 x, y, z,0     x, y, z
t
 2v

 x, y, z,0   2  x, y, z,0 
t
t

  x, y, z,0  

 2v
 2v
  2v

 a  2  x, y, z,0   2  x, y, z,0   2  x, y, z,0    0
y
z
 x

2

Bùi Th Th y

25

K32A-Khoa Toán