Luận văn sư phạm Các dạng hội tụ của dãy biến ngẫu nhiên và ứng dụng

Khoá lu n t t nghi p

Tr

L IC M

ng HSP Hà N i 2

N

Em xin chân thành c m n s quan tâm giúp đ t n tình c a các th y cô
giáo trong khoa và các th y cô trong t toán ng d ng - khoa Toán tr

ng

HSPHN2 đã t o đi u ki n thu n l i giúp đ em trong su t quá trình h c t p
và th c hi n khóa lu n t t nghi p t i tr

ng.

c bi t, em xin g i l i c m n sâu s c đ n th y giáo Tr n M nh Ti n
đã giúp đ , h

ng d n t n tình đ em hoàn thành khóa lu n t t nghi p này.

Em xin chân thành c m n!

Hà N i, tháng 5 n m 2010
Sinh viên

Th Thu Hi n

Th Thu Hi n

1

K32 CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Tr

ng HSP Hà N i 2

L I CAM OAN
Khóa lu n t t nghi p này là k t qu nghiên c u c a em trong th i gian
v a qua d

is h

ng d n c a th y giáo Tr n M nh Ti n.

Em xin cam đoan khóa lu n t t nghi p này không trùng v i b t k khóa
lu n t t nghi p nào khác.
N u sai em xin hoàn toàn ch u trách nhi m.

Hà N i, tháng 5 n m 2010
Sinh viên

Th Thu Hi n

Th Thu Hi n

2

K32 CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Tr

ng HSP Hà N i 2

M CL C
Ph n m đ u…………………………...…………………………………….1
Ch

ng 1. S h i t c a dƣy các bi n ng u nhiên…………………...……2

1.1.

Các d ng h i t c a dãy bi n ng u nhiên …………………………...…2

1.2.

Quan h gi a các d ng h i t c a dãy các bi n ng u nhiên ……….…..8

1.3.

Dãy c b n và tiêu chu n Cauchy ………………...…………….…....18

Ch

ng 2.

ng d ng c a các d ng h i t c a dƣy bi n ng u nhiên…….24

2.1. Hàm đ c tr ng ……………………...……………………………….….24
2.2.

ng d ng c a các d ng h i t c a dãy bi n ng u nhiên ………...….….28
2.2.1. M t s b t đ ng th c ………………...……………………….….28
2.2.2. Lu t s l n và ng d ng …………………...………………….…30
2.2.3.

nh lý gi i h n trung tâm và ng d ng ………………...............40

K t lu n ……………………………...……………………………………..52
Tài li u tham kh o …………………………………………………………53

Th Thu Hi n

3

K32 CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Tr

PH N M

ng HSP Hà N i 2

U

Trong toán h c, lý thuy t xác su t nói chung và hàm ng u nhiên nói
riêng là b môn có ng d ng r t r ng rãi trong các ngành khoa h c t nhiên,
khoa h c xã h i và th c t cu c s ng. Nó là công c đ gi i quy t các v n đ
chuyên môn c a nhi u l nh v c nh v t lý, k thu t, sinh v t và nhi u ngành
khoa h c khác.
Chính vì v y em đã ch n đ tài: “Các d ng h i t c a dƣy bi n ng u
nhiên vƠ ng d ng”.
N i dung c a khóa lu n bao g m
Ch

ng 1: S h i t c a dƣy các bi n ng u nhiên
Trong ch

ng này, em đã trình bày s l

c m t s ki n th c v đ nh

ngh a các d ng h i t , m i quan h gi a chúng và tiêu chu n Cauchy v các
d ng h i t .
Ch

ng 2:

ng d ng c a các d ng h i t c a dƣy bi n ng u nhiên

Trong ch

ng này, em trình bày m t s

ng d ng c a các d ng h i

thông qua m t s b t đ ng th c và m t s đ nh lý gi i h n và ng d ng c a
chúng.

Th Thu Hi n

4

K32 CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Tr
CH

S
1.1.

ng HSP Hà N i 2

NG 1

H I T C A DẩY CÁC BI N NG U NHIÊN

CÁC D NG H I T C A DẩY BI N NG U NHIÊN
Cho  X n n1 là dãy các bi n ng u nhiên và bi n ng u nhiên X cùng xác

đ nh trên không gian xác su t  ,A, P  .
nh ngh a 1.1. (H i t h u ch c ch n hay h i t m nh)
Dãy bi n ng u nhiên  X n n1 đ

c g i là h i t h u ch c ch n đ n bi n

ng u nhiên X khi n   n u t n t i AA sao cho P  A  0 và:
Xn    X   , n  ,   A   \ A

Kí hi u
h.c.c
Xn 
 X, n  

H i t h u ch c ch n còn đ

c g i là h i t v i xác su t 1

h.c.c
P  Xn 
 X   1, n  





hay P  : lim Xn    X    1
n

T đ nh ngh a trên ta có
.c.c
Xn h
 X, n   n u v i   0,   A   \ A, t n t i N ,    0 sao

cho Xn    X     , n  N  , 
nh ngh a 1.2. (H i t theo xác su t hay h i t y u)
Dãy bi n ng u nhiên  X n n1 đ

c g i là h i t theo xác su t đ n bi n

ng u nhiên X khi n   n u v i   0 thì
lim P  Xn  X     0
n

Th Thu Hi n

5

K32 CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Tr

ng HSP Hà N i 2

Kí hi u
P
Xn 
 X, n  

T đ nh ngh a trên ta có
P
Xn 

X, n   n u v i   0,   0 , t n t i N ,   sao cho

P  Xn  X      , n  N  , 

Chú ý 1. Ta có

  : X    X         : X    X       
n

n

 P  Xn  X     P  Xn  X     1
Mà theo đ nh ngh a 1.2 ta có P  Xn  X     0, n   nên
P  Xn  X     1, n   hay lim P  Xn  X     1 .
n

Khi đó ta có đ nh ngh a
nh ngh a 1.3. Dãy bi n ng u nhiên  X n n1 đ

c g i là h i t theo xác su t

P  Xn  X     1
đ n bi n ng u nhiên X n u   0 thì lim
n

Ngh a là
P
Xn 

X, n   n u v i   0,   0,1 , t n t i N ,   sao cho

P  X n  X     1   , n  N  ,  

Ta th y r ng đ nh ngh a 1.2 và đ nh ngh a 1.3 là t

ng đ

ng v i nhau.

nh ngh a 1.4. (H i t theo phơn ph i)
Kí hi u
Fn x  F Xn x : Hàm phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên X n

F x  FX x : Hàm phân ph i xác su t c a bi n ng u nhiên X
Ta nói r ng dãy bi n ng u nhiên  X n n1 đ

c g i là h i t theo phân

ph i đ n bi n ng u nhiên X khi n   n u Fn x  F x, n   v i m i

x฀ và F x liên t c.
Th Thu Hi n

6

K32 CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Tr

ng HSP Hà N i 2

Kí hi u
d
Xn 
 X, n  

T đ nh ngh a trên ta có
d
Xn 
 X, n   n u v i   0 và v i m i x thu c t p liên t c c a F thì

t n t i N , x sao cho Fn  x  F  x   , n  N  , x
Chú ý 2.
N u

d
Xn 

X, n  

thì

ch a

th

k t

lu n

đ

c

fn  x 
 f  x v i fn x, f x là hàm m t đ xác su t c a các bi n
n

ng u nhiên X n ,X.
Th t v y ta xét ví d
1
1
1
, x  1   hay x  1  


V i n  1,2,... xét hàm fn  x   2
2
2
0 , trái lai


Ta có lim fn  x  0  f  x  0 v i m i x฀ và F x không là hàm m t đ
n

xác su t.
Xét hàm m t đ xác su t Fn t

ng ng v i fn đ

c cho b i

1



x
0
,
1

n

1
1
1

Fn  x  
, 1  x 1
n
n
2
1

1 , x  1  n


Th Thu Hi n

7

K32 CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Tr

ng HSP Hà N i 2

1
1

2

0

1

1
n

1

1
n

Ta th y r ng: lim Fn  x  F  x trong đó F x đ
n

c xác đ nh b i

0 , x  1 là hàm m t đ xác su t
F  x  
1 , x  1
d

X, n   nh ng fn x 
V y Xn 
 f x, n  

nh ngh a 1.5. (H i t theo trung bình)
Gi s E Xn   , n  1,2,... và 1  p  
p

Dãy bi n ng u nhiên  X n n1 đ

c g i là h i t theo trung bình c p p

đ n bi n ng u nhiên X n u E Xn  X  0 khi n  
p

Kí hi u
p
X n 
X, n

L

Tr

ng h p v i p  2 ta g i là h i t theo ngh a bình ph

L2
Xn 
X

nêu

ng trung bình

E Xn  X  0 khi n  
2

Có ngh a:
V i   0 ,  N     0 sao cho : E Xn  X   ,  n  N   
2

Ví d 1: Gi s Z n là đ i l
P  Zn  1 

Th Thu Hi n

ng ng u nhiên r i r c đ

c xác đ nh

1
1
, P  Zn  2   1 
n
n
8

K32 CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Tr

ng HSP Hà N i 2

2
2 , n  
Ch ng minh: Zn 

L

L i gi i. Theo đ nh ngh a ta có

1 1
2
2 1
2
E Zn  2  1  2  .   2  2  1     0 , khi n  
n
 n n
2
2 , n  
V y Zn 

L

Ví d 2. Gi s Z n là đ i l
P  Zn  0   1 

ng ng u nhiên r i r c đ

c xác đ nh

1
1
, P  Zn  n  
n
n

 0 , n   nh ng E Zn  0 
Ch ng minh Zn 
 0,n
2

p

L i gi i. Ta có

P  Zn     P  Zn  n  

1
 0 , khi n  
n

0 , n  
Do đó Zn 
p

1
2
 1
M t khác E Zn  2  0.1    n2 .  n   , khi n  
n
 n
Do đó Z n không h i t t i 0 theo ngh a bình ph

ng trung bình

 0 , n   nh ng E Zn  0 

V y Zn 
 0,n
2

p

BƠi t p áp d ng
Bài 1. V i n  1,2,... cho X n là dãy bi n ng u nhiên đ c l p sao cho

P  Xn  1  pn ,

P  Xn  0  1  pn .

0 , n  
Ch ng minh r ng Xn 
p

Bài 2. V i n  1,2,... cho X n là dãy bi n ng u nhiên v i hàm m t đ xác
su t Fn đ

0 , x  n
c cho b i Fn  x  
1 , x  n

Ch ra r ng Fn  x 
 0 , x ฀
n
Th Thu Hi n

9

K32 CN Toán


Khoá lu n t t nghi p
Bài 3. Cho

X 
j

Tr

j 1, n

ng HSP Hà N i 2

là dãy các bi n ng u nhiên đ c l p sao cho



EX j   , DX j   . Ch ng minh r ng E Xn  
2



2


0
n

Bài 4. V i n  1,2,... cho Xn , Yn là dãy bi n ng u nhiên sao cho

 0 v i m i bi n
E  Xn  Yn  
 0 và gi s r ng E  Xn  X  
n
n
2

2

L2
X , n .
ng u nhiên X. Ch ng minh r ng Yn 

Bài 5. Cho X j  j 1,n là dãy các bi n ng u nhiên đ c l p có phân ph i U 0,1
và

t p

Yn  min  X1,..., Xn  , Zn  max  X1,..., Xn  , U n  nYn , Vn  n 1  Zn 
Ch ng minh r ng khi n   thì
P
P
i) Yn 
 0 , ii) Zn 
1
d
iii) U n 

U

d
, iv) Vn 
V

đây U, V có phân ph i m âm có tham s   1

Th Thu Hi n

10

K32 CN Toán


Khoá lu n t t nghi p
1.2. QUAN H

Tr

GI A CÁC D NG H I T

ng HSP Hà N i 2

C A DẩY CÁC BI N

NG U NHIÊN.
P
nh lỦ 1.1. Cho  Xn n1 là m t dãy gi m và Xn 
 X . Khi đó

h.c.c
Xn 
 X, n  

Ch ng minh
t Yn  Xn  X
P
Vì Xn là dãy gi m và Xn 
 X nên Yn c ng là dãy gi m và
P
Yn 
 0 khi n  

h.c.c
 0, n   b ng ph
Ta s ch ng minh Yn 

ng pháp ph n ch ng

c l i Yn không h i t h u ch c ch n đ n 0

Gi s ng

T c là t n t i   0,  A A sao cho P  A    0 và

sup Yk     , n tùy ý ,   A
kn

Vì Yn là dãy gi m nên Yn    sup Yk  

kn

 A    : Yn     

 P Yn     P  A    0 ,  n

  gt : Y  0
P

n

h.c.c
 X, n   khi và
nh lí 1.2. Dãy bi n ng u nhiên  Xn n1 và Xn 



ch khi P  sup Xk    X       0


kn





Hay P  sup Xnk    X       0


k 1

Th Thu Hi n



11

khi n  
khi n  

K32 CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Tr

ng HSP Hà N i 2

Ch ng minh
t Zn  sup Xk    X   ,
kn

n  1,2,...

 Dãy  Zn n1 là dãy gi m v 0 (khi n càng bé)

Khi đó
h.c.c
P

Xn 
 X, n    Zn 
0 

P  sup Xnk    X       0
 k1


khi n  

nh lỦ 1.3. Ta có các kh ng đ nh sau:
i)

h.c.c
P
 X, n   thì Xn 
N u Xn 
 X, n  

ii)

L2
P
N u Xn 
 X, n   thì Xn 
 X, n  

iii)

P

d
 X, n   thì Xn 
N u Xn 
 X, n  

Ta có s đ

h .c .c
X 
Xn 

P
X
Xn 


d
 Xn 
X

L2
X
Xn 
B đ 1.1. ( B t đ ng th c Markov)
Cho X là bi n ng u nhiên không âm và EX   . Khi đó ta có
PX  a 

EX
, a 0
a

Ch ng minh
+) Xét X là bi n ng u nhiên liên t c có hàm m t đ xác su t là fX  x khi đó

 a  0 ta có


EX 



a

 x. f  x dx   x. f  x dx   x. f  x dx
X

X

0

X

0

a







 x. f  x dx  a 
X

a

Th Thu Hi n

f X  xdx  a .P  X  a 

a

12

K32 CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Tr

ng HSP Hà N i 2

+) Xét X là bi n ng u nhiên r i r c có hàm phân ph i xác su t là: pX  x . Ta
có


a

n 0

n 0

EX   xn pn  x   xn pn  x 



 x p  x

n  a 1



n

n



 x p  x  a  x p  x  a.P  X  a 

n  a 1

V y PX  a 



n

n

na

n

n

EX
, a 0
a

Ch ng minh đ nh lỦ 1.3.
i) Ta có

X

n



 X     sup Xk  X  
kn



 0  P  Xn  X     P  sup Xk  X     0 , n  
 kn


 do X

n

h . c .c

 X

P
V y Xn 
 X, n  

ii) Ta có

P  Xn  X    

E Xn  X

 0  P  Xn  X    

2

2

,   0

E Xn  X

2

 theo b đ t Markov 

2

0, n

P
 Xn 
 X, n  

Th Thu Hi n

13

K32 CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Tr

ng HSP Hà N i 2

iii) Gi s x ฀ và F  x liên t c, v i   0 ta có

 X  x      Xn  x, X  x      Xn  x, X  x   
Mà

 Xn  x, X  x      Xn  x

và

 Xn  x, X  x      Xn  x,  X   x   
  Xn  X      Xn  X   
  X  x      Xn  x   Xn  X   
 P  X  x     P  Xn  x  P  Xn  X   

T

 F  x     Fn  x  P  Xn  X    ,

n

 F  x     lim Fn  x

1

ng t ta có:

lim Fn  x  F  x   
T

1 ,  2 ta có :

 2

F  x     lim Fn  x  lim Fn  x  F  x   

Cho n   ta có :

F  x     lim Fn  x  F  x   

Cho   0 ta có :

lim Fn  x  F  x

n 

n 

d
V y Xn 
 X, n  

Th Thu Hi n

14

K32 CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Tr

ng HSP Hà N i 2

Chú ý 4
+) T đ nh lý 1.1 và đ nh lý 1.3 ta th y
h.c.c

P
 X  Xn 
X
N u  Xn n1 là dãy gi m thì: Xn 

+) H i t theo phân ph i là d ng h i t y u nh t và th
d ng h i t y u t c là nó đ

khi n  
ng đ

c g i là

c suy ra t t t c các d ng h i t khác và do đó

nó là d ng h i t chung nh t và có ích nh t c a các bi n ng u nhiên.
c ng là khái ni m h i t đ

ây

c dùng trong đ nh lý gi i h n trung tâm và trong

lu t s l n.
+) H i t h u ch c ch n là khái ni m đ

c đ c p trong lu t s l n.

+) H i t theo xác su t là khái ni m h i t đ c p trong lu t y u s l n.
d
P

+) N u Xn 
 X, n   nh ng ng
 X, n   thì Xn 

c l i thì

không đúng. Th t v y ta xét ví d : Cho S  1,2,3,4 và trong t p con c a S
l y hàm r i r c P. Khi đó ta có dãy các bi n ng u nhiên

Xn 1  Xn  2   1,
Và

X 1  X  2   0 ,

Thì

Xn  s   X  s   1,

Do đó

Xn  3  Xn  4   0 ,

n  1, 2,...

X  3  X  4   1
 sS

Xn 
 X theo xác suât khi n  

Xét hàm phân ph i

0 , x  0

FXn  x   12 , 0  x  1,
1, x  1


0 , x  0

FX  x   12 , 0  x  1
1, x  1


Ta th y FXn  FX  x ,  x  ฀
V y ta có đi u ph i ch ng minh.

Th Thu Hi n

15

K32 CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Tr

ng HSP Hà N i 2

nh lỦ 1.4.
i) Cho  X n n1 là dãy các bi n ng u nhiên. Gi s g : ฀  ฀ là hàm liên t c.
Khi đó
P
P
Xn 
 X  g  Xn  
g  X , n  

ii) T ng quát, n u v i j  1,..., k

, Xn  , n  1 và X j là dãy các bi n ng u
j

nhiên và g : ฀ k  ฀ k là hàm liên t c. Khi đó:



P
Xn  
 X j  g Xn  ,..., Xn
j

1

k

  g  X ,..., X 
P

1

k

,n

 j  1,..., k 
Ch ng minh
i)

Theo gi thi t hàm g liên t c nên khi đó

  0 ,   0 sao cho x  x0  
Ta có g  x  g  x0    . T đ y ta có h th c v bi n ng u nhiên

  0 ,   0 :  Xn  X      g  Xn   g  X    
L y xác su t hai v

P  Xn  X     P  g  Xn   g  X    

P
 X , n   mà v trái h th c trên d n đ n 1 trong khi
Do gi thi t Xn 

v ph i b ch n b i 1. V y:

P  g  Xn   g  X      1 , n  
P
g  X , n  
V y g  Xn  

ii)

Ch ng minh t

ng t .

nh lỦ 1.5.
i) Cho  X n n1 là dãy các bi n ng u nhiên. Gi s g : ฀  ฀ là hàm liên t c.
h .c .c
h.c .c
 X  g  Xn  
g  X , n  
Khi đó Xn 

Th Thu Hi n

16

K32 CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Tr

ii) T ng quát, n u v i j  1,..., k

ng HSP Hà N i 2

, Xn  , n  1 và X j là dãy các bi n ng u
j

nhiên và g : ฀ k  ฀ k là hàm liên t c. Khi đó



h .c .c
Xn  
 X j  g Xn  ,..., Xn
j

1

k

  g  X ,..., X 
h .c .c

1

k

,n

 j  1,..., k 
nh lỦ 1.6.
i) Cho  X n n1 là dãy các bi n ng u nhiên. Gi s g : ฀  ฀ là hàm liên t c.
Khi đó
d

d
Xn 
 X  g  Xn  
g  X , n  

ii) T ng quát, n u v i j  1,..., k

, Xn  , n  1 và X j là dãy các bi n ng u
j

nhiên và g : ฀ k  ฀ k là hàm liên t c. Khi đó



d
Xn  
 X j  g Xn  ,..., Xn
j

1

k

  g  X ,..., X 
d

1

k

,n

 j  1,..., k 
Chú ý 5. Cho  X n n1 là dãy các bi n ng u nhiên. Gi s

g  x là m t hàm

liên t c t i x  c . Khi đó
P
P
Xn 
 c  g  Xn  
 g c

Ch ng minh. Vì g  x là m t hàm liên t c t i x  c khi đó theo đ nh ngh a
hàm liên t c ta có:    0 ,    , c  : x  c   thì



Suy ra n u a  x : x  c  



g  x  g  c   





thì a  x : g  x  g  c   





  Xn  c     g  Xn   g  c    , n  *





 P g  Xn   g  c     P  Xn  c    , n   *

Th Thu Hi n

17

K32 CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Tr

ng HSP Hà N i 2

 g  X   g  c      lim P  X  c     1
 lim P  g  X   g  c      1 hay g  X  
 g c 
 1  lim P

n

n

n

n

P

n

n

n

nh lỦ 1.7. i u ki n h i t theo phân ph i c a dãy vect ng u nhiên
Gi

X   X1,..., Xk 

s



X    X1  ,..., Xk
n

n

n

là

vect

ng u

 , n= 1, 2,… là dãy vect

nhiên

k

chi u.Và

ng u nhiên k chi u. Khi đó

d
d
X   
 X  1 X1   ...  k Xk  
 1 X1  ...  k Xk ,
n

n

n

  1 ,..., k   ฀ k
Ví d
P
L2
 X, n   . Khi đó
 X, n   thì Xn 
Ta có n u Xn 

n u
L2
P  X  c   1 thì Xn 
 X ,n  

 E  Xn  
 c , D  Xn  
0
n
n
Th t v y

E  Xn  c   E  Xn  EXn    EXn  c  
2

 E  Xn  EXn    EXn  c 
2

 D  Xn    EXn  c 
Do đó

2

2

2

E  X n  c  
 0  EX n 
c
n
n
2

và

DXn 
0
n 

P
P
 X, Yn 
Y, n   thì
H qu . N u Xn 

i)

P
 X  Y.
Xn  Yn 
n

P
 aX  bY.
ii ) aXn  bYn 
n
P
 XY.
iii ) XnYn 
n
P
 X /Y
iv) Xn / Yn 
n

(V i a, b là các h s )
Th Thu Hi n

18

K32 CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Tr

ng HSP Hà N i 2

Ch ng minh
i)

V i   0 b t k , b ng ph n ch ng, ta đ

c



  Xn  Yn    X  Y      Xn  X     Yn  Y  

 
2  
2 




T đó 0    Xn  Yn    X  Y     P  Xn  X    P  Yn  Y  
2
2


P
P
 X, Yn 
Y, n   mà v ph i d n đ n 0 khi
Do gi thi t Xn 
P
 X  Y.
n   , v y Xn  Yn 
n

Ch ng minh ii), iii), iv) t

ng t .

d
P
 X, Yn 
 c , n   ( v i c là h s ) thì
nh lý 1.8. N u Xn 
d
Xn  Yn 
 X  c.
n

i)

d
ii ) XnYn 
 cX.
n

d
iii ) Xn / Yn 
X /c , c  0
n

Ch ng minh

i ) P  Xn  Yn  z   FXn Yn  z  

 FX c  z 
n
 P  X  c  z   P  X  z  c   FX  z  c 

ii ) P  XnYn  z   FXnYn  z  
 FcX  z 
n
 
z
 z
 P  X  c   FX  c  , c  0
 

 
 P  cX  z   
P  X  z   1  F  z  , c  0
X 

 
c
c

Th Thu Hi n

19

K32 CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Tr

ng HSP Hà N i 2

X

iii ) P  n  z   FXn / Yn  z  
 FX / c  z 
n
Y
 n

X
  P  X  cz   FX  cz  , c  0
 P   z  
c
  P  X  cz   1  FX  cz  , c  0
H qu .
N u X1,..., Xn là dãy bi n ng u nhiên đ c l p v i E  Xi    , D  Xi    2
thì



n  1 Xn  
Sn
và



n Xn  
Sn

  N  0,1
d
n

  N  0,1
d
n

BƠi t p áp d ng
Bài 1. V i n  1,2,... cho Xn là dãy bi n ng u nhiên có phân ph i Bn, p n 
v i n. pn  n      0  .
d
CMR. Xn 
 X, n   v i X là bi n ng u nhiên có hàm phân ph i

P  
Bài 2. Cho X là đ i l

ng ng u nhiên r i r c đ

P  X  1 

c xác đ nh b i

1
1
, P  X  1 

2
2

Xn  X v i n ch n, Xn   X v i n l
d
Ch ng minh r ng Xn 
 X, n   nh ng

Xn 
 X theo xác suât khi n  

Th Thu Hi n

20

K32 CN Toán


Khoá lu n t t nghi p
1.3.DÃY C
1.3.1.

Tr

ng HSP Hà N i 2

B N VẨ TIÊU CHU N CAUCHY

nh ngh a 1.5 (Dƣy c b n h i t theo xác su t)
Dãy bi n ng u nhiên

 Xn n1 đ

c g i là dãy c b n h i t theo xác

su t n u    0 b t kì thì

P  Xn  Xm     0 , n, m  
nh ngh a 1.6 (Dƣy c b n theo h i t h u ch c ch n)
Dãy bi n ng u nhiên

 Xn n1

đ

c g i là dãy c b n theo h i t h u

ch c ch n n u    0 b t kì thì



P sup Xk  Xl     0 , n  
 k ,l  n

Nh n xét
1) Ta có sup Xm  Xn  sup Xk  Xl  2 sup Xm  Xn
m n

Ta có đi u ki n t

k ,l  n

m n

ng đ dãy  Xn n1 là dãy c b n theo h i t h u

ng đ

ch c ch n là    0 b t kì thì





 0  P sup Xm  Xn    
0
P sup Xk  Xl    
n
n
m  n

 k ,l  n

2)

t Zn  sup Xk  Xl ,
k, l  n

n  1,2,...

P
 Z n là dãy gi m và theo đ nh lý 1.2 thì Zn 
 0, n  
h.c.c
 0, n   theo đ nh lý 1.1
Suy ra Zn 



i u này có ngh a là dãy Xn  

Th Thu Hi n



n1

là dãy c b n trong

21

฀

K32 CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Tr

ng HSP Hà N i 2

nh ngh a 1.7 (Dƣy c b n theo h i t trung bình c p p)
Dãy bi n ng u nhiên  Xn n1 đ
bình c p p n u E Xn  Xm  0 ,

c g i là dãy c b n theo h i t trung

m, n  

p

B đ 1.2 ( B đ Borel ậ Cantelli)

 An n1 . Khi đó ta có các kh

Cho dãy các bi n c
1) N u

 P  A    thì P  limsup A   0


n

n 1

 P  A    và  A 
n

n 1

n

n



2) N u

ng đ nh:

n





đ c l p thì: P limsup An  1
n

Ch ng minh


t Bn   Ak ,

1)

k n



n  1,2,... Ta có  Bn n1 là dãy gi m






 

P   Bn   P limsup An  lim P  Bn   lim P   Ak   lim  P  Ak   0
n
n
n
 n1 
 kn  n kn

V y ta có đi u ph i ch ng minh.

 

2) Ta có  An n1 đ c l p thì An

n1

c ng đ c l p



P A

0  P   Ak    P Ak   1  P  Ak     e  k   e
k n
k n
 n1  kn






 









 P  Ak 

k n

 e  0 ,

 n  1



  
 
 

 P limsup An  P   Ak    P   Ak   0
n
 n1 k n  n1  k n 









 P limsup An  1  P limsup An  1  0  1
n

Th Thu Hi n

22

K32 CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Tr

  n n1 là dãy s

H qu 1. Gi s


P X

n

n 1

ng HSP Hà N i 2

ng và  n  0 . Khi đó n u

d

 X   n    , n   thì

h . c .c
X
Xn 

Ch ng minh.


t An   Xn  X   n    P  An   
gt

n 1





Theo b đ Borel – Cantelli thì P limsup An  0 .
n

N u   limsup An thì  N   sao cho

Xn    X     n , n  N  

n

Do đó Xn    X   ,   limsup An .
n



H qu 2. Cho   n  n1 là dãy s d


P X

n 1

n 1

ng và


n 1

n

  . Khi đó n u

 Xn   n    , n   thì

h . c .c
X
Xn 

Ch ng minh.


t An   Xn1  Xn   n    P  An   
gt

n 1





Theo b đ Borel – Cantelli thì P limsup An  0 .
n

N u

  limsup An thì  N   sao cho   An , n  N  
n

hay Xn1  Xn   n , n  N  
V y khi   limsup An , chu i s
n

h ng b tr i b i các s h ng t

 X    X  
n 1

n

có các s

n

ng ng c a chu i h i t



n

b tđ ut s

n

h ng N   .
Th Thu Hi n

23

K32 CN Toán


Khoá lu n t t nghi p

Tr

ng HSP Hà N i 2

Do đó t n t i gi i h n h u h n


X    lim Xn  X1      Xn1    Xn    ,   limsup An
n

n

n 1

H qu 3. N u dãy bi n ng u nhiên



 Xn n1 là dãy c

b n theo xác su t thì



h .c .c
X.
t n t i dãy con Xnk sao cho Xnk 

Ch ng minh. Ta ch n dãy 1  n0  n1  ...  nk  ... b ng quy n p nh sau.
t n0  1 . Gi s đã ch n đ

c n k . Khi đó tìm đ



c nk 1  nk sao cho



P Xnk 1  Xnk  2 k  2 k , k  1,2,...
i u đó có th th c hi n đ
Rõ ràng

P X

nk  1

k

c do dãy  Xn n1 c b n theo xác su t .



 Xnk  2 k   2 k  
k

h .c .c
 X nào đó.
Theo h qu 2 thì Xnk 

1.3.2. Tiêu chu n Cauchy
nh lỦ 1.6 (Tiêu chu n Cauchy v s h i t theo xác su t)
i u ki n c n và đ đ dãy các bi n ng u nhiên

 Xn n1

h i t theo

xác su t là  Xn n1 là dãy c b n theo xác su t.
Ch ng minh
i u ki n c n
Gi s

P
Xn 
 X ta c n ch ng minh:

 Xn n1

là dãy c b n theo

xác su t. Ta có





0  P  Xn  Xm     P  Xn  X    P  Xm  X  
2
2


Th Thu Hi n

24

K32 CN Toán


Khoá lu n t t nghi p
Cho m, n  

Tr

ng HSP Hà N i 2

ta có P  Xn  Xm     0   Xn  là dãy c b n theo

xác su t
i u ki n đ

Xn n1

Gi s
dãy con

X  h it
nk

là dãy c b n theo xác su t. Theo h qu 3 thì t n t i
h u ch c ch n đ n bi n ng u nhiên X.





Xét P  Xn  X     P  Xn  Xnk    P  Xnk  X  
2
2


Cho n, k  

P
ta có P  Xn  X     0  Xn 
X

nh lỦ 1.7 (Tiêu chu n Cauchy v s h i t h u ch c ch n)
i u ki n c n và đ đ dãy các bi n ng u nhiên h i t h u ch c ch n là

 Xn n1 là dãy c

b n theo ngh a h i t h u ch c ch n .

Ch ng minh
i u ki n c n
h.c.c
 X . V i    0 ta có
Gi s Xn 



 
   : sup Xk    Xl          : sup Xk    X     
2
k, l  n
kn

 


    : sup Xl    X    
2
ln







 P  sup Xk  Xl     P sup Xk  X    P sup Xl  X  

2
2
k, l  n

kn
 ln


Cho k, l   thì ta có P  sup Xk  Xl     0
k , l  n

V y  Xn n1 là dãy c b n.

Th Thu Hi n

25

K32 CN Toán