Luận văn sư phạm Cơ sở trong không gian Banach

Khoá lu n t t nghi p

V Th H

L I NịI

ng - K29K - Toán

U

1. Lý do ch n đ tƠi
Lí thuy t hƠm vƠ gi i tích hƠm có t m quan tr ng đ c bi t đ i v i toán
h c c b n vƠ toán h c ng d ng. N i dung c a nó r t phong phú, đa d ng.
Do ki n th c trên l p v i l

ng th i gian eo h p nên khó có th đi sơu

nghiên c u m t v n đ nƠo đó c a gi i tích hƠm. V i mong mu n đ
hi u sơu h n v b môn nƠy, d

c tìm

i góc đ m t sinh viên s ph m toán vƠ

trong ph m vi c a m t khoá lu n t t nghi p cùng v i s giúp đ c a th y
giáo ậ TS. Bùi Kiên C

ng, em xin m nh d n trình bƠy nh ng hi u bi t c a

mình v đ tƠi : “C s trong không gian Banach”.
2. M c đích nghiên c u

Quá trình th c hi n đ tƠi đã giúp em b

c đ u lƠm quen v i vi c

nghiên c u khoa h c vƠ tìm hi u sơu h n v gi i tích hƠm, đ c bi t lƠ tìm
hi u sơu v c s trong không gian Banach.
3. Nhi m v nghiên c u
tƠi nƠy đ

c nghiên c u nh m đi sơu khai thác lƠm n i b t nh ng

tính ch t đ c tr ng c a c s t ng quát trong không gian Banach, m i liên h
gi a c s v i m t s dãy d c bi t, tính đ i ng u c a c s . T đó, nghiên
c u sơu các tính ch t đ c tr ng c a m t s c s c th : c s h i t tuy t
đ i, c s y u vƠ y u* trong không gian Banach. Qua đó, b sung thêm
nh ng tính ch t quan tr ng vƠ lƠm phong phú thêm n i dung c a b môn
Gi i tích hƠm.
4. Ph

ng pháp nghiên c u
tƠi đ

c hoƠn thƠnh d a trên s k t h p các ph

c u lí lu n, phơn tích, t ng h p, đánh giá.

1

ng pháp: nghiên

Khoá lu n t t nghi p

V Th H

ng - K29K - Toán

5. C u trúc khoá lu n
NgoƠi ph n m đ u, k t lu n, danh m c tƠi li u tham kh o, khoá lu n
g m ba ch

ng:

 Ch

ng 1: Ki n th c chu n b

 Ch

ng 2: C s trong không gian Banach

 Ch

ng 3: C s h i t tuy t đ i, c s y u vƠ y u * trong không gian

Banach
Trong su t quá trình nghiên c u, đ
C

c th y giáo ậ TS. Bùi Kiên

ng ch b o, giúp đ t n tình, em đã hoƠn thƠnh khoá lu n nƠy. M t l n

n a cho em đ

c g i l i c m n sơu s c t i th y.

Em r t mong các th y giáo, cô giáo cùng các b n sinh viên trong khoa đóng
góp ý ki n đ đ tƠi nƠy đ

c hoƠn thi n h n.
HƠ N i, tháng 05 n m 2007
Tác gi

V Th H

2

ng


Khoá lu n t t nghi p

V Th H

Ch

ng - K29K - Toán

ng 1

KI N TH C CHU N B
M t s kí hi u
F : kí hi u lƠ tr
A :l cl

c

n

ng vô h

ng c a t p A h u h n.

  : đ ch chu i
1
0

 mn  

ng, F = ฀ ho c F = ฀ .

c

n

h it .

nÕu m  n,
: ch s Kronecker.

nÕu m  n

Cho X, Y lƠ các t p h p. Khi đó : f : X  Y lƠ m t hƠm v i mi n xác
đ nh X , mi n giá tr Y.

Range( f )  f ( X)   f ( x) : x  X : nh ho c mi n giá tr c a f .
x : lƠ phi m hƠm tuy n tính liên t c trên X .

 x, x  x ( x) : tác đ ng c a x lên x  X .
x  sup  x, x  .
x

X

1

3


Khoá lu n t t nghi p

V Th H

ng - K29K - Toán

§1. Không gian Banach
1.

nh ngh a không gian đ nh chu n vƠ ví d
nh ngh a 1.1. Không gian vect

X đ

c g i lƠ không gian tuy n tính

đ nh chu n (không gian đ nh chu n) n u v i m i x  X t n t i s th c x ,
g i lƠ chu n c a x , tho mãn:
a) x  0,
b) x  0 n u vƠ ch n u x  0 ,
c) cx  c x , v i m i vô h
d) x  y  x  y ,

ng c, v i m i x  X ,

x, y  X .

N u ch có tính ch t a), c) vƠ d) thì  đ

c g i lƠ m t n a chu n.

nh ngh a 1.2. Cho X lƠ m t không gian tuy n tính đ nh chu n
a) M t dãy các vect

 xn 

trong X h i t

t i x X n u

lim xn  x  0, ngh a lƠ, n u

n

  0, N  0, n  N, xn  x   .
Trong tr

ng h p nƠy, ta vi t xn  x ho c lim xn  x.
n 

b) M t dãy các vect

 xn  trong

X

lƠ dãy Cauchy n u

lim xn  xm  0, ngh a lƠ, n u

m,n

  0, N  0, m, n  0, xn  xm   .
c) D th y m i dãy h i t trong không đ nh chu n đ u lƠ dãy Cauchy.
Tuy nhiên, đi u ng

c l i nói chung không đúng. Ta nói r ng X là không

gian đ y n u nó tho mãn m i dãy Cauchy đ u h i t . Không gian tuy n
tính đ nh chu n đ y đ

c g i lƠ không gian Banach.

4


Khoá lu n t t nghi p

V Th H

ng - K29K - Toán

nh ngh a1.3. Dãy  xn  trong không gian Banach X là
a) B ch n d

i n u inf xn  0,

b) B ch n trên n u sup xn   ,
c) Chu n hoá n u xn  1 v i m i n.
nh ngh a 1.4. Cho không gian đ nh chu n X và  1 ,  2 lƠ hai chu n trên

X . Hai chu n  1 và  2 g i lƠ t

mg đ

ng n u t n t i hai s d

ng  , 

sao cho

 x 1  x 2   x 1 x  X .

nh lí 1.1. N u  1 ,  2 là t

ng đ

ng thì cùng xác đ nh m t s h i t v i

m t dãy b t kì, ngh a là

lim x  xn 1  0  lim x  xn 2  0.
n

n

Ví d 1.1. Cho f lƠ hƠm giá tr ph c xác đ nh trên t p E  ฀ . Khi đó
a) V i 1  p  , đ t



p
Lp ( E )   f : E  ฀ :  f ( x) dx   .


E
ơy lƠ m t không gian Banach v i chu n

f

 (  f ( x) dx)1/ p .
p

p

L

E

ng h p p =  , đ t

b) Tr

L ( E )   f : E  ฀ : f lƠ hƠm b ch n trên E .

ơy lƠ không gian Banach v i chu n_sup
f  x

Ví d 1.2.

L

 ess sup f ( x) = inf M  0 : f ( x)  M h u kh p n i
xE

t C ( E ) =  f : E  C : f liên t c trên E

5

.

.

Khoá lu n t t nghi p

V Th H

ng - K29K - Toán

N u E lƠ m t t p compact trong ฀ thì m i phi m hƠm liên t c trên
ng h p nƠy, C  E  là m t không gian Banach v i

E đ u b ch n. Trong tr

chu n_sup
f

L

 sup f ( x) .
xE

Ví d 1.3. V i 1  p   , đ t



p
l p  c  (cn ) :  cn    .
n฀


ơy lƠ m t không gian Banach v i chu n

c

lp

 (cn )

 ( cn )1/ p .
p

lp

n฀

nh lí 1.2 (B t đ ng th c Holder). V i 1  p   và xác đ nh p tho mãn
h th c

1 1
  1.
p q

t

1
1
  và
 0.
0


a) N u f  Lp ( E ) và g  Lp ( E ) thì fg  L1 ( E ) và
,

fg

 f

L1

g

Lp

V i 1  p   b t đ ng th c này t


E

Lp

,

.

ng đ

ng v i m nh đ

f ( x) g ( x) dx  (  f ( x) )1/ p (  g ( x) )1/ p .
p,

p

E

,

E

b) N u (a n )  l p và (bn )  l p thì (a nbn )  l1 và
,

(a nbn )

 ( (a n )

l1

V i 1  p   b t đ ng th c này t

ng đ

lp

(bn )

lp

,

.

ng v i m nh đ

 anbn  ( a n )1/ p ( bn )1/ p .
p,

p

n

n

,

n

c bi t, n u p  p, = 2 thì ta có b t đ ng th c Schwarz ho c
Cauchy – Schwarz :

6


Khoá lu n t t nghi p


E

V Th H

ng - K29K - Toán

f ( x) g ( x) dx  (  f ( x) )1/ 2 (  g ( x) )1/ 2 và
2

2

E

a b

n n

n

E

 ( a n )1/ 2 ( bn )1/ 2 ..
2

n

2

n

2. Tôpô trong không gian đ nh chu n
nh ngh a 1.5. T p X0   g i lƠ không gian đ nh chu n con c a không
gian đ nh chu n X n u X0 lƠ không gian tuy n tính con c a không gian
X vƠ chu n xác đ nh trên X0 lƠ chu n xác đ nh trên X .

N u X0 đ ng th i lƠ t p đóng trong không gian X thì X0 g i lƠ
không gian đ nh chu n con đóng c a không gian X .
nh ngh a 1.6. Không gian tuy n tính đ nh chu n X g i lƠ không gian
tách đ

cn ut nt im tt pđ mđ

c trù m t trong X .

Ví d 1.4. V i 1  p   thì l p lƠ không gian tách đ

c.

nh ngh a 1.7. Cho  xn lƠ m t dãy tu ý trong không gian tuy n tính
đ nh chu n X .
a) Bao tuy n tính h u h n c a dãy  xn lƠ t p h p t t c các t h p
tuy n tính các ph n t c a dãy  xn . Kí hi u
span  xn

N

=  cn xn : N  0 vµ c1,..., cN  F  .
 n1


b) Bao đóng tuy n tính c a  xn lƠ bao đóng c a bao tuy n tính h u
h n vƠ đ

c kí hi u lƠ span  xn .

c)  xn lƠ đ y trong X n u span  xn = X hay span  xn trù m t
trong X .

7


Khoá lu n t t nghi p

V Th H

ng - K29K - Toán

3. Toán t tuy n tính
nh ngh a 1.8. Cho hai không gian tuy n tính đ nh chu n X vµ Y trên
ng F . M t ánh x T : X  Y đ

tr

c g i lƠ m t toán t . N u Y  F thi

toán t T : X  F lƠ phi m hƠm trên X .

T lƠ tuy n tính n u T(a x  by) = aT x  bTy , a, b  F , x, y  X .
T lƠ đ n ánh ho c 1  1 n u Tx  Ty khi vƠ ch khi x  y .
nh hay mi n giá tr c a T là Range(T)  T( X)  Tx : x  X.

T lƠ toƠn ánh ho c lên n u Range(T)  Y .
Chu n c a toán t tuy n tính ho c đ n gi n lƠ chu n c a toán t T là
T  sup Tx .

x 1

Tđ

c g i lƠ b ch n n u T   .

T lƠ b o toƠn chu n ho c đ ng c n u Tx Y  x

X

x  X.

nh lí 1.3. Cho T : X  Y là toán t tuy n tính ánh x không gian đ nh
chu n X vào không gian đ nh chu n Y . Khi đó

T liên t c  T b ch n.
Do đó, ta dùng các thu t ng liên t c và b ch n thay th cho nhau khi
nói v các toán t tuy n tính.
4. Không gian liên h p, toán t liên h p
nh ngh a 1.9. Cho X lƠ m t không gian tuy n tính đ nh chu n trên
ng F . Ta g i không gian X các phi m hƠm tuy n tính liên t c trên

tr

không gian X lƠ không gian liên h p (không gian đ i ng u) c a không gian

X.
nh lí 1.4. N u X là không gian đ nh chu n, khi đó không gian đ i ng u
X là không gian Banach v i chu n x

8

X

 sup  x, x  .
x X 1


Khoá lu n t t nghi p

V Th H

ng - K29K - Toán

nh lí 1.5. Gi s X là không gian Banach. Khi đó, x  X
x

X

 sup  x, x  .
x 1

nh ngh a 1.10
a) Không gian liên h p c a không gian X g i lƠ không gian liên h p
th hai c a không gian đ nh chu n X vƠ kí hi u lƠ X .
b) M i ph n t

x  X xác đ nh m t ph n t  ( x)  X cho b i công

th c  x , ( x)  x, x  v i x  X . Ánh x  : X  X đ

c g i lƠ

phép nhúng chính t c X vµo X , t đó đ ng nh t X v i không gian con

 ( x)  X .
N u  lƠ song ánh thì ta vi t X  X vƠ nói r ng X là không gian
ph n x .
Ví d 1.5. Lp ( E) vµ l p lƠ các không gian ph n x n u 1  p   , nh ng
c p  .
không lƠ không gian ph n x v i p  1hoÆ

V i 1  p  , q  0 tho mãn

1 1
  1 thì:
p q

( Lp ( E))  Lq ( E),
(l p )  l q .

nh ngh a 1.11. Gi s

X, Y lƠ hai không gian tuy n tính đ nh chu n, S là

toán t tuy n tính b ch n t

X vµo Y . Toán t

S : Y  X xác đ nh b i

S y  y  S, y  Y , ngh a lƠ
 x, S y    Sx, y  , x  X
g i lƠ toán t liên h p c a toán t tuy n tính b ch n S.
D th y S tuy n tính vƠ v i m i y  Y ta có

9

(1.1)


Khoá lu n t t nghi p

V Th H

ng - K29K - Toán

(S y ) x   Sx, y   y S x ,x  X .
Do đó, S y  S y . V y S lƠ m t toán t tuy n tính b ch n.
nh lí 1.6. N u S là toán t tuy n tính liên h p c a toán t tuy n tính b
ch n S t không gian tuy n tính đ nh chu n X vào không gian tuy n tính
đ nh chu n Y thì S  S .
5. S h i t y u
nh ngh a 1.12. Gi s X lƠ m t không gian Banach.
a) Dãy

xn các

ph n t

c a X h i t

t i đi m x  X n u

lim x  xn  0 . Khi đó, ta c ng g i s h i t nƠy lƠ s h i t m nh ho c s
n

h i t theo chu n.
b) Dãy  xn các ph n t c a X h i t y u đ n x  X n u
x  X , lim  xn , x   x, x  .
n

Khi đó, ta nói r ng xn  x y u.

 

c) Dãy xn các phi m hƠm c a X h i t y u* đ n x  X n u
x  X , lim  xn , x   x , x  .
n

Trong tr

ng h p nƠy, ta nói r ng xn  x yÕu ho c trong tôpô yÕu .

Chú ý r ng, s h i t

yÕu ch áp d ng đ i v i s h i t c a các

phi m hƠm trong không gian đ i ng u X . Tuy nhiên, do X là không gian
đ i ng u c a chính nó, ta có th ch ra s h i t m nh ho c y u c a các

phi m hƠm trong X c ng chính lƠ s h i t yÕu c a các phi m hƠm nƠy.
c bi t, n u X lƠ không gian ph n x thì X  X , do đó xn  x y u
trong X n u vƠ ch n u xn  x yÕu trong X .

10


Khoá lu n t t nghi p

V Th H

ng - K29K - Toán

B đ 1.1. Cho X là m t không gian Banach.
a) S h i t m nh trong X thì kéo theo s h i t y u trong X .
b) S h i t y u trong X kéo theo s h i t yÕu trong X .
B đ 1.2. M i dãy h i t y u thì đ u có chu n b ch n trên, ngh a là, n u

xn  X và

xn  x  X y u thì sup xn   .

§2. Không gian Hilbert
nh ngh a 1.13. Cho không gian tuy n tính X trên tr

ng F . Ta g i lƠ

ng trên không gian X m i ánh x t tích Descartes X  X vào

tích vô h

F , kí hi u  ,  tho mãn tiên đ :
a)

(x, y  X)  y, x   x, y  ;

b)

(x, y, z X)  x  y, z   x, z  y, z  ,

c)

(x  X)  x, x  0 n u x   ( lƠ kí hi u ph n t không),
 x, x  0 n u x   .

N u  x, y  0 thì x, y đ

c g i lƠ tr c giao. Khi đó ta vi t x  y . N u

x  X , ta đ t
x   x, x  ,

(1.2)

thì công th c nƠy xác đ nh m t chu n trên X .
nh ngh a 1.14. Không gian tuy n tính trên tr
vô h

ng F cùng v i m t tích

ng g i lƠ không gian ti n Hilbert.

Nh v y, m i không gian ti n Hilbert đ u lƠ không gian đ nh chu n v i
chu n (1.2).
nh ngh a 1.15. Ta g i m t t p H   g m nh ng ph n t
đ y lƠ không gian Hilbert n u H tho man các đi u ki n:

11

x, y, z... nào


Khoá lu n t t nghi p

V Th H

1) H lƠ không gian tuy n tính trên tr
2) H đ

ng - K29K - Toán

ng F ;

ng  ,  ;

c trang b m t tích vô h

3) H lƠ không gian Banach v i chu n x   x, x  , x  H .
Ta g i m i không gian tuy n tính con đóng c a không gian Hilbert H
là không gian Hilbert con c a không gian Hilbert H .

Ví d 1.6. a) Lp ( E) là không gian Hilbert khi p  2 vƠ tích vô h

ng đ

c

xác đ nh b i  f , g    f ( x)g( x) dx . Khi p  2 thì Lp ( E) không là không
E

gian Hilbert.
b) p  2 thì l p lƠ không gian Hilbert v i tích vô h

ng



 (an ),(bn )   an bn .
n1

p  2 thì l p không là không gian Hilbert.
nh lí 1.7. Cho H là m t không gian Hilbert và l y x, y  H .
a) (B t đ ng th c Cauchy- Schwarz)

 x, y   x y .

b) x  sup  x, y  .
y 1

c) (

2

ng th c hình bình hành)

2

2

2

2

2

x  y  x  y  2( x  y ) .

d) ( nh lí Pythagorean) N u  x, y  0 thì x  y  x  y .
nh ngh a 1.16. Cho  xn lƠ m t dãy trong không gian Hilbert H .
a)  xn lƠ dãy tr c giao n u  xn, xm  0 khi m  n .
b)  xn lƠ dãy tr c chu n n u  xm, xn  mn , ngh a lƠ,  xn tr c giao
và x  1 v i m i n .

12


Khoá lu n t t nghi p

V Th H

ng - K29K - Toán



c)  xn lƠ c s c a H n u x  H đ u c th vi t x   cn xn v i
n1

cách ch n các vô h

ng cn lƠ duy nh t.

d) Dãy  xn lƠ c s tr c chu n n u nó v a lƠ dãy tr c chu n v a lƠ
c s . Trong tr

ng h p nƠy, s bi u di n duy nh t c a x  H theo c s

này là x    x, xn  xn (xem đ nh lí 1.10)
Ví d 1.7. Sau đơy lƠ m t vƠi ví d v c s tr c chu n.
a) L y H  l 2 vƠ xác đ nh dãy en  ( mn )m1  (0,...,0,1,0,...) , trong đó s 1
v trí th n . Khi đó, en lƠ m t c s tr c chu n c a l 2 , th

ng g i lƠ c s

chính t c.
b) L y H  L2  0,1 , không gian các hƠm có bình ph

 0,1 .

ng kh tích trên

t en ( x)  e2 inx v i n฀ . Khi đó enn฀ lƠ m t c s c a H . N u

f  L2  0,1 thì f    f , en  en đ

c g i lƠ chu i Fourier c a f và

n฀

( f , en )n฀ lƠ dãy các h s Fourier c a f . Các h s Fourier th

ng đ

c

1

^

kí hi u b i f (n)  f , en    f ( x)e2 inxdx .
0

N u en lƠ c s tr c chu n c a không gian Hilbert H b t kì thì bi u
di n x    x, en  en đ

( x, en ) đ

c g i lƠ chu i Fourier suy r ng c a x  H và

c g i lƠ dãy các h s Fourier suy r ng.

nh lí 1.8 ( nh lí Friesz). N u x là m t phi m hàm tuy n tính liên t c
trên không gian Hilbert H thì t n t i duy nh t ph n t y c a H sao cho

x ( x)  x, y  , x  H và

x  y .

13


Khoá lu n t t nghi p

V Th H

ng - K29K - Toán

Nh đ nh lí Friesz, m i phi m hƠm tuy n tính liên t c x trên không
gian Hilbert H t

ng ng v i m t ph n t y  H . Hi n nhiên t

ng ng đó

v a tuy n tính v a đ ng c . Vì v y ta có th đ ng nh t m i phi m hƠm
x  H  v i ph n t y  H , ngh a lƠ H   H .

nh lí 1.9. Cho  xn là m t dãy tr c chu n trong không gian Hilbert H .
a) Chu i x   cn xn h i t n u và ch n u (cn )  l 2 . Trong tr

x   cn .
2

này, ta có công th c Plancherel

2

b) N u x   cn xn h i t thì cn  x, xn  .
là các h s đ

ng h p

c bi t, (cn )  ( x, xn )

c xác đ nh duy nh t sao cho x   cn xn .

c) (B t đ ng th c Bessel) N u x  H thì

  x, x

2

n

2

  x .

nh lí 1.10. Cho  xn là m t dãy tr c chu n trong không gian Hilbert H .
Khi đó, các m nh đ sau là t

ng đ

ng:

a)

xn là đ

y trong H .

b)

xn là c

s tr c chu n trong H .

c) (Công th c Plancherel)
d) x    x, xn  xn

  x, x

n

2

  x

2

x  H .

x  H .

nh lí 1.11. Không gian Hilbert H có c s tr c chu n khi và ch khi
không gian đó là tách đ

c.

nh ngh a 1.17. Cho S lƠ toán t tuy n tính b ch n ánh x không gian
Hilbert X vào không gian Hilbert Y . Toán t S ánh x không gian Y vào
không gian

X g i lƠ toán t

liên h p c a toán t

 Sx, y  x, S y  , x  X,y  Y .

14

S n u


Khoá lu n t t nghi p

V Th H

ng - K29K - Toán

nh ngh a 1.18. Gi s H là không gian Hilbert.
a) Toán t tuy n tính b ch n S ánh x không gian Hilbert H vào
chính nó g i lƠ t liên h p n u  Sx, y   x, Sy  x, y  H . Có th ch ra

r ng S lƠ t

liên h p khi vƠ ch

khi  Sx, x  lƠ s

th c vƠ

S  sup  Sx, x  .
x 1

b) S: H  H lƠ xác đ nh d

ng, kí hi u S 0 , n u  Sx, x  lƠ s

th c vƠ  Sx, x  0 x  H . Ta có th ch ra r ng toán t xác đ nh d

ng

trong không gian Hilbert ph c lƠ t liên h p.
c) S: H  H xác đ nh d

ng h u h n, kí hi u S 0 , n u  Sx, x  là

s th c vƠ  Sx, x  0 , x  H .
d) N u S, T : H  H thì vi t S T n u S T  0. T

ng t , S T

n u S T  0 .

Ví d 1.8. Gi s

S: ฀ n  ฀ m lƠ toán t tuy n tính liên t c xác đ nh b i

ma tr n (aij ) c p m n , aij  ฀ , i  1, m, j  1, n . Khi đó, S : ฀ m  ฀ n xác
đ nh b i ma tr n c p n  m và (aij )  (aij )t . N u m  n thì S lƠ t liên h p
và (aij )  (aji ) .

15


Khoá lu n t t nghi p

V Th H

ng - K29K - Toán

§3. Các nguyên lí c b n c a gi i tích hƠm
nh lí 1.12 ( nh lí Haln- Banach). Cho X là m t không gian vect và p
là m t hàm giá tr th c trên X tho mãn

x, y  X,a, b  ฀ , a  b  1  p(a x  by)  a p( x)  b p( y) .
L y  là m t phi m hàm tuy n tính trên không gian con Y c a X và
gi s

 tho mãn x  Y,  ( x)  p( x) . Khi đó, t n t i m t phi m hàm

tuy n tính  trên X sao cho:

x  X ,  ( x)  p( x) và x  Y , ( x)   ( x) .

H qu 1.1. Cho X là m t không gian tuy n tính đ nh chu n và l y Y là
m t không gian con c a X ,   Y . Khi đó, t n t i   X sao cho:

x  Y,  x,  x,   vµ 

X

 

Y

.

H qu 1.2. Cho X là m t không gian tuy n tính đ nh chu n và l y y  X .
Khi đó, t n t i   X sao cho  y,  
Trong tr

X

y X.

ng h p đ c bi t, t n t i   X sao cho



X

 1 vµ  y,  y X .

H qu 1.3. Cho Z là m t không gian con c a không gian tuy n tính đ nh

chu n X và y  X .

t d  dist(y, Z)=inf y  z X .
z฀

Khi đó t n t i   X sao cho :
a) 

X

 1, b)  y,  d , c) z Z ,  z,   0 .

H qu 1.4. Cho X là m t không gian Banach. Khi đó, xn  X là đ y
n u và ch n u t n t i x  X tho mãn  xn , x  0 n thì x   .

16


Khoá lu n t t nghi p

V Th H

ng - K29K - Toán

N u H lƠ m t không gian Hilbert thì H   H . Do đó, h qu 4 suy ra
r ng dãy  xn trong không gian Hilbert H lƠ đ y n u vƠ ch n u m i y  H
tho mãn  xn, y  0 v i m i n thì y   .
nh lí 1.13 (Nguyên lí b ch n đ u). Cho X là m t không gian Banach và

Y là m t không gian tuy n tính đ nh chu n. L y T   là m t h các toán

t tuy n tính b ch n ánh x X vào Y . Khi đó,
(x  X ,sup T ( x) Y  )  sup T   .
y

nh lí 1.14 (Nguyên lí ánh x m ). Cho T : X  Y là m t toán t tuy n
tính b ch n t không gian Banach X lên không gian Banach Y . Khi đó

T(U )  T( x) : x U là t p m trong Y khi U là t p m trong X .
nh lí 1.15 (Nguyên lí ánh x

ng

c).

M t song ánh liên t c

T : X  Y ánh x không gian Banach X lên không gian Banach Y có song
ánh ng

c T1 : Y  X .

nh ngh a 1.19. Cho hai không gian đ nh chu n X vµ Y . N u toán t
tuy n tính liên t c T ánh x không gian X lên không gian Y có toán t T 1
liên t c thì toán t T g i lƠ phép đ ng phôi tuy n tính ánh x không gian X
lên không gian Y .
H qu 1.5. Song ánh tuy n tính liên t c T ánh x không gian Banach X
lên không gian Banach Y là m t phép đ ng phôi tuy n tính.
nh lí 1.16 (Nguyên lí đ th đóng). Cho toán t tuy n tính T ánh x
không gian Banach X lên không gian Banach Y . Toán t T liên t c khi và
ch khi

graph(T)  ( x, y)  X  Y : y  T( x) là t p đóng trong X  Y ,

ngh a là T b ch n n u và ch n u v i m i xn  X ta có:

( xn  x vµ T( xn )  y)  y  T( x) .

17


Khoá lu n t t nghi p

V Th H

Ch
C

S

ng - K29K - Toán

ng 2

TRONG KHÔNG GIAN BANACH
§1. S h i t c a chu i

1. Các đ nh ngh a
nh ngh a 2.1. Cho  xn lƠ m t dãy trong không gian Banach X .
a) Chu i

N

 xn h i t vƠ b ng x  X n u dãy t ng riêng SN   xn
n1

h i t t i x theo chu n c a X , ngh a lƠ, n u
N

  0, N0  0, N  N0 , x  SN  x   xn   .
n1

b) Chu i

x

n

lƠ chu i Cauchy n u dãy các t ng riêng SN  là dãy

Cauchy trong X , ngh a lƠ, n u

  0, N0  0, N  M  N0 , SN  SM 
Do X lƠ không gian Banach, chu i

N



n M 1

x

n

xn   .
h i t n u vƠ ch n u nó lƠ

chu i Cauchy.
nh ngh a 2.2. Cho  xn lƠ m t dãy trong không gian Banach X .
a) Chu i

x

n

h i t vô đi u ki n n u

 x

x

.

( n)

h it v im is

hoán v  c a ฀ * .
b) Chu i

x

n

h i t tuy t đ i n u

n

Ta th y trong đ nh ngh a 2.2 không đòi h i chu i
t i cùng m t giá tr v i m i s hoán v  .

18

 x

( n)

ph i h i t


Khoá lu n t t nghi p

V Th H

ng - K29K - Toán

Ví d 2.1. Cho en lƠ m t dãy tr c chu n vô h n trong không gian Hilbert

H vô h n chi u. Khi đó, t đ nh lí1.9a), chu i

c

2

n

c e

h i t n u vƠ ch n u

n n

  . Tuy nhiên, theo b đ 2.2 sau đơy, đi u nƠy x y ra n u vƠ ch

 c ( n)   v i m i hoán v  cña ฀ * . Do đó, e (n) c ng lƠ m t dãy
2

n u

c e

tr c chu n. T đó suy ra

n n

h i t n u vƠ ch n u chu i đó h i t vô

đi u ki n vƠ đi u nƠy x y ra v i m i (cn )  l 2 .
Trong tr
vƠ ch n u

c e

ng h p khác, do en  1, ta có

c

n

n n

h i t tuy t đ i n u

  . Do đó, s h i t c a chu i đúng v i (cn )  l 1 . Do l 1 là

t p con c a l 2 nên có nh ng chu i

c e

n n

h i t vô đi u ki n nh ng không

h i t tuy t đ i.
Chú ý r ng trong ví d nƠy, ta có th mô t chính xác t p h p các h
s

(cn ) sao cho

c e

n n

h i t vì ta đã bi t en lƠ dãy tr c chu n trong

không gian Hilbert ho c không gian Banach luôn g p r t nhi u khó kh n đ
mô t chính xác t p h p các h s (cn ) sao cho

c

a h i t ho c h i t

n n

vô đi u ki n.
2. M i liên h gi a s h i t tuy t đ i vƠ s h i t vô đi u ki n c a chu i
trong không gian Banach
B đ 2.1. Gi s (cn ) là m t dãy các vô h

c

n

n

ng th c ho c ph c. Khi đó,

h i t tuy t đ i   cn h i t vô đi u ki n.
n

Ch ng minh

 ] Gi s
N



n M 1

c

n

  vƠ v i   0 b t kì. Khi đó, t n t i N0  0 sao cho

cn   v i b t kì N  M  N0 .

19


Khoá lu n t t nghi p

V Th H

L y  lƠ m t hoán v b t kì c a ฀



ng - K29K - Toán





vƠ l y N1   1(1),..., 1(N0 ) .

Gi s r ng N  M  N1 . N u M  1  n  N , khi đó n  N1 . Do đó,

n   1(1),..., 1(N0 ) , vì v y  (n)  1,..., N0 . Do đó,  (n)  N0 .

c

bi t, K  min ( M  1),..., (N )  N0 và L  max (M+1),..., (N)  K .
Vì v y,

N



n M 1

c a các vô h

 ] Tr

c ( n) 

N



L

n M 1

 c

c ( n)   cn   . Do đó,
K

lƠ chu i Cauchy

( n)

ng vƠ do đó nó ph i h i t .

c

c h t, gi s

n

lƠ m t chu i các vô h

ng th c h i t vô đi u

ki n nh ng không h i t tuy t đ i. L y ( pn ) lƠ m t dãy các s h ng không
ơm c a (cn ) theo th t vƠ l y (qn ) lƠ m t dãy các s h ng ơm c a dãy (cn )

p

theo th t . N u

n

vµ  qn đ u h i t , khi đó d th y

 p   q , đi u nƠy mơu thu n. Vì v y, m t
 p hoÆc  q ph i phơn kì.
Gi s  p phân kì. Do p  0 v i m i n , ph i t

b ng

n

n

n

c

n

h i t vã

trong hai chu i

n

n

n

n t i m1  0 sao

cho:

p1    pm1  1.
Khi đó, t n t i m2  m1 sao cho:

p1    pm1  q1  pm11    pm2  2 .
C ti p t c nh v y, ta th y r ng

p1    pm1  q1  pm11    pm2  q2  
lƠ s hoán v c a

c

n

mƠ chu i nƠy phơn kì. Do đó,

t vô đi u ki n. Ch ng minh t
đi u ki n n u

q

n

ng t , ta c ng có

phân kì.

20

c

n

c

n

không th h i

không th h i t vô


Khoá lu n t t nghi p

V Th H

c

Vì v y, n u

n

lƠ m t chu i các vô h

ng th c h i t vô đi u ki n

c

thì chu i đó ph i h i t tuy t đ i. Bơy gi , gi s
h

ng - K29K - Toán

n

lƠ m t chu i các vô

ng ph c h i t vô đi u ki n. ta s ch ra ph n th c vƠ ph n o c a

c

n

h i t vô đi u ki n.
Vi t cn  an  ibn và l y  lƠ m t hoán v b t kì c a ฀ * . Khi đó,

c   c ( n) ph i h i t .

t c  a  ib . Khi đó:
N

N

n1

n1

a   a ( n)  c   c ( n) .
Vì v y, a   a ( n) h i t .
c a ฀ , do đó

a

n

i u nƠy, luôn đúng v i m i hoán v 

ph i h i t vô đi u ki n. Do đơy lƠ chu i các vô h

th c nên chu i đó ph i h i t tuy t đ i. T

ng t ,

 b ph i hh

ng

i t tuy t

n

đ i. Do đó,

c a

n

Vì v y,

c

n

n

 ibn   an   bn   .

h i t tuy t đ i.

B đ 2.2. Cho  xn là m t dãy các ph n t c a không gian Banach X . N u

x

n

h i t tuy t đ i thì nó h i t vô đi u ki n.

Ch ng minh
Gi s
Do



x

n

xn   . N u M  N , khi đó

N



n M 1

xn 

N



n M 1

xn .

lƠ m t chu i Cauchy các s th c, đi u đó cho th y

x

n

lƠ chu i Cauchy trong X . H n n a, ta l p l i lí lu n đ i v i hoán v b t kì

 c a ฀  , ta luôn có

 x

( n)

  theo b đ 2.1. Do đó,

đi u ki n.

21

x

n

h i t vô


Khoá lu n t t nghi p

V Th H

ng - K29K - Toán

§2. C s trong không gian Banach
1. C s Hamel
a)

nh ngh a
nh ngh a 2.3. M t t p h p h u h n các ph n t x1,..., xn trong không gian

vect ph c(th c) đ

c g i lƠ đ c l p tuy n tính n u vƠ ch n u

1x1    n xn  0 ,
v i 1,...,n ฀ (hoÆ
c ฀ ) thì suy ra 1     n  0 . T p con A c a không
gian vect đ

c g i lƠ đ c l p tuy n tính n u vƠ ch n u m i t p con h u

h n c a A lƠ đ c l p tuy n tính.
nh ngh a 2.4. T p con đ c l p tuy n tính h u h n A trong không gian
vect X đ

c g i lƠ c s Hamel c a X n u vƠ ch n u ph n t khác không

b t kì x  X có th vi t đ

cd

i d ng

x  1u1     mum
v i m t vƠi m฀  , các giá tr 1,...,m ฀ (hoÆ
c ฀ ) vƠ các ph n t phơn
bi t u1,..., um  A .
Nói cách khác, A lƠ c s Hamel c a X n u A lƠ đ c l p tuy n tính
vƠ n u ph n t b t kì c a X có th vi t đ

cd

i d ng m t t h p tuy n

tính h u h n các ph n t c a A .
Chú ý r ng n u A lƠ t p con đ c l p tuy n tính c a X vƠ n u x  X
có th vi t đ

i d ng x  1u1     mum nh trên thì s khai tri n

cd

nƠy lƠ duy nh t.

hi u đi u nƠy, gi s ta c ng có bi u di n

x  1v1    kvk ,
v i 1,..., k ฀ khác không vƠ các ph n t phơn bi t v1,..., vk  A . Th c
hi n chuy n v , ta có

  1u1    mum  1v1    kvk .

22


Khoá lu n t t nghi p

V Th H

ng - K29K - Toán

Gi s m  k . Lúc này, v1 không b ng b t kì m t ph n t vj nào và
vì v y, t tính đ c l p, c ng không th khác t t c các ui . Nói cách khác, v1
b ng m t trong các ui . T

ng t , ta th y m i vj b ng m t vƠi ui vƠ do đó

ph i có m  k và v1,..., vm lƠ m t hoán v c a u1,..., um . Nh ng khi đó, l i do
tính đ c l p, 1,..., m c ng lƠ hoán v c a 1,..., m . Tính duy nh t c a s
khai tri n c a x d

i d ng t h p tuy n tính h u h n các ph n t c a A suy

ra t đó.
b) S t n t i c a c s Hamel trong không gian vect
nh lí 2.1. M i không gian vect X có th có c s Hamel.
Ch ng minh
L y  kí hi u t p h p các b ph n đ c l p tuy n tính c a X , đ
s p x p riêng r bao hƠm nhau. L y S :   J lƠ m t t p h p đ
t toƠn ph n c a  .

c

c s p th

t S   S . Ta c n ch ng t S lƠ đ c l p tuy n tính.


hi u rõ đi u nƠy, gi s

x1,..., xm lƠ các ph n t phơn bi t c a S vƠ gi

s r ng 1x1    mxm   , v i 1,..., m ฀ (hoÆ
c ฀ ) khác không. Khi đó,

x1  S1 ,..., xm  Sm v i m t vƠi 1,..., m  J . Do S  đ

c s p th t toƠn

ph n, có m t vƠi  '  J sao cho S1  S ' ,..., Sm  S ' Vì th , x1,..., xm  S ' .
Nh ng S ' đ c l p vƠ vì v y ta ph i có 1    m  0. V y S lƠ đ c l p
tuy n tính, đi u ph i ch ng minh.
T đó suy ra S lƠ b ch n trên b i S  c a  . Vì th m i t p s p th
t toƠn ph n trong  lƠ b ch n trên vƠ vì v y theo b đ Zorn,  có th có
m t ph n t l n nh t, gi s lƠ M . Ta c n ch ng t M lƠ c s Hamel.
hi u đi u nƠy, l y x  X, x   vƠ gi s r ng đ ng th c có d ng

x  1u1    kuk

23


Khoá lu n t t nghi p

V Th H

ng - K29K - Toán

lƠ không th x y ra v i b t kì k ฀  , các ph n t phơn bi t u1,..., uk  M và
các ph n t

khác không 1,..., k ฀ (ho c ฀ ). Khi đó, v i b t kì

u1,..., uk  M phơn bi t, đ ng th c d ng  x  1u1    kuk   , ph i có

  0 . Nh ng khi đó đi u nƠy có ngh a lƠ 1    k  0 do tính đ c l p.
Vì th x, u1,..., uk lƠ đ c l p tuy n tính. T đó suy ra r ng M   x lƠ đ c
l p tuy n tính, đi u nƠy mơu thu n v i tính ch t l n nh t c a M . V y x có
th

vi t đ

i d ng x  1u1    mum tho

c d

mãn v i m฀ * ,

u1,...,uk  M vƠ các ph n t khác không 1,..., m ฀ (ho c ฀ ), ngh a lƠ M
lƠ c s Hamel c a X .
nh lí 2.2. Cho A là t p con đ c l p tuy n tính c a không gian vect

X.

Khi đó, có m t c s Hamel c a X ch a A , ngh a là, t p con đ c l p tuy n
tính b t kì c a không gian vect có th đ

c ch a trong m t c s Hamel.

Ch ng minh

L y  kí hi u t p h p các t p con đ c l p tuy n tính c a X mƠ ch a

A . Khi đó,  đ

c s p th t theo thuy t bao hƠm t p. Nh trên, v n d ng

b đ Zorn ta thu đ

c ph n t l n nh t c a  mƠ t p nƠy lƠ c s Hamel

c a X vƠ ch a A .
S t n t i c a c s Hamel có ý ngh a quan tr ng trong vi c xơy d ng
các ví d “ b nh h c ” khác nhau.
Ví d 2.2. Tr

c tiên ta chú ý đ n s t n t i c a các phi m hƠm tuy n

tính b ch n. D dƠng đ a ra các ví d trên không gian đ nh chu n. Ch ng
h n, l y X lƠ không gian vect các dãy s ph c mƠ các dãy nƠy d n t i
không. Vì th (an )  X n u vƠ ch n u an  0 v i m i n đ l n (ph thu c
vƠo dãy đ c bi t). Trang b X v i chu n (an )  sup an vƠ xác đ nh

24


Khoá lu n t t nghi p

V Th H

ng - K29K - Toán

 : X  ฀ cho b i (an )   ((an ))   an . Rõ ràng  lƠ m t phi m hƠm
n

tuy n tính b ch n trên X .
Ví d 2.3. Ta có th dùng khái ni m v c s Hamel đ đ a ra m t ví d v
m t không gian mƠ không gian nƠy lƠ không gian Banach v i hai chu n
không t

ng đ

ng đ

ng. D dƠng đ a ra các ví d v các không gian

vect v i các chu n không t

ng đ

ng. Ch ng h n, C 0,1 đ

c trang b

b i các chu n   và  1 lƠ m t ví d nh v y.
Ví d 2.4. Ta s dùng s t n t i c a c s Hamel đ ch ra r ng n u X là
m t không gian Banach vô h n chi u thì t n t i các phi m hƠm tuy n tính
trên X mƠ các hƠm nƠy không liên t c. L y  x  lƠ m t c s Hamel c a
 
không gian Banach vô h n chi u X , đã đ

c chu n hoá. Vì v y, x  1 v i

m i   . L y 0   1,  2 ,... lƠ dãy con đ m đ

c b t kì c a  .

t

 : X  ฀ xác đ nh b i   n   n v i n฀ * và     0 v i   \ 0 và
khi đó thác tri n  tuy n tính đ i v i X . Do đó,  lƠ m t phi m hƠm tuy n
tính trên X nh ng nó không b ch n.
Do m i không gian Banach lƠ m t không gian vect nên có c s
Hamel ho c c s không gian vect . Trong không gian Banach vô h n chi u
tách đ

c đòi h i có c s Hamel không đ m đ

c. H n n a, phép ch ng

minh s t n t i c a c s Hamel đ i v i không gian vô h n chi u tách đ

c

c n có các tiên đ Ch n (có th ch ra đ

c r ng m nh đ “ m i không gian

vect có m t c s Hamel ” lƠ t

ng v i tiên đ Ch n). Do đó, đ i

ng đ

v i không gian Banach không có m t ph
r ng c s Hamel.

25

ng pháp xơy d ng nƠo đ m