Luận văn sư phạm Khai thác bài tập toán phần công thức biến đổi lượng giác tang và cotang

Khóa lu n t t nghi p
Tr

ng đ i h c s ph m hà n i 2
Khoa Toán
----------------------------

D

ng V n C

ng

Khai thác bài t p toán
ph n công th c bi n đ i l ng giác tang
và cotang
KHÓA LU N T T NGHI P
Chuyên Ngành: Ph

IH C

ng pháp d y h c toán

Ng

ih

ng d n khoa h c

ThS. Nguy n V n Hà

hà n i - 2010

GVHD: Th c s Nguy n V n Hà

SV: D
1

ng V n C

ng


Khóa lu n t t nghi p

L IC M

N

Em xin chân thành c m n các th y cô giáo Tr ng i h c S ph m
Hà N i 2, các th y cô giáo trong khoa Toán và các th y cô giáo t b môn
ph ng pháp đƣ t n tình giúp đ em trong quá trình h c t p t i tr ng và t o
đi u ki n cho em th c hi n khoá lu n t t nghi p.
c bi t, em xin bày t lòng bi t n sơu s c t i th y giáo Nguy n V n
Hà, ng i đƣ t n tình h ng d n, ch b o em trong quá trình h c t p, nghiên
c u và hoàn thành khoá lu n này.
Trong quá trình nghiên c u, không tránh kh i nh ng thi u sót và h n
ch . Kính mong nh n đ c s đóng góp ý ki n c a các th y cô giáo và các
b n đ đ tài đ c hoàn thi n h n.

Em xin chân thành c m n!

Hà N i, tháng 5 n m 2010
Sinh viên

D

GVHD: Th c s Nguy n V n Hà

ng V n C

SV: D
2

ng

ng V n C

ng


Khóa lu n t t nghi p

L I CAM OAN
Tôi xin cam đoan đơy là công trình nghiên c u c a riêng tôi. Nh ng s
li u và k t qu trong khoá lu n là hoàn toàn trung th c.
tài ch a t ng đ c
công b trong b t c m t công trình khoa h c nào.

Hà N i, tháng 5 n m 2010
Sinh viên

D

GVHD: Th c s Nguy n V n Hà

ng V n C

SV: D
3

ng

ng V n C

ng


Khóa lu n t t nghi p

M CL C
trang
U

M
1.
2.
3.
4.

Lý do ch n đ tƠiầầầầầầầầầầầầầầầầầầ..ầầ.4

M c đích nghiên c uầầầầầầầầầầầầ.ầầầầ...ầầ.4
Nhi m v nghiên c uầầầầầầầầầầ..ầầầầ..ầ.ầầ...5
Ph ng pháp nghiên c uầầầầầầầầầầầầầầ..ầầ.ầ5

5. C u trúc khoá lu nầầầầầầầầầầầầầầầ..ầầ...ầ....5
N I DUNG
NG 1: C S Lụ LU N
A. BƠi toán vƠ l i gi i c a bƠi toán
1. Khái ni mầầầầầầầầầầầầầầ...ầầ.ầầầ.....6
2. V i trò, ý ngh a c a bƠi t p toán h cầầầầầ....................ầ6
3. Phơn lo i bƠi toánầầầầầầầầầầầầầầ.................8
4. Ph ng pháp gi i m t bƠi toánầầầầầầầầầầầ...ầ.9
B. N i dung ch ng trình l ng giác trung h c ph thôngầầầ....ầ12
CH NG 2: NG D NG TRONG D Y H C
A. Các ki n th c c b nầầầầầầầầầầầầầầầầ...ầ....13
B. Các d ng bƠi t pầầầầầầầầầầầầầầầầầầầ......20
D ng 1: Tính giá tr l ng giác c a m t góc khi bi t giá tr
giá tr l ng giác c a góc liên quan t i góc đóầầ..ầ.ầ.20
D ng 2: Ch ng minh đ ng th cầầầầầầầầầầ.ầầ...ầ..29
D ng 3: Rút g n bi u th c vƠ tính giá tr c a bi u th cầầầầầ..36
D ng 4: Ph ng trình l ng giácầầầầầầầầầầầầầ....40
D ng 5: Nh n d ng tam giácầầầầầầầầầầầầ...ầầ....57
D ng 6: Tích phơnầầầầầầầầầầầầầầầ...ầầầầ63
C. BƠi t p luy n t pầầầầầầầầầầầầầầầầ...ầầầầ71
CH

K T LU N..ầầầầầầầầầầầầầầầầầầầ.ầ...ầ...ầ.89
TÀI LI U THAM KH Oầầầầầầầầầầầầầầầ.ầầầ90

GVHD: Th c s Nguy n V n Hà

SV: D
4

ng V n C

ng


Khóa lu n t t nghi p

PH N I: M

U

1. LỦ do ch n đ tƠi
Nh m i khoa h c khác, l ng giác c ng xu t phát t nhu c u c a đ i
s ng.
Trong nhƠ tr ng ph thông, l ng giác chi m m t th i l ng t ng
đ i l n trong vi c gi ng d y vƠ h c t p b môn toán, nó có m t l ng ki n
th c r t l n, có tính h th ng, ch t ch , logic cao. c bi t lƠ ph n công th c
l ng giác. Nó có m t trong h u h t các phơn môn toán: Hình h c, đ i s , gi i
tích,ầ VƠ luôn đ c coi lƠ n i dung tr ng tâm trong b môn Toán nhà
tr ng ph thông.
Th c t trong th i gian h c t p nhƠ tr ng ph thông c ng nh trên
đ i h c, cho th y: khi lƠm các bƠi t p liên quan t i các hƠm s l ng giác thì
m c dù v n có đ c l i gi i đúng cho bƠi toán, tuy nhiên l i gi i nhi u khi
còn quanh co, vòng vèo. Nguyên nhơn lƠ do ng i lƠm toán không n m v ng
các công th c bi n đ i l ng giác, nhìn nh n v n đ không đ c thoáng.
V i m t bƠi toán nói chung vƠ bƠi toán l ng giác nói riêng thì có

nhi u cách gi i khác nhau, có th lƠ ph ng pháp t ng h p, ph ng pháp
vect ... Trong đó có m t ph n l n các bƠi toán trong đ i s vƠ gi i tích có th
gi i b ng cách l ng giác hoá, ta đ c cách gi i ng n g n, d hi u cho bƠi
toán.
Vì v y, trong m i kì thi luôn ra nh ng bƠi toán liên quan t i l ng giác,
các công th c bi n đ i l ng giác.
Xu t phát t s say mê c a b n thơn, ham mu n h c h i, tìm tòi,
nghiên c u sơu h n v l ng giác, v i mong mu n có đ c ki n th c v ng
h n v l ng giác đ chu n b cho vi c gi ng d y sau khi ra tr ng, cùng v i
s đ ng viên khích l c a th y giáo Nguy n V n Hà mƠ em đƣ ch n đ tƠi :
“Khai thác bƠi t p toán ph n công th c l ng giác tang và cotang”.
2. M c đích nghiên c u
M c đích nghiên c u ch y u c a đ tƠi lƠ:
- Giúp cho h c sinh h th ng t t h n các d ng bƠi t p v l ng giác,
đ c bi t lƠ các d ng bƠi t p liên quan t i hai công th c bi n đ i l ng giác
tang và cotang.
- Nghiên c u sơu h n v l ng giác đ có đ c ki n th c t t h n v
l ng giác, đ ng th i lƠm tƠi li u tham kh o cho h c sinh vƠ giáo viên.
GVHD: Th c s Nguy n V n Hà

SV: D
5

ng V n C

ng


Khóa lu n t t nghi p
3. Nhi m v nghiên c u

tƠi nghiên c u v i nhi m v :
- Nghiên c u lý lu n chung.
+ Bài toán và l i gi i c a bƠi toán.
+ N i dung ch ng trình l ng giác tr ng ph thông.
- H th ng hóa ph ng pháp gi i các d ng bƠi t p liên quan t i hai
công th c bi n đ i l ng giác tang vƠ cotang, d i d ng c b n vƠ nơng cao
nh m ph c v cho vi c gi ng d y: “L ng giác cho h c sinh ph thông”.
4. Ph ng pháp nghiên c u
- Ph ng pháp nghiên c u lý lu n: D a vƠo nh ng tƠi li u s n có,
nh ng thƠnh t u c a nhơn lo i trên nh ng l nh v c khác nhau đ v n d ng
vƠo ph ng pháp d y h c môn Toán.
- Ph ng pháp quan sát đi u tra: LƠ ph ng pháp quan sát m t s v t
hi n t ng nƠo đó đ thu l m nh ng s li u, c th đ c tr ng cho quá trình
di n bi n c a hi n t ng.
- Ph ng pháp t ng k t kinh nghi m: Th c ch t lƠ đánh giá vƠ khái
quát kinh nghi m, t đó phát hi n ra nh ng v n đ c n nghiên c u, ho c
khám phá nh ng m i liên h có tính quy lu t c a hi n t ng giáo d c.
- Ph ng pháp th c nghi m giáo d c: Cho phép ta t o nên nh ng tác
đ ng giáo d c, t đó xác đ nh vƠ đánh giá k t qu c a nh ng tác đ ng đó.
5. C u trúc khoá lu n
Ph n 1: M đ u
Ph n 2: N i dung, bao g m 2 ch ng:
Ch ng 1: C s lý lu n
Ch ng 2: ng d ng trong d y h c
Ph n 3: K t lu n

GVHD: Th c s Nguy n V n Hà

SV: D
6

ng V n C

ng


Khóa lu n t t nghi p

PH N II: N I DUNG
CH

NG 1: C

S

Lụ LU N

A. BÀI TOÁN VÀ L I GI I C A BÀI TOÁN
1. Khái ni m
Theo G.POLYA: BƠi toán lƠ vi c đ t ra s c n thi t tìm ki m môt cách
có ý th c các ph ng ti n thích h p đ đ t đ n m t m c đích nh t đ nh trông
th y rõ rƠng, nh ng không th đ t đ c ngay.
T đ nh ngh a khái quát c a G.POLYA cho ta th y: BƠi toán lƠ s đòi
h i ph i đ t t i m t m c đích nƠo đó. Nh v y bƠi toán có th đ ng nh t v i
m t s quan ni m khác nhau v bƠi toán nh : đ toán, bƠi t pầ
BƠi t p lƠ bƠi toán trong đó có nh ng yêu c u đ t ra cho ng i h c
nh m đ t đ c m c đích d y h c nƠo đó.
2. Vai trò, Ủ ngh a c a bƠi t p toán h c
a. C ng c các ki n th c c b n cho h c sinh
Trong th c t m t bƠi toán ch a đ ng nhi u ki n th c v khái ni m

toán h c vƠ các k t lu n toán h c. Khi gi i m t bƠi toán đòi h i ta ph i phơn
tích d ki n c a bƠi toán, huy đ ng các ki n th c đƣ cho trong đ toán vƠ các
ki n th c đƣ bi t khác có liên quan đ n bƠi toán, t ng h p l i đ đ ra ki n
th c m i n aầ Cu i cùng, chúng ta đi đ n đ c l i gi i c a bƠi toán.
Nh v y khi gi i m t bƠi toán không nh ng ch các ki n th c đƣ có
trong bƠi toán mƠ c m t h th ng các ki n th c liên quan t i bƠi toán c ng
đ c c ng c qua l i nhi u h n.
b. Rèn luy n vƠ phát tri n t duy cho h c sinh
c đi m n i b t c a môn toán lƠ m t môn khoa h c suy di n, đ c
xơy d ng b ng ph ng pháp tiên đ .
Do đó l i gi i c a bƠi toán lƠ m t h th ng h u h n các thao tác có th
t ch t ch đ đi đ n m t m c đích r t rõ r t.
Vì v y khi gi i m t bƠi toán nó có tác d ng tr c ti p rèn luy n cho ta
n ng l c s d ng các phép suy lu n h p logic: suy lu n có c n c đúng, suy
lu n tuơn theo quy t c suy di nầ
Chúng ta bi t r ng không th có m t ph ng pháp chung nƠo đ gi i
đ c m i bƠi toán.
GVHD: Th c s Nguy n V n Hà

SV: D
7

ng V n C

ng


Khóa lu n t t nghi p
M i bƠi toán có m t hình, m t v khác nhau, mu n tìm đ c l i gi i
c a bƠi toán chúng ta ph i bi t phơn tích: ph i bi t cách d đoán k t qu ,

ki m tra k t qu , bi t cách liên h t i các v n đ t ng t g n gi ng nhau,
bi t cách suy lu n t ng h p khái quát hoáầ
Nh v y qua vi c gi i bƠi toán n ng l c t duy sáng t o đ c rèn luy n
vƠ phát tri n.
c. Rèn luy n k n ng v n d ng các ki n th c toán h c cho h c sinh
M t trong nh ng yêu c u c a vi c n m v ng các ki n th c c a b t c
c a b môn khoa h c nƠo lƠ hi u, nh vƠ v n d ng các ki n th c c a b môn
khoa h c đó vƠo vi c gi i quy t các nhi m v đ t ra, t c lƠ gi i quy t đ c
các bƠi toán đ t ra trong l nh v c khoa h c đó.
Trong vi c gi ng d y toán thì bƠi toán l i tham gia vƠo trong m i tình
hu ng c a quá trình d y h c môn toán.
Trong gi ng d y khái ni m toán h c: BƠi toán đ c s d ng đ t ch c
gơy tình hu ng đ d n d t cho h c sinh có th đi đ n đ nh ngh a khái ni m.
Bài toán đ c s d ng đƣ nêu ra lƠm các ví d vƠ ph n ví d minh ho cho
khái ni m. BƠi toán đ c s d ng đ luy n t p, c ng c v n d ng khái ni m.
Trong gi ng d y đ nh lý toán h c: BƠi toán có th đ c s d ng đ t
ch c gơy tình hu ng d n d t h c sinh phát hi n ra n i dung đ nh lý toán h c.
BƠi toán có th đ c s d ng đ cho h c sinh t p v n d ng đ nh lý, đ c bi t lƠ
vi c t ch c h ng d n h c sinh ch ng minh đ nh lý chính lƠ vi c t ch c
h ng d n h c sinh t p tìm ra l i gi i c a m t ch ng nƠo đó c a môn h c.
Trong luy n t p toán h c : BƠi toán lƠ ph ng ti n ch y u trong các
ti t luy n t p toán h c. Trong đó ng i giáo viên ph i xơy d ng đ c m t h
th ng các bƠi t p có liên quan ch t ch v i nhau đ nh m giúp h c sinh c ng
c các ki n th c vƠ hình thƠnh m t s k n ng c b n nƠo đó.
d. B i d ng phát tri n nhơn cách cho h c sinh
c bi t c b n trong tính cách c a con ng i lƠ: M i ho t đ ng đ u có
m c đích r t rõ rƠng. Khi gi ng m t bƠi toán ta luôn có đ nh h ng m c đích
r t rõ r t, vì v y vi c gi i bƠi toán s góp ph n tích c c vƠo vi c rèn luy n
n ng l c ho t đ ng c a con ng i.
gi i m t bƠi toán nh t lƠ đ i v i các bƠi toán khó ta ph i v t qua

r t nhi u khó kh n, ph i kiên trì nh n n i vƠ nhi u khi ta ph i có quy t tơm r t
l n đ gi i bƠi toán đó.

GVHD: Th c s Nguy n V n Hà

SV: D
8

ng V n C

ng


Khóa lu n t t nghi p
Nói theo cách c a G.POLYA thì: “Khát v ng vƠ quy t tơm gi i đ c
bƠi toán lƠ nhơn t ch y u c a quá trình gi i m i bƠi toán”.
Do v y ta th y r ng: Ho t đ ng gi i toán chính lƠ nhơn t ch y u c a
quá trình hình thƠnh vƠ phát tri n nhơn cách c a con ng i.
3. Phơn lo i bƠi toán
Ng i ta phơn lo i các bƠi toán theo nhi u cách khác nhau đ đ t đ c
m c đích nh t đ nh, th ng lƠ đ s d ng nó m t cách thu n l i.
a. Phơn lo i theo hình th c bƠi toán:
Ng i ta c n c vƠo k t lu n c a bƠi toán: K t lu n c a bƠi toán đƣ cho
hay ch a đ phơn chia bƠi toán thƠnh 2 lo i:
- BƠi toán ch ng minh: LƠ bƠi toán mƠ k t lu n c a nó đƣ đ c đ a ra
m t cách rõ rƠng trong đ bƠi toán.
- BƠi toán tìm tòi: LƠ bƠi toán trong đó k t lu n c a nó ch a s n sƠng
trong đ bƠi toán.
b. Phơn lo i theo ph ng pháp gi i toán:
Ng i ta c n c vƠo ph ng pháp gi i toán: BƠi toán nƠy có angôrit

gi i hay ch a đ chia các bƠi toán thƠnh hai lo i:
- BƠi toán có angôrit gi i: LƠ bƠi toán mƠ ph ng pháp gi i c a nó theo
m t angôrit nƠo đó ho c mang tính ch t angôrit nƠo đó.
- BƠi toán không có angôrit gi i: LƠ bƠi toán mƠ ph ng pháp gi i c a
nó không theo m t angôrit nƠo đó ho c không mang tính ch t angôrit nƠo đó.
c. Phơn lo i theo n i dung bƠi toán:
Ng i ta c n c vƠo n i dung c a bƠi toán đ c phát bi u theo thu t
ng c a m t hay m t vƠi l nh v c chuyên môn h p h n đ chia bƠi toán thƠnh
các lo i khác nhau nh sau:
+ BƠi toán s h c
+ BƠi toán đ i s
+ BƠi toán hình h c
d. Phơn lo i theo Ủ ngh a gi i toán:
Ng i ta d a vƠo ý ngh a c a vi c gi i toán đ phơn lo i bƠi toán: BƠi
toán nƠy nh m c ng c tr c ti p m t hay m t vƠi ki n th c k n ng nƠo đó,
hay bƠi toán nh m phát tri n t duy. Ta có hai lo i bƠi toán nh sau:
- BƠi toán c ng c k n ng: LƠ bƠi toán nh m c ng c tr c ti p ngay
sau khi h c ho c m t vƠi ki n th c hay k n ng nƠo đó.

GVHD: Th c s Nguy n V n Hà

SV: D
9

ng V n C

ng


Khóa lu n t t nghi p

- BƠi toán phát tri n t duy: LƠ bƠi toán nh m c ng c m t h th ng
các ki n th c c ng nh k n ng nƠo đó ho c đòi h i ph i có m t kh n ng t
duy phơn tích, t ng h p ho c v n d ng m t cách sáng t o.
4. Ph ng pháp gi i m t bƠi toán
Ph ng pháp tìm l i gi i c a bƠi toán: D a theo 4 b c c a G.POLYA.
a. B c 1: Tìm hi u đ
Tr c khi gi i m t bƠi toán ta ph i phơn tích đ bƠi c a bƠi toán, r i
tìm hi u th u đáo n i dung c a bƠi toán b ng nh ng cơu h i sau:
- Nh ng cái đƣ bi t? cái gì ch a bi t c a bƠi toán ?
- Tìm nh ng y u t c đ nh, nh ng y u t không đ i, nh ng y u t thay
đ i bi n thiên c a bƠi toán.
- Xác đ nh các n vƠ giá tr h ng c a bƠi toán.
- D ki n c a bƠi toán có đ đ xác đ nh cái ch a bi t hay không ?
b. B c 2: Xơy d ng ch ng trình gi i
tìm l i gi i cho bƠi toán m t cách có hi u qu thì b c xơy d ng
ch ng trình gi i lƠ b c quy t đ nh, đ ng th i c ng lƠ b c khó kh n nh t.
B c nƠy đòi h i chúng ta ph i huy đ ng các ki n th c đƣ bi t đ nh n xét, so
sánh, bác b t đó m i có th ti p c n t i l i gi i c a bƠi toán .
Chúng ta có th ti n hƠnh xơy d ng ch ng trình gi i theo ph ng
pháp sau:
- Ph ng pháp đi xuôi:
Xu t phát t các gi thi t c a bƠi toán đ c l y lƠm ti n đ , b ng suy
lu n h p logic chúng ta tìm ra các h qu logic c a các ti n đ đó. Ti p t c
ch n l c trong đó đ l y ra các h qu g n g i v i k t lu n c a bƠi toán lƠm
ti n đ m i. L i b ng suy lu n h p logic chúng ta tìm ra các h qu logic m i
g n g i h n v i k t lu n... C ti p t c quá trình y, chúng ta tìm ra đ c h
qu logic trùng v i k t lu n c a bƠi toán . Khi y ta tìm đ c l i gi i c a bƠi
toán .
Ph ng pháp nƠy đ c mô t theo s đ sau:
A  B

  X (trong đó A,C lƠ gi thi t, còn X lƠ k t lu n ).
C  D
- Ph

ng pháp đi ng c :
ó lƠ quá trình xu t phát t k t lu n c a bƠi toán . B ng suy lu n h p
logic chúng ta đi ng c lên đ tìm các ti n đ logic c a k t lu n nƠy .
GVHD: Th c s Nguy n V n Hà

SV: D
10

ng V n C

ng


Khóa lu n t t nghi p
Ti p t c chúng ta ch n l c trong đó đ l y ra ti n đ g n g i v i gi thi t c a
bƠi toán đ lƠm k t lu n m i t đó rút ra ti n đ logic m i c a các k t lu n
m i nƠyầQuá trình y l i đ c ti p di n ta tìm đ c các ti n đ logic trùng
v i gi thi t c a bƠi toán, ta đ c l i gi i c a bƠi toán.
Ph ng pháp nƠy đ c mô t theo s đ sau:

C  A
X 
(trong đó A,B lƠ gi thi t, còn X lƠ k t lu n)
D
B



c. B c 3: Th c hi n ch ng trình gi i
ơy lƠ quá trình t ng h p l i c a b c xơy d ng ch ng trình gi i, ta
dùng các phép suy lu n h p logic xu t phát t gi thi t c a bƠi toán, các m nh
đ toán h c đƣ bi t ta suy d n ra t i k t lu n c a bƠi toán.
Trong b c th c hi n ch ng trình gi i m t bƠi toán c n chú ý phơn
bi t s khác nhau gi a nh ng đi u đƣ th y đ c vƠ nh ng đi u suy ra đ c chính lƠ đi u ch ng minh đ c.
d. B c 4: Nh n xét l i gi i vƠ khai thác bƠi toán
Th l i k t qu c a bƠi toán, th l i các l p lu n trong l i gi i đƣ tìm
đ c c a bƠi toán.
Tìm các cách gi i khác n u có c a bƠi toán.
Nghiên c u các bƠi toán có liên quan.
Ví d 1. Phân tích quá trình tìm l i gi i bƠi toán sau:
B
Ch ng minh r ng n u ABC th a mƣn đi u ki n sinA.sinC  cos 2
thì
2
ABC là tam giác cân.
HD:
ch ng minh m t tam giác lƠ tam giác cơn có nhi u cách: Ho c
ch ng minh 2 c nh nƠo đó b ng nhau, ho c ch ng minh 2 góc nƠo đó b ng
nhau.
đơy ta th y gi thi t c a bƠi toán cho bi t đ ng th c liên h v góc, ta
s ch ng minh tam giác đó có hai góc nƠo đó b ng nhau.
H n n a ta th y trong đ ng th c đƣ cho thì vai trò c a góc A vƠ C lƠ
nh nhau. Do đó ta s ch ng minh trong ABC có góc A = C.
Bi n đ i đ ng th c đƣ cho b ng cách lƠm m t s có m t c a góc B
b ng cách thay B  1800  (A  C) .
Sau đó s d ng công th c bi n đ i l
GVHD: Th c s Nguy n V n Hà

ng giác, ta có đ ng th c sau:
SV: D

11

ng V n C

ng


Khóa lu n t t nghi p

B
2
AC
 sinA.sinC  sin 2
2
 2sinA.sinB  1  cos(A  C)
 cosA.cosC  sinA.sinC  1
 cos(A  C)  1
AC
sinA.sinC  cos 2

V y ABC là tam giác cơn t i B.
Ví d 2. Phơn tích tìm l i gi i c a bƠi toán sau :
Tính t ng S  1  2a  3a 2  4a 3  ...  (n  1)a n .
HD:
Ta liên h v i bƠi toán tính t ng t ng t đ n gi n h n:
Tính t ng P  1  a  a 2  a 3  ...  a n .

Ta có:
aP  a  a 2  a 3  a 4 ...  a n+1
 P  aP  1  a n+1

1  a n+1
P
1 a
V n d ng cách tính t ng P trên ta tính t ng S nh sau:
Ta có: aS  a  2a 2  3a 3  4a 4  ...  (n  1)a n 1
 S  aS  1  a  a 2  ...  a n  a n+1

1  a n+1
Ta th y: 1  a  a  a  ...  a  P 
. Thay vào ta có:
1 a
1  a n+1
1  a n+1  (1  a)(n  1)a n+1
n+1
S  aS 
 (n  1)a  S 
1 a
(1  a) 2
2

3

n

Nh n xét cách gi i:
tính t ng S (ho c P) lƠ các t ng h u h n g m n s

h ng, ta nhơn t ng đó v i a, r i xét hi u aS ậ S ho c S ậ aS. T đơy ta tính
đ c S.
B ng ph ng pháp t ng t ta có th tính đ c t ng sau :
A  a  2a 2  3a 3  na n

GVHD: Th c s Nguy n V n Hà

SV: D
12

ng V n C

ng


Khóa lu n t t nghi p
B. N I DUNG CH
NG TRỊNH L
NG GIÁC TRUNG H C PH
THÔNG
Ch ng 6 ( S10NC): Góc l ng giác vƠ công th c l ng giác
Bài 1: Góc vƠ cung l ng giác.
Bài 2: Giá tr l ng giác c a góc (cung) l ng giác.
Bài 3: Giá tr l ng giác c a các góc (cung) có liên quan đ c bi t.
BƠi 4: M t s công th c l ng giác.
Ọn t p ch ng 6.
Ch

ng 1 ( S>11NC): HƠm s l ng giác vƠ ph ng trình l
BƠi 1: Các hƠm s l ng giác.

BƠi 2: Ph ng trình l ng giác.
BƠi 3: M t s d ng ph ng trình l ng giác c b n.
Ọn t p ch ng 1.

GVHD: Th c s Nguy n V n Hà

SV: D
13

ng giác

ng V n C

ng


Khóa lu n t t nghi p

CH

NG II.

NG D NG TRONG D Y H C

A. CÁC KI N TH C C B N
I. B ng xác đ nh d u c a các giá tr l
Ph n t
I
Giá tri l ng giác

II

III

IV

sin

+

+





cos

+





+

tan

+



+



cot

+



+



II. Giá tr l

sin

ng giác

ng giác c a các cung đ c bi t

0

6

4

3

2

0

1
2

2
2

3
2

1

1

3
2

2
2

1
2

0

cos

GVHD: Th c s Nguy n V n Hà

SV: D
14

ng V n C

ng


Khóa lu n t t nghi p
tan

cot

1
3

0

฀

3

1

3

฀

1

1
3

0

III. Các công th c l ng giác c b n
1. Công th c l ng giác c b n
sin  sin(  k2 )
tan  tan(  k2 )
sin(  )  sin
tan(  )   tan
sin
tan 
,   k ,k  ฀
cos
2

cos  cos(  k2 )
cot  cot(  k2 )
cos(  )  cos
cot(  )   cot
cos
 k ,k  ฀
cot 
,
sin

k
 ,k  ฀
tan .cot  1,
2
1
1  cot 2  2 ,
 k ,k  ฀
sin

sin 2  cos 2  1
1  tan 2 

1
,   k ,k  ฀
cos 2
2

2. Giá tr l ng giác c a các cung có liên quan đ c bi t
a, Cung đ i nhau: và 
sin(  )   sin
cos(  )  cos
tan(  )   tan
cot(  )   cot
b, Cung bù nhau: và
sin(  )  sin
tan(  )  tan
c, Cung h n kém

sin(  )   sin
tan(  )  tan

:



cos(  )  cos
cot(  )  cot
và



cos(  )   cos
cot(  )  cot

GVHD: Th c s Nguy n V n Hà

SV: D
15

ng V n C

ng


Khóa lu n t t nghi p
d, Cung ph nhau:


sin  
2


tan  
2

và

2


  cos


  cot





cos  
2

cot  
2


  sin


  tan


3. Công th c l ng giác
a, Công th c c ng
tan  tan
1  tan .tan
tan  tan
tan(  ) 
1  tan .tan
cot .cot 1
cot(  ) 
cot  cot
cot .cot  1
c ot(  ) 
cot  cot

sin(  )  sin .cos  cos .sin

tan(  ) 

sin(  )  sin .cos  cos .sin
cos(  )  cos .cos  sin .sin
cos(  )  cos .cos  sin .sin

b, Công th c nhơn
* Công th c góc nhơn đôi

sin2 = 2sin .cos

cos2 = cos 2 - sin 2

2tan
tan2 =
1 - tan 2

cot 2 - 1
cot2 =
2cot

* Công th c góc nhơn ba

sin3  3sin  4sin 3

cos3  4cos3  3cos

3tan  tan 3
tan3 
1  3tan 2

cot 3  3cot
cot3 
3cot 2  1

c, Công th c bi n đ i t ng thƠnh tích


sin  sin  2sin
cos
2
2

tan  tan 

GVHD: Th c s Nguy n V n Hà

SV: D
16

sin(  )
cos .cos

ng V n C

ng


Khóa lu n t t nghi p


sin
2
2


cos  cos  2cos
cos
2
2


cos  cos   2sin

sin
2
2

sin  sin  2cos

d, Công th c bi n đ i tích thƠnh t ng
1
sin .cos   sin(  )  sin(  ) 
2
1
sin .sin   cos(  )  cos(  ) 
2
1
cos .cos   cos(  )  cos(  ) 
2
4. Công th c h b c
1  cos 2
sin 2 
2
3sin  sin 3
sin 3 
4
1  cos 2
tan 2 
1  cos 2

1  cos 2
2
3cos  cos3


4

cos 2 
cos3

5. Công th c tính sin , cos , tan theo tan . N u đ t t  tan thì ta có:
2
2
2t
1  t2
sin 
cos 
1  t2
1  t2
2t
1  t2

tan 
cot
1  t2
2t
6. Các công th c khác





sin  cos  2.sin     2.cos   
4

4






sin  cos  2.sin     2.cos   
4
4


GVHD: Th c s Nguy n V n Hà

SV: D
17

ng V n C

ng


Khóa lu n t t nghi p

2
sin2
 2cot2

tan  cot 
tan  cot

IV. Các h th c c b n trong tam giác
1. H th c c b n trong tam giác vuông

A  900
B  900  A
b  a.sinB  a.cosC  c.tanB  c.cotC
1
1 1


a 2  b2  c2
h a 2 b2 c2
2. H th c c b n trong tam giác th
a. nh lí hƠm s sin
a
b
c


 2R
sinA sinB sinC
b.

ng

ng lí hƠm s cosin

a  b 2  c2  2b.ccosA
2

b 2  c2  a 2  2c.a cosB
c2  a 2  b2  2a.bcosC
3. Bán kính đ ng tròn ngo i ti p tam giác
a
b
c
R


2sinA 2sinB 2sinC
4. Bán kính đ ng tròn n i ti p tam giác
B C
C
A
a sin sin
bsin
sin
2
2  (p  a)tan A
2
2  (p  a)tan B
r
r
A
B
2
2
cos
cos

2
2
A
B
csin sin
2
2  (p  a)tan C
r
C
2
cos
2
GVHD: Th c s Nguy n V n Hà

SV: D
18

ng V n C

ng


Khóa lu n t t nghi p
5. Bán kính đ ng tròn bƠng ti p tam giác
B
C
C
A
a cos cos
bcos cos

A
2
2  p tan
2
2  p tan B
ra 
rb 
A
B
2
2
cos
cos
2
2
A
B
ccos cos
2
2  p tan C
rc 
C
2
cos
2
6.

ng phơn giác trong c a tam giác
A
B

2bccos
2ca cos
2
2
l
l
bc
ca

7.

l

2abcos
ab

C
2

ng trung tuy n tam giác

ma

2

b2  c2 a 2


2
4

mb

2

c2  a 2 b2


2
4

8. Di n tích tam giác
1
1
1
S  ah a  bh b  ch c
2
2
2
abc
S
4R
S  (p  a)ra  (p  b)rb  (p  c)rc

mc

2

a 2 +b 2 c2



2
4

1
1
1
S  absinC  bcsinA  ca sinB
2
2
2
S  pr
S  p(p  a)(p  b)(p  c)

* Các kí hi u dùng cho ph n h th c l ng trong tam giác:
฀
฀
฀
• A,B,C l n l t lƠ ba góc BAC,
c a ABC
CBA,
ACB
• a, b, c l n l

t lƠ đ dƠi ba c nh BC, CA, AB c a ABC .

• S lƠ di n tích c a tam giác ABC .
• ha , h b , hc l n l t lƠ đ dƠi ba đ ng cao h t đ nh A, B, C c a ABC .
• l a , l b , lc l n l

t lƠ đ dƠi ba đ

• ma , mb , mc lƠ đ dƠi ba đ
• R, r lƠ bán kính đ

ng phơn giác trong c a ba góc A, B, C .

ng trung tuy n c a

ng tròn ngo i ti p

GVHD: Th c s Nguy n V n Hà

ABC .

ABC .
SV: D

19

ng V n C

ng


Khóa lu n t t nghi p
• ra , rb , rc l n l

t lƠ bán kính đ

ng tròn bƠng ti p góc A, B, C c a

ABC .

GVHD: Th c s Nguy n V n Hà

SV: D
20

ng V n C

ng


Khóa lu n t t nghi p

B. CÁC D NG BÀI T P
D NG 1: TệNH GIÁ TR L
NG GIÁC C A M T GịC KHI BI T
GIÁ TR LU NG GIÁC C A GịC LIểN QUAN T I GịC ị
I/ BÀI T P C

B N

Bài 1. (SGK S10NC_BT20_T201)
Tính các giá tr l ng giác c a các góc l ng giác sau:
5
10
2250 ,  2250 , 7500 ,  5100 , ,  .
3

3
L i gi i:
* V i góc 2250 , ta có:

sin 2250  sin(1800  450 )   sin 450  
cos 2250  cos(1800  450 )   cos 450  

2
2
2
2

sin 2250
tan 225 
1
cos 2250
0

cos 2250
cot 225 
1
sin 2250
* V i góc 2250 , ta có:
0

sin(2250 )  sin 2250 

2
2

2
2
0
0
tan(225 )  tan 225  1

cos(  2250 )  cos 2250 

cot(2250 )  cot 2250  1
* V i góc 7500 , ta có:
cos7500  cos(30 0  2.360 0 )  cos30 0 

3
2

sin 7500 1
tan 750 

cos7500
3
0

cos7500
 3
cot 750 
sin 7500
0

GVHD: Th c s Nguy n V n Hà

SV: D
21

ng V n C

ng


Khóa lu n t t nghi p
* V i góc 5100 , ta có:
sin(5100 )   sin 5100   sin(1800  300  3600 )
1
  sin(1800  300 )   sin 300  
2
cos(  5100 )  cos5100  cos(1800  300  3600 )   cos300  

3
2

sin(5100 )
1


cos(  5100 )
3
1
cot(5100 ) 
 3
tan(5100 )
tan(5100 ) 

* V i góc

5
, ta có:
3

5
3




 sin  2    sin     sin 
3
3
3
2

 3
5
1




cos  cos  2    cos     cos 
3
3
3 2


 3
5
sin
5
3  3
tan 
3 cos 5
3
5
1
1
cot 

3 tan 5
3
3
10
, ta có:
* V i góc 
3
sin

 10
sin  
 3
 10
cos  
 3




  3
  sin    2   sin   
3



3 2




  1
  cos    2    cos    
3



3 2
 10 
sin  

 10 
 3   3

tan  

 3  cos   10 



 3 

GVHD: Th c s Nguy n V n Hà

SV: D
22

ng V n C

ng


Khóa lu n t t nghi p
1
1
 10 

cot  

3
 3  tan   10 


 3 

 10 
sin  


3 
 10 

 3
tan  

 3  cos   10 


 3 
1
 10 
cot  

 3  tan   10

 3







1
3

Bài 2. (SGK S10NC_BT18_T200)
Tính các giá tr lu ng giác c a góc trong m i tr ng h p sau:
1

3
1
a. cos  , sin  0
b. sin   ,  
3 2
2
4
1
c. tan  ,    0
2
L i gi i:
a. Vì sin  0 nên t
2

sin  1  cos
2

2

 1  15
1   
 4  16

Suy ra:
sin  

15
,
4

tan 

sin
cos

cot 

1
tan

1
1
 4 
,
15
15

4
1

  15 .
1

15

3
nên cos  0 . V y t
b. Vì  
2
2

Suy ra:

2

 1 8
cos 1  sin 1     
 3 9
2

GVHD: Th c s Nguy n V n Hà

2

SV: D
23

ng V n C

ng


Khóa lu n t t nghi p

cos  

2 2
,
3

1

sin 
3  1  2,
tan  

cos 
4
2 2 2 2

3
1
1
cot 

2 2 .
tan
2
4
1
1
2
c. Vì tan  nên cot 
tan
2
Vì    0 nên sin   0 . V y t


sin 2 

1
1

1


1  cot 2
1 4 5

suy ra sin  

5
2 5
vƠ t đó cos  sin .cot  
.
5
5

Bài 3. (SGK S10NC_BT32_T206)
Hãy tính các giá tr l ng giác c a góc  trong m i tr ng h p sau:
4
8
a. sin  và cos  0 ;
b. cos  
và  
5
17
2
3
c. tan  3 và   .
2
L i gi i:
a. Vì cos  0 nên t

2

cos 1  sin
2

2

9
4
 1   
 5  25

suy ra:
cos  

3
5

4
sin
4
 5 
tan 
3
cos
3

5

GVHD: Th c s Nguy n V n Hà

SV: D
24

ng V n C

ng


Khóa lu n t t nghi p
cot 

b. Vì

2

1
3
 .
tan
4

 

nên sin  0 . V y t

 8  225
1   
 17  289
2

sin 1  cos
2

2

suy ra:
15
17
sin
15
tan 

cos
8
1
8
cot 

.
tan
15

sin 

c. Vì tan  3 nên cot 
Vì

1
3


tan
3

3
nên cos  0 . V y t
2
1
1 1
cos 2 


1  tan 2 1  3 4

 

suy ra cos 

3
1
và sin  cos .tan  
.
2
2

Bài 4. (SGK S10NC_BT33.b_T206)
1
Bi t sin(  )   , tính tan(  7 ) .
3
L i gi i:

Vì cot(  7 )  cot(  ) nên

cot 2 (  7 )  cot 2 (  ) 

1
1
1 
2 1  8
sin (  )
 1
 
 3
2

 cot(  7 )   2 2

Do đó ta có tan(  7 )  

2
.
4

GVHD: Th c s Nguy n V n Hà

SV: D
25

ng V n C

ng