Luận văn sư phạm Khai thác bài tập toán phần công thức biến đổi lượng giác

Khoá lu n t t nghi p
Tr

ng đ i h c s ph m hà n i 2
KHoa Toán
********

Tr n th la

khai thác bài t p toán ph n công th c
bi n đ i l ng giác

Khoá lu n t t nghi p đ i h c
Chuyên ngành: Ph

Ng

ng pháp d y h c môn Toán

ih

ng d n khoa h c

Th.S Nguy n V n HƠ

Hà N i - 2010

Sv:

Tr n Th La -SP Toán 32

1


Khoá lu n t t nghi p
L IC M

N

Trong th i gian nghiên c u và hoàn thành khóa lu n tôi đã nh n đ
giúp đ nhi t tình c a các th y cô giáo trong t ph

cs

ng pháp và các b n sinh

viên trong khoa. Qua đây tôi mu n g i l i c m n sâu s c t i các th y cô giáo
trong t ph

ng pháp , đ c bi t là th y Nguy n V n HƠ ng

i đã đ nh h

ng

cho tôi l a ch n đ tài, d n d t ch b o t n tình chu đáo giúp tôi hoàn thành
nhanh chóng khóa lu n c a mình.
Xin c m n t t c các th y cô giáo !
Sinh viên
Tr n Th La

Sv:

Tr n Th La -SP Toán 32

2


Khoá lu n t t nghi p
M CL C
L ic m n

1

Ph n 1: M đ u

3

Ph n 2: N i dung

5

Ch

ng I: C s lý lu n

5

1. Bài toán và l i gi i bài toán.

5

2. Ý ngh a c a bài toán.

8

3. Phân lo i bài toán.

12

4 Ph

ng pháp tìm l i gi i c a bài toán: D a theo 4 b

c c a Polia

5. Các phép suy lu n quy n p trong toán h c.
Ch

ng II:

ng d ng trong d y h c

18
21

1. H th ng hóa các ki n th c.

21

2. Các d ng bài t p.

22

D ng 1: Tính giá tr c a m t góc b t k khi bi t giá tr hàm
l

14

22

ng giác khác có liên quan đ n góc đó. Tính giá tr bi u th c.
D ng 2: Rút g n bi u th c.

34

D ng 3: Ch ng minh đ ng th c.

44

D ng 4: Nh n d ng tam giác.

63

D ng 5: Ph

74

ng trình l

Ph n 3: K t lu n.

Sv:

Tr n Th La -SP Toán 32

ng giác.

90

3


Khoá lu n t t nghi p

PH N I: M

U

1. Lý do ch n đ tài
Trong ch

ng trình Toán

trung h c ph thông, l

ng giác là m t trong

nh ng m ng ki n th c r t c b n và quan tr ng. Cu i ch
10 h c sinh đã đ
sinh đ

c h c v ph n l

ng trình Toán l p

ng giác. Ki n th c c b n và đ u tiên h c

c h c đó là m t lo t các công th c bi n đ i l

ng giác nh : công

th c c ng, công th c nhân đôi, công th c bi n đ i t ng thành tích, công th c
bi n đ i tích thành t ng. Song song cùng v i nó, h c sinh l n l

tđ

quen v i các d ng bài t p có liên quan ch ng h n: tính giá tr l

ng giác c a

c làm

m t góc, ch ng minh đ ng th c, nh n d ng tam giác, rút g n bi u th c. Sang
đ n l p 11 l i có thêm ph n ph
l

ng trình l

ng giác, vi c gi i ph

ng giác đôi khi c ng s d ng các công th c bi n đ i l

ng trình

ng giác. Nh m

c ng c ki n th c, rèn luy n k n ng s d ng các công th c bi n đ i l

ng

giác th y giáo đã đ t đ tài cho tôi là “ Khai thác bài t p toán ph n công
th c bi n đ i l

ng giác ’’. N i dung ch y u c a đ tài là vi c phân chia

các d ng bài t p có liên quan đ n vi c s d ng các công th c bi n đ i l

ng

giác sin, cosin, và đ a ra m t lo t các d ng bài t p giúp c ng c kh c sâu và
rèn luy n k n ng gi i toán cho h c sinh.
2. M c đích nghiên c u
- Nghiên c u lý lu n v bài toán, vi c phân lo i bài toán và ph

ng pháp

tìm l i gi i bài toán nh m m c đích xây d ng h th ng bài t p đa d ng
phong phú, đáp ng yêu c u gi ng d y ph n công th c bi n đ i l
giác

tr

ng

ng ph thông.

- Xây d ng và khai thác h th ng bài t p trong sách giáo khoa góp ph n
nâng cao ch t l

Sv:

ng d y và h c toán

Tr n Th La -SP Toán 32

tr

ng ph thông.

4


Khoá lu n t t nghi p
3. Nhi m v nghiên c u
tài nghiên c u 2 n i dung :
- C s lý lu n v bài toán, l i gi i bài toán, ý ngh a c a bài toán, phân
lo i bài toán, ph

ng pháp gi i bài toán Toán h c.

- Nghiên c u các công th c bi n đ i l

ng giác

l p 10 tr

ng ph

thông. Phân lo i các d ng toán, khai thác và xây d ng các bài t p
toán có liên quan đ n các công th c l
4. Ph
-

ng pháp nghiên c u
Nghiên c u lý lu n chung v bài toán và l i gi i bài toán, ý ngh a

bài toán, phân lo i bài toán, ph
công th c bi n đ i l
-

ng giác sin, cosin.

ng pháp tìm l i gi i bài toán, các

ng giác.

Quan sát đi u tra th c ti n vi c gi i bài t p toán ph n công th c

bi n đ i l

ng giác.

- T ng k t kinh nghi m.
-

Th c nghi m giáo d c.

5. C u trúc khóa lu n
Ph n 1: M đ u
Ph n 2: N i dung
Bao g m 2 ch

ng là:
Ch

ng 1: C s lý lu n.

Ch

ng 2:

ng d ng trong d y h c.

Ph n 3: K t lu n.
Sv:

Tr n Th La -SP Toán 32

5

Khoá lu n t t nghi p

PH N II: N I DUNG
CH

NG I:

C c lý

lu n
1. BƠi toán vƠ l i gi i c a bƠi toán
1.1. Bài toán
Theo G.POLYA: Bài toán là vi c đ t ra s c n thi t tìm ki m m t cách có
ý th c các ph

ng ti n thích h p đ đ t đ n m t m c đích nh t đ nh trông

th y rõ ràng, nh ng không th đ t đ

c ngay.

Trên c s đ nh ngh a khái quát c a G.POLYA cho ta th y r ng: Bài toán là
s đòi h i ph i đ t t i m c đích nào đó. Nh v y bài toán có th đ ng nh t
v i m t s quan ni m khác nhau v bài toán: đ toán, bài t p.....
1.2. Các y u t c b n c a bƠi toán
Trong đ nh ngh a v bài toán

trên ta th y có hai y u t chính h p thành

c a m t bài toán đó là : S đòi h i c a bài toán và m c đích c a bài toán .
Ví d : Cho 2 đ

ng tròn (O), (O’) c t nhau

thay đ i quay quanh B c t 2 đ

A và B. M t cát tuy n

ng tròn (O), (O’) l n l

t t i M, N.

a. Ch ng minh r ng trung tr c c a MN đi qua đi m c đ nh
b. Tìm t p h p trung đi m P c a MN
Trong bài toán này 2 y u t c b n h p thành đó là:
. S đòi h i c a bài toán th hi n qua c m t "Ch ng minh r ng", “ Tìm
t p h p’’

Sv:

Tr n Th La -SP Toán 32

6


Khoá lu n t t nghi p
. M c đích c a bài toán th hi n qua: '' Trung tr c c a MN đi qua
đi m c đ nh ''; “ T p h p trung đi m P c a MN’’
Ví d :

'' Ch ng minh r ng ph

ng trình b c 3: x3 + ax2 + bx + c = 0 luôn có

nghi m ''
. S đòi h i c a bài toán th hi n qua c m t " Ch ng minh r ng ".
. M c đích c a bài toán th hi n qua: '' ph

ng trình b c 3: x3 + ax2 +

bx + c = 0 luôn có nghi m ''
1.3. L i gi i c a bƠi toán
L i gi i c a bài toán đ

c hi u là t p s p th t các thao tác c n th c hi n

đ đ t t i m c đích đã đ t ra.
Nh v y ta th ng nh t l i gi i, bài gi i, cách gi i, đáp án c a bài toán.
M t bài toán có th có :
. M t l i gi i.
. Không có l i gi i.
. Nhi u l i gi i.
Gi i đ

c m t bài toán đ

c hi u là tìm ra và trình bày đúng ít nh t m t

l i gi i c a bài toán trong tr

ng h p bài toán có l i gi i, ho c lý gi i

đ

c trong tr

c bài toán là không gi i đ

ng h p nó không có l i gi i.

Ví d : Bài toán có nhi u l i gi i:
'' Trong gi v a th v a gà
M t tr m cái c ng b n ba cái đ u
Sv:

Tr n Th La -SP Toán 32

7


Khoá lu n t t nghi p
H i có m y gà m y th ?''
Cách 1: Ph

ng trình 1 n

G i x là s con gà (x nguyên d
Ta có ph
Gi i ph

ng). Do đó s con th là 43-x.

ng trình là: 2.x + 4.(43 - x) = 100
ng trình ta đ

c x=36

Tr l i: S gà là 36 con, s th là 7 con.
Cách 2: H ph

ng trình 2 n

G i x là s con gà (x nguyên d
G i y là s con th (y nguyên d
Ta có h ph
Gi i h ph

ng).
ng).

 x + y = 43
ng trình : 

2x  4y = 100

ng trình ta đ

c x= 36, y= 7

Tr l i: S gà là 36 con, s th là 7 con.

Cách 3: Gi thi t t m
Gi s 43 con v t đ u là gà c .
V y s chân c a 43 con v t là: 2  43= 86 (chân)
S chân h t đi là: 100 - 86 = 14 (chân)
S chân h t đi so v i đi u ki n đã cho là do ta gi s t t c 43 con v t
đ u là gà c , t c là ta đã b t đi m i con chó 2 chân.
V y s con th là: 14 : 2 = 7 (con), s con gà là: 43 - 7 = 36 (con)

Sv:

Tr n Th La -SP Toán 32

8


Khoá lu n t t nghi p
Tr l i: S gà là 36 con, s th là 7 con.
Cách 4: Gi thi t t m
Gi s 43 con v t đ u là th c .
V y s chân c a 43 con v t là: 4  3 = 172 (chân)
S chân d ra là: 172 - 100 = 72 (chân)
S chân d ra so v i đi u ki n đã cho là do ta gi s t t c 43 con v t
đ u là th c , t c là ta đã thêm vào cho m i con gà 2 chân.
V y s con gà là: 72 : 2 = 36 (con), s con chó là: 43 - 36 = 7 (con)
Tr l i: S gà là 36 con, s th là 7 con.
Cách 5: Gi thi t t m
Gi s c 43 con v t gà c ng nh th đ u 3 chân. Do đó s chân c a 43
con v t s là: 3  43 = 129 (chân).
S chân d ra là : 129 - 100 = 29 (chân)
S chân d ra 29 chân là do ta gi s gà và chó đ u 3 chân, t c là ta đã

t ng lên cho m i con gà 1 chân và đ ng th i gi m đi m i con th 1
chân. V y 29 chân d ra s con gà l n h n s con th là 29 con. Do đó
ta có:
S con th là : (43 - 29) : 2 = 7 (con)
S con gà là :

7 + 29 = 36 (con)

Tr l i: S gà là 36 con, s th là 7 con.
2. Ủ ngh a c a bƠi toán

Sv:

Tr n Th La -SP Toán 32

9


Khoá lu n t t nghi p
2.1. C ng c các ki n th c c b n cho h c sinh
Trong th c t m t bài toán ch a đ ng nhi u ki n th c v khái ni m toán
h c và các k t lu n toán h c. Khi gi i m t bài toán đòi h i ta ph i phân
tích d ki n c a bài toán, huy đ ng các ki n th c đã cho trong đ toán
và các ki n th c đã bi t khác có liên quan t i bài toán, t ng h p l i đ
đ ra ki n th c m i. Và c nh v y các ki n th c m i tìm ra l i cùng
các ki n th c đã bi t tr

cđ

c phân tích, t ng h p l i đ đ ra các ki n

th c m i n a ... Cu i cùng chúng ta đi đ n đ

c l i gi i c a bài toán.

Nh v y khi gi i m t bài toán không nh ng ch các ki n th c đã có
trong bài toán mà c m t h th ng các ki n th c liên quan t i bài toán
c ng đ
Ví

d :

c c ng c qua l i nhi u l n.
Tìm

m

đ

2

đ

th

sau

ti p

xúc

nhau:

1
cos 2 x  cosx  1
2
y  xsinx  m

y 

Gi i
2 đ th ti p xúc nhau khi và ch khi:
1
 cos 2 x  cosx  1  xsinx  m
2

  cosxsinx  sinx  xcos x  sinx
1
 cos 2 x  cosx  1  xsinx  m
 2

cosx(x  sinx)  0

1
2
 2 cos x





Sv:

 cosx  1  xsinx  m
 cosx  0

 x  sinx  0

Tr n Th La -SP Toán 32

10


Khoá lu n t t nghi p
 1
2
  cos x  cos x  1  x sin x  m( I )
 2
cos x  0
 
 1
2
 2 cos x  cos x  1  x sin x  m ( II )

x sin x  0


H (I) t

ng đ

ng v i h :

cosx  0




1  xsinx  m



 x  2  2k
 
(k  Z)

m  1  (  2k )
2




 x  2  (2k  1)
(k  Z)
Ho c: 

m  1 
 (2k  1)
2


Xét hàm s : f(x) = x + sinx , x  R
Ta có :

f’(x) = 1 + cosx v i  x R

Khi đó ph

ng trình: x + sinx = 0 có nghi m duy nh t x = 0

Suy ra h (II) có nghi m khi và ch khi m = 1



K t lu n m  1 , 1   2k , 1   (2k  1)  (k  Z)
2
2


 Thông qua cách gi I này c ng c cho h c sinh các ki n th c sau:
- Ph

ng pháp đi u ki n đ nh ngh a ti p xúc trong d ng bài t p tìm

đi u ki n c a tham s đ 2 đ th hàm s đã cho ti p xúc v i nhau
- Cách gi I ph

ng trinh l

ng giác c b n cosx, sinx

- Ngoài ra thông qua đó h c sinh còn liên h t i vi c gi I bài toán
này b ng ph

ng pháp nghi m kép, nh ng cách này gây khó

kh n trong vi c xác đ nh m

Sv:

Tr n Th La -SP Toán 32

11


Khoá lu n t t nghi p
(C) : y = f(x)
(D) : y = g(x)
 y  f ( x)
(C) và (D) ti p xúc nhau khi và ch khi 

 y  g ( x)

có nghi m kép

2.2 Rèn luy n vƠ phát tri n t duy cho h c sinh
c đi m n i b t c a toán h c c ng nh c a môn toán là m t khoa h c
suy di n, đ

c xây d ng b ng ph

ng pháp tiên đ . Do v y nên l i gi i

c a bài toán là m t h th ng h u h n các thao tác có th t ch t ch đ
đi đ n 1 m c đích r t rõ r t. Vì v y khi gi i m t bài toán nó có tác d ng
tr c ti p rèn luy n cho ta n ng l c s d ng các phép suy lu n h p lôgíc:
Suy lu n có c n c đúng, suy lu n tuân theo qui t c suy di n, ...
Chúng ta bi t r ng không th có 1 ph

ng pháp chung nào đ gi i đ

c

m i bài toán. M i bài toán có m t hình v khác nhau, mu n tìm ra đ

c

l i gi i c a bài toán chúng ta ph i bi t phân tích: ph i bi t cách d đoán
k t qu , bi t cách ki m tra d đoán, bi t cách liên h t i các v n đ
t

ng t g n gi ng nhau, bi t cách suy lu n t ng h p khái quát hoá .....

Nh v y qua vi c gi i bài toán n ng l c t duy sáng t o đ

c rèn luy n

và phát tri n.
2.3. Rèn luy n k n ng v n d ng các ki n th c toán h c cho h c
sinh
M t trong nh ng yêu c u c a vi c n m v ng các ki n th c c a b t c

c a b môn khoa h c nào là hi u, nh , và v n d ng các ki n th c c a b
môn khoa h c đó vào vi c gi i quy t các nhi m v đ t ra, t c là gi i
quy t đ

Sv:

c các bài toán đ t ra trong l nh v c khoa h c đó.

Tr n Th La -SP Toán 32

12


Khoá lu n t t nghi p
Trong vi c gi ng d y toán thì bài toán l i tham gia vào trong m i tình
hu ng c a quá trình d y h c môn toán.
Trong gi ng d y khái ni m toán h c: Bài toán đ

c s d ng đ t ch c

gây tình hu ng đ d n d t cho h c sinh có th đi đ n đ nh ngh a khái
ni m; Bài toán đ

c s d ng đ nêu ra làm các ví d ho c ph n ví d

minh ho cho khái ni m; bài toán đ

c s d ng đ luy n t p c ng c

v n d ng khái ni m.

Trong gi ng d y đ nh lý toán h c : Bài toán có th đ

c s d ng đ t

ch c gây tình hu ng d n d t h c sinh phát hi n ra n i dung đ nh lý toán
h c; Bài toán có th đ

c s d ng đ cho h c sinh t p v n d ng đ nh lý;

c bi t là vi c t ch c h
vi c t ch c h

ng d n h c sinh ch ng minh đ nh lý chính là

ng d n h c sinh t p tìm ra l i gi i c a m t bài toán c

b n có nhi u ng d ng trong m t ph n hay m t ch

ng nào đó c a

môn h c.
Trong luy n t p toán h c: Bài toán là ph
luy n t p toán h c. Trong đó ng

ng ti n ch y u trong các ti t

i giáo viên ph i xây d ng đ

cm t

h th ng các bài t p có liên quan ch t ch v i nhau đ nh m giúp h c
sinh c ng c các ki n th c và hình thành m t s k n ng c b n nào đó.
2. 4 .B i d

ng phát tri n nhơn cách cho h c sinh

c đi m c b n trong tính cách c a con ng

i là m i ho t đ ng đ u có

m c đích r t rõ ràng. Khi gi i m t bài toán ta luôn có đ nh h

ng m c

đích r t rõ r t, vì v y vi c gi i bài toán s góp ph n tích c c vào vi c rèn
luy n n ng l c ho t đ ng c a con ng
đ i v i các bài toán khó ng

i.

i gi i ph i v

ph i kiên trì nh n l i, và nhi u khi ng

gi i m t bài toán, nh t là
t qua r t nhi u khó kh n,

i ta ph i có quy t tâm r t l n đ

gi i bài toán đó. Nói theo cách c a G.POLIA là " Khát v ng và quy t

Sv:

Tr n Th La -SP Toán 32

13


Khoá lu n t t nghi p
tâm gi i đ

c bài toán là nhân t ch y u c a quá trình gi i m i bài

toán". Do v y ta th y r ng: Ho t đ ng gi i toán chính là nhân t ch y u
c a quá trình hình thành và phát tri n nhân cách c a con ng

i.

3. Phơn lo i bƠi toán
Ng

i ta phân lo i các bài toán theo nhi u cách khác nhau đ đ t đ

m c đích nh t đ nh, th

c

ng là đ s d ng nó m t cách thu n l i.

3.1. Phơn lo i theo hình th c bƠi toán
Ng

i ta c n c vào k t lu n c a bài toán: K t lu n c a bài toán đã cho

hay ch a đ phân chia bài toán ra thành 2 lo i:
- Bài toán ch ng minh: Là bài toán k t lu n c a nó đã đ

c đ a ra m t

cách rõ ràng trong đ bài toán.
- Bài toán tìm tòi: Là bài toán trong đó k t lu n c a nó ch a có s n
trong đ bài toán.
3.2 . Phơn lo i theo ph
Ng

i ta c n c vào ph

ng pháp gi i bƠi toán
ng pháp gi i bài toán: Bài toán này có angôrit

gi i hay ch a đ chia các bài toán thành hai lo i
- Bài toán có angôrit gi i: Là bài toán mà ph

ng pháp gi i c a nó theo

m t angôrit nào đó ho c mang tích ch t angôrit nào đó.
- Bài toán không có angôrit gi i: Là bài toán mà ph

ng pháp gi i c a

nó không theo m t angôrit nào ho c không mang tính ch t angôrit nào.

3.3. Phơn lo i theo n i dung bƠi toán

Sv:

Tr n Th La -SP Toán 32

14


Khoá lu n t t nghi p
Ng

i ta c n c vào n i dung c a bài toán đ

c phát bi u theo thu t

ng c a m t hay m t vài l nh v c chuyên môn h p h n đ chia bài toán
thành các lo i khác nhau nh sau:
Bài toán s h c
Bài toán đ i s
Bài toán hình h c
3.4. Phơn lo i theo Ủ ngh a gi i toán
Ng

i ta d a vào ý ngh a c a vi c gi i bài toán đ phân lo i bài toán:

Bài toán này nh m c ng c tr c ti p m t hay m t vài ki n th c k n ng
nào đó, hay là bài toán nh m phát tri n t duy. Ta có hai lo i bài toán
nh sau:
Bài toán c ng c k n ng: Là bài bài toán nh m c ng c tr c ti p ngay

sau khi h c m t ho c m t vài ki n th c c ng nh k n ng nào đó.
Bài toán phát tri n t duy: Là bài toán nh m c ng c m t h th ng các
ki n th c c ng nh k n ng nào đó ho c đòi h i ph i có m t kh n ng
t duy phân tích, t ng h p ho c v n d ng m t cách sáng t o.
4. Ph

ng pháp tìm l i gi i c a bƠi toán: D a theo 4 b

c c a

G.POLIA
B

c1:Tìm hi u đ .
Tr

c khi gi i 1 bài toán ta ph i phân tích đ bài c a bài toán, r i tìm

hi u th u đáo n i dung c a bài toán b ng nh ng câu h i sau:
Nh ng cái gì đã bi t? Cái gì ch a bi t c a bài toán?

Sv:

Tr n Th La -SP Toán 32

15


Khoá lu n t t nghi p
Tìm nh ng y u t c đ nh, nh ng y u t không đ i, nh ngy u t thay

đ i, bi n thiên c a bài toán.
Xác đ nh các n và các giá tr h ng c a bài toán.
D ki n c a bài toán có đ đ xác đ nh cái ch a bi t hay không?
B

c 2: Xây d ng ch
tìm đ
d ng ch

ng trình gi i.

c l i gi i cho bài toán m t cách có hi u qu thì b
ng trình gi i là b

kh n nh t. B

c quy t đ nh, đ ng th i c ng là b

c xây
c khó

c này đòi h i chúng ta bi t huy đ ng các ki n th c đã

bi t đ nh n xét, so sánh, bác b , t đó m i có th ti p c n t i l i gi i
c a bài toán.
i v i nh ng bài toán không có angôrit gi i, chúng ta s ph i ti n hành
xây d ng ch
a. Ph

ng trình gi i theo ph

ng pháp sau:

ng pháp đi xuôi:

Xu t phát t các gi thi t c a bài toán đ

c l y làm ti n đ . B ng suy

lu n h p lôgic chúng ta tìm ra các h qu lôgic c a các ti n đ đó. Ti p
t c ch n l c trong đó đ l y ra các h qu g n g i v i k t lu n c a bài
toán làm ti n đ m i. L i b ng suy lu n h p lôgic chúng ta tìm ra các h
qu lôgic m i g n g i h n v i k t lu n.... C ti p t c quá trình y chúng
ta tìm ra đ
đ
Ph

c h qu lôgic trùng v i k t lu n c a bài toán. Khi y ta tìm

c l i gi i c a bài toán.
ng pháp này đ

c mô t theo s đ sau:

A  B
  X
C  D

b. Ph
Sv:

ng pháp đi ng

(trong đó A,C là các gi thi t còn X là k t lu n).
c:

Tr n Th La -SP Toán 32

16


Khoá lu n t t nghi p
ó là quá trình xu t phát t k t lu n c a bài toán. B ng suy lu n h p
lôgic chúng ta đi ng

c lên đ tìm các ti n đ lôgic c a k t lu n này.

Ti p t c chúng ta ch n l c trong đó đ l y ra ti n đ g n g i v i gi
thi t c a bài toán đ làm k t lu n m i t đó rút ra các ti n đ lôgíc m i
c a các k t lu n m i này ... Quá trình y l i đ

c ti p di n ta tìm đ

các ti n đ lôgic trùng v i gi thi t c a bài toán, ta có đ

c

c l i gi i c a

bài toán.

Ph

ng pháp này đ

c mô t theo s đ sau:

C  A
X  

D  B

Chú ý: Thông th
toán ta th

(trong đó A, B là gi thi t còn X là k t lu n)

ng trong nhi u tr

ng k t h p c 2 ph

ng h p đ tìm đ

c l i gi i c a bài

ng pháp - đi xuôi và đi ng

c.

Ví d : Phân tích quá trình tìm l i gi i bài toán sau:
'' Ch ng minh r ng n u ABC tho mãn đi u ki n a = 2bcosC thì

ABC là tam giác cân''
Hd:
ch ng minh m t tam giác là tam giác cân ta có nhi u cách: ho c
ch ng minh 2 c nh nào đó b ng nhau, ho c ch ng minh 2 góc nào đó
b ng nhau.
đây ta th y gi thi t c a bài toán cho bi t đ ng th c liên h gi a góc
và c nh, do đó ta có 2 h

ng ch ng minh đó là: chuy n v đ ng th c

liên h gi a góc và khi đó ta s ch ng minh tam giác đã cho có 2 góc
b ng nhau ho c ta có th chuy n v đ ng th c liên h gi a các c nh và
khi đó ta s ch ng minh tam giác đã cho có 2 c nh b ng nhau

Sv:

Tr n Th La -SP Toán 32

17


Khoá lu n t t nghi p
th c hi n đ

c công vi c chuy n đ i đó ta s c n s d ng đ n 2 đ nh

lý sin và cosin.ta có 2 cách gi i:
Cách 1: S d ng đ nh lý sin
Ta có: a = 2bcosC







2RsinA  4RsinBcosC
sinA  2sinBcosC
sinA  sin(B  C)  sin(B  C)
sin(B  C)  0
B  C

V y tam giác ABC cân t i A.
Cách 2: S d ng đ nh lý cosin.
Ta có:

a  2bcosC
a 2  b2  c2
2ab
2
2
 a  a  b2  c2
 b  c
 a  2b

V y tam gác ABC cân t i A.
c. Ph

ng pháp s d ng các phép suy lu n quy n p

Trong toán h c đ đi t i l i gi i c a bài toán thì có r t nhi u ph

pháp. Tuy nhiên không ph i ph

ng

ng pháp nào c ng có th đi t i l i gi i

c a bài toán.
Có nh ng bài toán mà ta đã s d ng nhi u ph
đi xuôi, ph

ng pháp đi ng

mà v n ch a tìm đ
Sv:

ng pháp: Ph

c, th m chí k t h p c hai ph

ng pháp

ng pháp đó

c l i gi i c a bài toán đó. Lúc này ta c n chuy n

Tr n Th La -SP Toán 32

18

Khoá lu n t t nghi p
h

ng suy ngh theo m t h

ng khác, t m g i là ph

ng pháp s d ng

các phép suy lu n qui n p, ngh a là: Suy ngh đ n bài toán liên quan, có
tính ch t g n gi ng v i bài toán ta c n gi i - Có th là bài toán con, bài
toán t

ng t , bài toán đ c bi t, đôi khi là bài toán khái quát.

B ng cách phân tích s d ng l i gi i c a các bài toán có liên quan
v i bài toán đã cho, chúng ta có nhi u c h i thu n l i đ tìm ra l i gi i
c a bài toán đã cho.
Theo G.POLIA chúng ta th

ng ph i đ t ra các câu h i sau: " Anh có

bi t m t bài toán nào g n gi ng bài toán c a anh không?"; " ây là m t
bài toán g n gi ng v i bài toán c a anh đã gi i đ
dùng đ

c nó làm gì không?"; " N u anh không gi i đ

cho, thì tr
B

c r i. Anh có th
c bài toán đã

c h t hãy gi i bài toán g n gi ng v i nó.

c 3: Th c hi n ch

ng trình gi i.

ây là quá trình t ng h p l i c a b

c xây d ng ch

ng trình gi i, ta

dùng các phép suy lu n h p lôgic xu t phát t gi thi t c a bài toán, các
m nh đ toán h c đã bi t ta suy d n ra t i k t lu n c a bài toán.
Trong b

c th c hi n ch

ng trình gi i m t bài toán c n chú ý phân

bi t s khác nhau gi a nh ng đi u đã th y đ
đ
B

c - chính là đi u ch ng minh đ

c và nh ng đi u suy ra

c.

c 4: Nh n xét l i gi i và khai thác bài toán.
Th l i k t qu c a bài toán, th l i các l p lu n trong l i gi i đã tìm
đ

c c a bài toán.
Tìm các cách gi i khác n u có c a bài toán.
Nghiên c u các bài toán có liên quan.

Sv:

Tr n Th La -SP Toán 32

19


Khoá lu n t t nghi p
5. Các phép Suy Lu n Qui N p trong Toán H c
5.1. Suy lu n
Suy lu n là quá trình suy ngh đi t m t hay nhi u m nh đ ta rút ra
m nh đ m i. M nh đ đã có tr

c g i là ti n đ , m nh đ m i đ

c rút

ra g i là k t lu n.

Kí hi u: X1, X2, ... , Xn  X
Trong đó: X1, X2, ... , Xn: Là các ti n đ .

Y:Là k t lu n.

N u X1, X2, ... , Xn là h ng đúng thì ta nói phép suy lu n đó h p lôgic.
Lúc đó ta g i X1, X2, ... , Xn là các ti n đ lôgic, còn Y là h qu lôgic.
N u các ti n đ trong phép suy lu n h p lôgic là đúng thì ta có h qu
lôgic c a nó là đúng.
N u các ti n đ trong phép suy lu n h p lôgic là sai thì h qu lôgic
c a nó có th đúng ho c sai.
5.2. Suy lu n quy n p ( Suy lu n nghe có lỦ)
Suy lu n quy n p là suy lu n đi t cái đúng riêng đ n k t lu n chung.
T cái ít t ng quát đ n cái t ng quát h n.
c tr ng c a suy lu n quy n p là:
- Quá trình suy lu n không tuân theo quy t c suy di n.
- K t lu n mang tính

c đoán có th đúng có th sai c n ph i ki m

nghi m.
- Các phép suy lu n qui n p có nhi u ng d ng trong gi i toán, trong
vi c sáng t o toán h c.

Sv:

Tr n Th La -SP Toán 32

20

Khoá lu n t t nghi p
a. Suy lu n quy n p không hoàn toàn
Suy lu n quy n p không hoàn toàn là phép suy lu n mà k t lu n thu c
tính A thu c vào t t c các ph n t c a t p đang xét trên c s bi t thu c
tính A thu c vào m t s ph n t nào đó c a t p đó.
A1A2...An  A
b. Suy lu n t

ng t

Suy lu n t

ng t là suy lu n mà vi c rút ra k t lu n v 2 đ i t

A và B gi ng nhau
t

các d u hi u nào đó trên c s đã bi t hai đ i

ng đó có m t s d u hi u gi ng nhau t tr
Ví d :

ng

c.

A có các d u hi u a, b, c, d

B có các d u hi u a, b, c

 K t lu n B c ng có d u hi u d.
Suy lu n t

ng t có ng d ng r t nhi u trong vi c tìm tòi và sáng t o

toán h c, tuy nhiên c n tránh d p khuôn máy móc.
c. Suy lu n khái quát hoá
Suy lu n khái quát hoá là suy lu n đi t m t đ i t
đ it

ng sang m t nhóm đ i t

ng hay m t nhóm

ng r ng h n ch a đ i t

b ng cách d a vào đ c đi m đ c tr ng c a nhóm đ i t

ng ban đ u

ng xu t phát.

Ví d : N u có hai đi m A1, A2, và G là tr ng tâm c a h hai đi m thì ta
có:
GA1 + GA2 = 0
N u có ba đi m A1, A2, A3, G là tr ng tâm h ba đi m ta có:
Sv:

Tr n Th La -SP Toán 32

21


Khoá lu n t t nghi p
GA1 + GA2 + GA3 = 0
...................................

 GA = 0
n

V y n u h n đi m Ai ,G là tr ng tâm h n đi m thì

i

i =1

d. Suy lu n đ c bi t hoá
Suy lu n đ c bi t hoá là suy lu n đi t nhóm đ i t
nhóm đ i t

ng h p h n ch a trong t p h p đ i t

Trong phép suy lu n đ c bi t hoá c n chú ý các tr
h n suy bi n : Ti p tuy n v i đ

ng r ng đ n m t

ng ban đ u.
ng h p đ c bi t gi i

ng cong là gi i h n c a cát tuy n v i

đ

ng cong khi hai giao đi m c a cát tuy n trùng nhau;

tr

ng h p suy bi n tam giác; i m có th coi là đ

o n th ng là

ng tròn suy bi n có

bán kính b ng không.

Sv:

Tr n Th La -SP Toán 32

22


Khoá lu n t t nghi p

CH

NG II :

NG D NG TRONG D Y

H C
1. H TH NG CÁC KI N TH C
* CT c ng :

sin(a ± b)  sinacosb  sinbcosa
cos(a  b)  cosacosb  sinasinb

* CT nhân đôi :
sin2a  2sinacosa
cos2a  cos 2a  sin 2a  2cos2a  1  1  2sin 2a

* CT nhân ba :
sin3a  3sina  4sin 3a
cos3a  4cos3a  3cosa

* CT h b c :

sin 2a 

1  cos2a
1  cos2a
; cos 2a 
2
2

* CT chia đôi :

sina 

1 t 2
cosa

;
1 t 2
1 t 2
2t

( t  tan a )

2

* CT bi n đ i tích :

cosa  cosb  2cos

ab
ab
cos
2
2

cosa  cosb   2sin

Sv:

Tr n Th La -SP Toán 32

ab
ab

sin
2
2

23


Khoá lu n t t nghi p
sina  sinb  2sin

ab
ab
cos
2
2

sina  sinb  2cos

ab
ab
sin
2
2

* CT bi n đ i tích thành t ng :
1
cos(a  b)  cos(a b) 
2
1
sinasinb 

cos(a  b)  cos(a  b) 
2
cosacosb 

sinacosb 

1
sin(a  b)  sin(a  b)
2

2. CÁC D NG BÀI T P
Liên quan đ n ph n công th c B LG sin, cosin ta có th đ a ra m t
vài d ng bài t p c b n sau đây:
- D ng 1: Tính giá tr l
l

ng giác c a 1 góc b t k bi t giá tr hàm

ng giác khác liên quan đ n góc đó, tính giá tr bi u th c
- D ng 2: Rút g n bi u th c.
- D ng 3: Ch ng minh đ ng th c.
- D ng 4: Nh n d ng tam giác.
- D ng 5: Ph

ng trình l

ng giác.

Sau đây là t ng d ng c th :
D NG 1: TÍNH GIÁ TR L

GIÁ TR

HÀM L

NG GIÁC C A 1 GÓC B T K BI T

NG GIÁC KHÁC Cị LIểN QUAN

N

GÓC ị. TệNH GIÁ TR BI U TH C
Sv:

Tr n Th La -SP Toán 32

24


Khoá lu n t t nghi p
I. BÀI T P C

B N.

Bài 1: (SGK SNC 10 trang 213)
S d ng 750 = 450 + 300, hãy tính giá tr l

ng giác c a góc 750

S d ng 150 = 450 - 300, hãy tính giá tr l

ng giác c a góc 150

Gi i
Ta có :
sin750 = sin(450 + 300) = sin45o cos30o  cos45o sin30 o 

2
( 3  1)
4

2
cos75o  cos(45o  30o )  cos45o cos30o  sin45o sin30o 
( 3  1)
4
sin75o
cos75o
0
tan75o 


 2  3;
2
3
;
cot75
=
cos75o
sin75o
BƠi 2: (SGK SNC 10 trang 214)
Bi t sina 

1
và a   ,  , hãy tính các giá tr l
3
2


ng giác c a góc

a
2

Gi i
Ta có: sina 

 cosa  

V y

a
1  cosa
2 2
. M t khác : cos 2 
2
2
3

cos

 tan

Sv:

1
2 2
 cosa  
. Nh ng do a   ,  nên cosa < 0
3
3
2


a

2

3 2 2
. Hoàn toàn t
6

a
 3 2 2 ;
2

Tr n Th La -SP Toán 32

cot

 cos 2

ng t ta có: sin

a
3 2 2

2
6
a

2

3 2 2
6

a
 3 2 2
2
25