Luận văn sư phạm Ánh xạ Gauss và ứng dụng

L I NịI

U

Khóa lu n nƠy trình bƠy v v n đ ánh x Gauss vƠ ng d ng c a nó.
ng d ng c a ánh x nƠy đ nghiên c u v đ cong c a đa t p hai chi u trong
E3 nh đ cong chính, đ cong trung bình, đ cong Gauss, đ cong c a các
đ

ng đ c bi t trên đa t p hai chi u.

N i dung c a khóa lu n g m:
Ch

ng 1: Ki n th c chu n b

1. Không gian Euclit n chi u vƠ m t s đ nh ngh a
2. a t p đ nh h
Ch

ng trong không gian En

ng II: Ánh x Gauss vƠ ng d ng

1. Ánh x Gauss
2. Ánh x ti p xúc v i ánh x Gauss
3. Các v n đ liên quan đ n ánh x ti p xúc c a ánh x Gauss
4. M t s đ

ng đ c bi t trên m t

5. M t k vƠ m t c c ti u trong E3
K t lu n
Em xin đ

c bƠy t lòng bi t n công lao d y d c a các th y cô giáo, đ c

bi t lƠ s h

ng d n t n tình c a Th y giáo- Phó giáo s - Ti n s Nguy n

N ng Tơm đã giúp em hoƠn thƠnh khóa lu n nƠy.
HƠ N i, ngƠy

tháng

Sinh viên th c hi n

HoƠng Th Thanh H ng

1

n m


M CL C
N i dung
Ch

Trang

ng 1 KI N TH C CHU N B

1

1. Không gian clit n chi u vƠ m t s đ nh ngh a

1

nh ngh a

1.1

1

1.2 H t a đ tr c chu n trong không gian En

1

1.3 T a đ c a vect , c a đi m đ i v i h t a đ tr c chu n trong En 1
2. a t p hai chi u đ nh h

ng trong không gian E3

2

2.1 a t p hai chi u

2

2.2 D u hi u nh n bi t đa t p hai chi u trong E3

2

2.3 Ti p di n vƠ pháp tuy n c a đa t p hai chi u t i đi m không kì d 2
2.4 Tr

ng vect ti p xúc trên đa t p hai chi u trong En

3

2.5 H

ng trên đa t p hai chi u trong En

3

2.6 Tiêu chu n đ nh h

ng đ

c

4

2.7 Ánh x kh vi gi a hai đa t p hai chi u trong En

4

Ch

5

ng 2 ÁNH X GAUSS VẨ

NG D NG

1. Ánh x Gauss

5

1.1.

5

nh ngh a

1.2. nh c a m t s đa t p hai chi u qua ánh x Gauss

5

2. Ánh x ti p xúc v i ánh x Gauss

5

2.1.

5

nh ngh a

2.2 Tính ch t

6

3. Ánh x ti p xúc c a ánh x Gauss vƠ v n đ đ cong đ a ph

ng

c a đa t p hai chi u trong E3

6

3.1.

6

cong chính, ph

ng chính c a đa t p hai chi u S t i p

2


3.2.

cong Gauss vƠ đ cong trung bình c a đa t p hai chi u S

6

3.3.Các đ nh ngh a

7

3.4.Ví d

7

3.5.

8

nh ngh a

3.6. D ng c b n th hai trên đa t p hai chi u trong E3

8

3.7.

nh lí

10

3.8.

cong pháp d ng vƠ công th c le, công th c Meusnier

10

4. M t s đ

ng đ c bi t trên m t

12

4.1.

ng chính khúc

12

4.2.

ng ti m c n

13

4.3. Cung tr c đ a
4.4.Liên h gi a các đ

14
ng đ c bi t trên c a đa t p hai chi u

16

5. Gi i thi u m t k vƠ m t c c ti u trong E3

16

5.1. M t k

16

5.2. M t c c ti u

18

K t lu n

19

TƠi li u tham kh o

20

3


CH

KI N TH C CHU N B

NG 1

Tr
ph i n m đ

c khi tìm hi u v ánh x Gauss vƠ ng d ng c a nó, chúng ta c n
c m t s ki n th c c b n. Ch

ng 1 nƠy nh c l i m t s ki n

th c c b n đó.
1. Không gian

clit n chi u En vƠ m t s đ nh ngh a

nh ngh a

1.1.

Không gian clit n chi u En lƠ không gian afin liên k t v i không gian

vect clit n chi u n .
1.2. H t a đ tr c chu n trong không gian clit En

  

Trong E n ,tích vô h ng gi a hai ph n t x, y  n kí hi u lƠ x.y


 n
 
ho c  x, y . Chu n c a ph n t x  E đ c tính theo công th c x = x.x
Trong không gian E , ch n đi m O b t kì. Trong không gian
n


n

, ch n


  
  0 khi i  j
h vect tr c chu n {e1 , e2 ,..,en } t c lƠ ei .e j  
và ei =1 v i
1 khi i=j
  
i=1,n . Khi đó, t p { , e1 ,e 2 ,...,e n } g i lƠ h t a đ tr c chu n trong En. c
bi t, khi n =2, n=3 thì t a đ nƠy còn g i lƠ h t a đ
đ

các vuông góc và

c vi t lƠ Oxy ho c Oxyz.

1.3. T a đ c a vect , c a đi m đ i v i h t a đ tr c chu n trong En
  
Trong En, cho h t a đ tr c chu n { , e1 ,e 2 ,...,e n }
 n
1.3.1 V i x  , t n t i b s (x1, x2,ầ,xn) (x i  ฀ , i=1,n) sao cho

 n

x   x i .ei , khi đó b s (x1, x2,ầ,xn) đ


c g i lƠ t a đ c a x trong h t a

i=1



đ tr c chu n đã ch n. Vi t lƠ x=(x1 , x 2 ,...,x n ) ho c x(x1 , x 2 ,...,x n ) .

4


 n
, khi đó
 . Trong h t a đ tr c chu n c a En đã

1.3.2 V i 

=(x1 , x 2 ,...,x n ) . Khi nƠy, ta g i b s (x1, x2,ầ,xn) lƠ t a đ
ch n gi s
n

c a đi m P, vi t lƠ P(x1, x2,ầ,xn) ho c P=(x1, x2,ầ,xn).
V i



, 

n

,


(x1 ,x 2 ,..,yn ), (y1 , y2 ,..,yn ) , khi đó t a đ c a MN là


=(y1  x1 , y 2  x 2 ,.., y n  x n ) và  

n

 (y

i

 x i )2

i=1

2. a t p hai chi u đ nh h

ng trong không gian E3

2.1. a t p hai chi u trong E3
Trong En, cho t p S   . T p S đ

c g i lƠ đa t p hai chi u trong En (đ n

gi n có th g i lƠ m t) n u v i m i p  S có lơn c n m V c a p trong En sao
cho V  S lƠ m t m nh hình h c. M i tham s hoá c a m nh hình h c nƠy
đ

c g i lƠ tham s hóa đ a ph

ng c a S.

2.2. D u hi u nh n bi t đa t p hai chi u trong E3
2.2.1 Trong E3, cho h t a đ afin (x1, x2,ầ,xn), t p S   . T p S lƠ đa
t p hai chi u trong En khi vƠ ch khi v i m i p  S có lơn c n V c a p trong E3
vƠ m t hƠm s kh vi

:V  R, (x1 ,x 2 ,x 3 )  (x1 ,x 2 ,x 3 ) sao cho x  V





(x1 , x 2 , x 3 )  b ng 1 vƠ n u đ t
h ng  (x1 , x 2 , x 3 ); (x1 , x 2 , x 3 );
y
z
 x

(p) = a thì V  S =

1

(a) . i m p  S , p(x1, x2, x3) làm cho




(x1 , x 2 , x 3 )= (x1 , x 2 , x 3 ) 

(x1 , x 2 , x 3 )  0 đ
x
y
z

c g i lƠ đi m kì d c a

S.
2.2.2 Trong E3, cho t p S   , t a đ afin (x1, x2, x3). T p S đ

c g i lƠ

đa t p hai chi u trong E3 khi vƠ ch khi v i m i p  S có lơn c n m c a nó
trong S lƠ m t m nh hình h c v i tham s hóa ki u đ th , n u c n có th đ i

5


ch s các t a đ afin đ tham s hóa đó có d ng

(x1 ,x 2 )  r(x1 ,x 2 )= (x1 ,x 2 ,

3

(x1 ,x 2 ),...,

n

(x1 ,x 2 )) .

2.3. Ti p di n vƠ pháp tuy n c a đa t p hai chi u t i đi m không kì d
Trong E3, cho đa t p hai chi u S. T i p  S , ch n tham s hóa đ a ph ng
 
c a S lƠ r: U  S, (u,v)  r(u,v) . Khi đó, t n t i ru' , rv' và chúng đ c l p
tuy n tính. Ti p di n c a đa t p S t i p=r(u,v) lƠ 2-ph ng đi qua r(u,v) và có
 
không gian vect ch ph ng lƠ  ru' ,rv'  .
c bi t, trong E3 ti p di n nƠy lƠ m t ph ng ti p xúc; đ
qua r(u,v) vƠ vuông góc v i m t ph ng ti p xúc t i r(u, v) đ

ng th ng đi
c g i lƠ pháp

tuy n c a S t i p.
2.4. Tr

ng vect ti p xúc trên đa t p hai chi u trong En

  
Trong En cho đa t p hai chi u S, t i p  S đ t Tp E n  {(p, );  n } và

g i lƠ không gian vect ti p xúc c a En t i p.
 
V i m i p  S , đ t TpS  {(p, );  không gian vect ch ph
di n c a S t i p}, TpS đ
x

ng c a ti p

c g i lƠ không gian vect ti p xúc c a S t i p. Ánh

: S  Tp En , p  X(p)  TpS đ

c g i lƠ tr

ng vect ti p xúc c a S t i p.

Khi X  p   TpS thì ta g i ánh x X lƠ tr ng vect pháp tuy n c a S, lúc nƠy

n u (p)  1 thì X đ c g i lƠ tr ng vect pháp tuy n đ n v c a S.
c bi t khi trong E3, S có tham s hóa đ a ph ng lƠ

  '
r: U  S, (u,v)  r(u,v) , p = r(u, v), TpS  {(p, ) |  ru (u, v), rv' (u, v)} ,
thì vect pháp tuy n đ n v trên S t

ng thích v i tham s hóa r t i p đ


xác đ nh lƠ n(p) = (n  r)(u, v)   r(u, v);




6

 

ru' ×rv'
  (u, v)  . Lúc nƠy ta nh n đ


ru' ×rv'



c
c


ánh x kh vi n: S  Tp E n , p  n(p) , ta g i ánh x nƠy lƠ tr

ng vect pháp

tuy n đ n v c a S
2.5. H

ng trên đa t p hai chi u trong En

Cho đa t p hai chi u S trong En. Gi s trên m i không gian vect ti p
xúc TpS c a S có th l y m t c s (ap, bp) sao cho t n t i m t tham s hóa đ a
ng r: U  S t i p th a mãn: v i m i  u,v   V, p = r (u,v) hai c s

ph

{ru' , rv' } và {a p , bp } cùng h
lƠ h

ng. Khi đó ta nói S đ nh h

ng đ

ng c a TpS xác đ nh b i c s (ap, bp). Khi S đ nh h

D={Dp} lƠ m t h

ng c a S. Tham s hóa đ a ph

g i lƠ tham s hóa t

ng thích v i h

2.6. Tiêu chu n đ nh h

ng đ

ng đ

ng c a S

c ta g i h

trên r: U  S

ng D.

c

2.6.1. Trong En, đa t p hai chi u đ nh h
tham s hóa đ a ph

c. Kí hi u Dp

ng đ

c S khi vƠ ch khi có h

ng { ri : Ui  S } c a S sao cho S   r(Ui ) vƠ n u
i

ri (Ui )  rj (U j )   thì t i nh ng đi m chung c a giao đó hai tham s hóa đ a
ph

ng ri và rj t

ng đ

ng b o t n h

ng.

2.6.2. a t p hai chi u S trong E3 đ nh h ng đ c khi vƠ ch khi trên S có



m t tr ng vect pháp tuy n n : S  E n liên t c vƠ n(p)  0 t i m i p thu c
S.
2.7. Ánh x kh vi gi a hai đa t p hai chi u trong En
2.7.1.

nh ngh a

Trong En, cho hai đa t p hai chi u S1 và S2 vƠ ánh x h: S1  S2 . Ánh x h
kh vi n u h liên t c vƠ v i m i tham s hóa đ a ph

ng r1 : U1  S1 và

r2 : U2  S2 mà h(r1 (U1 ))  r2 (U2 ) thì ánh x r2-1  h  r1: U1  U2 kh vi.
2.7.2. Ánh x ti p xúc c a ánh x kh vi gi a hai đa t p hai chi u

7


V i ánh x kh vi h đ

c cho

trên, t i p  S1 , m i ph

ng  TpS1 đ u

t n t i cung tham s c a S1 là : J  S1 , t  (t) sao cho (t 0 )= p , '(t 0 )= .
Khi đó h  (t) : J  S2 lƠ m t cung tham s c a S2 đi qua q = h( (t 0 )) và

phép l y đ o hƠm (h  )'(t 0 ) không ph thu c vƠo cách ch n cung .
Khi đó ánh x ti p xúc v i h lƠ Tp h : TpS1  Th(p)S2 đ

Tp h( ) = (h  )'(t 0 )=((h  (t 0 ); (h  )'(t 0 )) .
Trên đơy lƠ nh ng ki n th c c n n m đ
Gauss vƠ ng d ng c a nó.

8

c tr

c đ nh ngh a là

c khi nghiên c u ánh x


CH

Ch

ÁNH X GAUSS VẨ

NG 2

NG D NG

ng 2 nƠy chúng ta lƠm quen v i đ nh ngh a ánh x Gauss vƠ s xét ng

d ng c a nó trong v n đ t c đ bi n thiên c a m t ph ng ti p xúc t i lơn c n
m t đi m trên đa t p hai chi u trong E3, m t cách t
thiên c a tr

ng đ

ng lƠ t c đ bi n

ng vect pháp tuy n đ n v trong lơn c n c a đi m đó.

1. Ánh x Gauss
nh ngh a

1.1.

Trong E3, cho đa t p hai chi u (có th g i lƠ m t) S đ
tr

c đ nh h

ng b i

ng vect pháp tuy n đ n v kh vi n, lúc này xác đ nh m t ánh x t S

vƠo m t c u đ n v S2 (m t c u tơm O, bán kính 1) là

g: S  S2 , p  g(p) = n(p) . Ánh x nƠy đ
đ nh h

c g i lƠ ánh x Gauss c a m t

ng S.

Rõ rƠng theo đ nh ngh a thì ánh x Gauss lƠ m t ánh x kh vi.
1.2. nh c a m t s đa t p hai chi u trong E3 qua ánh x Gauss
Trong E3 cho h t a đ tr c chu n Oxyz vƠ m t c u đ n v S2 tâm O, bán
kính 1.
1.2.1 Tìm nh c a m t tr tròn xoay S bán kính a > 0, quay quanh Oz qua
ánh x Gauss

Trong h t a đ đã ch n, gi s tham s hóa đ a ph ng c a S là

r: U  S, (u,v)  r(u,v) = (a.cosv, a.sinv;u)  r(u,v) = (a.cosv, a.sinv,u) , t


đơy suy ra ru' (u, v) = (0, 0, 1) , rv' (u,v) = (  a.sinv,a.cosv,0) , hai vect nƠy đ c
l p tuy n tính. Khi nƠy, xác đ nh m t tr ng vect pháp tuy n đ n v đ nh
 

ru' ×rv'
h ng trên S lƠ (n  r)(u,v)    (u, v)  (  cosv,  sinv, 0) . Trong E3, g i
ru' ×rv'
t a đ c a g(p)=(x, y, z) thì nh c a m t S lƠ đ

9

ng tròn l n trong m t ph ng


z=0 c a m t c u đ n v S2 t c lƠ đ

ng tròn trong E3 có ph

ng trình lƠ

 x 2 +y 2 = 1

z = 0
1.2.2 Tìm nh c a m t xuy n S qua ánh x Gauss
Trong E3, cho tham s hóa đ a ph

ng c a S lƠ

r : U  S, (u,v)  ((a  b.cosu).cosv, (a  b.cosu).sinv,bsinu) v i (a >b > 0).

T đó r(u,v)  ((a  b.cosu ).cosv, (a  b.cosu).sinv,bsinu)

ru' (u,v)  (b.sin u.cosv,  b.sinu.sinv,b.cosu)

rv' (u,v)  ((a  b.cosu ).sin v, (a  b.cosu).cosv,0) . Khi nƠy tr ng vect pháp

tuy n đ n v đ

c xác đ nh b i

ru'  rv'
n(p)  (n  r)(u,v)  ' ' (u,v)  ( cosu.cosv,  cosu.sinv,  sinu)
ru  rv
H n n a nh n th y r ng

(u,v)  U , p1  r(u,v)  ((a  b.cosu).cosv, (a  b.cosu).sinv,bsinu)  S và
(  u,v)  U, p2  ((a  b.cosu).cosv, (a  b.cosu).sinv, b.sinu)  S thì n(p1)
= n(p2) = ( cosu.cosv,  cosu.sinv,  sinu) . Ngh a lƠ m t xuy n có ph
trình tham s đang xét có nh lƠ m t c u đ n v đ

ng

c l y hai l n.

1.2.3 Tìm nh c a m t paraboloit elliptic S qua ánh x Gauss.

Gi s trong h tr c t a đ đã ch n, S có tham s hóa đ a ph

ng lƠ




x 2 y2 
x 2 y2 
r : U  S, (x, y)   x, y,
  khi đó r (x, y)   x, y,
  và
2p
2q 
2p
2q






x  
y
rx' (x,y)   1, 0,  , ry' (x,y)   0, 1,  . Khi nƠy tr
p
q


v đ

c xác đ nh b i

10

ng vect pháp tuy n đ n




x
y
n(p)  
,
,
2
2
2
2

x
y
x
y
 p 1  2  2
q 1 2  2
p q
p q




1
 Theo đ nh ngh a
2
2 
x
y
1  2  2 
p q 





  theo
ánh x Gauss, g(p)=n(p) vƠ trong h t a đ đã ch n gi s g(p)= x฀ , y,z
đó thì z  0 v i m i x, y t c lƠ nh c a m t S đ

c xác đ nh b i n a m t c u

đ n v có t a đ z > 0.
1.2.4 Tìm nh c a m t Catenoid qua ánh x Gauss.
Trong h t a đ đã ch n c a E3, gi s tham s hóa đ a ph

ng c a S lƠ

u
u
(u,v)  r(u,v)  (a.ch .cosv, a.ch .sinv, u)

a
a

u
u
Theo đó r(u,v)  (a.ch .cosv, a.ch .sinv, u) và
a
a


u
u
u
u
ru' (u,v)  (sh .cosv, sh .sinv,1) , rv' (u,v)  (a.ch .sinv, a.ch .cosv, 0) .
a
a
a
a
Khi đó tr

ng vect pháp tuy n đ n v đ

c xác đ nh nh sau :

ru'  rv'
cosv
sinv
u
n(p)  (n  r)(u,v)  ' ' (u,v)  ( 

,
, th ) . N u trong h t a
u
u
a
ru  rv
ch
ch
a
a

đ tr c chu n đã ch n, g(p)=(x, y, z) thì hƠm z(u)  th

u
lƠ hƠm t ng nghiêm
a

ng t vƠ có giá tr trong kho ng (-1, 1) vƠ không có giá tr h u h n nƠo c a u
đ z(u)=1, z(u)  1. Nh v y, nh c a m t Catenoid qua ánh x Gauss lƠ m t
c u S2 không k hai đi m c c (0, 0, 1) vƠ (0, 0, -1).
1.2.5 Tìm nh c a m t đinh c đ ng trong E3 qua ánh x Gauss
Trong h t a đ tr c chu n đã ch n, cho m t đinh c đ ng tham s hóa
đ a ph

ng lƠ (u,v)  r(u,v)  (u.cosv, u.sinv, av) (a  0) , theo đó

11





r(u,v)  (u.cosv, u.sinv, av) và ru' (u,v)  (cosv, sinv, 0) và

rv' (u,v)  (u.sinv, u.cosv, a) . Khi đó tr ng vect pháp tuy n đ n v đ

c

xác đ nh b i:

(n  r)(u,v) 

a
ru'  rv'
a
u

(u,v)
(
.sinv,
.cosv,
)
2
2
2
2
2
2
ru'  rv'
a u
a u

a u

N u trong h t a đ tr c chu n đã ch n, g(p) = (x, y, z) thì nh n xét th y r ng
hƠm x(u, v) vƠ y(u, v) không đ ng th i b ng 0 v i m i giá tr c a (u,v). Nh
v y nh c a m t đinh c đ ng lƠ m t c u đ n v không k hai đi m c c. H n
n a, v i m i đ

ng đinh c tròn u=u 0 thì các đi m

pk = (u 0 .cos(v+k2 ), u 0 (sinv+k2 ), a(v+k2 )) (k  ฀ ) thì nh c a các pk
cùng lƠ đi m


a
a
g(p k ) = 
.sin (v+k2 ), 
cos(v+k2 ),
2
2
 a 2 +u 2
a
+u
0
0


a
a
 g(p k ) =  2 2 .sin v,  2 2 cosv,

 a +u
a +u 0
0




2
2 
a +u 0 
uo


 . Nh v y thì nh c a
2
2 
a +u 0 
uo

m t đinh c đ ng lƠ m t c u S2 không k hai đi m c c đ

c l y vô s l n.

Sau đơy, chúng ta đi tìm hi u m t ng d ng c a ánh x Gauss, đó lƠ ánh x
ti p xúc c a nó. Ánh x nƠy chính lƠ ánh x đ o hƠm c a ánh x Gauss trong
lơn c n c a m t đi m trên đa t p hai chi u, đơy chính lƠ đ c tr ng cho t c đ
bi n thiên c a m t ph ng ti p xúc trong m t lơn c n c a đi m trên đa t p hai
chi u trong E3
2. Ánh x ti p xúc v i ánh x Gauss
2.1

nh ngh a

12


Trong E3, cho đa t p hai chi u S đ

c đ nh h

ng b i tr

ng vect

pháp tuy n đ n v n, ánh x Gauss c a S lƠ g. Ánh x ti p xúc c a ánh x
Gauss lƠ ánh x
ph

ng

Tpg : TpS  Tg(p)S2 , đ

 TpS , ch n cung tham s

c đ nh ngh a theo quy t c sau: m i
:J  S, t  (t) sao cho


(t 0 ) = p; '(t 0 ) = . Khi đó Tp g( ) = (g  )'(t 0 ) = ((g  )(t 0 ); (g  )'(t 0 )) .

M t khác theo đ nh ngh a ánh x Gauss thì n(p)=g(p) t ng đ ng




(n  )(t 0 ) = (g  )(t 0 )  (n  )'(t 0 ) = (g  )'(t 0 )

 
Ta có (n  )(t) =1  (n  )(t).(n  )'(t)= 0 nên (n  )'(t 0 )  TpS . Nh
v y, ta có th đ ng nh t TpS v i Tg(p)S2 .
Ta kh ng đ nh quy t c trên lƠ m t ánh x .
Quy t c trên xác đ nh v i m i
hóa đ a ph

 TpS . Th t v y, t i p ch n tham s

ng c a S lƠ r : U  S, (u,v)  r(u,v) , p = r(u0,v0),  u 0 , v0   U .

Trong TpS, ch n c s lƠ {ru' (u 0 ,v0 ), rv' (u 0 ,v0 )} . V i
sao cho

 TpS , t n t i a, b฀

= (a.ru' +b.rv' )(u 0 ,v0 ) . L y cung :J  U, t   (t) = (at, bt) v i

(at0=u0 và bt0=v0.

t

= r  : J  S , khi đó

'(t)= (r.฀ )'(t)= ru' (at)'+rv' (bt)' = a.ru' +b.rv' . T đó suy ra

'(t 0 ) = a.ru' (u 0 ,v0 )+b.rv' (u 0 ,v0 )= và (t 0 ) = r(u 0 ,v0 ) . nh v y quy t c nƠy
xác đ nh v i m i

 TpS .

Quy t c nƠy không ph thu c vƠo cách ch n cung

trên. Ch ng h n,

có hai cung , : J  S mà (t 0 )= (t 0 )= p, '(t 0 ) = '(t 0 ) = , v i cung
: J  S , t n t i duy nh t cung  : J  U, t   (t) sao cho = r   .

t

 (t) = (u(t); v(t)); u(t ) = u ; v(t ) = v . Khi đó
0
0
0
0
(n  )'(t 0 )= (n  r   )'(t 0 )=(n  r)'u (u 0 , v0 ).u'(t 0 )+(n  r)'v (u 0 , v0 ).v'(t 0 ) (1)

13


V i cung : J  S , t n t i duy nh t cung : J  U sao cho = r   .

t

 (t) = (u (t); v (t)); u (t )= u , v (t )= v . Khi đó
*
*
* 0
0
* 0
0
(n  )'(t 0 )= (n  r   )'(t 0 )=(n  r) 'u (u 0 , v 0 ).u *'(t 0 )+(n  r) 'v (u 0 , v0 ).v*'(t 0 ) (2)

Do gi thi t '(t 0 )= '(t 0 ) =

nên (u'(t 0 ); v'(t 0 )) = (u*' (t 0 ); v*' (t 0 )) , đi u nƠy

k t h p v i (1) vƠ (2), ta suy ra r ng (n  )'(t 0 ) = (n  )'(t 0 ) .
Nh v y ta kh ng đ nh quy t c xác đ nh

trên lƠ ánh x .

N u đ t D n = (n  )'(t 0 ) và h p ( ) =  D n =  Tp g( ) thì g i ánh x
hp nƠy lƠ ánh x Weingarten.
2.2 Tính ch t c b n
Trong E3, cho đa t p hai chi u S đ nh h

ng b i tr

ng vect pháp

tuy n đ n v n. T i p  S , ánh x Weingarten c a S t i p lƠ hp. Ánh x hp lƠ t
đ ng c u tuy n tính đ i x ng c a TpS.

T c lƠ  ,  TpS thì h p ( ). = .h p ( ) .
Ch ng minh
Tr

c h t ta ch ng minh hp lƠ t đ ng c u tuy n tính c a TpS. Ch n

tham s hóa đ a ph

ng c a S t i p lƠ r: U  S,(u,v)  r(u,v) , (u 0 , v0 )  U

p = r(u 0 ,v0 ) . Trong TpS, ch n c s lƠ {ru' (u 0 , v0 ), rv' (u 0 , v0 )} . V i ph

ng

 TpS , l y cung : J  S mà '(t 0 ) = (t 0  J) , theo đó t n t i duy nh t
cung tham s : J  U, t   (t) = (u(t); v(t)) sao cho

= r   . Nh v y,

= '(t 0 ) = (r   )'(t 0 ) = ru' (u 0 , v0 ).u'(t 0 ) + rv' (u 0 , v0 ).v'(t 0 ) t đơy ta th y r ng

(u’(t0), v’(t0)) lƠ t a đ c a

trong TpS.

L i theo đ nh ngh a ánh x Weingarten, ta có:
h p ( )=  (n  )'(t 0 )=  (n  r   )'(t 0 )

14

h p ( ) =  (n  r)'u (u 0 ,v0 ).u'(t 0 )  (n  r)'v (u 0 ,v0 ).v'(t 0 ) . Nh n th y r ng

(n  r)'u (u 0 ,v0 );  (n  r)'v (u 0 ,v0 ) là hai vect c đ nh thu c TpS. Nh v y,
v i ,  TpS , ta d dƠng ch ng minh đ

c hp lƠ m t t đ ng c u tuy n tính

c a TpS.
H n n a, hp còn lƠ m t t đ ng c u tuy n tính đ i x ng. Tr

c h t, ta

ch ng minh tính đ i x ng c a hp v i c s trong TpS, t c lƠ :

h p (ru' ).rv' (u 0 , v0 ) = ru' .h p (rv' )(u 0 , v0 )
Ta có ru' (u 0 ,v0 )h p (rv' (u 0 ,v0 )) =  ru' (u 0 ,v0 ).(n  r)'v (u 0 ,v0 ).

(1)

T (n  r)(u 0 ,v 0 ).ru' (u 0 ,v 0 ) = 0 , l y đ o hƠm hai v c a đ ng th c nƠy theo v
ta đ

c (n  r)'v (u 0 ,v0 ).ru' (u 0 ,v0 )+(n  r)(u 0 ,v0 ).ruv' (u 0 ,v0 ) = 0 , t đơy suy ra

(n  r)'v (u 0 ,v0 ).ru' (u 0 ,v0 ) = (n  r)(u 0 ,v0 ).ruv'' (u 0 ,v0 ) (2)
Ta có h p (ru' (u 0 ,v0 ))rv' (u 0 ,v0 ) =  (n  r)'u (u 0 ,v0 ).rv' (u 0 ,v0 )

(3)

T (n  r)(u 0 ,v 0 ).rv' (u 0 ,v 0 ) = 0 , l y đ o hƠm hai v theo u ta đ

c

(n  r)'u (u 0 ,v0 ).rv' (u 0 ,v0 )+(n  r)(u 0 ,v0 ).rvu'' (u 0 ,v0 ) = 0 , t đơy suy ra
(n  r)'u (u 0 ,v0 ).rv' (u 0 ,v0 ) = (n  r)(u 0 ,v0 ).rvu'' (u 0 ,v0 ) (4)
K t h p (1), (2), (3), (4) vƠ đi u ki n r kh vi đ n c p c n thi t ta có

h p (ru' ).rv' = ru' .h p (rv' ) . V i ,  TpS thì đ u bi u di n đ

c qua c s

{ru' (u 0 , v0 ); rv' (u 0 , v0 )} , d dƠng ki m ch ng tính ch t đ i x ng c a hp.
3. Ánh x ti p xúc c a ánh x Gauss vƠ v n đ đ cong đ a ph

ng c a

đa t p hai chi u trong E3
Trong E3, cho đa t p hai chi u S trong E3 đ

c đ nh h

ng b i tr

ng

vect pháp tuy n đ n v n. T i p  S , ánh x Weingarten c a S t i p lƠ hp.
3.1

cong chính, ph

ng chính c a đa t p hai chi u S t i p

cong chính c a đa t p hai chi u S lƠ giá tr riêng c a hp, ph

15

ng chính


c a S t i p lƠ vect riêng c a hp
3.2

cong Gauss vƠ đ cong trung bình c a đa t p hai chi u S t i p

3.2.1

nh ngh a
cong Gauss c a S t i p lƠ đ nh th c c a hp, kí hi u lƠ K(p).

cong

chính c a S t i p lƠ n a v t c a hp, kí hi u lƠ H(p).
3.2.2 Công th c tính đ cong Gauss vƠ đ cong trung bình c a S t i p theo
đ cong chính
Ánh x hp lƠ t đ ng c u tuy n tính đ i x ng c a không gian vect
th c hai chi u TpS, do v y t i p ch có m t trong hai tr

ng h p x y ra

a) hp có hai giá tr riêng phơn bi t th c lƠ k฀1 ,k฀ 2 ( k฀1  k฀ 2 ) hay k฀1 ,k฀ 2 là
hai đ cong chính c a S t i p, hai ph

ng chính t

ng ng vuông góc v i

nhau. Ch n m t c s c a TpS g m hai vect lƠ ph

ng chính c a S t i p thì

ma tr n c a hp có d ng chéo:

 k฀1 0 
A 

0 k฀ 2 
Khi đó đ cong Gauss c a S t i p lƠ K  p  =k฀1.k฀ 2 , đ cong trung bình c a S
t i p lƠ H(p)=

k฀1 +k฀ 2
2

Chú ý : khi đ i h

ng đa t p hai chi u S thì tr

ng vec t pháp tuy n

đ n v n thay b ng –n do đó ma tr n A thay b ng –A. Vì A lƠ ma tr n vuông

c p hai nên A = -A vƠ v t (A)=-v t (-A). Do đó đ cong Gauss không đ i,
đ cong trung bình đ i d u.
b) hp có giá tr riêng kép th c k฀1 =k฀ 2 (k฀1 ,k฀ 2  ฀ ) thì m i ph
lƠ ph

ng chính . Ch n c s c a TpS g m hai vect ch ph

cong Gauss K(p)=k฀1.k฀ 2 =(k฀1 ) 2 , đ cong trung bình H(p)=k฀1
3.3 Các đ nh ngh a

16

ng đ u

ng chính thì đ


Trong E3, cho đa t p hai chi u S đ

c đ nh h

ng b i tr

ng vect

pháp tuy n đ n v n. T i p  S , S có đ cong chính lƠ k฀1 ,k฀ 2 , đ cong Gauss
lƠ K(p), đ cong trung bình lƠ H(p). i m p đ
đi m p đ

c g i lƠ đi m r n n u k฀1 =k฀ 2 ,

c g i lƠ đi m c u n u k฀1 =k฀ 2  0 , đi m p đ

k฀1 =k฀ 2 =0 . i m p đ

c g i lƠ đi m d t n u

c g i lƠ đi m elliptic n u K(p)>0, điêm p đ

i m hypebolic n u K(p)<0, đi m p đ

c g i lƠ

c g i lƠ đi m paraboloic n u K(p)=0.

Chú ý: Trong E3, cho đa t p hai chi u S có h

ng xác đ nh b i tr

ng

vect pháp tuy n n. T i p  S , ánh x Weingarten c a S t i p lƠ hp. Khi đó

,  TpS ta có h p ( ).h p ( )  2.H(p).h p ( ). +K(p). . =0
Th t v y, trong không gian TpS, ta ch n c s tr c chu n {e1,e2} vƠ g i
k฀1 , k฀ 2 lƠ hai đ cong chính c a S t i p. T đơy suy ra h p (e1 )=k฀1.e1 và

h p (e2 )=k฀ 2 .e2 V i ,  TpS , t n t i a, b, c, d sao cho =a.e1 +b.e2 , =c.e1 +d.e2
฀ e
Khi này h p ( )=h p (a.e1 +b.e2 )=a.k฀1e1 +b.k

2 2
h p ( )=h p (c.e1 +d.e2 )= c.k฀1e1 +d.k฀ 2 e2

k฀ +k฀
M t khác có K(p)=k฀1.k฀ 2 và H(p)= 1 2 , thay vƠo công th c ta có
2
VT=(a.k฀1e1 +bk฀ 2 .e 2 )(ck฀1e1 +dk฀ 2 .e 2 )  (k฀1 +k฀ 2 )(a.k฀1e1 +bk฀ 2.e 2 )(ce1 +de)+
+k฀1.k฀ 2 (ae1 +be2 )(ce1 +de2 )

=ack฀1 +bdk฀ 2  (k฀1 +k฀ 2 )(ack฀1 +bdk฀ 2 )+(ac+bd)k฀1.k฀ 2
=0
3.4 Ví d
3.4.1 Trong E3, cho m t c u S tơm O bán kính R>0. M t c u nƠy lƠ đa t p
hai chi u trong E3, gi s S đ

c đ nh h

17

ng b i tr

ng vec t pháp tuy n


đ nv h


OP
) . Go ánh x
ng ra ngoƠi, t c lƠ v i P  S, n(P)=(P;

R

Weingarten c a S t i P lƠ hp. L y  TpS , xét đ
qua P vƠ ti p xúc v i ph

ng

ng tròn l n c a m t c u đi

. Tham s hóa cung tròn l n c a đ

ng tròn

l n nƠy mƠ đi qua P vƠ ti p xúc v i ph


(t 0 ) = P, '(t 0 ) = . Khi này n(P)= 


(n  )'(t 0 )= 

Theo công th c h p ( )=  (n  )'(t 0 )=

1
k฀1 =k฀ 2 =  , đi m P lƠ đi m c u.
R
tr nƠy luôn d

ng là :J  S, t  (t) và


O (t 0 ) 
(t 0 );
 . T đơy suy ra
R 

O '(t 0 ) 
(t 0 );

R 


. Nh v y, giá tr riêng c a h p ( ) là
R
cong Gauss c a S t i P lƠ K(P)=

ng, do đó đi m P lƠ đi m elliptic c a S.

c a S t i P lƠ H(P)= 

1
giá
R2

cong trung bình

1
. i m P lƠ đi m b t kì trên S nên m i đi m trên S
R

đ u lƠ đi m c u.

3.4.2 Trong En, cho S lƠ m t ph ng, khi đó n lƠ tr

ng vect song song

nên hp=0 v i m i p  S . Nh v y, m i đi m thu c S đ u lƠ đi m d t, K = H =
0.
3.4.3 Trong E3 v i h t a đ

các vuông góc Oxyz. Cho m t tr tròn

xoay S có bán kính a, tr c quay lƠ Oz . Tham s hóa đ a ph ng c a S lƠ

r(u,v)=(a.cosu, a.sinu, v). Theo đó r(u,v) = (a.cosu,a.sin u, v) t đó tính đ c


'
ru (u,v)=(  a.sinu,acosu, 0) và rv' (u,v)=(0,0,1) , khi nƠy có th đ nh h ng S
b i tr

ng vect pháp tuy n đ n v liên t c đ

18

c xác đ nh nh sau


(n  r)(u, v) =

ru' ×rv'
(u, v) = (cosu, sinu, 0)

ru' ×rv'



1 
Khi này h p (ru' )=  (n  r)'u =(  sinu, cosu,0)=  .ru' , và
a

 1





'
'
'
'
h p (rv )=  (n  r) v = (0, 0,0) = 0. ru  0.rv . Do đó ma tr n c a hp là A=  a

0
T đơy suy ra Kp=0, H p  

1 ฀
1
, k1 =  ; k฀ 2 =0 .
2a
a

ng chính ng v i k฀1 lƠ ph

Ph

t a đ v=v0 (cung v tuy n). Ph

rv' , đó lƠ ph
3.5


0

0

ng c a ru' , đó lƠ ph

ng ti p xúc c a cung

ng chính ng v i k฀ 2 lƠ ph

ng c a vect

ng ti p xúc c a cung t a đ u = u0 (cung kinh tuy n).

nh ngh a
Ánh x f: S1  S2 gi a các đa t p đ nh h

E3 đ

c g i lƠ ánh x b o giác n u có hƠm s d

ng trên đa t p hai chi u trong
ng : S1  ฀ sao cho v i

m i , TpS1 ta có Tpf( ).Tpf( ) = (p). . (v i m i p  S1 ).
3.6 D ng c b n th hai trên đa t p hai chi u trong E3
Trong E3, cho đa t p hai chi u S đ

c đ nh h

ng b i tr

ng vect

pháp tuy n đ n v n. T i p  S , ánh x Weingarten c a S t i p lƠ hp.
3.6.1

nh ngh a d ng c b n I vƠ II c a m t S t i p  S

D ng song tuy n tính đ i x ng trên TpS Ip: TpS×TpS  ฀ , ( , )  . ,

IIp: TpS×TpS  ฀ , ( , )  h p ( ). l n l

tđ

c g i lƠ d ng c b n th I vƠ

II c a đa t p hai chi u S t i p. Kí hi u Ip ( , ) = Ip ( ) , IIp ( , ) = IIp ( ) . Khi
P thay đ i trên S ta có th dùng kí hi u I vƠ II.
3.6.2 Bi u th c t a đ c a d ng c b n th I vƠ II trong tham s hóa đ a

19


ph

ng c a S t i p

T i p  S , ch n tham s hóa đ a ph

ng c a S lƠ r: U  S,(u,v)  r(u,v) mà

p=r(u0, v0), (u 0 , v0 )  U . Các hƠm s trên U
 
 
 
E = (ru' .rv' )(u, v), F = (ru' .rv' )(u,v), G = (rv' .rv' )(u, v) đ

c g i lƠ các h s c a

bi u th c t a đ c a d ng c b n I.
 

 
 
 
L=(n  r).ruu'' =  (n  r)'u .ru' , M=(n  r)ruv'' =  (n  r)'u rv' =  (n  r)'v .ru'
 
 
N=(n  r).rvv'' =  (n  r)'v .rv' đ c g i lƠ các h s c a bi u th c t a đ c a d ng
c b n th II.

V i X, Y  TpS, X= 1.ru' + 2 .rv' ; Y= 1ru' + 2rv' thì

I(X,Y)=(E.r -1 )
II(X,Y)=(L.r -1 )
ơy l n l

tđ

s hóa đ a ph
Khi r t

1 1

+(F.r -1 )( 1.

1 1

2

+(M.r -1 )( 1.

+
2

2

+

1

2

)+(G.r -1)
1

2

)+(N.r -1 )

2

2

2

.

c g i lƠ bi u th c t a đ c a d ng c b n I vƠ II trong tham
ng đã ch n c a S.

ng thích v i h

 
 r ' ×r '
ng c a S thì (n  r)= u v
ru' ×rv'

3.6.3 Công th c tính đ cong Gauss vƠ đ cong trung bình theo các h s
c a d ng c b n I vƠ II
Trong TpS, l y c s { , } vƠ gi s h p ( )=a. +b ; h p ( )=c +d

thì K(p)  ad  bc , H(p)=
tích vô h

ng c a các v c a đ ng th c nƠy v i

h p ( ).
K(p)=

(a+d)
. Khi đó h p ( )  + .h p ( )=2.H(p)  . L y
2

h p ( ).

h p ( ).

II(
h p ( ).
II(
=
I(
I(

,
,
,
,

) II( , )
) II( , )

) I( , )
) I( , )

20

 ta đ

c


h p ( ).

h p ( ).

2H(p)=

Trong tham s hóa đ a ph

= ru' (u,v);

+

h p ( ).

h p ( ).

ng c a S t i p lƠ r: U  S, (u,v)  r(u,v) , ta l y

= rv' (u,v) suy ra

LN  M2
K(p)=
(u,v);
EG  F2

EN+GL  2FM
(u,v)
2(EG  F2 )

H(p)=

3.6.4 M t s k t qu
a) Trong E3 cho h t a đ tr c chu n Oxyz, cho đa t p hai chi u S có
tham s ki u đ th (x, y)  r(x, y)=(x, y,f(x, y)) . V i hƠm f(x, y) lƠ hƠm s
kh vi. Khi đó



'
'
r(x, y)=(x, y, f(x, y)), rx (x, y)  (1, 0, f x ),ry' (x, y)  (0, 1, f y' )
Ta tính đ

c E=1+ f x' F = f x' .f y'

G = 1+ f y' . Trong E3, ch n đ

c

h

ng vƠ có phép tính tích có h ng, khi đó tr ng vect pháp tuy n đ n v
 

rx' ×ry'
1
f x' ,  f y' ,1
(n  r)(x,y) =   (x, y) =

1+f x'2 +f y'2
rx' ×ry'




''
''
''
''
M t khác rxx =(0;0;f xx ); rxy =(0;0;f xy ); ryy'' =(0;0;f yy'' ) theo đó tính đ

L=

f xx''
1+f x'2 +f y'2

; M=

T đó (K  r)(x, y) =

f xy''
1+f x'2 +f y'2

f xx'' .f yy''  f xy''
(1+f x'2 +f y'2 )2

; N=

c

f yy''
1+f x'2 +f y'2

, nh v y đi m ng v i (x, y) lƠ đi m

elliptic, hypeboloit hay paraboloit c a m t tùy theo (f xx'' .f yy''  f xy''2 )(x,y) d
ơm hay b ng 0

21

ng,


b)

a t p hai chi u liên thông cung trong E3 mƠ m i đi m lƠ đi m r n

thì có đ cong Gauss h ng (không ơm).
Ch ng minh
Trong E3 cho S lƠ đa tap hai chi u v i tham s hóa đ a ph

(u, v)  r( u, v) . G i n lƠ tr

ng lƠ

ng vect pháp tuy n đ n v c a m t vƠ v i m i

đi m p=r(u, v) trên S đ u lƠ đi m r n t c lƠ   TpS đ u lƠ ph

ng chính


c a S t i p, g i đ cong chính c a S t i p lƠ k . Suy ra h p ( )=k.

(  TpS)

 ' ,  (n r) ' =k.r
 ' . L y đ o hƠm
 ' , h (r ' )=k.r
 ' hay (n  r) ' =k.r
Và h p (ru' )=k.r
u
u
v
v
u
p v
v

hai v c a đ ng th c th nh t theo v, đ ng th c th hai theo u ta d

c:

 '' ,  (nr)'' =k฀ ' .r ' +k.r
 ''
(nr)''uv =k฀ 'v .ru' +k.r
uv
vu
u v
vu

Tr v v i v hai đ ng th c nƠy ta đ

c k฀ 'v .ru' +k฀ 'u .rv' =0 . Do {ru' , rv' } đ c l p

tuy n tính nên k฀ 'u =k฀ 'v =0 . V y do đa t p liên thông cung nên K=k฀ 2 là hàm
h ng.
V y ch có th có hai tr

ng h p sau:

+ K= 0: m i đi m c a S lƠ đi m d t , khi đó S lƠ m t b ph n liên thông c a
m t ph ng . Th c v y, trên m i t p m liên thông c a S mƠ có tr
pháp tuy n đ n v n thì có Dn=0 nên n lƠ tr
V y do S liên thông, nó đ nh h

ng b i tr

ng vect

ng vect song song trên t p đó.

ng vect pháp tuy n đ n v song

song n d c S. L y p  S , v i m i đi m q  S , l y cung tham s
:[0,1]  S, t  (t) , n i p= (0) v i q = (1) và xét hàm
 
 
: [0,1]  ฀ , (t) = p (t).n , ta có '(t)= '(t).n=0 và (0)=0 nên (t)=0 v i

m i t, t đó q = (1) ph i thu c m t ph ng qua p vƠ th ng góc v i n .

+ K=

1
(R>0) , v i m i đi m c a S lƠ đi m c u , khi đó S lƠ m t b ph n
R2

liên thông c a m t c u bán kính R. Th c v y, trên m i t p m liên thông c a

22


S mƠ có tr

ng vect pháp tuy n đ n v n, có th coi h p ( )  

R

v im i

 TpS , p thu c t p m đó. V i cung tham s : [0,1]  S, t  (t) trong t p


  
m đó, xét t  r(t)= (t)  Rn( (t))  E3 thì r(t)= '(t)+Rh( '(t)) 


'(t) 
 '(t)  R
 0 nên v i m i t [0,1] , r(t) lƠ m t đi m c đ nh O. T đó
R


O (t) = R.(n( (t)) =R nên v i (t) thu c m t c u tơm O bán kính R. L y
p  S , v i m i q  S , l y cung tham s

1

: [0,1]  S, p =

1

(0); q =

1

(1) thì

có th chia nh đo n [0, 1] thƠnh m t s h u h n đo n con đ thu h p c a

1

trên m i đo n con có nh n m trên m t t p m liên thông c a S trên đó có
tr

ng vect pháp tuy n đ n v nh nói trên. T đó, d th y các đi m O cho

m i đo n con đó lƠ trùng nhau, v y v i m i t  [0,1] ,

1

(t) thu c m t c u tơm

O, bán kính R, do đó q thu c m t c u đó.
H qu tr c ti p đ

c rút ra lƠ : S lƠ m t đa t p hai chi u comp c liên thông

trong E3 mƠ m i đi m lƠ đi m c u ph i lƠ toƠn b m t m t c u.
3.6.5 Ví d
a) Trong E3, v i h t a đ tr c chu n Oxyz. Cho m t xuy n v i ph

ng

trình tham s lƠ
r :U  S,(u, v)  r(u, v) = ((a+b.cosu).cosv,(a+b.cosu).sinv,bsinu) v i
0  u, v  2 và (a > b > 0) . Theo đó

r(u, v) = ((a+b.cosu).cosv,(a+b.cosu).sinv,bsinv) t đó tính đ c

ru' (u,v) = (  b.sinu.cosv;  b.sinu.sinv; b.cosu) và


rv' (u, v) = (  (a+b.cosu).sinv, (a+b.cosu)cosv, 0) . T đó xác đ nh đ

vect pháp tuy n c a S lƠ

23

c tr

ng


(n  r)(u, v) =
đ

ru' ×rv'
(u, v) = (  cosu.cosv,  cosu.sinv, sin u) vƠ xác đ nh
ru' ×rv'

c các h s c a d ng c b n I vƠ II nh sau

E = b2 , F = 0, G = (a+b.cosu)2
L=b2 , M=0, N=(a+b.cosu).cosu
T đó tính đ

c đ cong Gauss vƠ đ cong trung bình c a m t xuy n lƠ

LN  M2
cosu
K(p) =
(u, v) 

2
EG  F
b.(a+b.cosu)
H(p) =

EN+GL  2FM (a+2b.cosu)

(EG  F2 )
b.(a+b.cosu)

T đơy d dƠng nh n th y r ng các đi m ng v i đ
đ cong Gauss b ng 0, các đi m t
Gauss nh h n 0, các đi m t

ng ng v i mi n

3
có
ng tròn u= , u=
2
2

2

< u<

ng ng v i mi n 0 < u <

3
< u < 2 có đ cong Gauss d

2

2

3
có đ cong
2

ho c mi n

ng.

b) Trong E3 v i h t a đ tr c chu n đã ch n, cho m t parabolit eliptic
đ

c xác đ nh b i tham s hóa ki u đ th lƠ


x 2 y2 
r: U  S, (x, y)   x, y,
+  v i (p, q >0)
2p
2q 


x 2 y2
Theo đó, hƠm f(x, y) =
lƠ hƠm kh vi. Theo k t qu
+
2p 2q

f x' (x, y) =

x
,
p

f y' (x, y) =

trên thì

1
1
y
và f xx'' (x, y) = , f xy'' (x, y) = 0,f yy'' (x, y) = . Áp
p
q
q

d ng k t qu ta có đ cong Gauss t i m i đi m p= r( x, y) lƠ :

24


K  r(x, y) =

1
 x 2 y2 
pq 1+ 2 + 2 
 q p 

2

nh lí

3.7

Khi đó n u f lƠ ánh x Gauss t m t liên thông S1 vƠo m t c u đ n v
S2 thì f lƠ ánh x b o giác khi vƠ ch khi S1 n m trên m t c u hay m t m t c c
ti u (m t c c ti u lƠ đa t p hai chi u có đ cong trung bình b ng 0)
Ch ng minh
Trong E3 cho h t a đ tr c chu n Oxyz, v i O lƠ tơm m t c u S2. Vì

f : S1  S2 lƠ ánh x Gauss nên v i p  S1 thì f(p)  S2 th a mãn




Of (p) = n(p) . Khi đó ta đã ch ra có th đ ng nh t TpS1 và Tf(p)S2 . Ta có v i




m i  TpS1 thì Tpf ( ) = D n . Do v y, Tpf =  h p . Ta đã ch ng minh đ c
ánh x Weingarten lƠ t đ ng c u tuy n tính đ i x ng c a không gian hai

chi u TpS. N u ánh x f lƠ ánh x b o giác thì Tp f lƠ ánh x tuy n tính đ ng
d ng, t c hp lƠ ánh x tuy n tính đ ng d ng . N u đ ng d ng nƠy có h s
đ ng d ng lƠ

(  0) thì m i giá tr riêng c a nó lƠ

ho c  . V y hai đ

cong chính c a S1 t i m i p ho c luôn luôn b ng nhau ho c luôn luôn đ i
nhau. T đó suy ra S1 là m t m nh m t ph ng (đ ng d ng tuy n tính trên suy
bi n =0 ), m t c u (m i đi m lƠ đi m c u vì có đ cong chính b ng nhau vƠ
khác 0 v i m i đi m trên S1).
3.8.

cong pháp d ng vƠ công th c

3.8.1

le, công th c Meusnier

cong pháp d ng c a đa t p hai chi u trong E3

Trong E3 cho đa t p hai chi u S có h
 )= II( ) đ
 0 . S k(
I( )

ng. T i p  S , l y  TpS,

c g i lƠ đ cong pháp d ng c a S t i p theo ph

.

25

ng