Một số phương pháp giải phương trình đa thức bậc cao

Chuyên đề: Một số phơng pháp giải phơng trình đa thức bậc cao một ẩn
chuyên đề bồi dỡng HS khá , giỏi môn toán 9
Một số phơng pháp giải phơng trình
đa thức bậc cao một ẩn
Hơn bốn nghìn năm trớc đây , ngời Hi Lạp đã biết cách giải các phơng trình bậc nhất
và bậc hai
Phơng trình bậc 3
- Năm 1526 nhà toán học I-ta-li-a là Phe-rô mới tìm đợc cách giải phơng trình bậc 3
dạng x
3
+ ax = b với a , b > 0
- Năm 1535 nhà toán học Tac-ta-li-a đã tìm đợc cách giải tổng quát phơng trình x
3
+
ax + b = 0 với mọi giá trị của a , b
- Năm 1545 nhà toán học Các-đa-nô đã công bố công thức tìm nghiệm của phơng
trình bậc ba
Phơng trình bậc 4
Năm 1545, nhà toán học I-ta-li-a là phe-ra-ri đã tìm ra cách giải tổng quát phơng
trình bậc bốn
Phơng trình bậc cao hơn 4
Trong các thế kỷ 17 và 18 các nhà toán học đã mất rất nhiều công sức để tìm cách giải
tổng quát phơng trình bậc 5 , bậc 6 nhng không thành công
Đến đầu thể kỷ 19 thì hai nhà toán học nguời Na-uy là A-ben và nhà toán học nguời
Pháp là Ga-loa đã giải quyết vấn đề có thể giải phơng trình bậc cao hơn bốn bằng căn thức
hay không.
- A-ben đã chứng minh đợc rằng các phơng trình bậc cao hơn bốn dới dạng tổng quát
không thể giải đợc bằng căn thức . Tức là không thể biểu thị đợc các nghiệm của ph-
ơng trình đó bằng các phép toán : cộng , trừ , nhân , chia , luỹ thừa và khai căn
- Còn Ga-loa chỉ ra đợc dấu hiệu nhận biết một phơng trình bậc cao hơn bốn có thể
giải đợc bằng căn thức hay không , bằng một lý thuyết độc đáo mà sau này mang

tên ông : lý thuyết nhóm
Năm học 2010 - 2011 1
Chuyên đề: Một số phơng pháp giải phơng trình đa thức bậc cao một ẩn
Vậy là các phơng trình bậc cao hơn bốn dới dạng tổng quát không thể giải đợc bằng
căn thức
Mặt khác đối với học sinh lớp 9 đã biết giải phơng trình bậc nhất và bậc hai dới dạng
tổng quát . Còn cách giải tổng quát của phuơng trình bậc ba và bậc bốn thì phức tạp đối với
học sinh phổ thông
Nh vậy không có phơng pháp chung để giải tất cả các phơng trình bậc cao mà phải
căn cứ vào từng phơng trình , để tìm các giải thích hợp
Sau đây xin đề cập đến một số phơng pháp riêng để giải phơng trình đa thức bậc cao
hơn 2, nhằm bồi dỡng học sinh khá giỏi của lớp 9
Một số phơng pháp giải phơng trình đa thức bậc cao
I. Phơng pháp biến đổi về phơng trình tích.
Một trong các phơng pháp riêng giải phơng trình đa thức bậc cao là phân tích đa thức
thành nhân tử có bậc thấp hơn để đa việc giải phơng trình đã cho về giải một phơng trình
tích
Ví dụ 1: Giải phơng trình sau: 5x
3
- 6x
2
- 2x
3
+ 3 = 0
Giải
Nhận xét : Nếu phơng trình trên có nghiệm nguyên thì số này phải là ớc của 3. Ta thấy đa
thức 5x
3
- 6x
2

- 2x
3
+ 3 có nghiệm nguyên x = 1 . Vậy khi phân tích đa thức này thành
nhân tử thì đa thức này chứa nhân tử x - 1.
5x
3
- 6x
2
- 2x
3
+ 3 = 0 5x
3
- 5x
2
- x
2
+ x - 3x + 3 = 0 (x - 1)(x
2
- x - 3) = 0
x- 1 = 0 hoặc x
2
- x - 3 = 0
x
2
- x - 3 = 0 x =
2
131
+
hoặc x =
2

131

Phong trình Vậy phơng trình đã cho có ba nghiệm
x
1
= 1 x
2
=
2
131
+
x
3
=
2
131


Ví dụ 2: Giải phơng trình : x
4
+ 12x
3
+ 32x
2
- 8x - 4 = 0
Giải
Nhận xét : Ta thấy phơng trình này không có nghiệm nguyên
Năm học 2010 - 2011 2
Chuyên đề: Một số phơng pháp giải phơng trình đa thức bậc cao một ẩn
x

4
+ 12x
3
+ 32x
2
- 8x - 4 = 0 (x
4
+ 12x
3
+ 36x
2
) - (4x
2
+ 8x + 4) = 0
(x
2
+ 6x)
2
- (2x + 2)
2
= 0 (x
2
+ 8x +2)(x
2
+ 4x -2) = 0
x
2
+ 8x + 2 = 0 hoặc x
2
+ 4x - 2 = 0

x
2
+ 8x + 2 = 0 x =
144
+
hoặc x =
144

x
2
+ 4x - 2 = 0 x =
62
+
hoặc x =
62

Vậy phơng trình đã cho có bốn nghiệm
x
1
=
144
+
; x
2
=
144

; x
3
=

62
+
; x
4
=
62

II. Phơng pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 3 : Giải phơng trình (x
2
+ x + 2)
2
- 12(x
2
+ x + 2) + 35 = 0
Giải
Đặt x
2
+ x + 2 = y . Ta có phơng trình
y
2
- 12y + 35 = 0 y = 5 hoặc y = 7
Với y = 5 x
2
+ x - 3 = 0 x =
2
131
+
hoặc x =
2

131

Với y = 7 x
2
+ x -5 = 0 x =
2
211
+
hoặc x =
2
211


Vậy phơng trình đã cho có bốn nghiệm
x
1
=
2
131
+
; x
2
=
2
131

; x
3
=
2

211
+
; x
4
=
2
211

Ví dụ 4: Giải phơng trình (x
2
+ 5x + 4)(x
2
+ 5x + 6) - 3 = 0

Giải
Đặt x
2
+ 5x + 5 = y. Ta có phơng trình
(y - 1)(y + 1) - 3 = 0 y
2
= 4 y = 2 hoặc y = -2
Với y = 2 x
2
+ 5x + 3 = 0 x =
2
135
+
hoặc x =
2
135

Với y = -2 x
2
+ 5x + 7 = 0 phong trình này vô nghiêm vì < 0
Vậy phơng trình đã cho có hai nghiệm
x
1
=
2
135
+
; x
2
=
2
135

Năm học 2010 - 2011 3
Chuyên đề: Một số phơng pháp giải phơng trình đa thức bậc cao một ẩn
Ví dụ 5 : Giải phơng trình (x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = 9
Giải
(x + 1)(x + 3)(x + 5)(x + 7) = 9 (x
2
+ 8x + 7)(x
2
+ 8x + 15) - 9 = 0
Đặt x
2
+ 8x + 11 = y
Ta có phơng trình (y - 4)(y + 4) - 9 = 0 y

2
= 25 y = 5 hoặc y = -5
Với y = 5 x
2
+ 8x + 6 = 0 x =
104
+
hoặc x =
104

Với y = -5 x
2
+ 8x + 16 = 0 (x + 4)
2
= 0 x = -4
Vậy phơng trình đã cho có ba nghiệm
x
1
=
104
+
; x
2
=
104

; x
3
= -4
Bài tập

Bài 1: Giải các phơng trình sau:
a) 3x
4
- 22x
2
- 45 = 0 b) x
6
- 9x
3
+ 8 = 0
Bài 2: Giải các phơng trình sau:
a) 2x
3
- 11x
2
+ 2x + 15 = 0 b) x
4
+ x
2
+ 6x - 8 = 0 c) x
4
+ 4x
3
+ 3x
2
+ 2x - 1 = 0
Hớng dẫn:
c) x
4
+ 4x

3
+ 3x
2
- 2x - 1 = 0 (x
2
+ 2x)
2
- (x - 1)
2
= 0
(x
2
+ x + 1)(x
2
+ 3x - 1) = 0
Bài 3: Giải các phơng trình sau
a) x(x
2
- 1)(x + 2) + 1 = 0 b) (4x + 1)(12x - 1)(3x + 2)(x + 1) = 4
c) (x - 1)(x -2)(x + 4)(x + 5) =112
---------------------------@------------------------
Một số dạng phơng trình bậc cao đặc biệt
I . Phơng trình đối xứng (phơng trình thuận nghịch)
Định nghĩa:
Phơng trình có dạng
a
n
x
n
+ a

n - 1
x
n - 1
+ ... + a
1
x + a
0
= 0 ( a 0).
Trong đó các hệ số của các số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối bằng nhau ( a
n
=
a
0
; a
n-1
= a
1
; ...... ). Gọi là phơng trình đối xứng
Năm học 2010 - 2011 4
Chuyên đề: Một số phơng pháp giải phơng trình đa thức bậc cao một ẩn
Nếu n là số chẵn ta gọi là phơng trình đối xứng bậc chẵn, còn n là số lẻ ta gọi là phơng
trình đối xứng bậc lẻ .
Ví dụ: Các phơng trình sau là phơng trình đối xứng
a) 2x
4
+ 3x
3
- 16x
2
+ 3x + 2 = 0 (1) ( Đối xứng bậc 4)

b) 2x
5
+ 3x
4
- 5x
3
- 5x
2
+ 3x + 2 = 0 ( Đối xứng bậc 5)
1. Phơng trình đối xứng bậc chẵn:
a ) Cách giải:
+ Chia cả hai vế cho
0
2

n
x
+ Đặt x +
x
1
= y (1)
+ Biểu diễn:






+

+






+=+




2
2
1
1
1111
k
k
k
k
k
k
x
x

x
x
x
x
x
x
+ Thay giá trị vừa tìm đợc của y tìm giá trị của x
b) Ví dụ:
Giải phơng trình sau :
2x
4
+ 3x
3
- 16x
2
+ 3x + 2 = 0 (1) ( Đối xứng bậc bốn)
Giải
Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phơng trình . Chia cả hai vế cho x
2
0 ta có phơng
trình :
2x
2
+ 3x - 16 + 3
x
1
+
2
2
x

= 0
2






++






+
x
x
x
x
1
3
1
2
2
= 16 = 0
Đặt x +
x
1
= y (2)

+
2
2
1
x
x
= y
2
- 2 .
Ta có phơng trình 2y
2
+ 3y - 20 = 0 có nghiệm y = -4 , y =
2
5
. Thứ tự thay y = -4 và y =
2
5
. vào (2) ta có x
1
= -2 +
3
; x
2
= -2 -

3
; x
3
=2 ; x
4
=
2
1
c) Lu ý : Nếu m là nghiệm của phơng trình đối xứng bậc chẵn thì
m
1
cũng là nghiệm của
phơng trình đó .
2. Phơng trình đối xứng bậc lẻ
a) Cách giải :
Năm học 2010 - 2011 5