Dạy học toán cao cấp theo hướng phát triển tư duy phân tích cho sinh viên đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật tt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
VIỆN KHOA HỌC GIÁO DỤC VIỆT NAM

NGUYỄN THỊ DUNG

DẠY HỌC TOÁN CAO CẤP
THEO HƯỚNG PHÁT TRIỂN TƯ DUY PHÂN TÍCH
CHO SINH VIÊN ĐẠI HỌC KHỐI NGÀNH KINH TẾ, KĨ THUẬT

TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC
Chuyên ngành: Lý luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số:
9 14 01 11

HÀ NỘI, 2020


Công trình được hoàn thành tại:
Viện Khoa học Giáo dục Việt Nam

Người hướng dẫn khoa học:
1.
TS. Trần Đình Châu
2.

PGS. TS. Đỗ Tiến Đạt

Phản biện 1: ………………………………………………….
…………………………………………………..
Phản biện 2: ………………………………………………….
………………………………………………….

Phản biện 3: …………………………………………………..
…………………………………………………..

Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Viện họp tại Viện
Khoa học Giáo dục Việt Nam, 101 Trần Hưng Đạo, Hà Nội
Vào hồi … giờ … ngày … tháng… năm…

Có thể tìm hiểu luận án tại:
- Thư viện Quốc gia
- Thư viện Viện Khoa học Giáo dục Việt Nam


1

MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
 Sự cần thiết của việc phát triển tư duy phân tích
Trong những năm gần đây, vấn đề tìm hiểu và phát triển tư duy ngày càng nhận
được nhiều sự quan tâm của các nhà nghiên cứu, người học và những người đã đi làm,
những người muốn có lối suy nghĩ hiệu quả để áp dụng vào mọi mặt của đời sống.
Tham khảo các tài liệu về lí luận và phương pháp dạy học đại học, phương pháp
luận nghiên cứu khoa học…, ta có thể tìm thấy những phần liên quan đến tư duy phân
tích, nêu lên tầm quan trọng của tư duy phân tích đối với sinh viên.
Trong thực tế, tư duy phân tích đòi hỏi phải tìm hiểu vấn đề một cách rõ ràng và
sâu sắc. Điều đó là cần thiết khi muốn phân loại và sử dụng thông tin, khi tự học, giúp
cho việc ghi nhớ, phán đoán, lựa chọn để ra quyết định, giúp hạn chế việc mắc sai
lầm. Cách chia vấn đề phức tạp thành nhiều vấn đề nhỏ tạo ra một trong những
phương pháp để giải quyết vấn đề.
Đối với những người làm trong ngành kĩ thuật, cần có sự cẩn thận, tỉ mỉ, chú ý
từng chi tiết, mối liên hệ tác động qua lại giữa các bộ phận trong hệ thống máy móc

hay công trình, hệ thống mạng,…Với ngành kinh tế, cần phải thu thập và lựa chọn
những thông tin đúng, phân loại, so sánh, đánh giá và giải thích nguyên nhân, tìm
hiểu kĩ và đưa ra những phán đoán, dự báo,... Đã có những ví dụ về việc áp dụng tư
duy phân tích trong xem xét nhu cầu của thị trường, trong phân tích báo cáo tài chính,
trong việc phân tích nguyên nhân thất bại của một công ty hay một đội bóng,…Khả
năng phân tích vấn đề một cách rõ ràng, logic có thể giúp mỗi người thành công hơn
trong nghề nghiệp.
Một số nghiên cứu gần đây trên thế giới đã chỉ ra rằng tư duy phân tích cần thiết
cho sinh viên trong thế kỉ 21, kĩ năng tư duy này đưa đến sự phát triển của tư duy phê
phán, tư duy sáng tạo và năng lực giải quyết vấn đề. Đây là kĩ năng giúp cải thiện tư
duy, tạo thói quen suy ngẫm và đặt câu hỏi trong mọi mặt của đời sống. Khả năng tư
duy phân tích và phê phán góp phần làm giảm tỉ lệ sinh viên thất nghiệp sau khi ra
trường.
Ngày nay, nhiều trường đại học trong và ngoài nước đã thực sự coi trọng việc
rèn luyện tư duy phân tích cho sinh viên. Năm 2009, Học viện Công nghệ Bưu chính
Viễn thông đã công bố chuẩn đầu ra cho sinh viên, trong đó yêu cầu sinh viên phải có
tư duy phân tích.
 Vai trò của tư duy phân tích của sinh viên trong dạy học Toán cao cấp
Toán cao cấp gồm một số môn học trong năm đầu tiên của sinh viên ở trường đại
học. Đối với sinh viên năm đầu, đa số còn nhiều bỡ ngỡ trước cuộc sống mới và
phương pháp học tập, nghiên cứu ở bậc đại học. Họ sẽ thấy nội dung Toán cao cấp
trừu tượng hơn so với toán phổ thông. Để đáp ứng với lượng kiến thức lớn, sinh viên
cần phải biết tự học, cần có tư duy độc lập ở mức độ cao và sáng tạo. Tư duy phân
tích sẽ giúp sinh viên học Toán cao cấp dễ dàng hơn. Chẳng hạn, với việc đặt câu hỏi
phân tích, sinh viên có thể tự định hướng quá trình tư duy, giải quyết vấn đề một cách
độc lập. Việc xác định hướng giúp sinh viên nhìn nhận, phát biểu mệnh đề theo một
số cách khác nhau, giúp họ dễ hiểu vấn đề và trình bày một cách rõ ràng hơn. Điều
này cũng giúp sinh viên phân tích và lựa chọn cách giải bài toán, tránh việc chỉ đi

2

theo một hướng và có thể dẫn đến bế tắc. Việc chú ý xem xét các mối quan hệ giúp
sinh viên tạo thói quen liên hệ giữa kiến thức Toán cao cấp với thực tế, với chuyên
ngành,... Như vậy, tư duy phân tích có vai trò quan trọng đối với sinh viên khi học
Toán cao cấp. Việc dạy học Toán cao cấp theo hướng phát triển tư duy phân tích cho
sinh viên là cần thiết.
Ngoài ra, chúng tôi cho rằng trong dạy học Toán cao cấp, có nhiều cơ hội để
phát triển tư duy phân tích cho sinh viên, qua đó đồng thời góp phần rèn luyện cho
sinh viên một số kĩ năng theo chuẩn đầu ra.
Hiện nay, chúng tôi vẫn chưa tìm thấy những nghiên cứu một cách đầy đủ, hệ
thống về tư duy phân tích và vấn đề dạy học Toán cao cấp theo hướng phát triển tư
duy phân tích cho sinh viên.
Vì những lí do trên, chúng tôi quyết định chọn đề tài: “Dạy học Toán cao cấp
theo hướng phát triển tư duy phân tích cho sinh viên đại học khối ngành kinh tế, kĩ
thuật”. Với khuôn khổ nội dung và thời gian của môn học, chúng tôi chỉ minh họa
một số ví dụ trong nội dung Toán cao cấp mà chưa đề cập đến những tình huống cụ
thể, phong phú như trong đời sống. Mặc dù vậy, sinh viên có thể tìm được những gợi
ý để từ đó phần nào tự liên hệ với những trường hợp cụ thể mà họ sẽ gặp sau này.
2. Mục đích nghiên cứu
Trên cơ sở nghiên cứu lí luận và thực tiễn về tư duy phân tích và dạy học Toán
cao cấp theo hướng phát triển tư duy phân tích cho sinh viên đại học khối ngành kinh
tế, kĩ thuật, đề xuất một số biện pháp dạy học Toán cao cấp theo hướng phát triển tư
duy phân tích cho sinh viên đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật.
3. Tổng quan tình hình nghiên cứu
Cho đến nay, đã có những nghiên cứu về tư duy phân tích của nhiều tác giả như
Sacđacốp, Koliagin, Ayman Amer, Ben Jonhson…Những nghiên cứu này đã đưa ra
một số quan niệm về tư duy phân tích; tầm quan trọng của tư duy phân tích; mối liên
hệ giữa tư duy phân tích với một số loại tư duy khác; một số công cụ, chiến lược
thường dùng đối với tư duy phân tích.

Một số tác giả cho rằng: Trong dạy học Toán cao cấp, sử dụng các bài toán có
tham số, sử dụng đồ thị, dùng các hàm min, max,…có thể giúp phát triển tư duy phân
tích cho sinh viên.
4. Khách thể, đối tượng nghiên cứu
- Khách thể nghiên cứu: Quá trình dạy học Toán cao cấp cho sinh viên đại học
khối ngành kinh tế, kĩ thuật.
- Đối tượng nghiên cứu: Quá trình dạy học Toán cao cấp theo hướng phát triển
tư duy phân tích cho sinh viên đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật.
5. Giả thuyết khoa học
Nếu xác định được những biểu hiện của tư duy phân tích của sinh viên đại học
khối ngành kinh tế, kĩ thuật trong dạy học Toán cao cấp, xây dựng và thực hiện được
một số biện pháp thích hợp trong dạy học Toán cao cấp theo hướng phát triển tư duy
phân tích cho sinh viên đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật thì có thể góp phần phát
triển tư duy phân tích cho sinh viên đồng thời nâng cao hiệu quả dạy học Toán cao
cấp.
6. Nhiệm vụ và phạm vi nghiên cứu


3

Nhiệm vụ nghiên cứu:
- Nghiên cứu cơ sở lí luận và thực tiễn về tư duy phân tích và việc dạy học Toán
cao cấp theo hướng phát triển tư duy phân tích cho sinh viên đại học khối ngành kinh
tế, kĩ thuật.
- Tìm biện pháp dạy học Toán cao cấp theo hướng phát triển tư duy phân tích
cho sinh viên đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật.
- Nghiên cứu việc tổ chức thực nghiệm sư phạm nhằm bước đầu kiểm nghiệm
tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất.
Phạm vi nghiên cứu:
- Toán cao cấp ở đây chỉ giới hạn là phần Giải tích.

- Phần thực nghiệm sẽ được tiến hành đối với sinh viên năm thứ nhất ở Học viện
Công nghệ Bưu chính Viễn thông.
7. Phương pháp nghiên cứu
Phương pháp nghiên cứu lí luận, phương pháp điều tra, phương pháp quan sát,
phương pháp chuyên gia, phương pháp nghiên cứu trường hợp, tổng kết kinh nghiệm,
thực nghiệm sư phạm, thống kê toán học.
8. Những vấn đề đưa ra bảo vệ
- Những biểu hiện của tư duy phân tích của sinh viên đại học khối ngành kinh tế,
kĩ thuật trong dạy học Toán cao cấp.
- Tính khả thi và hiệu quả của một số biện pháp sư phạm trong dạy học Toán cao
cấp theo hướng phát triển tư duy phân tích cho sinh viên đại học khối ngành kinh tế,
kĩ thuật.
9. Những đóng góp của luận án
- Quan niệm về tư duy phân tích và dạy học Toán cao cấp theo hướng phát triển
tư duy phân tích cho sinh viên đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật.
- Những biểu hiện của tư duy phân tích của sinh viên đại học khối ngành kinh tế,
kĩ thuật trong dạy học Toán cao cấp.
- Một số biện pháp sư phạm trong dạy học Toán cao cấp theo hướng phát triển tư
duy phân tích cho sinh viên đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật.
10 . Cấu trúc luận án
Luận án gồm 3 chương, ngoài ra còn có các phần Mở đầu, Kết luận và kiến nghị,
Danh mục công trình khoa học của tác giả có liên quan đến luận án, Tài liệu tham
khảo và Phụ lục.
CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Một số vấn đề chung về tư duy
Trong phần này, chúng tôi trình bày một số vấn đề: Khái niệm về tư duy, đặc
điểm của tư duy, quá trình tư duy, các yếu tố cơ bản của quá trình tư duy, các thao tác
tư duy, các loại tư duy.
Các tác giả Richard Paul và Linda Elder cho rằng mọi tư duy đều gồm các yếu
tố: Đặt ra các mục đích, nêu ra các câu hỏi, sử dụng các thông tin, sử dụng các khái

niệm, tạo ra các suy luận, đưa ra các giả định, làm phát sinh các hàm ý, chứa đựng
một góc nhìn.
1.2. Tư duy phân tích
12.1. Khái niệm phân tích


4

Phần này gồm một số khái niệm về phân tích của các tác giả Bloom, Sacđacốp,
Chu Cẩm Thơ,…
Bloom cho rằng một số lỗi thường gặp trong phân tích là: Không nhìn thấy mối
liên hệ giữa những yếu tố với ý nghĩa tạo nên toàn thể; Phân tích không có chất
lượng, không sâu sắc,...
1.2.2. Khái niệm tư duy phân tích
Từ việc phân tích, tổng hợp một số quan niệm về tư duy phân tích của các tác
giả Koliagin, Sacđacốp,…chúng tôi mạnh dạn đưa ra quan niệm về tư duy phân tích
như sau:
Tư duy phân tích là kiểu tư duy tìm hiểu về đối tượng một cách rõ ràng và sâu
sắc. Quá trình tư duy diễn ra dựa trên việc xem xét kĩ các bộ phận của đối tượng và
mối liên hệ giữa chúng với nhau, với tổng thể và các yếu tố bên ngoài. Từ đó suy
ngẫm, phán đoán, rút ra những kết luận hợp lí dựa trên những căn cứ và lập luận
logic.
1.2.3. Đặc điểm của tư duy phân tích
Tư duy phân tích có một số đặc điểm cơ bản sau: Nghiêng về phân tích khi tiếp
cận đối tượng; Thường xuyên đặt và trả lời các câu hỏi, đặc biệt là các câu hỏi chia
nhỏ vấn đề, giải thích, suy luận; Xem xét đối tượng một cách rõ ràng và sâu sắc; Sử
dụng các thao tác tư duy, sử dụng sự phán đoán, suy luận; Phương pháp tiếp cận vấn
đề dựa trên những thông tin, bằng chứng và logic; Thường sử dụng các công cụ phân
tích (đề cương, đồ thị, sơ đồ,…)
1.2.4. Mối quan hệ giữa tư duy phân tích với một số loại tư duy khác và với khả

năng giải quyết vấn đề
Tư duy phân tích có mối quan hệ với nhiều loại tư duy khác (tư duy tổng hợp, tư
duy phê phán, tư duy sáng tạo, tư duy logic,…) và với khả năng giải quyết vấn đề.
1.3. Đặc điểm Toán cao cấp
Toán cao cấp ở các trường đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật nói chung gồm
Giải tích và Đại số tuyến tính. Tùy theo từng ngành học, từng thời kì mà mỗi trường
sẽ điều chỉnh nội dung chi tiết cho phù hợp. Các học phần Toán cao cấp thường được
giảng dạy cho sinh viên năm thứ nhất. Với môn Giải tích, tại Học viện Công nghệ
Bưu chính Viễn thông, sinh viên khối ngành kĩ thuật học Giải tích 1 và Giải tích 2,
sinh viên khối ngành kinh tế học Toán cao cấp 1, gồm một số nội dung chính sau:
- Giải tích 1 (45 tiết): Chương 1: Tập số và giới hạn của dãy số. Chương 2:
Phép tính vi phân của hàm số một biến số. Chương 3: Phép tính tích phân. Chương 4:
Lí thuyết chuỗi.
- Giải tích 2 (45 tiết): Chương 1: Phép tính vi phân của hàm nhiều biến.
Chương 2: Tích phân bội. Chương 3: Tích phân đường và tích phân mặt. Chương 4:
Phương trình và hệ phương trình vi phân.
- Toán cao cấp 1 (30 tiết): Chương 1: Hàm số và giới hạn. Chương 2: Đạo hàm
và vi phân. Chương 3: Phép tính tích phân. Chương 4: Hàm số nhiều biến số. Chương
5: Phương trình vi phân.
Quá trình dạy học Toán cao cấp không quá đi sâu vào chứng minh các vấn đề
toán học mà chú trọng việc tạo kiến thức nền tảng để sinh viên học các môn chuyên
ngành và có thể áp dụng một phần những kiến thức đó khi làm việc sau này. Mặc dù
trong nội dung học, một số định lí không được chứng minh, tuy nhiên sinh viên vẫn


5

cần hiểu rõ về các khái niệm, định lí và ý nghĩa ứng dụng của chúng trong thực tế.
Toán cao cấp trừu tượng hơn so với toán ở phổ thông. Nội dung kiến thức
trong chương trình mang tính hệ thống, phong phú và sâu sắc. Sinh viên phải tiếp thu

nhiều nội dung kiến thức trong một giờ học, phải hiểu bản chất, tư duy độc lập và tự
học nhiều hơn so với khi học toán ở phổ thông.
Nhiều tình huống trong dạy học Toán cao cấp phù hợp để rèn luyện khả năng
lập luận logic, suy luận; thể hiện suy nghĩ rõ ràng, cẩn thận, sâu sắc; tìm các mối liên
hệ, liên hệ với thực tế hoặc chuyên ngành.
1.4. Một số đặc điểm của sinh viên đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật
Trong phần này, chúng tôi trình bày một số đặc điểm về sự phát triển tư duy của
sinh viên so với học sinh phổ thông, đặc biệt là tính độc lập, sáng tạo; một số khó
khăn đối với sinh viên năm thứ nhất. Chúng tôi cũng nêu một số đặc điểm của những
người làm trong ngành kinh tế, kĩ thuật (và nhiều sinh viên khi yêu thích những ngành
này thì có thể cũng có một số đặc điểm như vậy); một số đặc điểm tư duy mà sinh
viên đại học khối ngành kinh tế kĩ thuật cần rèn luyện trong quá trình học đại học để
góp phần phát triển kĩ năng nghề nghiệp.
1.5. Biểu hiện tư duy phân tích của sinh viên đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật
trong dạy học Toán cao cấp
Để xác định các biểu hiện của tư duy phân tích của sinh viên đại học khối ngành
kinh tế, kĩ thuật trong dạy học Toán cao cấp, chúng tôi dựa trên:
- Các yếu tố cơ bản của tư duy: Đặt ra các mục đích, nêu ra các câu hỏi, sử
dụng các thông tin, sử dụng các khái niệm, tạo ra các suy luận, đưa ra các giả định,
làm phát sinh các hàm ý, chứa đựng một góc nhìn (đã được trình bày ở mục 1.1.3,
theo Richard Paul và Linda Elder).
- Khái niệm và đặc điểm cơ bản của tư duy phân tích: Suy nghĩ rõ ràng, sâu
sắc; chia nhỏ đối tượng, tìm mối liên hệ, phán đoán, suy luận, lập luận logic,…
- Đặc điểm Toán cao cấp; đặc điểm của sinh viên đại học khối ngành kinh tế,
kĩ thuật; các hoạt động của sinh viên đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật khi học
Toán cao cấp. Chẳng hạn: Sinh viên cần xác định hướng và lựa chọn hướng giải phù
hợp cho bài toán; hiểu rõ và sử dụng ý nghĩa của khái niệm toán học để mô hình hóa
toán học khi giải bài toán thực tế (hoặc bài toán liên quan đến chuyên ngành); lựa
chọn, sắp xếp, phân loại thông tin khi nghiên cứu khoa học hoặc khi trình bày một
vấn đề,…

Những biểu hiện cũng được xem xét qua các hoạt động thể hiện mối liên hệ giữa
tư duy phân tích với một số loại tư duy khác và với khả năng giải quyết vấn đề, các
hoạt động hướng tới góp phần rèn luyện kĩ năng nghề nghiệp cho sinh viên.
Từ đó, chúng tôi cho rằng tư duy phân tích của sinh viên đại học khối ngành
kinh tế, kĩ thuật trong dạy học Toán cao cấp cần có một số biểu hiện sau:
1.5.1. Xác định mục đích tư duy, chia nhỏ mục tiêu
Sinh viên xác định mục đích khi giải quyết vấn đề (khi giải bài toán, khi đọc
hiểu giáo trình,…), xác định được mục tiêu, chia nhỏ thành nhiều mục tiêu có ý
nghĩa, đều đặn điều chỉnh tư duy hướng tới mục đích.
1.5.2. Xác định hướng nhìn
Sinh viên xác định hướng khi giải quyết vấn đề. Khi giải bài toán, sinh viên


6

phân chia một số hướng giải và hình dung sơ lược một số bước ở mỗi hướng, ưu
nhược điểm ở mỗi hướng. Khi đọc tài liệu, sinh viên nhận ra tác giả trình bày theo
hướng nào, theo quan điểm nào. Sinh viên có thể giải thích về một vấn đề hoặc phát
biểu lại mệnh đề theo một số cách khác khau, có thể nhìn nhận một số vấn đề theo
hướng gắn với thực tế hoặc chuyên ngành. Khi tìm hiểu thông tin, sinh viên xem xét
từ nhiều nguồn tài liệu; nhận ra cấu trúc của một tài liệu,…
b

Chẳng hạn, khi học về tích phân xác định:



n

f ( x)dx 

maxxi 0

a

( x1 , x2 ,..., xn là các điểm chia tùy ý trên

lim

 a, b  , i

 f (i )xi
i 1

là điểm bất kì trên

 xi 1, xi  , xi  xi  xi1, i  1, n).
Sinh viên khối ngành kĩ thuật có thể liên hệ đến các bài toán tính diện tích, thể
tích và họ phải coi xi (i  1, n) rất bé.
Sinh viên khối ngành kinh tế có thể liên hệ đến các hàm và biến, các khái
niệm thường dùng trong kinh tế (chẳng hạn khái niệm chi phí khấu hao) và họ coi
xi bé nhất là bằng 1.
1.5.3. Tìm hiểu thông tin một cách rõ ràng, sâu sắc
Sinh viên phân tích để tìm hiểu thông tin (giả thiết của bài toán, các dữ kiện, sự
kiện, kinh nghiệm,…) một cách rõ ràng, sâu sắc; có thể diễn giải chi tiết về thông tin;
tìm mối liên hệ giữa các thông tin với nhau và với vấn đề cần giải quyết; sắp xếp và
phân loại, tổng hợp thông tin; nhận ra thông tin đúng, thông tin sai, thông tin quan
trọng, thông tin thiếu; có thể sửa chữa, bổ sung thông tin; tìm hiểu các thông tin, tài
liệu liên quan đến Toán cao cấp và ứng dụng vào thực tế, vào môn học chuyên ngành;
Chẳng hạn, sinh viên có thể sưu tầm, hiểu và phân loại một số bài tập giải tích liên

quan đến hàm cung, hàm cầu, hàm chi phí, hàm lợi nhuận, tốc độ biến thiên,...
1.5.4. Hiểu các khái niệm (định lí, mệnh đề, quy tắc, phương pháp) một cách rõ
ràng, sâu sắc và có thể sử dụng để giải quyết vấn đề.
Sinh viên phân tích khi tìm hiểu và sử dụng các khái niệm (định lí,..); có thể
diễn giải, trình bày rõ ràng, chi tiết về các khái niệm (định lí,…); nhận ra mối liên hệ
giữa các khái niệm (định lí,…) với nhau và với vấn đề cần giải quyết, vấn đề trong
thực tế hoặc chuyên ngành; có thể sử dụng các khái niệm (định lí,…) để giải quyết
vấn đề liên quan, đưa ra một số nhận xét có ý nghĩa khi nghiên cứu sâu khái niệm
(định lí,…). Sinh viên sử dụng những phương pháp cụ thể giúp mô hình hóa khi giải
bài toán chuyên ngành. Chẳng hạn, trong thực tế, để áp dụng các công thức toán học
khi tính diện tích, thể tích…, có thể phải dựa trên những số liệu về độ dài, khoảng
cách, từ đó xây dựng hệ trục tọa độ, lập phương trình đường, mặt rồi chuyển bài toán
thực tế về mô hình toán học. Để xây dựng một hàm trong kinh tế, có thể dựa trên việc
thu thập số liệu, sử dụng máy tính để vẽ biểu đồ phân tán, từ đó dự đoán dạng đồ
thị,…
1.5.5. Phán đoán có cơ sở, liên quan đến vấn đề đặt ra
Sinh viên đưa ra những phán đoán liên quan đến vấn đề đặt ra (dự đoán một
hướng giải bài toán, đặt ra một giả thuyết, đoán ý của tác giả,…) dựa trên căn cứ:
xem xét các mối quan hệ, sử dụng các thông tin, các thao tác tư duy đặc biệt hóa, khái


7

quát hóa, tương tự hóa; có thể đưa ra một số phán đoán cho việc giải quyết những vấn
đề liên quan đến thực tế hoặc chuyên ngành. Sinh viên thường xem xét kĩ lại các
phán đoán.
1.5.6. Suy luận rõ ràng và sâu sắc, theo từng bước, dựa trên căn cứ, liên quan
đến vấn đề đặt ra
Sinh viên suy luận rõ ràng theo từng bước; suy luận dựa trên những căn cứ,
bằng chứng; suy luận sâu theo nhiều bước, theo một số hướng; thường đưa ra những

kết luận hợp lí, có ý nghĩa, liên quan đến nhau và với vấn đề đặt ra; thường lật đi lật
lại, xem xét kĩ toàn bộ quá trình suy luận và rút ra những nhận xét, bài học. Sinh viên
có thể suy ngược bắt đầu từ yêu cầu đặt ra của bài toán trong thực tế hoặc chuyên
ngành, có thể suy luận sâu theo hướng đưa ra những kết luận gắn với ngành kinh tế,
kĩ thuật.
1.5.7. Đặt câu hỏi phân tích
Sinh viên thường đặt các câu hỏi yêu cầu diễn giải chi tiết, xác định các mối liên
hệ (mối liên hệ giữa các yếu tố với nhau và với vấn đề cần giải quyết, liên hệ với thực
tế hoặc chuyên ngành); đặt các câu hỏi về mục đích, về các câu hỏi, hướng nhìn,
thông tin, căn cứ, các khái niệm, định lí, mệnh đề, kinh nghiệm, bài toán đã giải có
liên quan; câu hỏi cho sự phán đoán, suy luận; câu hỏi về sự rõ ràng, suy nghĩ sâu,
…Các câu hỏi thường được chia nhỏ.
 Tư duy phân tích của sinh viên được biểu hiện thông qua việc thực hiện các
hoạt động. Để đưa ra mức độ của biểu hiện, chúng tôi dựa trên việc xem xét những
phần hoạt động mà sinh viên thể hiện được trong các biểu hiện, đồng thời cũng dựa
trên sự phân bậc các hoạt động của tác giả Nguyễn Bá Kim. Sự phân bậc dựa theo
những căn cứ sau: Sự phức tạp của đối tượng hoạt động; Sự trừu tượng, khái quát của
đối tượng; Nội dung của hoạt động; Sự phức hợp của hoạt động; Chất lượng của hoạt
động; Phối hợp nhiều phương diện làm căn cứ phân bậc hoạt động.
Chúng tôi đưa ra các mức độ như sau: Mức 1: Sinh viên thể hiện được một
phần trong yêu cầu của mỗi biểu hiện ở trên nhưng cần sự gợi ý của giảng viên; Mức
2: Sinh viên thể hiện được một phần trong yêu cầu của mỗi biểu hiện như trên mà
không cần sự gợi ý của giảng viên; Mức 3: Sinh viên có các biểu hiện như đã nêu trên
mà không cần sự gợi ý của giảng viên.
Ngoài ra, với mỗi mức đã nêu, trong các tình huống phù hợp, giảng viên có
thể xem xét các mức nhỏ hơn dựa trên sự phức tạp của đối tượng hoạt động; tính trừu
tượng và khái quát của đối tượng hoạt động, nội dung của hoạt động hoặc sự phức
hợp của hoạt động.
Ví dụ: Khi vận dụng khai triển Maclaurin của hàm số để tìm giới hạn, giảng viên
trình bày:



x3

3 


x  x 
 o(x )


3!
x  sin x
lim
 lim
x  0 x (1  cos x )
x 0 


x2
x 1  1 
 o(x 2 )
2!
 


(1)


8

x3
 o(x 3 )
 lim 6
x 0 x 3
 o(x 3 )
2
x3
1
 lim 6  .
x 0 x 3
3
2

(2)

(3)

và hỏi sinh viên: “Các bạn có hỏi điều gì không? Bạn có thể giải thích rõ về lời giải
trên hay không?”
-Sinh viên A: Tại sao làm như vậy?
Khi giảng viên nhận xét rằng câu hỏi đó quá chung chung, cần đặt câu hỏi cụ thể
hơn ở đúng phần chưa hiểu. Chẳng hạn, ở bước (1), cần so sánh hai vế, và hỏi: Có
phải đã thay sin x bằng x 

x3
 o(x 3 ) hay không?”, sinh viên A tiếp tục đặt câu hỏi:
3!

Ở bước (1), có phải đã thay cos x bằng 1 

x2
 o(x 2 ) hay không?
2!

x3
 o(x 3 )
-Sinh viên B: Ở bước (2), tại sao không viết là lim 36
?
x 0 x
2
 x .o(x )
2

Từ (2) sang (3) có phải là đã dùng quy tắc ngắt bỏ vô cùng bé cấp cao không?
- Sinh viên C: “Em nghĩ rằng để hiểu rõ cách giải này và vận dụng được khi làm
bài khác thì cần phải trả lời các câu hỏi sau:
+ Có phải x .o(x 2 )  o(x 3 ) hay không? Có phải o(x 3 ) cũng là o(x 3 ) hay
không?
+ Từ (2) sang (3) là đã bỏ bớt đi một số số hạng, có phải là dùng quy tắc ngắt bỏ
các vô cùng bé cấp cao không?
+ Tại sao lại viết sin x  x 
tự, tại sao không viết cos x  1 

x3
 o(x 3 ) mà không viết sin x  x  o(x ) . Tương
3!

x2 x 4


 o(x 4 )? Nếu viết như vậy thì sao?
2! 4 !

Ngoài ra, để tự giải được bài này, trước hết phải đặt và trả lời các câu hỏi: Bài
tập này liên quan đến những phần kiến thức nào? Liên quan đến khai triển Maclaurin
và giới hạn, nhưng khai triển Maclaurin liên quan đến vô cùng bé. Vậy có những tính
chất, nhận xét nào liên quan đến phần vô cùng bé và giới hạn? Chẳng hạn: Thay vô
cùng bé tương đương, sử dụng quy tắc ngắt bỏ các vô cùng bé cấp cao,…
Ta cũng có thể hỏi thêm rằng:


9

+ Tại sao người ta nghĩ đến việc sử dụng công thức Maclaurin để tìm giới hạn?
(Có phải là: Do công thức Maclaurin giúp khai triển các hàm số sơ cấp cơ bản theo
các hàm đa thức và các vô cùng bé, nên khi thay vào giới hạn dạng

0
và ngắt bỏ các
0

vô cùng bé cấp cao sau đó chia cả tử và mẫu cho đa thức nào đó, ta có thể khử được
dạng vô định này?).
x3
 o(x 3 )
+ Nếu cần tìm lim 36
thì máy tính có làm được không, có cần chú ý
x 0 x
 x .o(x 2 )
2

điều gì khi gõ lệnh tìm giới hạn này không?
Trong trường hợp trên, khả năng đặt câu hỏi của sinh viên B tốt hơn so với sinh
viên A và khả năng đặt câu hỏi của sinh viên C tốt hơn so với sinh viên B. Sinh viên A
đặt câu hỏi chung chung, cần thêm sự gợi ý của giảng viên. Sinh viên B đã tự đặt
được các câu hỏi chi tiết hơn, phù hợp với tình huống, không cần sự gợi ý của giảng
viên, nhưng câu hỏi chỉ tìm hiểu nguyên nhân, chưa chú ý về những khái niệm, định lí
liên quan, về sự phán đoán, suy luận, nhìn nhận theo một hướng khác. Sinh viên C đã
đặt được các hỏi cụ thể, giúp giải quyết vấn đề, suy nghĩ sâu và cũng thể hiện ý thức
liên hệ với chuyên ngành.
1.6. Dạy học Toán cao cấp theo hướng phát triển tư duy phân tích cho sinh viên
đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật
1.6.1. Quan niệm về dạy học Toán cao cấp theo hướng phát triển tư duy phân
tích cho sinh viên đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật
Chúng tôi cho rằng dạy học Toán cao cấp theo hướng phát triển tư duy phân
tích cho sinh viên đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật được hiểu là kiểu dạy học ở đó
giảng viên giúp cho tư duy phân tích của sinh viên được nâng dần lên mức độ cao
hơn, dựa trên việc trang bị cho sinh viên cách tư duy kết hợp với nền tảng kiến thức
vững chắc và tạo các hoạt động phù hợp để sinh viên thực hiện.
Như vậy, trong dạy học Toán cao cấp theo hướng phát triển tư duy phân tích cho
sinh viên đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật, giảng viên cần dựa vào các biểu hiện tư
duy phân tích của sinh viên đồng thời vận dụng các phương pháp, hình thức tổ chức,
kĩ thuật dạy học để thiết kế và tổ chức các tình huống dạy học, tạo ra môi trường,
điều kiện thích hợp, thiết kế bài học theo chuỗi các hoạt động sao cho khi sinh viên
thực hiện các hoạt động đó thì sản phẩm của sinh viên thể hiện được mức độ tư duy
phân tích của sinh viên. Dạy học theo hướng phát triển tư duy phân tích cần kết hợp
phát triển một số loại tư duy khác, phát triển năng lực giải quyết vấn đề.
Để đánh giá sự phát triển tư duy của người học, cần phải dùng cả phương pháp
định tính và phương pháp định lượng, có thể dựa vào việc theo dõi những biểu hiện
của người học trong suốt quá trình (cách suy nghĩ, cách đặt câu hỏi, kết quả trả lời

câu hỏi, bài tập, sự lĩnh hội kiến thức, sự ý thức về tư duy của bản thân, sự thành thạo
khi thực hiện hoạt động) và dựa vào kết quả của các bài kiểm tra. Đề bài kiểm tra
phải có những câu hỏi, bài tập ở các mức độ yêu cầu khác nhau, gắn với những biểu


10

hiện của tư duy phân tích.
1.6.2. Cơ hội phát triển tư duy phân tích cho sinh viên đại học khối ngành kinh
tế, kĩ thuật thông qua dạy học Toán cao cấp
Việc phát triển tư duy phân tích cho sinh viên có thể được thực hiện thông qua
các tình huống dạy học điển hình như: Dạy học khái niệm toán học, dạy học định lí
toán học, dạy học quy tắc, phương pháp, dạy học giải bài tập toán học. Chẳng hạn: Cơ
hội phát triển tư duy phân tích cho sinh viên trong dạy học một số khái niệm thể hiện
ở nhiều tình huống:
- Khi tiếp cận khái niệm:
+ Sinh viên có thể dùng thao tác phân tích (dùng thủ thuật phân nhỏ) khi giải bài
toán thực tế dẫn đến khái niệm.
+ Sinh viên phân chia nội hàm và ngoại diên của khái niệm, chia nhỏ thuộc tính
của khái niệm và tìm hiểu kĩ từng phần: diễn giải từ, cụm từ (trả lời câu hỏi: nghĩa là
thế nào), có thể cần giải thích theo một số cách để làm rõ nghĩa, hoặc cần có suy luận
để liên hệ và hiểu dựa trên nền tảng kiến thức cũ.
+ Sinh viên tổng hợp, liên kết các chi tiết để hiểu toàn bộ khái niệm.
- Khi củng cố khái niệm:
+ Sinh viên phân tích, sắp xếp, phân loại khi phân chia và hệ thống hóa khái
niệm
+ Sinh viên sử dụng sơ đồ chỉ ra mối liên hệ với các khái niệm đã học.
Ngoài ra, trong quá trình tự học, để hiểu rõ vấn đề, sinh viên có thể phải thu thập
thông tin, tìm đọc một số khái niệm từ các tài liệu tham khảo khác nhau. Khi đó, họ
cần phải phân loại tài liệu thành các nhóm, phân tích các khái niệm đại diện ở mỗi

nhóm, so sánh và đối chiếu để nhận ra sự giống nhau về ý nghĩa trong những cách
diễn đạt khác nhau ở các khái niệm đó. Từ đó sinh viên có thể đánh giá, lựa chọn khái
niệm dễ hiểu, chỉ ra những thiếu sót (nếu có) trong những tài liệu tham khảo đó.
1.7. Khảo sát thực trạng dạy học Toán cao cấp theo hướng phát triển tư duy
phân tích cho sinh viên đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật
1.7.1. Mô tả quá trình điều tra, khảo sát
- Mục đích: Tìm hiểu về thực trạng tư duy phân tích của sinh viên và việc dạy
học Toán cao cấp theo hướng phát triển tư duy phân tích cho sinh viên đại học khối
ngành kinh tế, kĩ thuật.
- Đối tượng: Giảng viên dạy Toán cao cấp và sinh viên đại học khối ngành kinh
tế, kĩ thuật.
- Nội dung: Biểu hiện tư duy phân tích của sinh viên đại học khối ngành kinh tế,
kĩ thuật khi học Toán cao cấp; Nhận thức của giảng viên và sinh viên về biểu hiện của
tư duy phân tích của sinh viên đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật khi học Toán cao
cấp; Một số hoạt động, hình thức tổ chức và kĩ thuật dạy học của giảng viên trong dạy
học Toán cao cấp theo hướng phát triển tư duy phân tích cho sinh viên đại học khối
ngành kinh tế, kĩ thuật.
- Hình thức: Dùng phiếu khảo sát; phỏng vấn trực tiếp; sử dụng các bài kiểm tra;
nhận xét trong quá trình giảng dạy.
- Thời điểm điều tra, khảo sát: Đối với giảng viên: Thực hiện vào tháng 11 năm
2016 và năm 2019; Đối với sinh viên: Thực hiện trong các năm 2018, 2019.


11

1.7.2. Kết quả điều tra, khảo sát
a) Kết quả điều tra bằng phiếu
Chúng tôi dùng phiếu để tham khảo ý kiến giảng viên về tư duy phân tích của
sinh viên, về việc phát triển tư duy phân tích cho sinh viên trong dạy học Toán cao
cấp (Phiếu hỏi ở phần Phụ lục). Các phiếu thu được từ 64 giảng viên đang giảng dạy

Toán cao cấp ở một số trường đại học.
b) Kết quả phỏng vấn GV
Chúng tôi đã phỏng vấn một số giảng viên dạy Toán cao cấp tại Học viện Công
nghệ Bưu chính Viễn thông và Đại học Công nghiệp Hà Nội. Quá trình phỏng vấn
nhằm khảo sát quan điểm của các giảng viên về tư duy phân tích, những biểu hiện tư
duy phân tích của sinh viên khi học Toán cao cấp và cách mà giảng viên đã dạy với
mục đích phát triển tư duy phân tích cho sinh viên.
c) Kết quả bài kiểm tra, nhận xét trong quá trình trực tiếp giảng dạy Toán cao
cấp.
Chúng tôi phân tích một số bài kiểm tra của sinh viên các lớp thực nghiệm 1
(TN1), đối chứng 1 (ĐC1) và lớp đối chứng 2 (ĐC2) để có thêm đánh giá về tư duy
phân tích của sinh viên hiện nay. Ngoài ra, chúng tôi cũng dựa trên những nhận xét
trong quá trình dạy học.
1.7.3. Kết luận về thực trạng dạy học Toán cao cấp theo hướng phát triển tư duy
phân tích cho sinh viên đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật
Những kết quả điều tra, khảo sát cho thấy: Nhìn chung, trong dạy học Toán cao
cấp, sinh viên đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật hiện nay có ít biểu hiện của tư duy
phân tích. Nhiều sinh viên chưa chủ động trong tư duy; không tìm hiểu chi tiết về các
khái niệm, định lí; không nêu được ý nghĩa của khái niệm để áp dụng vào việc giải
bài toán thực tế hoặc bài toán liên quan đến chuyên ngành. Nhiều sinh viên chưa chú
ý đến việc tìm và sửa chữa các thông tin sai; đặt những câu hỏi không đúng, hoặc
chung chung. Một số sinh viên đưa ra những phán đoán hoặc kết luận không dựa trên
căn cứ. Nhìn chung, sinh viên ít sử dụng các thao tác so sánh, tương tự, đặc biệt hóa
để đưa ra phán đoán. Nhiều sinh viên chưa biết vận dụng các dạng sơ đồ để giúp cho
quá trình suy luận được rõ ràng, mạch lạc hơn. Họ chưa tạo được thói quen xem xét,
lường trước một vài hướng giải cho bài toán và phân tích các ưu, nhược điểm của các
cách giải đó. Ít sinh viên có thói quen rút ra nhận xét hay bài học kinh nghiệm cho
bản thân,…
Mỗi giảng viên đã có nhận thức đúng về tầm quan trọng của tư duy phân tích và
đã giảng dạy Toán cao cấp theo hướng phát triển tư duy phân tích cho sinh viên,

nhưng các biện pháp là chưa đủ và trong cách thực hiện vẫn chưa có phương pháp cụ
thể. Do giảng viên chưa hình dung được hết những biểu hiện cần có của tư duy phân
tích của sinh viên nên ít chọn lựa được các ví dụ phù hợp, chưa thiết kế được những
hoạt động tương ứng với các biểu hiện và chưa trang bị cho sinh viên những phương
pháp thường dùng đối với tư duy phân tích.
KẾT LUẬN CHƯƠNG 1
Từ những nghiên cứu về cơ sở lí luận và thực tiễn ở trên, chúng tôi rút ra một số
kết luận sau:
Tư duy phân tích có các đặc điểm chung của tư duy, cần có thao tác phân tích,


12

cần chia nhỏ và tìm các mối liên hệ. Phân tích đòi hỏi sự sâu sắc. Từ những ý cơ bản
trên, có thể quan niệm: Tư duy phân tích là kiểu tư duy tìm hiểu về đối tượng một
cách rõ ràng và sâu sắc. Quá trình tư duy diễn ra dựa trên việc xem xét các bộ phận
của đối tượng và mối liên hệ giữa chúng với nhau, với tổng thể và các yếu tố bên
ngoài. Từ đó suy ngẫm, phán đoán, rút ra những kết luận hợp lí dựa trên những căn
cứ và lập luận logic.
Khái niệm về tư duy phân tích như trên có các điểm chung với một số quan
niệm của các tác giả khác đồng thời phù hợp với cách suy nghĩ của sinh viên khi học
Toán cao cấp và khi phân tích một số vấn đề trong cuộc sống, khi học một số môn
chuyên ngành.
Tư duy phân tích có mối liên hệ chặt chẽ với tư duy tổng hợp, tư duy sáng tạo và
năng lực giải quyết vấn đề.
Dựa trên các yếu tố cơ bản của tư duy kết hợp với đặc điểm của tư duy phân
tích (chia nhỏ, tìm mối liên hệ, rõ ràng, sâu sắc,…) và đặc điểm Toán cao cấp, những
hoạt động của sinh viên đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật khi học Toán cao cấp,
chúng tôi xác định những biểu hiện của tư duy phân tích của sinh viên khi học Toán
cao cấp là: Xác định mục đích tư duy, chia nhỏ mục tiêu; Xác định hướng nhìn; Tìm

hiểu thông tin một cách rõ ràng, sâu sắc; Hiểu các khái niệm (định lí, mệnh đề, quy
tắc, phương pháp) một cách rõ ràng, sâu sắc và có thể sử dụng để giải quyết vấn đề;
Phán đoán có cơ sở, liên quan đến vấn đề đặt ra; Suy luận rõ ràng và sâu sắc, theo
từng bước, dựa trên căn cứ, liên quan đến vấn đề đặt ra; Đặt câu hỏi phân tích.
Các biểu hiện tư duy phân tích của sinh viên được xem xét khi sinh viên thực
hiện các hoạt động. Căn cứ vào sự phân bậc các hoạt động và những phần sinh viên
thể hiện được trong yêu cầu của các biểu hiện đã nêu, chúng tôi đưa ra một số mức độ
biểu hiện tư duy phân tích của sinh viên, có những ví dụ minh họa cụ thể trong dạy
học Toán cao cấp. Mức 1: Sinh viên thể hiện được một phần trong yêu cầu của mỗi
biểu hiện ở trên nhưng cần sự gợi ý của giảng viên. Mức 2: Sinh viên thể hiện được
một phần trong yêu cầu của mỗi biểu hiện như trên mà không cần sự gợi ý của giảng
viên. Mức 3: Sinh viên có các biểu hiện như đã nêu trên mà không cần sự gợi ý của
giảng viên. Ngoài ra, với mỗi mức đã nêu, trong các tình huống phù hợp, chúng tôi có
thể xem xét các mức nhỏ hơn dựa trên sự phức tạp của đối tượng hoạt động; tính trừu
tượng và khái quát của đối tượng hoạt động, nội dung của hoạt động hoặc sự phức
hợp của hoạt động.
Qua việc tham khảo một số quan niệm về sự phát triển tư duy, phát triển tư duy
cho học sinh trong dạy học, phát triển tư duy phân tích cho người học, chúng tôi cho
rằng dạy học Toán cao cấp theo hướng phát triển tư duy phân tích cho sinh viên được
hiểu là kiểu dạy học ở đó giảng viên giúp cho tư duy phân tích của sinh viên được
nâng dần lên mức độ cao hơn, dựa trên việc trang bị cho sinh viên cách tư duy kết
hợp với nền tảng kiến thức vững chắc và tạo các hoạt động phù hợp để sinh viên thực
hiện. Trong dạy học theo hướng này, giảng viên cần dựa vào các biểu hiện đặc trưng
của tư duy phân tích của sinh viên trong dạy học Toán cao cấp để chọn lựa nội dung,
phương pháp dạy học, thiết kế bài học theo chuỗi các hoạt động sao cho khi sinh viên
thực hiện các hoạt động đó thì sản phẩm của sinh viên thể hiện được mức độ tư duy
phân tích của sinh viên.
Từ những kết quả thu được khi khảo sát thực trạng, đối chiếu với những biểu

13

hiện cần có của tư duy phân tích của sinh viên trong dạy học Toán cao cấp và quan
niệm dạy học Toán cao cấp theo hướng phát triển tư duy phân tích cho sinh viên,
chúng tôi thấy rằng tư duy phân tích của sinh viên còn hạn chế. Nhiều giảng viên
chưa xác định được các biểu hiện tư duy phân tích của sinh viên trong học Toán cao
cấp nên chưa chọn lựa được nội dung, phương pháp phù hợp để dạy học nhằm phát
triển tư duy phân tích cho sinh viên.
Những kết quả nghiên cứu về cơ sở lí luận và thực tiễn ở trên sẽ là cơ sở để đề
xuất một số biện pháp dạy học Toán cao cấp theo hướng phát triển tư duy phân tích
cho sinh viên.
CHƯƠNG 2: BIỆN PHÁP DẠY HỌC TOÁN CAO CẤP THEO HƯỚNG
PHÁT TRIỂN TƯ DUY PHÂN TÍCH CHO SINH VIÊN ĐẠI HỌC KHỐI
NGÀNH KINH TẾ, KĨ THUẬT
2.1. Định hướng xác định các biện pháp
Một số định hướng để xác định các biện pháp là: Các biện pháp được xây dựng
đảm bảo nguyên tắc dạy học đại học, tác động đến sự phát triển của tư duy phân tích
và có tính khả thi.
2.2. Một số biện pháp dạy học Toán cao cấp theo hướng phát triển tư duy phân
tích cho sinh viên đại học khối ngành kinh tế, kĩ thuật
2.2.1. Biện pháp 1: Tăng cường cho sinh viên thực hiện các hoạt động chia nhỏ
kiến thức, tìm hiểu từng phần và tìm các mối liên hệ
a) Mục đích của biện pháp
Giúp sinh viên hình thành thói quen và có thể thực hiện thành thạo các hoạt động
chia nhỏ, tìm hiểu từng phần và tìm mối liên hệ khi sử dụng thông tin, tìm hiểu các
khái niệm (định lí,…), đặt câu hỏi, xác định hướng, phán đoán, suy luận, giải quyết
vấn đề; liên hệ kiến thức Toán cao cấp với vấn đề trong thực tế hay chuyên ngành.
b) Căn cứ xây dựng biện pháp
Chia nhỏ và tìm mối liên hệ là đặc điểm của tư duy phân tích và có trong các
biểu hiện tư duy phân tích của sinh viên nhưng hiện nay sinh viên chưa thực hiện tốt

các hoạt động này.
c) Cách thực hiện
- Giảng viên chỉ cho sinh viên thấy rằng việc chia nhỏ đối tượng theo cách
nào tùy thuộc vào đặc điểm đối tượng, mục đích của hoạt động, phụ thuộc vào từng
trường hợp cụ thể. Sinh viên trước hết phải nhìn tổng thể để chọn cách chia nhỏ và
diễn giải phù hợp với mỗi ý. Sinh viên phải hiểu rõ ý nghĩa của các từ, cụm từ, có thể
giải thích được về từng phần, có thể diễn đạt theo nhiều cách, có thể minh họa hoặc
cho ví dụ, đưa ra nhận xét.
- Giảng viên có thể đưa ra các cụm từ để hỏi như sau: Tại sao? nghĩa là thế
nào? có ý nghĩa gì? Em có nhận xét gì? Hãy phân tích…
- Giảng viên thiết kế cho sinh viên các tình huống yêu cầu tìm hiểu kĩ từng chi
tiết.
- Sử dụng các bài tập thay đổi một số thuộc tính của khái niệm, tính chất.
- Sử dụng các bài tập có chứa tham số, vì dạng bài tập này sẽ đòi hỏi sinh viên
phải phân chia lời giải thành các trường hợp và có sự lập luận tương ứng đối với mỗi
trường hợp đó.
Về việc chỉ ra các mối liên hệ, theo Giáo trình Những nguyên lí cơ bản của chủ


14

nghĩa Mác-Lê nin, trong phép biện chứng, khái niệm mối liên hệ dùng để chỉ sự quy
định, sự tác động và chuyển hóa lẫn nhau giữa các sự vật, hiện tượng, hay giữa các
mặt, các yếu tố của mỗi sự vật, hiện tượng trong thế giới.
- Việc chỉ ra mối liên hệ giữa các yếu tố là vấn đề rộng, đòi hỏi sinh viên phải
thường xuyên chú ý đến các tình huống, các nội dung đã học. Khi giải quyết vấn đề,
cần liên tưởng đến nhiều mối liên hệ, sau đó sẽ sàng lọc, lựa chọn mối liên hệ phù
hợp với tình huống.
Mối liên hệ giữa A và B có thể biểu hiện theo nhiều dạng, chẳng hạn:
+ A  B (1)

+ A là điều kiện để có B (3)
A  B (2)
+ A kết hợp với C thì có B (4)
+ A kết hợp với B thì có X (5)
+ A, B kết hợp với D thì có Y (6)
+ B là thuộc tính của A (7).
+ A và B có chung tính chất C (8)
+ Muốn tìm (chứng minh) A thì phải tìm (chứng minh) B (9)
+ A và B bị ràng buộc bởi một biểu thức hay quy tắc nào đó (10)
+ A, B và C bị ràng buộc bởi một biểu thức hay quy tắc nào đó (11).
…
(A, B có thể là các mệnh đề, công thức,…)
Các mối quan hệ dạng (4),(5),(6) thường xuất hiện trong quá trình giải toán,
việc xét những mối quan hệ này chính là đã dùng thao tác tổng hợp. Xác định các mối
quan hệ dạng (3) giúp cho việc sắp xếp thứ tự khi trình bày, hiểu rõ cấu trúc và lập
luận logic.
-Sinh viên cần được thực hiện các hoạt động phân loại, hệ thống hóa, sắp xếp tài
liệu (tìm mối liên hệ logic, mối liên hệ cấu trúc).
Khi phân tích và trong dạy học toán, người ta thường chú ý đến một số mối liên
hệ dạng “Muốn tìm (chứng minh) A thì phải tìm (chứng minh) B”, mối quan hệ nhân
quả, mối quan hệ cái chung - cái riêng,
- Để thấy rõ mối quan hệ dạng “Muốn tìm (chứng minh) A thì phải tìm (chứng
minh) B”, sinh viên nên sử dụng dạng sơ đồ suy xuôi, suy ngược.
-Để dễ dàng nhận ra mối liên hệ nhân quả, trong học Toán cao cấp, sinh viên cần
chú ý các mối liên hệ dạng
A1 
 A1


A  B ; A  B1  ...  Bn  B;    B; A   ,...

A
An 
 n

Như vậy, sinh viên cần hiểu rõ, ghi nhớ và sử dụng đúng các khái niệm, mệnh
đề, định lí, luật logic; biết kết hợp các định lí để suy luận theo nhiều bước. Điều đó
cũng giúp sinh viên suy luận suy diễn tốt hơn.
Với mối liên hệ dạng A  B, cần chú ý đến trường hợp đặc biệt: C thay đổi kéo
theo D thay đổi. Việc xem xét mối liên hệ này cần thiết khi SV xây dựng nhiều
phương án, khi suy nghĩ sâu trong giải quyết vấn đề.
- Khi vận dụng mối quan hệ cái chung-cái riêng, sinh viên nên đặt và trả lời các
câu hỏi: A và B có gì chung? Những thuộc tính (đặc điểm,…) nào có chung trong
những đối tượng này? Những đối tượng nào cùng chung thuộc tính (đặc điểm,…) này


15

với đối tượng A? Trường hợp riêng (đặc biệt) của cái này là gì? Cái này là trường hợp
riêng (đặc biệt) của những cái nào? Kết quả khái quát hơn sẽ là như thế nào?...
Muốn biết điều dự đoán về cái chung có đúng không, có thể thử đặc biệt hóa.
Nếu thao tác đặc biệt hóa cho kết quả sai thì loại giả thuyết (dự đoán). Nếu thao tác
đặc biệt hóa cho kết quả đúng thì tìm cách chứng minh. Khi chứng minh được thì sẽ
phát biểu với trường hợp tổng quát. Sau đó, có thể dự đoán cái chung khác dựa vào
thao tác tương tự hóa.
Việc tìm mối liên hệ cái chung cái riêng dẫn đến những suy luận tương tự, suy
luận quy nạp.
Cái chung có trong nhiều cái riêng, nhưng có thể không phải trong mọi cái riêng,
nên cần phải dự đoán những đối tượng nào có cùng cái chung. Điều này liên quan đến
việc sử dụng các thao tác so sánh và tương tự. (Nếu đối tượng X có các tính chất A, B,
C, D và đối tượng Y có các tính chất A, B, C thì đối tượng Y có thể có tính chất

D).Ngoài ra, cũng cần sử dụng thao tác trừu tượng hóa khi xét một vài thuộc tính
chung nào đó trong cái riêng mà không quan tâm đến các thuộc tính khác.
Trong một số trường hợp khi dự đoán về cái chung, có thể phân tích cái riêng
thành các yếu tố, nhìn nhận mỗi yếu tố theo nhiều hướng, hoặc phát biểu về yếu tố
một cách tổng quát hơn.
Tóm lại:
* Việc chia nhỏ, tìm hiểu từng phần và các mối liên hệ giúp sinh viên hiểu rõ về
thông tin, khái niệm, định lí; nhìn nhận theo một số hướng; chia nhỏ mục tiêu; có thể
suy luận rõ ràng, sâu sắc; phán đoán có cơ sở; lập luận logic; giúp ghi nhớ, giải quyết
vấn đề.
* Để giúp sinh viên nhận ra các mối liên hệ, giảng viên nên gợi ý và tạo cơ hội
để sinh viên thường xuyên luyện tập các hoạt động:
- Chỉ ra một số mối liên hệ thường gặp, lựa chọn các mối liên hệ phù hợp trong
tình huống cụ thể.
- Sắp xếp, phân loại (tìm mối liên hệ giữa cái ý, mối liên hệ cấu trúc).
- Ghi nhớ và sử dụng chính xác các khái niệm, mệnh đề, định lí, luật logic; kết
hợp các định lí để tìm kiếm mối liên hệ có tính bắc cầu.
- Trả lời các câu hỏi: “Tại sao…?”, “Những điều nào dẫn đến điều này?”, “Điều
này sẽ kéo theo những gì?”, “Muốn tìm A ta phải tìm gì?”,…
- Chú ý tìm điểm chung, điều tương tự, sự khác biệt giữa các nội dung kiến thức.
Kết hợp sử dụng các thao tác so sánh, tương tự, đặc biệt hóa, khái quát hóa, trừu
tượng hóa (để phát hiện và vận dụng mối liên hệ cái chung-cái riêng, đưa đến suy
luận tương tự, suy luận quy nạp, kiến tạo kiến thức).
2.2.2. Biện pháp 2: Thiết kế, tổ chức cho sinh viên thực hiện các hoạt động thể
hiện cách suy nghĩ rõ ràng và sâu sắc
a) Mục đích của biện pháp
Giúp sinh viên suy nghĩ một cách rõ ràng và sâu sắc khi xác định mục đích, mục
tiêu; xác định hướng nhìn; sử dụng thông tin; đặt câu hỏi; sử dụng các khái niệm
(định lí, mệnh đề, quy tắc, phương pháp), phán đoán, suy luận; liên hệ với thực tế hay
chuyên ngành.

b) Căn cứ xây dựng biện pháp


16

- Suy nghĩ một cách rõ ràng và sâu sắc là đặc điểm của tư duy phân tích, có
trong yêu cầu của các biểu hiện.
- Biện pháp này sẽ tác động vào ý thức về quá trình tư duy của sinh viên, do đó
có thể giúp phát triển tư duy nói chung và tư duy phân tích nói riêng.
c) Cách thực hiện biện pháp
Giảng viên gợi ý và tạo cơ hội để sinh viên thực hiện các hoạt động:
+ Viết tóm tắt, ghi chi tiết, phát hiện lỗi sai và sửa chữa, so sánh, phân loại.
+ Trình bày, giải thích vấn đề một cách rõ ràng, sử dụng các ví dụ minh họa, các
phản ví dụ; trả lời các câu hỏi “Tại sao?”, “Tác giả xây dựng ý tưởng dựa trên cơ sở
nào?”,...
+ Tự nhìn nhận lại để thấy phần kiến thức còn chưa rõ, ghi lại và suy ngẫm thêm
hoặc hỏi người khác.
+ Thường xuyên bổ sung thêm những khía cạnh mới học, mới khám phá vào hệ
thống kiến thức đã có và điều chỉnh những suy nghĩ của bản thân.
+ Chú ý đến những khoảng trống kiến thức mà các tài liệu còn chưa nói rõ hoặc
chưa đề cập đến để suy ngẫm và đưa ra những kết luận của bản thân.
+ Tìm kiếm nhiều yếu tố có liên quan đến một vấn đề.
+ Xem xét kĩ vấn đề, nhìn nhận vấn đề theo nhiều cách khác nhau; suy luận bắc
cầu theo nhiều bước; Hoàn chỉnh, bổ sung, mở rộng hay liên hệ với vấn đề khác;
Không thỏa mãn với những câu trả lời đại khái mà đi tìm lời giải thích sâu sắc hơn.
Có thể tìm được nhiều vấn đề, nhiều mối quan hệ có liên quan đến một yếu tố đang
xét; có thể nêu các nhận xét, chú ý, tự đưa thêm các mệnh đề, suy nghĩ sâu bài toán.
(Giảng viên gợi ý cho sinh viên rằng những nhận xét này thường được suy ra từ
các thao tác khái quát hóa, đặc biệt hóa, tương tự, so sánh, xem mệnh đề phản, chú ý
các sai lầm,…).

2.2.3. Biện pháp 3: Trang bị cho sinh viên một số phương pháp thường dùng đối
với tư duy phân tích
Một số phương pháp thường dùng đối với tư duy phân tích ở đây là:
- Tìm hiểu đối tượng với sự xem xét: tổng thể - từng phần - tổng thể.
- Sử dụng các câu hỏi. Trả lời một câu hỏi bằng một câu hỏi.
- Sử dụng các dạng sơ đồ, đồ thị, dàn ý.
- Sử dụng “chiến lược đọc SQR4”.
a) Mục đích của biện pháp
Giúp sinh viên sử dụng tư duy phân tích một cách có phương pháp; hạn chế sai
lầm thường gặp khi phân tích; giúp định hướng, kích thích tư duy; làm cho quá trình
tư duy trở nên rõ ràng, mạch lạc, sâu sắc hơn, hiệu quả hơn.
b) Căn cứ xây dựng biện pháp
Một số nghiên cứu đã chỉ ra rằng các phương pháp trên nhằm cung cấp cho
sinh viên những chiến lược, kĩ thuật, công cụ thường dùng đối với tư duy phân tích,
do đó giúp phát triển tư duy phân tích cho sinh viên. Tuy nhiên, nhiều sinh viên chưa
biết sử dụng những phương pháp này.
c) Cách thực hiện
- Về việc tìm hiểu đối tượng với sự xem xét tổng thể- từng phần- tổng thể
+ Giảng viên gợi ý cho sinh viên “chiến lược Whole Part Whole”, lấy ví dụ
minh họa cụ thể. Trong quá trình giải toán, ở bước đầu khi xem xét toàn bộ, sinh viên


17

cần nắm được sơ lược toàn bộ các yếu tố và mối liên hệ, hình dung vùng kiến thức
liên quan để xác định phân tích theo hướng nào. (Tuy nhiên, hiệu quả ở bước này còn
phụ thuộc nhiều vào việc sinh viên có thường xuyên giải toán hay không, vì điều đó
sẽ giúp họ có nhiều kinh nghiệm và có cảm giác tốt hơn khi xác định hướng phân
tích). Giảng viên cũng nên sử dụng chiến lược này trong việc trình bày bài giảng trên
lớp.

+ Giảng viên xây dựng các dạng bài tập có nhiều ý, trong đó các ý có ít sự thay
đổi nhưng đòi hỏi sinh viên phải giải bài toán theo hướng khác.
- Về việc sử dụng các câu hỏi, trả lời một câu hỏi bằng một câu hỏi
+ Giảng viên đề nghị sinh viên tự tìm hiểu về tầm quan trọng của việc đặt câu
hỏi, trả lời một câu hỏi bằng một câu hỏi.
+ Giảng viên chỉ cho sinh viên thấy tầm quan trọng của việc sử dụng các câu hỏi
và trả lời một câu hỏi bằng một câu hỏi: giúp định hướng cho quá trình tư duy, kích
thích tư duy,... Có thể đặt các câu hỏi chia nhỏ, giải thích và tìm mối quan hệ, câu hỏi
về mục đích, thông tin, khái niệm (định lí, quy tắc, phương pháp), hướng nhìn, lập
luận logic, sự phán đoán, suy luận, về sự rõ ràng, sự sâu sắc, …
+ Giảng viên gợi ý một số dạng câu hỏi, chẳng hạn: Câu hỏi khi đọc lí thuyết;
Câu hỏi khi giải bài tập; Câu hỏi sau khi giải bài tập.
+ Giảng viên thường đặt câu hỏi, trả lời câu hỏi của sinh viên bằng một câu hỏi
và đề nghị sinh viên cũng thường làm như vậy.
- Về việc sử dụng các sơ đồ, dàn ý:
+ Giảng viên đề nghị sinh viên tự tìm hiểu về một số dạng sơ đồ: sơ đồ tư duy;
bản đồ khái niệm; sơ đồ suy xuôi, suy ngược. Sau đó, giảng viên gợi ý thêm cho sinh
viên về các dạng sơ đồ trên (về cách dùng, ưu điểm,…) và đưa ra những ví dụ minh
họa trong quá trình dạy (hoặc đưa thành tài liệu cho sinh viên tham khảo khi học ở
nhà).
+ Giảng viên xây dựng các bài tập, tình huống để sinh viên thực hiện các hoạt
động có sử dụng sơ đồ, đồ thị: Đọc sơ đồ, nhận xét một sơ đồ; vẽ bản đồ khái niệm
chỉ mối quan hệ giữa cái khái niệm; vẽ bản đồ tư duy khi tổng kết bài học, chỉ ra các
hướng giải bài toán, khi sắp xếp, phân loại và sử dụng thông tin, lập kế hoạch; vẽ
hình bất kì; sử dụng công nghệ thông tin khi vẽ hình.
- Về việc sử dụng chiến lược đọc SQR4:
+ Giảng viên đề nghị sinh viên tự tìm hiểu về “chiến lược đọc SQR4”.
+ Giảng viên gợi ý thêm cho sinh viên về chiến lược đọc SQR4 và đề nghị sinh
viên dùng chiến lược SQR4 khi tự đọc tài liệu ở nhà, có thể đưa dưới dạng bài tập,
chẳng hạn: “Hãy thể hiện sự vận dụng chiến lược đọc SQR4 khi bạn đọc bài tích

phân mặt loại hai”.
+ Trong quá trình dạy học trên lớp, giảng viên có thể kiểm tra một số bước trong
chiến lược đọc này, chẳng hạn: “Khi bạn đọc bài tích phân mặt loại hai và sử dụng
chiến lược SQR4, ở bước 1 (survey), bạn cần nhìn bao quát những ý chính nào?”.
2.2.4. Biện pháp 4: Thiết kế, tổ chức cho sinh viên thực hiện các hoạt động gắn
phân tích với tổng hợp, sáng tạo và giải quyết vấn đề
a) Mục đích của biện pháp
Nhằm giúp sinh viên thường xuyên sử dụng kết hợp tư duy phân tích với các
loại tư duy khác, giúp sinh viên sử dụng các loại tư duy linh hoạt và có hiệu quả hơn.


18

b) Căn cứ xây dựng biện pháp
- Trong dạy học, ngoài việc phát triển tư duy phân tích, cần phải phát triển các
loại tư duy khác, phát triển năng lực giải quyết vấn đề cho sinh viên.
- Tư duy phân tích có quan hệ với tư duy tổng hợp, tư duy sáng tạo và khả năng
giải quyết vấn đề.
- Việc kết hợp rèn luyện nhiều loại tư duy sẽ tạo nên sức mạnh tích hợp.
c) Cách thực hiện biện pháp
- Kết hợp tư duy phân tích và tư duy tổng hợp: Nên yêu cầu sinh viên tóm
tắt, lập đề cương, chỉ ra các bước cơ bản trong một lời giải, trình bày sơ lược các
bước giải sau khi phân tích. Giảng viên nên xây dựng các bài tập kết hợp nhiều loại
kiến thức,
-Kết hợp tư duy phân tích với tư duy sáng tạo: Giảng viên nên khuyến khích
sinh viên tưởng tượng về nội dung chuẩn bị đọc (hoặc nghe giảng) và sẽ phân tích
sau khi đọc (có so sánh, đối chiếu). Giảng viên gợi ý cho sinh viên rằng: Để phát triển
óc phân tích và tư duy sáng tạo, nên biết cách dùng đúng những cụm từ như: “Tôi có
một linh cảm về chủ đề này…”, “Tôi có thể tưởng tượng nó hoạt động theo cách này
nếu…”, “Điều này nhắc tôi nhớ lại lúc tôi…”, “Tôi vẫn còn trăn trở vì câu hỏi về …”,

“Khi xem xét toàn bộ, tôi nghĩ đến điểm cốt yếu ở đây là…”; Sử dụng các bài tập có
nhiều cách giải, bài tập câm, bài tập mở, bài tập khác kiểu,...
- Về việc kết hợp phân tích và giải quyết vấn đề: Giảng viên có thể giới thiệu
và cho sinh viên giải toán theo bốn bước của Polya, chú ý các yêu cầu về biểu hiện
của tư duy phân tích trong từng bước giải.
2.2.5. Biện pháp 5: Tăng cường cho sinh viên các hoạt động sử dụng tư duy phân
tích trong quá trình tự học
a) Mục đích của biện pháp
Giúp sinh viên rèn luyện khả năng tự học và phát triển tư duy phân tích do
thường xuyên tự thực hiện các hoạt động tư duy.
b) Căn cứ thực hiện biện pháp
Tự học có vai trò quan trọng trong quá trình học tập của sinh viên. Việc tự học,
đặc biệt là khi tự đọc và khi giải bài tập, đòi hỏi phải thường dùng tư duy phân tích.
Tuy nhiên, thực tế cho thấy khả năng tự học của sinh viên còn hạn chế. Ngoài ra, việc
phân tích chi tiết cần nhiều thời gian, nên không thể chỉ thực hiện trên lớp học, cần
phải chú trọng trong quá trình tự học của sinh viên. Hơn nữa, đối với sinh viên, cần
có tư duy độc lập ở mức độ cao, nên giảng viên không phân tích kĩ như ở cấp học phổ
thông. Do vậy, để hiểu rõ kiến thức, sinh viên phải tự phân tích trong quá trình tự
học.
c) Cách thực hiện biện pháp
Trong dạy học Toán cao cấp theo hướng này, giảng viên có thể:
- Giới thiệu để sinh viên hiểu thêm về các phương pháp tự học ở đại học.
- Xây dựng hệ thống câu hỏi, bài tập theo hướng sử dụng tư duy phân tích và
giao cho sinh viên làm khi tự học. Các bài tập phải phù hợp với trình độ sinh viên,
với giáo dục đại học và tương ứng với các biện pháp ở trên. Chú ý một số dạng bài
phù hợp để làm ở nhà. Chẳng hạn: Rút ra những chú ý, nhận xét riêng (sau khi đọc,
sau khi làm xong bài tập,…); Vẽ sơ đồ; Phân loại, tóm tắt,…; Trình bày cách giải bài
toán theo bốn bước của Polya; bài tập lớn, chuyên đề; bài tập sử dụng máy tính; bài

19

tập ứng dụng thực tế hoặc chuyên ngành, bài tập dạng nghiên cứu trường hợp; Sử
dụng kĩ thuật đọc SQR4, …
- Yêu cầu sinh viên khi tự học phải tự đặt ra các câu hỏi, bài tập để giải đáp
(Giảng viên gợi ý để sinh viên thấy cần phải đặt những dạng câu hỏi như thế nào).
- Sinh viên có thể học nhóm ở nhà và trình bày, thảo luận trên lớp.
- Kiểm tra thường xuyên hơn (gồm kiểm tra bài mới trước khi học và bài cũ sau
khi học) Bài kiểm tra không giống hoàn toàn bài tập đã có trong tài liệu học, mà có ít
nhiều sự thay đổi, đòi hỏi sinh viên phải có sự suy luận.
- Có thể sử dụng kĩ thuật dạy học KWL.
KẾT LUẬN CHƯƠNG 2
Trong chương này, dựa trên nguyên tắc của dạy học đại học và việc xem xét
những biểu hiện của tư duy phân tích của sinh viên khi học Toán cao cấp, kết hợp với
những tìm hiểu ở phần cơ sở lí luận và thực tiễn, chúng tôi đã xây dựng năm biện
pháp, bao gồm: Tăng cường cho sinh viên thực hiện các hoạt động chia nhỏ kiến
thức, tìm hiểu từng phần và tìm các mối liên hệ; Thiết kế, tổ chức cho sinh viên thực
hiện các hoạt động thể hiện cách suy nghĩ rõ ràng và sâu sắc; Trang bị cho sinh viên
một số phương pháp thường dùng đối với tư duy phân tích; Thiết kế, tổ chức cho sinh
viên thực hiện các hoạt động gắn phân tích với tổng hợp, sáng tạo và giải quyết vấn
đề; Tăng cường cho sinh viên thực hiện những hoạt động sử dụng tư duy phân tích
trong quá trình tự học.
Đối với biện pháp 1, sinh viên thực hiện các hoạt động chia nhỏ, diễn giải, tìm
hiểu từng chi tiết, tìm mối liên hệ, như vậy sẽ giúp chia nhỏ mục tiêu, hiểu rõ thông
tin, sử dụng các khái niệm, định lí,…tốt hơn; có thể phán đoán dựa trên việc xem xét
mối quan hệ cái chung, cái riêng và thực hiện các thao tác tư duy tương tự, khái quát
hóa, đặc biệt hóa; suy luận rõ ràng và sâu sắc, lập luận logic dựa trên việc trả lời các
câu hỏi về mối liên hệ nhân quả. Sinh viên được rèn luyện các hoạt động sắp xếp,
phân loại dựa trên việc chia nhỏ và tìm mối liên hệ logic, mối liên hệ cấu trúc,…Việc
xem xét mối liên hệ ở nhiều khía cạnh cũng giúp nhìn nhận vấn đề theo nhiều hướng.

Biện pháp 2 hướng vào yêu cầu “rõ ràng, sâu sắc” trong các biểu hiện tư duy
phân tích của sinh viên. Biện pháp này cũng nhằm tác động vào ý thức về quá trình tư
duy của sinh viên, nhấn mạnh việc đưa ra những nhận xét, chú ý, những kinh nghiệm
của bản thân. Điều đó sẽ giúp phát triển tư duy nói chung và tư duy phân tích nói
riêng.
Biện pháp 3 giúp sinh viên tư duy một cách có phương pháp hơn khi phân tích.
“Chiến lược Whole Part Whole” giúp sinh viên khoanh vùng kiến thức để dự đoán
hướng phân tích phù hợp, chú ý nhìn lại tổng thể trong quá trình phân tích. Việc trả
lời câu hỏi bằng một câu hỏi giúp sinh viên định hướng quá trình tư duy đồng thời tự
tìm ra câu trả lời. Sử dụng các loại sơ đồ giúp chỉ rõ các mối liên hệ, giúp suy luận rõ
ràng, mạch lạc. Sử dụng chiến lược đọc SQR4 giúp sinh viên nhận ra các ý chính, đặt
câu hỏi, suy ngẫm, ghi nhớ,…
Biện pháp 4 nhằm chú ý phát triển một số loại tư duy khác đồng thời với tư duy
phân tích, vận dụng tư duy phân tích khi giải quyết vấn đề. Biện pháp này giúp sinh
viên làm quen với các vấn đề cần tổng hợp nhiều loại kiến thức. Việc tưởng tượng
trước khi phân tích cũng giúp hạn chế lỗi “tư duy phân tích cản trở tư duy sáng tạo”.
Biện pháp 5 nhấn mạnh các hoạt động phát triển tư duy phân tích cho sinh viên


20

trong quá trình tự học ở nhà, vì không đủ thời gian để thực hiện thường xuyên các
hoạt động này trên lớp, hơn nữa sinh viên cần phải được rèn luyện tư duy độc lập.
Ngoài ra, với biện pháp này, giảng viên cũng chú ý hơn các dạng bài tập chỉ phù hợp
khi sinh viên tự học ở nhà, các bài tập gắn với thực tế hoặc chuyên ngành, bài tập
nghiên cứu khoa học.
Sự phân chia các biện pháp trên chỉ là tương đối, nhằm giúp hiểu rõ và thực
hiện các biện pháp dễ hơn, vì khi thực hiện biện pháp này có thể đồng thời giúp thực
hiện một phần biện pháp kia. Chẳng hạn, khi sinh viên thực hiện các hoạt động nhằm
tìm hiểu vấn đề một cách rõ ràng, sâu sắc thì đồng thời cũng cần chia nhỏ, diễn giải

và tìm các mối liên hệ,… Khi sinh viên thực hiện các bước giải quyết vấn đề thì đồng
thời họ cũng đã phân tích lời giải bài toán và suy nghĩ sâu.
Các biện pháp trên cũng giúp sinh viên có phương pháp đọc, nhận ra các ý
chính, chú ý ghi nhớ, do đó có thể nắm kiến thức tốt hơn. Như vậy chúng tôi nghĩ
rằng việc thực hiện các biện pháp đó có thể góp phần phát triển tư duy phân tích cho
sinh viên đồng thời nâng cao hiệu quả dạy học Toán cao cấp. Ngoài ra, cách trình bày
các ví dụ minh họa đã thể hiện việc dùng một số phương pháp, kĩ thuật dạy học tích
cực, chẳng hạn: Phương pháp nghiên cứu trường hợp, kĩ thuật sử dụng sơ đồ, kĩ thuật
“KWL”,…Đây là những kết quả mà chúng tôi chưa tìm thấy trong những nghiên cứu
trước về dạy học Toán cao cấp. Dựa theo các biện pháp nêu trên, chúng tôi sẽ thiết kế
các bài giảng, tổ chức dạy học và đánh giá sự phát triển tư duy phân tích của sinh
viên để kiểm nghiệm các biện pháp có khó khăn gì khi thực hiện và sử dụng các biện
pháp đó có thực sự phát triển tư duy phân tích cho sinh viên hay không.
CHƯƠNG 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
3.1. Mục đích, nội dung và tổ chức thực nghiệm
3.1.1. Mục đích thực nghiệm
Thực nghiệm sư phạm được tiến hành nhằm mục đích:
- Kiểm nghiệm giả thuyết khoa học của luận án.
- Bước đầu đánh giá tính khả thi và hiệu quả của các biện pháp đã đề xuất.
3.1.2. Nội dung thực nghiệm
3.1.2.1. Đối tượng tham gia thực nghiệm
Thực nghiệm được tiến hành tại Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông
trong hai đợt.
Đợt 1 (Dành cho sinh viên đại học khối ngành kĩ thuật):
Thời gian thực nghiệm: Từ tháng 2 năm 2018 đến tháng 5 năm 2018. Chúng tôi
so sánh kết quả giữa các lớp thực nghiệm 1(TN1) và đối chứng 1 (ĐC1).
Môn học: Giải tích 2
- Lớp TN1: Nhóm 14 (65 sinh viên). Giảng viên: Nguyễn Thị Dung.
- Lớp ĐC 1: Nhóm 13 (62 sinh viên). Giảng viên: Nguyễn Thị Dung.
Sinh viên các nhóm 13, 14 có nhận thức và trình độ tương đương nhau, số điểm

thi vào đại học cũng tương đương, số sinh viên ở hai nhóm cũng gần tương đương.
Đợt 2 (Dành cho sinh viên đại học khối ngành kinh tế):
Thời gian thực nghiệm: Từ đầu tháng 9 năm 2018 đến giữa tháng 10 năm 2018.
Chúng tôi so sánh kết quả giữa lớp thực nghiệm 2 (TN2) và lớp đối chứng 2
(ĐC2).


21

Môn học: Toán cao cấp 1
- Lớp TN2: Lớp D18 QT 3, 4 (90 sinh viên). Giảng viên: Nguyễn Kiều Linh.
- Lớp ĐC2: Lớp D18QT1, 2 (92 sinh viên). Giảng viên: Nguyễn Kiều Linh.
Ngoài ra, chúng tôi cũng chọn 4 sinh viên để theo dõi sự phát triển tư duy phân
tích trong quá trình thực nghiệm, đó là các sinh viên học môn Giải tích 2 ở nhóm 14.
Với lớp thực nghiệm, giảng viên thực hiện theo những biện pháp đã được đề
xuất trong luận án. Ở lớp đối chứng, giảng viên dạy học bình thường như trước đây,
không có sự tác động của thực nghiệm.
Trong quá trình dạy học thực nghiệm, chúng tôi đã có các buổi dự giờ. Sau bài
dạy có thảo luận, đánh giá và rút kinh nghiệm, đồng thời chúng tôi cũng thăm dò ý
kiến từ phía sinh viên để từ đó điều chỉnh kịp thời nhằm đạt được mục đích của việc
thực nghiệm sư phạm.
3.1.2.2. Chương trình dạy học thực nghiệm
A. Dành cho sinh viên khối ngành kinh tế
- Học phần Toán cao cấp 1: Các khái niệm cơ bản về hàm số, Giới hạn hàm số,
Hàm số liên tục, Đạo hàm của hàm số, Vi phân của hàm số, Đạo hàm và vi phân cấp
cao, Các định lí giá trị trung bình, Một số ứng dụng của đạo hàm.
- Kiểm tra đánh giá: Phần nội dung tương ứng với các bài dạy ở trên: (60
phút).
B. Dành cho sinh viên khối ngành kĩ thuật:
- Học phần Giải tích 2: Các bài dạy trong chương trình Giải tích 2 dành cho

sinh viên khối ngành kĩ thuật trong Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông.
- Kiểm tra đánh giá:
Nội dung: Hàm nhiều biến, tích phân bội, tích phân đường loại hai: (50 phút).
3.1.2.3. Giáo án dạy học thực nghiệm
Chúng tôi trình bày minh họa hai giáo án: Bài “Tích phân đường loại hai” dành
cho sinh viên đại học khối ngành kĩ thuật. Bài “Đạo hàm” dành cho sinh viên đại học
khối ngành kinh tế.
3.2. Đánh giá kết quả thực nghiệm
3.2.1. Đánh giá về mặt định tính
1. Về phía giảng viên:
Qua trao đổi với giảng viên đồng thời quan sát, đánh giá từ các giờ dạy ở lớp
thực nghiệm, chúng tôi nhận thấy:
- Giảng viên dạy thực nghiệm đã hiểu và sử dụng được các biện pháp sư phạm,
thực hiện đúng ý tưởng đặt ra trong bài soạn.
- Giảng viên dạy thực nghiệm cho rằng dạy học theo các biện pháp nêu trên
giúp bài giảng sinh động hơn, sinh viên hiểu bài và dễ ghi nhớ hơn, giảng viên cũng
biết cách và có thể xây dựng được hệ thống ví dụ tương tự.
2. Về phía sinh viên và môi trường lớp học
Nhìn chung, không khí của lớp học thực nghiệm khá sôi nổi, các em có vẻ yêu
thích môn học, hào hứng với các ví dụ và bài tập. Sinh viên lớp thực nghiệm cũng có
những biểu hiện tốt hơn so với lớp đối chứng (và tiến bộ dần hơn so với chính họ) ở
khả năng phân tích lỗi và sửa chữa, giải thích chi tiết, chỉ ra mối liên hệ, xác định
hướng, nhìn nhận vấn đề theo một số cách, suy xuôi suy ngược, hiểu bản chất và đưa


22

ra những kết luận của bản thân,..
Về việc nghiên cứu trường hợp, chúng tôi đã chọn ngẫu nhiên bốn sinh viên ở
lớp thực nghiệm 1 và theo dõi sự tiến bộ của họ.

1. Sinh viên Nguyễn Xuân A, học lớp D17CQCN12. Trong quá trình dạy học,
chúng tôi theo dõi những biểu hiện của sinh viên A ở một số mặt: Tìm hiểu và sử
dụng thông tin, phán đoán, xác định mục đích tư duy. Sinh viên A thể hiện đã có sự
tiến bộ.
2. Sinh viên Nguyễn Đức B, học lớp D17CQCN7. Chúng tôi theo dõi những
biểu hiện của sinh viên B ở một số mặt: Hiểu rõ về các khái niệm (định lí, quy tắc,
phương pháp); Xác định hướng nhìn. Sinh viên B thể hiện đã có nhiều sự tiến bộ.
3. Sinh viên Đồng Thị Thu C, học lớp D17CQCN8. Chúng tôi theo dõi những
biểu hiện của sinh viên C ở một số mặt: Hiểu rõ về các khái niệm, định lí; đặt câu hỏi
phân tích. Sinh viên C dần thể hiện sự tiến bộ.
4. Sinh viên Chu Quốc D, học lớp D17CQCN5. Trong quá trình dạy học, chúng
tôi theo dõi những biểu hiện của sinh viên D ở một số mặt: Phán đoán, suy luận, xác
định hướng nhìn. Sinh viên D thể hiện có nhiều sự tiến bộ.
3.2.2. Đánh giá định lượng
Việc đánh giá định lượng chủ yếu dựa trên kết quả của các bài kiểm tra. Những
bài kiểm tra này được dùng chung cho lớp thực nghiệm và lớp đối chứng.
3.2.2.1.Đánh giá kết quả đợt thực nghiệm thứ nhất
Trước khi thực nghiệm, chúng tôi cho sinh viên 2 lớp TN1, ĐC1 làm bài kiểm
tra (25 phút). Kết quả cho thấy hai nhóm có trình độ tương đương và tư duy phân tích
của sinh viên còn thể hiện nhiều hạn chế. Chẳng hạn, sinh viên không tìm hiểu kĩ về
các khái niệm, định lí; không lập luận dựa trên căn cứ, bằng chứng; không suy nghĩ rõ
ràng theo từng bước khi gặp bài toán phức tạp.
Sau khi thực nghiệm, chúng tôi cho sinh viên hai lớp TN1, ĐC1 làm bài kiểm
tra. Đáp án và thang điểm chấm được chúng tôi trình bày ở phần Phụ lục. Thang điểm
chấm sẽ cho thấy nhìn chung những sinh viên đạt điểm từ 7 trở lên sẽ có tư duy phân
tích tốt hơn so với những sinh viên đạt mức điểm thấp hơn. Do đó, việc so sánh tư duy
phân tích của sinh viên hai lớp có thể dựa trên việc so sánh tỉ lệ số sinh viên đạt mức
điểm lớn hơn hoặc bằng 7.
*Kết quả bài kiểm tra cho thấy:
- Điểm trung bình ở lớp TN1 (6,0) cao hơn lớp ĐC1 (5,2). Tỉ lệ sinh viên đạt

điểm kém (điểm từ 3 trở xuống) ở lớp TN 1 thấp hơn hơn so với lớp ĐC1. Tỉ lệ sinh
viên đạt điểm trung bình yếu và trung bình (4  6) ở lớp TN1 cao hơn so với lớp
ĐC1.
- Tỉ lệ sinh viên đạt điểm khá giỏi (điểm từ 7 trở lên) ở lớp TN1 cao hơn so
với lớp ĐC1.
Ngoài ra, khi tham khảo kết quả bài thi kết thúc học phần (đề chung theo ngân
hàng câu hỏi thi cho các lớp trong toàn Học viện), chúng tôi thu được kết quả (từ
Phòng Giáo vụ) như sau: Điểm trung bình ở lớp TN1 là 5,86 và điểm trung bình ở
lớp ĐC1 là 5,07.
3.2.2.2. Đánh giá kết quả đợt thực nghiệm thứ hai
Sau khi thực nghiệm, chúng tôi cho sinh viên hai lớp ĐC2, TN2 làm bài kiểm


23

tra. Đáp án và thang điểm chấm của bài kiểm tra này được chúng tôi trình bày ở phần
Phụ lục. Thang điểm chấm sẽ cho thấy rằng nhìn chung những sinh viên đạt điểm từ
6 trở lên sẽ có tư duy phân tích tốt hơn so với những sinh viên đạt mức điểm thấp
hơn. Do đó, việc so sánh tư duy phân tích của sinh viên hai lớp có thể dựa trên việc
so sánh tỉ lệ số sinh viên đạt mức điểm lớn hơn hoặc bằng 6.
* Kết quả bài kiểm tra: Số sinh viên đạt điểm 6 trở lên của lớp TN2 cao hơn
ở lớp ĐC2
50

Lớp TN2

Lớp ĐC2

40
30

20
10
0
2

3

4

5

6

7

8

Biểu đồ tần suất điểm bài kiểm tra các lớp TN2, ĐC2
Ngoài ra, khi tổng kết về các câu hỏi sinh viên đã đặt ra trong bài kiểm tra,
chúng tôi nhận thấy nhiều sinh viên đã đặt những câu hỏi không đúng, không liên
quan, không sát với nội dung cần hỏi hoặc cách diễn đạt không rõ ràng. Những câu
hỏi đó đã thể hiện sinh viên không hiểu rõ về nội dung bài học, không cẩn thận, lập
luận không dựa trên căn cứ. Dạng câu hỏi không đạt của sinh viên lớp ĐC2 nhiều hơn
so với lớp TN2.
KẾT LUẬN CHƯƠNG 3
Qua quá trình tiến hành thực nghiệm ở trên, chúng tôi xin được rút ra một số
kết luận như sau:
Các biện pháp đã nêu trong chương 2 có thể thực hiện được. Các giảng viên
tham gia vào quá trình thực nghiệm đã cho rằng sự tìm hiểu về tư duy phân tích, các
biện pháp sư phạm và những ví dụ minh họa giúp họ hiểu rõ hơn về những yêu cầu

cần có của tư duy phân tích. Từ đó, họ thấy dễ dàng hơn khi xây dựng các ví dụ và
bài tập, khi tổ chức các tình huống trong dạy học Toán cao cấp theo hướng phát triển
tư duy phân tích cho sinh viên. Biện pháp nhấn mạnh vào việc tự học của sinh viên
và việc làm các bài tập về tư duy phân tích ở nhà nên các giảng viên có thể đảm bảo
đủ thời gian giảng dạy trên lớp. Mặc dù việc dạy học theo hướng này đòi hỏi họ phải
nghiên cứu và dành nhiều thời gian hơn cho việc soạn bài nhưng nhờ đó bài giảng
phần nào trở nên sinh động hơn. Những ý kiến này cũng tương tự như nhận xét của
chúng tôi khi trực tiếp giảng dạy và quan sát hoạt động của giảng viên ở lớp thực
nghiệm.
Các biện pháp đã góp phần giúp nâng cao hiệu quả học tập Toán cao cấp và
phát triển tư duy phân tích cho sinh viên, điều đó được thể hiện qua một số biểu hiện:
Sinh viên chú ý hơn đến việc tìm hiểu chi tiết về các khái niệm, định lí; rút ra ý nghĩa
của khái niệm, định lí; tìm mối liên hệ giữa các khái niệm, định lí; đưa ra những dự
đoán dựa trên việc xem xét các mối liên hệ và sử dụng các thao tác tư duy. Sinh viên
thể hiện suy xuôi, suy ngược tốt hơn. Bước đầu họ đã biết rút ra một số nhận xét, chú
ý; hạn chế được một số sai lầm; đưa ra một số hướng giải và lựa chọn hướng ngắn
gọn; đặt các câu hỏi phân tích tốt hơn (các câu hỏi bao quát, câu hỏi cụ thể, câu hỏi