Luận văn sư phạm Áp dụng biến đổi Mellin trong việc tính tổng chuỗi và tính tính phân phụ thuộc hàm

Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới ThS. Phùng Đức Thắng,
người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể
hoàn thành bản khóa luận này.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các cán bộ, giảng viên
khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt
quá trình học tập và nghiên cứu.
Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,
bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi
trong quá trình học tập và hoàn thành khóa luận.
Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Tác giả

Hà Chí Ổn


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của ThS. Phùng Đức Thắng,
khóa luận tốt nghiệp “Áp dụng của phép biến đổi Mellin để tính
tổng chuỗi và tích phân phụ thuộc tham số” được hoàn thành bởi
nhận thức của bản thân tác giả.
Trong quá trình làm khóa luận, tôi đã kế thừa những thành tựu của các
nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Tác giả

Hà Chí Ổn


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1. Hàm biến phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.1. Hàm liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.2. Hàm chỉnh hình. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.3. Tích phân phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

1.2. Lý thuyết thặng dư . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.2.1. Không điểm và cực điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

1.2.2. Thặng dư và cách tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

1.3. Hàm Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.3.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

1.3.2. Một số tính chất của hàm gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

1.4. Hàm Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.4.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

1.4.2. Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

1.5. Hàm Zeta Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.5.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

1.5.2. Phương trình hàm giữa hàm gamma và hàm zeta-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . .

24

Chương 2. PHÉP BIẾN ĐỔI MELLIN . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.1. Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

2.2. Một số tính chất cơ bản của phép biến đổi Mellin . . . . . . . . .

30

2.2.1. Tính chất tuyến tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

30

2.2.2. Tính chất tỉ lệ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.2.3. Tính chất nâng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

2.2.4. Tính chất dịch chuyển . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

2.2.5. Biến đổi Mellin của đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

2.2.6. Biến đổi Mellin của toán tử vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

2.2.7. Biến đổi Mellin của tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.2.8. Biến đổi Mellin của tích chập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

2.2.9. Biến đổi Mellin của tích. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

2.3. Mối quan hệ với biến đổi Laplace và biến đổi Fourier. . . . . .

39

2.4. Biến đổi Mellin ngược . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

Chương 3. ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI MELLIN . .
43
3.1. Tính tổng chuỗi số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

3.2. Tính tích phân phụ thuộc tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

Phụ lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

50

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

2


Mở đầu
1. Lí do chọn đề tài
Các phép biến đổi tích phân là một phép tính toán tử được hình thành
từ những năm nửa cuối của thế kỷ XIX. Về mặt lịch sử, khái niệm biến
đổi tích phân được bắt nguồn từ những nghiên cứu rất nổi tiếng về lý
thuyết khai triển một hàm số thành chuỗi hàm lượng giác của Fourier
và sau đó được phát triển tới tích phân Fourier hay biến đổi Fourier. Ý
nghĩa quan trọng của phép biến đổi tích phân là chúng ta được cung cấp
những phương pháp toán tử rất hiệu lực để giải quyết những bài toán
với giá trị đầu và các bài toán biên của các phương trình phương trình vi
phân tuyến tính và phương trình tích phân. Trong toán học, một phép
biến đổi tích phân là phép biến đổi T có dạng
t2

(T f ) (s) = F (s) =

K(t, s)f (t)dt.
t1

Đầu vào của mỗi biến đổi tích phân là một hàm f , và đầu ra là một
hàm T f khác. Trong đó hàm K(t, s) được gọi là nhân, hàm f được gọi
là hàm gốc và hàm F (s) được gọi là ảnh của biến đổi tích phân đó. Một
số nhân có nghịch đảo tương ứng K −1 (s, t), có nghĩa là tồn tại phép biến
đổi ngược

u2

K −1 (s, t) (T f ) (s)ds.

f (t) =
u1

3


Một trong những lý do cốt yếu về sự xuất hiện của các biến đổi tích
phân phải kể đến là nhiều lớp bài toán mà có thể nói rất khó giải quyết
hoặc thậm chí nhiều khi không thể gải quyết được trên bản thân nội tại
của những lĩnh vực đó. Một biến đổi tích phân là một phép biến đổi mà
nó ánh xạ một hàm từ “miền gốc” (mà trong đó bài toán đặt ra rất khó
giải quyết) sang một miền khác “miền ảnh”. Việc giải bài toán trên miền
ảnh sẽ thuận lợi hơn rất nhiều so với việc thực hiện trên miền gốc. Sau
đó, kết quả sẽ được ánh xạ trở lại gốc ban dầu để ta nhận được yêu cầu
đặt ra (ta có thể hình dung vấn đề này dưới góc độ sơ cấp, như qua biến
đổi của hàm logarit các phép tính nhân được chuyển thành phép cộng).
Hai phép biến đổi tích phân được đánh giá rất quan trọng không chỉ
trong Toán học mà phải nói đến sự ảnh hưởng lớn của nó đến các lĩnh
vực của Vật lý học và nhiều ngành khoa học kỹ thuật khác, đó là biến
đổi Fourier và biến đổi Laplace. Tuy nhiên, xét về mặt mang tính cốt
yếu các phép biến đổi đó được xuất hiện từ việc đặt ra để giải quyết các
vấn đề thuộc lĩnh vực nói trên đây, thì biến đổi Mellin được xuất hiện
ngay trong ngữ cảnh giải quyết các vấn đề có tính thuần túy thuộc riêng
về lý thuyết Toán học. Có nhiều loại biến đổi tích phân, mỗi biến đổi
khác nhau tương ứng với một sự lựa chọn của một hàm nhân K(t, s).
Trong biến đổi Mellin, nhân của phép biến đổi là hàm K(t, s) = ts−1

và biến đổi Mellin của một hàm gốc f (t) xác định trên trục thực dương
0 < t < +∞ được xác định bởi
+∞

M[f ; s] = F (s) =

4

f (t)ts−t dt.
0


Sự xuất hiện lần đầu tiên của biến đổi Mellin, ta có thể thấy được trong
một bản thảo của nhà Toán học B. Riemann năm 1876, ở đó ông đã sử
dụng phép biến đổi này trong việc nghiên cứu về hàm Zeta để giải quyết
bài toán về sự phân bố các số nguyên tố. Đến năm 1894, E. Cahen mới
đưa ra được một số nghiên cứu rộng hơn về phép biến đổi này (tham
khảo vấn đề này ta có thể xem trong [1]). Điểm mấu chốt của biến đổi,
được xuất hiện vào những năm 1896 - 1902 (vì lý do đó, sau này được
gắn với tên biến đổi Mellin), đó là nhà toán học người Phần Lan R. H.
Mellin đã đưa ra sự trình bày một cách rõ ràng có hệ thống khá chặt
chẽ về biến đổi tích phân này cùng phép biến đổi ngược của nó. Trong
các công trình nghiên cứu về các hàm đặc biệt “Special Functions”, ông
đã trình bày các ứng dụng của nó trong việc giải các phương trình vi
phân siêu bội và vấn đề đạo hàm của khai triển tiệm cận. Các đóng góp
của Mellin đã làm sáng tỏ ý nghĩa của lý thuyết hàm giải tích và xóa đi
sự nghi hoặc vẫn còn tồn tại trước đó trong Toán học về lý thuyết tích
phân Cauchy và lý thuyết thặng dư trong giải tích hàm biến phức.
Như đã đề cập trên đây, biến đổi Mellin là một trong những biến đổi tích
phân có ý nghĩa quan trọng trong Toán học. Với lý do đó, được sự định

hướng của người hướng dẫn, tôi đã chọn đề tài “Áp dụng của phép
biến đổi Mellin tính tổng của chuỗi và tích phân phụ thuộc
tham số” để hoàn thành khóa luận tốt nghiệp bậc cử nhân Sư phạm
chuyên ngành Toán giải tích.

5


2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Khóa luận nghiên cứu về khái niệm phép biến đổi Mellin; một số tính
chất cơ bản của phép biến đổi Mellin; mối quan hệ của biến đổi Mellin
với hai phép biến đổi Laplace và biến đổi Fourier; một số ứng dụng của
phép biến đổi này thuần túy thuộc lĩnh vực toán học.

3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu về phép biến đổi Mellin, mối quan hệ của biến đổi này với
một số biến đổi tích phân khác đồng thời nghiên cứu một số ứng dụng
của nó trong hai bài toán về tính tổng của một số chuỗi số và tính tích
phân phụ thuộc tham số.

4. Phương pháp nghiên cứu
Đọc sách, nghiên cứu tài liệu, tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục
đích nghiên cứu.

5. Dự kiến đóng góp của đề tài
- Trình bày một cách hệ thống về lý thuyết của phép biến đổi Mellin.
- Trình bày ứng dụng của phép biến đổi Mellin để giải quyết một số vấn
đề sau đây: Như ta biết nhiều khi việc kiểm tra bằng các tiêu chuẩn hội
tụ của chuỗi số hay sự hội tụ của tích phân phụ thuộc tham số, ta dễ
dàng khẳng định được tính hội tụ phân kỳ của chúng. Tuy nhiên, khi

6


một chuỗi hay một tích phân suy rộng đã được khẳng định về tính hội tụ
thì một vấn đề không mang tính tầm thường đó là tính tổng của chuỗi
hay giá trị của tích phân đó. Trong thực tế, người ta phải dùng nhiều
kỹ thuật khác nhau với mỗi loại bài toán khác nhau mới giải quyết được
vấn đề này. Trong khóa luận này chúng tôi, xin trình bày kỹ thuật sử
dụng phép biến đổi Mellin để giải quyết hai vấn đề đã nêu trên, đó là
+ Tính tổng chuỗi vô hạn.
+ Tính tích phân phụ thuộc tham số.

7


Chương 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Hàm biến phức
1.1.1. Hàm liên tục
Định nghĩa 1.1. Cho hàm f (z) xác định trên tập mở Ω ⊂ C. Ta nói

rằng f (z) liên tục tại điểm z0 ∈ Ω nếu thoả mãn một trong hai điều kiện
tương đương sau

(i) Với mọi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mỗi z ∈ Ω mà |z − z0 | < δ
thì

|f (z) − f (z0 )| < ε.
(ii) Với mọi dãy {zn } ⊂ Ω mà lim zn = z0 thì lim f (zn ) = f (z0 ).
n→∞

n→∞

Hàm f (z) được gọi là liên tục trên Ω nếu nó liên tục tại mọi điểm
của Ω. Ta dễ thấy tổng, hiệu, tích và thương của các hàm liên tục cũng
là hàm liên tục.
Định nghĩa 1.2. Hàm f (z) được gọi là liên tục đều trên Ω nếu với mọi
ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho với mọi z, z ′ ∈ Ω mà |z − z ′ | < δ ta có
|f (z) − f (z ′ )| < ε.
Nhận xét 1.1. Từ tính liên tục đều của hàm f suy ra hàm f liên tục.
Tuy nhiên, điều ngược lại nói chung không đúng.
8


1
liên tục trên Ω = {z ∈ C : 0 < |z − z0 | < 1}
z
nhưng không liên tục đều trên đó. Thật vậy, lấy ε = 1, với mọi δ > 0
1
1
1
1
tồn tại n ∈ N sao cho n > (hay δ > ). Chọn z = , z ′ =
ta có
δ
n
n
2n
Ví dụ 1.1. Hàm f (z) =

|z − z ′ | =

1
1
1
−
< <δ
n 2n
n

nhưng
|f (z) − f (z ′ )| =

1
1
− ′ = |n − 2n| = n > 1 = ε.
z z

Điều đó, chứng tỏ rằng f (z) không liên tục đều trên Ω.
1.1.2. Hàm chỉnh hình
Định nghĩa 1.3. Cho hàm phức f (z) xác định trên tập mở Ω. Hàm
f (z) được gọi là khả vi tại điểm z0 ∈ Ω nếu tồn tại giới hạn của biểu
thức

f (z0 + h) − f (z0 )
; khi h → 0,
h

(1.1)

ở đó 0 = h ∈ C sao cho z0 + h ∈ Ω.

Giới hạn trên được ký hiệu bởi f ′ (z0 ) và gọi là đạo hàm của hàm phức

f (z) tại điểm z0 . Như vậy, ta có
f (z0 + h) − f (z0 )
.
h→0
h

f ′ (z0 ) = lim

Hàm f (z) có đạo hàm phức tại điểm z cũng được gọi là khả vi phức hay
C - khả vi tại z. Hàm f gọi là chỉnh hình tại điểm z nếu tồn tại một lân
cận của điểm z sao cho f khả vi tại mọi điểm trong lân cận đó. Hàm
f được gọi là chỉnh hình trên Ω nếu nó chỉnh hình tại mọi điểm của Ω.
Hàm f chỉnh hình trên C được gọi là hàm nguyên.
9


Ví dụ 1.2. Hàm f (z) = z chỉnh hình trên một tập con mở bất kỳ trong
C và f ′ (z) = 1. Thật vậy, ta có
(z + h) − z
f (z0 + h) − f (z0 )
= lim
= 1.
h→0
h→0
h
h

f ′ (z0 ) = lim

Từ đó, ta suy ra đa thức P (z) = a0 + a1 z + · · · + an z n chỉnh hình trên

toàn mặt phẳng phức C và

P ′ (z) = a1 + 2a2 z + · · · + nan z n−1 .
Điều đó được suy ra từ mệnh đề 1.1 được trình bày sau phần này.
Ví dụ 1.3. Hàm f (z) = z¯ không chỉnh hình. Thật vậy, ta tính thương
vi phân của hàm này như sau
¯ − z¯ h
¯
f (z0 + h) − f (z0 ) z + h − z¯ z¯ + h
=
=
= .
h
h
h
h
Bằng việc chuyển qua giới hạn trên trục thực và trên trục ảo ta thấy
ngay rằng thương vi phân không tồn tại khi h → 0.
Từ đẳng thức (1.1) ta thấy hàm f (z) là chỉnh hình tại z0 ∈ Ω nếu và chỉ

nếu tồn tại hằng số a sao cho

f (z0 + h) − f (z0 ) − a.h = h.ψ(h)

(1.2)

với ψ(h) là một hàm xác định khi h đủ nhỏ và lim ψ(h) = 0. Dĩ nhiên,
h→0

ta có a = f (z0 ).
′

Nhận xét 1.2. Từ công thức (1.2) ta cũng thấy rằng hàm f chỉnh hình
trên Ω thì f là liên tục trên đó.
Các kết quả về phép toán đối với đạo hàm của hàm biến phức cũng
tương tự như hàm biến thực. Ta có mệnh đề sau
10


Mệnh đề 1.1. Nếu các hàm f, g chỉnh hình trên Ω, thì
(i) f + g chỉnh hình trên Ω và (f + g)′ = f ′ + g ′ ,
(ii) f.g chỉnh hình trên Ω và (f.g)′ = f ′ g + f.g ′ ,
f
(iii) Nếu g(z0 ) = 0, thì chỉnh hình tại z0 ∈ Ω và
g
f
g

′

f ′ .g − f.g ′
=
.
g2

Thêm nữa, nếu f : Ω → U và g : U → C là các hàm chỉnh hình, thì hàm
hợp gof : Ω → C cũng là hàm chỉnh hình.
Khái niệm khả vi phức khác hẳn với khái niệm khả vi thông thường của
hàm hai biến thực. Thực vậy, hàm f (z) = z¯ tương ứng như ánh xạ của
một hàm hai biến thực F : (x, y) → (x, −y). Hàm này khả vi theo nghĩa

hàm hai biến thực, đạo hàm của nó tại một điểm là ánh xạ tuyến tính
được cho bởi định thức Jacobian của nó, ma trận vuông cấp hai các đạo
hàm riêng của các hàm tọa độ. Tuy nhiên, ta thấy điều kiện tồn tại các
đạo hàm thực không đảm bảo tính khả vi phức. Để hàm f khả vi phức,
ngoài điều kiện khả vi của hàm hai biến thực, chúng ta cần đến điều
kiện Cauchy - Riemann được cho bởi định lý dưới đây. Để lý giải được
điều này, trước hết ta nhắc lại hàm f (z) = u(x, y) + iυ(x, y), trong đó
hàm u(x, y) và v(x, y) xác định trong miền Ω, được gọi là R2 - khả vi

tại z = x + iy nếu các hàm của hai biến thực u(x, y) và v(x, y) khả vi
tại điểm (x, y).
Định lý 1.1. (Điều kiện Cauchy - Riemann). Để hàm f (z) là C - khả
vi tại điểm z ∈ D, điều kiện cần và đủ là tại điểm đó hàm f (z) là R2 11


khả vi và thỏa mãn điều kiện Cauchy - Riemann.
∂u
∂v
∂u
∂v
(x, y) =
(x, y); (x, y) = − (x, y).
∂x
∂y

∂y
∂x
1.1.3. Tích phân phức
Một đường cong tham số là một hàm
z : [a, b] → C
t → z(t) = x(t) + iy(t).
Đường cong được gọi là trơn nếu tồn tại đạo hàm z ′ (t) liên tục trên đoạn
[a, b] và z ′ (t) = 0, với mọi t ∈ [a, b]. Tại các điểm t = a và t = b các đại
lượng z ′ (a) và z ′ (b) được hiểu như các giới hạn một phía
z ′ (a) = lim+
h→0

z(a + h) − z(a)
z(b + h) − z(b)
và z ′ (b) = lim−
.
h→0
h
h

Đường cong gọi là trơn từng khúc nếu z(t) liên tục trên đoạn [a, b] và
tồn tại các điểm a0 = a < a1 < ... < an = b, ở đó z(t) là trơn trên mỗi
đoạn [ak , ak+1 ]. Đặc biệt đạo hàm trái và phải tại các điểm ak có thể
khác nhau với mọi k = 1, 2, ..., n − 1.
Hai đường cong tham số z : [a, b] → C và z¯ : [c, d] → C được gọi là

tương đương nếu tồn tại song ánh khả vi liên tục s → t(s) từ [c, d] đến

[a, b] sao cho t′ (s) > 0 và z¯(s) = z (t(s)). Điều kiện t′ (s) > 0 đảm bảo
hướng của đường cong, khi s chạy từ c đến d thì t(s) chạy từ a đến b. Họ

của tất cả các đường cong tham số tương đương với z(t) xác định một
đường cong trơn γ ⊂ C. Đường cong γ − là đường cong thu được từ γ

bằng cách đổi hướng. Một dạng tham số hóa của γ − được xác định như
12


sau
z − : [a, b] → R2
z − (t) = z(b + a − t).
Các điểm z(a) và z(b) được gọi là điểm đầu và điểm cuối của đường cong.
Đường cong trơn hoặc trơn từng khúc được gọi là kín nếu z(a) = z(b);
được gọi là đường cong đơn nếu nó không có điểm tự cắt, nghĩa là nếu
t = s thì z(t) = z(s) (trừ ra khi s = a và t = b). Ta thường gọi đường
cong đơn và kín là một chu tuyến. Một chu tuyến γ giới hạn một miền
trong mặt phẳng phức C được gọi là miền đơn liên và thường được ký
hiệu bởi Dγ .
Ví dụ 1.4. Xét đường tròn Cr (z0 ) tâm tại z0 , bán kính r
Cr (z0 ) = {z ∈ C : |z − z0 | = r} .
Hướng dương là hướng được cho bởi phương trình tham số
z(t) = z0 + reit , t ∈ [0, 2π]
và hướng âm được cho bởi phương trình
z(t) = z0 + re−it , t ∈ [0, 2π] .
Ta kí hiệu C là đường tròn định hướng dương.
Định nghĩa 1.4. Cho đường cong trơn γ được tham số hóa bởi phương
trình z : [a, b] → C và f là hàm liên tục trên γ. Tích phân của hàm f
dọc theo γ được xác định bởi

b

f (z(t)).z ′ (t)dt.

f (z)dz =
γ

a

13


Chúng ta thấy tích phân vế phải không phụ thuộc vào cách chọn phương
trình tham số đối với γ. Thật vậy, giả sử z¯ là một tham số hóa tương
đương xác định như trên thì
b

d

f (z(t)).z ′ (t)dt =
a

f (z(t(s))).z ′ (t(s)).t′ (s)ds
c
d

f (¯
z (s)).¯
z ′ (s)ds.

=
c

Nếu γ là đường cong trơn từng khúc như trên, thì
n−1

ak+1

f (z(t)).z ′ (t)dt.

f (z)dz =
k=0 a
k

γ

Từ định nghĩa, ta suy ra độ dài của đường cong γ được tính bởi công
thức

b

length(γ) =
a

|z ′ (t)| dt.

Định lý 1.2. Tích phân của một hàm liên tục trên đường cong γ có các
tính chất sau
(i)

(αf + βg)dz = α
γ

f (z)dz + β
γ

γ

g(z)dz; α, β ∈ C.

(ii) Nếu γ − là đường cong ngược hướng với γ thì
f (z)dz = −
γ−

(iii) Ta có
γ

f (z)dz.
γ

f (z)dz ≤ sup |f (z)| length(γ).
z∈γ

14


Định lý 1.3. Nếu hàm f liên tục và có một nguyên hàm F trên Ω, và
γ là một đường cong trơn từng khúc nằm trong Ω có điểm đầu là ω1 và
điểm cuối ω2 , thì
γ

f (z)dz = F (ω2 ) − F (ω1 ).

Hệ quả 1.1. Giả sử γ là đường cong đóng nằm trong tập mở Ω. Nếu
hàm liên tục f và có nguyên hàm trong Ω thì
f (z)dz = 0.
γ

Hệ quả 1.2. Nếu f chỉnh hình trong miền Ω và f ′ = 0, thì f là hàm
hằng.

1.2. Lý thuyết thặng dư
1.2.1. Không điểm và cực điểm
Định nghĩa 1.5. Điểm z0 được gọi là không điểm của hàm f (z) nếu
f (z0 ) = 0.
Định lý 1.4. Giả sử f là một hàm chỉnh hình trong một miền D, có
một không điểm tại z0 ∈ D và không đồng nhất bằng không trong D.
Thế thì, tồn tại một lân cận U của z0 trong D và một hàm chỉnh hình
g không đồng nhất triệt tiêu trên U với một số nguyên dương lớn nhất
k sao cho
f (z) = (z − z0 )k g(z); với mọi z ∈ U.
Trong trường hợp của định lý trên ta nói f có không điểm bậc k (hoặc
15


bội k) tại điểm z0 . Nếu không điểm là bậc một, chúng ta nói rằng z0 là
không điểm đơn.
Định nghĩa 1.6. Điểm z0 ∈ C được gọi là điểm bất thường cô lập của

hàm f (z) nếu tồn tại một lân cận thủng {z ∈ C : 0 < |z − z0 | < R} của

điểm z0 sao cho tại lân cận này hàm f chỉnh hình nhưng không chỉnh

hình tại z0 .
Ví dụ 1.5. Hàm f (z) =

lập.

1
nhận điểm z = 1 là điểm bất thường cô
z−1

Định nghĩa 1.7. Điểm bất thường cô lập z0 được gọi là
(i) điểm bất thường bỏ được nếu lim f (z) = ∞;
z→z0

(ii) cực điểm nếu lim f (z) = ∞;
z→z0

(iii) điểm bất thường cốt yếu nếu hàm f (z) không có giới hạn khi

z → z0 .
Ví dụ 1.6. Hàm số f (z) =
bỏ được bởi vì

sin z
nhận điểm z = 0 là điểm bất thường
z
sin z
= 1.
z→0 z

lim f (z) = lim

z→0

Hàm số f (z) =

1
nhận điểm z = 0 là cực điểm bởi vì
z
1
lim f (z) = lim = ∞.
z→0
z→0 z

Hàm số f (z) = e z nhận điểm z = 0 là điểm bất thường cốt yếu bởi vì
1

1

1

lim f (z) = lim e z = lim+ e x = ∞,

z→0

z→0
y=0,x>0

x→0

1

1

lim f (z) = lim e z = lim− e x = 0.

z→0

z→0
y=0,x<0

16

x→0


Định lý 1.5. Nếu f (z) có một cực điểm tại z0 ∈ D, thì trong một lân
cận của điểm đó tồn tại hàm chỉnh hình h(z) không triệt tiêu và số
nguyên dương k lớn nhất sao cho
f (z) =

h(z)
(z − z0 )k

.

Số nguyên dương k trong Định lý 1.5 được gọi là bậc (hoặc bội) của cực
điểm và nó mô tả tốc độ tăng của hàm khi z tiến gần tới z0 . Nếu cực
điểm là bậc một chúng ta gọi nó là cực điểm đơn.
Định lý 1.6. Nếu f có cực điểm bậc k tại z0 , thì
f (z) =

a−k
a−k+1
a−1
+ G(z),
+
+
·
·
·
+
(z − z0 )k (z − z0 )k−1
(z − z0 )

ở đó G (z) là hàm chỉnh hình trong một lân cận của điểm z0 .
1.2.2. Thặng dư và cách tính
Định nghĩa 1.8. Hệ số a−1 trong khai triển
f (z) =

a−k
a−k+1
a−1
+ G(z)
+
+
·
·
·
+
(z − z0 )k (z − z0 )k−1

(z − z0 )

của hàm f tại cực điểm z0 của nó được gọi là thặng dư của f tại cực
điểm đó, ký hiệu là Res f. Như vậy Res f = a−1 .
z=z0

z=z0

Trong trường hợp hàm f có cực điểm đơn tại z0 , rõ ràng chúng ta có
Res f = lim (z − z0 ) f (z).
z=z0

z→z0

Nếu cực điểm có bậc lớn hơn một, chúng ta có công thức tính thặng dư
dưới đây
17


Định lý 1.7. Nếu f có cực điểm bậc k tại z0 , thì
1
Res f = lim
z=z0
z→z0 (k − 1)!

d
dz

k−1

(z − z0 )k f (z) .

Nếu hàm f (z) có cực điểm bậc k tại z0 thì theo Định lý 1.5, ta có biểu
g(z)
, với g(z) là hàm chỉnh hình trong lân cận của
diễn f (z) =
(z − z0 )k
điểm z0 . Trong trường hợp này ta cũng có thể tính thặng dư của f nhờ
định lý sau
Định lý 1.8. Nếu f (z) =
cận của điểm z0 , thì

g(z)
, ở đó g là hàm chỉnh hình trong lân
(z − z0 )k
Res f =
z=z0

g (k−1) (z0 )
.
(k − 1)!

Trong trường hợp z0 là cực điểm đơn hoặc bậc hai, chúng ta có thể tính
thặng dư của hàm f tại các điểm đó khá đơn giản nhờ kết quả sau đây
Hệ quả 1.3. Giả sử hàm f chỉnh hình trong lân cận của điểm z0 . Khi
đó
g(z)
, thì Res f = g(z0 );
z=z0
z − z0

g(z)
(ii) nếu f (z) =
, thì Res f = g ′ (z0 ).
2
z=z0
(z − z0 )
(i) nếu f (z) =

Trong trường hợp hàm f được cho dưới dạng một thương, chúng ta tính
thặng dư nhờ định lý dưới đây
p(z)
, ở đó p(z) và h(z) là các hàm chỉnh
h(z)
hình trong một lân cận của điểm z0 và h(z) có không điểm bậc k tại z0 .

Định lý 1.9. Giả sử f (z) =

Nếu h(z) = (z − z0 )k q(z), ở đó q(z) là chỉnh hình trong một lân cận của
z0 và q(z0 ) = 0 thì
Res f = ck−1 ,
z=z0

18


ở đó ck−1 là hệ số của số hạng bậc k − 1 trong khai triển luỹ thừa của
p
g = trong lân cận của điểm z0 .
q
Hệ quả 1.4. Giả sử p và h là các hàm chỉnh hình trong một lân cận

của điểm z0 và h có không điểm đơn tại z0 . Khi đó
Res
z=z0

p
p(z0 )
.
= ′
h
h (z0 )

Định lý 1.10. (Công thức thặng dư Cauchy) Giả sử f là hàm chỉnh
hình trong một miền D, trừ ra một số hữu hạn các cực điểm z1 , z2 , ..., zN
nằm trong miền đó. Khi đó, chúng ta có công thức
N

Res f ,

f (z)dz = 2πi
k=1

γ

z=zk

ở đó γ là chu tuyến nằm trong miền D sao cho {z1 , z2 , ..., zN } ⊂ Dγ ⊂ D.

1.3. Hàm Gamma
1.3.1. Định nghĩa
Hàm Gamma Γ(s) xác định trên nửa mặt phẳng phức Re(s) > 0 bởi tích

phân

∞

Γ(s) =

e−t ts−1 dt.

(1.3)

0

Hàm Gamma chỉnh hình trong toàn bộ mặt phẳng phức C trừ ra tại các
cực điểm đơn s = −n; n = 0, 1, 2, ... với thặng dư tại đó là
Res Γ(s) =

s=−n

19

(−1)n
.
n!


1.3.2. Một số tính chất của hàm gamma
Lấy tích phân từng phần (1.3) ta thu được một số tích chất cơ bản dưới
đây của hàm Gamma
+∞
+∞

0

Γ(s) = −e−t ts−1

+ (s − 1)

e−t ts−2 dt
0

= (s − 1)Γ(s − 1); Re(s − 1) > 0.
Thay s bởi s + 1 ta nhận được công thức
Γ(s + 1) = sΓ(s).

(1.4)

Đặc biệt, khi s = n là một số nguyên dương, ta có
Γ(n + 1) = nΓ(n) = n(n − 1)Γ(n − 1) = ...
= n(n − 1)(n − 2)...2.1.Γ(1) = n!,

(1.5)

ở đó Γ(1) = 1.
Đặt t = u2 trong (1.3) ta được
+∞
2

e−u u2s−1 du.

Γ(s) = 2

(1.6)

0

Cho s =

1
ta có
2
1
Γ
2

+∞

=2

e

−u2

du = 2

0

20

√

π √

= π.
2

(1.7)


Lấy vi phân (1.3) theo s ta nhận được
d
Γ(s) = Γ′ (s) =
ds

+∞

0
+∞

=

d s e−t
(t )
dt
ds
t
d s ln t e−t
e
dt
ds
t

0

+∞

ts−1 (ln t) e−t dt.

=

(1.8)

0

Chúng ta có được một số tính chất hữu ích nữa của hàm Gamma dưới
đây
22s−1 Γ(s)Γ s +

1
2

=

√

πΓ(2s).

Đặc biệt, khi s = n; n = 0, 1, 2, ... ta có
√
π(2n)!
1
Γ n+
=
.

2
22n n!

(1.9)

(1.10)

Ta cũng có
Γ(s)Γ(1 − s) =

π
.
sin(πs)

(1.11)

1.4. Hàm Beta
1.4.1. Định nghĩa
Hàm Beta B(a, b) được định nghĩa bởi công thức
1

B(x, y) =
0

tx−1 (1 − t)y−1 dt; x > 0, y > 0.

21

(1.12)

1.4.2. Một số tính chất
Hàm Beta B(x, y) có tính chất đối xứng, nghĩa là
(1.13)

B(x, y) = B(y, x).
Thật vậy, theo định nghĩa ta có
1

0

ty−1 (1 − t)x−1 dt = −

B(y, x) =
0

1

(1 − s)y−1 sx−1 ds

1

sx−1 (1 − s)y−1 ds = B(x, y),

=
0

ở đó s = 1 − t.
u
trong (1.12) ta nhận được biểu diễn tích phân khác

1+u
của hàm Beta
Đổi biến t =

+∞

B(x, y) =

x−1

u
du =
(1 + u)x+y

+∞

uy−1
du.
(1 + u)x+y

(1.14)

0

0

Đặt t = cos2 θ trong (1.12) ta được
π/2

cos2x−1 θ sin2y−1 θdθ,

B(x, y) = 2

(1.15)

0

hay thay t = sin2 θ ta có
π/2

sin2x−1 θ cos2y−1 θdθ.

B(x, y) = 2

(1.16)

0

Từ đó ta có kết quả
B(1, 1) = 1;

B

22

1 1
,
2 2

= π.

(1.17)


Tương tự chúng ta dễ dàng chứng minh được
B(x, y) =

x−1
B(x − 1, y).
x+y−1

(1.18)

Hàm Beta có quan hệ với hàm Gamma bởi hệ thức
B(x, y) =

Γ(x)Γ(y)
.
Γ(x + y)

(1.19)

Thật vậy, thay t bởi pt vào (1.3) ta thu được
+∞

Γ(s)
; Re(p) > 0.
ps

e−pt ts−1 dt =

0

Đặt p = 1 + u và s = x + y vào phương trình trên ta có
1
1
=
(1 + u)x+y
Γ(x + y)

+∞

e−(1+u)t tx+y−1 dt.

(1.20)

0

Thay (1.20) vào (1.14) ta được
1
B(x, y) =
Γ(x + y)
=

Γ(x)
Γ(x + y)

+∞

+∞

e−t tx+y−1 dt
0
+∞

e−ut ux−1 du
0

e−t ty−1 dt =

Γ(x)Γ(y)
.
Γ(x + y)

0

Từ đó ta cũng có
B(p, 1 − p) =

π
; 0 < p < 1.
sin pπ

23

(1.21)