Luận văn sư phạm Các bất đẳng thức trong xác suất

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

Hoàng Thị Mấn

CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG XÁC SUẤT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Ngành: Toán - Ứng dụng

HÀ NỘI - 2013


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
*************

Hoàng Thị Mấn

CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG XÁC SUẤT

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Ngành: Toán - Ứng dụng
Mã số:

Người hướng dẫn

Th.s Nguyễn Trung Dũng

HÀ NỘI - 2013


TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

ĐỀ TÀI
CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG XÁC SUẤT

Họ tên sinh viên thực hiện : HOÀNG THỊ MẤN
Lớp
: K35A-CN Toán
Giảng viên hướng dẫn

: NGUYỄN TRUNG DŨNG

HÀ NỘI - 2013


Lời cảm ơn
Trong quá trình nghiên cứu và thực hiện khóa luận, với sự cố gắng
của bản thân cùng với sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của các
thầy cô giáo và các bạn sinh viên, em đã hoàn thành khóa luận này.
Em xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô công tác tại Khoa
Toán Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các Thầy cô đã trực tiếp
giảng dạy, truyền đạt cho em những kiến thức quý báu về chuyên
môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua.

Em xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những người thân trong gia
đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện cho em
trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này.
Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo, thạc sĩ
Nguyễn Trung Dũng, người đã tận tình giúp đỡ chỉ bảo và cung cấp
cho em những kiến thức nền tảng để em hoàn thành bài khóa luận
này. Thầy cũng là người đã giúp em ngày càng tiếp cận và có niềm
say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc cùng Thầy.
Em xin chân thành cám ơn!

Hà Nội, Ngày 16 tháng 5 năm 2013
Sinh viên
HOÀNG THỊ MẤN

1


Lời cam đoan
Tên em là: Hoàng Thị Mấn là sinh viên đại học khóa 2009 – 2013,
lớp K35A-CN Toán, khoa Toán , trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2.
Em xin cam đoan đề tài: “Các bất đẳng thức trong xác suất” là kết
quả nghiên cứu và thu thập của riêng em. Những nội dung trong khóa
luận này là do em thực hiện dưới sự hướng dẫn trực tiếp của thầy
Nguyễn Trung Dũng .Các luận cứ, kết quả thu được trong đề tài là
trung thực, không trùng với các tác giả khác. Mọi tham khảo dùng
trong báo cáo này đều được trích dẫn rõ ràng tên tác giả, tên công
trình, thời gian, địa điểm công bố. Nếu có gì không trung thực trong
luận văn em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học.

Hà Nội, Ngày 16 tháng 5 năm 2013

Sinh viên

HOÀNG THỊ MẤN

2


Mục lục
Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Chương 1: Cơ sở lý thuyết
1.1
1.2
1.3

6

Không gian Lp . . . . . . . . . .
Kì vọng có điều kiện . . . . . . .
1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . .
1.2.2 Tính chất . . . . . . . .
Martingale với thời gian rời rạc .
1.3.1 Khái niệm về tương thích
1.3.2 Thời điểm dừng . . . . .
1.3.3 Martingale . . . . . . . .

. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .

và dự báo được
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.

Chương 2: Các bất đẳng thức trong xác suất
2.1

Bất đẳng thức moment . . . . . . . . . . .
2.1.1 Bất đẳng thức Chebyshev . . . . . .
2.1.2 Bất đẳng thức Cr . . . . . . . . . .
2.1.3 Bất đẳng thức Holder . . . . . . . .
2.1.4 Bất đẳng thức Cauchy-Buniakowski
2.1.5 Bất đẳng thức Minkowski . . . . . .
2.1.6 Bất đẳng thức Jensen . . . . . . . .
2.1.7 Bất đẳng thức Liapunov . . . . . .
2.1.8 Bất đẳng thức Kolmogorov . . . . .
2.1.9 Cận trên Chernoff . . . . . . . . . .
2.2 Bất đẳng thức của kì vọng có điều kiện . .
2.2.1 Bất đẳng thức Holder . . . . . . . .
2.2.2 Bất đẳng thức Minkowski . . . . . .
2.2.3 Bất đẳng thức Jensen . . . . . . . .
2.3 Bất đẳng thức trong Martingale . . . . . .
2.3.1 Bất đẳng thức Kolmogorov . . . . .
2.3.2 Bất đẳng thức Doob . . . . . . . . .

2.3.3 Bất đẳng thức cắt ngang . . . . . .
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3

6
6
6
7
9
9
9
11
15

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.

15
15
16
16
17
18
18
18
19
21
22
22
22
22
25
26
26
28
30


MỤC LỤC

MỤC LỤC

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4


Lời nói đầu
Bất đẳng thức là một vấn đề khá quan trọng của toán học, nó là
một dạng toán tương đối khó vì chúng ta không có một phương pháp
thực sự “tốt” nào để giải quyết loạt các bài toán này. Những lời giải
cho những bất đẳng thức thường mang những ý tưởng khá hay và
độc đáo.Càng ngày vấn đề này càng được khai thác sâu hơn, chính vì
đó phương pháp giải cũng rất đa dạng phong phú và ngày càng phức
tạp. Trong xác suất bất đẳng thức cũng là một đề tài thú vị thu hút
sự quan tâm của khá nhiều người.
Với những lí do trên cùng với lòng say mê nghiên cứu cùng sự giúp
đỡ tận tình của thầy giáo, Th.s Nguyễn Trung Dũng, em đã chọn đề
tài: "Các bất đẳng thức trong xác suất"
Nội dung khóa luận bao gồm 2 phần sau:

• Chương 1: Cơ sở lý thuyết
Ở phần này em trình bày những lý thuyết cơ sở phục vụ cho việc
chứng minh các bất đẳng thức em trình bày ở chương 2.
• Chương 2: Các bất đẳng thức trong xác suất.
Đây là chương trình bày các bất đẳng thức và chứng minh gồm
các bất đẳng thức moment, các bất đẳng thức của kì vọng có điều
kiện, và các bất đẳng thức trong Martingale với thời gian rời rạc.
Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng do thời gian và khả năng có hạn nên
các vấn đề trong khóa luận vẫn chưa được trình bày sâu sắc và không
thể tránh khỏi có những sai sót trong cách trình bày. Em rất mong
được sự góp ý xây dựng của thầy cô và các bạn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, Ngày 16 tháng 5 năm 2013
Sinh viên
HOÀNG THỊ MẤN
5


Chương 1

Cơ sở lý thuyết
1.1

Không gian Lp

Định nghĩa 1.1.1. Với p > 0, kí hiệu Lp = Lp (Ω, F, P) là tập hợp
các biến ngẫu nhiên X ( xác định trên (Ω, F, P)) sao cho E |X|p < ∞.
Khi X ∈ Lp , p > 0 ta kí hiệu
1

X = (E |X|p ) p
1.2
1.2.1

là chuẩn bậc p của X.

Kì vọng có điều kiện
Định nghĩa

Cho biến ngẫu nhiên X mà E(|X|) < ∞. Ta đã biết, E(X|Y ) là
kì vọng có điều kiện của X đối với Y , và được định nghĩa là hàm của
Y khi Y = y bằng:



xP(X = x | Y = y) nếu X, Y rời rạc
E[X | Y = y] =
 x
xfX|Y (x | y)dx
nếu X, Y liên tục và có hàm mật độ f

Ở đó

fX|Y (x | y) =

f (x, y)

=

f (x, y)dx

f (x, y)
.
fY (y)

Một kết quả quan trọng là
E[X] = E[E[X | Y ]].
Sau đó nó được chứng minh và được viết lại là

6


CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1.2 Kì vọng có điều kiện

E[X] =






E[X | Y = y]P(Y = y) nếu X, Y rời rạc
y





E[X | Y = y]fY (y)dy

nếu X, Y liên tục.

đây là kết quả quan trọng mà được sử dụng trong một loạt các tính
toán sau này.
Định nghĩa 1.2.1. Cho hai biến ngẫu nhiên X, Y, ta gọi E[X | Y ]
là kì vọng có điều kiện của X theo Y , là một hàm h(Y ) mà có tính
chất với mọi A ∈ σ(Y ) thì
(1.1)

E[X IA ] = E[h(Y )IA ].
1.2.2

Tính chất

(1) Nếu C là hằng số thì E(C | F) = C (h.c.c).
(2) Nếu X ≤ Y (h.c.c) thì E(X | F) ≤ E(Y | F) (h.c.c).
(3) |E(X | F)| ≤ E(|X| | F).
(4) Nếu a, b là hằng số và aEX + bEY xác định thì
E((aX + bY ) | F) = aE(X | F) + bE(Y | F)

(h.c.c).

(5) E(X | {∅, Ω}) = EX (h.c.c).
(6) E(X | F) = X

(h.c.c)

(7) E[E(X | F)] = EX (h.c.c).
(8) Nếu F1 ⊂ F2 thì
E[E(X | F2 ) | F1 ] = E[E(X | F1 ) | F2 ] = E(X | F1 ) (h.c.c).
(9) Nếu X độc lập với F (nghĩa là σ(X) và F độc lập) thì
E(X | F) = EX (h.c.c).
(10) Nếu Y là F− đo được, và E |Y | < ∞, E |XY | < ∞ thì
E(XY | F) = Y E(X | F) (h.c.c).
Chứng minh. (1) Là hiển nhiên.

7


CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1.2 Kì vọng có điều kiện

(2) X ≤ Y (h.c.c) suy ra E[X IA ] ≤ E[Y IA ] với mọi A ∈ F
hay
E[E(X | F)I] ≤ E[E(Y | F)I],
∀A ∈ F.
Tức là
E(X | F) ≤ E(Y | F)

(h.c.c).

(3) − |X| ≤ X ≤ |X| suy ra

−E(|X| | F) ≤ E(X | F) ≤ E(|X| | F)
Từ đó, ta có điều cần chứng minh.
(4) A ∈ F thì
E[(aX + bY )IA ] = aE[X IA ] + bE[Y IA ]
= aE[E(X | F)IA ] + bE[E(Y | F)IA ]
= E[(aE(X | F) + bE(X | F))IA ]
Từ đó có kết luận.
(5) EX đo được đối với σ− đại số {∅, Ω} và nếu A = ∅ hoặc A = Ω
thì có
XdP =
EXdP.
A

A

Đó là điều phải chứng minh.
(6) Hiển nhiên.

(7) Sử dụng (1.1) với A = Ω.
(8) Nếu A ∈ F1 thì
E[E(X | F2 ) | F1 ]dP =

E(X | F2 )dP =

A

A

XdP.
A

Từ đó và từ định nghĩa 1.2.1 ta có đẳng thức đầu. Đẳng thức sau
suy ra từ (6) và nhận xét E(X | F1 ) là F2 − đo được.
(9) Nếu A ∈ F thì X và IA độc lập. Do đó

XdP = EX IA = EX · P(A) =

EXdP.
A

A

Từ đó ta có kết luận.

8


CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1.3 Martingale với thời gian rời rạc

1.3
1.3.1

Martingale với thời gian rời rạc
Khái niệm về tương thích và dự báo được

Giả sử (Ω, A, P) là không gian xác suất, F ∈ A là σ− trường con
của A và X là biến ngẫu nhiên nào đó. Ta nói rằng X tương thích
với F nếu X là F− đo được. Trong trường hợp đó ta viết X ∈ F
Kí hiệu σ(X) = X −1 (B), trong đó B là σ− trường Borel của R. Rõ
ràng, X ∈ F khi và chỉ σ(X) ⊂ F Cho trước dãy ngẫu nhiên X =
{Xn , n ∈ N}. Kí hiệu σ({Xn , n ∈ N}) là σ− trường con bé nhất của
A chứa tất cả các σ− trường σ(Xn ), n ∈ N. Ta gọi σ({Xn , n ∈ N})
là σ− trường sinh ra từ X = {Xn , n ∈ N}.
Đặt
X
= σ≤n = σ({Xm , m ≤ n}), m, n ∈ N,
σ≤n
X
σ= σX
= σ=n = σ(Xn ),
σ=n
X
σ≥n
= σ≥n = σ({Xm , m ≥ n}), m, n ∈ N,

X
= σ>n = σ({Xm , m > n}), m, n ∈ N.
σ>n

Cho dãy σ− trường con {Fn , n ∈ N} của A. Dãy này được gọi là
không giảm, nếu Fm ⊂ Fn , m ≤ n, ∀m, n ∈ N. Chẳng hạn, {σ≤n , n ∈
N} là họ không giảm. Ta lưu ý rằng σ≤n gồm các biến cố quan sát
được tính đến thời điểm n.
Định nghĩa 1.3.1. Với các kí hiệu như trên, ta nói rằng quá trình
ngẫu nhiên X = {Xn , Fn , n ∈ N} là dãy tương thích, nếu Xn ∈ Fn
với mỗi n ∈ N.
Ta nói rằng V = {Vn , Fn−1 , n ∈ N, F−1 = F0 } là dãy dự báo được
nếu Vn ∈ Fn−1 với mỗi n ∈ N.
Rõ ràng dãy dự báo được là dãy tương thích.
1.3.2

Thời điểm dừng

Định nghĩa 1.3.2. Giả sử τ : Ω → N ∪ {∞} là biến ngẫu nhiên
( có thể lấy giá trị ∞). Ta nói rằng τ là thời điểm Markov đối với
{Fn , n ∈ N}, nếu

{ω : τ (ω) = n} ∈ Fn ,

∀n ∈ N.

Nếu thêm vào đó P(τ < ∞) = 1, thì τ được gọi là thời điểm dừng.

9

CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1.3 Martingale với thời gian rời rạc

Chú ý 1.3.3. τ là thời điểm Markov khi và chỉ khi

{ω : τ (ω) ≤ n} ∈ Fn ,

∀n ∈ N.

Ví dụ 1.3.4. Nếu τ (ω) ≡ n(∈ N ∪ ∞), thì hiển nhiên τ là thời điểm
Markov.
Ví dụ 1.3.5. Giả sử {Xn , n ∈ N} là dãy các biến ngẫu nhiên, và B là
tập Borel của R. Đặt

 min{n : Xn ∈ B} nếu ω ∈
{Xn ∈ B}
τB =
n∈N

∞
nếu Xn ∈
/ B ∀n ∈ N.

Khi đó, τB là thời điểm Markov đối với {σ≤n , n ∈ N}. Chứng minh
suy ra từ
n

{τB ≤ n} =

{Xk ∈ B} ∈ σ≤n ,

∀n ∈ N.

k=0

Ví dụ 1.3.6. Giả sử {Xn , n ∈ N} là dãy các biến ngẫu nhiên, và
Bn , n = 1, 2, . . . là dãy tập Borel của R. Đặt τ1 = τB1 ;

 min{n > τB1 : Xn ∈ B2 }, ω ∈
{Xn ∈ B2 } ∩ {τ1 < ∞}
τ2 =
n∈N

∞ trong trường hợp còn lại.

τn được định nghĩa tương tự. Khi đó, (τn , n ∈ N) là dãy các thời điểm
Markov đối với {σ≤n , n ∈ N}. Chứng minh đối với τ2 suy ra
n

{τ2 ≤ n} = {τ1 ≤ n} ∩

{Xk ∈ B2 }.
k=0

Tính chất 1. Giả sử τ là thời điểm Markov đối với {Fn , n ∈ N.
Khi đó
{τ < n} ∈ Fn .
Tính chất 2. Nếu τ1 , τ2 là các thời điểm Markov đối với {Fn , n ∈ N},

thì τ1 ∧ τ2 = min(τ1 , τ2 ), τ1 ∨ τ2 = max(τ1 , τ2 ), và τ1 + τ2 là các thời
điểm Markov đối với {Fn , n ∈ N}.
Tính chất 3. Nếu τ1 , τ2 , . . . là dãy các thời điểm Markov đối với
{Fn , n ∈ N}, thì
τn = sup τn , τn = inf τn cũng là thời điểm
n

Markov đối với {Fn , n ∈ N}.

n

n

10

n


CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1.3 Martingale với thời gian rời rạc

Tính chất 4. Nếu τ là thời điểm Markov đối với {Fn , n ∈ N}, thì
τ ∈ Fτ . Nếu τ và σ là các thời điểm Markov đối với {Fn , n ∈ N} sao
cho P(τ ≤ σ) = 1, thì Fτ ⊂ Fσ .
Tính chất 5. Nếu τ1 , τ2 , . . . là dãy các thời điểm Markov đối với
{Fn , n ∈ N}, và τ = inf τk , thì
k

Fτ =

Fτk .
k

Tính chất 6. Nếu τ, σ là các thời điểm Markov đối với {Fn , n ∈ N},
thì các biến cố

{τ < σ},

{τ = σ},

{τ ≤ σ}

thuộc vào Fτ ∩ Fσ .
Tính chất 7. Giả sử {Xn , Fn , n ∈ N} là dãy tương thích và τ là thời
điểm Markov đối với {Fn , n ∈ N}, thì

Xτ : Ω → R, Xτ (ω) =

Xτ (ω)(ω)
0

nếu ω ∈ {τ (ω) < ∞}
nếu ω ∈ {τ (ω) = ∞}.

là đo được đối với Fτ , tức là, Xτ ∈ Fτ .
Tính chất 8. Giả sử f : Ω → R là biến ngẫu nhiên F∞ − đo được
và τ là thời điểm Markov đối với {Fn , n ∈ N}. Khi đó f là Fτ − đo
được nếu và chỉ nếu với mọi n ∈ N, hạn chế của f trên {τ = n} là
Fn − đo được, tức là, f I{ τ = n} ∈ Fn .

Nếu Z là biến ngẫu nhiên không âm hoặc có kì vọng hữu hạn, thì ta
có
E(Z | Fτ ) = E(Z | Fn ) trên tập {ω : τ = n},
1.3.3

∀n ∈ N.

Martingale

Định nghĩa 1.3.7. Giả sử (Ω, A, P) là không gian xác suất. Dãy X =
{Xn , Fn , n ∈ N} được gọi là martingale trên (đối với {Fn , n ∈ N}),
nếu
(i) {Xn , Fn , n ∈ N} là dãy tương thích;
(ii) E |Xn | < ∞,

∀n ∈ N;

(iii) với m ≤ n, m, n ∈ N
P − hầu chắc chắn.

E(Xn | Fm ) ≤ Xm ,
11


CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1.3 Martingale với thời gian rời rạc

Định nghĩa 1.3.8. Giả sử (Ω, A, P) là không gian xác suất. Dãy X =
{Xn , Fn , n ∈ N} được gọi là martingale dưới (đối với {Fn , n ∈ N}),

nếu
(i) {Xn , Fn , n ∈ N} là dãy tương thích;
(ii) E |Xn | < ∞,

∀n ∈ N;

(iii) với m ≤ n, m, n ∈ N
P − hầu chắc chắn.

E(Xn | Fm ) ≥ Xm ,

Định nghĩa 1.3.9. Giả sử (Ω, A, P) là không gian xác suất. Dãy
X = {Xn , Fn , n ∈ N} được gọi là martingale (đối với {Fn , n ∈ N}),
nếu
(i) {Xn , Fn , n ∈ N} là dãy tương thích;
(ii) E |Xn | < ∞,

∀n ∈ N;

(iii) với m ≤ n, m, n ∈ N
P − hầu chắc chắn.

E(Xn | Fm ) = Xm ,

Ví dụ 1.3.10. Giả sử {Xn , n ∈ N} là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập
với EXn = 0, n ∈ N. Khi đó các tổng riêng

Sn = X 0 + · · · + X n
là dãy martingale đối với Fn = σ(X0 , . . . , Xn ). Thật vậy, do Sn−1 ∈
Fn−1 , tính độc lập của Xn với Fn−1 , ta có

E(Sn | Fn−1 ) = E(Sn−1 + Xn | Fn−1 ) = Sn−1 + EXn = Sn−1 .
Ví dụ 1.3.11. Giả sử {Xn , n ∈ N} là dãy các biến ngẫu nhiên nào đó
có E |X| < ∞ và {Fn , n ∈ N} là dãy σ− trường con không giảm của
A. Khi đó, dãy
Xn = E(X | Fn )
là dãy martingale đối với Fn , n ∈ N. Thật vậy, vì Fn−1 ⊂ Fn , Xn ta
có

Xn−1 = E(X | Fn−1 ) = E(E((X | F) | Fn−1 )) = E(Xn | Fn−1 ).
Tính chất 1. Nếu X = {Xn , Fn , n ∈ N} là martingale, thì hàm
trung bình EXn không phụ thuộc n ∈ N.
Tính chất 2. Nếu X = {Xn , Fn , n ∈ N} là martingale dưới, thì hàm
trung bình EXn không giảm theo n ∈ N.
12


CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1.3 Martingale với thời gian rời rạc

Tính chất 3. Nếu X = {Xn , Fn , n ∈ N} là martingale, thì hàm
E |Xn |p , 1 ≤ p < ∞ không giảm theo n ∈ N.
Tính chất 4. Giả sử X = {Xn , Fn , n = 0, 1, . . . , N } là martingale
trên, và τ, σ là hai thời điểm Markov (đối với Fn , n = 0, 1, . . . , N )
sao cho
P{τ ≤ N } = P{σ ≤ N } = 1.
Khi đó

Xσ ≥ E(Xτ | Fσ ),

({τ ≥ σ}, P − hầu chắc chắn),

tức là
P{ω ∈ {τ ≥ σ} : Xσ < E(Xτ | Fσ )} = 0
hoặc tương đương

Xτ ∧σ ≥ E(Xτ | Fσ ),

(P − hầu chắc chắn)

Tính chất 5.

• Giả sử X = {Xn , Fn , n = 0, 1, . . . , N } là martingale trên, và τ, σ
là hai thời điểm Markov (đối với Fn , n = 0, 1, . . . , N ) sao cho
P{σ ≤ τ ≤ N } = 1. Khi đó, ta có
EX0 ≥ EXσ ≥ EXτ ≥ EXN .

• Giả sử X = {Xn , Fn , n = 0, 1, . . . , N } là martingale dưới, và τ, σ
là hai thời điểm Markov (đối với Fn , n = 0, 1, . . . , N ) sao cho
P{σ ≤ τ ≤ N } = 1. Khi đó, ta có
EX0 ≤ EXσ ≤ EXτ ≤ EXN .

• Giả sử X = {Xn , Fn , n = 0, 1, . . . , N } là martingale trên, và τ, σ
là hai thời điểm Markov (đối với Fn , n = 0, 1, . . . , N ) sao cho
P{τ ≤ N } = 1. Khi đó, ta có
E |Xτ | ≤ EX0 + 2EXN− ≤ 3 sup E |Xn | .
n≤N

Tính chất 6. Giả sử X = {Xn , Fn , n = 0, 1, . . . , N } là martingale
trên, và τ, σ là hai thời điểm Markov (đối với Fn , n = 0, 1, . . . , N )

sao cho P{τ ≤ N } = P{σ ≤ N } = 1. Khi đó

Xσ = E(Xτ | Fσ ),

({τ ≥ σ}, P − hầu chắc chắn),

hoặc tương đương

Xτ ∧σ = E(Xτ | Fσ ),

(P − hầu chắc chắn)
13


CHƯƠNG 1. CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1.3 Martingale với thời gian rời rạc

Đặc biệt, nếu P{σ ≤ τ ≤ N } = 1, thì
EX0 = EXσ = EXτ = EXN .
Tính chất 7. Giả sử X = {Xn , Fn , n = 0, 1, . . . , N } là martingale
(martingale dưới), và τ là thời điểm Markov (đối với Fn , n ∈ N). Khi
đó, dãy "ngắt" tại thời điểm τ , tức là

X τ = {Xn∧τ , Fn , n ∈ N}
cũng là martingale (martingale dưới).

14

Chương 2

Các bất đẳng thức trong xác suất
2.1

Bất đẳng thức moment

2.1.1

Bất đẳng thức Chebyshev

Giả sử X ∈ L0 và g : R −→ R+ là hàm Borel không âm và không
giảm trên [0, ∞). Khi đó nếu g(X) > 0 thì
P{ω : X(ω) ≥ ǫ} ≤

Eg(X)
.
g(X)

Chứng minh. Đặt A = {ω : X(ω) ≥ ǫ}, ta có
Eg(X) ≥ Eg(X)1A ≥ g(ǫ) · E1A = g(ǫ) · P(A)
Hệ quả 2.1.1.
P{ω : |X(ω) − EX| ≥ ǫ} ≤

DX
ǫ2

∀ǫ > 0,

(2.1)

E |X|p
∀p > 0, ∀ǫ > 0
(2.2)
P{ω : |X(ω)| ≥ ǫ} ≤
ǫp
Người ta thường gọi (2.1) là bất đẳng thức Chebyshev; (2.2) là bất
đẳng thức Markov
Ý nghĩa: Nếu biết phương sai của X thì ta sẽ biết với xác suất bằng
bao nhiêu để X rơi vào lân cận ǫ của giá trị trrung bình, tức là cho
ta biết mức độ tập trung (phân tán) của X quanh EX .
Ví dụ 2.1.2. Nếu D = 5 · 10−2 ; ǫ = 10− 1 thì:
P{ω : |X(ω) − EX| < 0, 1} ≥ 1 − 5 · 10−2 = 95%

15


CHƯƠNG 2. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG XÁC SUẤT

2.1 Bất đẳng thức moment

2.1.2

Bất đẳng thức Cr

Nếu X, Y ∈ Lr với r > 0 thì
E |X + Y |r ≤ Cr E |X|r + Cr E |Y |r .
trong đó

Cr =

1
với 0 < r ≤ 1
r−1
2
với r ≥ 1.

Chứng minh. Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức số học

|a + b|r ≤ Cr |a|r + Cr |b|r

∀a, b, r > 0.

(2.3)

Xét hàm ϕ(t) = tr + (1 − t)r trên [0, 1].
1
Với r > 1 hàm ϕ(t) có cực tiểu tại t = . Tức là
2
1
1
1
.
ϕ(t) = tr + (1 − t)r ≥ ϕ( ) = r−1 =
2
2
Cr
Với 0 < r ≤ 1, hàm ϕ(t) có cực tiểu tại t = 0 và t = 1. Tức là
1
ϕ(t) ≥ ϕ(0) = ϕ(1) =

Cr
Vậy ta có

tr + (1 − t)r ≥
Thay t =

1
Cr

∀r > 0; 0 ≤ t ≤ 1.

|a|
, ta có
|a| + |b|
|a + b|r ≤ (|a| + |b|)r ≤ Cr |a|r + Cr |b|r .

Thay a, b của (2.3) bằng X, Y rồi lấy kì vọng ta được
E |X + Y |r ≤ Cr E |X|r + Cr E |Y |r .

2.1.3

Bất đẳng thức Holder

Giả sử p, q ∈ (1, +∞) sao cho
Khi đó

1 1
+ = 1 và X ∈ Lp , Y ∈ Lq .
p q

E |XY | ≤ X

p

16

·

Y

q

.

(2.4)


CHƯƠNG 2. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG XÁC SUẤT

2.1 Bất đẳng thức moment

Chứng minh. Vì hàm f (x) = xp , x ∈ (0, +∞) lồi dưới, nên

f (x) − f (1) ≥ f ′ (1)(x − 1)
hay

xp − 1 ≥ p(x − 1) với x > 0.

a 1
Thay x = ( ) p , (a > 0, b > 0) vào bất đẳng thức sau cùng, ta có

b
1
1
a b
− ≥ a p b1− p − b,
p p

hay

1 1
a b
+ ≥ ap bq .
p q
|X|p
|Y |q
Thay a =
,b =
vào bất đẳng thức trên và lấy kì vọng,
X pp
Y qq
ta có
E |XY |
1 1
.
1= + ≥
p q
X p· Y q

Từ đó ta có (2.4). Nếu E |X|p · E |Y |q = 0 thì (2.4) là hiển nhiên.
2.1.4

Bất đẳng thức Cauchy-Buniakowski

Giả sử X, Y ∈ L2 . Khi đó
E |XY | ≤ X

2

Chứng minh. (2.5) là tầm thường nếu
giả thiết X 2 · Y 2 > 0.
Thay a, b trong bất đẳng thức sơ cấp

Y
X

2
2

(2.5)

.
·

Y

2=

0. Vậy có thể

2 |ab| ≤ a2 + b2 ,

bởi

X
X
2E

và
2

Y
Y

tương ứng, sau đó lấy kỳ vọng hai vế, ta có
2

|XY |
X 2· Y

≤E
2

X2
X

Từ đó ta có (2.5).

17

2
2

+E

Y2
Y

2
2

= 2.


CHƯƠNG 2. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG XÁC SUẤT

2.1 Bất đẳng thức moment

2.1.5

Bất đẳng thức Minkowski

Giả sử X, Y ∈ Lp , 1 ≤ p < ∞. Khi đó X + Y ∈ Lp và
p≤

X +Y

X

p

+

Y

p

(2.6)

.

Chứng minh. Do bất đẳng thức Cr ta chỉ còn phải chứng minh bất
đẳng thức Minkowski với p > 1. Ta có

|X + Y |p = |X + Y |·|X + Y |p−1 ≤ |X|·|X + Y |p−1 +|Y |·|X + Y |p−1 ,
Mặt khác, bất đẳng thức Holder cho ta:
1

1

E |X| |X + Y |p−1 ≤ (E |X|p ) p (E |X + Y |p ) q
và

1

1

E |Y | |X + Y |p−1 ≤ (E |Y |p ) p (E |X + Y |p ) q .

Từ đây suy ra điều phải chứng minh.
2.1.6

Bất đẳng thức Jensen

Giả sử ϕ : R → R là hàm lồi dưới, X và ϕ(X) là các biến ngẫu
nhiên khả tích. Khi đó
(2.7)

Eϕ(X) ≥ ϕ(EX).

Chứng minh. Thật vậy, vì ϕ là hàm lồi nên ϕ liên tục có đạo hàm
phải, và đạo hàm trái tại mọi điểm. Do đó ϕ(X) cũng là biến ngẫu
nhiên, ngoài ra với x0 ∈ R tùy ý ta có

ϕ(x) ≥ ϕ(x0 ) + (x − x0 )k(x0 ),

x ∈ R,

(2.8)

ở đây k(x0 ) có thể lấy là đạo hàm phải hoặc trái của ϕ tại x0 .
Thay x bởi X , x0 bởi EX vào (2.8) sau đó lấy kỳ vọng ta có
Eϕ(X) ≥ ϕ(EX) + k(EX)(EX − EX) = ϕ(EX).

2.1.7

Bất đẳng thức Liapunov

Đối với biến ngẫu nhiên X bất kì và 0 < s < t, ta có

X

s≤

X

18

t

.

(2.9)


CHƯƠNG 2. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG XÁC SUẤT

2.1 Bất đẳng thức moment

t

Chứng minh. Thật vậy, áp dụng (2.7) với ϕ(x) = |x| s và thayX bởi
|X|s ta có
t
t
E(|X|s ) s ≥ (E |X|s ) s ,
hay

t

E |X|t ≥ (E |X|s ) s .
Đó chính là (2.9). Đặc biệt

1

1

E |X| ≤ (EX 2 ) 2 ≤ · · · ≤ (EX n ) n ≤ · · · ≤ X

∞,

trong đó

X

2.1.8

∞

= sup{x : P[|X| > x] > 0}
= inf {y : P[|X| > y] = 0}.

Bất đẳng thức Kolmogorov

a. Giả sử (Xn )n≥1 là dãy các biến ngẫu nhiên độc lập và EXk =
0, DXk < ∞, k = 1, n. Khi đó, với ǫ tùy ý ta có:

P {max |Sn | ≥ ǫ} ≤
k≤n

DSn
,
ǫ2

trong đó Sn = X1 + · · · + Xn .
b. Nếu có một số c > 0 nào đó mà P {|Xk | ≤ c} = 1, k = 1, n thì

(c + ǫ)2
.
P {max |Sn | ≥ ǫ} ≥ 1 −
k≤n
DSn
Chứng minh.

a. Kí hiệu A = {max |Sk | ≥ ǫ}
k≤n

Ak = {ω : |S1 | < ǫ, . . . , Sk−1 < ǫ, |Sk | ≥ ǫ}, k = 1, n.
n

Ak và

Ta có A =
k=1

n

ESn2

≥

ESn2 IA

ESn2 IAk

=
k=1

Mặt khác
19


CHƯƠNG 2. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG XÁC SUẤT

2.1 Bất đẳng thức moment

ESn2 IAk = E(Sk + Sn − Sk )2 IAk
= ESk2 IAk + 2E(Sn − Sk )Sk IAk + E(Sn − Sk )2 IAk .
≥ ESk2 IAk .
vì Sn − Sk và Sk IAk độc lập, E(Sn − Sk ) = 0 nên
E(Sn − Sk )Sk IAk = 0.
Do đó,
n

n

ESn2

ESk2 IAk

≥

≥ǫ

2

P (Ak ) = ǫ2 P (A).
k=1

k=1

b. Ta có
ESn2 IA = ESn2 − ESn2 IA ≥ ESn2 − ǫ2 P (A).
= ESn2 − ǫ2 + ǫ2 P (A).
trên Ak , ta có:

|Sk−1 | ≤ ǫ
|Sk | ≤ |Sk−1 | + |Xk | ≤ ǫ + c
nên
n

ESn2 IA

ESn2 IAk

=
k=1
n

n

ESk2 IAk

=

E(Sn − Sk )2 IAk

+
k=1

k=1
n

≤ (c + ǫ)

2

n

P (Ak ) + DSn
k=1
2

P (Ak )
k=1

≤ ((c + ǫ) + DSn )P (A).
Từ đây suy ra

(c + ǫ)2
DSn − ǫ2
=1−
P (A) ≥

(c + ǫ)2 + DSn − ǫ2
(c + ǫ)2 + DSn − ǫ2
(c + ǫ)2
≥ 1−
.
DSn

20


CHƯƠNG 2. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG XÁC SUẤT

2.1 Bất đẳng thức moment

2.1.9

Cận trên Chernoff

Giả sử biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất f (x), mọi t > 0
ta viết
etx f (x)
g(x) =
M (t)
Ở đó M (t) = Ef [etX ] được gọi là hàm sinh moment của biến ngẫu
nhiên X .
Với mọi c > 0 ta có

Pf (X ≥ c) = E[M (t)e−tX |X ≥ c]Pg (X ≥ c)
≤ Eg [M (t)e−tX |X ≥ c]
≤ M (t)e−tc

Bởi vậy với tất cả t > 0, ta có
(2.10)

Pf (X ≥ c) ≤ inf M (t)e−tc
t>0

Bất đẳng thức (2.10)được gọi là cận trên Chernoff.
Bổ đề 2.1.3. Cho 0 ≤ p ≤ 1
t2

pet(1−p) + (1 − p)e−tp ≤ e 8 .
Hệ quả 2.1.4. Cho X1 , . . . , Xn là các biến ngẫu nhiên độc lập có
n

Xi . Khi đó, với mọi c > 0 ta có

phân phối Bernoulli, đặt X =
i=1

P (X − E[X] ≥ c) ≤ e

−2c2
n

P (X − E[X] ≤ −c) ≤ e
Chứng minh. Với c > 0, t > 0 ta có

(2.11)

,

−2c2
n

.

(2.12)

P (X − E[X] ≥ c) = P (et(X−EX) ≥ etc )
≤ e−tc E[et(X−EX) ]
(bất đẳng thức Markov)
n

≤ e

−tc

t(Xi − E[Xi ])}]

E[exp{
i=1
n

et(Xi −E[Xi ]) ]

= e−tc E[
i=1
n

= e−tc

E[et(Xi −E[Xi ]) ].
i=1
21


2.2 Bất đẳng thức của kì vọng có điều CHƯƠNG
kiện
2. CÁC BẤT ĐẲNG THỨC TRONG XÁC SUẤT

Tuy nhiên, nếu Y là biến ngẫu nhiên có phân phối Bernoulli với tham
số p, khi đó
E[e

t(Y −EY )

] = pe

t(1−p)

+ (1 − p)e

−tp

t2
8

≤e .

Ở đó bất đẳng thức được suy ra từ bổ đề (2.1.3). Bởi vậy

P (X − EX ≥ c) ≤ e−tc e

nt2
8

4c
ta được bất đẳng thức (2.11).
n
Để chứng minh (2.12), ta viết (2.12) về dạng

Lấy t =

P (EX − X ≥ c) ≤ e

−2c2
n

và chứng minh tương tự như trên.

2.2

Bất đẳng thức của kì vọng có điều kiện

2.2.1

Bất đẳng thức Holder

Nếu X ∈ Lr , Y ∈ Ls , trong đó r, s là các số sao cho 1 < r <
1 1

∞, + = 1 thì
r s
1

1

E(|XY | | F) ≤ (E(|X|r | F)) r · (E(|Y |s | F)) s .
2.2.2

Bất đẳng thức Minkowski

Nếu X, Y ∈ Lr , 1 ≤ r thì
1

1

E(|X + Y |r | F) ≤ (E(|X|r | F)) r + (E(|Y |r | F)) r .
2.2.3

Bất đẳng thức Jensen

Nếu g : R → R là hàm lồi, tức là,

g(ax + by) ≤ ag(x) + bg(y), 0 ≤ a, b ≤ 1, a + b = 1, x, y ∈ R,
thì

g(E(X | F)) ≤ E(g(X) | F),
(với điều kiện tồn tại kì vọng, chẳng hạn E |g(X)| < ∞)

22