Luận văn thạc sĩ toán sử dụng bổ đề trội chứng minh các bất đẳng thức trong tam giác

B ăGIÁOăD CăVĨă ĨOăT O
TR
NGă IăH CăTH NGăLONG
---------------------------------------

V ăV NăTH

S ăD NGăB ă
CÁCăB Tă

NG

ăTR IăCH NGăMINH

NGăTH C TRONGăTAMăGIÁC

LU NăV NăTH CăS ăTOÁNăH C

Hà N i – N m 2016


B ăGIÁOăD CăVĨă ĨOăT O
TR
NGă IăH CăTH NGăLONG
---------------------------------------

V ăV NăTH

S ăD NGăB ă
CÁCăB Tă

NGăậ C00458

ăTR IăCH NGăMINH

NGăTH C TRONGăTAMăGIÁC

LU NăV NăTH CăS ăTOÁNăH C
CHUYÊNăNGĨNH:ăPH
NGăPHÁPăTOÁNăS ăC P
MĩăS :ă60ă46ă01ă13
NG

IăH

NG D NăKHOAăH C:ăPGS TS T ăDUYăPH

NG

Hà N i – N m 2016

1

Thang Long University Libraty


M CL C
Trang
Trang ph bìa ................................................................................................ 01
M c l c.......................................................................................................... 02
L i cam đoan ................................................................................................. 04

Tóm t t lu n v n............................................................................................ 05
M ă
Ch

U....................................................................................................... 06
ng 1. KHÁIă NI Mă TR Iă VĨă

MINHăM TăS ăB Tă

NGă D NGă TRONGă CH NGă

NGăTH C

1.1 KHÁI NI M TR I................................................................................. 08
1.1.1

nh ngh a 1.1.1.................................................................................... 08

1.2 HÀM L I SHUR..................................................................................... 08
1.2.1

nh ngh a 1.2.1 ................................................................................... 08

1.2.2

nh ngh a 1.2.2 ................................................................................... 08

1.2.3 M t s tính ch t c b n c a hàm l i, hàm lõm..................................... 09
1.2.3.1 Tính ch t 1.......................................................................................... 09
1.2.3.2 Tính ch t 2.......................................................................................... 09

1.2.4

nh ngh a 1.2.3 ................................................................................... 10

1.2.4.1 B t đ ng th c tr i (B đ tr i, Shur, 1923) ........................................10
1.2.4.2 M t s h qu c a b t đ ng th c tr i ................................................ 12
1.3

NG D NG C A KHÁI NI M TR I TRONG CH NG MINH B T
NG TH C ............................................................................................... 14

K t lu n Ch
Ch

ng 2.

CÁCăB Tă

ng 1......................................................................................... 24
NGă D NGă C Aă B ă

ă TR Iă TRONGă CH NGă MINHăă

NGăTH CăTRONGăTAMăGIÁC
2


2.1 THệ D MINH H A............................................................................... 25
Nh n xét 2.1.1................................................................................................ 26
2.2 CÁC B T

NG TH C LIÊN QUAN

N CÁC GịC TRONG C A

TAM GIÁC ................................................................................................... 26
Nh n xét 2.2.1................................................................................................ 26
2.2.1 Hàm sin.................................................................................................. 28
Nh n xét 2.2.2................................................................................................ 28
2.2.2 Hàm cosin.............................................................................................. 53
Nh n xét 2.2.3................................................................................................ 53
2.2.3 Hàm tan................................................................................................. 65
Nh n xét 2.2.4................................................................................................ 65
2.3 M T S

B T

NG TH C LIÊN QUAN

N CÁC C NH C A

TAM GIÁC ................................................................................................... 71
Nh n xét 2.3.1................................................................................................ 71
2.4 M T S H TH C KHÁC TRONG TAM GIÁC................................. 77
K t lu n Ch

ng 2. ....................................................................................... 86

K TăLU NăVĨăKHUY NăNGH
1. K t lu n..................................................................................................... 87

2. Khuy n ngh ............................................................................................... 87
TĨIăLI UăTRệCHăD N ............................................................................. 88

3

Thang Long University Libraty


L I CAMă OAN
Tôi xin cam đoan d
PGS TS T Duy Ph

i s giúp đ , h

ng d n, ch b o t n tình c a

ng, lu n v n cao h c chuyên nghành ph

ng pháp Toán

s c p v i đ tài “S d ng B đ tr i ch ng minh các b t đ ng th c trong
tam giác” là công trình nghiên c u c a riêng tôi trong th i gian h c t p và
nghiên c u t i tr

ng

i h c Th ng Long.

Trong quá trình nghiên c u và th c hi n lu n v n, tác gi đã k th a và
phát huy nh ng k t qu c a các nhà khoa h c v i s trân tr ng và bi t n.

Hà N i, tháng 05 n m 2016
Tácăgi

V ăV năTh

4

ng


TịMăT TăLU NăV N
Lu n v n g m ba ph n:
PH N 1. M ăđ u
PH N 2. N iădung
Ph n này g m hai ch
Ch

ng.

ng 1. KHÁIă NI Mă TR Iă VĨă

MINHăM TăS ăB Tă

NGă D NGă TRONGă CH NGă

NGăTH C

1.1 KHÁI NI M TR I
1.2 HÀM L I SHUR

1.3

NG D NG C A KHÁI NI M TR I TRONG CH NG MINH B T
NG TH C

Ch

ng 2.

NGă D NGă C Aă B ă

CÁCăB Tă

ă TR Iă TRONGă CH NGă MINHăă

NGăTH CăTRONGăTAMăGIÁC

2.1 THệ D MINH H A
2.2 CÁC B T

NG TH C LIÊN QUAN

N CÁC GịC TRONG C A

TAM GIÁC
2.3 M T S

B T

NG TH C LIÊN QUAN

N CÁC C NH C A

TAM GIÁC
2.4 M T S H TH C KHÁC TRONG TAM GIÁC
PH N 3. K tălu năvƠăkhuy năngh .

5

Thang Long University Libraty


M ă
Khái ni m tr i đ
vect ) trong không gian

U

c đ a ra nh m m c đích so sánh hai ph n t (hai
n

. Khái ni m này là c s c a lý thuy t tr i, đ

c

áp d ng r ng rãi trong nhi u l nh v c, xem, thí d [8].
Khái ni m tr i đ

c áp d ng khá thành công trong ch ng minh các b t

đ ng th c, đ c bi t là b t đ ng th c trong tam giác, xem, thí d , [7], [8]. Có
th nói, b t đ ng th c Karamata (xem, thí d , [3]) c ng chính là b t đ ng
th c tr i. Khái ni m tr i c ng khá g n v i m t s Ủ t

ng v s p th t tam

giác, xem, thí d , [2].
Tuy v y, hình nh ch a có m t cu n sách ti ng Vi t ho c m t lu n v n
cao h c nào trình bày ng d ng khái ni m tr i, đ c bi t là trong ch ng minh
b t đ ng th c trong tam giác.
Lu n v n S d ng B đ tr i ch ng minh các b t đ ng th c trong tam
giác có m c đích minh h a kh n ng s d ng khái ni m tr i và b t đ ng th c
tr i (B đ tr i) trong ch ng minh, c i ti n và làm m i các b t đ ng th c
trong tam giác. ây là m t v n đ còn m i m nh ng có Ủ ngh a khoa h c và
ng d ng th c ti n cao trong gi ng d y toán s c p, vì v y tôi ch n đ tài này
làm đ tài lu n v n cao h c c a mình.
Lu n v n g m M đ u, hai Ch
Ch

ng, K t lu n và Tài li u tham kh o.

ng 1: Trình bày các khái ni m c b n nh khái ni m tr i, hàm l i

Shur, đ c bi t là b t đ ng th c tr i (B đ tr i, Shur, 1923) và h qu c a nó,
đ ng th i trình bày ng d ng c a b t đ ng th c tr i trong vi c ch ng minh
m t s b t đ ng th c.
Ch

ng 2: Trình bày ng d ng c a b đ tr i và h qu c a nó trong

vi c ch ng minh các b t đ ng th c trong tam giác. Qua đây ta th y đ

c th

m nh c a b t đ ng th c tr i và h qu c a nó ng d ng vào vi c ch ng minh
6


nhi u bài toán liên quan đ n các b t đ ng th c trong tam giác nh : B t đ ng
th c liên quan đ n các góc trong c a tam giác, b t đ ng th c liên quan đ n
các c nh c a tam giác và m t s h th c khác trong tam giác. Ngoài ra, trong
ng 2 còn trình bày ng d ng hi u qu c a b t đ ng th c tr i so v i m t

Ch
s ph

ng pháp ch ng minh b t đ ng th c thông th

ng khác cho m t s b t

đ ng th c trong tam giác.
Lu n v n đ
h

c hoàn thành t i tr

ng

i h c Th ng Long d

ng d n khoa h c và ch b o t n tình c a PGS TS T Duy Ph

Toán h c. Là ng
Th y, tôi xin đ

i h c trò đã ti p thu đ

i s

ng, Vi n

c nhi u đi u b ích, quỦ báu t

c bày t lòng bi t n sâu s c đ i v i s quan tâm, đ ng viên

k p th i và s nghiêm kh c ch b o, h

ng d n c a Th y.

Tôi xin c m n t i các th y cô giáo trong Tr
phòng Sau đ i h c và Qu n lỦ khoa h c - Tr

ng

ng

i h c Th ng Long,

i h c Th ng Long.

ng

th i tôi xin g i l i c m n t i t p th l p CTM3-BG (Cao h c toán B c
Giang) khóa 2014 – 2016 c a Tr

ng

i h c Th ng Long đã đ ng viên giúp

đ tôi trong quá trình h c t p và th c hi n lu n v n này.
Tôi xin c m n t i Ban Giám hi u, t chuyên môn Toán – tin, các đ ng
nghi p Tr

ng THPT Yên D ng s 3, B c Giang đã t o đi u ki n giúp đ ,

góp Ủ cho tác gi trong th i gian h c t p và th c hi n lu n v n này.
M c dù tác gi đã h t s c c g ng nh ng do v n đ nghiên c u t

ng

đ i ph c t p và khó, kinh nghi m nghiên c u và vi t lu n v n còn h n ch
nên không tránh kh i nh ng thi u sót. Tác gi r t mong nh n đ
ki n đóng góp c a quỦ th y cô và b n đ c đ lu n v n đ

c nh ng Ủ

c hoàn thi n h n.

Hà N i, tháng 05 n m 2016
Tácăgi

V ăV năTh

ng

7

Thang Long University Libraty


Ch

ng 1

KHÁIăNI MăTR IăVĨă NGăD NGăTRONGăCH NGăMINHă
M TăS ăB Tă

NGăTH C

1.1 KHÁIăNI MăTR I
1.1.1

nhăngh aă1.1.1 Cho a   a1,..., a n  và b   b1,..., bn  là hai vect trong

không gian h u h n chi u

n

. Các t a đ a i và bi , i  1,2,..., n đ

c s p th

t nh sau: a1  a 2  ...  a n , b1  b2  ...  bn . N u:
a1  b1 ;
a  a  b  b ;
 1 2 1 2
....
a  a  ...  a  b  b  ...  b ;
n 1
n 1
1
2
 1 2
a1  a 2  ...  a n1  a n  b1  b2  ...  bn1  bn

thì ta nói a tr i h n b ( a majorizes b ) và vi t a

b.

Ta c ng nói b b tr i b i a ( b majorized by a ) và vi t b

a.

1.2 HĨMăL IăSHUR
1.2.1

nhăngh aă1.2.1 T p X 

n

c g i là t p l i n u v i m i   0;1

đ

và x1  X, x2  X ta có x   x1  1    x2  X.
Ngh a là, t p l i X ch a m i đo n th ng n i hai đi m c a nó.
1.2.2

nhăngh aă1.2.2 Hàm f : X 

n



đ

c g i là hàm l i n u X là

t p l i và v i m i   0;1 và x1  X, x2  X ta có
f  x   f   x1  1    x2    f  x1   1    f  x2  .

N u đ ng th c x y ra khi và ch khi x1  x2 thì f đ
Hàm f đ
ng

(1.2.1)

c g i là l i ch t trên X .

c g i là hàm lõm n u - f là hàm l i, hay ta có b t đ ng th c

c l i.
8


N u đ ng th c x y ra khi và ch khi x1  x2 thì hàm f đ

c g i là lõm ch t

trên X.
1.2.3ăM tăs ătínhăch tăc ăb năc aăhƠmăl i,ăhƠmălõmă
Tính ch t 1.2.3.1 N u f :  a ; b 

a;b và

là hàm l i kh vi liên t c trên



x, y Î [a , b] thì
f (y)- f (x)³ (y - x). f ¢(x).

Ch ngă minh Th t v y, theo tính ch t c a hàm l i, v i m i

Î [0,1] và

x, y Î [a , b] ta có

f ( y + (1-

)x)£ f (y)+ (1- ) f (x),

hay

f (x + (y - x))- f ( x) £
V i x, y Î [a , b], x  y và

Î (0,1) ta có

f (x + ( y - x))- f (x)

( y - x)
Cho

0 ta đ

( f (y)- f (x)).

£

f ( y)- f (x)
.
y- x

c

f ¢(x)= lim

f (x + ( y - x ))- f (x )

( y - x)

®0

£

f ( y)- f (x)
y- x

hay f (y)- f (x)³ (y - x). f ¢(x).
Tr

ng h p x, y Î [a , b], x  y ch ng minh hoàn toàn t

Tínhăch tă1.2.3.2ă Cho hàm s

ng t .

y  f  x xác đ nh trên t p X và có đ o hàm

c p hai t i m i x Î X.
N u f   x ³ 0 v i m i x Î X thì f  x là hàm l i trên X.
N u f   x  0 v i m i x Î X thì f  x là hàm lõm trên X.

9

Thang Long University Libraty


1.2.4

nhă ngh aă 1.2.3 Hàm F : X 

(Shur-convex function) n u x

n



đ

c g i là hàm l i Shur

y trên X suy ra F  x  F  y.

M t b t đ ng th c cho hàm l i đ

c s d ng hi u qu trong ch ng minh các

b t đ ng th c là B t đ ng th c tr i d

i đây.

1.2.4.1 B t đ ng th c tr i (B đ tr i, Shur, 1923)
Kí hi u I n :  x   x1 ,..., xn  : xi  I  , trong đó I :  a; b  .
N u

f :  a ; b 



là hàm l i trên

 a ; b

thì F :  a; b  , v i

n

F  x :  f  xi  là hàm l i Shur, t c là v i m i x, y  I n , x

n

y ta có

i 1

n

n

i 1

i 1

 f  xi    f  yi ,
hay
f  x1   f  x2   ...  f  xn  £ f  y1   f  y2   ...  f  yn .

N u f :  a ; b 
m i x, y  I n , x

là hàm lõm thì ta có b t đ ng th c ng

(1.2.2)
c l i, t c là v i

y ta có:

f  x1   f  x2   ...  f  xn   f  y1   f  y2   ...  f  yn .

Ch ngă minhă Tr

c tiên ta ch ng minh B đ tr i cho tr

(1.2.3)
ng h p n  2.

Không h n ch t ng quát, coi x   x1, x2  v i x1  x2 và y   y1, y2  v i
y1  y2 . Vì x

y nên ta có x1  y1, x1  x2  y1  y2  x2   y1  x1   y2  y2 .

Nh v y, y2  x2  x1  y1.
Vì x1  y2 ; y1  nên t n t i  0;1 sao cho x1   y1  1    y2 .
Khi đó: x2  y1  y2  x1  y1  y2   y1  1    y2   1    y1   y2 .
Do f là hàm l i, theo (1.2.1) ta có:

10

f  x1   f  x2   f  y1  1    y2   f  1    y1   y2 
  f  y1   1    f  y2     1    f  y1    f  y2    f  y1   f  y2  .

V y b t đ ng th c (1.2.2) đúng trong tr
Trong tr

ng h p này.

ng h p n b t kì, đ đ n gi n hóa ch ng minh, ta gi thi t thêm f

là hàm l i hai l n kh vi trên  a ; b.
Áp d ng tính ch t 1.2.3.1 c a hàm l i cho các c p s xi , yi Î [a , b] ta đ

c

f ( yi )- f (xi )  ( yi - xi ) f ¢(xi ), " i = 1, n.

Do f là hàm l i trên [a , b] nên f   x  0 v i m i x Î [a , b], hay f   x là
hàm đ ng bi n trên [a , b]. Vì

xi  xi+ 1

v i m i

i = 1, n - 1 nên

f ¢(xi )  f ¢(xi+ 1 ), v i m i i = 1, n - 1.

Chú Ủ đ n gi thi t,

i

å

xk £

k= 1

n

å

i= 1

f ( yi )-

n

å

i= 1

f (xi )=

n

i

å

yk , i = 1, n - 1 và

k= 1

å ( f (yi )-

n

å

n

xk =

k= 1

å

yk , ta đi đ n

k= 1

f (xi ))³

i= 1

³ ( y1 - x1 ) f ¢(x1 )+ ( y2 - x2 ) f ¢(x2 )+ ... + ( yn - xn ) f ¢(xn )
= ( y1 - x1 )( f ¢(x1 )- f ¢(x2 ))+ ( y1 + y2 - x1 - x2 ) f ¢(x2 )+ ... + ( yn - xn ) f ¢(xn )
= ( y1 - x1 )( f ¢(x1 )- f ¢(x2 ))+ ( y1 + y2 - x1 - x2 )( f ¢(x2 )- f ¢(x3 ))+ ...
+ ( y1 + y2 + ... + yn- 1 - x1 - x2 - ... - xn- 1 )( f ¢(xn- 1 )- f ¢(xn ))+

+ ( y1 + y2 + ... + yn - x1 - x2 - ... - xn ) f ¢(xn )³ 0.

V y ta có f  x1   f  x2   ...  f  xn   f  y1   f  y2   ...  f  yn  .
B t đ ng th c (1.2.2) đ

c ch ng minh.

D u b ng x y ra khi và ch khi xi  yi , i  1, n.
Ch ng minh t

ng t cho b t đ ng th c (1.2.3).

11

Thang Long University Libraty


Nh năxét Nhi u sách (thí d , [1], [3]) g i b t đ ng th c (1.2.2) và (1.2.3) là
b t đ ng th c Karamata (Karamata inequality). B đ tr i đ

c Shur ch ng

minh n m 1923 và Karamata ch ng minh n m 1932. H n n a, B đ tr i có
r t nhi u ng d ng khác, không ch trong ch ng minh b t đ ng th c (xem
[8]). Do đó, chúng tôi g i (theo [8]), các đ ng th c (1.2.2) và (1.2.3) là b t
đ ng th c tr i hay b t đ ng th c Shur.
1.2.4.2 M t s h qu c a b t đ ng th c tr i
H ăqu ă1 (B tăđ ngăth căJensen) V i m i hàm l i f ( x) trên I ( a, b) và v i
m i xi  I (a , b) (i  1, 2,..., n), ta luôn có b t đ ng th c:

f ( x1 )  f ( x2 )  ...  f ( xn )

n

 x  x  ...  xn 
f 1 2
.
n



(1.2.4)

Ch ngăminh Do tính ch t đ i x ng, không m t tính t ng quát, ta có th gi
s x1  x2  ...  xn . Khi đó, ta có
 x  x;
 1
 x1  x2  2 x;

.............
 x  x  ...  x  ( n  1) x;
2
n 1
 1
 x1  x2  ...  xn  nx,

trong đó x 

x1  x2  ...  xn
.

n

Khi đó, ta có: (x1, x2 ,..., xn ) (x, x,..., x).
Áp d ng b t đ ng th c tr i (1.2.2) cho hàm l i f ( x) , ta đ

12

c:


 

 

 







f x1  f x2  ...  f xn  f x  f x  ...  f x

   
 

 x  x  ...  x 
f  x   f  x   ...  f  x   nf 


n


f  x   f  x   ...  f  x 
 x  x  ...  x 
.
 f
n

 f x1  f x2  ...  f xn  n. f x



1

2

n

1

2

n

n

V y b t đ ng th c (1.2.4) đ





1

2

n

1

2

n

n




c ch ng minh.

ng th c x y ra khi và ch khi x1 = x2 = ... = xn .
H ăqu ă2ă(B tăđ ngăth căT.ăPopoviciu) V i m i hàm l i trên I  a ; b  và v i
m i x, y, z  I  a ; b  , ta đ u có b t đ ng th c:

 x y x
 x y
 y z
 z x
f  x  f  y   f  z   3 f 

2f 
2f 
2f 
.
3


 2 
 2 
 2 
(1.2.5)
Ch ngăminh Ta coi x  y  z. Khi đó s x y ra m t trong hai kh n ng:
x

x y z
x y z
 y  z ho c x  y 
 z.
3
3

Ta ch c n xét tr

ng h p x  y 

x y z
 z là đ .
3

Khi đó d dàng ki m tra

x y

x y z x y z x y z


 z,
3
3
3

x y x y x z x z y z y z





2
2
2
2
2
2

và

 x y z
 x  y y  z z  x
x  y  z  3



  2
.
3
2
2
2




Khi đó, ta có
13

Thang Long University Libraty


æ
ö æx + y x + y x + z x + z y + z y +
ççx,y, x + y + z , x + y + z , x + y + z ,z÷
,
,
,
,
,
÷ ç
çè
ø÷ èçç 2
3
3
3

2
2
2
2
2
Áp d ng b t đ ng th c tr i (1.2.2) cho hàm l i, ta đ

z ö÷
÷.
ø÷

c

æx + y + z ö÷
f (x)+ f ( y)+ f çç
÷+
èç
ø÷
3
æx + y ö÷
æx + y ö÷
æx +
çç
çç
+
+
f çç
f
f
÷

÷
çè 2 ø÷
çè 2 ø÷
èç 2

æx + y + z ö÷
æx + y + z ö÷
ç
f çç
f
+
÷
÷+ f (z)³
èç
ø÷
èçç
ø÷
3
3
æx + z ö÷
æy + z ö÷
æy + z ö÷
z ö÷
çç
çç
çç
+
+
+
f

f
f
÷
÷
÷
÷
÷
÷
÷
ç
ç
ø
è 2 ø
è 2 ø
èç 2 ø÷
æ x + yö
æ
ö
æx + y + z ö÷
çç f æ
÷
ç
çç x + z ÷
³
2
.
+
Û f (x)+ f ( y)+ f (z)+ 3. f çç
f
÷

÷
ç
÷+
çè
çè 2 ø÷
ø÷
3
èç èç 2 ø÷

V y b t đ ng th c (1.2.5) đ

æy +
f çç
èç 2

ö
z ö÷÷
.
÷
÷
ø÷÷
ø

c ch ng minh.

ng th c x y ra khi và ch khi x = y = z.
1.3

NGă D NGă KHÁIă NI Mă TR Iă TRONGă CH NGă MINHă B Tă
NGăTH C

Khái ni m tr i, th m chí ch riêng b t đ ng th c tr i, đ c bi t có l i

trong đánh giá (và tìm c c tr ) các đ i l

ng. Các thí d d

i đây minh h a

đi u này.
Cácăthíăd ăminhăh a
Thíăd ă1.3.1 Cho a , b, c  0 . Khi y

1 1 1
1
1 
 1
   2.


.
a b c
a b bc a c 
Ch ngă minh Không m t tính t ng quát, gi

(1.3.1)
s

a  b  c , suy ra

a  b  a  c  b  c . Khi đó, ta có:

2a  a  b;

2a  2b  2a  b  c   a  b    a  c  ;

2a  2b  2c   a  b    a  c    b  c .
Do đó ta có:  2a ,2b,2c 

 a  b, a  c, b  c .
14


Xét hàm s y  f  x 
Ta có: f   x  

1
v i x   0;   .
x

1
2
 f   x  3  0 v i x   0;   nên f  x là hàm l i
2
x
x

trên kho ng  0;  .
1
Áp d ng b t đ ng th c tr i (1.2.2) cho hàm y  f  x  , ta đ
x

c:

f  2a   f  2b   f  2c   f  a  b   f  a  c   f b  c 
1
1
1
1
1
1

 


2a 2b 2c a  b a  c b  c
1 1 1
1
1 
 1
    2


.
a b c
a b a c bc



D u b ng x y ra khi và ch khi a  b  c.
V y b t đ ng th c (1.3.1) đ

c ch ng minh.

Thíăd ă1.3.2ă([7], IMO 2000, Problem 2) Cho các s d

ng a,b,c th a mãn

đi u ki n a.b.c  1. Khi y


1
1
1
 a  1   b  1    c  1    1.
b 
c 
a

Ch ngăminh

(1.3.2)

x
y
z
t a  , b  , c  v i x, y, z > 0. Khi đó ta có:
y
z
x

a 1

1 x
z x z y
 1 
;
b y
y
y

1 y
x y x z
b 1  1 
;
c z
z
z
c 1

1 z
y z y x
 1 
.
a x
x
x

B t đ ng th c (1.3.2) tr thành

15

Thang Long University Libraty


 x  y  z y  z  x z  x  y  xyz.

(1.3.2.1)

Không h n ch t ng quát, coi x  y  z. Khi y x  y  z  0; z  x  y  0.
N u y  z  x  0 thì (1.3.2.1) hi n nhiên đúng.
N u y  z  x  0. Khi đó:
t a1  x, a 2  y, a 3  z và b1  x  y  z, b2  z  x  y, b3  y  z  x ta có:
a1  a 2  a 3 ; b1  b2  b3 và

a1  x  x  y  z  b1;

a1  a 2  x  y  2 x   x  y  z    z  x  y   b1  b2 ;

a1  a 2  a 3  x  y  z   x  y  z    z  x  y    y  z  x  b1  b2  b3 .

Do đó ta có:  a1 , a 2 , a3 

 b , b , b .
1

2

3

Xét hàm s y  f  x  ln x v i x  0;  .

Ta có: f   x 

1
1
 f   x   2  0 v i x   0;   nên f  x là hàm lõm
x
x

trên kho ng  0;  .
Áp d ng b t đ ng th c tr i (1.2.3) cho hàm y  f  x  ln x , ta đ

c:

ln a1  ln a 2  ln a 3  ln b1  ln b2  ln b3

 ln x  ln y  ln z  ln  x  y  z  ln  z  x  y  ln  y  z  x
 xyz   x  y  z z  x  y y  z  x.
B t đ ng th c (1.3.2.1) đ

c ch ng minh.

ng th c x y ra khi và ch khi x  y  z hay a  b  c  1.
V y b t đ ng th c (1.3.2) đ

c ch ng minh.

Thíă d ă 1.3.3 Cho 2n s th c d

ng ai , bi  i  1,2,...., n  th a mãn các đi u

ki n
a1  a 2  ...  a n ; b1  b2  ...  bn ; a1  b1; a1.a 2  b1.b2 ;...; a1.a 2 ...a n  b1.b2 ...bn .

Khi y
16


a1  a 2  ...  a n  b1  b2  ...  bn .

(1.3.3)

t xi  lnai ; yi  lnbi  i=1,2, ...,n  .

Ch ngăminh

V i các đi u ki n đã cho, ta có: x1  x2    xn ; y1  y2    yn và

 x1  y1 ;
x  x  y  y ;
1
2
 1 2
...
 x  x  ...  x  y  y  ....  y ;
n 1
n 1
1
2
 1 2
 x1  x2  ...  xn  y1  y2  ....  yn .

Do đó ta có:  x1 ,x2 ,....,xn 

 y , y ,...., y  .
1

2

n

Xét hàm s y=f  x=e x v i x   0;   .
Ta có: f   x  e x  f   x  e x  0 v i m i x   0;   nên f  x l i trên
kho ng  0;   .
Áp d ng b t đ ng th c tr i (1.2.2) cho hàm y=f  x  e x , ta đ

c:

ex  ex  ...  ex  e y  e y  ...  e y
1

n

2

1

n

2

 eln a  eln a  ...  eln a  eln b  eln b  ...  eln b

1

2

n

1

2

n

 a1  a 2  ...  a n  b1  b2  ...  bn .

ng th c x y ra khi và ch khi ai  bi , i=1,n .
V y b t đ ng th c (1.3.3) đ

c ch ng minh.

Thíăd 1.3.4 Cho a ,b là các s th c d
3

ng. Khi y

a  3 a  3 b 3 b  3 a  3 b  3 b 3 a.

Ch ngăminh Gi s b  a  0 .

(1.3.4)

t:

x1  b  3 b ; x2  b  3 a ; x3  a  3 b ; x4  a  3 a .

Khi đó x1 là s l n nh t, x4 là s nh nh t.
Ta có:

17

Thang Long University Libraty


 x  x2 ;
x1  x4 ; x2  x3 và  1
 x1  x4  x2  x3 .

Do đó ta có:  x1 ,x4 

 x ,x  .
2

3

Xét hàm s y  f  x  3 x trên  0;   .
Ta có: f   x 

1

2 1
  x   .


 0, x   0;   nên f  x là hàm
f
9 3 x5
3 3 x2

lõm trên  0;   .
Áp d ng b t đ ng th c tr i (1.2.3) cho hàm y  f  x  3 x , ta đ
3

c:

a  3 a  3 b 3 b  3 a  3 b  3 b 3 a.

ng th c x y ra khi và ch khi a  b.
V y b t đ ng th c (1.3.4) đ

c ch ng minh.

Thíă d ă 1.3.5ă ([7]) Cho n  4, 0  ai 


2

, i  1,2,..., n. Gi s

n

S :  ai  2 .
i 1

Khi y
n

S
4   sin ai  n sin .
n
i 1

(1.3.5)



Ch ngăminh Xét hàm s y  f  x  sin x v i x  0;  .
 2


Ta có: f   x  cos x  f   x   sin x<0 v i m i x  0;  nên f  x là
 2


hàm lõm trên 0;  .
 2
Không m t tính t ng quát, gi s

2

 a1  a 2  ....  a n  0.

a, T gi thi t bài toán, ta có:

18



 a1  2 ;

 a1  a 2     2 ;

2 2

3
2 ;
 a1  a 2  a 3    
2
2
2
2

....

a1  a 2  ....  a n 1      0  ....  0  2 ;
2 2 2 2

a1  a 2  ....  a n 1  a n  2 .

Do đó, ta có

 a ,a
1

2



,...,a n   , , , ,0,0,...,0  .
2 2 2 2


Áp d ng b t đ ng th c tr i (1.2.3) cho hàm y  f  x  sin x, ta đ

c:

 
 
 
 
sin a1  sin a 2  ...  sin a n  sin    sin    sin    sin    sin  0   ...  sin  0 
2
2
2
2

 sin a1  sin a 2  ...  sin a n  4
n

  sin ai  4 .

(1)

i 1

b, T gi thi t bài toán, ta có:
S a1  a 2  ...  a n a1  a1  ...  a1 n.a1



 a1
n
n
n
n

Khi y a1  a 2 
(*)  a1  a 2 
 a1  a 2 

S S
 (*). Th t v y:
n n

a1  a 2  ...  a n a1  a 2  ...  a n

n
n

a1  a 2 a1  a 2

  n  2 . a1  a 2   0 (luôn đúng v i n  4 ).
n

n

V y a1  a 2 

S S
 .
n n

19

Thang Long University Libraty


T

ng t , ta c ng có:

a1  a 2  ...  a n 1 

S S
S
  ...  ;
n n
n

a1  a 2  ...  a n 

S S
S
  ...  .

n n
n

n 1

n

Do đó, ta có:


S


;
a
1

n

a1  a 2  S  S ;

n n

.........

S S
S
a1  a 2  ...  a n 1    ...  ;
n n
n


1
n


S S
S

a1  a 2  ...  a n  n  n  ...  n .

n

V y

 a ,a
1

2

S
S S
,...,a n   , ,...,  .
n
n n

Áp d ng b t đ ng th c tr i (1.2.3) cho hàm f  x  sin x, ta đ

c:

S

S
S
sin a1  sin a 2  ...  sin a n  sin    sin    ...  sin  
n
n
n
n

S
 sin a1  sin a 2  ...  sin a n  n.sin  .
n

S
T (1) và (2), ta suy ra 4  sin a1  ...  sin a n  n.sin  
n
n
S
 4   sin ai  n sin  .
n
i 1

V y b t đ ng th c (1.3.5) đ

c ch ng minh.

20

(2)

Thớ d 1.3.6 ([7]) Cho a i , i 1,2,..., n l nh ng s nguyờn d

ng. Kớ hi u

n

S ai n . Khi y
i 1

ổS ử
(S - n + 1) + n - 1 a + a + ... + a n.ỗỗỗ ữữữ .
ốn ứ
2

2

2
1

2
2

2
n

(1.3.6)

Ch ngminh Xột hm s y = f (x)= x2 .
Ta cú: f Â(x)= 2 x ị f ÂÂ(x)= 2 > 0 nờn y = f (x)= x2 l hm l i.
Khụng lm m t tớnh t ng quỏt, gi s

a1 a 2 ... a n 1.

a, T gi thi t bi toỏn, ta cú:
S - n + 1 = a1 + a 2 + ... + a n - (n - 1) a1 + 1 + 1 + ... + 1- (n - 1)= a1 .
n- 1

S - n + 1 + 1 = a1 + a 2 + a3 + ... + a n - n + 2 = a1 + a 2 + ... + a n - (n - 2)
a1 + a 2 + 1 + 1 + ... + 1- (n - 2)= a1 + a 2 .
n- 2

T

ng t , ta cú:

(S - n + 1)+ 1 + ... + 1 a1 + a 2 + ... + a n- 1 .
n- 1

(S - n + 1)+ 1 + ... + 1 = S - (n - 1)+ 1 + 1 + ... + 1 = a1 + a 2 + ... + a n .
n- 1

Do ú ta cú:
ỡù
ùù
ùù S - n + 1 a1 ;
ùù S - n + 1 + 1 a + a ;
1
2
ùù
ùớ ...

ùù
ùù (S - n + 1)+ 1 + ... + 1 a1 + a 2 + ... + a n- 1 ;
ùù
n- 1
ùù
ùùợ S - n + 1 + 1 + ... + 1 = a1 + a 2 + ... + a n .

Khi ú
21

Thang Long University Libraty


, , ,...,1) (a1 ,a 2 ,a3 ,...,a n ).
(S - n + 111
Áp d ng b t đ ng th c tr i (1.2.2) cho hàm y = f (x)= x2 , ta đ

c:

(S - n + 1) + 12 + 12 + ... + 12 ³ a12 + a 22 + ... + a n2
2

n- 1

Û (S - n + 1) + n - 1³ a12 + a 22 + ... + a n2 .
2

b, T

(1)

ng t nh Thí d 1.3.5, ta có:


S

 a1  n ;

 a1  a 2  S  S ;

n n

.........

S S
S
a1  a 2  ...  a n 1    ...  ;
n n
n

n
1


S S
S









a
a
...
a
...
.
1
2
n

n n
n

n

S
S S
Khi đó, ta có:  a1 ,a 2 ,...,a n   , ,...,  .
n
n n
Áp d ng b t đ ng th c tr i (1.2.2) cho hàm y = f (x)= x2 , ta đ

æS ö
S
S
.

a  ...  a     ...    Û a12 + ... + a n2 ³ n.çç ÷
÷
÷
ç
è
ø
n
n
n
 
 
2

2
1

2

2

2
n

(2)

n

T (1) và (2), ta đ

c:

2

S
 S  n  1  n  1  a  ...  a  n.  .
n
2

V y b t đ ng th c (1.3.6) đ

c:

2
1

c ch ng minh.

22

2
n


Thíăd ă1.3.7 (

thi k t thúc h c ph n cao h c, chuyên đ b t đ ng th c,

i

h c à N ng) Cho a ,b,c là 3 s th c th a mãn đi u ki n

0  c  b  a  8;

a  b  13;
a  b  c  15.

Tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t c a bi u th c M  a 2  b2  c2 .
Ch ngăminh T g i thi t bài toán, ta có: a  b  c , 8  5  2 và

0  a  8;

a  b  8  5;
a  b  c    5  2.

Do đó ta có: 8,5,2

 a,b,c  .

Xét hàm s y  f  x  x2 v i x  .
Do f   x  2 x  f   x  2  0 nên y  f  x  x2 là hàm l i trên
Áp d ng b t đ ng th c tr i (1.2.2) cho hàm y  f  x  x2 , ta đ

.

c:

f  a   f  b   f  c   f  8  f  5  f  2 

 a 2  b2  c2  82  52  22  93
 M  93.

V y max M = 93 đ t đ

c khi a = 8, b = 5, c = 2.

Áp d ng b t đ ng th c Bunhiacopxki cho b s

1.a  1.b  1.c   1
2

2

(a , b, c) và (1,1,1) ta đ c:

 12  12  a 2  b2  c2 

 152  3. a 2  b 2  c 2   a 2  b2  c2  75.

V y min M = 75 đ t đ

c khi a  b  c  5.

Thíă d ă 1.3.8 Cho a ,b,c là ba s

th c th a mãn: 1  a ,b,c  1 và

1
a  b  c   . Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c A a12  b12  c12 . .
2
23

Thang Long University Libraty


Gi iăKhông m t tính t ng quát, gi s a  b  c . Khi đó:

 a  1;

1
1
1
a  b    c    1  ;
2
2
2

a  b  c   1 .

2

 1

Do đó ta có:  a ,b,c  1, ,1 .
 2 
Xét hàm s

y  f  x  x12 trên  1;1.

Ta có: f   x  12 x11  f   x  132.x10  0 v i x  1;1 nên y  f  x  x12
làm hàm l i trên  1;1 .
Áp d ng b t đ ng th c tr i (1.2.2) cho hàm y  f  x  x12 , ta đ

c:

 1
f  a   f  b   f  c   f 1  f     f  1
 2
12
12
 1
12
12
12
12
 a  b  c  1       1
 2
1
 a 12  b12  c12  2  12 .
2

V y max A 2 
K tălu năCh

1
, đ tđ
212

ngă1ăCh

1
c khi a  1; b   ; c  1.

2

ng 1 trình bày các ki n th c c b n v khái ni m

tr i, hàm l i, hàm lõm, d u hi u nh n bi t hàm l i, hàm lõm, đ c bi t là khái
ni m hàm l i Shur cho ta b t đ ng th c tr i. Ngoài ra, trong Ch
gi i thi u m t s

ng 1 c ng

ng d ng c a b t đ ng th c tr i vào vi c ch ng minh m t s

b t đ ng th c. Qua đó cho th y th m nh c a b t đ ng tr i trong ch ng minh
các b t đ ng th c là r t đa d ng và hi u qu , áp d ng b t đ ng th c tr i m t
cách h p lỦ cho ta ngay k t qu c n đ t đ

24

c.