Luận văn sư phạm Khai thác bài tập chủ đề Quan hệ vuông góc (Hình học 11)

PH N I - M

U

1.1. Lí do ch n đ tƠi
Ho t đ ng gi i toán lƠ ho t đ ng mƠ thông qua gi i bƠi t p, h c sinh ph i th c
hi n nh ng ho t đ ng nh t đ nh bao g m c nh n d ng vƠ th hi n đ nh ngh a, đ nh
lí, quy t c hay ph

ng pháp, nh ng ho t đ ng toán h c ph c h p, nh ng ho t đ ng

trí tu ph bi n trong Toán h c. Do v y đòi h i ng
ch đ o trong ho t đ ng d y h c ph i có ph

i th y giáo - ng

i gi vai trò

ng pháp d y h c thích h p nh m

nơng cao hi u qu quá trình nh n th c c a h c sinh, đáp ng yêu c u vƠ m c tiêu
d y h c.

góp ph n lƠm đ

c đi u đó, giáo viên c n l a ch n nh ng ki n th c c

b n, tr ng tơm trong t ng bƠi h c, xơy d ng h th ng cơu h i, bƠi t p c ng c ki n
th c, đ a h c sinh vƠo tình hu ng có v n đ .
Hình h c lƠ phơn môn có tính h th ng r t ch t ch , có tính lôgic vƠ tính tr u
t

ng hóa cao h n so v i các phơn môn khác c a Toán h c, có th nói hình h c lƠ

phơn môn khó trong môn Toán đ i v i nhi u h c sinh, đ c bi t lƠ ph n hình h c
không gian l p 11, trong đó có ch

ng “Quan h vuông góc”.

V m t lí thuy t, đ nh ngh a vƠ tính ch t c a phơn môn hình h c rõ rƠng, ng n
g n, chính xác. Tuy nhiên đ lƠm bƠi t p h c sinh còn lúng túng, ng nh n. Vì v y
c n đ a ra cho h c sinh nh ng bƠi t p v n d ng đ giúp h c sinh c ng c lí thuy t,
rèn luy n k n ng, sáng t o cái m i trên c s nh ng đi u đƣ bi t.
Vì nh ng lí do trên mƠ em ch n đ tƠi lƠ :
“Khai thác bƠi t p ch đ “Quan h vuông góc” (Hình h c 11)”.
1.2.

M c tiêu - nhi m v nghiên c u

1.2.1. M c tiêu nghiên c u
- Nghiên c u lí lu n chung v bƠi t p toán h c.
- Nghiên c u ch đ quan h vuông góc c a hình h c không gian l p 11 THPT.
- Khai thác bƠi t p trong ch đ “Quan h vuông góc”.
1.2.2. Nhi m v nghiên c u
- Nghiên c u c s lí lu n nh m xơy d ng h th ng các bƠi t p ph c v gi ng d y
ch

ng " Quan h vuông góc" trong hình h c không gian l p 11 THPT .

1

PH N II – N I DUNG
CH

NG 1: C S Lí LU N

2.1.1. BƠi t p toán h c
Bài t p toán h c có vai trò quan tr ng trong môn Toán.

i u c n b n lƠ bƠi t p

có vai trò giá mang ho t đ ng c a h c sinh. Thông qua gi i bƠi t p, h c sinh ph i
th c hi n nh ng ho t đ ng nh t đ nh bao g m c nh n d ng vƠ th hi n đ nh ngh a,
đ nh lí, quy t c hay ph

ng pháp, nh ng ho t đ ng Toán h c ph c h p, nh ng ho t

đ ng trí tu ph bi n trong Toán h c. Ho t đ ng c a h c sinh liên h m t thi t v i
m c tiêu, n i dung vƠ ph
đ

ng pháp d y h c, vì v y vai trò c a bƠi t p toán h c

c th hi n trên c ba bình di n nƠy:
Th nh t, trên bình di n m c tiêu d y h c, bƠi t p toán h c

tr

ng ph thông

lƠ giá mang nh ng ho t đ ng mƠ vi c th c hi n các ho t đ ng đó th hi n m c đ
đ t m c tiêu. M t khác, nh ng bƠi t p c ng th hi n nh ng ch c n ng khác nhau
h

ng đ n vi c th c hi n các m c tiêu d y h c môn Toán, c th lƠ:
+ Hình thƠnh c ng c tri th c, k n ng, k x o

nh ng khơu khác nhau c a quá

trình d y h c, k c k n ng ng d ng Toán h c vƠo th c ti n.
+ Phát tri n n ng l c trí tu : Rèn luy n nh ng ho t đ ng t duy, hình thƠnh
nh ng ph m ch t trí tu .
+B id
đ c c a ng

ng th gi i quan duy v t bi n ch ng, hình thƠnh nh ng ph m ch t đ o
i lao đ ng m i.

Th hai, trên bình di n n i dung d y h c, nh ng bƠi t p Toán h c lƠ giá mang
ho t đ ng liên h v i nh ng n i dung nh t đ nh, m t ph
đ hoƠn ch nh hay b sung cho nh ng tri th c nƠo đó đƣ đ

ng ti n cƠi đ t n i dung
c trình bƠy trong ph n

lí thuy t.
Th ba, trên bình di n ph
đ ng đ ng

ng pháp d y h c, bƠi t p toán h c lƠ giá mang ho t

i h c ki n t o nh ng tri th c nh t đ nh vƠ trên c s đó th c hi n các

m c tiêu d y h c khác. Khai thác t t nh ng bƠi t p nh v y s góp ph n t ch c
cho h c sinh h c t p trong ho t đ ng vƠ b ng ho t đ ng t giác, tích c c, ch đ ng
vƠ sáng t o đ

c th c hi n đ c l p ho c trong giao l u.

2


Trong th c ti n d y h c, bƠi t p s d ng v i nh ng d ng ý khác nhau v
ph

ng pháp d y h c:

m b o trình đ xu t phát, g i đ ng c , lƠm vi c v i n i

dung m i, c ng c ho c ki m tra,…

c bi t lƠ v m t ki m tra, bƠi t p lƠ ph

ng

ti n đ đánh giá m c đ , k t qu d y vƠ h c, kh n ng lƠm vi c đ c l p vƠ trình đ
phát tri n c a h c sinh,…
2.1.2. Vai trò, ý ngh a c a bƠi t p toán
2.1.2.1.

C ng c các ki n th c c b n cho h c sinh

Trong th c t , môt bƠi t p toán h c ch a đ ng nhi u ki n th c v khái ni m
toán h c vƠ các k t lu n toán h c. Khi gi i m t bƠi t p đòi h i ta ph i phơn tích các
d ki n c a bƠi t p, huy đ ng các ki n th c đƣ cho trong đ bƠi vƠ ki n th c đƣ bi t
có liên quan đ n bƠi t p, t ng h p l i đ đ ra các ki n th c m i. VƠ c nh v y
các ki n th c m i đ

c tìm ra l i cùng các ki n th c đƣ bi t tr

cđ

c phơn tích,

t ng h p l i đ đ ra các ki n th c m i n a. Cu i cùng chúng ta đi đ n đ

cl i

gi i bƠi t p.
Nh v y, khi gi i m t bƠi t p toán h c không nh ng ch các ki n th c đƣ có
trong bƠi t p, mƠ c m t h th ng ki n th c liên quan t i bƠi t p c ng đ

c c ng c

qua l i nhi u l n.
2.1.2.2.

Rèn luy n và phát tri n t duy cho h c sinh

c đi m n i b t c a môn toán lƠ m t môn khoa h c suy di n, đ

b ng ph

c xơy d ng

ng pháp tiên đ . Do v y, l i gi i c a bƠi t p toán h c lƠ m t h th ng

h u h n các thao tác có th t ch t ch đ đi đ n m t m c đích rõ r t. Vì v y gi i
m t bƠi t p có tác d ng tr c ti p rèn luy n cho ta n ng l c s d ng các suy lu n
lôgic : Suy lu n có c n c đúng, suy lu n theo quy t c suy di n.
Chúng ta bi t r ng không có m t ph

ng pháp chung nƠo đ gi i đ

c m i bƠi

t p toán h c. M i bƠi t p có m t hình, m t v khác nhau, mu n tìm đ

c l i gi i

bƠi t p chúng ta ph i bi t phơn tích, ph i bi t cách d đoán k t qu , bi t cách ki m
tra d đoán, bi t cách liên h v i các v n đ t

ng t g n gi ng nhau, bi t cách suy

lu n t ng h p, khái quát hoá. Nh v y, qua vi c gi i bƠi t p toán h c, n ng l c t
duy sáng t o đ

c rèn luy n vƠ phát tri n.

3

2.1.2.3.

Rèn luy n k n ng v n d ng các ki n th c toán h c cho h c sinh

M t trong nh ng yêu c u c a vi c n m v ng các ki n th c c a b t c b môn
khoa h c nƠo lƠ hi u, nh vƠ v n d ng các ki n th c c a b môn khoa h c đó vƠo
vi c gi i quy t các nhi m v đ t ra, t c lƠ gi i quy t đ

c các bƠi t p đ t ra trong

l nh v c khoa h c đó.
Trong d y h c khái ni m toán h c: BƠi t p toán h c đ

c s d ng đ t ch c

gơy tình hu ng nh m d n d t h c sinh có th đi đ n đ nh ngh a khái ni m, bƠi t p
đ

c s d ng đ lƠm các ví d ho c ph n ví d minh h a cho khái ni m; BƠi t p

toán h c đ

c s d ng đ luy n t p, c ng c , v n d ng khái ni m.

Trong d y h c đ nh lý toán h c: BƠi t p toán h c có th s d ng đ t ch c gơy
tình hu ng d n d t h c sinh phát tri n ra n i dung đ nh lí toán h c; BƠi t p có th
s d ng đ h c sinh t p v n d ng đ nh lý, đ c bi t lƠ vi c t ch c h

ng d n hoc

sinh t p tìm ra l i gi i cho m t bƠi t p c b n, có nhi u ng d ng trong m t ph n
hay m t ch

ng nƠo đó c a môn h c.

Trong luy n t p toán h c: BƠi t p toán h c lƠ ph

ng ti n ch y u trong các ti t

luy n t p, ôn t p. Trong đó, giáo viên ph i xơy d ng đ

c h th ng bƠi t p có liên

quan ch t ch v i nhau, nh m giúp h c sinh c ng c ki n th c vƠ hình thƠnh m t
s k n ng c b n nƠo đó.
2.1.2.4.

B id

ng và phát tri n nhân cách cho h c

i m c b n trong tính cách con ng
rƠng. khi gi i bƠi t p ta luôn có đ nh h

i lƠ : M i ho t đ ng đ u có m c đích rõ
ng m c đích rõ r t, vì v y vi c gi i bƠi t p

s góp ph n tích c c vƠo vi c rèn luy n n ng l c ho t đ ng c a con ng

m t bƠi t p nh t lƠ đ i v i bƠi t p khó, ng

i gi i ph i v

i.

gi i

t qua nhi u khó kh n,

ph i kiên trì, nh n n i vƠ nhi u khi ph i quy t tơm r t l n m i gi i đ

c m t bƠi

t p.
Ho t đ ng gi i bƠi t p chính lƠ nhơn t ch y u c a quá trình hình thành và phát
tri n nhơn cách con ng
2.1.3. Ph

i.

ng pháp tìm l i gi i bƠi t p toán h c

4


2.1.3.1.

Ph

ng pháp đi xuôi

Xu t phát t các gi thi t c a bƠi t p toán h c đ

c l y lƠm ti n đ . B ng suy

lu n h p lôgic chúng ta tìm ra các h qu lôgic c a các ti n đ đó. Ti p t c ch n
l c trong đó đ l y ra các h qu g n g i v i k t lu n c a bƠi t p lƠm ti n đ m i.
L i b ng suy lu n h p lôgic chúng ta tìm ra các h qu h p lôgic m i g n g i v i
k t lu n. C ti p t c quá trình đó chúng ta tìm đ
c a bƠi t p toán h c. Khi y ta tìm đ
Ph

ng pháp nƠy đ

c h qu lôgic trùng v i k t lu n

c l i gi i cho bƠi t p.

c mô t theo s đ sau:

A C 
 X
B  D

(trong đó A,C lƠ gi thi t, X lƠ k t lu n)
2.1.3.2.

Ph

ng pháp đi ng

c

ó lƠ quá trình xu t phát t k t lu n c a bƠi t p. B ng suy lu n h p lôgic
chúng ta đi ng

c lên đ tìm các ti n đ logic c a k t lu n.

Ti p t c, chúng ta ch n l c trong đó đ l y ra ti n đ g n g i v i gi thi t m i
c a k t lu n m i nƠy. Quá trình y đ
trùng v i gi thi t c a bƠi t p, ta đ
Ph

ng pháp nƠy đ

c ti p di n ta tìm đ

c các ti n đ lôgic

c l i gi i c a bƠi t p.

c mô t theo s đ sau:

C  A
X
D  B

A

(trong đó A,C lƠ gi thi t, X lƠ k t lu n)
2.1.3.3.

Ví d

Ta c n ch ng minh m nh đ sau đơy :
“ N u trong t di n ABCD ta có AB
và AC

BD thì ta có AD

H
C

CD

D

BC”.

Gi i:
+ Dùng ph

ng pháp đi ng

X

B

c

Hình 1

5


Mu n ch ng minh AD BC, ta ch c n tìm đ

c m t đi m X sao cho AX  BC va

DX  BC. N u g i H là tr c tâm c a tam giác ABC thì ta có
AH  BC. Ta hãy th xem DH có vuông góc v i BC hay không?
Chú ý r ng CH  AB và theo gi thi t CD  AB v y DH  AB; BH  AC và
theo g a thi t BD  AC, v y DH  AC. T đó suy ra DH  BC, t đó ta có m nh
đ đ

c ch ng minh.

+ Dùng ph

ng pháp đi xuôi

G i H là tr c tâm c a tam giác ABC, ta có DH  AC, ngoài ra theo gi thi t
BD  AC, v y DH  AC. Ta l i có CD  AB và theo gi thi t CD  AB, v y
DH  AB vì DH  AC và DH  AB nên DH  BC. Ta l i còn AH  BC, do đó
AD  BC.
+ K t h p c hai ph
Thông th
xuôi vƠ đi ng
2.1.4. Ph

ng pháp

ng đ gi i đ oc bƠi t p, ta ph i k t h p c hai ph

nng pháp đi

c.

ng pháp chung đ gi i m t bƠi t p toán h c

D a trên nh ng t t

ng t ng quát cùng v i nh ng g i ý chi ti t c a Pôlya

(1975) v cách th c gi i bƠi t p toán h c đƣ đ

c ki m nghi m trong th c ti n, ta

có ph

ng pháp chung đ gi i bƠi t p toán h c nh sau:

- B

c 1: Tìm hi u n i dung đ bƠi

+ Phát bi u đ bƠi d

i nh ng d ng th c khác nhau đ hi u rõ n i dung bƠi t p.

+ Phơn bi t cái đƣ cho vƠ cái ph i tìm, ph i ch ng minh.
+ Có th dùng công th c, kí hi u, hình v đ h tr cho vi c di n t đ bƠi.
- B

c 2: Cách tìm l i gi i

+ Tìm tòi, phát hi n cách gi i nh nh ng suy ngh có tính ch t tìm đoán: bi n đ i
cái đƣ cho, bi n đ i cái ph i tìm hay ph i ch ng minh, liên h cái đƣ cho ho c cái
ph i tìm v i nh ng tri th c đƣ bi t, liên h bƠi t p c n gi i v i m t bƠi t p c t
t , m t tr

ng

ng h p riêng, m t bƠi t p t ng quát h n hay m t bƠi t p nƠo đó có liên

6


quan, s d ng nh ng ph

ng pháp đ c thù v i t ng d ng toán nh ch ng minh

ph n ch ng, quy n p toán h c, toán d ng hình, toán qu tích v.v,...
+ Ki m tra l i gi i b ng cách xem l i k t ng b
qu tìm đ

c th c hi n ho c đ c bi t hóa k t

c ho c đ i chi u k t qu v i m t s tri th c có liên quan, ...

+ Tìm tòi nh ng cách gi i khác, so sánh chúng đ ch n đ
- B

c 3: Trình bƠy l i gi i

T cách gi i đƣ đ
g m các b
- B

c cách gi i h p lí nh t.

c phát hi n, s p x p các vi c ph i lƠm thƠnh m t ch

c theo m t trình t thích h p vƠ th c hi n các b

ng trình

c đó.

c 4: Nghiên c u sơu l i gi i

+ Nghiên c u kh n ng ng d ng k t qu c a l i gi i.
+ Nghiên c u gi i bƠi t p t

ng t , m r ng hay l t ng

cv nđ .

Ví d :

Cho hình chóp S.ABCD, SA  (ABCD), ABCD là hình vuông, AE  SB, AF 
SD. Ch ng minh: SC  (AEF).
Gi i:
+B

c 1: Tìm hi u n i dung đ bƠi:

Gi thi t: Cho hình chóp S.ABCD, SA  mp(ABCD), ABCD là hình vuông,
S

AE  SB, AF  SD.
K t lu n: SC  mp (AEF).
+B

c 2: S đ phơn tích tìm l i gi i :

F
D

SC  mp(AEF)

SC  AE

và


AE  mp(SBC)

(Gi thi t)

C

E

SC  AF

A



B

Hình 2

AF  mp(SBC)

BC  mp(SAB)


7


BC  AB

BC  SA

và





(Gi thi t)
+B

SA  mp(ABCD)

c 3: Trình bƠy l i gi i:

( B ng ph

ng pháp ch ng minh phân tích đi lên).

Ta có :

AE

Mà
Hoàn toàn t

SC

(1)

ng t ta có SC  AF

(2)

T (1) và (2)  ta có SC  (AEF).
+B

c 4: Nghiên c u sơu l i gi i

2.1.5. Các cách khai thác bƠi t p toán
2.1.5.1.

C u t o c a m t bài t p toán : g m có ba b ph n:

- Nh ng cái đƣ cho.
- Cái ph i tìm.
- Các m i quan h .
S đ m it

ng quan gi a ba b ph n c a bƠi t p toán vƠ ba b ph n c a phép

Cái đã cho

Thành ph n

Cái ph i tìm

K t qu

Quan h

2.1.5.2.

Các ph

Phép tính gi i

BƠi t p

tính gi i

ng pháp gi i

Khai thác bài t p m i trên c s bài t p đã có

2.1.5.2.1. Các bƠi t p m i t

ng t v i bƠi t p đƣ gi i

- Sau khi h c sinh gi i xong m i bƠi t p, giáo viên có th d a vƠo bƠi t p đó mƠ
ngh ra các bƠi t p t

ng t v i bƠi t p v a gi i. Giáo viên l p đ toán theo ki u

8


nƠy lƠ m t bi n pháp r t t t đ h c sinh n m v ng các cách gi i các bƠi toán cùng
lo i, giúp h c sinh n m rõ h n m i quan h gi a các đ i l

ng vƠ nh ng quan h

b n ch t trong m i lo i toán. Nh th mƠ h c sinh hi u bƠi t p nƠy sơu s c h n r t
nhi u.
- BƠi t p có th đ

c l p m i t bƠi t p đƣ cho thông qua các cách sau:

+ Thay đ i các s li u đƣ cho.
+ Thay đ i các đ i t

ng trong đ toán.

+Thay đ i các quan h trong đ toán.
+ T ng ho c gi m đ i t

ng trong đ toán.

+Thay m t trong nh ng ch đƣ cho b ng m t đi u ki n gián ti p.
+ Thay đ i cơu h i c a bƠi t p b ng m t cơu h i khó h n.
- Ví d :
A

Bài t p 31/sgk nâng cao hình h c 11/trang 117:
Cho hình l p ph

B

ng ABCD.A’B’C’D’ có c nh b ng a.

Tính kho ng cách gi a hai đ

ng th ng BC’ vƠ CD’.

D

Gi i:

C
G’

A’

Ta có CD’  (ACD’) vƠ BC’  (A’BC’),
mƠ (ACD’) // (A’BC’) vƠ CD’, BC’

G

B’

D’

chéo nhau nên kho ng cách gi a hai (ACD’)

C’

Hình 3

vƠ (A’BC’) b ng kho ng cách gi a BC’ vƠ CD’.
M t khác, B’D c t hai (ACD’) vƠ (A’BC’) l n l
DG = GG’ = G’B’.

ng th ng B’D có hình chi u trên (ABCD) lƠ DB mƠ

AC  DB nên theo đ nh lí ba đ

ng vuông góc thì DB’  AC; c ng t

trên ta có BD’  AD’. Suy ra DB’  (ACD’).
Nh v y d(BC’, CD’) =
- Các bài t p m i t

t t i G vƠ G’ vƠ

DB ' a 3

.
3
3

ng t :

+ Thay đ i s li u đã cho:

9

ng t nh


Cho hình l p ph
hai đ

ng ABCD.A’B’C’D’ có c nh b ng 2a. Tính kho ng cách gi a

ng th ng BC’ vƠ CD’.

( Gi i t

ng t vƠ ta có k t qu d(BC’, CD’) =

+ Thay đ i các đ i t
Cho hình l p ph
đ

DB ' 2a 3

.)
3
3

ng trong đ toán:

ng EFGH.E’F’G’H’ có c nh b ng a. Tính kho ng cách gi a hai

ng th ng FG’ vƠ GH’.

( Gi i t

ng t vƠ ta thay BC’ b ng FG’ vƠ CD’ b ng GH’ có k t qu

d(FG’, GH’) =

HF ' a 3

.)
3

3

+ T ng (ho c gi m) đ i t
Cho hình l p ph

ng trong đ toán:

ng ABCD.A’B’C’D’ có c nh b ng a, đi m O lƠ giao c a AC vƠ

BD,O’ lƠ giao c a A’C’ vƠ B’D’. Tính kho ng cách gi a hai đ

ng th ng BC’ vƠ

CD’.
( Gi i gi ng nh bƠi t p ban đ u vƠ ch thêm đi m O vƠ O’ vƠo hình v ta c ng có
k t qu lƠ d(BC’, CD’) =

DB ' a 3

.)
3
3

+ Thay m t trong nh ng ch đã cho b ng m t đi u ki n gián ti p:
Cho hình l p ph

ng ABCD.A’B’C’D’ có c nh b ng a. Tìm đ

ng vuông góc

chung c a các đ

ng th ng AC’ vƠ CD’. Tính kho ng cách gi a hai đ

ng th ng

y.
Gi i:
Vì các c nh đ u b ng a nên CD’  C’D.M t khác AD  (CDD’C’) nên
CD’  AC’ vƠ CD’  (AC’D).

A

D

K IJ vuông góc v i AC’ t i J thì IJ là
đ

ng vuông góc chung c a AC’ vƠ CD’.

B

C

Ta tính kho ng cách gi a AC’ vƠ CD’.
D th y

I

C'D

IJ
IC '
Suy ra IJ  AD.

2 AC '
AD AC '

10

A’

B’

J
D’

C’


M t khác C ' D  a 2 . V y IJ  a 2.

a 2 a
 .
2.2a 2

+ Thay đ i câu h i c a bài t p b ng m t câu h i khó h n.

Hình 4

Cho hình h p ABCD.A’B’C’D’ có c nh b ng 2a, có đáy ABCD lƠ hình thoi và

฀
฀ '  DAA
฀ '  600 . Tính kho ng cách gi a hai đ
BAD
 BAA

ng th ng (ABCD) vƠ

(A’B’C’D’).
Gi i:
T gi thi t ta suy ra các tam giác A’AD, BAD, A’AB lƠ các tam giác cơn cùng có
góc

đ nh b ng 60 0 nên chúng lƠ các tam giác đ u. Nh v y:

T di n A’ABD có các c nh cùng b ng a hay A’ABD lƠ t di n đ u. Khi đó hình
B’

chi u c a A’ trên mp(ABCD) chính lƠ tr ng
tâm H c a tam giác đ u ABD.

C’

A’

Kho ng cách gi a hai m t ph ng đáy (ABCD)

D’

vƠ (A’B’C’D’) chính lƠ đ dƠi A’H . Ta có :

B

2

a 3
a 2 2a 2
2
A' H  AA'  AH  a  
  a  
3
3
 3 
2

V y A' H 

2

2

C

H

2

D

A

a 6
.
3

Hình 5

2.1.5.2.2. BƠi t p m i ng

c v i bƠi t p đƣ gi i

- Trong m t bƠi t p n u ta thay m t trong nh ng đi u đƣ cho b ng đáp s c a bƠi
t p vƠ đ t cơu h i vƠo đi u đƣ cho y thì ta đ

c m t bƠi toán ng

c.

- ơy c ng lƠ m t cách hay dùng đ d a vƠo các bƠi t p c mƠ đ t ra đ bƠi t p m i
b ng cách đ o ng

c bƠi t p đƣ bi t.

- Ví d :
Bài t p 5a/sgk nâng cao hình h c 11/trang 91:
Trong không gian cho tam giác ABC.
a. Ch ng minh r ng n u đi m M thu c mp(ABC) thì có ba s x, y, z mà








x + y + z = 1 sao cho OM  xOA yOB  zOC v i m i đi m O.
Gi i :

O

11

C
A
M






Vì AB và AC lƠ hai vect không cùng ph

ng nên







đi m M thu c (ABC) khi vƠ ch khi có: AM  l AB  mAC
 



 

 

 



hay OM  OA  l OC  OA  m OC  OA
V í m i đi m O t c lƠ

 

OM  1  l  m OA lOB  mOC

đ t 1  l  m  x, l  y, m  z thì

Hình 6



 
OM  xOA yOB  zOC v i x + y + z = 1.

+ Bài toán ng

c:

Bài t p 5b/sgk nâng cao hình h c 11/trang 91:
Trong không gian cho tam giác ABC.









  
 
 
OM  1  y  z OA yOB  zOC hay OM  OA  yAB  zAC



 
T c lƠ AM  yAB  zAC mà AB và AC lƠ hai vect không cùng ph

ng

b. N u có m t đi m O trong không gian sao cho OM  xOA yOB  zOC , trong đó
x + y + z = 1 thì đi m M thu c (ABC).
Gi i:








T OM  xOA yOB  zOC v i x + y + z = 1 , ta có :

nên đi m M thu c (ABC) .
2.1.5.2.3. Khai thác bƠi t p hoƠn toƠn m i
- Trong th c t gi ng d y có nhi u khi giáo viên ph i khai thác nh ng đ toán hoƠn
toƠn m i nh m ph c v cho nh ng yêu c u gi ng d y c a riêng mình. B i vì không
ph i lúc nƠo sách giáo khoa vƠ sách bƠi t p c ng có đ lo i bƠi t p đ đáp ng m i
nhu c u trong lúc lên l p. Th c ra giáo viên có th tìm t y các đ toán y trong các
lo i sách khác song hi n nay sách tham kh o v môn Toán

THPT có r t nhi u do

đó: vi c s u t m vƠ tra c u trong c m t “r ng sách” đ tìm đ
đáp ng đ

c m t đ bƠi t p

c nhu c u gi ng d y c a riêng mình nhi u khi t n th i gian vƠ ch a

ch c đƣ thƠnh công.

12

Vì th giáo viên ch ng nh ng ph i có k n ng khai thác đ toán m i t

ng t v i đ

toán đƣ cho mƠ còn ph i khai thác bƠi toán hoƠn toƠn m i d a trên m t s cách
th c sau:
+ Khai thác đ bƠi t p t n i dung th c t đƣ đ nh tr

c.

+ Khai thác đ bƠi t p t vi c ráp n i các bƠi t p toán đ n vƠ các bƠi t p đi n hình.
-

Ví d :

+ Khai thác đ bƠi t p t n i dung th c t đƣ đ nh tr

c

Trong th c t mu n tìm kho ng cách t m t đi m b t kì t sƠn nhƠ t i m t ph ng
tr n nhƠ ta ch c n k hình chi u vuông góc c a đi m đó lên tr n nhƠ, hình chi u
vuông góc y chính lƠ kho ng cách c n tìm.
T n i dung th c t nƠy có th ra đ bƠi t p nh sau:
Cho hình l p ph

ng ABCD.A’B’C’D’, có AB = a, AD = b, AA’ = c.
A

Tính kho ng cách t đi m B đ n (ACC’A’).

D
H

Gi i:
K BH vuông góc v i AC, do BH  AA’

B

C
A’

nên d(B; (ACC’A’)) = BH. Ta có:

D’

BH . AC = BA . BC.
Hay BH =

B’

ab

C’

Hình 7

a 2  b2

+ Khai thác đ bƠi t p t vi c ráp n i các bƠi t p toán đ n vƠ các bƠi t p đi n hình.

Ví d :
Bài 1:Cho t di n OABC có OA, OB, OC đôi m t vuông góc v i nhau, H lƠ hình
A

chi u vuông góc c a đi m O trên (ABC).
Ch ng minh r ng :BC  (OAH)
Gi i:

H

T gi thi t : OH  (ABC)



OH  BC. (1)

C
O

OA  OB
 OA  (OBC )  OA  BC (2)
Ta có: 
OA  OC

T (1) vƠ (2)



BC  (OAH)

B

13

Hình 8


Bài 2: Cho t di n OABC có OA, OB, OC đôi m t vuông góc v i nhau, H lƠ hình
chi u vuông góc c a đi m O trên mp(ABC). Ch ng minh r ng các góc c a tam
giác ABC đ u nh n.
Gi i:
Gi s OA = a, OB = b, OC = c, xét tam giác ABC vuông t i O, ta có:
AB2  OA2  OB2  a 2  b 2 ,
BC 2  OB2  OC 2  b 2  c 2 ,
AC 2  OA2  OC 2  a 2  c 2 .
AB2  AC 2  BC 2 a 2  b 2  a 2  c 2  (b 2  c 2 )
฀
฀ nh n.

 0  BAC
cos BAC 
2
2
2
2
2 AB. AC
2 a b . a c

Ch ng minh t

ng t ta đ

฀ ,฀
ACB đ u nh n.
c các góc BCA

V y các góc c a tam giác ABC đ u nh n.
T hai bƠi toán có cùng gi thi t ta có th g p thƠnh m t bƠi toán m i nh sau :
Cho t di n OABC có OA, OB, OC đôi m t vuông góc v i nhau, H lƠ hình chi u
vuông góc c a đi m O trên (ABC).
a. Ch ng minh r ng :BC  (OAH)
b. Ch ng minh r ng các góc c a tam giác ABC đ u nh n.
(Cách gi i t

ng t nh trên).

2.1.5.2.4. Khai thác bƠi toán b ng cách khái quát hóa
- Có m t h
tr

ng quan tr ng đ khai thác các bƠi toán m i lƠ d a trên m t s

ng h p c th , dùng phép quy n p không hoƠn toƠn đ nh n xét vƠ rút ra gi

thuy t; r i dùng ph

ng pháp th , ch n đ th xem gi thuy t đó có đúng không?

N u đúng thì đ ra bƠi t p m i vƠ tìm cách gi i.
- Ví d :

Thông qua vi c h c sinh v n d ng nh ng ki n th c v vect đ ch ng minh m t s
tính ch t hình h c. Ng
đ

i th y giáo c n t n d ng nh ng c h i có th đ h c sinh

c rèn luy n v phơn tích, t ng h p, khái quát hóa, ch ng h n khái quát hóa s
A

ki n:
+ Ba vect

, ,

đ ng ph ng khi t n t i b ba

M

14

G
B

D
N
C










s m, n ,p sao cho: x  ma  nb  pc .
+S d ng các quy t c vƠ tính ch t c a vect .
Cho t di n ABCD . G i M, N l n l

t lƠ

trung đi m c a AB vƠ CD. Ch ng t r ng
 1   1  
MN  ( AD  BC )  ( AC  BD)
2
2

Hình 9

Gi i : S d ng quy t c ba đi m, ta có:
   
MN  MA AD  DN
   
MN  MB  BC  CN

 



 





1  
2

Do MA MB  0 và DN  CN  0 nên MN  ( AD  BC )


T

1  
2

ng t trên, ta có: MN  ( AC  BD) .

+ Bài toán khái quát hóa
Cho đa di n A1 A2 A3 A4 ... An . Ch ng minh r ng đi m G lƠ tr ng tơm c a đa di n
A1 A2 A3 A4 ... An , P lƠ đi m b t kì khi vƠ ch khi đi u ki n sau x y ra:

 1    

PG  ( PA1  PA2  PA3  PA4  ...  PAn )
n

Gi i :
G

lƠ

tr ng

tơm

c a

đa

di n

A1 A2 A3 A4 ... An

khi

và

ch

   
 
GA1  GA2  GA3  GA4  ...  GAn  0

i u nƠy có ngh a lƠ v i đi m P b t kì, ta có:
       
  
PA1  PG  PA2  PG  PA3  PG  PA4  PG  ...  PAn  PG  0



1    
n



Hay PG  ( PA1  PA2  PA3  PA4  ...  PAn ) .
2.1.6. Tìm hi u n i dung ch đ "Quan h vuông góc"(Hình h c 11)
2.1.6.1.
Ch

N i dung ch

ng trình

ng: Vect trong không gian. Quan h vuông góc trong không gian
( 2 ti t )

Bài 1 Vect trong không gian.

15

khi


Bài 2 Hai đ

ng th ng vuông góc.

( 2 ti t )

ng th ng vuông góc v i m t ph ng.

Bài 3

( 3 ti t )

Bài 4 Hai m t ph ng vuông góc.

( 3 ti t )

Bài 5 Kho ng cách.

( 3 ti t )

2.1.6.2.

M c đích yêu c u c a vi c gi ng d y HHKG

2.1.6.2.1. Ki n th c
+ N m v ng đ

c khái ni m, tính ch t c a t ng quan h vuông góc.

+ N m v ng các b

c ch ng minh m t bƠi t p hình b ng ph

ng pháp t ng h p

hay phân tích.
2.1.6.2.2. K n ng
+ Rèn luy n k n ng phơn tích, t ng h p, ch ng minh.
+ Rèn luy n k n ng v hình, nhìn hình.
+ Rèn luy n k n ng chuy n hóa qua h v trí trong không gian và trong m t ph ng.
2.1.6.2.3. T duy
Hình h c không gian mang đ y đ tính ch t c a khoa h c toán h c, có ngu n
g c th c ti n, mang tính th c nghi m cho nên vi c n m v ng và s d ng nó s góp
ph n b i d

ng và phát tri n t duy lôgic và trí t

ng t

ng v hình h c không

gian cho h c sinh.
2.1.6.2.4. T t
+B id

ng

ng th gi i quan khoa h c.

+ Giúp h c sinh nhìn nh n s v t, hi n t

ng trong không gian và quan h c a các

ph n t trong nó.

2.1.6.3.
-

Ph

ng pháp gi i bài toán HHKG

gi i bài toán HHKG thì tr

b n và quan h vuông góc:

c tiên h c sinh c n n m đ

c các ki n th c c

nh ngh a và các tính ch t c a t ng quan h vuông góc

c th , đ ng th i có đ y đ các k n ng: V hình và nhìn hình.
- Phơn tích đ bài tìm các y u t đƣ bi t và ch a bi t, tìm các thành ph n chính
c a bài toán.

16


- Phân tích đ th y đ

c m i liên h gi a các y u t đã bi t, ch a bi t v i ki n

th c đã h c.
- S d ng ph

ng pháp ch ng minh phân tích, t ng h p đ có đ

c m t bài

ch ng minh hoàn ch nh.
2.1.7. Ki n th c c b n
Vect trong không gian

2.1.7.1.

2.1.7.1.1. Phép c ng vƠ phép tr vect trong không gian


 







+ Cho hai vect a , b . Trong không gian l y m t đi m A tùy ý, v AB  a , BC  b .

AC đ c g i là t ng c a hai vect
    
AC  AB  BC  a  b

Vect



a và b , đ ng th i đ

c kí hi u:

+ Quy t c hình h p: Cho hình h p ABCD.A'B'C'D' v i AB, AD, AA' là ba c nh có
chung đ nh A và AC' là đ

ng chéo ta có:

   
AC '  AB  AD  AA'

2.1.7.1.2.

i u ki n đ ng ph ng c a ba vect

2.1.7.1.2.1.

Khái ni m v s đ ng ph ng c a ba vect trong không gian


  
a , b, c đ u khác 0 trong không gian. T m t đi m O b t k ta v
     
OA  a , OB  b, OC  c . Khi đó x y ra hai tr ng h p:

Cho ba vect

+ Tr

ng h p các đ

ng th ng OA, OB, OC không cùng n m trong m t m t

  
ph ng, ta nói ba vect a , b, c không đ ng ph ng.

+ Tr

ng h p các đ

ng th ng OA, OB, OC cùng n m trong m t m t ph ng, ta nói

  
ba vect a , b, c đ ng ph ng.

2.1.7.1.2.2.

nh ngh a

Trong không gian, ba vect đ

c g i là đ ng ph ng n u các giá c a chúng cùng

a

song song v i m t m t ph ng.
i u ki n đ ba vect đ ng ph ng:

2.1.7.1.2.3.

hai vect không cùng ph


A


ma

nh lý 1: Trong không gian cho
 

ng a , b

O

  

và m t vect c . Khi đó ba vect a , b, c

17


b


nb
B

C


đ ng ph ng khi và ch khi có c p s






m, n sao cho c  ma  nb . Ngoài ra c p s m, n là duy nh t.
2.1.7.1.2.4.

Hình 7.1.4.3

Phân tích ( bi u th ) c a m t vect theo ba vect không đ ng ph ng

x trong

  

nh lý 2: Cho a , b, c là ba vect không đ ng ph ng.V i m i vect
không gian ta đ u tìm đ









c m t b ba s m, n, p sao cho : x  ma  nb  pc .

NgoƠi ra b ba s m, n ,p là duy nh t.
   
   
       
OX  OA OB  OC . C th OX  x, OA  a , OB  b, OC  c và OX  OA'  OB '  OC '

 


 
 

v i OA'  ma , OB '  mb, OC '  mc . Khi đó: x  ma  nb  pc .
b

2.1.7.2.

Hai đ

a

ng th ng vuông góc

2.1.7.2.1. Góc gi a hai đ
nh ngh a: Góc gi a hai đ

lƠ góc gi a hai đ

ng th ng a vƠ b

a'

Hình 7.2.1

ng th ng a' vƠ b' cùng đi qua

m t đi m vƠ l n l
2.1.7.2.2. Hai đ

b'

ng th ng

t song song ( ho c trùng) v i a vƠ b.
ng th ng vuông góc

nh ngh a: Hai đ

ng th ng đ

c g i lƠ vuông góc v i nhau n u góc gi a chúng

b ng 90o .
2.1.7.3.

ng th ng vuông góc v i m t ph ng

2.1.7.3.1.

nh ngh a đ

nh ngh a : M t đ

d

ng th ng vuông góc v i m t ph ng

ng th ng đ

b

vuông góc v i m t m t ph ng n u nó vuông
góc v i m i đ
nh lí: N u đ
đ

P

a

c g i lƠ

ng th ng n m trong m t ph ng đó.
ng th ng d vuông góc v i hai

Hình 7.3.1

ng th ng c t nhau a vƠ b cùng n m trong

m t m t ph ng (P) thì đ

a

ng th ng d vuông
O

góc v i m t ph ng (P).

c

b

2.1.7.3.2. Các tính ch t
Tính ch t 1: Có duy nh t m t m t ph ng (P)
đi qua m t đi m O cho tr

c vƠ vuông góc

18

Hình 7.3.2a

P


v im tđ

ng th ng a cho tr

c.

Tính ch t 2: Có duy nh t m t đ
d đi qua m t đi m O cho tr
v i m t m t ph ng (P) cho tr

ng th ng

Q

R

d
O

c vƠ vuông góc
a

c.

b

P

Hình 7.3.2b
2.1.7.3.3. Liên h gi a quan h song song vƠ quan h vuông góc c a đ

ng th ng

vƠ m t ph ng
Tính ch t 3

2.1.7.3.3.1.

a, M t ph ng nƠo vuông góc v i m t trong hai
đ

b

ng th ng song song thì c ng vuông góc

v iđ

P

ng th ng còn l i.

b, Hai đ

ng th ng phơn bi t cùng vuông

góc v i m t m t ph ng thì song song v i nhau.
Tính ch t 4

2.1.7.3.3.2.
a,

Hình 7.3.3.1
a

ng th ng nƠo vuông góc v i m t

P

trong hai m t ph ng song song thì c ng
vuông góc v i m t ph ng còn l i.

Q

b, Hai m t ph ng phơn bi t cùng vuông góc v i
m t m t ph ng thì song song v i nhau.

a

Tính ch t 5

2.1.7.3.3.3.
a, Cho đ

Hình 7.3.3.2

ng th ng a vƠ m t ph ng (P)

song song v i nhau.

ng th ng nƠo

vuông góc v i (P) thì c ng vuông góc v i a.
b, N u m t đ
(không ch a đ

ng th ng vƠ m t m t ph ng

P

ng th ng đó) cùng vuông góc

v im tđ

ng th ng thì chúng song song v i nhau.

2.1.7.3.4.

nh lí ba đ

2.1.7.3.4.1.

b

ng vuông góc

Phép chi u vuông góc

19

Hình 7.3.3.3

nh ngh a 2: Phép chi u song song lên m t ph ng (P) theo ph

ng l vuông góc

v i m t ph ng (P) g i lƠ phép chi u vuông góc lên m t ph ng (P).
nh lí ba đ

2.1.7.3.4.2.
nh lí 2: Cho đ

ng vuông góc

ng th ng a không vuông góc v i m t ph ng (P) vƠ đ

ng th ng

b n m trong (P). Khi đó, đi u ki n c n vƠ đ đ b vuông góc v i a lƠ b vuông góc
v i hình chi u a' c a a trên (P).
2.1.7.3.4.3.

Góc gi a đ

nh ngh a 3: a,N u đ

ng th ng vƠ m t ph ng

ng th ng a vuông góc

P

v i m t ph ng (P) thì ta nói r ng góc gi a
đ

ng th ng a vƠ m t ph ng (P) b ng 90o .

b, N u đ

Hình 7.3.5a
a

ng th ng a không vuông góc

v i m t ph ng (P) thì góc gi a đ

ng th ng



a vƠ m t ph ng (P).
L u ý: Góc gi a đ

a'
P

ng th ng vƠ m t ph ng

không v

t quá 90o .

2.1.7.4.

Hai m t ph ng vuông góc

Hình 7.3.5b
a

b

2.1.7.4.1. Góc gi a hai m t ph ng
2.1.7.4.1.1.

P

nh ngh a 1

Góc gi a hai m t ph ng lƠ góc
gi a hai đ

ng th ng l n l

Q

t

Hình 7.4.1.1

vuông góc v i hai m t ph ng đó.
õ

2.1.7.4.1.2.

b

Cách xác đ nh góc gi a hai m t ph ng

Gi s hai m t ph ng () và () c t nhau theo

a

c
I

giao tuy n c. T m t đi m I b t kì trên c ta
d ng trong () đ

ng th ng a vuông góc v i

c vƠ d ng trong () đ

ng th ng b vuông góc v i c.

20

Hình 7.4.1.2


Ng
đ

i ta ch ng minh đ

c góc gi a hai m t ph ng () và () lƠ góc gi a hai

ng th ng a vƠ b.

2.1.7.4.2. Di n tích hình chi u c a m t đa giác
nh lí 1: Cho đa giác H n m trong m t ph ng () có di n tích S vƠ H' lƠ hình
chi u vuông góc c a h trên m t ph ng ().
Khi đó di n tích S' c a h' đ

P

c tính theo công th c :
S' = S . cos 

a

V i  lƠ góc gi a () và ().
2.1.7.4.3. Hai m t ph ng vuông góc
2.1.7.4.3.1.

Q

c
H

b

nh ngh a 2: Hai m t g i lƠ vuông góc v i nhau

n u góc gi a chúng b ng 90o .Khi hai m t ph ng

Hình 7.5.1.2

(P) vƠ (Q) vuông góc v i nhau thì ta còn nói g n hai m t ph ng (P) vƠ (Q) vuông
góc.
Kí hi u : (P)  (Q) hay (Q)  (P) .
2.1.7.4.3.2.

i u ki n đ hai m t ph ng vuông góc

2.1.7.4.3.3.

nh lí 2: N u m t m t ph ng ch a m t

đ

ng th ng vuông góc v i m t đ

P

ng th ng khác ,

A

thì hai m t ph ng đó vuông góc v i nhau.
2.1.7.4.3.4.

nh lí 3: N u hai m t ph ng (P) vƠ (Q)

vuông góc v i nhau thì b t kì đ

Q

a

ng th ng a

Hình 7.5.1 .3

nƠo n m trong (P), vuông góc v i giao tuy n
c a (P) vƠ (Q) đ u vuông góc v i m t ph ng (Q).
2.1.7.4.3.5.

R

Q
a

H qu 1: N u hai m t ph ng (P) vƠ (Q)

vuông góc v i nhau vƠ A lƠ m t đi m n m trong (P)
thì đ

ng th ng a đi qua đi m A vƠ vuông góc v i

(Q) s n m trong (P).

P

Hình 7.5.1. 4
Q
a

21

A

b

P


2.1.7.4.3.6.

H qu 2: N u hai m t ph ng c t nhau

vƠ cùng vuông góc v i m t ph ng th ba thì giao
tuy n c a chúng vuông góc v i m t ph ng th ba.
2.1.7.4.3.7. H qu 3: Qua đ

ng th ng a không vuông

góc v i m t ph ng (P) có duy nh t m t m t ph ng (Q)

Hình 7.5.1.5

vuông góc v i m t ph ng (P).

2.1.7.4.4. Hình l ng tr đ ng, hình h p ch nh t, hình l p ph

22

ng


nh ngh a 3

Hình v

Hình l ng tr đ ng:

B

LƠ hình l ng tr có c nh bên vuông góc

A

C
D

v i m t đáy.

E
B'
A'

C'
E'

D'

Hình l ng tr đ u:
LƠ hình l ng tr đ ng có đáy lƠ đa giác

A2

A3
A4

A1

đ u.

A6
A'2

A5
A'3

A'4

A'1
A'6

Hình h p đ ng:
LƠ hình l ng tr đ ng có đáy lƠ hình bình
hành

Hình h p ch nh t:
LƠ hình h p đ ng có đáy lƠ hình ch
nh t.

Hình l p ph

ng:

LƠ hình h p ch nh t có t t c các c nh
b ng

nhau.

23

A'5


2.1.7.4.5.1.

nh ngh a 4

M t hình chóp đ

S

S

2.1.7.4.5. Hình chóp đ u vƠ hình chóp c t
A

C

H

hình chóp đ u n u đáy c a nó

B

Hình 7.5.5.1

ng cao c a hình chóp.

nh ngh a 5: Khi c t hình chóp đ u

S

b i m t m t ph ng song song v i đáy
đ đ

A’

c g i lƠ hình chóp c t đ u.

o n n i tơm c a hai đáy đ
lƠ đ

D’

c m t hình chóp c t thì

hình chóp c t đó đ

B

I

ng th ng vuông góc v i m t

2.1.7.4.5.2.

O

A

lƠ đa giác đ u vƠ các c nh bên b ng nhau.
đáy k t đ nh g i lƠ đ

C

D

c g i lƠ

C’
B’

O’
D

C

cg i
O

ng cao c a hình chóp c t đ u.

A

B

Hình 7.5.5.2
2.1.7.5.

Kho ng cách

2.1.7.5.1. Kho ng cách t m t đi m đ n m t m t ph ng , đ n m t đ
nh ngh a 1: Kho ng cách t đi m

ng th ng

M

M

M đ n m t ph ng (P) (ho c đ n
đ

ng th ng a) lƠ kho ng cách

H
P

gi a hai đi m M vƠ H,

H

trong đó H lƠ hình chi u c a M
trên m t ph ng (P)(ho c trên đ

ng th ng a).

24

Hình 7.6.1

a


Kho ng cách t đi m M đ n m t ph ng (P) đ
cách t đi m M đ n đ

ng th ng a đ

2.1.7.5.2. Kho ng cách gi a đ

c kí hi u là : d(M;(P)). Kho ng

c kí hi u lƠ : d(M;(a)).

ng th ng vƠ m t ph ng song song gi a hai m t

ph ng song song:
2.1.7.5.2.1.
đ

A

B

nh ngh a 2: Kho ng cách gi a hai
H

ng th ng a vƠ m t ph ng (P) song song

K

P

v i a lƠ kho ng cách t m t đi m nƠo đó

Hình 7.6.2.1

c a a đ n m t ph ng (P).
Kí hi u kho ng cách gi a đ

ng th ng a vƠ m t ph ng (P) song song v i nó lƠ

d(a;(P))
2.1.7.5.2.2.

B

A

Q

nh ngh a 3: Kho ng cách gi a hai m t ph ng

song song lƠ kho ng cách

m t đi m b t kì c a

m t ph ng nƠy đ n m t ph ng kia.

P

H

K

Kí hi u kho ng cách gi a hai m t ph ng song song
(P) và (Q) là d((P);(Q)) thì d((P);(Q)) = d(A;(Q)) = d(C;(P)),

Hình 7.6.2.2

trong đó A lƠ m t đi m nƠo đó thu c (P) vƠ C lƠ m t đi m nƠo đó thu c (Q).
a

I

2.1.7.5.3. Kho ng cách gi a hai đ
Cho hai đ

ng th ng chéo nhau

ng th ng chéo nhau a vƠ b, c lƠ đ

ng

th ng c t c a vƠ b đ ng th i vuông góc v i c a vƠ b.
Thu t ng :

ng th ng c g i lƠ đ

góc chung c a hai đ
N uđ

ng vuông

ng th ng chéo nhau a vƠ b.

ng vuông góc chung c t hai đ

nh ngh a 4: Kho ng cách gi a hai đ

Hình 7.6.3a

ng th ng chéo nhau t i I vƠ J thì đo n

th ng IJ g i lƠ đo n vuông góc chung c a hai đ
góc chung c a hai đ

b

J

ng th ng đó.

ng th ng chéo nhau lƠ đ dƠi đo n vuông

ng th ng đó.

Nh n xét:
1, Kho ng cách gi a hai đ

ng th ng chéo nhau

B ng kho ng cách gi a m t trong hai đ

ng th ng

I

a

P

25
J

Q

b