Bài tập Quan hệ vuông góc hình học không gian

Khóa hc Luyn thi Quc gia PEN-C: Môn Toán (Thy Lê Bá Trn Phng)
Hàm s

Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit
Tng đài t vn: 1900 58-58-12
- Trang | 1 -


a
a
a
a
O
A
B
D
C
S
O
A
B
D
C
S
H
K
I

Các bài đc tô màu đ là các bài tp  mc đ nâng cao

Bài 1

: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cnh a, SA = SB = SC = a. Chng minh rng:
SB vuông góc SD.
Gii:

+ Gi O là giao đim ca AC và BD. Vì ABCD là hình thoi
nên O là trung đim ca AC và BD

0
1
2
90
ABC ASC SO BO BD
BSD SB SD
      
    







Bài 2:
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình vuông, SA vuông góc mt phng (ABCD). Gi H, K
ln lt là hình chiu vuông góc ca A trên SB, SD.
a. CMR: SC vuông góc mt phng (AHK).
b. Gi I là giao đim ca SC vi mt phng (AHK). CMR: HK vuông góc AI.
Gii:

a. Ta có:

( ) (1)
AH SB
AH SBC AH SC
AH BC


   




( ) (2)
AK SD
AK SDC AK SC
AK DC


   




T (1) và (2) ta suy ra
()SC AHK

b. Ta có:
SAB SAD SH SK    

//
SH SK

HK BD
SB SD
  
( nh lý Ta lét đo)
()
BD AC
BD SAC
BD SA







QUAN H VUÔNG GÓC (PHN 03)
BÀI TP T LUYN
Giáo viên: LÊ BÁ TRN PHNG
Các bài tp trong tài liu này đc biên son kèm theo bài ging Quan h vuông góc (Phn 03)
thuc khóa hc Luyn
thi Quc gia PEN-C: Môn Toán (Thy Lê Bá Trn Phng) ti website Hocmai.vn.  s dng hiu qu, Bn cn
hc trc Bài ging
sau đó làm đy đ các bài tp trong tài liu này.
(Tài liu dùng chung bài 01+02+03)
Khóa hc Luyn thi Quc gia PEN-C: Môn Toán (Thy Lê Bá Trn Phng)
Hàm s

Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit
Tng đài t vn: 1900 58-58-12
- Trang | 2 -

N
K
I
O
D
A
C
B
S
M
//
()
()
HK BD
HK SAC HK AI
BD SAC

   




Bài 3:
Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA = SC, SB = SD.
a. Chng minh rng:
()SO ABCD

b. I, K ln lt là trung đim ca BA và BC. Chng minh rng IK vuông góc SD.

c. Gi (P) là mt phng song song vi SO cha IK. Chng minh BD vuông góc vi mt phng (P).
Gii:
a. Ta có:
()
SO AC
SO ABCD
SO BD







b.
()
()
IK BD do AC BD
IK SBD IK SD
IK SO


   




c. + Gi M là giao đim ca SB vi mt phng (P),
N là giao đim ca DB vi mt phng (P).
/ /( ), ( )

//
( ) ( )
//
()
SO P SO SBD
SO MN
SBD P MN
SO BD
MN BD
MN SO
BD IK
BD P
BD MN








  




  




Bài 4: Cho lng tr đng ABCD.A’B’C’D’, đáy ABCD là hình thoi cnh a và góc
0
60BAD
,
3
AA'
2
a

. M, N ln lt là trung đim A’D’ và A’B’. Chng minh rng:
' ( ).AC BDMN

Gii:


+ Gi
S BN DM  
M là trung đim SD, N là trung đim SB
A’ là trung đim SA.
+ Gi O = AC

BD
+

BAD đu
3
2 3 , '
2
a

AO AC AO a SA CC AO      

+ Hai

vuông SOA và ACC’ bng nhau
AS 'O CAC  
.
Mà
00
AS 90 ' 90 'O SOA CAC SOA AC SO        

+
'
' ( )
'
AC BD
AC BDMN
AC SO









Bài 5: T din S.ABC có
 
.SA mp ABC

Gi H, K ln lt là trc tâm ca các tam giác ABC và SBC.
a. Chng minh SC vuông góc vi mp(BHK) và
   
SAC BHK

b. Chng minh
 
HK SBC
và
   
.SBC BHK


Khóa hc Luyn thi Quc gia PEN-C: Môn Toán (Thy Lê Bá Trn Phng)
Hàm s

Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit
Tng đài t vn: 1900 58-58-12
- Trang | 3 -



Gii:
a. Vì H là trc tâm tam giác
ABC BH AC  
, theo gi thit
 
SA mp ABC BH SA  
.
Nên

 
BH mp SAC SC BH  

Do K là trc tâm
SBC BK SC  
.
T đó suy ra
     
SC mp BHK mp BHK mp SAC  
(đpcm)
b. Tng t nh trên ta cng chng minh đc:
 
SB mp CHK SB HK  

Mà
 
SC mp BHK SC HK  
.
Do đó:
     
HK mp SBC mp SBC mp BHK  



Bài 6:
Cho lng tr đng ABC.A’B’C’ có tt c các cnh đu bng a. Gi M là trung đim ca AA’. Chng
minh rng BM vuông góc vi B’C.
Gii:

Gi I là tâm hình vuông BCC’B’ nên I là trung đim ca B’C.

M là trung đim AA’ nên tam giác
'B'MAC MA  

=>MC=MB’ suy ra tam giác MB’C cân ti M
' ; ' ' ' .B C MI B C BC B C MB    







Bài 7:
Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông tâm O cnh a.
()SA ABCD
. Gi H, I, K ln lt là
hình chiu vuông góc ca A trên SB, SC, SD và J là hình chiu ca B trên SC. Gi M, N, P, Q ln lt là
trung đim ca AB, AD, BC, SC. CMR:
1. ( ); 2. ( ); 3. ( ); 4. ( );BC SAB CD SAD AH SBC AK SCD   


5. ( ); 6. ( ); 7. ( ); 8. ( );SC AHK OM SAB ON SAD BC OPQ   


9. ; 10. ; 11. ; 12. ;BC SB CD SD AH SC AK SC   


13.( ) ( ); 14.( ) ( ); 15. ( ) ( ); 16.( ) ( );SBC SAB SCD SAD AHK SBC AHK SCD   

17.( ) ( ); 18.( ) ( ); 19.( ) ( ); 20.( ) ( );AHK SAC OQM SAB OQN SAD OPQ SBC   

Gii:

A
A
B
B
C
C
M
I

Khóa hc Luyn thi Quc gia PEN-C: Môn Toán (Thy Lê Bá Trn Phng)
Hàm s

Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit
Tng đài t vn: 1900 58-58-12
- Trang | 4 -




1. BC

AB (gi thit ABCD là hình vuông)
BC

SA (do gi thit SA


(ABCD))

BC

(SAB).
2. CD

AD (gi thit ABCD là hình vuông),
CD

SA (do gi thit SA

(ABCD))


CD

(SAD).
3. AH

SB (gi thit),
AH

BC (do theo câu 1 ta đã có BC

(SAB)
mà AH

(SBC) )


AH

(SBC)
4. AK

SD (gi thit)
AK

CD (do theo câu 2 ta đã có CD

(SAD)
mà AK

(SAD) )

AK

(SCD)
5. AH

(SBC) (do theo câu 3)

AH

SC
AK

(SCD) (do theo câu 4)

AK


SC
Vy SC

(AHK)
6. OM là đng trung bình ca tam giác ABC nên OM//BC, mà BC

(SAB) (do theo câu 1) nên
OM

(SAB)

7. ON là đng trung bình ca tam giác ABD nên ON//AB//CD mà CD

(SAD) (do theo câu 2)
nên ON

(SAD).

8. OP là đng trung bình ca tam giác BDC nên OP//CD mà BC

CD (gi thit) nên BC

OP
(*).
OQ là đng trung bình ca tam giác SAC nên OQ//SA mà SA

(ABCD) nên OQ

(ABCD),


BC

OQ (**).
Vy t (*) và (**) ta có BC

(OPQ)
9. Theo câu 1: BC

(SAB)

BC

SB.

10. Theo câu 2: CD

(SAD)

CD

SD.

11. Theo câu 3: AH

(SBC)

AH

SC.

12. Theo câu 4: AK

(SCD)

AK

SC.

13. Theo câu 1: BC

(SAB) mà BC

(SBC)

(SBC)

(SAB).

14. Theo câu 2: CD

(SAD) mà CD

(SCD)

(SCD)

(SAD).

15. Theo câu 3: AH


(SBC) mà AH

(AHK)

(AHK)

(SBC).

16. Theo câu 4: AK

(SCD) mà AK

(AHK)

(AHK)

(SCD).

Khóa hc Luyn thi Quc gia PEN-C: Môn Toán (Thy Lê Bá Trn Phng)
Hàm s

Hocmai.vn – Ngôi trng chung ca hc trò Vit
Tng đài t vn: 1900 58-58-12
- Trang | 5 -


17. Theo câu 5: SC

(AHK) mà SC


(SAC)

(SAC)

(AHK).

18. Theo câu 6: OM

(SAB) mà OM

(OMQ)

(OMQ)

(SAB).

19. Theo câu 7: ON

(SAD) mà ON

(ONQ)

(ONQ)

(SAD).

20. Theo câu 8: BC

(OPQ) mà BC


(SBC)

(SBC)

(OPQ).





Giáo viên: Lê Bá Trn Phng
Ngun :
Hocmai.vn