Luận văn sư phạm Một số dạng bài toán về phương trình, bất phương trình mũ - logarit

Khúa lun tt nghip

lời cảm ơn
Trong thi gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, em ó nhn
c s quan tâm, to iu kin v vt cht v tinh thn ca các thy
giáo, cô giáo trong t i s nói riêng v khoa Toán trng i hc S
phm H Ni 2 nói chung, s h tr ng viên ca các bn sinh viên. Em
xin trân thnh cám n s giúp đỡ quý báu ny.
c bit, em xin by t lòng bit n sâu sắc n thy giáo, Th.s
Phm Lng Bng ã tn tình hng dn em trong sut thi gian qua
em có th hon thnh khoá lun.
Do thi gian v trình nhn thc còn hn ch, mc dù ã rt c
gng nhng không th tránh khi nhng thiu xót. Vì vy, em kính
mong nhn c s ch bo tận tình của các thy giáo, cô giáo v s
óng góp ý kin ca các bn sinh viên khoá lun ca em có th hon
thin hn na.
Em xin trân thnh cám n!
Hà Nội, tháng 05 nm 2013
Sinh viên
Bùi Th Trang

Bựi Th Trang

Lp: K35C - Sp Toỏn


Khóa luận tốt nghiệp

LỜI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan những vấn đề em tr×nh bày trong kho¸ luận là
của bản th©n em kh«ng trïng kết quả của t¸c giả kh¸c.

Nếu sai em xin chịu hoàn toàn tr¸ch nhiệm.

Sinh viªn
Bïi Thị Trang

Bùi Thị Trang

Lớp: K35C - Sp Toán


Khúa lun tt nghip

Mục lục
M U
1. Lí do chn ti .......................................................................... 1
2. Mc ích nghiên cu .................................................................... 1
3. Nhim v nghiên cu ...................................................................1
4. i tng và phạm vi nghiên cứu ................................................... 2
5. Phng pháp nghiên cu............................................................... 2
6. Cu trúc khoá lun ....................................................................... 2
NI DUNG
Chương 1: kiến thức cơ bản .................................................... 3
1.1. Kin thc c bn v hm s m ......................................................... 3
1.2. Kin thc c bn v hm logarit ..................................................4
Chương 2: một số dạng bài toán về phương trình,
bất phương trình mũ logarit ........................................... 7
2.1. Bi toán 1: Dạng bài toán sử dụng các tính chất của hàm số mũ
logarit ............................................................................................7
2.2. Bi toán 2: Dạng bài toán sử dụng đặt ẩn phụ .............................. 15
2.3. Bi toán 3: Dạng bài toán sử dụng phương pháp hàm số ............... 29

2.4. Bài toán 4: Dạng bài toán không mẫu mực .................................. 37
Chương 3: một số dạng bài toán về phương trình,
bất phương trình mũ - logarit có chứa tham số ..... 45
3.1. Bi toán 1: Dạng bài toán có chứa tham số sử dụng các tính chất của
hàm số mũ logarit ....................................................................... 45
3.2. Bi toán 2: Dạng bài toán có chứa tham số sử dụng đặt ẩn phụ ......... 48

Bựi Th Trang

Lp: K35C - Sp Toỏn


Khúa lun tt nghip
3.3. Bi toán 3: Dạng bài toán có chứa tham số sử dụng tính chất của
hàm số ......................................................................................... 55
3.4. Bài toán 4: Dạng bài toán có chứa tham số không mẫu mực .......... 60
kết luận ............................................................................................. 64
tài liệu tham khảo .............................................................. 65

Bựi Th Trang

Lp: K35C - Sp Toỏn


Khúa lun tt nghip

Mở đầu
1. Lí do chn ti
Có th nói rng hm s m v hm s logarit cùng vi các bi toán
liên quan n hai hm s ny l phn kin thc khá khó trong phân phi

chng trình toán ph thông. Chúng ta có th gp nhng bi toán m d
dng tìm ra li gii nhng có nhng bi toán ta phi au u mi tìm ra
áp án. Mun tìm ra c li gii thì hc sinh phi phân loi c các
dng bi toán v phng trình v bt phng trình m - logarit. L sinh
viên ngnh toán, em nhn ra c cái khó ca vic gii phng trình v
bt phng trình m - logarit. Thông qua ti ny em mun tìm hiu
thêm phc v cho vic ging dy trng ph thông sau ny.
Vi nhng lý do trên cùng vi lòng say mê nghiên cu cùng s
giúp nhit tình ca thy giáo, Th.s Phm Lng Bng, em đã chn
ti: "MộT Số DạNG BàI TOáN Về PHƯƠNG TRìNH,
BấT PHƯƠNG TRìNH Mũ - LOGARIT"
2. Mc ích nghiên cu
Mc ích chính ca ti m em la chn l tng hp tt các
dng bi toán v phng trình v bt phng trình m - logarit. T ó
giúp hc sinh phân loi c các dng bi toán v phng trình v bt
phng trình m - logarit vo các bi tp c th tìm ra li gii mt
cách d dng.
3. Nhim v nghiên cu
- Trình by c s lý thuyt.
- Nghiên cứu các dng bi toán v phng trình v bt phng
trình m - logarit.
- Xây dng h thng bi tp minh ho.

Bựi Th Trang

1

Lp: K35C - Sp Toỏn

Khúa lun tt nghip
4. i tng v phm vi nghiên cu
* i tng nghiên cu
- Các dng bi toán v phng trình, bất phương trình m - logarit.
- Các dng bi toán v phương trình, bt phương trình m - logarit
có chứa tham số.
* Phm vi nghiên cu
- Chng trình toán ph thông.
5. Phng pháp nghiên cu
- Phng pháp nghiên cu ti liu.
- So sánh, phân tích, tng hp.
- Phng pháp ánh giá.
- Căn cứ vào các phương pháp giải phương trình, bất phương trình
mũ - logarit để phân dạng ra một số dạng bài toán về phương trình, bất
phương trình mũ - logarit.
6. Cu trúc khoá lun
Ngoi li cám n, m u, kt lun, danh mc ti liu tham kho,
khoá lun ca em gm 3 chng:
Chng 1: Kin thc c bn.
Chng 2: Mt s dng bi toán v phng trình, bt phng trình
m - logarit.
Chương 3: Một số dạng bài toán về phương trình, bất phương trình
mũ - logarit có chứa tham số.

Bựi Th Trang

2

Lp: K35C - Sp Toỏn

Khúa lun tt nghip

Nội dung
Chương 1. kiến thức cơ bản
1.1. Kiến thức cơ bản về hàm số mũ
1.1.1. nh ngha
- Hm s m c s a ( 0 a 1) l hm s c xác nh bi công
thc y a x .
1.1.2. Tính chất
Xét hàm số: y a x , 0 a 1, ta có các tính chất sau:
Tp xác nh: D .
Tp giá tr: T

a

x

0 , x .

Hm s liên tc trên .
Tính n iu:
- a 1: y a x đồng biến trên .
- 0 a 1: y a x nghch bin trên .
th hm s m:
- Với a 1 :

y
y = ax

1
O

Bựi Th Trang

x

3

Lp: K35C - Sp Toỏn


Khóa luận tốt nghiệp
- Víi 0  a  1:

y

1

y = ax

O

x

* §å thÞ cña hµm sè cã 2 d¹ng vµ lu«n c¾t trôc Oy t¹i ®iÓm A(0, 1).
1.1.3. C«ng thức
Cho a, b  ฀ , a, b  0, x, y  ฀ , ta cã:
a x .a y  a x  y

 a.b 

ax
 a x y
y
a

x
a a
   x , b0
b b

a 

x y

 a x. y   a y 

x

 a x .b x

x

x

Quy ­íc: a 0  1.
1.2. Kiến thức cơ bản về hàm số logarit
1.2.1. Định nghĩa
Hàm số logarit cơ số a ( 0  a  1) là hàm số x¸c định bởi c«ng

thức y  log a x .
dn

Với 0  a  1 và x  0 : log a x  b  a b  x .
a  0

Điều kiện cã nghĩa: log a x cã nghĩa khi: a  1 .
x  0


1.2.2. TÝnh chất
XÐt hàm số y  log a x , ( 0  a  1), ta cã c¸c tÝnh chất sau:

Bùi Thị Trang

4

Lớp: K35C - Sp Toán


Khóa luận tốt nghiệp
 Tập x¸c định: D  ฀  .
 Tập gi¸ trị: T  ฀ .
 Hàm số liªn tục trªn ฀ .
 TÝnh đơn điệu:
- a  1: y  log a x ®ång biÕn trªn ฀ .
- 0  a  1: y  log a x nghịch biÕn trªn ฀ .
 §å thÞ hµm sè logarit:
- Víi a  1 :

y  ax

y

yx

1
1

O

x

y  log a x
- Víi 0  a  1:
y

y  ax
yx
1
1

O

x
y  log a x

Bùi Thị Trang

5

Lớp: K35C - Sp Toán


Khúa lun tt nghip
* Đồ thị của hàm số có 2 dạng và luôn cắt trục Ox tại điểm B(1, 0).
* Đồ thị của hàm số y = logax và của hàm số y = ax đối xứng nhau qua
đường phân giác thứ nhất.
1.2.3. Công thc
Vi 0 a 1; x, x1 , x2 0; :
log a ( x1.x2 ) log a x1 log a x2

log a 1 0

x
log a 1 log a x1 log a x2
x2
log a x log a x

log a a 1
log a a x x
a loga x x

log a x 2 2log a x

1.2.4. Công thức đổi cơ số

0 a, b 1; x 0; :
log a x

logb x
logb a

log b a.log a x log b x

log a b

1
logb a

log a x

1



log a x

a logb c clogb a

Bựi Th Trang

6

Lp: K35C - Sp Toỏn


Khúa lun tt nghip
Chương 2. một số dạng bài toán về phương trình,
Bất phương trình mũ - logarit

2.1. Bi toán 1: Dạng bài toán sử dụng các tính chất của hàm số mũ logarit
a) Phng pháp
Ta thường sử dụng các phép biến đổi sau:
Biến đổi tương đương.
Đưa về cùng cơ số.
Logarit hóa.
Các phép biến đổi này thường áp dụng các tính chất:
Với a 0, a 1: (i )

a a .

(ii) Nếu , 0 thì log a log a .
b) Ví d
Bài 1. Giải các phương trình sau:
x 5

a)

x 17

32 x 7 0,25.128 x 3
x

x 1
x

b)

5 .8

c)


2 2


d)

3x.2 x 1 72



(1)

500



1

x 3 2 x





(2)
2
x 1

4

(3)

x 1

(4)

Giải:
a) Điều kiện: x 7; x 3 .
Phương trình được biến đổi về dạng:
x5

x 17

x 5
5

25 x7 22. 27 x3 2 x7 2
Bựi Th Trang

7

x 17
7
2
x 3

Lp: K35C - Sp Toỏn

Khóa luận tốt nghiệp

 x5
 x  17 
 5.
  7.
2
 x7
 x3 
  x  5  x  3   x  25  x  7 
 16 x  160  x  10
VËy ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x  10 .
b) ViÕt l¹i ph­¬ng tr×nh d­íi d¹ng:
x

5 .8

x 1
x

x

 500  5 .2

3.

x 1
x

3

x 3

2

 5 .2  5 .2

x 1
x

1

LÊy logarit c¬ sè 2 hai vÕ ta ®­îc:
log 2 5 x3.2

x 3
x

 0  log 2 5 x 3  log 2 2

x 3
x

0

x3
log 2 2  0
x
x  3

1

  x  3  log 2 5    0  
1
x  
  log5 2
x

log 2 5

  x  3 log 2 5 

VËy ph­¬ng tr×nh cã cã hai nghiÖm lµ: x  3; x   log 5 2 .
c) §iÒu kiÖn: x  0; x  1.
BiÕn ®æi ph­¬ng tr×nh ta ®­îc:



3

2
3



x





x 1



x 1

3

 22 



x 1  2 x



x







x 1



x 1



2

x 1

 2x  5 x  3  0  x  3  x  9

VËy ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ: x  9 .
d) §iÒu kiÖn: x  1 .
LÊy lg hai vÕ ta ®­îc:
x 1

lg(3x.2 x 1 )  lg 72  x lg 3 

Bùi Thị Trang

x 1
lg 2  lg 72
x 1

8

Lớp: K35C - Sp Toán


Khúa lun tt nghip
x 2 lg3 x lg108 2lg12 0
x 2

lg12
x
lg 3


Vậy phương trình có hai nghiệm là: x

lg12
; x 2.
lg3

Bài 2. Giải các phương trình sau:
log 1 2 x3 x 2 2 log 3 2 x 2 0

a)

3



b)

2 log 9 x log 3 x.log 3

c)

log 2 x log 4 x log8 x 11

2

2x 1 1

Giải:
a) Biến đổi phương trình về dạng:
log 3 2 x 3 x 2 2 log 3 2 x 2 0
2 x 2 0
x 1


3
3
2
2
x x x 2 2 2 0 (1)
2 x x 2 2 x 2

Giải (1) với nhận xét rằng:



a.c 3 1. 2



3

2 2 b.d 3

c
Do đó phương trình có nghiệm: x 2 .
b

Biến đổi phương trình (1) về dạng:

x 2 x
2



2 1 x 2 0


x 2 0
2
x 2 1
x 2 1 x 2 0






Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x 2 .

Bựi Th Trang

9

Lp: K35C - Sp Toỏn


Khóa luận tốt nghiệp
b) §iÒu kiÖn:
x  0

 x  0.
2 x  1  0

 2x  1  1  0

Ph­¬ng tr×nh ®­îc viÕt l¹i d­íi d¹ng:
2

1

2  log 3 x   log 3 x.log 2 x  1  1
2

1
 log 32 x  log 3 x.log 2 x  1  1
2







 log 32 x  2log 3 x.log



2x  1  1



2x 1 1   0


 log 3 x  log 3 x  2log


log 3 x  0

log 3 x  2log








x 1

2x  1 1  0
 x  2x  1  2 2x  1  1



x  0
x 1


  x  1
 2 2 x  1  x  2   4(2 x  1)  x  2 2


 
x  0
x  0


  x  1
  x  1 .
 x2  4x  0
 x  4



VËy ph­¬ng tr×nh cã hai nghiÖm lµ x  1; x  4 .
c) §iÒu kiÖn: x > 0.
ViÕt l¹i ph­¬ng tr×nh d­íi d¹ng:
log 2 x  log 22 x  log 23 x  11
1
1
 log 2 x  log 2 x  log 2 x  11

2
3

Bùi Thị Trang

10

Lớp: K35C - Sp Toán


Khúa lun tt nghip


11
log 2 x 11 log 2 x 6 x 64.
6

Vậy phương trình có nghiệm là x 64 .
Bài 3. Giải bất phương trình:



a)

10 3



x 3
x 1

10 3



x 1
x 3

2

49.2 x 16.7 x

b)
c)

log x 3x 1 log x x 2 1

d)

2lg 5 x 1 lg 5 x 1

Giải:
a) Nhận xét rằng:

10 3





10 3 1





10 3

10 3



1.

Khi đó bất phương trình được viết lại dưới dạng:




10 3



x 3

x 1





10 3





x 1
x 3





10 3



x 3 x 1

x 1 x 3

1

x 3 x 1

x2 5

0
0
x 1 x 3
x 1 x 3

3 x 5

1 x 5







Vậy bất phương trình có nghiệm là: 3; 5 1; 5 .
b) Biến đổi bất phương trình về dạng:

2x

2

4

7 x 2

Lấy logarit cơ số 2 hai vế bất phương trình, ta được:

log 2 2 x

2

4

log 2 7 x 2 x 2 4 x 2 log 2 7

f ( x) x 2 x log 2 7 2log 2 7 4 0
Ta có: log 22 7 8log 2 7 16 log 2 7 4 4 log 2 7
2

Bựi Th Trang

11

2

Lp: K35C - Sp Toỏn


Khóa luận tốt nghiệp
Suy ra f  x   0 cã nghiÖm:
x1,2 

log 2 7   4  log 2 7 
x  2
 1
2
 x2  log 2 7  2  x1

VËy bÊt ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ:  ;log 2 7  2    2;   .
c) BÊt ph­¬ng tr×nh t­¬ng ®­¬ng víi:
 x  1
 x  1


 x  1
 2
1 x  2



 x  3x  1  0

2
 0  x  1
 3 x  1  x  1
 0  x  1



 0  x  1


 x  1


x



3
1
0

2

3
 0  3 x  1  x  1   x 2  3 x  2  0

 
  x  2  x  1

1  x  2
 1
  x 1
3
1 
VËy bÊt ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ: x   ,2  / 1.
3 

d) §iÒu kiÖn:
x 1  0
 1  x  5.

5  x  0

BiÕn ®æi t­¬ng ®­¬ng bÊt ph­¬ng tr×nh vÒ d¹ng:
2
lg 5  x  1   lg 10. 5  x  




 5  x  1  10  5  x 
2

(*)

 x2  9  x  3  3  x  5

VËy bÊt ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm lµ: 3  x  5.

Bùi Thị Trang

12

Lớp: K35C - Sp Toán


Khúa lun tt nghip
c) Bài tập tương tự
Bài 1. Giải các phương trình sau:
2 x 13

x

x 2 x 1 x 3 4 x 1

x

Giải:
Phương trình được biến đổi về dạng:
x 1

x 0

2 x 1 3
1 (1)

x 2 x 1 x 3 4 x 1

Giải (1) bằng cách nhân liên hợp ta được:
x 2 x 1 x 3 4 x 1 1








x 1 1 2 x 1

2

x 1 1



2 x 1

2

1



x 1 1 2 x 1



2 x 1 0 x 1 2


2 x5
x 1 1 0
x 1 1

Vậy phương trình có nghiệm là: 2 x 5; x 1.
Bài 2. Giải bất phương sau:

x

2

3

x2 2 x

3 x2

8

Giải:
Điều kiện:

x2 3 0 x 3
Với điều kiện trên bất phương trình có dạng:

x 2 3

x2 2 x

x 2 3 x 2 3 1 x 2 2 x 8 0

Bựi Th Trang

8

13

Lp: K35C - Sp Toỏn


Khúa lun tt nghip
2 x 2

x 2 4 x 2 2 x 8 0
x 4

Kết hợp với điều kiện trên ta được:
3x2

2 x 3
x 4






Vậy bất phương trình có nghiệm: , 4 2, 3



3, \ 2.

Bài 3. Giải phương trình:

1
lg x3 8 lg x 58 lg x 2 4 x 4
2
Giải:
Điều kiện:
x3 8 0

x 2 0 x 2 (1)

x 58 0
x2 4x 4 0


Khi đó phương trình có dạng:

1
2
lg x3 8 lg x 58 lg x 2
2
lg x3 8 lg x 58 lg x 2
(1)

lg x3 8 lg x 58 x 2
x 3 8 x 58 x 2
x 2 2 x 4 x 58
x 9
x 2 3 x 54 0
x 6 (l )

Vậy phương trình có nghiệm x 9 .

Bựi Th Trang

14

Lp: K35C - Sp Toỏn


Khúa lun tt nghip

2.2. Bài toán 2: Các dạng bài toán đặt ẩn phụ.
a) Phương pháp
Ta sử dụng các dạng đặt ẩn phụ sau:
Sử dụng ẩn phụ để chuyển phương trình, bất phương trình ban đầu
thành một phương trình, bất phương trình với một ẩn phụ.
Sử dụng ẩn phụ để chuyển phương trình, bất phương trình ban đầu
ban đầu thành một phương trình, bất phương trình với một ẩn phụ
nhưng các hệ số vẫn còn chứa x.
Sử dụng k ẩn phụ chuyển phương trình, bất phương trình ban đầu
thành hệ phương trình, hệ bất phương trình với k ẩn phụ.
Sử dụng 1 ẩn phụ chuyển phương trình, bất phương trình ban đầu
thành hệ phương trình, hệ bất phương trình với 1 ẩn phụ và 1 ẩn x.
b) Ví dụ
Bài 1. Giải các phương trình sau:



a)



b)

4 x

c)

4x

d)

22 x 2 x 6 6

e)

52 6

2

x2 2

3 x 2

x



5.2 x1
4x

2

6 x 5

52 6
x2 2

10
x

60

42 x

2

3 x 7

1

9 x x 2 3 3x 2 x 2 0
2

2

2

Giải:







a) Ta có: 5 2 6 5 2 6 1 nên đặt t



52 6

,t 0
x

Phương trình trở thành:
1
t 10 t 2 10t 1 0 t 5 2 6
t

Bựi Th Trang

15

Lp: K35C - Sp Toỏn


Khúa lun tt nghip



t 52 6 52 6



t 52 6 52 6

x
2

x
2

52 6 x 2



52 6



1

x 2

Vậy phương trình có2 nghiệm là: x 2 và x 2.
b) Đặt t 2 x

x2 2

0

Khi đó phương trình có dạng:

t 4
5
2
t t 6 0 2t 5t 12 0 3
t (l )

2
2

2

Từ đó dẫn đến phương trình cơ bản sau:
2 x

x2 2

4 x x2 2 2 x2 2 2 x

2 x 2
3
2
x
2
2
x 2 4 4 x x

Vậy phương trình có nghiệm là x

3
.
2

c) Viết lại phương trình dưới dạng:

4x

2

3 x 2

4x

2

6 x 5

4x

2

3 x 2

.4 x

2

6 x 5

1

u 4 x 3 x 2
, u, v 0
Đặt
x2 6 x 5
v 4
2

Khi đó phương trình tương đương với:

u v uv 1 u 1 v 1 0
x 1
x 2
1 x 3x 2 0
u 1 4

2
2

x
x


6
5
x 1
v 1 4
1 x 6x 5 0

x 5
x 2 3 x 2

2

Vậy phương trình có 4 nghiệm x 1; x 2; x 1; x 5.

Bựi Th Trang

16

Lp: K35C - Sp Toỏn


Khúa lun tt nghip
d) Đặt u 2 x ,(u 0)
Khi đó phương trình được chuyển thành:

u2 u 6 6
Đặt v u 6, v 6

v2 u 6
Khi đó phương trình được chuyển thành hệ:
u 2 v 6
u 2 v2 u v
2
v u 6
u v u v 1 0
u v 0

u v 1 0

- Với u v , ta được:
u 3
u2 u 6 0
2 x 3 x log 2 3
u 2 (l )

- Với u v 1 0 , ta được:

1 21
u
1 21
2
x log 2
u2 u 5 0
2

1 21

(
)
u
l

2


Vậy phương trình có hai nghiệm là: x log 2 3 ; x log 2
2

1 21
.
2

2

e) Đặt t 3x , điều kiện t 1 vì x 2 0 3x 30 1

Khi đó phương trình tương đương với:
t 2 x 2 3 t 2 x 2 2 0
x 2 3 4 2 x 2 2 x 2 1
2

Bựi Th Trang

2

17

Lp: K35C - Sp Toỏn


Khúa lun tt nghip
t 1

2
t 1 x
2

- Với t 2 3x 2 x 2 log 3 2 x log 3 2
2

- Với t 1 x 2 3x 1 x 2 , ta có nhận xét:

VT 1 VT 1 3x 1


x0

VP 1 VP 1 1 x 2 1
2

Vậy phương trình có 3 nghiệm là: x log 3 2; x 0 .
Bài 2. Giải bất phương trình mũ:
a)

5

b)

9 x 2 x 5 3x 9 2 x 1 0

c)
d)


x

21 5 21



x

2 x log 2 5

5 x 1 5x 3 52 xlog5 2 2.5 x1 16
2 x 2 x 1 22 x 1 4 x 2

Giải:
a) Chia hai vế bất phương trình cho 2x 0 , ta dược:
x

x

5 21 5 21


5
2
2



5 21 5 21
Nhận xét rằng:

1 , nên nếu đặt
2
2



x

x

5 21

5 21 1
t
,(t 0)

2
2



t

Khi đó bất phương trình có dạng:
1
5 21
5 21
t 5 t 2 5t 1 0
t
t
2
2

Bựi Th Trang

18

Lp: K35C - Sp Toỏn


Khúa lun tt nghip
x

5 21 5 21 5 21



2
2
2


1 x 1

Vậy nghiệm của bất phương trình là [-1; 1].
b) Đặt t 3x ,(t 0) , khi đó bất phương trình tương đương với:
f (t ) t 2 2( x 5)t 9 2 x 1 0

' x 5 9(2 x 1) x 4
2

2

Do đó f(t) = 0 có hai nghiệm t = 9 hoặc t = 2x + 1.
Do đó, bất phương trình có dạng:

t 9 t 2 x 1 0
3x 9
t 9 0
x

3 2 x 1

t 2 x 1 0



t 9 0
3x 9


3x 2 x 1
t 2 x 1 0


x 2


bernouli
x 0 x 1


x 2

0 x 1

x 2

0 x 1

Vậy bất phương trình có nghiệm là [0,1][2,+).
c) Viết lại bất phương trình dưới dạng:
5 x 1 5 x 3 2.52 x 10.5 x 16

5 x 1 5 x 3 2(5 x 3) 2 2(5 x 1)

Điều kiện: 5x 1 0 x 0 .
u 5 x 1 0
Đặt:
x
v 5 3

Bất phương trình được biến đổi về dạng:

Bựi Th Trang

19

Lp: K35C - Sp Toỏn


Khóa luận tốt nghiệp

u  v  0
u  v  2u 2  2v 2  
2
2
2
 u  v   2u  2v
u  v  0

 u  v  5x  1  5x  3
2
 u  v   0

x
5x  3  0
5  3

  2x
x
x
x
 5  1  5  3 5  7.5  10  0

t  5 x  3
 2
 t  5  5x  5  x  1
t  7t  10  0

VËy bÊt ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x  1.
d) §iÒu kiÖn: 2 x  1  0  x 

1
.
2

ViÕt l¹i bÊt ph­¬ng tr×nh d­íi d¹ng:

2 x  2 x  1  2.22 x  2  2 x  1
x
u  2
, (u  0, v  0).
§Æt: 
v

x
2
1




Khi ®ã, bÊt ph­¬ng tr×nh ®­îc biÕn ®æi vÒ d¹ng:

u  v  2u 2  2v 2   u  v    2u 2  2v 2 
2

 u  v   0  u  v  2x  2x  1
2

Ta ®i xÐt ph­¬ng tr×nh:

2 x  2 x  1  22 x  2 x  1
x  0
2 x  0 
 

x  1
2 x  1
2


bernouli

 1

  1
VËy bÊt ph­¬ng tr×nh cã nghiÖm x   ,   \ 0,  .
2
  2

Bùi Thị Trang

20

Lớp: K35C - Sp Toán


Khúa lun tt nghip
Bài 3. Giải các phương trình sau:









a)

log 2 x x 2 1 .log 3 x x 2 1 log 6 x x 2 1

b)

log 2 3x 1.log 2 2.3x 2 2

c)

lg 2 x lg x.log 2 4 x 2log 2 x 0

d)

2
log 2 x x 1 log 2 x.log 2 x 2 x 2 0



e)

3

2 lg x 1 lg x 1

Giải:

x2 1 0

a) Điều kiện: x x 2 1 0 x 1 .

2
x x 1 0
Nhận xét rằng:

x

2



2





2

2

x 1 x x 1 1 x x 1 x x 1



1

Khi đó bất phương trình được viết lại dưới dạng:



log 2 x x 2 1

1







.log 3 x x 2 1 log 6 x x 2 1











1

log 2 x x 2 1 .log 3 x x 2 1 log 6 x x 2 1



Sử dụng phép đổi cơ số:

log x



x 1 log 6.log x


x 1

log 2 x x 2 1 log 2 6.log 6 x x 2 1
3

2

3

2

6

Khi đó phương trình được viết lại dưới dạng:

log 2 6.log 6 x x 2 1 .log 3 6.log 6 x x 2 1 log 6 x x 2 1

Bựi Th Trang

21



(1)

Lp: K35C - Sp Toỏn