Luận văn sư phạm Một số phương pháp giải gần đúng hệ phương trình tuyến tính

Khóa lu n t t nghi p

Khoa Toán
L IC M

N

Tôi xin chân thành c m n th y giáo Nguy n V n Hùng đư t n tình
h

ng d n giúp đ tôi trong su t th i gian th c hi n khóa lu n.
Xin chân thành c m n các th y, các cô trong t Gi i tích-Khoa Toán,

Tr

ng

i h c S ph m Hà N i 2 đư t o m i đi u ki n giúp đ tôi hoàn

thành khóa lu n này.
Xin chân thành c m n gia đình và b n bè đư t o m i đi u ki n thu n
l i cho tôi trong quá trình th c hi n khóa lu n.
Tôi xin chân thành c m n!
Hà N i, tháng 05 n m 2010
Sinh viên

Nguy n Th Ng c

Nguy n Th Ng c

1

L p K32C


Khóa lu n t t nghi p

Khoa Toán

L I CAM OAN
Tôi xin cam đoan khoá lu n là công trình nghiên c u c a riêng tôi.
Trong khi nghiên c u, tôi đư k th a nh ng thành qu nghiên c u c a
các nhà khoa h c, nhà nghiên c u v i s chân tr ng và bi t n.
Nh ng k t qu nêu trong khoá lu n ch a đ

c công b trên b t k công

trình nào khác.
Hà N i, tháng 05 n m 2010
Sinh viên

Nguy n Th Ng c

Nguy n Th Ng c

2

L p K32C


Khóa lu n t t nghi p

Khoa Toán

M CL C
N i dung
L i c m n ...................................................................................................... 1
L i cam đoan ................................................................................................... 2
L i nói đ u ...................................................................................................... 4
Ch

ng 1: M t s ki n th c c b n ................................................................ 6

1.1. S g n đúng và sai s .............................................................................. 6
1.2. H ph

ng trình tuy n tính ..................................................................... 13

1.3. Phân tích sai s ........................................................................................ 15
Ch

ng 2: M t s ph

ng pháp gi i g n đúng h ph

ng trình tuy n tính. 17

2.1. Ph

ng pháp Gauss ................................................................................ 17

2.2. Ph

ng pháp Cholesky .......................................................................... 25

2.3. Ph

ng pháp tr c giao hóa .................................................................... 29

2.4. Ph

ng pháp l p đ n ............................................................................. 32

2.5. Ph

ng pháp Jacobi ............................................................................... 37

2.6. Ph

ng pháp Seidel ............................................................................... 41

2.7. Ph

ng pháp Gauss-Seidel .................................................................... 46

Ch

ng 3: Bài t p áp d ng ............................................................................. 49

K t lu n
Tài li u tham kh o

Nguy n Th Ng c

3

L p K32C


Khóa lu n t t nghi p

Khoa Toán

L I NÓI

U

Toán h c là m t môn khoa h c b t ngu n t nhu c u gi i quy t bài toán
có ngu n g c th c ti n và quay tr l i ph c v th c ti n. Cùng v i th i gian
và s ti n b c a loài ng

i toán h c ngày càng phát tri n và đ

c chia thành

hai l nh v c đó là toán h c lý thuy t và toán h c ng d ng.
Nói đ n toán h c ng d ng ph i k đ n Gi i tích s -môn h c nghiên
c u các ph

ng pháp gi i g n đúng các bài toán th c t đ

c mô hình hoá

b ng ngôn ng toán h c.
có l i gi i đúng cho b t kì bài toán nào c ng c n ph i có d ki n
c a bài toán, xây d ng mô hình bài toán, tìm thu t toán hi u qu nh t. Và
cu i cùng là xây d ng ch

ng trình trên máy tính sao cho ti t ki m th i gian

và b nh . Tuy nhiên trong th i gian s lý s li u không tránh kh i sai s dù
là r t nh nh ng nh h

ng tr c ti p đ n quá trình tính toán.

Chính vì v y ph i s d ng các thu t toán h u hi u đ gi m thi u s sai
s đ ng th i thu n l i cho công vi c l p trình ti t ki m s l

ng các phép tính

và th i gian tính toán.
Ph

ng pháp s có ý ngh a r t l n trong đ i s tuy n tính, đ c bi t là

đ i v i vi c gi i h ph
ph

ng trình tuy n tính. Khi s các ph

ng trình l n các

ng pháp truy n th ng nhi u khi g p khó kh n, chúng ta không th gi i

quy t m t cách chính xác mà ch có th đ a ra l i gi i g n đúng cho m t bài
toán. Các nhà toán h c đư tìm ra nhi u ph
ph

ng pháp đ gi i g n đúng h

ng trình tuy n tính.
H ph

ng trình tuy n tính có d ng t ng quát là h g m m ph

ng

trình n n. Trong khuôn kh khoá lu n này em xin trình bày m ng nh đó là
h n ph

ng trình, n n.

Nguy n Th Ng c

4

L p K32C


Khóa lu n t t nghi p

Khoa Toán

V i lòng yêu thích toán h c, đam mê nghiên c u khoa h c em đư quy t
đ nh ch n đ tài cho mình là: “M t s ph

ng pháp gi i g n đúng h ph

ng

trình tuy n tính”.
Có khá nhi u ph
m ib

ng pháp gi i h ph

ng trình tuy n tính nh ng do

c đ u làm quen v i vi c nghiên c u khoa h c và th i gian nghiên c u

còn ít nên trong khuôn kh khoá lu n này em xin trình bày m t s v n đ sau:
Ch
h ph

ng 1: M t s ki n th c c b n v sai s , làm tròn s , s g n đúng,

ng trình tuy n tính, t p nghi m c a h ph

ng trình, s đi u ki n c a

ma tr n, phân tích sai s .

Ch
tính. Ch

ng 2: M t s ph

ng pháp gi i g n đúng h ph

ng trình tuy n

ng này g m 7 ph

ng pháp gi i g n đúng h ph

ng trình tuy n

tính g m ph

ng pháp tr c ti p và các ph

ng pháp l p đ

c trình bày theo

th t : c s lý thuy t, thu t toán, ng d ng và đánh giá sai s (n u có).
Ch

ng 3: Bài t p áp d ng.

Nguy n Th Ng c

5

L p K32C


Khóa lu n t t nghi p
CH
1.1.
1.1.1

Khoa Toán

NG 1: M T S

KI N TH C C

B N

S g n đúng vƠ sai s
nh ngh a
Trong th c t tính toán ta th

*
ng không bi t s đúng a mà ch bi t

*
s đ g n nó là a . Ta nói a là s g n đúng c a a , n u a không sai khác

a * nhi u.
il

*
ng   a  a đ

c g i là sai s th c s c a a .

*
Do không bi t a nên  c ng không bi t nh ng ta có th tìm đ

a  0 cho a *  a  a

cs
(1.1)

Hay a  a  a *  a
S Ấ a tho mưn (1.1) đ
T s a 

c g i là sai s tuy t đ i c a a .

a
đ c g i là sai s t ng đ i c a a .
a

Ví d 1.1.1.1. Cho s

a *   ; a  3.14
3.14  a  3.15; a  0.01

3.14  a *  3.142; a  0.002

Trong phép đo nói chung sai s tuy t đ i càng nh càng t t.
Ví d 1.1.1. 2. o đ dài hai đo n đ

ng ta đ

c:

a  100m; a  0.5m
b  6km; b  20m

a 

0.5
1
20
1


; b 
100 200
6000 300

Nguy n Th Ng c

6

L p K32C


Khóa lu n t t nghi p

Khoa Toán

Nh n xét:
T ví d trên ta th y r ng phép đo b chính xác h n phép do a m c dù

a  b . Nh v y đ chính xác c a phép đo ph n ánh qua sai s t

ng đ i.

1.1.2. Sai s thu g n
Xét s th p phân a đ

c bi u di n d

i d ng:

a     p10 p   p 110 p 1  ....   p q 10 p q 

Trong đó:
0  i  9;  p  0; p  1  i  p  q
 N u p  q  0 thì a là s nguyên.
 N u -   p  q  0 thì a là s

th p phân có ph n l

g m

p  q ch s
 N u p  q   thì a là s th p phân vô h n.

Ví d 1.1.2.1.
4087  4  103  0  102  8  101  7  100

Ta th y: p  q  0 nên a =4083 là s nguyên.
Ví d 1.1.2.2.
31.8783  3  101  1 100  8  101  7  102  8  103  3  104

Ta th y :

p  q = 4 nên a =31.8783 là s th p phân có ph n l g m 4 ch s .


Thu g n a là v t b m t s các ch s bên ph i c a a đ đ

s ng n g n h n nh ng v n đ m b o đ chính xác c n thi t.


Quy t c thu g n

Gi s :
a    p10 p   j 110 j 1  ...   j 10 j  ...   p q10 p q 

Nguy n Th Ng c

7

L p K32C

c

Khóa lu n t t nghi p

Khoa Toán

Gi s ta mu n gi l i đ n hàng th j, g i ph n b đi là M. Khi đó ta
đ

c s thu g n là:



a   p 10 p   p 110 p 1  ...   j 10 j



 j  0  M  0.5 10 j 

Trong đó:  j  
j
j
 j 1  0.5 10  M  10 

N u M=0.5  10j thì  j   j n u  j là ch n và  j   j 1 n u  j là l vì
tính toán v i s ch n ti n h n.
Ví d 1.1.2.3.
  3.141592654  3.14159265  3.1415926
 3.141592  3.14159  3.1415
 3.141  3.14  3.1  3



Gi s s thu g n c a a là a . Ta có a  a  a

a *  a  a *  a  a  a  a *  a  a  a  a  a .
T đánh giá trên ta có nh n xét: Khi thu g n s a thì sai s tuy t đ i
*
*
c a a v i a l n h n ho c b ng sai s tuy t đ i c a a và a .

1.1.3. Ch s có ngh a, ch s ch c.
1.1.3.1. Ch s có ngh a
Ch s có ngh a là m i ch s khác 0 và c ch s 0 n u nó k p gi a
hai ch s có ngh a ho c nó đ i di n cho hàng đ

c gi l i.

Ví d 1.1.3.1.

  0.000870190
B n ch s 0

v trí đ u tiên là nh ng ch s không có ngh a, toàn b

nh ng ch s còn l i là nh ng ch s có ngh a.
1.1.3.2. Ch s ch c
p
p 1
p q
Xét s a     p10   p 110  ...   p q10 

Nguy n Th Ng c

8

L p K32C


Khóa lu n t t nghi p

tr

Khoa Toán

Ch s  j đ

c g i là ch s ch c n u a    10i . V i  là s cho

Tham s  đ

c ch n đ m t ch s v n đư ch c sau khi thu g n v n

c.

là ch s ch c.
Ví d 1.1.3.2.
a  1.70134
a  0.001  103

Khi đó: a  1  100  7  101  0  102  1  103  3  104  4  105

Ch n   1 thì a có b n ch s ch c là 1,7,0,1 còn l i hai ch s
không ch c là 3,4.
N u ch n  

1
thì a có ba ch s ch c là 1,7,0 còn ba ch s 1,3,4 là
2

không ch c.
Ta xét vi c ch n  . Gi s a đ

c vi t d

i d ng:

a     p10 p   p110 p1  ...   pq10 pq 
Ta ch n  sao cho sau khi thu g n đ n b c (i+1) thì i 1 v n là ch c
Mu n v y ph i có:

a  a    10i 1

  10i  0.5  10i 1    10i 1
  5  10  


5
9

Trong th c t ng
N u   1 ng

ng

i ta ch n   1 ho c  

1
2

i ta nói ch s là ch c theo ngh a r ng, còn khi  

i ta nói ch s là ch c theo ngh a h p.

Nguy n Th Ng c

9

L p K32C

1
2


Khóa lu n t t nghi p

Khoa Toán

L u ý:
Khi vi t s g n đúng ta ch nên gi l i m t hai ch s không ch c đ
khi tính toán sai s ch tác đ ng đ n nh ng ch s không ch c mà thôi.
1.1.4. Sai s tính toán
Gi s ta ph i tính đ i l

ng y theo công th c: y  f  x1 , x2 ,..., xn  .

 

*
*
*
*
*
*
G i x   x1 , x2 ,..., xn  ; y  f x là các giá tr đúng. Gi s ta không

bi t các giá tr đúng này, mà ta ch bi t các giá tr x   x1, x2 ,..., xn  ; y  f  x
l nl

*
*
t là các giá tr g n đúng c a x và y .

Gi s xi ; xi (v i i=1,2,...,n) là các sai s tuy t đ i và t
các đ i s . Khi đó sai s c a hàm y  f  x1, x2 ,..., xn  đ

ng đ i c a

c g i là các sai s

tính toán.
Gi s

f  x1, x2 ,..., xn  là hàm s kh vi liên t c thì:

y  y  y*  f  x1 , x2 ,..., xn   f  x1* , x2* ,..., xn* 
n









  fx'i x1 , x2 ,..., xn xi  xi*
1

V i x  x1 , x2 ,..., xn là đi m n m gi a x và x* . Vì f kh vi liên t c
n

'
và xi  xi  x khá bé nên y   fxi  x xi v i x   x1, x2 ,..., xn 

*
i

i 1

y n 
ln f  x xi




y
V y:
y i 1 xi
và c ng có th vi t

(1.1.4)

 y   ln y

1.1.4.1. Sai s c a phép toán c ng, tr :
n

N u y   xi thì yx' i  1 v i i=1,…,n.
i 1

Nguy n Th Ng c

10

L p K32C


Khóa lu n t t nghi p

Khoa Toán

V y ta có:
n

n

y   f xi  x1  x2  ...  xn   xi
i 1

'
xi

i 1

n

(1.1.4.1)

Chú ý r ng n u t ng đ i s y   xi bé v giá tr tuy t đ i thì
i 1

y
l n,
y

phép tính s kém chính xác. Ta kh c ph c b ng cách tránh công th c đ a đ n
hi u c a hai s g n nhau.
Ví d :

y  2.01  2.00
0.01
0.01
฀

฀ 0.0035.
2.01  2.00 1.42  1.41

Ta có: y 

1.1.4.2. Sai s c a phép toán nhân, chia:
 Sai s c a phép nhân
Xét:

y  x1 x2 ...xn

Ta có: y  x1 x2 ... xn

ln y  ln x1  ln x2  ...  ln xn
T (1.1.4.1) ta có:

 ln y   ln x1   ln x2  ...   ln xn

 y   x1   x2  ...   xn
T (1.1.4) suy ra: y  y  y
V y sai s t

ng đ i c a m t tích b ng t ng các sai s t

ng đ i c a

các s h ng thành ph n.
 Sai s c a phép chia
Xét :

y

x1
x2

Nguy n Th Ng c

11

L p K32C


Khóa lu n t t nghi p

'
Ta có: yxi 

Khoa Toán

x
1
'
; yx2  21
x2
x2
x2 x1  x1 x2
;  y   x1   x2
x22

Suy ra: y 

1.1.4.3. Sai s c a phép tính lu th a

Xét y  x   ฀ , x  0  , khi đó  y    x

Nh v y n u   1 thì đ chính xác là gi m đi, n u   1 thì đ chính
xác t ng lên. N u   1 (phép ngh ch đ o) thì đ chính xác là không đ i,
1
*
n u   , k  ฀ (phép khai c n) thì đ chính xác t ng lên.
k

1.1.4.4. Sai s c a phép tính logarit.
Xét y=lnx, ta có y   x
Ví d : Bi t di n tích hình vuông S=12.34 và S  0.01. Hãy tính c nh c a
hình vuông.
G i x là c nh hình vuông, thì x  S ฀ 3.513 . Xét  S 

S
฀ 0.008 ,
S

3
v y x ฀ 1.4 10 , t đó ta th y r ng x có 3 ch s ch c (tr ch s 3 cu i

cùng).
1.1.5. Bài toán ng

c c a bài toán sai s

Gi s đ i l

ng y đ

c tính theo công th c: y= f  x1 , x2 ,..., xn  . C n

tính xi đ y   ; (   0 ) cho tr

c. Theo công th c t ng quát c a sai s

tính toán ta ph i có:
n

y  
i 1

f
xi  
xi

suy ra xi 


n fx'i

Nguy n Th Ng c

12

L p K32C

Khóa lu n t t nghi p

Khoa Toán

K t lu n: N u các bi n xi có vai trò “đ u nhau” thì ta có th l y xi 


n fx'i

,

khi đó y   .
Ví d : M t hình tr có chi u cao h  3m , bán kính đáy R  2m . Tìm h, R ,
s  đ th tích V đ

c tính chính xác đ n 0.1m3.

V
V
V
  R2 ..
=R2h,
=2  Rh,
h
R


Ta có: V =  R2h, nên có:

V y  
1.2

H ph

0.1
0,1
 0.03 ; R 
 0.001 ; h  0,1  0, 003 .
3 4  3
3.6 .2
3. .4

ng trình đ i s tuy n tính

1.2.1 D ng t ng quát c a h ph
M t h ph

ng trình tuy n tính

ng trình tuy n tính t ng quát là h có m ph

đây ta ch xét nh ng h n ph

ng trình n n.

ng trình , n n.

Ngh a là ch xét h có d ng: Ax  b (2.1)
Trong đó: A฀ nn là ma tr n c p n  n

b  ฀ n là vect cho tr

c

x ฀ n là vect nghi m c n tìm
Hay vi t d

i d ng t

ng minh:

a11 x1  a12 x2  ...  a1n xn  b1
a x  a x  ...  a x  b
 21 1 22 2
2n n
2

..........
a n1 x1  a n 2 x2  ...  a nn xn  bn
1.2.2.

nh lý v s t n t i và duy nh t nghi m
G i det Ai là đ nh th c suy ra t đ nh th c det A b ng cách thay c t th

i b i v ph i.

Nguy n Th Ng c

13

L p K32C


Khóa lu n t t nghi p

Khoa Toán

N u det A=0 ta nói ma tr n Asuy bi n và h (2.1) suy bi n. Khi đó h
ph

ng trình vô nghi m ho c vô s nghi m.
nh lý (đ nh lý Cramer):
N u det A  0 t c là h không suy bi n thì h (2.1) có nghi m duy nh t

cho b i công th c:

xi 

det Ai
v i i=1,2,…,n
det A

1.2.3. Bi n lu n v s nghi m
Cho h ph

ng trình (2.1) v i ma tr n h s A và ma tr n b sung

 N u rank A  rank Abs thì h vô nghi m.
 N u rank A=rank Abs = r thì có 2 tr

1. Tr
H ph

ng h p: r = n và r < n

ng h p r = n
ng trình đư cho có d ng:

a11' x1  a12'  ...  a1' n  b1'
 '
'
'
a 22 x2  ...  a 2 n  b2

.....
a '  b'
n
 nn
'
'
'
Trong đó: a11 , a 22 ,..., a nn  0

H này có nghi m duy nh t.
2. Tr
H ph

ng h p r < n
ng trình đư cho có d ng:

a11' x1  a12' x2  ...  a1' n  b1'
 '
'
'
a 22 x2  ...  a 2 n xn  b2

.....
a '  ...  a '  b'
rn
r
 rr

Nguy n Th Ng c

14

L p K32C


Khóa lu n t t nghi p

Khoa Toán

Cho các n xr 1, xr 2 ,..., xn (là các n t do) nh ng giá tr tu ý ta tính
đ

c x1, x2 ,..., xr qua các n t do đó. i u đó ch ng t h ph

ng trình có vô

s nghi m.
Tóm l i:
- N u rankA  rankAbs : h vô nghi m.
- N u rankA  rankAbs  n : h ph

ng trình có nghi m duy nh t.

- N u rankA  rankAbs  n : h ph

ng trình có vô s nghi m.

1.3. Phân tích sai s
1.3.1. S đi u ki n c a ma tr n
Xét A   a ij i , j 1 và x là m t chu n nào đó c a vect
n

Kí hi u:

M  sup
x0

x  Rn

Ax
Ax
, m  inf
x0
x
x

T k t qu c a gi i tích hi n đ i ta có: A  M , h n n a n u m  0 thì
ma tr n A không suy bi n, do đó ma tr n A có ma tr n ngh ch đ o A1 và
m  A1

1

nh ngh a
il
l

ng

M
 A A1 đ
m

c g i là s đi u ki n c a ma tr n Avà đ i

ng đó kí hi u là cond ( A) .
Ma tr n A đ

c g i là ma tr n đi u ki n x u n u cond( A) là khá l n

cond ( A)  1.

Tính ch t c a s đi u ki n:
1. cond ( A)  1 .
2. N u Alà ma tr n tr c giao thì cond ( A)  1.
3. c  0 thì cond (cA)  cond ( A)

Nguy n Th Ng c

15

L p K32C


Khóa lu n t t nghi p

Khoa Toán

4. N u D  diag  di i 1 thì cond  D  
n

max di
min di

1.3.2. Phân tích sai s
Gi s x là nghi m c a ph

ng trình: Ax  b

x'  x  x là nghi m c a ph

(2.1)

ng trình Ax'  b' v i b'  b  b

Khi đó:

x 

Suy ra x 

1
A x
m

Do đó x 

1
b .
m

x 

V y:

A(x)
1
1
1 A(x) 1
x  inf
x 

A(x)
m
m x0 x
m x
m

b
1
1
M x 
Ax 
.
M
M
M

x M b
b

 cond ( A)
x
mb
b

cl

(3.2)

ng (3.2) ch ng t r ng sai s t

ng đ i c a nghi m có th b ng

tích c a cond(A) v i sai s c a v ph i.
T đó suy ra r ng v i ma tr n A đi u ki n x u thì nghi m c a nó thay
đ i nhi u so v i nh ng thay đ i nh

đ gi i h ph

h s và s h ng t do. Nh v y, v n

ng trình tuy n tính b ng s v i ma tr n đi u ki n x u và v

ph i cho g n đúng là m t bài toán khó c a toán h c tính toán.

Nguy n Th Ng c

16

L p K32C


Khóa lu n t t nghi p
CH

Khoa Toán

NG 2: M T S
PH

Cho h ph

PH

NG PHÁP GI I G N ÚNG H

NG TRÌNH TUY N TÍNH

ng trình tuy n tính

Ax  b

(2.1)

Gi thi t detA  0 h có nghi m duy nh t. Ta có th tìm nghi m c a h
(2.1) theo ph

ng pháp Cramer ho c s d ng ma trân ngh ch đ o nh ng

nh ng cách này đòi h i phép tính khá l n và không thu n l i khi ma tr n A
đi u ki n x u. Nh m kh c ph c h n ch đó trong ch
m t s ph
l

ng pháp th c t gi i h ph

ng tính toán đ

ng này chúng ta xét

ng trình (2.1) v i đ c đi m là kh i

c gi m nh .

Trong s các ph
- Nhóm ph

ng pháp đó có th chia ra làm 2 nhóm l n là:

ng pháp tr c ti p: ph

ng pháp Gauss, tr c giao hoá

Hilbert-Schmidt, Cholesky.
- Nhóm ph

ng pháp gián ti p: l p đ n, Jacobi, ph

ng pháp Seidel và

Gauss-Seidel.
c đi m:
- Nhóm ph

ng pháp tr c ti p là sau m t s h u h n phép tính s cho

ta k t qu , vì v y nhóm ph

ng pháp này th

ng đ

c áp d ng v i các bài

toán có kích c nh , và các s li u ban đ u là đúng. Tuy nhiên, do ph i th c
hi n m t s phép tính t
đ i v i tr

ng đ i là l n nên có nguy c tích l y sai s , nh t là

ng h p s li u ban đ u không th t chính xác.

- Nhóm ph

ng pháp gián ti p (ph

ng pháp l p) th

ng đ

c áp d ng

cho l p các bài toán có kích c l n, s li u ban đ u có sai s .
2.1. Ph

ng pháp Gausss

2.1.1. C s lý thuy t
Cho h ph

ng trình tuy n tính

Ax  b

(2.1)

D ng to đ c a (2.1) là:

Nguy n Th Ng c

17

L p K32C


Khóa lu n t t nghi p
n

a
j 1

ij

Khoa Toán

x j  ai ,n 1 (i=1,2,…,n)

T t

ng c a ph

(2.1.1)

ng pháp Gauss là đ a h ph

ng trình (2.1) v d ng

tam giác trên, khi đó nghi m tìm đ

c nh quá trình th ng

h ph

ng đ

ng trình (2.1) v m t h t

quá trình xuôi. Nh v y ph

c. Quá trình đ a

ng d ng tam giác trên đ

ng pháp Gauss đ

c g i là

c th c hi n theo 2 quá trình

sau đây:
Quá trình xuôi: đ a h (2.1) v d ng tam giác nh phép bi n đ i t
đ

ng

ng
Quá trình ng

c: Tìm t h tam giác xn , xn1, ..., x1 .

Các công th c tính toán:

aij k  aij k1  aik k1bkj k1  i, j  k 
 k 1

bkj

(2.1.3)

a kj k 1
  k 1 ( j  k)
a kk

L u ý: Ph

(2.1.4)

ng pháp Gauss th c hi n đ


c n u a kk

k 1

 0 k  1,..., n

trong đó: a11   a11

0

Sau đây ta ki m tra các công th c (2.1.2), (2.1.3), (2.1.4) cho tr

ng

h p n=4.
H ph

ng trình tuy n tính 4 ph

ng trình, 4 n có d ng:

a11 x1  a12 x2  a13 x3  a14 x4  a15
a x  a x  a x  a x  a
 21 1 22 2 23 3 24 4
25

a31 x1  a 32 x2  a 33 x3  a 34 x4  a 35
a 41 x1  a 42 x2  a 43 x3  a 44 x4  a 45
Gi s

(2.1.5)

a11  0. Chia hai v c a ph

a11 (ph n t d n) ta đ

Nguy n Th Ng c

ng trình đ u trong h (2.1.5) cho

c:

18

L p K32C


Khóa lu n t t nghi p

Khoa Toán

x1  b12 0 x2  b13 0 x3  b14 0  b15 0
 
Trong đó: b1 j 
0

a1 j
a11

(2.1.6)

(j>1)

Nh v y công th c (2.1.4) v i k=1 đư đ

c ch ng minh

T (2.1.6) và (2.1.5) kh x1 :

1
1
1
1
a 22
x2  a 23
x3  a 24
x4  a 25
 1
1
1
1
a 32 x2  a 33 x3  a 34 x4  a 35
 1
1
1
1
a 42 x2  a 43 x3  a 44 x4  a 45

(2.1.5.1)

Trong đó: a ij1  a ij  a i1b1 0j 


ng trình đ u (2.1.5.1) cho ph n t d n a 22 ta đ
1

Chia hai v c a ph
1

(i,j  2)

1

1

1

x2  b23 x3  b24 x4  b25 v i b2 j 
Kh x2 kh i h (2.1.5.1) ta đ

a 21j
1
a 22

(j>2)

c:

 2
 2
 2
a33
x3  a34
x4  a35
  2
 2
 2
a 43 x3  a 44 x4  a 45

Trong đó:

a ij

2

Chia hai v ph
đ

(2.1.5.2)

 a ij   a i2b2 j v i (i,j  3)
1

1

1

 
ng trình đ u c a h (2.1.5.2) cho ph n t d n a 33 ta
2

c:
x3  b34 2  b35 2
 2

b3 j 

Trong đó:

a 3 2j
 2
a 33

v i ( j> 3)

Cu i cùng kh x3 kh i ph

ng trình th hai c a (2.1.5.2) ta đ

c

 
 
a 44
x4  a 45
3

Nguy n Th Ng c

c

3

19

L p K32C


Khóa lu n t t nghi p

Khoa Toán

Trong đó: a ij3  a ij 2  a i32b3 2j  ; i, j  4
T (2.1.5.2) ta có: x4 
B

 3
a 45
 3
 b45
 3
a 44

c thu n k t thúc.

Th c hi n b

c ng

c ta tính l n l

t:

 2
x3  b45
 b34 2 x4

x2  b251  b241 x4  b231 x3

x1  b15 0  b14 0 x4  b13 0 x3  b12 0 x2
2.1.2. S đ tính toán
Xét h ph

ng trình tuy n tính

Hay vi t d

i d ng t

Ax  b

ng minh:

a11 x1  a12 x2  ....  a1n xn  b1
a x  a x  ....  a x  b
 21 1 22 2
2n n
2

.............
a n1 x1  a n 2 x2  ....  a nn xn  bn
Quá trình xuôi:
 k 1
 0 k  1, 2,..., n (trong đó: a11 0  a11 ) thì d ng l i quá trình
N u a kk

tính toán và thông báo h suy bi n.
 k 1
 0 thì áp d ng công th c (2.1.4) đ đ a h đư

N u t n t i k đ a kk

cho v h tam giác trên:

a11 n 1 x1  a12 n 1 x2  ....  a1nn 1 xn  b1 n 1
  n 1
n 1
n 1
a 22 x2  ....  a 2 n  xn  b2 

.............
  n 1
 n 1
a nn xn  bn
Ta vi t g n l i thành:
Nguy n Th Ng c

20

L p K32C


Khóa lu n t t nghi p

Khoa Toán

l11 x1  l12 x2  ....  l1n xn  c1
l x  ....  l x  c
 22 2
2n n

2

................
lnn xn  cn
V i lij  a ij

n 1

; ci  bi

Quá trình ng

c:

n 1

N u lnn  0 thì d ng quá trình tính toán và thông báo h suy bi n.
N u lnn  0 thì tính:

xn 

cn
lnn

xn 1 

cn 1  ln 1, n xn
ln 1, n 1

.......

x1 


c1  l12 x2  l1, n 1 xn 1

Ví d 2.1.7: Gi i h ph

l11
ng trình sau b ng ph

2 x1  2 x2  x3  x4  4
4 x  3x  x  2 x  6
 1
2
3
4

3 x1  5 x2  3 x3  4 x4  12

3 x1  3 x2  2 x3  2 x4  6

ng pháp Gauss.

(1)
(2)
(3)
(4)

a. Qúa trình xuôi
B

c 1: kh x1

T (1) ta có: x1  x2  0.5 x3  0.5 x4  2

(5)

T (2) ta có:  x2  x3  2

(6)

T (3) ta có: 2 x2  1.5 x3  2.5 x4  6

(7)

T (4) ta có; 0.5 x3  0.5 x4  0

(8)

Nguy n Th Ng c

21

L p K32C


Khóa lu n t t nghi p
B

Khoa Toán

c 2: kh x2

T (6) và (7) ta có: 0.5 x3  2.5 x4  2
B

c 3 : kh x3

T (7) và (8) ta có: x4 
b. Qúa trình ng

2
3

c: tìm x3 , x2 , x1

2
3
8
x2 
3
x3 

x1  

2
3

K t lu n: Nghi m c a h ph

 2 8 2 2 
; ; ; 
3
3 3 3


ng trình là: x  

2.1.3. Nh n xét
- Ph

ng pháp Gauss là ph

ng pháp tr c ti p th

ng s d ng đ gi i

h tuy n tính có kích c nh , các s li u cho đúng.
- Kh i l

ng tính toán c a ph

ng pháp Gauss:

n
n 2  6n  1

3

Trong đó:

b

S phép tính nhân, chia

c thu n là:

n(n  1)  (n  1)n  ...  1.2  12  22  ...  n2   1  2  ...  n 

S phép tính nhân, chia

Nguy n Th Ng c

n(n  1)(n  2)
3
b

c ng

c là: n(n  1)

22

L p K32C


Khóa lu n t t nghi p
u đi m c a ph

-

k 1

th

ng pháp là đ n gi n, d l p trình trên máy. Nh ng


c n u có ph n t d n a kk

k 1

không th c hi n đ

d n a kk

Khoa Toán

 0 thì ph

 0 . N u trong h có ph n t

ng pháp Gauss có th cho ta k t qu không chính xác.

gi m sai s tính toán, khi s d ng ph

ng ch n tr t i đa. Quá trình này đ
V ikl nl

ng pháp Gauss ng

c th c hi n nh sau:

t là: 1,2,…,n-1

 k 1
 max
Tìm r đ : a rk

a

 k 1
kk

 k 1
, a k k1,1k ,...., a nk



a kk k 1 đ

c g i là ph n t tr t i đa.

N u a rk

 0 thì d ng quá trình tính toán và thông báo h suy bi n.

N u a rk

 0 thì đ i ch a kj k 1 v i a rj k 1

k 1
k 1

i ta

j  k, n

bk k 1 v i br k 1
Sau đó áp d ng ph
2.1.4.

ng pháp Gauss nh đư bi t.

ng d ng.

2.1.4.1. Tính đ nh th c
Xét h ph

ng trình tuy n tính Ax  0 . Dùng ph

ng pháp Gauss đ a

h v d ng: Bx  0
Ma tr n B nh n đ

c t A b ng cách:

B

 

c 1: Chia m t dòng cho ph n t d n a kk
.

B

c 2: Thêm b t các t h p tuy n tính các dòng ch a ph n t d n.

k 1


 
...a nn
det B
Do đó: det A  a11  a 22
0

1

n 1

Trong đó:

Nguy n Th Ng c

23

L p K32C


Khóa lu n t t nghi p

Khoa Toán

1 b12 0

det B  1 , vì B   0 1

 ... ...
0 0


... b1n0 

... b21n 

... ... 
... 1 

1
 n1
det A  a11 0 a 22
...a nn

V y:

2.1.4.2. Tìm ma tr n ngh ch đ o
Cho A là ma tr n không suy bi n. Ta c n tìm ma tr n ngh ch đ o A-1.
A   a ij i , j 1 ; A1   xij i , j 1
n

đó:

n

n

1

Vì AA  E nên

a
k 1

1
x   ij (i,j= 1, n ). V i  ij  
0

ik kj

(i  j )
(i  j )

Nh v y đ tìm ma tr n ngh ch đ o A1 ta ph i gi i h n ph

ng trình

tuy n tính v i cùng m t ma tr n A.
Ví d . Tìm ma tr n ngh ch đ o c a ma tr n A cho d
3
A  1

1


Ta có b ng d

1
3
1

i đây:

1
1 
3 

i đây:

A
3

1

1

1

0

0

1

3

1

0

1

0

1

1

3

0

0

1

1

1/3

1/3

1/3

0

0

0

8/3

2/3

-1/3

1

0

0

2/3

8/3

-1/3

0

1

-1/8

3/8

0

1

Nguy n Th Ng c

1/4

24

L p K32C


Khóa lu n t t nghi p

Khoa Toán
5/2
1

1
1

-1/4

-1/4

1

-1/10

-1/10

2/5

-1/10

2/5

-1/10

-1/10

-1/10

2/5

 2 / 5 1/10 1/10 
T đó ta có k t qu : A =  1/10 2 / 5 1/10 
 1/10 1/10 2 / 5 


1

2.2. Ph

ng pháp Cholesky (ph

ng pháp c n b c hai).

2.2.1. C s lý thuy t
Xét h ph

ng trình

Ax  b

(2.1)

Gi s ma tr n A có th bi u di n d
đó: B là ma tr n tam giác d

i d ng: A BC
.

(2.2.1)

i, còn C là ma tr n tam giác trên.

T (2.1) và (2.2.1): b= A x = BCx
. = By . V i y  Cx

 By  b
V y h (2.1) phân rã thành hai h sau đây: 
Cx  y
gi i h ph
đ

ng trình trên, tr

c tiên ta gi i h By  b . V i y tìm

c, gi i h Cx  y đ tìm x .
Th t v y: xét h ph
min( i , j )


k 1

ng trình

bik ckj  a ij

( i, j  1, n )

T h (2.2.2) ta xét các tr

(2.2.2)

ng h p c th :

N u i=j=1 thì ta có: b11.c11  a11
Khi bi t c11 , ta tìm đ

c b11 , t đi u ki n a11  0 ta suy ra b11.c11  0

N u i=2, j=1 và i=1,j=2 thì có:

Nguy n Th Ng c

25

L p K32C