Luận văn sư phạm Một số phương pháp giải phương trình bậc ba trong toán phổ thông

Tr n Th Ly - K30C Toán

Khoá lu n t t nghi p

TR

NG

I H C S PH M HÀ N I 2
KHOA TOÁN
*****************

Tr n th ly

M t s ph

ng pháp gi i ph

ng trình

b c ba trong toán ph thông
KHOÁ LU N T T NGHI P
Chuyên ngành :

is
Ng

ih

ng d n khoa h c

Nguy n Th Bình

Hà N I - 2008

-1-


Tr n Th Ly - K30C Toán

Khoá lu n t t nghi p

L ic m n
Trong th i gian h c t p t i khoa Toán - Tr
2, đ
đ

ng

i h c S ph m Hà N i

c s d y d ch b o t n tình c a các th y giáo, cô giáo, em đã ti p thu
c nhi u tri th c khoa h c, kinh nghi m và ph

ng pháp h c t p m i, b

c

đ u làm quen v i vi c nghiên c u khoa h c.
Qua đây, em xin g i l i c m n sâu s c t i toàn th các th y, các cô trong
khoa Toán - nh ng ng

thành nh

i đã ch m lo, dìu d t cho chúng em đ

ngày hôm nay.

Nguy n Th Bình - ng

c bi t, em xin chân thành c m

i đã tr c ti p h

c tr

ng

n cô giáo

ng d n, ch b o và đóng góp nhi u

ý ki n quý báu trong th i gian em th c hi n khóa lu n này
Do trình đ c a b n thân còn nhi u h n ch , m c dù đã c g ng h t s c
nh ng bài lu n v n c a em v n không th tránh kh i nh ng thi u sót. Vì v y
em r t mong đ

c s đóng góp ý ki n c a các th y, cô trong khoa và các b n

sinh viên.
Em xin chân thành c m n!

Hà n i, tháng 05 n m 2008
Sinh viên
Tr n Th Ly

-2-


Tr n Th Ly - K30C Toán

Khoá lu n t t nghi p

L i cam đoan
Khóa lu n là k t qu c a b n thân em trong quá trình h c t p, nghiên c u
b c ph thông và trong quá trình h c đ i h c. Bên c nh đó em c ng đ
s quan tâm, t o đi u ki n c a các th y cô giáo trong t
trong khoa toán, đ c bi t là s h

c

i s c ng nh

ng d n t n tình c a cô giáo Nguy n Th

Bình
Vì v y em xin kh ng đ nh k t qu c a đ tài: ”M t s ph
ph

ng pháp gi i

ng trình b c ba trong toán ph thông” không có s trùng l p v i k t

qu c a các đ tài khác
Hà n i, tháng 05 n m 2008
Sinh viên
Tr n Th Ly

-3-


Tr n Th Ly - K30C Toán

Khoá lu n t t nghi p

M cl c
L i c m n………………………………………………………………

1

L i cam đoan………………………………………………………………

2

M c l c…………………………………………………………………….

3

M đ u…………………………………………………………………….

4

Ch

ng 1: M t s ki n th c liên quan…………………………………….

5

1.1. a th c…………………………………………………………….

5

1.2. Ph

7

Ch

ng trình m t n……………………………………………….

ng 2: Các ph

ng pháp gi i ph

ng trình b c ba trong toán ph

thông………………………………………………………………………
2.1. Gi i ph

ng trình b c ba b ng ph

2.2. Các ph

ng pháp gi i khác c a ph

2.3. Gi i ph

ng trình b c ba trên máy tính đi n t …………………… 37

2.4. Tính ch t nghi m c a ph
Ch

ng pháp Cacnado……………

8
8

ng trình b c ba……………... 18

ng trình b c ba……………………….. 39

ng 3: ng d ng h th c Vieta cho ph

ng trình b c ba…………….. 45

3.1. Ki n th c c b n…………………………………………………… 45
3.2. Các ng d ng ……………………………………………………… 45
K t lu n…………………………………………………………………… 59
Tài li u tham kh o………………………………………………………… 60

-4-

Tr n Th Ly - K30C Toán

Khoá lu n t t nghi p

M đ u
Trong nhà tr

ng ph thông môn toán gi m t v trí vô cùng quan tr ng.

Nó giúp h c sinh h c t t h u h t các môn h c và là công c c a nhi u ngành
khoa h c k thu t, có nhi u ng d ng to l n trong đ i s ng.
Mu n h c gi i nói chung và h c gi i toán nói riêng thì ph i luy n t p,
th c hành nhi u. Ngh a là ngoài vi c n m rõ lý thuy t các em còn ph i làm
nhi u bài t p.

i v i h c sinh bài t p thì r t nhi u và đa d ng nh ng th i

gian thì h n h p đ ng th i các em khó có đi u ki n ch n l c nh ng bài toán
hay có tác d ng thi t th c cho vi c h c t p rèn luy n t duy toán h c c a
mình.
Trong môn toán, ph
là đ i t
đ

ng nghiên c u

ng trình gi v trí h t s c quan tr ng không nh ng
i s mà còn là công c đ c l c c a gi i tích. Nó

c gi i thi u ngay t nh ng n m đ u c a b c ph thông

gi n.

a ph n các em đ

các ph

ng trình b c cao các em ít đ

b c ba, b c b n đã gi i đ
vào ch

c làm quen v i ph

các d ng đ n

ng trình b c m t, b c hai còn

c làm quen. Ngày nay ph

c b ng c n th c. Xong

ng trình

ph thông s ph c đ a

m c gi i thi u, do đó vi c áp d ng cách gi i này th nào cho các em

d hi u và d n m b t là c m t v n đ .

V i nh ng lí do thi t th c trên cùng v i ni m đam mê c a b n thân và
s h

ng d n nhi t tình c a cô giáo Nguy n Th Bình em đã m nh d n th c

hi n bài lu n v n c a mình v i tiêu đ :
”M t s ph

ng pháp gi i ph

ng trình b c ba trong toán ph thông”

tài c a em bao g m các n i dung chính sau:
Ch

ng 1: M t s ki n th c liên quan

Ch

ng 2: Các ph

Ch

ng 3: ng d ng c a h th c Vieta cho ph

ng pháp gi i ph

ng trình b c ba trong toán ph thông

-5-

ng trình b c ba


Tr n Th Ly - K30C Toán

Khoá lu n t t nghi p

Ch

ng 1: m t s ki n th c liên quan

1.1. a th c.
1.1.1. B c và nghi m c a đa th c.
Cho đa th c f(x) = a0 + a1x + … + an-1xn-1 + anxn
aixi - h ng t th i
ai - h t .
a0 - h t t do.
an  0 thì an là h t cao nh t.
a th c không là đa th c có t t c các h t b ng không.
* B c c a đa th c.
B c c a đa th c khác 0: f(x) = a0 + a1x + …+ an-1xn-1 + anxn
v i an  0 là n.
i v i đa th c không ta b o nó không có b c.
* Nghi m c a m t đa th c
Gi s c là m t ph n t tùy ý c a vành A
f(x) = a0 + a1x + … + an-1xn-1 + anxn (an  0) là m t đa th c tùy ý c a
vành A[x].
+) Ph n t f(c) = a0 + a1c + … + an-1cn-1 + ancn  A có đ

c b ng cách

thay x b i c g i là giá tr c a f(x) t i c.
+) N u f(c) = 0 thì c là m t nghi m c a f(x). Tìm nghi m c a f(x) trong A
g i là gi i ph

ng trình

i s b c n có d ng:

a0 + a1x + …. + an-1xn-1 + anxn = 0 trong A.
+) Gi s A là m t tr

ng c  A, f(x)  A[x], c là nghi m b i c p m n u và

ch n u f(x) chia h t cho (x - c)m và f(x) không chia h t cho (x - c)m+1.
N u m = 1 ng

i ta g i c là nghi m đ n

m = 2 thì c là nghi m kép.

-6-


Tr n Th Ly - K30C Toán

Khoá lu n t t nghi p

Ng

i ta coi m t đa th c có m t nghi m b i c p m nh m t đa th c có m

nghi m trùng nhau.
1.1.2. M t s k t qu
đ nh lí d ' Alembert: M i đa th c b c khác không v i h s ph c có ít nh t 1
nghi m ph c
nh lí Bezout: Gi s A là m t tr

ng, c  A, f(x)  A[x]. D c a phép chia

f(x) cho (x – c) là f(c).
Ch ng minh:
N u ta chia f(x) cho (x – c) thì đ

c d b ng không ho c m t đa th c b c
rA

không. Vì b c (x - c) = 1. V y d là m t ph n t
Ta có f(x) = (x - c).q(x) + r
Thay x b ng c ta đ

c f(c) = 0.q(c) + r = r

V y r = f(c).
H qu : Ph n t

c là nghi m c a f(x) A[x] khi và ch khi f(x) chia h t cho

(x - c) trong A[x]

Công th c Vieta
Cho f(x) = a0xn + a1xn-1 + ….. + an-1x + an  K[x]
T n t i tr

ng A  K, f(x) có n nghi m















1



1 2



2

 ... 

1 3

n 1

 ... 



1,

n

n 1 n

2,...,

 (-1)

a
a

 (-1) 2

n-1,

n

trong A tho mãn

1
0

a
a

2
0

........................................
a
...
 (-1) n n
1 2
n 1 n
a
0

B đ : M i đa th c v i h s th c có b c l có ít nh t m t nghi m th c.

-7-


Tr n Th Ly - K30C Toán

Khoá lu n t t nghi p

* Nghi m h u t .
Cho f(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0  Z[x] . N u phân s t i gi n

p
q

p a
là nghi m c a f(x) thì  0
q an
H qu . V i s h u t

là nghi m c a đa th c:

f(x) = xn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 = 0 thì

là s nguyên và

là

a0 .
Phân s t i gi n
Tr

p  q | f(  1)
ng h p đ c bi t: 
 p  q | f(1)

1.2. Ph
Ph

p
là nghi m c a f(x) thì  p – mq f  m ,  m  Z

q

ng trình m t n.

ng trình đa th c m t n là ph

ng trình d ng:

anxn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 = 0 (1)
Trong đó:

a i - h t , i  1,n

x i - n, i  1,n
+. n = 1 thì (1) có d ng a1x  a 0  0
+. n = 2 thì (1) có d ng a 2 x 2  a1x  a 0  0
+. n = 3 thì (1) có d ng a 3x3  a 2 x 2  a1x  a 0  0

-8-

cc a


Tr n Th Ly - K30C Toán

Khoá lu n t t nghi p

Ch

ng 2: Các ph

ng pháp gi I ph

ng trình b c ba trong toán ph

thông
2.1. Gi i ph
Ph

ng trình b c ba b ng ph

ng trình và hàm b c ba đ

ph thông và luy n thi đ i h c d
bày công th c nghi m c a ph

ng pháp Cacnado

c nghiên c u khá k trong ch

ng trình

i góc đ gi i tích. Tuy nhiên ít sách trình

ng trình b c ba, trong m c này chúng ta s đi

ch ng minh công th c Cacnado cho vi c gi i ph

ng trình b c ba, công th c

này c ng r t có ích trong vi c ch ng minh các tính ch t nghi m c a ph

ng

trình b c ba trong các m c ti p theo.
Tr

c tiên ta nh n xét r ng v i m i ph

ng trình b c ba t ng quát

a1x3  b1x 2  c1x  d1  0 ( a1  0 )

(*)

u có th đ a v d ng: x 3  ax 2  bx  c  0
t xy

a
thì ph
3

(1.1)

ng trình (1.1) tr thành:

a
a
a
(y  )3  a(y  ) 2  b(y  )  c  0

3
3
3

Khai tri n và nhóm s h ng ta đ

c:

a2
2a 3 ab
y  (b  )y  (
  c)  0
3
27 3
3


a2
p  b  3
t
ta có ph
3
2a
ab
q 
 c

27 3
Dùng phép th Vieta y  z 
(z 

ng trình sau: y3  py  q  0

p
vào ph
3z

p 3
p
)  p(z  ) 2  q  0
3z
3z

-9-

ng trình (1.2) ta đ

c:

(1.2)


Tr n Th Ly - K30C Toán

Khoá lu n t t nghi p

p3
q0
 z 
27z 3

3

p3
 qz 3  0
 z 
27
6

t t  z 3 ta đ

c ph
t 2  qt 

Ph

ng trình
p3
0
27

(1.3)

ng trình (1.3) có 2 nghi m (th c ho c ph c)

q
q 2 p3
t1,2   

2
4 27

q
q 2 p3
Suy ra z   

2
4 27
3

Ta bi t r ng 3 1 có 2 giá tr (k c giá tr ph c) là:

ek  cos

2k
2k
 isin
3
3

v i k = 0,1,2

1
3
1
3
Ngh a là e0  1; e1    i
; e2    i
2
2
2
2

Trong đó i là đ n v o và i2  1 hay i  1 . D th y r ng:
1
3
1
3
e1e 2  (  i )(  i )  1
2
2
2
2

T ng quát

3

t có 3 giá tr là: t1 , t1e1 , t1e2 trong đó t1 là giá tr th c c a

Nh v y 6 giá tr c a z ng v i 6 giá tr c a t nh sau:
Gi s z  3 t1 cho 3 giá tr là:

q
q 2 p3
; z11  z10e1 ; z12  z10e2
z10   

2
4 27
3

- 10 -

3

t.


Tr n Th Ly - K30C Toán

Khoá lu n t t nghi p

Và z  3 t 2 cho 3 giá tr là:

q
q 2 p3
; z21  z20e1 ; z22  z20e2
z 20   

2
4 27
3

Thay vào bi u th c y  z 
y1k  z1k 

p
ta đ
3z

c 6 giá tr c a y là

p
p
; y 2k  z 2k 
v i k = 0,1,2
3z 2k
3z 1k

Tuy nhiên vì:

y10  y 20
y11  y 22
y12  y 21
Nên ph

ng trình b c ba (1.2) ch có 3 nghi m là y10 ; y11 ; y12 . Ta có th gi i

thích đi u này nh sau:
ng trình t 2  qt 

Vì t1,2 là nghi m c a ph
p3
t1t 2  
27

 z10 z 20  3 t1t 2  

p
p
hay z10  

3
3z 20

 z11z 22  z10e1.z 20e2  z10 z 20  
T

ng t

Ch ng t

z12 z 21  

p
3

y10  z10 



p
3

p
3z10

p
p

3z 20 3( p )
3z 20

- 11 -

p3
 0 nên
27


Tr n Th Ly - K30C Toán

Khoá lu n t t nghi p

 z 20 

p
3z 20

 y20
T

ng t v i chú ý e1e2  1 ta có:

V y ph

y11  z11 

p
p

 z 22  y22

3z11
3z 22

y12  z12 

p
p

 z 21  y21
3z12
3z 21

ng trình b c ba (1.2) có 3 nghi m là

y10  z10 

p
 z10  z 20
3z10

y11  z11 

p
 z11  z 22
3z11

y12  z12 

p
 z12  z 21

3z12

Bây gi ta xét k h n v s nghi m th c c a ph
theo s nghi m th c c a ph

ng trình b c ba (1.2) d a

ng trình b c hai (1.3)
3

Tr

p
q2 p
ng h p 1:   q  4( )3  0 hay

0
3
4 27

Ph

ng trình b c hai (1.3) có 2 nghi m th c phân bi t

2

q
q 2 p3
t1,2   


2
4 27
Do đó ph

ng trình (1.2) có 1 nghi m th c là:

y10  z10  z 20

q
q 2 p3 3 q
q 2 p3
3 

  

2
4 27
2
4 27

- 12 -

(1.4)


Tr n Th Ly - K30C Toán

Khoá lu n t t nghi p

V i 2 nghi m ph c liên h p là:

y11  z11  z22  z10e1  z20e2
1
3
1
3
 z10 ( 
i)  z 20 (  
i)
2 2
2 2



z10  z 20
3
(z10  z 20 )
i
2
2

y12  z12  z21  z10e2  z20e1
1
3
1
3
 z10 ( 
i)  z 20 (  
i)
2 2

2 2


z10  z 20
3
(z10  z 20 )
i
2
2

Công th c (1.4) g i là công th c Cacnado dùng đ tính nghi m c a ph
trình b c ba (1.2)
Tr

3

q2 p
ng h p 2:   
=0
4 27

q
q
q
Suy ra t1  t 2   . Do đó z10  z 20  3    3
2
2
2
Ph

ng trình (1.2) có :
1 nghi m đ n y10  z10  z 20  2 3
1 nghi m kép y11  y12  

Tr

q
2

z10  z 20 3 q

2
2

3

q2 p
ng h p 3:   
0
4 27

Khi đó p < 0 . Vi t t1,2 d

i d ng l

ng giác ta đ

3

c:

3

q
q2 p
q
q2 p
t1,2   

 i  
 r(cos  isin)
2
4 27
2
4 27

- 13 -

ng


Tr n Th Ly - K30C Toán

Khoá lu n t t nghi p

3

q 2
q2 p
p3
Trong đó: r  ( )  ( 

) 
2
4 27
27

q

2
cos 
p3

27

;

sin  



q2 p

4 27
p3

27

3

Theo công th c Moivre thì 3 giá tr c a z  3 t1  3 r(cos+isin) đ

c tính

theo công th c:

z1k  3 r (cos

+k2
+k2
 isin
) v i k = 0,1,2
3
3

Ngh a là:



z10  3 r (cos  isin )
3
3

z11  3 r (cos

+2
+2
)
 isin
3
3

z12  3 r (cos

+4
+4
 isin
)
3
3

3 giá tr c a z  3 t 2  3 r(cos  isin)  3 r(cos(-)  isin(-))

T

ng t

đ

c tính theo công th c:

z 2k  3 r (cos

+k2
+k2
 isin
) v i k = 0,1,2
3
3

Ngh a là:

z 20  3 r (cos





 isin )  3 r (cos  isin )
3
3
3
3

z 21  3 r (cos

+2
+2
 isin
)
3
3

- 14 -


Tr n Th Ly - K30C Toán

Khoá lu n t t nghi p

z 22  3 r (cos

+4
+4
 isin
)
3
3

V y:

y10  z10  z20
 2 3 rcos

q
q 2 p3 3 q
q 2 p3
=  

  

2
4 27
2
4 27
3

y11  z11  z22
 3 r (cos

+2
+2 3

+4
+4
)  r (cos
)
 isin
 isin
3
3
3
3

 2 3 rcos(

+2
)
3

y12  z12  z21
 3 r (cos

+4
+4 3
+2
+2
 isin
)  r (cos
 isin
)
3
3

3
3

 2 3 rcos(
V y trong tr

+4
)
3
ng h p này ph

ng trình (1.2) có 3 nghi m th c

- 15 -


Tr n Th Ly - K30C Toán

Khoá lu n t t nghi p

Nghi m c a ph

ng trình b c ba đ

c cho trong b ng sau

a1x3  b1x 2  c1x  d1  0 (a1  0)
hay x 3  ax 2  bx  c  0 .
D ng t ng quát

a v d ng rút g n b ng cách


a2
p  b  3
a
t x  y  và 
3
3
q  2a  ab  c

27 3

y3  py  q  0

D ng rút g n

3

q2 p
1.

0
4 27
M t nghi m th c

q
q 2 p3 3 q
q 2 p3
y10  z10  z 20  3  


  

2
4 27
2
4 27

và hai nghi m
ph c

y11  

z10  z 20
3
(z10  z 20 )
i
2
2

y12  

z10  z 20
3
i
(z10  z 20 )
2
2

3

q2 p
2.

=0
4 27
M t nghi m đ n
và m t nghi m

y10  z10  z 20  2 3
y11  y12  

q
2

z10  z 20 3 q

2
2

kép
3

q2 p
3.

0
4 27
Ba nghi m th c

y10  z10  z20  2 3 rcos
q
q 2 p3 3 q
q 2 p3
=  

  

2
4 27
2
4 27
3

- 16 -


Tr n Th Ly - K30C Toán

Khoá lu n t t nghi p

y11  2 3 rcos(

+2
);
3

y12  2 3 rcos(

+4

)
3

(*). Nh n xét:
Công th c nghi m c a ph
đ

ng trình b c ba khá c ng k nh nên sau khi tìm

c 1 nghi m th c ta nên phân tích đa th c ra th a s và gi i ti p ph

trình b c hai đ đ
Ví d 1: Gi i ph

c 2 nghi m (th c ho c ph c) còn l i.
ng trình

y3  15y  124  0
L i gi i

q
q 2 p3 3
Ta có p = 15, q = 124 nên z1 =  

 62  3969  3 1
2
4 27
3

Do đó z1 có 3 giá tr z1k  3 1  cos

2k
2k
 isin
, k = 0,1,2
3
3

1
3
1
3
; z12    i
Hay z10  1; z11    i
2
2
2
2

T

ng t

q
q 2 p3 3
z2 =  

 62  3969   3 125  5 3 1
2
4 27

3

z 2k  5(cos
Hay z20  5 ; z 21 
V y ph

2k
2k
 isin
) , k = 0,1,2
3
3

5 5 3
5 5 3
i
; z 22   i
2
2
2
2

ng trình đã cho có 3 nghi m

y10  z10  z 20  4
y11  z11  z 22  2  3i 3
y12  z12  z 21  2  3i 3

Ví d 2: Gi i ph

ng trình

x 3  3x 2  6x  3  0

(1)

- 17 -

ng


Tr n Th Ly - K30C Toán

Khoá lu n t t nghi p

L i gi i
t xy

a
 x  y 1
3

(1)  y3  9y  11  0
S d ng công th c Cacnado cho ph

(2)
ng trình (2) ta đ

c

q
q 2 p3 3 11
121
11  13
z10 =  

  
 27  3
 1,5463
2
4 27
2
4
2
3

z11 

z10
(1  i 3)  0,77315(1  i 3)
2

z12 

z10
(1  i 3)  0,77315(1  i 3)
2

q
q 2 p3 3 11

121
11  13
z 20 =  

  
 27  3
 1,9401
2
4 27
2
4
2
3

z 21 

z 20
(1  i 3)  0,97005(1  i 3)
2

z 22 

z 20
(1  i 3)  0,97005(1  i 3)
2

Do đó
x10  y10  1  4,4864

y10  z10  z 20  3,4864

y11  z11  z 22  1,7432  0,3412i suy ra x 20  y 20  1  0,7432  0,341i
x 30  y30  1  0,7432  0,341i

y12  z12  z 21  1,7431  0,3412i
Bài t p đ ngh
Gi i các ph

ng trình sau

1. x 3  x  6  0
2. x 3  3x 2  9x  27  0

- 18 -


Tr n Th Ly - K30C Toán

Khoá lu n t t nghi p

3. 15x 3  65x 2  93x  44  0
4. 3x 3  41x 2  113x  11  0
(*) Chú ý
áp d ng công th c Cacnado ta s gi i đ

c m i ph

ng trình b c ba

t t

c các d ng. Tuy nhiên n u làm nh th s r t ph c t p và m t r t nhi u th i
gian. Vì v y đ ng tr

c m t bài toán yêu c u ph i gi i m t ph

ng trình b c

ba nào đó ta nên tìm ra nh ng l i gi i hay và ng n g n nh t. Sau đây là m t
s ph

ng pháp đ

c coi là t i u nh t đ gi i các d ng c a ph

ng trình b c

ba. Tuy nhiên trong sách giáo khoa ph thông hi n nay ki n th c v s ph c
m i ch đ

c gi i thi u s qua trong ch

ng trình toán l p 12 nên h c sinh

ch a th làm thành th o t t c các bài toán liên quan đ n ph

ng trình b c ba

trên tr

c 1 cách nhanh

ng s ph c đ

c. Vì v y đ cho ng

iđ cn mđ

nh t m c đích yêu c u c a bài toán ta ch gi i nh ng bài toán này trên tr

ng

s th c, t đó s t v n d ng và m r ng nh ng ki n th c đó và gi i bài toán
trên tr

ng s ph c.

2.2. Các ph

ng pháp gi i khác c a ph

ng trình b c ba

Trong ch đ này chúng ta s quan tâm t i 3 ph
s d ng đ gi i ph
1. S d ng ph
(ph

ng pháp ch y u đ

c

ng trình b c ba
ng trình b c hai đ gi i và bi n lu n ph

ng trình b c ba

ng pháp phân tích thành nhân t )
2. S d ng ph

ng pháp đ t n ph

3. S d ng ph

ng pháp đ th đ gi i và bi n lu n ph

2.2.1. S d ng ph

ng trình b c hai đ gi i và bi n lu n ph

b c ba
Ph
Cho ph

ng pháp chung

ng trình: ax 3  bx 2  cx  d  0

Ta th c hi n theo các b

ng trình b c ba

c sau:

- 19 -

(1)

ng trình


Tr n Th Ly - K30C Toán

Khoá lu n t t nghi p

B

c 1: oán nghi m x 0 c a (1)

B

c 2: Phân tích (1) thành

(x  x 0 )(ax 2  b1x  c1)  0
x  x0

2
g(x)  ax  b1x  c1  0 (2)
B

c 3: K t lu n
+. Ph

 g  0
ng trình (1) có 3 nghi m phân bi t  
g(x 0 )  0

+. Ph

  g  0

 g(x 0 )  0
ng trình (1) có 2 nghi m phân bi t  
 0
  g
 g(x 0 )  0


+. Ph

  g  0

ng trình (1) có đúng 1 nghi m   g(x 0 )  0
  0
 g

(*) Chú ý
1. D đoán nghi m d a vào các k t qu sau:
+. N u a  b  c  d  0 thì (1) có nghi m x  1
+. N u a  b  c  d  0 thì (1) có nghi m x  1

+. N u a,b,c,d Z và (1) có nghi m h u t

p
thì p,q theo th t là
q

c c a d và a
+. N u ac3  b3d (a,d  0) thì (1) có nghi m x  

- 20 -

c
b


Khoá lu n t t nghi p

Tr n Th Ly - K30C Toán

2. V i các ph

ng trình có ch a tham s có th coi tham s là n đ

th c hi n vi c phân tích đa th c
Ví d minh h a
Ví d 1: Gi i các ph

ng trình sau

a. 3x 3  8x 2  2x  4  0

(3)

b. x 3  x 2  2x  2 2  0

(4)

L i gi i
a. Nh n xét r ng: a  3 có

c là 1,  3

d  2 có

c là 1,  2

Do đó ph

ng trình n u có nghi m h u t thì ch có th nh n 1 trong các giá

1 2
2
tr sau: 1,  2,  ,  . Nh n th y x  là nghi m c a ph
3 3
3

bi n đ i ph

ng trình v d ng:

(3x  2)(x 2  2x  2)  0
3x  2  0
 2
 x  2x  2  0
2


x
3


 x  1  3
V y ph

ng trình đã cho có 3 nghi m th c phân bi t
x1 

2
; x 2  1  3 ; x3  1  3
3

b. Nh n xét r ng: ac3  1.( 2)3  2 2  b3d
Do đó ph

c
ng trình (4) có nghi m x    2
d

(4)  (x  2)[(x 2  ( 2  1)x  2]  0

- 21 -

ng trình nên ta


Tr n Th Ly - K30C Toán

Khoá lu n t t nghi p

x  2  0

2
 x  ( 2  1)x  2  0
x 2

ng trình có nghi m th c duy nh t x  2

V y ph

Ví d 2: Cho ph
a. Gi i ph

ng trình mx3  (3m  4)x 2  (3m  7)x  m  3  0

(5)

ng trình v i m  3

b. Xác đ nh m đ ph

ng trình có 3 nghi m phân bi t không d

ng

L i gi i
Do a  b  c  d  0 nên ph

ng trình có 1 nghi m x  1

(5)  (x  1)[mx2  2(m  2)x  m  3]  0

x  1  0

2
g(x)  mx  2(m  2)x  m  3  0 (*)

(I)

a. V i m  3

x  1  0
(I)   2
3x  2x  0

 x  1

2
 x  
3


x  0

V y v i m = 3 thì ph

ng trình có 3 nghi m phân bi t

2
x  1 ; x   ; x  0
3

b. Ph

ng trình (5) có 3 nghi m phân bi t không d

có 2 nghi m phân bi t không d

ng khi ph

ng ( x1  x 2  0 ) khác -1

- 22 -

ng trình (*)


Tr n Th Ly - K30C Toán

Khoá lu n t t nghi p




a  0
m  0
 '  0

g

4  m  0


 ag(0)  0  m(m  3)  0  3  m  4
s
 m2
 0

0
2
2

g(1)  0 1  0
V y v i m 3,4  thì ph

ng trình có 3 nghi m phân bi t không d

Ví d 3: Xác đ nh m đ ph

ng

ng trình

m2 x3  3mx 2  (m2  2)x  m  0 ( m  0 )

(6)

có 3 nghi m phân bi t
L i gi i
(*) Chú ý: N u ph

ng trình có ch a tham s m ta có th coi m là n còn x là

tham s , sau đó tìm l i x theo m. Do đó ta có th gi i bài toán nh sau
Vi t l i ph

ng trình d

i d ng:

(x 3  x)m2  (3x 2  1)m  2x  0
Coi m là n, x là tham s ta đ

m 

m 


Do đó ph

1
x
2x

x2  1

ng trình đ

c ph

ng trình b c hai theo m. Gi i ra ta đ

c

(do m  0  x  0 )

c chuy n v d ng:

(mx  1)(mx 2  2x  m)  0
 mx  1  0

2
f (x)  mx  2x  m  0

Ph

ng trình (6) có 3 nghi m phân bi t khi và ch khi ph

có 2 nghi m phân bi t x 

1
m

- 23 -

ng trình f (x)  0


Tr n Th Ly - K30C Toán

Khoá lu n t t nghi p



a  0
m  0
m  0
 '

   0  1  m 2  0  
 m 1
 1

1
f ( )  0  m   0
m
 m

V y v i m   1,1 \ 0 ph
Ví d 4: Cho ph

ng trình đã cho có 3 nghi m phân bi t

ng trình

x3  (2m  1)x 2  (3m  1)x  (m  1)  0
Tìm m đ ph

(7)

ng trình có đúng 2 nghi m

L i gi i
D nh n th y x  1 là nghi m c a ph

ng trình (7) nên

(7)  (x  1)(x 2  2mx  m  1)  0
x  1

2
g(x)  x  2mx  m  1  0
(7) có đúng 2 nghi m thì ta có nh ng tr
Tr

ng h p 1: Ph

ng h p sau :

ng trình g(x) = 0 có đúng 1 nghi m kép x  1


'
m 2  m  1  0 m  1  5

1 5
 g  0



2 m
2
g(1)  0 m  2  0
m  2


Suy ra m 
Tr

1 5
th a mãn
2

ng h p 2: Ph

ng trình g(x) = 0 có 2 nghi m phân bi t và 1 nghi m

x=1

- 24 -


Tr n Th Ly - K30C Toán

Khoá lu n t t nghi p


1 5
m 
2
 'g  0
m 2  m  1  0
 


 
1 5  m  2

m
g(1)  0 m  2  0


2

m  2
Suy ra m = 2 th a mãn
K t lu n: V y v i m 

1 5
ho c m  2 thì ph
2

ng trình (7) có đúng 2

nghi m

Bài t p đ ngh
Bài 1. Gi i các ph

ng trình sau

a. 4x 3  9x 2  6x  1  0
b. x 3  4x 2  7x  2  0
c. 2x 3  7x 2  7x  2  0
Bài 2. Tìm t t c các nghi m x  0,1 c a ph

ng trình

64x 6  96x 4  36x 2  3  0

Bài 3. Gi i ph

ng trình sau bi t r ng ph

ng trình có 1 nghi m không ph

thu c vào a,b

x3  (2a  1)x 2  (a 2  2a  b)x  (a 2  b)  0
Bài 4. Cho ph
a. Gi i ph

ng trình x3  (2m  1)x 2  3(m  4)x  m  12  0
ng trình v i m = -12

b. Xác đ nh m đ ph

Bài 5. Cho ph

ng trình có 3 nghi m phân bi t

ng trình x 3  2mx 2  m2 x  m  1  0

Xác đ nh m đ :
a. Ph

ng trình có đúng 1 nghi m

- 25 -