LUẬN văn sư PHẠM vật lý PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN và ỨNG DỤNG TRONG vật lý

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ
KHOA SƯ PHẠM
BỘ MÔN VẬT LÝ

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ
LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP
NGÀNH SƯ PHẠM VẬT LÝ

Giáo viên hướng dẫn:
ThS. Trần Minh Quý
Giáo viên phản biện:
Nguyễn Thị Thúy Hằng
Trịnh Thị Ngọc Gia

Sinh viên thực hiện:
Nguyễn Duy Khánh
MSSV: 1070226
Lớp: Sư Phạm Vật Lý K33

Cần Thơ, 05/ 2011


LỜI CẢM ƠN
Tôi xin chân thành cảm ơn Thầy Trần Minh Quý đã tận tình chỉ dạy,
hướng dẫn và đóng góp những ý kiến quý báu để tôi có thể hoàn thành luận văn
tốt nghiệp.
Tôi xin chân thành cảm ơn đến tất cả thầy, cô trong bộ môn Sư phạm
Vật Lý đã cung cấp cho tôi những kiến thức để tôi có thể vận dụng vào thực
hiện đề tài.
Đồng thời, tôi cũng xin gởi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc đến gia đình,

bạn bè và các bạn lớp Sư phạm Vật Lý K33 đã ủng hộ, động viên tôi trong
suốt quá trình thực hiện đế tài.
Dù tôi đã cố gắng rất nhiều, nhưng trong quá trình sắp xếp, trình bày
chắc hẳn vẫn còn nhiều thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến
của quý thầy cô và các bạn sinh viên để bài luận văn được hoàn thiện hơn. Tôi
xin chân thành cảm ơn.
Cần Thơ, tháng 05 năm 2011
Sinh viên thực hiện

Nguyễn Duy Khánh

Nguyễn Duy Khánh


MỤC LỤC
PHẦN 1. MỞ ĐẦU ......................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ...................................................................................................... 1
2. Mục đích của đề tài .................................................................................................. 1
3. Giới hạn đề tài .......................................................................................................... 1
4. Phương pháp nghiên cứu .......................................................................................... 1
5. Các bước thực hiện đề tài ......................................................................................... 1
PHẦN 2. NỘI DUNG ...................................................................................................... 2
I.Phương trình vi phân.................................................................................................. 2
I.1.Các khái niệm cơ bản .......................................................................................... 2
I.1.1.Bài toán dẫn đến phương trình vi phân .......................................................... 2
a. Trong vật lý: .................................................................................................. 2
b. Trong toán học: ............................................................................................. 3
c. Trong hóa sinh: ............................................................................................. 3
I.1.2. Các định nghĩa và khái niệm ........................................................................ 4
I.2. Các dạng phương trình vi phân ........................................................................... 4

I.2.1. Phương trình vi phân biến số phân ly ........................................................... 4
I.2.2.Phương trình đẳng cấp .................................................................................. 7
I.2.3.Phương trình tuyến tính cấp 1 ..................................................................... 10
I.2.4. Phương trình Bernoulli .............................................................................. 11
I.2.5 Phương trình Riccati ................................................................................... 13
I.2.6. Phương trình vi phân toàn phần ................................................................. 15
I.2.7. Phương trình cấp một chưa giải ra đạo hàm ............................................... 17
I.2.8. Phương trình Lagrange và phương trình Clairaut ....................................... 18
I.3. Bài toán Cauchy ............................................................................................... 19
I.3.1. Điều kiện Lipschits ................................................................................... 19
I.3.2. Tồn tại và duy nhất nghiệm ....................................................................... 20
I.3.3. Cách tìm nghiệm kỳ dị ............................................................................... 20
I.4. Các dạng đặc biệt của phương trình vi phân ..................................................... 20
I.4.1. Phương trình Bessel .................................................................................. 20
I.4.2. Phương trình Legendre.............................................................................. 22
I.5. Phương trình vi phân cấp 2 ............................................................................... 24
I.5.1. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 thuần nhất....................................... 24
I.5.2. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 không thuần nhất ............................ 24
I.5.3. Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 có hệ số là hằng số.......................... 25
II. ỨNG DỤNG ......................................................................................................... 27
II.1. Tính thời gian vật thể rơi: ................................................................................ 27
II.2. Bài toán dao động tắt dần ................................................................................ 28
II.3. Bài toán 3 ........................................................................................................ 29
II.4. Bài toán 4 ........................................................................................................ 30
II.5. Bài toán dao động tự do của sợi dây hữu hạn .................................................. 31
II.6. Dao động cưỡng bức của sợi dây hữu hạn ....................................................... 36
II.7. Dao động của màng chữ nhật .......................................................................... 39


III. Một số bài tập ứng dụng ....................................................................................... 44

PHẦN 3. KẾT LUẬN ................................................................................................................... 51


GVHD:ThS. Trần Minh Quý

Luận văn tốt nghiệp

PHẦN 1. MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài

Vật lý học vốn là ngành khoa học tự nhiên tìm hiểu về cấu trúc và qui luật
vận động của thế giới vật chất trong tự nhiên và là một ngành khoa học thực nghiệm.
Vật lý và toán học luôn luôn có mối quan hệ thân thiết nhau, vật lý sử dụng những
công cụ toán học có sẵn, đồng thời lại đặt ra những yêu cầu mới đối với toán học
Trên thực tế, vật lý và toán học có mối quan hệ mật thiết với nhau, nếu hiểu
tốt các vấn đề toán học một cách thông suốt thì nó giúp ích rất nhiều cho các vấn đề
trong vật lý. Có nhiều trường hợp toán học phát triển trước rồi vật lý đem ứng dụng,
nhưng cũng có trường hợp vật lý đòi hỏi phải có những kiến thức toán học mới.
Chính vì vậy mà toán học và vật lý không thể tách rời nhau. Để tìm hiểu được phần
nào về vai trò của toán học cho vật lý. Tôi đã quyết định chọn đề tài: “ PHƯƠNG
TRÌNH VI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG TRONG VẬT LÝ

2. Mục đích của đề tài

- Giới thiệu về phương trình vi phân
- Ứng dụng của phương trình vi phân trong vât lý

3. Giới hạn đề tài

Việc giải phương trình vi phân là rất phổ biến trong vật lý. Phương trình này rất
rộng, vì thế đề tài chỉ điểm lại một cách tổng quan các dạng phương trình thường
gặp

4. Phương pháp nghiên cứu

- Sử dụng phương pháp tìm tòi và nghiên cứu tài liệu có liên quan đến đề tài, sau
đó hệ thống lại theo cách hiểu riêng
- Sử dụng phương pháp phân tích tổng hợp, hệ thống hóa các tài liệu đã nghiên cứu
để đi đến một bài luận văn hoàn chỉnh

5. Các bước thực hiện đề tài
-

Nhận đề tài, xác định nhiệm vụ cần đạt được của đề tài
Tìm tài liệu có liên quan
Lập đề cương chi tiết của luận văn cho giáo viên hướng dẫn
Tiến hành viết đề tài và trao đổi với giáo viên
Sửa chữa hoàn chỉnh luận văn và báo cáo

SVTH: Nguyễn Duy Khánh

Trang 1


GVHD:ThS. Trần Minh Quý

Luận văn tốt nghiệp

PHẦN 2. NỘI DUNG

I. Phương trình vi phân
I.1. Các khái niệm cơ bản

I.1.1. Bài toán dẫn đến phương trình vi phân
Phương trình vi phân là phương trình chứa hàm cần tìm, chứa đạo hàm các cấp
của nó và các biến độc lập. Phương trình vi phân ra đời ở thế kỉ XVII từ nhu cầu
của các bài toán cơ học, nó hầu như ra đời không đồng thời với phép tính vi phân.
Sang thế kỉ XVIII phương trình vi phân trở thành một lĩnh vực toán học độc lập nhờ
váo các công trình của Bernoulli, D’Alemberi và nhất là của Euler.
a. Trong vật lý:
Bài toán 1:
Ném một vật thể lên trời theo phương thẳng đứng. Hỏi chiều cao tối đa vật
đạt đến là bao nhiêu?
Giải
Giả sử h(t) là chiều cao mà vật có thể đạt đến. Khi chưa ném t = 0 thì
h(0) = 0
vì vận tốc chuyển động giảm dần với gia tốc:
dh
Mặt khác:
dt

v.

d 2h
Ta được : 2
d t

dv
dt

g

( I.1 )

g

Lấy tích phân (I.1) ta được :
dh
v
dt

 gt

Ÿ ht
vt 

gt 2
2

Hàm (I.2) đạt giá trị lớn nhất tại

( I. 2 )
t

v
g

Ÿ hmax

v2

2g

Bài toán 2:
Một vật có khối lượng m rơi tự do với lực cản của không khí tỉ lệ với đạo
hàm vận tốc rơi. Tìm phương trình chuyển động của vật.
Giải
Gọi v(t) là vận tốc rơi của vật. Khi đó có 2 lực tác động lên vật rơi là trọng lực
P = mg ( cùng chiều với chuyển động của vật) và lực cản không khí là
F1 Dvt
(ngược chiều chuyển động), trong đó g là gia tốc trọng trường, D ² 0
là hệ số cản. Theo định luật II Niutơn :
Fhl

ma mà a

dv
và Fhl
dt

P  F1

dv
mg  D .vt

( I.3 )
dt
đây là phương trình mà ngoài hàm cần tìm v(t), nó còn chứa cả đạo hàm vận tốc
v’(t). Nó là phương trình vi phân cấp 1
Nếu gọi S(t) là quảng đường mà vật đi được thì ta có
Ÿ m.

SVTH: Nguyễn Duy Khánh

Trang 2


GVHD:ThS. Trần Minh Quý

m.

d 2 S t

dt 2

Luận văn tốt nghiệp

mg  D

dS t

dt

( I.4 )

chính là phương trình vi phân cấp 2.
Bài toán 3:
Một thanh kim loại được nung nóng đến 100 0 C đặt trong môi trường luôn có
nhiệt độ không đổi 20 0 C . Tìm quy luật thay đổi nhiệt độ của kim loại
Giải
Gọi T(t) là nhiệt độ thanh kim loại tại thời điểm t. Theo định luật Niutơn về sự

dT
tỉ lệ với nhiệt độ của vật thể và
dt
nhiệt độ môi trường tại thời điểm đó >T t
 20@
dT
V ậy
k >T t
 20@ k > 0 là phương trình vi phân cấp 1 với ẩn hàm T(t)
dt

giảm nhiệt của vật thì tốc độ giảm nhiệt

b. Trong toán học:
Tìm hàm ẩn y(x) từ phương trình F(x,y,c) = 0, với c là tham số. Muốn tìm
hàm ẩn y(x) chúng ta phải chứng minh định lý sau:
Định lý hàm ẩn: Giả sử hàm F(x,y,c) = 0 thỏa mãn trong lân cận điểm
M x0 , y 0


i. Phải liên tục theo x,y

ii. Tồn tại
iii.

wF wF
,
wx wy

wF
x 0 , y 0
z 0
wy

khi đó tồn tại hàm ẩn y(x) trong lân cận điểm M x0 , y 0
thỏa mãn :

dy
dx

 wF
wx
wF
wy

x Chứng minh: vì hàm F(x,y,c) khả vi trong lân cận điểm M x0 , y 0
nên ta có
dF  x, y, c


wF wF dy

.
wx wy dx

wF
Do
x0 , y 0
z 0 nên suy ra dy

dx
wy

wF
 wx
wF
wy

c. Trong hóa sinh:
Các cơ quan bộ phận trong cơ thể người nhạy cảm với các phản ứng hóa học.
Hãy mô tả quá trình tăng- giảm nồng độ hóa chất trong cơ thể con người?
Giải
Gọi u(t) là nồng độ thuốc trong cơ thể
Tốc độ tăng của u(t) tỉ lệ với (a-u) ( với a là nồng độ bão hòa cuối cùng).
Như vậy mô hình tăng nồng độ u(t) thỏa mãn phương trình:
du t

dt

k a  u


, u(0) = 0

( I.5 )

Ngoài ra tùy các loại hóa chất nồng độ u(t) thỏa mãn phương trình:
SVTH: Nguyễn Duy Khánh

Trang 3

GVHD:ThS. Trần Minh Quý

Luận văn tốt nghiệp

du t

k
dt
du t

ku 2
dt
du t