Luận văn sư phạm Phép biến đổi Fourier và một số ứng dụng
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (496.77 KB, 56 trang )
Khóa luận tốt nghiệp
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
=====***=====
NGUYỄN THỊ THÚY
PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER VÀ
MỘT SỐ ỨNG DỤNG
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích
HÀ NỘI - 2013
Nguyễn Thị Thúy Lớp K35D SP Toán
1
Khóa luận tốt nghiệp
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN
=====***=====
NGUYỄN THỊ THÚY
PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER VÀ
MỘT SỐ ỨNG DỤNG
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích
Người hướng dẫn khoa học
PGS. TS KHUẤT VĂN NINH
HÀ NỘI - 2013
Nguyễn Thị Thúy Lớp K35D SP Toán
2
Khóa luận tốt nghiệp
LỜI CẢM ƠN
Khóa luận tốt nghiệp này của em đã được hoàn thành với sự chỉ bảo,
hướng dẫn tận tình của thầy giáo, PGS.TS Khuất Văn Ninh.
Qua đây em xin được bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Khuất Văn
Ninh, người đã trực tiếp tạo điều kiện và giúp đỡ em trong suốt thời gian làm
khóa luận. Đồng thời em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy cô giáo
trong tổ giải tích, cũng như các thầy giáo trong khoa toán trường đại học sư
phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện tốt nhất để em hoàn thành khóa luận tốt
nghiệp này.
Em xin trân thành cảm ơn!
Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên
Nguyễn Thị Thúy
Nguyễn Thị Thúy Lớp K35D SP Toán
3
Khóa luận tốt nghiệp
LỜI CAM ĐOAN
Khóa luận tốt nghiệp này của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn
nhiệt tình của thầy giáo, PGS.TS Khuất Văn Ninh cùng với sự cố gắng của
bản thân.
Trong quá trình nghiên cứu, em đã tham khảo và kế thừa những thành
quả nghiên cứu của các nhà khoa học và các nhà nghiên cứu với sự trân trọng
và lòng biết ơn.
Em xin cam đoan những kết quả nghiên cứu của riêng bản thân, không
có sự trùng lặp với kết quả của các tác giả khác.
Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên
Nguyễn Thị Thúy
Nguyễn Thị Thúy Lớp K35D SP Toán
4
Khóa luận tốt nghiệp
MỤC LỤC
LỜI MỞ ĐẦU ........................................................................................ 1
CHƯƠNG 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................. 7
1.1. Không gian L p ( E , ) ..................................................................... 7
1.2. Tích chập ......................................................................................... 7
1.3. Tích phân trên khoảng vô hạn........................................................ 10
1.4. Tích phân Fourier .......................................................................... 14
CHƯƠNG 2. PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER .......................................... 18
2.1. Biến đổi Fourier trong L1 ( ) ....................................................... 18
2.2. Biến đổi Fourier trong L2 ( ) ....................................................... 35
2.3. Biến đổi Fourier rời rạc ................................................................. 38
CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER ........... 43
3.1. Tìm nghiệm của phương trình truyền nhiệt .................................... 43
3.2. Tìm nghiệm của phương trình truyền nhiệt không thuần nhất ........ 46
3.3. Tìm nghiệm của phương trình truyền sóng .................................... 51
3.4. Ứng dụng khác (Thế vị Bessel) ..................................................... 52
KẾT LUẬN.......................................................................................... 55
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................... 56
Nguyễn Thị Thúy Lớp K35D SP Toán
5
Khóa luận tốt nghiệp
LỜI MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Bộ môn phương trình vi phân đạo hàm riêng là bộ môn toán cơ bản, vừa
mang tính lý thuyết, vừa mang tính ứng dụng rộng rãi. Thông thường, các bài
toán phương trình đạo hàm riêng được rút ra từ các bài toán trong thực tế. Vì
vậy chắc chắn nó có nghiệm và người ta thường dùng các phép biến đổi để giải
các phương trình vi phân đó đặc biệt hiệu quả cao với các phép biến đổi
Fourier… Chính vì vậy em lựa chọn đề tài “Phép biến đổi Fourier và một số
ứng dụng” để thực hiện khóa luận tốt nghiệp.
Nội dung gồm 3 chương:
Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị
Chương 2: Phép biến đổi Fourier
Chương 3: Một số ứng dụng của phép biến đổi Fourier.
2. Mục đích nghiên cứu
Tìm hiểu về khái niệm, một số tính chất và một số ứng dụng của phép
biến đổi Fourier.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu phép biến đổi Fourier và tính chất
- Nghiên cứu một số ứng dụng của phép biến đổi Fourier.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Phép biến đổi Fourier và một số ứng dụng.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Nghiên cứu lý luận, tài liệu tham khảo
- Phân tích, tổng hợp kiến thức phục vụ cho mục đích nghiên cứu
6. Dự kiến đóng góp mới
Đây là tổng quan về phép biến đổi Fourier. Giúp người đọc không chỉ
hiểu rõ hơn về các tính chất của nó mà còn thấy phép biến đổi Fourier có thể
áp dụng cho những bài toán truyền nhiệt, truyền sóng trong vật lý…
Nguyễn Thị Thúy Lớp K35D SP Toán
6
Khóa luận tốt nghiệp
CHƯƠNG 1. MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Không gian L p ( E , )
1.1.1. Định nghĩa
Giả sử E là một tập hợp nào đấy, là một - đại số các tập con của
E , là độ đo trên . L p ( E , ) là tập hợp tất cả các hàm số x (t ) đo được
theo độ đo trên E sao cho tích phân sau hội tụ
p
, với p 1 .
x (t ) d
E
1.1.2. Tính chất
Bất đẳng thức Holder
E
x ( t ). y ( t ) d
x (t )
p
E
1
p
d y (t )
E
với mọi x L p ( E , ) , y Lq ( E , ) ,
q
d
1
q
1 1
1 với p 1, q 1 .
p q
Bất đẳng thức Mincovxki
x (t ) y (t )
E
p
d
1
p
x (t )
E
p
d
1
p
1
E
y (t )
p
p
d
với mọi x , y L p ( E , ) , p 1 .
Định lý 1.1
Không gian L p ( E , ) là không gian Banach.
1.2. Tích chập
1.2.1. Định nghĩa
Giả sử các hàm f và g khả tích trên . Khi đó hàm
h ( x ) f ( s ) g ( x s ) ds
Nguyễn Thị Thúy Lớp K35D SP Toán
7
Khóa luận tốt nghiệp
Được gọi là tích chập của hàm f và hàm g
Ta ký hiệu tích chập của hàm f và g là f g .
Ví dụ 1.1
Cho f (t ) = e 2t step(t ) và g (t ) e 3 t
với
1
step( x) rect(0, ) ( x)
0
nÕu x 0
nÕu x 0
Ta có f ( s ) e 2 s step ( s )
g ( x s ) e 3( x s )
Và tích chập của f và g là:
f g =
f ( s) g ( x s)ds
e
2 s
step ( s ) e 3( x s ) ds
e
3x
e
5 s
ds
0
1
e3 x e 5 s |
0
5
1 3x
e .
5
Vậy tích chập của f và g là f g
1 3x
e .
5
Nguyễn Thị Thúy Lớp K35D SP Toán
8
Khóa luận tốt nghiệp
1.2.2. Tính chất
Tính chất 1.1. (Tính chất giao hoán)
Cho f và g là hai hàm xác định trên . Nếu tồn tại f g thì cũng
tồn tại g f và f g g f .
Chứng minh
Từ định nghĩa tích chập ta có:
f g ( x)
f ( s ) g ( x s ) ds
và g f ( x )
g ( s ) f ( x s ) ds
Đặt x s d ds
Suy ra:
g f ( x)
g ( s ) f ( x s ) ds
s
=
g ( x ) f ( )( 1)d
=
f ( ) g ( x )d
= f g ( x) .
Tính chất 1.2. (Tính chất phân phối)
Cho f , g , h là các hàm số xác định trên . Nếu các tích chập f g
và f h tồn tại thì f ( g h ) tồn tại. Hơn nữa f ( g h ) f g f h .
Tính chất 1.3. (Tính chất nhân vô hướng)
Cho f là hàm số các định trên , hằng số
Ta có: ( f ) g f ( g ) ( f g ) nếu một trong các tích chập trên
tồn tại.
Nguyễn Thị Thúy Lớp K35D SP Toán
9
Khóa luận tốt nghiệp
Tính chất 1.4. (Tích chập với hàm 0)
f 0 0 .
1.3. Tích phân trên khoảng vô hạn
1.3.1. Các hàm liên tục tuyệt đối
Định nghĩa 1.3. Một hàm f : a , b được gọi là hàm liên tục tuyệt
đối trên a , b nếu:
n
0, 0 :
i 1
f ( i ) f ( i )
Với mọi n và mọi họ các khoảng rời nhau 1 , 1 ,..., n , n trong
n
a , b có tổng các độ dài:
i 1
i
i .
Hiển nhiên một hàm liên tục tuyệt đối trên a , b thì liên tục (đơn giản
ta lấy n = 1).
Định lý 1.2. Giả sử f : a , b liên tục tuyệt đối, khi đó f khả vi
hầu hết trên a , b , f L1 a , b và:
f ( x) f (a )
x
f (t ) dt
, a xb.
a
1.3.2. Các hàm khả tích tuyệt đối
Định nghĩa 1.4. Một hàm f được gọi là khả tích tuyệt đối trên khoảng
( , ) nếu và chỉ nếu
f ( x) dx .
Nguyễn Thị Thúy Lớp K35D SP Toán
10
Khóa luận tốt nghiệp
Một hàm f xác định trên được gọi là bình phương khả tích nếu và
chỉ nếu
2
f ( x ) dx tồn tại và hữu hạn.
Khi đó ta có chuẩn của f trên ký hiệu là f được xác định bởi
1
2
2
f = f ( x) dx .
Ví dụ 1.2
Hàm chữ nhật trên khoảng ( a , b ) ký hiệu là rect( a ,b ) , xác định bởi :
1,
rect( a ,b ) ( x )
0,
a xb
x a, x b
là hàm khả tích tuyệt đối trên .
Lời giải
Thật vậy:
Vì rect( a ,b ) là hàm không âm nên rect ( a ,b ) ( x ) rect ( a ,b ) ( x ) .
Nếu a, b là hai số hữu hạn thì:
rect( a ,b ) ( x ) dx
a
b
a
b
0.dx 1.dx
0.dx b a .
Định nghĩa 1.5. Tập hợp các hàm số liên tục từng khúc và khả tích
tuyệt đối trên khoảng ( , ) , ký hiệu là A[( , )] ,
A[( , )] = { f : f liên tục từng khúc trên ( , ) ,
f ( x ) dx }
Ký hiệu: A A A , .
Nguyễn Thị Thúy Lớp K35D SP Toán
11
Khóa luận tốt nghiệp
Bổ đề 1.1. Nếu một hàm số f liên tục từng khúc trên một khoảng hữu
hạn ( , ) thì f khả tích tuyệt đối trên ( , ) . Nghĩa là f ( x ) liên tục từng
khúc trên ( , ) , x ( , ) thì
f ( x ) dx , x ( , ) .
Bổ đề 1.2. Cho f là một hàm số xác định trên khoảng ( , ) . Giả sử
tồn tại một hằng số M sao cho với mọi khoảng mở ( a , b ) mà a b ,
b
f ( x ) dx tồn tại và
b
f ( x) dx M thì hàm khả tích tuyệt đối trên khoảng
a
a
( , ) .
Bổ đề 1.3. Cho u và v là phần thực và phần ảo của hàm phức f trên
khoảng ( , ) . Khi đó f A [(, )] nếu và chỉ nếu u , v A ( , ) .
Bổ đề 1.4. Nếu f A[( , )] thì
f ( x ) dx tồn tại hữu hạn. Hơn
nữa:
f ( x ) dx f ( x ) dx .
1.3.3. Xây dựng hàm khả tích tuyệt đối
Bổ đề 1.5. Giả sử hàm f A , * . Khi đó ta có các hàm
f ( x ) và f ( x ) cũng thuộc A .
Chứng minh
Vì f ( x ) A nên f ( x ) liên tục từng khúc với x . Suy ra
f ( x ) , f ( x ) là các hàm số liên tục từng khúc theo x .
Ta phải chứng minh f ( x ) và f ( x ) khả tích tuyệt đối.
Nguyễn Thị Thúy Lớp K35D SP Toán
12
Khóa luận tốt nghiệp
Đặt x , x , ta có
f ( x ) dx
và
f ( ) d
f ( x ) dx
1
f ( ) d .
Bổ đề 1.6. Tổ hợp tuyến tính bất kỳ các hàm thuộc A[( , )] thì cũng
thuộc A[( , )] .
Chứng minh
Cho f là tổ hợp tuyến tính bất kỳ các hàm thuộc A[( , )] , tức là:
f C1 f1 C 2 f 2 ... C N f N
Trong đó:
N là số nguyên dương
C k là các hằng số, k 1, 2,..., N
f k A[( , )] , k 1, 2,..., N
Vì f là tổ hợp tuyến tính của các hàm liên tục từng khúc trên ( , ) nên
f cũng liên tục từng khúc trên ( , ) . Sử dụng bất đẳng thức tam giác ta có:
f ( x ) dx C1 f1 ( x ) C 2 f 2 ( x ) ... C N f N ( x ) dx
C1
f1 ( x ) dx C 2
f 2 ( x ) dx ... C N
f N ( x ) dx
Bổ đề 1.7. Cho f A[( , )] và giả sử g bị chặn, liên tục từng khúc
trên ( , ) thì fg A[( , )] .
Nguyễn Thị Thúy Lớp K35D SP Toán
13
Khóa luận tốt nghiệp
Chứng minh
Theo giả thiết g bị chặn nên M sao cho g ( x ) M , x .
Vì f là hàm khả tích tuyệt đối trên ( , ) nên ta có:
f ( x ) g ( x ) dx M f ( x ) dx
fg khả tích tuyệt đối.
Hơn nữa tích phân của hai hàm liên tục từng khúc là liên tục từng khúc.
Vậy fg A[( , )] .
i 2 x
và f ( x )e i 2 x A
Hệ quả. Cho nếu f A thì f ( x )e
1.4. Tích phân Fourier
Xét hàm f L1 ( ) , ta đặt
a
b
1
1
f ( t ) cos tdt
(1.1)
f ( t ) sin tdt
(1.2)
Ta cho f liên kết với tích phân sau đây, gọi là tích phân Fourier
f ( x)
(a cos x b sin x)d
(1.3)
0
Ta thấy các công thức từ (1.1) – (1.3) tương tự như chuỗi Fourier của
một hàm thuộc L1 , . Ta có định lý sau đây về sự hội tụ của tích phân
Fourier.
Định lý 1.3. Cho f L1 ( ) , thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên mọi
khoảng mở hữu hạn. Giả sử f ( x ) và f ( x ) tồn tại, thì ta có
(a cos x b sin x)d
0
Nguyễn Thị Thúy Lớp K35D SP Toán
=
1
f ( x ) f ( x )
2
14
Khóa luận tốt nghiệp
trong đó tích phân vế trái được hiểu là:
q
lim ( a cos x b sin x ) d .
q
0
Chứng minh
Chọn số dương a x bất kỳ. Ta xét dãy hàm g n n 1,2,... được xác
định theo công thức:
g n ( )
n
f ( t )cos ( t x ) dt
a
Do f L1 ( ) nên dãy hàm hội tụ đều, hơn nữa chúng liên tục nên hàm
g xác định bởi
n
g ( ) lim f (t )cos (t x ) dt lim g n ( ) là liên tục.
n
n
a
Tóm lại tích phân
q
q
0
0
a
g ( )d d f (t )cos (t x) dt
tồn tại với mọi q .
Sau đây ta sẽ chứng minh:
q
0
a
lim d f ( t ) cos ( t x ) dt 0
q
(1.4)
Thật vậy do định lý Fubini, ta có:
q
0
a
d
f ( t )co s ( t x ) d t
q
a
0
dt
f (t )
a
Nguyễn Thị Thúy Lớp K35D SP Toán
f ( t )co s ( t x ) d
sin q(t x)
dt
tx
(1.5)
15
Khóa luận tốt nghiệp
Vì t x a x 0 nên
a
f (t )
dt tồn tại. Do đó với mọi 0
tx
cho trước, ta tìm được số A a sao cho:
A
sin q ( t x )
f ( t ).
dt
t x
f ( t ).
f (t )
A
tx
sin q ( t x )
dt
t x
dt
A
2
(1.6)
Ngoài ra, do f thỏa mãn điều kiện Dirichlet trên ( a x , A x ) và
a x 0 , ta có
A
lim f ( t )
q
a
A x
sin q (t x )
sin qu
dt lim f ( u x )
du 0
q
tx
u
a x
suy ra có thể chọn được Q 0 sao cho:
A
f (t )
a
sin q (t x )
dt
2
tx
, khi q Q
(1.7)
Từ (1.6) và (1.7) ta có
f (t )
a
sin q (t x )
dt
tx
, khi q Q
Kết hợp điều này với (1.5) sẽ suy ra (1.4)
Tiếp theo, ta có:
q
a
a
q
0
x
x
0
d f (t )cos (t x ) dt dt f (t )cos (t x )d
a
f (t )
x
ax
sin q (t x )
dt
tx
f (u x)
0
Nguyễn Thị Thúy Lớp K35D SP Toán
sin qu
du .
u
16
Khóa luận tốt nghiệp
Cho q trong đẳng thức trên, ta có:
q
a
lim d f (t ) cos (t x ) dt
q
x
0
f ( x )
2
(1.8)
Cộng theo vế của (1.4) và (1.8), ta thu được kết quả sau:
q
0
x
lim d f (t ) cos (t x ) dt
q
2
f ( x )
Hoàn toàn tương tự quá trình trên ta cũng có kết quả
q
x
0
lim d f (t )cos (t x )dt
q
2
f ( x )
Từ kết quả này, ta đi đến kết luận sau cùng cần chứng minh
q
q
0
1
1
f ( x ) f ( x ) lim d f (t ).cos (t x ) dt
2
q 0
1
lim d f (t )(cost.cos x sin t.sin x)dt
q
( a cos x b sin x ) d .
0
Nguyễn Thị Thúy Lớp K35D SP Toán
17
Khóa luận tốt nghiệp
CHƯƠNG 2. PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER
2.1. Biến đổi Fourier trong L1 ( )
2.1.1. Định nghĩa
Giả sử hàm f L1 ( ) chúng ta định nghĩa phép biến đổi Fourier của
hàm bởi:
1
2
f ( )
f ( x ).e i x dx ,
Ký hiệu: f hay F ( f )
i x
1 và f L1 ( ) nên tích phân trên hội tụ với mỗi .
Vì e
Ví dụ 2.1
Cho f
x
x
x
1,
0 ,
Tìm biến đổi Fourier của hàm f ?
Lời giải
Ta có:
f ( x ).e i x dx
0.e i x dx
e
i x
e i x dx
0.e
i x
dx
dx
ei ei
i
Vậy
f ( )
2 sin
2 sin
.
2
Nguyễn Thị Thúy Lớp K35D SP Toán
18
Khóa luận tốt nghiệp
Ví dụ 2.2. Cho f ( x) e
x
, 0 . Tìm biến đổi Fourier của hàm f ?
Lời giải
1
2
f ( )
1
x
.e i x dx
e
x
(cos x i sin x ) dx
2
2
e
1
2
e x co s xd x
0
2
2
e
x
d sin x ,
(lim e x sin x 0)
x
0
x
2 x
x
.sin
sin xdx (lim e x sin x 0)
e
x
e
|
x0
0
x
1
2
1
e
x
d ( c os x )
0
x
2 x
x
cos
cos
e
x
e
xdx
e x cos x 0)
|
(lim
2
0
x0
x
2
2
1
f ( )
f ( )
2
2
.
2
2
2.1.2. Các định lý
Định lý 2.1
Giả sử f L1 ( ) , thì f C0 với C 0 là không gian các hàm số liên
tục tiến dần về 0 tại vô cực, hơn nữa
f
Nguyễn Thị Thúy Lớp K35D SP Toán
.
f
1
19
Khóa luận tốt nghiệp
Chứng minh
1
Khi t n t thì f (tn ) f (t )
2
f ( x) e itn x e itx dx
Hàm dưới dấu tích phân bị chặn bởi 2 f ( x ) và hội tụ từng điểm tới 0
khi n do đó f t n f ( t ) ( do định lý hội tụ bị chặn) hay f liên tục
e i 1 nên
Vì
1
2
f (t )
f ( x )e
dx
1
2
it x
t
f x
t
itx
e dx
Suy ra
2 f (t )
1
2
1
2
f ( x )e
itx
dx
f x e itx dx
t
f ( x) f x t e
itx
dx
1
2
f ( x ) f x e itx dx
t
1
2
f f
t
1
Suy ra f 0 khi t
Ta có
f (t )
1
2
1
2
f ( x ) e itx d x
e itx f ( x ) dx
Nguyễn Thị Thúy Lớp K35D SP Toán
20
Khóa luận tốt nghiệp
1
2
f
f
f ( x ) dx
( do e ixt 1 )
1
f
1
Vậy định lý được chứng minh.
Định lý 2.2
Cho hàm f xác định trên và mỗi
y
đặt f y ( x ) f ( x y )
x . Nếu f L p ( ) , 1 p thì ánh xạ y f y từ vào L p ( ) là
liên tục đều.
Chứng minh
Cho trước 0 , ta biết rằng C0 ( ) trù mật trong L1 ( ) nên tìm được
hàm g liên tục trên và triệt tiêu bên ngoài một đoạn bị chặn A , A sao
cho f g
p
.
Tính liên tục đều của g cho ta một số (0, A ) thỏa mãn
g ( s ) g (t ) (3 A) 1 , s , t , s t
Vì vậy dẫn đến g s gt
Ta có: h
f s ft
p
p
h
p
fs g s
( f g )s
p
với h L p ( ) vậy
p
p
g s gt
g s gt
p
p
g t ft
( g f )t
p
p
3 , s , t , s t
Định lý được chứng minh. Từ đó ta có định lý sau.
Nguyễn Thị Thúy Lớp K35D SP Toán
21
Khóa luận tốt nghiệp
Định lý 2.3
Giả sử f L1 ( ) và f L1 ( ) , đặt g ( x )
1
2
f ( ) e i x d . Khi đó
g C 0 là không gian các hàm số liên tục trên và tiến dần về 0 tại vô cùng.
Định lý 2.4
Cho hàm f xác định trên .
Nếu f j f trong L1 ( ) thì f j hội tụ đều về f trên .
Chứng minh
Giả sử
fj f
trong
1
2
L1 ( ) khi
j thế thì .
Ta có:
f j ( ) f ( )
1
2
1
2
1
2
e i x f j ( x ) dx
e
i x
1
2
e
i x
f ( x ) dx
f j ( x ) f ( x ) dx
f j ( x ) f ( x ) dx
fj f
1
Như vậy f j hội tụ đều về f trên . Định lý được chứng minh.
2.1.3. Tính chất
Tính chất 2.1
Giả sử f L1 ( ) và , là những số thực. Nếu g ( x) f ( x).ei x thì
g ( ) f ( ) .
Nguyễn Thị Thúy Lớp K35D SP Toán
22
Khóa luận tốt nghiệp
Chứng minh
Ta có:
1
2
g ( )
1
2
1
2
g ( x ) e i x d x
f ( x ).e e
i x
i x
dx
f ( x ) e i ( ) x dx
f ( ) .
Tính chất 2.2
Đặt f r ( x) f (rx) ta có f r ( )
1
f
r r
Chứng minh
f r ( )
1
2
f ( rx ) e i x dx
Đặt t rx dt rdx
fr ( )
Hay f r ( )
1 1
2 r
1
f
r r
f ( t ).e
i t
r
dt
.
Tính chất 2.3
Với y , đặt f y ( x) f ( x y) ta có f y ( ) e i y f ( ) .
Chứng minh
Ta có f y ( )
1
2
f ( x y ).e i x dx
Đặt t x y dt dx
Nguyễn Thị Thúy Lớp K35D SP Toán
23
Khóa luận tốt nghiệp
f y ( )
e
1
2
f ( t ).e i ( t y ) d t
1
2
i y
f ( t ).e i t d t
e i y f ( ) .
Tính chất 2.4
Nếu g ( x) f ( x) thì g ( ) f ( ) .
Chứng minh
1
2
Đặt t x
1
2
g ( )
g ( )
g ( x ).e
dx
f ( x).e i x dx
1
2
1
2
i x
f ( t ).e i t dt
f ( t ).e i t d t
f ( ) .
Tính chất 2.5
Cho f L1 ( ) . Ta có f liên tục, bị chặn và f ( ) 0 khi .
Chứng minh
Ta có f
bị chặn do:
f ( )
1
2
f ( x ).e i x d x
Nguyễn Thị Thúy Lớp K35D SP Toán
24
Khóa luận tốt nghiệp
1
2
1
2
f ( x ) dx
1
2
f ( x) e i x dx
f
1
Trường hợp f là hàm đặc trưng của a, b thì
f ( )
1
2
b
e
i x
dx
a
1 eia eib
i
2
Và là hàm liên tục tiến về 0 khi 0
Nếu hàm f là hàm bậc thang thì f là tổ hợp tuyến tính của các hàm
đặc trưng. Do tính tuyến tính của phép biến đổi Fourier, ta cũng có f liên
tục và tiến dần về 0 khi .
Sau cùng, nếu f L1 ( ) do tập hợp các hàm bậc thang trù mật trong
L1 ( ) . Ta tìm được dãy các hàm bậc thang ( f n ) n 1,2,... hội tụ trong L1 ( ) về f .
Sử dụng tính chất 2.4 dãy f n
f liên tục và tiến dần về 0, khi
n
= 1, 2 ,...
hội tụ về f trên , suy ra
.
Tính chất 2.6
Cho f L1 ( ) thỏa mãn supp f a, a ta có f là hàm giải tích
trên .
Nguyễn Thị Thúy Lớp K35D SP Toán
25
