Luận văn sư phạm Phép co dãn trong mặt phẳng

Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

LỜI CẢM ƠN
Lời đầu tiên, em xin chân thành cảm ơn cô Đinh Thị Kim Thúy
đã trực tiếp hướng dẫn em hoàn thành khóa luận. Với những lời chỉ dẫn,
sự tận tình hướng dẫn của cô đã giúp em vượt qua nhiều khó khăn trong
quá trình hoàn thành đề tài nghiên cứu. Do hạn chế về thời gian, kiến
thức nên khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Em rất mong có
được những ý kiến đóng góp quý báu của các thầy cô và các bạn đọc
quan tâm để đề tài được hoàn thiện hơn.
Em cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy, cô trong tổ Hình Học và
các thầy cô trong khoa Toán đã tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành
khóa luận, cũng như trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu.
Cuối cùng em xin bày tỏ lòng biết ơn tới gia đình và bạn bè đã
giúp đỡ động viên em rất nhiều trong quá trình học tập để em có thể thực
hiện tốt khóa luận này.
Em xin chân thành cảm ơn

Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Nguyễn Thị Thùy

Nguyễn Thị Thùy

Lớp K35B


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan khóa luận là công trình nghiên cứu của riêng tôi.
Trong khi nghiên cứu, tôi đã kế thừa những thành quả nghiên cứu
của các nhà khoa học, nhà nghiên cứu với sự trân trọng và biết ơn.
Những kết quả nêu trong khóa luận chưa được công bố trên bất kì
công trình nào khác.
Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Nguyễn Thị Thùy

Nguyễn Thị Thùy

Lớp K35B


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

MỤC LỤC
Nội dung
Lời nói đầu .............................................................................................. 1
Chương 1: Một số kiến thức cơ bản về phép biến hình trong mặt phẳng .. 3
Chương 2: Phép co - dãn trong mặt phẳng ................................................ 9
2.1. Định nghĩa ................................................................................. 9
2.2. Các tính chất của phép co – dãn ................................................. 9

2.3. Áp dụng phép co - dãn để giải toán.......................................... 13
2.3.1. Các bài toán định tính ........................................................... 13
2.3.2. Các bài toán quỹ tích ............................................................ 23
Chương 3: Bài tập đề nghị ...................................................................... 36
Kết luận.................................................................................................. 46
Tài liệu tham khảo .................................................................................. 47

Nguyễn Thị Thùy

Lớp K35B


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

LỜI NÓI ĐẦU
Phép biến hình trong phẳng không chỉ cung cấp cho học sinh công
cụ mới để giải toán mà còn tập cho học sinh làm quen với các phương
pháp tư duy và suy luận mới, biết nhìn nhận sự việc và các hiện tượng
xung quanh trong cuộc sống với sự vận động và biến đổi của chúng để
nghiên cứu, tìm tòi, khám phá, tạo cơ sở cho sự ra đời của những phát
minh và sáng tạo trong tương lai. Ví dụ như trước đây, khi cần chứng
minh hai tam giác nào đó bằng nhau, học sinh thường phải chứng minh
các cạnh và góc của hai tam giác đó thỏa mãn các điều kiện đã được nêu
ra trong định lí nói về hai tam giác bằng nhau. Sau khi học các phép biến
hình trong mặt phẳng người ta có thể định nghĩa sự bằng nhau của hai
tam giác và tổng quát hơn đối với hai hình phẳng bất kì như sau: "Hình

H được gọi là bằng hình H ' nếu có một phép dời hình trong mặt phẳng

biến hình H thành hình H ' ". Như vậy khái niệm "bằng nhau" của hai
hình phẳng được xây dựng dựa trên khái niệm về phép dời hình là một
phép biến hình. Nhiều khái niệm tương tự của hình học như hai hình
đồng dạng với nhau... cũng được xây dựng trên cơ sở của các phép biến
hình tương ứng của chúng là phép đồng dạng...
Hơn nữa việc lựa chọn các công cụ giải toán thích hợp cho mỗi
loại toán hình học khác nhau là một việc làm cần thiết, giúp chúng ta tiết
kiệm được thời gian và công sức để giải các bài toán đó một cách hiệu
quả nhất.
Với lòng đam mê toán học cùng sự hướng dẫn tận tình của cô
Đinh Thị Kim Thúy em đã quyết định chọn đề tài cho mình là: "Phép
co - dãn trong mặt phẳng".
Có khá nhiều bài toán, phương pháp giải toán hay xoay quanh
phép co - dãn trong mặt phẳng nhưng do mới bước đầu làm quen với
Nguyễn Thị Thùy

-1-

Lớp K35B


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

việc nghiên cứu khoa học và thời gian nghiên cứu còn ít nên trong khuôn
khổ khóa luận này em xin trình bày một số vấn đề như sau:
Chương 1: Một số kiến thức cơ bản về phép biến hình trong mặt
phẳng.
Chương 2: Phép co - dãn trong mặt phẳng

Chương 3: Bài tập đề nghị.

Nguyễn Thị Thùy

-2-

Lớp K35B


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

CHƯƠNG 1:
MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ PHÉP BIẾN
HÌNH TRONG PHẲNG
1.1 Khái niệm về phép biến hình trong mặt phẳng
1.1.1 Thế nào là hình?
Trước khi nghiên cứu về phép biến hình chúng ta cần đưa ra khái
niệm "hình" hiểu theo nghĩa toán học. Các môn toán học thường được
xây dựng dựa trên lí thuyết tập hợp, vì vậy khái niệm "hình" cũng được
hiểu với nghĩa là "một tập hợp". Như vậy toàn thể không gian hay toàn
thể mặt phẳng cũng là một hình. Ngoài ra tập hợp chỉ có một phần tử là
một điểm và tập hợp không có phần tử nào (tập hợp trống) cũng là một
"hình". Cách hiểu "hình" theo nghĩa trên đây cũng chứa đựng nội dung
của "hình" theo nghĩa thông thường như hình tam giác, hình tứ giác, hình
tròn...
Việc hiểu hình theo nghĩa tập hợp còn giúp ta hiểu thêm một số
khái niệm khác có liên quan đến lí thuyết tập hợp như giao của hai hình
hay nhiều hình, hợp của các hình, một điểm A thuộc hình H , tập hợp B

là một tập con của tập C hay là một bộ phận của tập C. Do đó trong lập
luận chúng ta có thể dùng các kí hiệu lí thuyết tập hợp như:
- Điểm A thuộc đường thẳng d và kí hiệu: A  d
- Điểm M là giao điểm của hai đường thẳng a và b và kí hiệu:

M  a  b , v…v.
Việc hiểu "hình" là một tập hợp điểm đã giúp chúng ta trừu tượng
hóa, khái quát hóa được khái niệm này và đã mang lại nhiều thuận tiện
trong việc nghiên cứu hình học bằng phép biến hình vì chúng ta có điều

Nguyễn Thị Thùy

-3-

Lớp K35B


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

kiện sử dụng các công cụ của lí thuyết tập hợp để lập luận và chứng
minh.
1.1.2 Phép biến hình
Ta kí hiệu tất cả các điểm thuộc mặt phẳng là P .
Khi đó mỗi hình H bất kì của mặt phẳng đều là tập con của P và
kí hiệu: H  P .
a) Định nghĩa
Một song ánh f : P  P từ tập điểm của P lên chính nó được gọi
là một phép biến hình của mặt phẳng (Ta kí hiệu P là mặt phẳng).

Như vậy cho một phép biến hình f : P → P là cho một quy tắc để
với bất kì điểm M  P, ta tìm được một điểm M '  f ( M ) hoàn toàn xác
định thỏa mãn hai điều kiện sau đây:
i) Nếu M , N là hai điểm của P thì f ( M ), f ( N ) là hai điểm phân
biệt của P .
ii)Với một điểm M ' thuộc P bao giờ cũng có một điểm M  P,
sao cho f ( M )  M '.
Điểm f ( M ) được gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình f .
Ngược lại điểm M gọi là tạo ảnh của điểm f ( M ) qua phép biến hình f
nói trên. Người ta còn nói phép biến hình f biến điểm M thành điểm
f ( M ) và ta có f ( M )  M '.

Nếu H là một hình nào đó của P thì ta có thể xác định tập hợp

f ( H )   f ( M ) / M  H . Khi đó f ( H ) gọi là ảnh của hình H qua
phép biến hình f và hình H được gọi là tạo ảnh của hình f ( H ) qua
phép biến hình f đó.

Nguyễn Thị Thùy

-4-

Lớp K35B


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

b) Sự xác định của phép biến hình

Muốn xác định một phép biến hình f : P  P ta cần nêu rõ quy
tắc f đó bằng các cách sau đây:
Quy tắc f được xác định bằng các phép dựng hình cơ bản trong
mặt phẳng như: tìm giao điểm của hai đường thẳng đã được xác định nào
đó, dựng đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường
thẳng cho trước, dựng đường tròn với tâm bán kính đã cho...
Quy tắc f còn được xác định bởi biểu thức liên hệ giữa tọa độ
( x; y ) của điểm M ' với tọa độ ( x '; y ') của điểm M '  f ( M ) đối với hệ

tọa độ Oxy cho trước nào đó. Thí dụ như phép biến hình f được cho
bằng hệ thức:

x '  x

y'  y
Phép biến hình này gọi là phép đối xứng qua tâm O trong hệ tọa
độ Oxy nói trên.
c) Ví dụ
Ví dụ 1:

Δ

Cho đường thẳng ∆ thuộc mặt phẳng

P . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành
điểm M ' qua ∆ gọi là phép đối xứng trục.
Đường thẳng ∆ được gọi là trục đối

M

M'

xứng.
Phép đối xứng trục ∆ được kí hiệu là

Hình 1

ZO .

Ta có Z O ( M ) = M ' (Hình 1)

Nguyễn Thị Thùy

-5-

Lớp K35B


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng P cho điểm O cố định. Phép biến hình
biến mỗi điểm M thành điểm M ' đối xứng với M qua O được gọi là
phép đối xứng tâm O . Điểm O được gọi là tâm của phép đối xứng đó.
Phép đối xứng tâm O thường được kí hiệu là: Z O . Ta có :
Z O ( M ) = M ' (Hình 2)
O

M'

M

Hình 2
d) Điểm bất động của phép biến hình
Một điểm M  P là điểm bất động (hoặc điểm kép) đối với phép
biến hình f nếu f ( M )  M . Như vậy điểm M là điểm bất động đối với
phép biến hình f nếu điểm M đó biến thành chính nó qua phép biến
hình f .
Đối với phép đối xứng trục Z O , mọi điểm nằm trên trục đối xứng
∆ đều là điểm bất động, các điểm còn lại của P đều không phải là điểm
bất động.
Đối với phép đối xứng tâm Z O chỉ có tâm đối xứng O là điểm bất
động duy nhất.



Đối với phép tịnh tiến Tv mà v  0 , ta không có điểm bất động
 
nào. Nếu v = 0 , mọi điểm của P đều bất động và khi đó ta có phép Tv là
phép đồng nhất.
Đối với phép đồng nhất e : P  P , mọi điểm của P đều là điểm
bất động.

Nguyễn Thị Thùy

-6-

Lớp K35B

Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

1.2.3 Tích của hai phép biến hình
Trong hình học ta thường phải thực hiện nhiều phép biến hình liên
tiếp với nhau. Nếu ta dùng một phép biến hình f : P → P để biến một
điểm M bất kì của P thành một điểm M ' rồi lại dùng tiếp một phép
biến hình thứ hai g : P → P để biến M ' thành M '' . Ta có M '  f ( M )
và M ''  g ( M ') .
Khi đó phép biến hình h biến M thành M '' gọi là tích của hai
phép biến hình f và g và kí hiệu h  g ◦ f .
Ta có: h( M )  ( g ◦ f )( M )  M ''  g ( M ')  g  f ( M )  .
Ta cần lưu ý kí hiệu g ◦ f là kết quả của việc thực hiện liên tiếp
hai phép biến hình: phép thứ nhất là f và phép thứ hai là g . Nói chung
tích g ◦ f và tích của f ◦ g là hai phép biến hình khác nhau.
Ví dụ 1: Xét hai phép biến hình là hai phép tịnh tiến Tu và Tv
Giả sử M là một điểm bất kì của P .
Gọi M '  Tu ( M ) và M ''  Tv ( M ') .
Theo định nghĩa của phép tịnh tiến ta có :



u + v
 
Như vậy tích Tv  Tu là phép tịnh tiến theo vectơ u + v

MM ' =


u ,

Nguyễn Thị Thùy


M ' M '' =


v vì


 
MM '' = MM ' + M ' M '' =

-7-

Lớp K35B


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán


u

M

M'

 
u+ v


v
M''

Như vậy tích các phép biến hình nói chung không có tính chất
giao hoán.
1.2.4. Phép biến hình đảo ngược
Trong mặt phẳng cho phép biến hình f biến điểm M thành điểm

M ' . Ta có f ( M )  M ' . Khi đó phép biến hình biến điểm M ' thành
điểm M gọi là phép biến hình đảo ngược của phép biến hình f đã cho
và kí hiệu là f 1 .
Ta có: f 1 ( M ')  M . Rõ ràng là mỗi phép biến hình f có duy
nhất một phép biến hình đảo ngược f 1 và ta có f  f 1  f 1  f  e
(phép đồng nhất).
Thí dụ phép tịnh tiến Tv có phép hình đảo ngược là phép tịnh tiến

T

1

v

và ta có T v 1 = Tv .

1.2.5. Phép biến hình có tính chất đối hợp

Cho một phép biến hình f biến điểm M thành điểm M ' , sau đó
nếu ta thực hiện tiếp phép biến hình f đó đối với điểm M ' và giả sử
f ( M ')  M '' . Nếu điểm M ''  M thì ta nói rằng phép biến hình f đó có

tính chất đối hợp. Ta có f  f ( M )  M hay f 2  e .

Nguyễn Thị Thùy

-8-

Lớp K35B


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

CHƯƠNG 2:
PHÉP CO - DÃN TRONG MẶT PHẲNG
2.1. Định nghĩa
Cho đường thẳng (d ) và số k  0 . Với mỗi điểm M ( M không


thuộc (d ) ) ta dựng điểm M ' sao cho HM ' = k . HM , trong đó H là
chân đường vuông góc hạ từ M xuống (d ) , khi đó ta nói M ' là ảnh của

M trong phép co - dãn về trục (d ) với hệ số k và kí hiệu
Fd (k ): M  M ' .Nếu k  1 thì Fd (k ) được gọi là phép dãn.

 Nếu k  1 thì Fd (k ) được gọi là phép co.

 Nếu k  1 thì Fd (k ) được gọi là phép đồng nhất.
(d ) được gọi là trục co hoặc trục dãn.
M
M'
(d)
H

2.2. Các tính chất của phép co - dãn
a) Phép co - dãn Fd (k ) : (d ) → (d )

Nguyễn Thị Thùy

-9-

Lớp K35B


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán







Thật vậy: Nếu M  (d ) thì (d ) MM ' = k . MM ' = 0 suy ra

M  M '.

b) Nếu A, B, C là ba điểm thẳng hàng thì ảnh của ba điểm đó
trong phép co - dãn cũng thẳng hàng và biến đường thẳng x thành
đường thẳng x ' .
Ta chọn hệ tọa độ sao cho (d ) trùng với trục Ox và trong hệ tọa
độ đó A( x1; y1 ) , B ( x2 ; y2 ) , C ( x3 ; y3 ) , ảnh của các điểm đó lần lượt là
A '( x1; ky1 ) , B'(x 2 ; ky 2 ), C '( x3 ; ky3 ) .
 
Điều kiện A, B, C thẳng hàng  AB // AC


x x
x x
2

1

3

1



y
y

2

 y1



3

y

1

=

y
ky

k

2
3

y
ky
k

1
1

 A ' B ' // A ' C ' .

Hệ quả: Nếu AB và CD là hai đoạn thẳng song song hoặc cùng
nằm trên một đường thẳng, A ' B ' và C ' D ' là ảnh của chúng trong phép
co - dãn thì A ' B ' và C ' D ' cùng phương và

A ' B ' AB

.

C ' D ' CD

Dựa vào tính chất b ở trên ta dễ dàng chứng minh được điều này.
c) Giả sử tam giác ABC có diện tích S , Δ A ' B ' C ' là ảnh của tam
giác ABC trong phép co - dãn Fd ( k ) và có diện tích S ' , khi đó S '  kS .
Ta xét 3 trường hợp sau đây:
TH1: AB  (d ) .
Nguyễn Thị Thùy

- 10 -

Lớp K35B


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

TH2: A  (d ) và các đỉnh còn lại nằm về một phía với (d ) .
TH3: Tam giác ABC bất kì.
Ta dễ dàng chứng minh được S '  kS .
d) Tồn tại phép co - dãn Fd ( k ) biến một đường tròn thành một Elíp
và nếu (d ) trùng trục cuả Elíp thì tồn tại một phép co - dãn biến Elíp
thành đường tròn.
x2 y2
Trong hệ trực chuẩn, đường cong có phương trình: 2  2  1.
a b

trong đó a  b  0 hoặc 0  a  b được gọi là Elíp. Các số thực a , b
được gọi là các bán trục của Elíp.
Đồ thị của Elíp có dạng:

y
\

y
\

O

O

x

ab0

x

0ab

TH1: (d ) đi qua tâm O của đường tròn (C ) .

Nguyễn Thị Thùy

- 11 -

Lớp K35B

Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

Ta chọn hệ tọa độ sao cho (d ) trùng với trục Ox và trong hệ tọa
độ này (C ) có phương trình:

x2  y2  R2

(1)

Thực hiện phép co FOx (k ) : M (x; y) → M '(x'; y') ( k  1, 0) trong
đó x '  x và y '  ky , ta thay vào (1) ta được:

x '2 

y '2
x '2
y '2
2

R

1

k2
R2 k 2 .R2

( E1 )

Vì ( k  1, 0) nên R 2  k 2 R 2 suy ra ( E1 ) là một Elíp.
2
2 2
Nếu k < 1 thì R > k R suy ra ( E1 ) là Elíp có trục lớn nằm trên

Ox .
2
2 2
Nếu k > 1 thì R  k R suy ra ( E1 ) là Elíp có trục lớn nằm trên

Oy .

TH2: (d ) không đi qua tâm đường tròn (C ) :

( x  a ) 2  ( y  b) 2  R 2

(2)

Thực hiện phép co FOx (k ) : M (x; y) → M '(x'; y') ( k  1, k  0 )
trong đó x '  x và y '  ky , ta thay vào (2) ta được:

( x ' a)2 ( y ' kb)2
y'
2
2
( x ' a)  (  b)  R 
 2 2  1 (E 2 )
k
R2

kR
2

Vì ( k  1, k  0 ) nên R 2  k 2 R 2 suy ra ( E2 ) là một Elíp.

Nguyễn Thị Thùy

- 12 -

Lớp K35B


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

Nếu k < 1 thì R > k R suy ra ( E1 ) là Elíp có trục lớn nằm
2

2

2

trên Ox .
Nếu k > 1 thì R < k R suy ra ( E1 ) là Elíp có trục lớn nằm
2

2

2

trên Oy .

a
Đảo lại; nếu (d ) là trục Ox , bằng cách thực hiện phép co FOx ( ) :
b
a
M (x; y)  M '(x'; y') ; x '  x và y ' =
y , biến Elíp:
b

trong đó a  b  0 thành đường tròn:

x2 y 2
 1
a2 b2

x'2 y'2  a2 .

2.3. Áp dụng phép co - dãn để giải toán
2.3.1.Các bài toán định tính
Ví dụ 1:

x2 y 2
Trong hệ tọa độ trực chuẩn Oxy cho Elíp ( E ) : 2  2  1
a b
(a  b  0) và tam giác ABC nội tiếp trong elip ( E ) (3 đỉnh nằm trên

đường cong).
Chứng minh rằng: S฀ ABC 

3ab 3
4

Giải:

x2 y 2
Elíp ( E ) : 2  2  1 (a  b  0) .
a b

Nguyễn Thị Thùy

- 13 -

Lớp K35B


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

a
Thực hiện phép dãn FOx ( ) biến elip ( E ) thành đường tròn (C )
b
2
2
2
có phương trình: x '  y '  a . Khi đó ∆ ABC biến thành ∆ A ' B ' C ' nội

tiếp trong đường tròn (C ) .

a 'b ' c '
Mặt khác, diện tích ∆ A ' B ' C ' =
(trong đó a ' , b ' , c ' là độ
4a

dài các cạnh của ∆ A ' B ' C ' , a là bán kính đường tròn (C ) ).

a 'b ' c '
a '3  b '3  c '3

Ta có:
4a
12 a
Dấu ''='' xảy ra  a ' = b ' = c ' . Tức là ∆ A ' B ' C ' là tam giác đều
Mà diện tích tam giác đều nội tiếp đường tròn (C ) bán kính a

3a 2 3
3a2 3
bằng
.
. Do đó ta suy ra S฀ A B C 
4
4
' ' '

Theo tính chất của phép co - dãn ta có: S ฀ A B C =
'

 S฀ ABC 

'

'

a
S ฀ A BC
b

3ab 3
4

Dấu ''='' xảy ra  ∆ ABC là tam giác đều.
Ta tính tọa độ các đỉnh của ∆ ABC nội tiếp elip ( E ) .
Trước hết ta tính tọa độ các đỉnh của ∆ A ' B ' C ' đều nội tiếp đường
tròn (C ) : x '2  y '2  a 2 . Không mất tính tổng quát ta giả sử ∆ A ' B ' C ' đều
nội tiếp đường tròn (C ) có một đỉnh A ' nằm trên trục Oy  A '(0; a) .
Đường tròn (C ) có tâm I (0; 0) bán kính R  a . Ta lấy điểm A1
đối xứng với A ' qua tâm I (0; 0)  A1 (0; a ).
Đường tròn (C1 ) nhận A1 (0; a ) làm tâm và có bán kính a có
phương trình là: x '2  ( y ' a)2  a2
Nguyễn Thị Thùy

- 14 -

Lớp K35B


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

Tọa độ điểm B ' , C ' là nghiệm hệ phương trình:


a 3

a 3
x
'


'
x


x '  y '  a


2

2

 2
hoặc 
2
2
 x '  ( y ' a)  a
y'   a
y'  a



2
2
2

Suy ra B ' (

2

a
a
a 3
a 3
;  ); C ' ( 
; )
2
2
2
2
a
b

x
x 
x'


b
a
 

a
y  b y'
y

b
a


 x ' 
Ta có: 
y'


Suy ra: B (

b 3 b
b 3 b
;  ); C ( 
;  ), A (0; b )
2
2
2
2

Vậy S฀ ABC 
hay B (

2

3ab 3

. Dấu (=) xảy ra khi ∆ A ' B ' C ' là tam giác đều
4

b 3 b
b 3 b
;  ); C ( 
;  ), A (0; b ).
2
2
2
2
y
\

A

A'
B

O

O

x

C'

y
\

B'

C

Nguyễn Thị Thùy

- 15 -

Lớp K35B

x


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

Ví dụ 2:
Cho Elíp ( E ) :

x2 y 2
  1 (a > b > 0) và ∆ ABC ngoại tiếp ( E )
a2 b2

(các cạnh của tam giác là tiếp tuyến của ( E ) ). Chứng minh rằng:
S฀ ABC  3ab 3

Giải

a

Thực hiện phép dãn FOx ( ) biến ( E ) thành đường tròn (C ) có
b
phương trình: x '  y '  a . Khi đó ∆ ABC biến thành ∆ A ' B ' C ' ngoại
2

2

2

tiếp (C ) .
Ta đã biết:
S∆ ABC  3a 2 3 

a
.S∆ABC  3a 2 3  S∆ ABC  3ab 3
b

Dấu "=" xảy ra  ∆ ABC là tam giác đều  A(0; 2b) , B ( a 3; b ),
C ( a 3; b ).
y

A

O
x
B

C

Ví dụ 3:

Nguyễn Thị Thùy

- 16 -

Lớp K35B


Khóa luận tốt nghiệp

Cho Elíp ( E ) :

Khoa Toán

x2 y 2
  1 (a  b  0) và điểm M ( x0 ; y0 ) thuộc
a2 b2

( E ) . Đường thẳng có phương trình:

x0 .x y0 . y
 2  1 được gọi là tiếp
a2
b

a
tuyến của Elíp ( E ) . Chứng minh rằng: Phép dãn FOx ( ) biến Elíp ( E )
b
thành đường tròn (C ) thì tiếp tuyến của Elíp ( E ) biến thành tiếp tuyến
của đường tròn (C ) .

Giải

d1

a
Phép dãn FOx ( ) (biến elip
b

y
d

M'

( E ) thành đường tròn (C ) có
M

phương trình: x '2  y '2  a2 và biến
đường thẳng

O
x

x0 . x y 0 . y
 2  1 thành
a2
b

2
đường thẳng: x0 '.x ' y0 '. y '  a ( d1 ) .

2
2
2
Đường thẳng: x0 '.x ' y0 '. y '  a2 là tiếp tuyến của (C ) : x '  y '  a

a
tại M ' ( x0 '; y0 ' )  (C ) .Từ kết quả trên ta suy phép dãn FOx ( ) biến tiếp
b
tuyến của elip ( E ) thành tiếp tuyến của đường tròn (C ) .
 Nhận xét:
Như vậy bài toán tiếp tuyến của Elíp thể được chuyển thành bài
toán tiếp tuyến của đường tròn.

Nguyễn Thị Thùy

- 17 -

Lớp K35B


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

x2 y 2
Bài toán tương tự: Cho Elíp có phương trình: 2  2  1
a b
(a  b  0) có các đỉnh trên các trục lớn là A1 , A2 và các đỉnh trên trục

nhỏ là B1 , B2 . Chứng minh rằng: trục đẳng phương của hai đường tròn

ngoại tiếp ∆ MA1 A2 , ∆ MB1 B2 tiếp xúc với ( E ) .
Ví dụ 4:
Cho Elíp có phương trình:
co về trục Ox với hệ số k =

x2 y2

 1 . Tìm ảnh của Elíp qua phép
25 9

2.

Giải:
Gọi M (x; y) là điểm trên elip ( E ) và điểm M '(x'; y') là ảnh của
x  x '
 x '  x


M qua phép dãn FOx ( 2 ). Khi đó ta có: 
2
y
 y '  2 y
y 
2


M '(x'; y')  elip ( E )  Tọa độ điểm M (x; y) thỏa mãn phương
1 2
x '2 y '2
x2 y 2

x '2 2 y '

1

1 
trình elip ( E ) :   1 
25 18
25 9
25
9

Vậy ảnh của (E) qua phép dãn FOx ( 2 ) là Elíp ( E ') có phương
x '2 y '2

 1.
trình:
25 18

Ví dụ 5:
2
2
Cho đường tròn (C ) có phương trình: (x 1)  ( y  2)  4 . Tìm

ảnh của đường tròn (C ) qua phép co về trục Ox với tỉ số k =

1
.
2

Nguyễn Thị Thùy

Lớp K35B

- 18 -


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

Giải:
Gọi điểm M '(x'; y') là ảnh của điểm M (x; y) qua phép co với tỉ
số k =

1
.
2
x '  x
x  x '

1 
Do đó ta có: 
y  2y'
 y '  2 y

Điểm M (x; y)  (C )  (x '1)2  (2y ' 2)2  4

 ( x ' 1)2  4( y ' 1)2  4


( x '1)2 ( y '1)2

1
4
1

Vậy ảnh của đường tròn (C ) qua phép co về trục Ox với tỉ số k =

1
là
2

( x '1)2 ( y ' 1)2

 1.
Elíp có phương trình:
4
1

Ví dụ 6:
Cho Elíp ( E ) có phương trình:

x2 y 2
  1 (a  b  0).
a2 b2

Cho ∆ MPQ nội tiếp trong elip ( E ) với PQ là đường kính của
Elíp ( E ) , giả sử k1 , k 2 là hệ số góc của các đường thẳng PM và QM .

b2

Chứng minh rằng: k1 . k 2 = - 2 .
a

Nguyễn Thị Thùy

- 19 -

Lớp K35B


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

Giải:
Gọi M '(x'; y') là ảnh của M (x; y) qua phép dãn với tỉ số k =

x  x'
x' x


b
a
Ta có: 
 
y
y'


y

y
'


b
a

2

y

M1

Q1
M

b2 2
y'
x '2 a 2
Điểm M (x; y)  ( E )  2  2  1
a
b
2

a
.
b

Q
O

P

x

P1

2

 x '  y '  a (C ) .

a
Như vậy qua phép dãn FOx ( ): ( E ) → (C ) và đường kính PQ
b

của (C ) , đường thẳng PM với hệ số
của ( E ) thành đường kính PQ
1 1
a
b

góc k1 thành đường thẳng PM
có hệ số góc k1' = k1 , đường thẳng QM
1
1
với hệ số góc k 2' =

a
k2 .
b

'
'
Ta có: PM
 k1 . k 2 = -1
1
1  Q1 M 1



b2
a
a
k . k = -1  k1 . k 2 = - 2
b 1 b 2
a

 Nhận xét:

Nguyễn Thị Thùy

- 20 -

Lớp K35B


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

Từ kết quả trên ta có thể khai thác bài toán trong các trường hợp
sau:
TH1: Đường kính PQ của ( E ) cố định, ta cần xác định điểm M
thuộc ( E ) để ∆ MPQ thỏa mãn tính chất K nào đó.
TH2: Ngược lại, xác định phương trình quỹ tích điểm M sao cho
tích của các hệ số góc của 2 đường thẳng MP và MQ bằng - k .
2

Ví dụ 7:

x2
y2

1
Cho Elíp ( E ) có phương trình:
8
2
Cho ∆ ABC có diện tích lớn nhất nội tiếp trong Elíp ( E ) . Xác
định tọa độ các đỉnh B , C biết A (2; 1).
Giải:
Đặt: k 

a 2 2

2
2
b

y
B1

A1
B

C

O

A
x

C1

Phép dãn FOx (2) biến:

Nguyễn Thị Thùy

- 21 -

Lớp K35B


Khóa luận tốt nghiệp

Khoa Toán

 x1  x
Điểm M ( x; y) thành điểm M 1 ( x1 ; y1 ) thỏa mãn: 
 y1  2 y
2

2
Elíp ( E ) thành đường tròn (C ) : x  y  8

∆ ABC thành ∆ A1 B1C1 nội tiếp trong đường tròn (Điểm A (2; 1)
nên ảnh của nó qua phép dãn với tỉ số k = 2 là điểm A1 (2; 2)).
Ta có:
S∆ A1B1C1 = 2S∆ ABC

1
 S∆ ABC = S∆ A1B1C1
2



1 3.(2 2)2 3
.
=3 3
2
4

Vậy diện tích ∆ ABC nội tiếp trong Elíp đạt giá trị lớn nhất bằng

3 3 đạt được khi ∆ A1 B1C1 đều.
Xác định tọa độ đỉnh B1 , C1 của tam giác ABC .
Ta có ∆ A1 B1C1 là tam giác đều nội tiếp đường tròn (C )  tâm O
là trọng tâm của ∆ A1 B1C1 .
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A1 lên B1C1 suy ra

 
AO

1  2OH  H (-1; -1)
Phương trình cạnh B1C1 được cho bởi:
 H (  1;  1)  B1C 1

là: x  y  2  0
VTPT A1O (2; 2)

( B1C1 ): 

Khi đó B1C1  (C ) =  B1 ; C1 , tọa độ B1 , C1 là nghiệm của hệ:
Nguyễn Thị Thùy

- 22 -

Lớp K35B