Luận văn sư phạm Phép nghịch đảo và bài toán quỹ tích

Khóa lu n t t nghi p

inh Th Qu nh Liên _K31A SPToán

Tr

ng đ i h c s ph m hà n i 2
Khoa toán
**********

đinh th qu nh liên

phép ngh ch đ o và bài toán qu tích
Khóa lu n t t nghi p đ i h c
Chuyên ngành: Hình h c

Hà n i – 2009

1


Khóa lu n t t nghi p

inh Th Qu nh Liên _K31A SPToán

Tr

ng đ i h c s ph m hà n i 2
Khoa toán
**********

đinh th qu nh liên

phép ngh ch đ o
và bài toán qu tích
Khóa lu n t t nghi p đ i h c
Chuyên ngành: Hình h c

ng

ih

ng d n khoa h c

GV. đinh v n th y

Hà n i – 2009

2


Khóa lu n t t nghi p

inh Th Qu nh Liên _K31A SPToán

L ic m n
Trong quá trình nghiên c u và hoàn thành khoá lu n này, em đã nh n đ

c

s quan tâm, giúp đ v v t ch t, tinh th n c a các th y giáo, cô giáo trong t Hình

h c nói riêng và trong khoa Toán tr

ng

i h c s ph m Hà N i 2 nói chung cùng

v i s h tr và giúp đ c a các b n sinh viên.
Em xin bày t lòng bi t n sâu s c đ i v i th y giáo
đã t n tình h

inh V n Thu , ng

ng d n em trong su t th i gian qua đ em hoàn thành đ

i

c khóa lu n

này.
Do trình đ và th i gian nghiên c u còn h n ch nên nh ng v n đ mà em
trình bày trong khoá lu n s không tránh kh i nh ng thi u xót. Em kính mong nh n
đ

c s ch b o và đóng góp ý ki n c a các th y giáo, cô giáo, các b n sinh viên đ

khoá lu n c a em đ

c hoàn thi n h n.

Em xin chân thành c m n!

Sinh viên

inh Th Qu nh Liên.

3


Khóa lu n t t nghi p

inh Th Qu nh Liên _K31A SPToán

L i cam đoan
Em xin cam đoan các v n đ em trình bày trong khoá lu n này là k t qu
nghiên c u c a riêng em d

is h

ng d n tr c ti p c a th y

inh V n Thu ,

không trùng v i tác gi khác.
N u sai em hoàn toàn ch u trách nhi m.

Sinh viên

inh Th Qu nh Liên

4

Khóa lu n t t nghi p

inh Th Qu nh Liên _K31A SPToán

M cl c
Ph n 1:M đ u ............................................................................................................6
1. Lý do ch n đ tài .....................................................................................................6
2. M c đích, nhi m v nghiên c u ..............................................................................6
3.
4. Ph

it

ng, ph m vi nghiên c u ..............................................................................7
ng pháp nghiên c u.........................................................................................7

Ph n 2: N i dung .........................................................................................................8
Ch

ng 1:Phép ngh ch đ o .........................................................................................8

1.1. Các đ nh ngh a......................................................................................................8
1.1.1. Không gian b o giác..........................................................................................8
1.1.2. Phép ngh ch đ o ................................................................................................8
1.2. Các tính ch t .........................................................................................................8
1.3. Các đ nh lý ...........................................................................................................9
1.4. Phép ngh ch đ o trong h to đ
Ch

các vuông góc ...........................................15

ng 2:Phép ngh ch đ o và bài toán qu tích ......................................................17

2.1. Bài toán qu tích. ...............................................................................................17
2.2. Gi i bài toán qu tích nh phép ngh ch đ o ......................................................17
2.2.1. Ph

ng pháp chung .........................................................................................17

2.2.2 Các ví d minh ho ..........................................................................................17
2.2.3.Bài t p t luy n ................................................................................................31
2.2.4. H

ng d n .......................................................................................................34

K t lu n .....................................................................................................................50
Tài li u tham kh o .....................................................................................................51
5


Khóa lu n t t nghi p

inh Th Qu nh Liên _K31A SPToán

M đ u

Ph n 1:
1. Lý do ch n đ tài

Hình h c là môn h c h p d n thu hút nhi u h c sinh yêu toán. Vi c gi i các
bài t p, tìm ra nhi u cách gi i, trong đó có nh ng cách gi i hay, đ c đáo s phát huy
tính sáng t o và ni m say mê đ i v i môn h c. M i bài t p hình h c có th gi i
b ng nhi u ph
ph

ng pháp khác nhau: ph

ng pháp vect và ph
Trong nhi u tr

ng pháp t ng h p, ph

ng pháp t a đ ,

ng pháp bi n hình.

ng h p, phép bi n hình là công c h u hi u cho phép gi i

h p lý và ng n g n các bài toán c a hình h c nh bài toán ch ng minh, bài toán qu
tích, bài toán d ng hình và bài toán tính toán.
Trong ch

ng trình toán ph thông, h c sinh đ

c h c các phép bi n hình:

phép đ i x ng tr c, phép đ i x ng tâm, phép quay, phép t nh ti n, phép v t . Phép
ngh ch đ o là phép bi n hình không đ a vào ch

xu t khi luy n h c sinh chuyên, b i d
nh ng tính ch t khác bi t c a nó đ a đ n h

ng trình ph thông, ch đ

cđ

ng h c sinh gi i. Phép ngh ch đ o v i
ng gi i quy t m i trong m t s l p bài

toán c a hình h c.
góp ph n làm rõ tính u vi t c a vi c s d ng phép bi n hình vào gi i các
bài toán c a hình h c, tôi đi sâu nghiên c u v lý thuy t phép bi n hình và ng
d ng c a phép bi n hình đ gi i quy t các bài toán hình h c.
Trong khuôn kh m t khoá lu n t t nghi p, do th i gian nghiên c u có h n
nên tôi ch t p trung khai thác ng d ng c a phép ngh ch đ o trong vi c gi i các bài
toán qu tích.
ó chính là lý do tôi l a ch n đ tài: phép ngh ch đ o và bài toán qu tích.
2. M c đích, nhi m v nghiên c u
- Nghiên c u các ki n th c c b n c a phép ngh ch đ o và ng d ng c a nó
trong vi c gi i bài toán qu tích.

6


Khóa lu n t t nghi p

inh Th Qu nh Liên _K31A SPToán

- Xây d ng h th ng ví d minh ho và bài t p t luy n th hi n vi c s d ng

ph

ng pháp bi n hình vào gi i bài toán qu tích.

3.

it

ng, ph m vi nghiên c u

-

it

ng nghiên c u: phép ngh ch đ o

- Ph m vi nghiên c u: ng d ng phép ngh ch đ o trong vi c gi i bài toán qu
tích trong m t ph ng và không gian.
4. Ph

ng pháp nghiên c u
Nghiên c u sách giáo trình, bài gi ng chuyên đ và các tài li u tham kh o có

liên quan.

7


Khóa lu n t t nghi p

inh Th Qu nh Liên _K31A SPToán

Ph n 2:
Ch

N i dung
Phép ngh ch đ o

ng 1:

1.1. Các đ nh ngh a
1.1.1. Không gian b o giác
Không gian E n  n  2,3 b sung ph n t  (đi m vô c c) g i là không gian
b o giác Bn .
Trong không gian b o giác Bn, m i đ

ng th ng hay m t ph ng đ u đi qua

đi m  .
1.1.2. Phép ngh ch đ o
Trong không gian b o giác Bn cho đi m O c đ nh và s th c k  0 . Phép
bi n hình

n : B  Bn

sao cho:

M a M '  n M 

N u M  O thì M '  

N u M   thì M '  O

O,M,M ' th¼ng hµng

N u M  O,  thì 

OM.OM '  k

thì n đ

c g i là phép ngh ch đ o c c O , ph

Kí hi u n

k
O

ng tích k .

ho c n  O,k  .

Nh n xét:

n  O,k   X Oon  O, k  , trong đó X O là phép đ i x ng tâm O .
1.2. Các tính ch t
1.2.1. Tính ch t 1
Phép ngh ch đ o là phép bi n hình đ i h p : n

2

là phép đ ng nh t .

1.2.2. Tính ch t 2
N u M ' là nh c a qua n  O,k  thì O, M, M ' th ng hàng .
8


Khóa lu n t t nghi p

inh Th Qu nh Liên _K31A SPToán

N u M,O,N không th ng hàng M ', N ' l n l

t là nh c a M, N qua

n  O,k  thì t giác MM ' N' N là t giác n i ti p.
1.2.3. Tính ch t 3
ng tích ngh ch đ o k  0 thì phép ngh ch đ o n  O,k  có t p các

N u ph

đi m b t đ ng là siêu c u tâm O , bán kính
N u ph

k (g i là siêu c u ngh ch đ o).

ng tích ngh ch đ o k < 0 thì phép ngh ch đ o n  O,k  không có

đi m b t đ ng.
1.3. Các đ nh lý

1.3.1. nh lý 1
Phép ngh ch đ o bi n siêu ph ng không đi qua c c ngh ch đ o thành siêu c u
đi qua c c ngh ch đ o và bi n siêu c u đi qua c c ngh ch đ o thành siêu ph ng
không đi qua c c ngh ch đ o.
Ch ng minh:
Ta ch ng minh trong E 2 .Vi c ch ng minh trong E 3 hoàn toàn t
+ Phép ngh ch đ o bi n đ

ng t .

ng th ng

không đi qua c c ngh ch đ o thành
đ

ng tròn đi qua c c ngh ch đ o.
Gi s trong E 2 cho phép ngh ch đ o

n  O,k  và d là đ ng th ng nào đó không
đi qua O.
H OH  d, H  d, H'  n  H  .
Xét

M

b t

kì

thu c

d

và

M '  n  M  . Khi đó: OM.OM '  OH.OH'  k

Hình 1.1

 T giác MM ' N'H là t giác n i ti p.
  H'M ',MM '    H'H,MH   90o .
9


Khóa lu n t t nghi p
Do OH' c đ nh  M ' n m trên đ
Ng

c l i l y đi m N ' b t k

inh Th Qu nh Liên _K31A SPToán
ng tròn đ
trên đ

ng kính OH' .

ng tròn đ

ng kính OH' ,

N  n  N'  , t ng t nh trên ta có:

 N'H',NN'    NH,HH'   90

o

 OH  HN

 N d
V y n  d   OH' .
+ Do tính ch t: phép ngh ch đ o là phép bi n hình đ i h p nên phép ngh ch
đ o bi n đ

ng tròn đi qua c c ngh ch đ o đ

ng th ng không đi qua c c ngh ch

đ o.
1.3.2.

nh lý 2
Phép ngh ch đ o bi n siêu c u không đi qua c c ngh ch đ o thành siêu c u

không đi qua c c
ngh ch đ o.
Ch ng minh:
Ta

ch ng

minh trong E 2 .
Gi

s

cho

phép ngh ch đ o

n (O,k) và  C là đ ng tròn

Hình 1.2

không đi qua O .  C có tâm I , OI c t  C t i A, B .
G i A ', B' th t là nh c a A, B qua phép ngh ch đ o n (O,k) và  C' 
là đ

ng tròn đ

ng kính A 'B' . Ta ch ng minh  C'   n  C .

• M   C , M '  n (M) .
N u M  A ho c B thì M ' trùng A ' ho c B' , t c M '   A 'B'  .
N u M A,B thì ta có t giác AMM 'A ' là t giác n i ti p

10


Khóa lu n t t nghi p

inh Th Qu nh Liên _K31A SPToán

·
· 'M '
 AMO
 AA
·'B' M '  BMM
·
'
T giác BMM 'B' n i ti p  A
·
·' M 'B'  90o t c M '   C'  . (1)
 90o  A
Do M   C  AMB
• N'   C'  đ u có A, B là nh c a A ', B' qua phép ngh ch đ o

n

 N  n (N') n m trên đ ng tròn đ ng kính AB .
V y N'  C'  đ u có N   C sao cho n (N)  N' . (2)
T (1) và (2) suy ra  C'   n  C .
H qu :
Các siêu c u có tính ch t: Ph
ph

ng tích c a c c ngh ch đ o đ i v i nó b ng

ng tích ngh ch đ o là hình kép.

1.3.3.

nh lý 3
Phép ngh ch đ o bi n siêu ph ng đi qua c c ngh ch đ o thành chính nó.

nh lý này đ
1.3.4.

c suy ra ngay t đ nh ngh a và tính ch t.

nh lý 4
i u ki n c n và đ đ 2 đi m M, N t

ng ng v i nhau trong phép ngh ch

đ o n (O,k)  k  0 là có n siêu c u đi qua M và N , tr c giao v i siêu c u
ngh ch đ o.
Ch ng minh:
Ta ch ng minh trong E 2 :
• i u ki n c n:
Gi s cho phép ngh ch đ o n (O,k)  k  0 ,  C là đ
và M, M ' là 2 đi m t
minh có hai đ

ng tròn ngh ch đ o

ng ng v i nhau trong phép ngh ch đ o trên. Ta ph i ch ng

ng tròn  C1  ,  C2  tr c giao v i  C .

G i  C'  là đ

ng tròn b t k qua M và M ' .

11


Khóa lu n t t nghi p

inh Th Qu nh Liên _K31A SPToán

OM.OM '  k  p O

 C'   k   C   C' 

Do qua M, M ' có vô s đ

ng tròn nên có hai đ

ng tròn qua M, M ' tr c

giao v i  C .
• i u ki n đ
ng tròn  C1  ,  C2  qua M, M ' và tr c giao v i  C .

Gi s có hai đ

p OC 

Khi đó:

 k 

1

p O  C   OM.OM '  k
2

 O thu c tr c đ ng ph ng MM ' c a  C1  và  C2  và OM.OM '  k .
 M, M ' là hai đi m t

ng ng v i nhau qua phép ngh ch đ o

D th y k  0 vì O là đi m n m ngoài hai đ
1.3.5.

N (O,k) .

ng tròn  C1  vµ  C2  .

nh lý 5
N u A ', B' th t là nh c a A, B qua phép ngh ch đ o

A 'B'  k .

N (O,k) thì ta có:

AB
OA.OB

Ch ng minh:

• N u A, B, O th ng hàng, ta có:

OA ' 

k
k
, OB' 
OA
OB
(a)

k
k
 A 'B'  OB'  OA ' 

OB OA
OA  OB
BA
k
k
OA.OB
OA.OB
AB
 A 'B'  k
OA.OB
• N u A, B, O không th ng
hàng. Khi đó ta có:

(b)

ABB'A ' là t giác n i ti p  D OAB : D OB'A '
Hình 1.3

12


Khóa lu n t t nghi p

inh Th Qu nh Liên _K31A SPToán

A 'B' OA '

AB
OB
OA '.AB OA.OA '.AB
AB
 A 'B' 

k
.
OB
OA.OB
OA.OB


Nh n xét:
N u qua phép ngh ch đ o

N (O,k) ,

siêu c u  C1    O1,R1  bi n thành

siêu c u  C2    O2 ,R2  thì:

R2  k

R1
k
OO12  R12

R1

p C 

.

O

1

Ch ng minh:
G i AB là đ

ng kính c a  C1  mà O  AB và A ', B' th t là nh c a

A, B qua N (O,k)

AB
OA.OB

  C2    A 'B'  và A 'B'  k
 R2  k

R1
k
 OO1  R OO1  R

R1

p C 

.

O

1

1.3.6.

nh lý 6
Phép ngh ch đ o b o t n góc gi a hai đ

ng cong nh ng làm ng

ch

ng

c a hình.
Ch ng minh:

ch ng minh đ nh lý này, tr

c h t ta ch ng minh b đ sau:

B đ :
Cho phép ngh ch đ o

 C'  .
đi m t

N (O,k)

bi n đ

ng cong  C thành đ

ng cong

N u hai đi m A, A ' là hai
ng

ng trên

 C ,  C' 

và

13

Khóa lu n t t nghi p

inh Th Qu nh Liên _K31A SPToán

t i đó chúng có ti p tuy n thì các ti p tuy n này đ i x ng v i nhau qua trung tr c
c a đo n th ng AA ' .
Ch ng minh b đ :
Ta l y trên  C và  C'  hai đi m t

' khá g1.4
ng ng M, MHình
n A và A ' sao

cho kho ng cách OM không b tri t tiêu khi M ti n d n t i A . Khi đó b n đi m

A, A ', M, M ' luôn thu c m t đ

ng tròn.

Theo h th c:

M 'A ' 

k MA
OA.OM

thì khi M d n t i A thì M ' ti n d n t i A ' . Do đó các cát tuy n MA, M 'A ' c a
ng cong  C ,  C'  đ n trùng v i các ti p tuy n At, A 't ' c a chúng

các đ

A, A ' .
G i  K  là đ
l nl

ng tròn ngo i ti p t giác AA ' M ' M ,

v trí A, A ' ,  K 

t ti p xúc v i  C ,  C'  . Khi đó các ti p tuy n At, A 't ' đ ng th i là ti p

tuy n c a

K  t

i A, A ' nên các ti p tuy n này đ i x ng v i nhau qua trung tr c

c a đo n th ng AA ' .
• Ch ng minh đ nh lý:
Gi s có hai đ

ng

cong  C và  S c t nhau

A qua phép ngh ch đ o

N (O,k) bi

n thành  C' 

và  S'  c t nhau

A '  N A  .

Hình 1.5

14


Khóa lu n t t nghi p

inh Th Qu nh Liên _K31A SPToán

Theo b đ trên, các ti p tuy n At c a  C và A 't ' c a  C'  đ i x ng
nhau qua trung tr c c a AA ' , các ti p tuy n Au c a  S và A 'u' c a  S'  đ i
x ng nhau qua trung tr c c a AA ' .
V y
1.3.7.

 At,Au    A 't ',A 'u'  .

nh lý 7
Tích c a hai phép ngh ch đ o cùng c c

tâm O , t s

N (O,k) và N '(O,k ') là phép v

t

k'
.
k

Ch ng minh:
Xét đi m M '  E n  n  2,3 b t k .
G i M'  N (M), M"  N '(M') . Khi đó ta có:

OM.OM '  k, OM '.OM "  k '
uuuur k ' uuur
k'
 OM "  OM hay M ''  V  O,   M 
k
 k
Do M b t kì trong không gian E n  n ' on  V  O,



1.4. Phép ngh ch đ o trong h to đ

k' 
k

.


các vuông góc

1.4.1 Trong E 2

Xét phép ngh ch đ o N (O, k) trong h to đ

các vuông góc Oxy có g c

to đ trùng v i c c c a phép ngh ch đ o.

M(x, y) là đi m b t k và M '(x ', y ') là nh c a M qua phép ngh ch đ o đó.
Khi đó, theo đ nh ngh a ta có:
O,M,M' th¼ng hµng O,M,M' th¼ng hµng
   

OM.OM'  k
OM.OM'  k
 x.x' + y.y' = k (* )

Công th c (*) xác đ nh to đ c a đi m M' đ i v i h to đ đã ch n.
15


Khóa lu n t t nghi p

inh Th Qu nh Liên _K31A SPToán

1.4.2. Trong E 3
Xét phép ngh ch đ o N (O, k) trong h t a đ

các vuông góc Oxyz có g c

to đ trùng v i c c c a phép ngh ch đ o.
i m M = (x, y,z) b t k . Ta kí hi u M' = (x', y',z') là nh c a M qua phép

ngh ch đ o

N (O,k) . Theo đ nh ngh a, ta có:

O, M, M' th¼ng hµng O, M, M' th¼ng hµng
   

OM.OM'  k
OM .OM'  k
 x' y' z'
 = =
(**)
 x y z
 xx' + yy' + zz' = k


H ph

ng trình (**) xác đ nh m t phép ngh ch đ o trong h to đ

vuông góc, có c c trùng v i g c to đ và ph

các

ng tích là k(k  0) .

16


Khóa lu n t t nghi p

inh Th Qu nh Liên _K31A SPToán

ng 2:Phép ngh ch đ o và bài toán qu tích

Ch

2.1. Bài toán qu tích
Bài toán qu tích là bài toán tìm qu tích (hay t p h p) nh ng đi m có tính
c. Qu tích này r t đa d ng: có th là t p r ng, t p h u h n đi m

cho tr

ch t

ho c vô h n đi m.
Thông th

ng, đ gi i bài toán qu tích ta c n ti n hành theo 2 b

c sau:

B

c 1 (ph n thu n): Ch ng minh nh ng đi m có tính ch t

B

c 2 (ph n đ o): Ch ng minh m i đi m thu c hình (H) đ u có tính ch t

thu c hình (H) .
.

2.2. Gi i bài toán qu tích nh phép ngh ch đ o
2.2.1. Ph

ng pháp chung

tìm t p h p nh ng đi m M có tính ch t
h p bi n m i đi m M có tính ch t
nh ng đi m M' ph i tìm đ

thành đi m M' có tính ch t

' và qu tích

c d dàng. T đó suy ra qu tích c a nh ng đi m M có

là nh c a qu tích nh ng đi m M' có tính ch t ' qua phép ngh ch đ o

tính ch t
đã ch n

ta ch n phép ngh ch đ o thích

trên (Do tính ch t đ i h p c a phép ngh ch đ o).

2.2.2. Các ví d minh ho
Ví d 1:
Cho đ

ng tròn (O) . Hai dây cung AA', BB' vuông góc v i nhau t i P c

đ nh trong vòng tròn. (C) là đ
đ

ng tròn qua P ti p xúc v i (O) t i A . (C') là

ng tròn qua P ti p xúc v i (O) t i A' . Tìm qu tích giao đi m th hai c a

(C) và (C') .
Gi i
Cách 1: Dùng phép bi n hình
G i I là giao đi m th hai c a (C) và (C') , Ax, A'y l n l

t là ti p tuy n

t i A, A' c a (O) .

17


Khóa lu n t t nghi p

inh Th Qu nh Liên _K31A SPToán

Xét phép ngh ch đ o

N

ng tích k  P P

c c P , ph

 O  . Khi đó ta có:

N (P,k) bi n (C) thành A'y , (C') thành Ax .

 N bi n giao đi m I c a (C) và (C') thành M là giao đi m c a Ax và A'y .
Mà M là c c c a đ
 M n m trên đ

ng th ng AA' đ i v i đ

ng th ng đ i c c p c a đi m P đ i v i (O) .

Suy ra t p h p đi m I là nh c a đ
ph

ng tròn (O) , P  AA' .

ng th ng p qua phép ngh ch đ o c c P ,

P P (O) .

ng tích k =

 Xác đ nh qu tích I
G i r là bán kính c a (O), OP  p t i
K

Ta có: OP.OK=r 2



(1).



2

OP.OK = OP OP+PK = OP +OP.OK
= PP

(O)

+r 2 +OP.PK.

 2

T (1) và (2) suy ra

P P (O) +OP.PK=0
t K ' là nh c a K qua phép
ngh ch đ o đã ch n, ta có:
PK.PK'  P P

(O)

 K ' trùng v i O.

V y, t p h p đi m I là đ

ng tròn đ

Hình 2.1
ng kính OP.

Cách 2: Không dùng phép bi n hình
Thu n:
G i I là giao đi m th hai c a (C) và (C’), M là giao đi m c a các ti p tuy n
Ax, A’y c a (O), K  OP sao cho PO.PK=PA.PA' .
 Ta có: I, P, M th ng hàng.
Th t v y: PI là tr c đ ng ph

ng c a (C) và (C’),
18


Khóa lu n t t nghi p

pM

 C

=MA 2 , p M

inh Th Qu nh Liên _K31A SPToán

 C' 

Mà MA  MA '  p M

 MA '2 .

 C  p  C'   M  PI .
M

V y P, I, M th ng hàng.
 Ta ch ng minh OK  KM .
Th t v y: Theo cách l y đi m K thì: PO.PK  PA.PA '

PO PA '

PA PK
฀ A
฀'KP
 POA ~ PA 'K  OAP
 PO.PK  PA.PA ' 

Mà  OAA'  là đ

ng tròn đ

฀
ng kính OM  MKO
 90 hay MK  OK .

 Ta ch ng minh I   OM 
Xét t giác OAA'I có :





฀ 'A'
฀ '  AIP
฀  PIA
฀ '  1 AO
฀ P  1 PO
AIA
1
1
2
2
1฀
1฀
฀ '
= AOA
' AOA
'  AOA
2
2
 I   AOA '    OM 
฀  90  PIO
฀  90.
 MOI
P, O là đi m c đ nh  I thu c đ

ng tròn đ

ng kính OP.

o l i:
V i I b t k thu c đ
đ

ng tròn đ

ng kính OP. Ta ch ng minh t n t i hai

ng tròn qua P và ti p xúc v i (O) t i hai đi m A , A' sao cho A , P, A' th ng

hàng.
Th t v y:
Trên đ
B ng cách:

ng th ng IP l y đi m M sao cho PI.PM  p P

 O

+ K qua P dây cung BB' ,
+ D ng  IBB'  ,
19


Khóa lu n t t nghi p

inh Th Qu nh Liên _K31A SPToán

ng th ng IP c t  IBB'  t i giao đi m th 2 là M

+

thì M là đi m c n d ng.
D ng đ

ng tròn đ

ng kính OM, đ

(C) là đ

ng tròn (API),  C'  là đ

ng tròn này c t (O) t i hai đi m A , A' .

ng tròn  A'PI  .

Ta ch ng minh A , P, A' th ng hàng.
Ta có: AA' là tr c đ ng ph

ng c a (O) và (OM).

p P O  PB.PB'
p P OM   PI.PM



฀

฀
(Do OIP=90
 OIM=90
 I  (OM))

Theo cách d ng đi m M thì PI.PM  PB.PB'

 P thu c tr c đ ng ph ng AA' c a (O) và (OM). Hay A , P, A' th ng hàng.
V y qu tích giao đi m th hai c a (C) và  C'  là đ

ng tròn đ

ng kính OP.

Nh n xét:
Ta th y bài toán v n đ

c gi i n u ta không s d ng phép bi n hình. Tuy

nhiên, ta s g p nhi u khó kh n trong quá trình gi i bài toán n u nh ta không d
đoán tr

cđ

c qu tích các c n tìm. Khó kh n này s đ

c kh c ph c n u ta dùng

phép ngh ch đ o đ tìm qu tích đó.
Nh v y m c dù phép ngh ch đ o không đ

c đ a vào ch

ng trình toán

ph thông nh ng n u ta có m t s hi u bi t v nó thì c ng có tác d ng t t trong vi c
gi i toán hình h c, ch ng h n, ta có thêm m t cách d đoán qu tích c n tìm góp
ph n gi i quy t m t khâu quan tr ng trong vi c gi i bài toán qu tích.
Ví d 2:
Cho ba đi m A, B, C th ng hàng và d là trung tr c c a AB . M t đ
tròn thay đ i qua A, B c t d t i D, E . Các đ
đi m th hai l n l

ng

ng th ng CD, CE c t (O) t i

t là D', E' . Tìm qu tích D', E' .

Nh n xét:

20


Khóa lu n t t nghi p
Ta th y

inh Th Qu nh Liên _K31A SPToán

P C  O  = CD.CD' = CE.CE' = CA.CB

C là đi m c đ nh cho tr c.
CA.CB là s không đ i và khác 0.
Qu tích D, E là trung tr c c a đo n th ng AB .
Do đó n u ta ch n phép ngh ch đ o
l

N (C,k) v i k = CA.CB thì D', E' l n

t là nh c a D, E qua phép ngh ch đ o

đó t c là qu tích các đi m D', E' là nh
c ađ

ng th ng d qua phép ngh ch đ o đã

ch n.
Gi i:
Ta có:

CA.CB = CD.CD' = CE.CE' = k = PC  O .
Xét phép ngh ch đ o

N (C,k) . Khi đó,

N  D = D', N  E  = E' .
Qu tích D, E là đ

Hình 2.2

ng th ng d

 Qu tích D', E' là nh c a đ

Ta th y (O) là đ

ng th ng d qua

N (C,k) .

ng tròn b t đ ng đ i v i N (C,k) , góc gi a đ

d và (O) b ng 90o . Do tính ch t b o t n góc c a hai đ

đ o nên N (d)  N (O) t c
V y, nh c a đ

ng th ng

ng cong c a phép ngh ch

N (d)  (O),C  d  C  N (d) .

ng th ng d qua phép ngh ch đ o trên đ

ng tròn đi qua  C  và

tr c giao v i (O) .
G i J là giao đi m c a AC v i (CD'E') thì (ABJC)=  1 .
V y, qu tích D', E' là đ

ng tròn đ

ng kính CJ , v i J là đi m trên AC sao

cho (ABJC)  1 .
Ví d 3
21


Khóa lu n t t nghi p

inh Th Qu nh Liên _K31A SPToán

Cho (O) và đi m A c đ nh n m ngoài (O). Các cát tuy n thay đ i AMN và
APQ c t (O) t i M, N, P, Q. Gi s giao đi m th hai c a các c p đ

ng tròn

(AMP) và (ANQ), (AMQ) và (ANP) th
t là B, C.
Tìm qu tích đi m B, C.
Gi i
Xét phép ngh ch đ o c c A, ph

ng

tích k  PA (O) thì M và N, P và Q là hai
c p đi m t

ng ng v i nhau.

Khi đó:
(AMP) và (ANQ) l n l

t bi n thành các đ

ng th ng NQ và MP.

G i I là giao đi m c a MP và NQ thì I và B là hai đi m t Hình
ng ng
v i nhau
2.3
trong phép ngh ch đ o đã ch n.
M t khác, ta có A và I là hai đi m liên h p v i nhau đ i v i đ
 T p h p đi m I là đ

ng đ i c c d c a đi m A đ i v i đ

ng tròn (O).
ng tròn (O)

 T p h p đi m B là nh c a d qua phép ngh ch đ o

n

(AMQ) ,(ANP) qua phép ngh ch đ o

t bi n thành các đ

n

(A,k) l n l

(A,k).
ng th ng

NP, MQ.
G i J là giao đi m c a NP và MQ thì J và C là hai đi m t
trong phép ngh ch đ o

n

(A,k).

M t khác, A và J là hai đi m liên h p đ i v i đ
 T p h p J là đ

ng ng v i nhau

ng tròn (O).

ng đ i c c c a đi m A đ i v i đ

 T p h p C là nh c a đ

ng th ng d qua

n

ng tròn (O).

(A,k) là đ

ng tròn đ

ng kính

OA.
Ví d 4:
Cho (O), g i  C  ,  C' là hai đ

ng tròn đi qua tâm O và tr c giao v i

nhau và cùng ti p xúc v i (O), c t nhau t i giao đi m th hai là I.Tìm qu tích I khi

 C ,  C'

thay đ i.
22


Khóa lu n t t nghi p

inh Th Qu nh Liên _K31A SPToán

Gi i
Nh n xét:
Do hình v có nhi u đ

ng tròn nên ta có th s d ng phép ngh ch đ o đ

đ a v hình v đ n gi n h n.
G i R là bán kính c a (O). Ch n phép
ngh ch đ o c c là O, ph

ng tích k = -R2, khi

đó (O) có nh là chính nó,  C ,  C'
t bi n thành các đ

l nl

ng th ng t1, t2 . Do

tính ch t b o t n góc gi a hai đ

ng cong c a

phép ngh ch đ o  t1, t2 là hai ti p tuy n c a
(O) và
t1  t2.

Hình 2.4

G i K là giao đi m c a t1 và t2 thì I và K là hai đi m t

ng ng v i nhau trong

n

(O,-R2).

Ta có : OK=R 2  t p h p K là đ
OI.OK=-R2  OI=
 T p h p I là đ

ng tròn (O, R 2 ).

R
2

ng tròn (O,

R
).
2

Ví d 5.
Cho ba đi m P, A, B th ng hàng theo th t , đ
G i (C1), (C2) là các đ

ng tròn qua A, B và ti p xúc v i d t i M1, M2.

a. Tìm t p h p các đi m N1, N2 l n l
đ

ng th ng d quay quanh P.

t là giao đi m c a (AM1M2) v i các

ng th ng BM1, BM2.

b. Tìm t p h p các đi m Q là giao đi m
th hai c a M1M2 và N1N2.
Gi i
a, Ta có:

23


Khóa lu n t t nghi p

inh Th Qu nh Liên _K31A SPToán

PM 12 =PM 22 =PA.PB





ng tròn  C = P, PA.PB và P là trung đi m

 T p h p các đi m M1, M2 là đ

c a M1M2.
Hi n nhiên: PM 1.PM 2 =  PA.PB  k (k là s th c không đ i).
Xét phép ngh ch đ o
Gi s A' =

N 1  N 1  P,k .

Hình 2.5

PA.PA'   PA.PB

N 1 (A) thì:

 A' là đi m đ i x ng c a B qua P.

M t khác, t giác AA ' M1M 2 là t giác n i ti p  A '   AM 1M 2  .


P

B
AM M
1 2

 BA.BA'  k' là s không đ i.

Xét phép ngh ch đ o

N 2 = N 2 ( B,BA.BA' ) thì ta có:

N 2  AM1M2    AM1M2 

nên

N 2  M1   N1, N 2  M2   N2.

 T p h p các đi m N1, N2 là nh c a đ

ngh ch đ o

N 2 ( Ký hi

ng tròn (C)=( P, PA.PB ) qua phép

u ( C ' )= N 2 [(C)]).

b, Q là giao đi m c a M1M 2 và N1N 2 , ta có

PQ (AM M )  QM .QM
1

1

2

 QN1.QN 2

(1)

2

PQ (C)  QM .QM
1

PQ (C')  QN .QN

1

T (1), (2), (3) suy ra

2

(2)

2

(3)

PQ (C) = PQ (C') .

V y, t p h p các đi m Q là tr c đ ng ph

ng c a hai đ

ng tròn (C) và ( C ' ).

Ví d 6
Cho (O) và hai đi m A,B c đ nh trên nó. Gi s đi m M di đ ng trên (O).
G i (C1), (C2) th t là các đ

ng tròn qua M ti p xúc v i AB l n l

t t i A và B.

G i M ' là giao đi m th hai c a (C1) và (C2).
24

Khóa lu n t t nghi p

inh Th Qu nh Liên _K31A SPToán

Tìm qu tích M '
Gi i
G i I là trung đi m c a AB, ta có:

2

P I  C  =P I  C  = AB
1

 I thu c tr c đ ng ph

4

2

ng c a (C1) và (C2)

AB2
 I, M, M ' th ng hàng và: IM.IM'=
.
4

Xét phép ngh ch đ o

N  I, AB

M ' và M là hai đi m t

ng ng v i nhau.

Theo đ
đ



4

2


 thì :


bài, t p h p các đi m M là

ng tròn (O)

 T p h p các đi m M ' là nh c a (O)

qua phép ngh ch đ o c c I ph

ng tích

AB2

.
4

Hình 2.6

Xác đ nh N  O   :

G i R là bán kính c a (O),  O'  N  O   , R ' là bán kính c a ( O ' ) thì
AB2
AB2
R.
4 
4 R
R' 
2
AB
I
R
(O)
4
R.

M t khác A, B c ng là hai đi m t

 AB2 

 4 

ng ng trong phép ngh ch đ o N  I,

 A, B  ( O ' )
 ( O ' ) là đ

ng tròn đ i x ng v i (O) qua đ

ng th ng AB.

Ví d 7
Cho hai đ

ng tròn (O) và ( O ' ) ti p xúc ngoài t i A, d là tr c đ ng ph

c a (O) và ( O ' ). Ch ng minh r ng có hai đ

ng

ng tròn (I) và ( I ' ) cùng đi qua m t

25