Luận văn sư phạm Phép tịnh tiến trong E2, E3

LờI CảM ƠN
Sau một thời gian nghiên cứu, với sự cố gắng của bản thân, sự động
viên từ gia đình và sự chỉ bảo tận tình của thầy Phan Hồng Trường, em đã
hoàn thành khóa luận tôt nghiệp của mình.
Em xin gửi lời biết ơn sâu sắc tới các thầy, cô trong khoa Toán nói
chung; các thầy, cô trong tổ hình học nói riêng; đặc biệt là thầy Phan
Hồng Trường, đã tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành khóa luận tốt
nghiệp.
Do điều kiện thời gian và khả năng của bản thân còn nhiều hạn chế
nên luận văn không thể tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong các thầy,
cô cùng bạn đọc nhận xét và góp ý kiến để em rút kinh nghiệm và khóa
luận này được hoàn thiện hơn.
Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 5 năm 2013
Sinh viên
Phan Thị Huệ


LờI CAM ĐOAN
Em xin cam đoan khóa luận này được hoàn thành do sự nỗ lực tìm
hiểu, nghiên cứu của bản thân, cùng với sự chỉ bảo, giúp đỡ tận tình của
thầy Phan Hồng Trường cũng như các thầy, cô giáo trong tổ Hình học
của khoa Toán trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2.
Khóa luận này không trùng với kết quả nghiên cứu của tác giả khác.
Nếu trùng em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm.
Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô cùng
toàn thể các bạn đọc để khóa luận ngày càng hoàn thiện hơn.

Sinh viên
Phan Thị Huệ

Mục lục

Phần 1: Mở ĐầU ................................................................................... 1
Phần 2: NộI DUNG ............................................................................... 3
CHƯƠNG 1: CƠ Sở Lý LUậN ............................................................... 3
1.1. Đại cương về phép biến hình ............................................... 3
1.2. Phép tịnh tiến ............................................................................. 5
CHƯƠNG 2: ứNG DụNG CủA PHéP TịNH TIếN ............................... 8
VàO GIảI CáC LớP BàI TOáN cơ bản ........................................... 8
2.1. ứng dụng của phép tịnh tiến vào giải bài toán
chứng minh ......................................................................................... 8
2.2. ứng dụng của phép tịnh tiến vào giải bài toán
quỹ tích .............................................................................................. 15
2.3. ứng dụng của phép tịnh tiến vào giải bài toán
dựng hình ........................................................................................... 21
2.4. ứng dụng của phép tịnh tiến vào giải bài toán
cực trị.................................................................................................. 31
2.5. ứng dụng của phép tịnh tiến vào giải bài toán
tính toán ........................................................................................... 36
Kết luận ............................................................................................. 43
Tài liệu tham khảo ....................................................................... 44


Phần 1: Mở ĐầU
1. Lý do chọn đề tài
Hình học là một môn học khó đối với học sinh, bởi tính chặt chẽ,
logic và tính trừu tượng của hình học cao hơn các môn học khác. Các
phép biến hình sơ cấp là một phần quan trọng của hình học vì nó là

một công cụ hữu ích đối với các bài toán hình học phẳng và hình học
không gian.
Trong chương trình môn Toán phổ thông ở nước ta hiện nay, vai trò
và tầm quan trọng của phép biến hình ngày càng được thể hiện rõ ràng và
sâu sắc không chỉ trong lý thuyết, mà cả trong thực hành giải bài tập. Các
phép biến hình là công cụ đơn giản nhưng đầy hiệu lực trong việc giải
các bài toán hình học.
Phép tịnh tiến là một trong những phép biến hình sơ cấp được vận
dụng để giải quyết các bài toán dựng hình, bài toán quỹ tích, bài toán
chứng minh tính chất hình học,....Tuy nhiên, việc vận dụng phép tịnh tiến
để giải các bài toán hình học trong mặt phẳng và trong không gian không
phải là việc dễ dàng, thực tế nó lại là một phần khó đối với cả giáo viên
và học sinh.
Vì vậy, em quyết định lựa chọn nghiên cứu đề tài: Phép tịnh tiến
trong E2, E3. Trong khuôn khổ một khóa luận tốt nghiệp, em xin trình
bày những kiến thức cơ bản về phép tịnh tiến và ứng dụng của nó trong
việc giải các lớp bài toán trong hình học phẳng và hình học không gian.
2. Mục đích nghiên cứu
- Hệ thống, tóm tắt kiến thức cơ bản về phép tịnh tiến trong E2, E3.
- Ví dụ và các bài tập có hướng dẫn giải để minh họa cho phần ứng
dụng của phép tịnh tiến trong E2, E3 vào giải toán.

1


3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu
Phép tịnh tiến trong E2, E3.
4. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Trình bày cơ sở lý thuyết về phép tịnh tiến.
- Các ví dụ minh họa thể hiện ứng dụng của phép tịnh tiến trong các

lớp bài tập hình học:


Bài toán chứng minh tính chất hình học.



Bài toán cực trị.



Bài toán quỹ tích.



Bài toán dựng hình.



Bài toán tính toán.

5. Phương pháp nghiên cứu
- Phân tích các tài liệu liên quan.
- Tổng kết từ kinh nghiệm giải toán.
- Tham khảo ý kiến của thầy cô, bạn bè.

2


Phần 2: NộI DUNG

CHƯƠNG 1: CƠ Sở Lý LUậN
1.1. Đại cương về phép biến hình
1.1.1. Phép biến hình trong En (n = 2, 3)
1.1.1.1. Định nghĩa
Cho một quy tắc f. Với mỗi điểm M bất kỳ theo quy tắc f ta xác
định được một điểm M. Khi đó ta nói M là ảnh của M qua phép biến
đổi f và được ký hiệu là f: M M (đọc là f biến M thành M). Điểm M

được gọi là tạo ảnh của M, f được gọi là một phép biến đổi hình học hay
nói ngắn gọn hơn là một phép biến hình.

Từ định nghĩa ta suy ra rằng: Nếu M , M tương ứng là ảnh của M1,

M2 trong phép biến đổi và M khác M thì M1 và M2 là hai điểm phân
biệt.

Nếu f được xác định với mọi điểm trong không gian thì ta nói f là

một phép biến hình trong không gian.
1.1.1.2. Phép biến đổi 1 - 1
Nếu mỗi ảnh của một điểm M qua phép biến đổi f chỉ có duy nhất
một tạo ảnh ứng với nó, thì ta nói f là một phép biến đổi một đối một
(song ánh) hay 1 - 1.
1.1.1.3. Phép biến đổi đồng nhất
Ta nói f là phép biến đổi đồng nhất nếu f biến mỗi điểm M trong
En (n = 2, 3) thành chính nó. Ký hiệu là Id: Id(M) = M, M.
1.1.1.4. Phép biến đổi ngược
Giả sử f: M M, M. Nếu tồn tại một phép biến đổi g biến M

thành M thì ta nói g là phép biến đổi ngược của f hay f có phép biến đổi

ngược. Kí hiệu: g = f-1.

Như vậy: Nếu M = f(M) thì M = f-1(M) và f-1 f = f f-1 = Id.
3


1.1.1.5. Tích của hai (hoặc nhiều) phép biến đổi
1. Cho hai phép biến đổi f và g, với mỗi điểm M bất kỳ f: M M

và g: M M. Phép biến đổi biến M thành M được gọi là tích của hai

phép biến đổi f và g.

Ký hiệu: g f: M M.

2. Cho n phép biến đổi f1, f2, ..., fn (n > 2). Tích của n phép biến đổi
đã cho là một phép biến đổi F có được bằng cách thực hiện liên tiếp theo
một thứ tự nhất định n phép biến đổi đó.
Ký hiệu: F = fn fn-1 ... f2 f1.

1.1.1.6. Hai phép biến đổi trùng nhau
Cho hai phép biến đổi f và g. Ta nói f và g trùng nhau, ký hiệu là
f = g, nếu ảnh của mọi điểm M trong En (n = 2, 3) của hai phép biến đổi
đó trùng nhau. Nghĩa là M, f: M M và g: M M.

1.1.1.7. Điểm bất động, đường thẳng bất động, mặt phẳng bất động
của một phép biến đổi
Cho phép biến đổi f của tập T.
1. Điểm M của tập T được gọi là điểm bất động (hay điểm kép,
điểm tự ứng) của phép biến đổi f, nếu f(M) = M.

2. Đường thẳng d là đường thẳng bất động của phép biến đổi f, nếu
mọi điểm thuộc d là điểm bất động của f.
3. Mặt phẳng (P) được gọi là mặt phẳng bất động của phép biến đổi
f, nếu mọi điểm thuộc (P) là điểm bất động của f.
4. Đường thẳng (mặt phẳng) được gọi là đường thẳng (mặt phẳng)
bất biến của phép biến đổi f, nếu f biến đường thẳng (mặt phẳng) đã cho
thành chính nó.
1.1.1.8. ảnh của một hình qua một phép biến đổi
Cho một hình F trong En (n = 2, 3). Tập hợp ảnh của mọi điểm
thuộc F qua một phép biến đổi f lập thành một hình F được gọi là ảnh
4


của F qua phép biến đổi đó, ký hiệu là F = f(F) nếu f có phép biến đổi
ngược cũng tức là F = f-1 (F).
Ký hiệu f: F F hoặc F = {F(M) M F} hoặc F = f(F)}.

1.1.1.9. Hai hình trùng nhau

Ta nói hai hình F1 và F2 trùng nhau, nếu mọi điểm của hình này
thuộc hình kia và ngược lại. Ký hiệu: F1 = F2.
Nếu mọi điểm của F1 thuộc F2, thì ta nói F1 là hình con của F2.
Ký hiệu: F1 F2.

1.1.2. Phép biến hình afin
Phép biến hình trong En (n = 2, 3) biến đường thẳng thành đường
thẳng được gọi là phép biến hình afin, gọi tắt là phép afin.
1.1.3. Phép biến hình đẳng cự
Phép biến hình trong En (n = 2, 3) bảo toàn khoảng cách giữa hai
điểm bất kỳ được gọi là phép biến hình đẳng cự, gọi tắt là phép đẳng cự.

1.2. Phép tịnh tiến
1.2.1. Định nghĩa
Cho véctơ v 0. Phép biến hình biến mỗi điểm M thành điểm M

sao cho MM = v được gọi là phép tịnh tiến theo véctơ v. Ký hiệu: T .
Như vậy: T (M) = M MM = v.

Nếu phép biến hình đó được thực hiện cho mọi điểm trong không

gian, thì ta nói T là phép tịnh tiến trong không gian.

Tập hợp ảnh của mọi điểm thuộc hình H trong phép tịnh tiến T lập

thành một hình H. H được gọi là ảnh của hình H trong phép tịnh
tiến đó.

1.2.2. Tính chất
Cho phép tịnh tiến T ta có các tính chất sau:

i. T không có điểm bất động và T



là phép biến đổi ngược của nó:

( T )-1 = T
5

.


ii. Nếu v = 0 thì T là phép đồng nhất.

iii. Nếu A, B lần lượt là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến thì AB = AB.

iv. Tích của hai phép biến đổi T và T là một phép tịnh tiến mà véctơ
tịnh tiến là u + v tức là T T = T T = T .

v. Tích của một phép đối xứng tâm Đ và một phép tịnh tiến T là một
phép đối xứng tâm và tâm O của phép biến đổi đó được xác định bởi
hệ thức 2OA = v.

1.2.3. Hệ quả

Phép tịnh tiến T biến:

i. Ba điểm A, B, C thẳng hàng thành ba điểm A, B, C thẳng hàng và
bảo toàn thứ tự của chúng.
ii. Bốn điểm đồng phẳng thành bốn điểm đồng phẳng.
iii. Đường thẳng d thành đường thẳng d song song hoặc trùng với d.
iv. Tia Ox thành tia Ox cùng chiều với Ox.
v. Đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng AB và AB = AB.
vi. Mặt cầu (O, R) thành mặt cầu (O, R).
1.2.4. Phép tịnh tiến với mặt phẳng, miền mặt phẳng (đa giác, hình
tròn)
Phép tịnh tiến T biến:

i. Mặt phẳng (P) thành mặt phẳng (P) và (P) // (P) hoặc (P) (P); nửa

mặt phẳng thành nửa mặt phẳng.

ii. Miền đa giác thành miền đa giác.

iii. Hình tròn (I, r) thành hình tròn (I, r).
1.2.5. Phép tịnh tiến với góc nhị diện
Phép tịnh tiến T biến góc nhị diện thành góc nhị diện và số đo hai

góc phẳng nhị diện bằng nhau.

6


1.2.6. Phép tịnh tiến với hình trụ tròn xoay, hình nón tròn xoay
Phép tịnh tiến T biến hình trụ tròn xoay (T) thành hình trụ tròn

xoay (T); hình nón tròn xoay (N) thành hình nón tròn xoay (N).
1.2.7. Phép đối xứng - trượt trong không gian

Cho mặt phẳng (P) và véctơ v 0 cùng phương với (P). Ta nói phép

biến đổi T1 = S(P) T hoặc T2 = T S(P) là phép đối xứng trượt theo
mặt phẳng (P).

Phép đối xứng trượt theo mặt phẳng có duy nhất một mặt phẳng bất

biến là mặt phẳng (P).

7

CHƯƠNG 2: ứNG DụNG CủA PHéP TịNH TIếN
VàO GIảI CáC LớP BàI TOáN cơ bản
2.1. ứng dụng của phép tịnh tiến vào giải bài toán
chứng minh
2.1.1. Bài toán chứng minh
Bài toán chứng minh là bài toán cần chỉ ra mệnh đề A B là đúng,
trong đó A được gọi là giả thiết, B được gọi là kết luận của bài toán.
Để giải bài toán chứng minh thông thường ta xuất phát từ giả thiết
hay mệnh đề đúng đã biết, bằng cách lập luận chặt chẽ và suy diễn logic,
dựa trên các định nghĩa, tính chất của các hình để dẫn tới kết luận.
2.1.2. Giải bài toán chứng minh nhờ phép biến hình
- Nếu ta thiết lập được mối quan hệ giữa các điểm, các đường đã
cho trong giả thiết A với các điểm, các đường trong kết luận B thông qua
một phép biến hình nào đó, để nhờ những tính chất được bảo toàn qua
các phép biến hình ta có thể nhận được các kết quả về: tính đồng quy hay
thẳng hàng quan hệ song, quan hệ vuông góc, liên thuộc, đồng dạng,
giúp suy ra được điều cần chứng minh.
- Việc dựng hình phụ: dựng các hình phụ (chẳng hạn phép tịnh tiến
là dựng các đoạn thẳng song song và bằng nhau) làm sao đem những
điều kiện đã cho của bài toán và của những hình có liên quan đến việc
chứng minh vốn rời rạc nhau tập hợp thành một nơi, làm cho chúng có
liên hệ với nhau để việc chứng minh trở nên dễ dàng hơn.
2.1.3. Khai thác bài toán chứng minh nhờ sử dụng phép biến hình
- Từ bài toán ban đầu (A) có thể biểu diễn dưới dạng mệnh đề là:
A B.

Qua một phép biến hình f mệnh đề trên tương ứng thành: A B.
Cho bài toán (A) với giả thiết A và kết luận B.
8

- Lợi dụng tính 1 - 1 của phép biến hình và cách suy luận khi chứng
minh, ta xét xem mệnh đề đảo B A xem có đúng không. Nếu đúng ta
có thể ra bài toán với cả điều kiện cần và đủ.

- Thay đổi một vài điều kiện của giả thiết, hoặc xem xét các trường

hợp đặc biệt, tương tự của bài toán, ta cũng có thể ra bài toán mới.
2.1.4. Ví dụ
Ví dụ 1:
a. Chứng minh rằng: Nếu đoạn thẳng nối các trung điểm của hai
cạnh đối diện của một tứ giác lồi bằng nửa tổng hai cạnh còn lại thì tứ
giác đó là hình thang.
b. Chứng minh rằng: Nếu tổng độ dài hai đoạn thẳng nối các trung
điểm của hai cạnh đối diện của tứ giác lồi bằng nửa chu vi của nó thì tứ
giác đó là hình bình hành.
Lời giải
a. Cho tứ giác lồi ABCD. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của hai
cạnh đối diện AB, CD.
Theo giả thiết ta có: EF = (AD + BC).

(1)

Gọi K là ảnh của D qua phép tịnh tiến theo véctơ BC DK = BC

Đặt F = CD BK .

EF là đường trung bình của ABK

AK = 2EF

(2)

B

Từ (1) và (2) ta có:
AK = AD + BC = AD + DK
D [AK] AD // BC.

Vậy ABCD là hình thang.

h

9

c
f

e

A

g

d

k

b. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, BC, AD
của tứ giác ABCD.
Theo phần a., ta có:
EF =

(AD + BC) khi AD // BC

GH =

(AB + CD) khi AB // CD

Vậy nếu EF + GH =

( AB + BC + AD + CD) thì ABCD là hình bình

hành.
Nhận xét: Từ bài toán trên ta rút ra một số kết luận sau:
- Trong tứ giác lồi, đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh đối diện
nhỏ hơn hoặc bằng nửa tổng hai cạnh còn lại.
- Nếu có thêm điều kiện EF = GH thì tứ giác ABCD là hình thoi.
- Nếu có thêm điều kiện EF GH thì tứ giác ABCD là hình

chữ nhật.

- Nếu có thêm điều kiện EF GH và EF = GH thì tứ giác ABCD

là hình vuông.

Điều ngược lại hiển nhiên đúng.

Từ những nhận xét trên ta có một số bài toán với cách giải tương tự:
Bài toán 1: Chứng minh rằng tổng hai đoạn thẳng nối trung điểm hai
cạnh đối diện của một tứ giác lồi không lớn hơn nửa chu vi của tứ giác
đó.
Bài toán 2: Chứng minh rằng tứ giác lồi là hình thoi khi và chỉ khi tổng
hai đoạn nối trung điểm hai cạnh của tứ diện của một tứ giác bằng nửa
chu vi của tứ giác đó và hai đoạn nối trung điểm nói trên bằng nhau.
Bài toán 3: Chứng minh rằng tứ giác lồi là hình chữ nhật khi và chỉ khi
tổng hai đoạn nối trung điểm hai cạnh của tứ diện của một tứ giác bằng
nửa chu vi của tứ giác đó và hai đoạn nối trung điểm nói trên bằng nhau.

10


Ví dụ 2: Cho tứ giác lồi ABCD có AB = CD. Chứng minh rằng các
đường thẳng AB, CD tạo ra các góc bằng nhau với đường thẳng nối trung
điểm cạnh AD và BC.
Lời giải
Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AD, BC.
Ta phải chứng minh: (MN; AB) = (MN; CD).
Thật vậy, xét các phép tịnh tiến:

B

T : A A AB // AC

T : N C


M M

n

d

m

MN // CM
M là trung điểm của AD

A

m'
A'

Mà CA = CD CAD cân tại C.

Do đó đường trung tuyến CM cũng là đường phân giác của ACD.
(MN; AB) = (CM; AC) = (CM; CD) = (MN; CD).

Vậy (MN; AB) = (MN; CD).

Nhận xét: Từ bài toán trên ta rút ra một số kết luận sau:
- AB = CD (MN; AB) = (MN; CD).
- Gọi I, J là trung điểm của AC, BD.

I = T (I), J = T (J) I, J là trung điểm của CAvà CD.

Ta cũng chứng minh được: AB = CD (IJ; AB) = (IJ; CD)
AB = CD IJ MN.

Từ nhận xét trên ta có thể ra bài toán:

11

c


Cho tứ giác lồi ABCD. Chứng minh các mệnh đề sau tương đương:
a. AB = CD
b. (MN; AB) = (MN; CD)
c. (IJ; AB) = (IJ; CD)
d. IJ MN.

Ví dụ 3: Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của
các cạnh AB, CD.
a. Phép tịnh tiến theo véctơ MN biến đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng

AB. Chứng minh rằng: tứ giác phẳng ACBD là hình vuông.

b. Phép tịnh tiến theo véctơ NM biến đoạn thẳng CD thành đoạn thẳng

CD. Chứng minh rằng: bốn đỉnh của tứ diện ABCD cùng với các điểm
A, B, C, D là đỉnh của một hình lập phương.
Lời giải

a. Tứ diện ABCD đều AB = CD.
T

:

a'
a

A A

B B

d
d'

AB = AB và AB // AB.

Vậy AB = CD

n
m

(1)

c

c'

Dễ thấy: AN CD và BN CD

b'

CD ( ABN) CD AB

b

Mà AB // AB nên CD AB (2)

Từ (1) và (2) tứ giác phẳng ACBD vuông (vì là hình bình hành có
đường chéo bằng nhau).
đpcm.
b. Ta có:

CD ^ (ABN)
MN CD.
MN (ABN)

Chứng minh tương tự, ta có: MN AB
12


Vậy MN là đường vuông góc chung của AB và CD.
Theo câu a. ta có ACBD là hình vuông, tương tự ACBD cũng là
hình vuông, và MN là đường vuông góc chung của AB và CD nên các
hình vuông ACBD, ACBD là đáy của một hình hộp đứng.
Ta có: Tứ giác BBDD là hình bình hành.
Mà

MN ^ (ACBD)
DD ^ (ACBD) tại D.
MN // DD

Vậy tứ giác BBDD là hình bình hành có một góc vuông nên BBDD là
hình chữ nhật.

Lại có: BD // AC và BD AC BD BD.

Vậy BBDD là hình vuông (do là hình chữ nhật có hai đường chéo
vuông góc với nhau).
đpcm.

Nhận xét: Ta có bài toán tương tự của bài toán trên:
Cho tứ diện ABCD có: AB = CD, AC = BD, AD = BC. Gọi M, N
lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD.
a. Phép tịnh tiến theo véctơ MN biến đoạn thẳng AB thành đoạn thẳng
AB. Chứng minh rằng: tứ giác phẳng ACBD là hình chữ nhật.

b. Phép tịnh tiến theo véctơ NM biến đoạn thẳng CD thành đoạn thẳng

CD. Chứng minh rằng: bốn đỉnh của tứ diện ABCD cùng với các điểm
A, B, C, D là đỉnh của một hình hộp chữ nhật.
2.1.4. Bài tập đề nghị
Bài 1: Trên cung BC không chứa A của đường tròn ngoại tiếp ABC, ta
lấy điểm D (khác B, C). Phép tịnh tiến theo véctơ DA biến B thành B, C

thành C. Chứng minh rằng: trực tâm ABC nằm trên một đường thẳng
cố định khi D thay đổi trên cung BC không chứa A.

13


Hướng dẫn giải
Xét phép tịnh tiến theo véctơ DA:

c'

T : DBC ABC

T



b'

biến các đường cao của DBC

h

thành các đường cao tương ứng của ABC.

a
c

Vì BC // BC nên đường cao kẻ từ A của
b

ABC vuông góc với BC.

o

Tức là đường cao kẻ từ A của ABC nằm
trên đường thẳng cố định.

d

Vậy trực tâm ABC nằm trên đường thẳng cố định đi qua A và vuông
góc BC.
Bài 2: Cho tứ diện ABCD có các đường cao đồng quy tại điểm H. Trong
ABC ta lấy điểm M và dựng các hình bình hành AMNB, AMEC. Từ các

điểm M, N, E ta dựng các đường thẳng tương ứng song song với AH, BH,
CH. Ta ký hiệu I, K, L lần lượt là giao điểm của các đường thẳng đó với
các mặt (BCD), (CDA), (ABD). Chứng minh rằng: Các điểm D, H, I, K,
L cùng nằm trên một mặt cầu.
Hướng dẫn giải

D
H
L
A

K
I
M

C
H'

B

E

N

14

Phép tịnh tiến T

:

AM
BN
CE

H H

AH (BCD)

MH (BCD) tại điểm I.

Tương tự ta có:
Do :

NH ^ (ACD) = K
EH ^ (ABD) = L

NH ^ (ACD)
NH DK
DK (ACD)

KH DK

K thuộc mặt cầu đường kính DH.

Tương tự I, L cũng thuộc mặt cầu đường kính DH.
Ta có:

DH ^(ABC)
DH AM
AM (ABC)

Mà AM // HH nên DH HH H thuộc mặt cầu đường kính DH.

Vậy 5 điểm D, H, I, K, L cùng thuộc một mặt cầu.

2.2. ứng dụng của phép tịnh tiến vào giải bài toán
quỹ tích
2.2.1. Bài toán quỹ tích
Bài toán quỹ tích là bài toán tìm một tập hợp điểm (còn gọi là một
hình có tính chất cho trước). Quỹ tích điểm M có tính chất cho trước
có thể là tập rỗng, tập hữu hạn điểm, tập vô hạn điểm.
Để khẳng định quỹ tích những điểm có tính chất phải thuộc hình
(H) nào đó ta phải thực hiện:
Bước 1: (Phần thuận): Chứng minh mỗi điểm có tính chất phải thuộc
hình (H) (nói lên tính không thiếu của quỹ tích).

15


Bước 2: (Phần đảo): Chứng minh mỗi phần tử thuộc hình (H) đều có tính
chất (nói lên tính không thừa của quỹ tích).
2.2.2. Giải bài toán quỹ tích nhờ phép biến hình
Giả sử f: En En (n = 2, 3)
M M

Là một phép biến hình.

- Nếu quỹ tích của M là hình () thì ta có quỹ tích M là f().
- Ngược lại nếu quỹ tích M là () thì quỹ tích M là f-1().
Do đó muốn sử dụng phép biến hình và giải bài toán tìm tập hợp
những điểm M thỏa mãn một tính chất nào đó, ta có thể chọn một phép
biến hình thích hợp f biến điểm M thành M sao cho quỹ tích những
điểm M tìm được dễ dàng hơn, từ đó suy ra quỹ tích của điểm M.
2.2.3. Khai thác bài toán quỹ tích nhờ phép biến hình
Giả sử quỹ tích các điểm M có tính chất nào đó đã tìm được là
một hình (). Lấy một phép biến hình f biến điểm M thành điểm M, ta
có thể phát biểu bài toán mới: Tìm quỹ tích các điểm M có liên quan với
điểm M bởi f, kết quả quỹ tích cần tìm chính là f().
2.2.4. Ví dụ
Ví dụ 1: Cho đường tròn (O, R) dây cung BC cố định, điểm A thay đổi
trên đường tròn. Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC.
Lời giải
Kéo dài AO cắt (O, R) tại điểm thứ 2 là A.

a

Xét tứ giác HCAB ta có:
HB // AC (vì cùng AC)
HC // AB (vì cùng AB)

h

tứ giác HCAB là hình bình hành.

Gọi I là trung điểm của BC

16

b

o
c

i
a'


I là trung điểm của HA.

Xét AHA ta có: OI là đường trung bình nên AH = 2OI.

Vì BC cố định nên I cố định, do đó OI hoàn toàn xác định.

Từ đó ta có: H = T



(A).

Để có ABC thì A (O; R) {B C}
Quỹ tích của điểm H là:
(O; R) = T

[(O, R)] T



(B) T



(C) .

Nhận xét: Từ bài toán trên ta rút ra kết luận sau: Trong một tam
giác, khoảng cách từ trực tâm đến đỉnh bằng hai lần khoảng cách từ tâm
đường tròn ngoại tiếp đến cạnh đối diện với đỉnh ấy. Do đó ta có thể tìm
được quỹ tích của các điểm có liên quan đến trực tâm bởi một hệ thức
nào đó.
Từ đó, ta có thể đề ra bài toán:
Cho (O, R), dây cung AB cố định (AB không phải là đường kính
của (O, R)), C là một điểm thay đổi trên (O, R), H là trực tâm của ABC.
Gọi M, N là giao điểm của hai đường tròn (C, CH) và (H, HC). Tìm tập
hợp các điểm M, N.
Ví dụ 2: Cho ABC. Với mỗi điểm M ta dựng điểm N theo công thức:
MN = MA + 2MB - 3MC. Tìm tập hợp N khi M thay đổi trên đường

thẳng d.

Lời giải

Theo giả thiết:

n

e

MN = MA + 2MB - 3MC

= 3MA - 3MC - 2MA + 2MB

= - 3AC + 2AB

= AE. (AE là một véctơ xác định)
17

m

a
b

c


N là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo véctơ AE
Vì M d nên N d (d = T (d))

Vậy tập hợp điểm N là đường thẳng d = T (d).

Nhận xét: Từ bài toán trên ta thấy, để tìm quỹ tích của một điểm N có
liên quan đến các điểm cho trước theo một hệ thức nào đó, M là điểm
chuyển động cho trước, ta biểu diễn MN theo một véctơ xác định rồi suy

ra quỹ tích điểm N.

Ta có bài toán với cách giải tương tự:

Bài toán 1: Cho ABC. Với mỗi điểm M, ta dựng điểm N theo công
thức: MN = MA + MB - 2MC. Tìm tập hợp điểm N khi M thay đổi trên

đường tròn (O).

Bài toán 2: Cho hai điểm cố dịnh A, B và đường tròn (O). Với mỗi điểm
M thuộc (O) ta gọi M đối xứng với M qua A và M đối xứng với M qua
B. Tìm tập hợp M khi M thay đổi trên đường tròn (O).
Bài toán 3: Cho hai đường thẳng a, b song song với nhau và đường
thẳng c. Với mỗi điểm M thuộc c, ta dựng điểm M đối xứng với M qua
a, M đối xứng với M qua b. Tìm tập hợp điểm M khi M thay đổi trên c.
Ví dụ 3: Cho hai nửa đường thẳng chéo nhau Ax, By có AB là đường
vuông góc chung. M, N lần lượt chạy trên Ax, By sao cho: AM = BN.
Tìm quỹ tích trung điểm I của MN.
Lời giải
a. Phần thuận
Phép tịnh tiến T : M M, Ax Bz M Bz và Ax // Bz.

Ta có BN = AM = BM BMN cân tại B.

Quỹ tích trung điểm I của MN là tia phân giác Bt của góc MBN.

18


x

Ta có: II = MM = BA = BO

m

a

T : I I

o

Vậy quỹ tích I là tia Ou = T (Bt).

b

b. Phần đảo

z
m'

Dựng tia Bz = T (Ax).

i

u

i'

Dựng tia Bt là phân giác zBy.

t
n

Dựng tia Ou = T (Bt).

y

Lấy điểm I bất kỳ thuộc tia Ou (IM = IN).
Ta sẽ chứng minh AM = BN.
Gọi I = T (I). Dễ thấy II // MM mà I là trung điểm của MN

I là trung điểm MN,với M = T (M) và I Bt (do Bt = T (Ou))

BI vừa là phân giác, vừa là trung tuyến của BMN
BMN cân tại B BM = BN.

Do M = T (M) AM = BM.

Do đó AM = BN.

Kết luận: quỹ tích điểm I là tia Ou = T (Bt), với Bt là tia phân giác của
góc zBy, Bz = T (Ax).

Nhận xét: Ta có bài toán tổng quát của bài toán trên: Cho hai nửa
đường thẳng chéo nhau Ax, By có AB là đường vuông góc chung. M, N
lần lượt chạy trên Ax, By sao cho AM = BN. Tìm tập hợp điểm I sao cho
IM = kIN (k > 0 cho trước).
2.2.5. Bài tập đề nghị
Bài 1: Cho hình bình hành ABCD có cạnh AB cố định, cạnh CD thay
đổi sao cho

=

. Tìm tập hợp các đỉnh C và D.

19


Hướng dẫn giải
a. Phần thuận
a

Hình bình hành ABCD có:

b

AC + BD = 2(AD + AB ).

Theo giả thiết:


=

=



=

c

d

=2

Do đó ta có: AC = AB2.
C (A, AB2).

D là ảnh của C trong phép tịnh tiến theo véctơ BA.

* Giới hạn: Tập hợp các điểm C là đường tròn (A, AB2) trừ hai giao
điểm của đường tròn đó với đường thẳng AB.
b. Phần đảo
Dựng đường tròn (A, AB2).
Lấy điểm C bất kỳ thuộc đường tròn (A, AB2).
Gọi D = T (C). Xét tứ giác ABCD có BA = CD
ABCD là hình bình hành

AC + BD = 2(AD + AB )

(1)

Mà C (A, AB2) AC = 2AB

Từ (1) và (2) BD = 2AD
Do đó ta có:

=

(= 2) hay

(2)

=

Kết luận: Tập hợp điểm C là đường tròn (A, AB2) bỏ đi hai giao điểm
của (A, AB2) và đường thẳng AB.
D là ảnh của C qua phép tịnh tiến T .

20


Bài 2: Cho mặt cầu (O, R), một điểm A và một véctơ v 0. Với mỗi

điểm M thuộc mặt cầu, ta gọi M là điểm đối xứng của M qua A và M
là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo véctơ v. Tìm tập hợp M, khi M

biến thiên trên mặt cầu.

Hướng dẫn giải

Xét phép đối xứng qua tâm Đ

và
M'

phép tịnh tiến T .

Ta có: Đ : M M

A

T : M1 M

T Đ : M M

M

M''

A'
O

Hay Đ : M M ( A là điểm xác

định)

Tập hợp M là mặt cầu đối xứng với mặt cầu (O, R) qua phép đối
xứng tâm A.

2.3. ứng dụng của phép tịnh tiến vào giải bài toán
dựng hình
2.3.1. Bài toán dựng hình
Là dạng bài toán: Cho một hình (H), dựng (tìm) hình (H) liên hệ
với hình (H). Nghiệm của bài toán dựng hình là một hình thỏa mãn yêu
cầu bài toán.
Thông thường bài toán dựng hình được giải theo bốn bước:
Bước 1 (Phân tích): Giả sử đã có hình cần dựng, từ đó thiết lập mối liên

hệ giữa các yếu tố phải tìm và các yếu tố đã biết để suy ra cách dựng.

Bước 2 (Cách dựng): Chỉ ra hữu hạn và có thứ tự các phép dựng cơ bản
và bài toán dựng hình cơ bản cần phải thực hiện để có hình cần dựng.
Bước 3 (Chứng minh): Là sự chỉ ra hình đã dựng ở bước 2 thỏa mãn yêu
cầu của bài toán.

21


Bước 4 (Biện luận): Khẳng định khi nào bài toán có nghiệm, khi nào bài
toán vô nghiệm, nếu có nghiệm thì có bao nhiêu nghiệm.
2.3.2. Giải bài toán dựng hình nhờ phép biến hình
Phép biến hình tham gia trong bài toán dựng hình chủ yếu ở bước
phân tích. Bước phân tích của bài toán dựng hình có thể tóm tắt theo sơ
đồ sau:
H H1 H2 ... Hn-1 Hn.

Để dựng hình H ta đi dựng hình H1
Để dựng hình H1 ta đi dựng hình H2
............................................................
Để dựng hình Hn-1 ta đi dựng hình Hn.
Trong đó hình Hn phải là hình dễ dàng dựng được nhờ các phép biến
hình cơ bản hoặc là hình đã cho trong giả thiết. Vấn đề là ta phải xác
định được phép biến hình nói lên mối liên hệ giữa hình H cần dựng và
hình Hi nào đó, sau đó căn cứ vào định nghĩa và tính chất của phép biến
hình mà ta vẽ các đường phụ (với phép tịnh tiến thì ta vẽ các đoạn thẳng
song song và bằng nhau) để đưa từ giả thiết đến hình cần dựng.
Sau đây là một số trường hợp thường được áp dụng:
- Có thể di chuyển hình muốn dựng (hoặc bộ phận của hình muốn
dựng) đến một hình (hoặc bộ phận của một hình) đơn giản hơn nhờ một
phép biến hình, từ đó suy ra cách giải.

- Hình cần dựng có thể quy về việc dựng một vài điểm M nào đó.
Có thể xem điểm M là giao điểm chung của hình (A) và một hình (B)
thu được nhờ hình (B) đã cho nhờ một phép biến hình.
2.3.3. Khai thác bài toán dựng hình nhờ phép biến hình
- Cho (G) là một hình đã dựng được hoặc dễ dàng dựng được. Qua
một phép biến hình f nào đó hình (G) biến thành hình (H) (hình (H)

22