Luận văn sư phạm Phương pháp điểm trong giải bài toán quy hoạch tuyến tính

Tr n H i Y n – K32 CN Toán

M CL C
L ic m n
L i cam đoan
M đ u
Ch

ng I BƠi toán quy ho ch tuy n tính vƠ ph

ng pháp đ n hình

1.1 Bài toán quy ho ch tuy n tính và quy ho ch tuy n tính đ i ng u
1.2. T p l i và các đi m c c biên
1.3 Ph

ng pháp đ n hình

1.4. Th i gian th c hi n thu t toán
Ch

ng II Ph

2.1 T t

ng pháp đi m trong

ng c a ph

ng pháp đi m trong

2.1.1 N i dung c a ý t
2.1.2 Xác đinh h

ng

ng gi m

2.1.3 Thành ph n h

ng tâm

2.2 M t s thu t toán c a ph
2.2.1 Ph

ng pháp đi m trong

ng pháp t l affin

2.2.2 Thu t toán gi m th
2.2.3 Thu t toán theo đ

ng trung tâm

2.2.4 Thu t toán theo đ

ng trung tâm – đ i ng u

2.2.5 So sánh các ph

ng pháp đi m trong

K t lu n
TƠi li u tham kh o

Khóa lu n t t nghi p

1


Tr n H i Y n – K32 CN Toán

L IC M

N

Trong su t quá trình th c hi n khóa lu n c ng nh h c t p t i tr
em đã nh n đ

ng

c s quan tâm, giúp đ và t o đi u ki n c a các th y cô giáo

trong Khoa Toán, nh t là các th y cô giáo trong t Toán ng d ng, cùng v i
s đ ng viên khích l c a các b n sinh viên. Em xin chân thành c m n s
giúp đ quý báu này.
c bi t em xin bày t lòng bi t n sâu s c đ n th y giáo Tr n Minh
T

c, ng

i đã t n tình h

ng d n, giúp đ em trong su t th i gian qua đ

em có th hoàn thành khóa lu n này.
Trong quá trình th c hi n đ tài, do đi u ki n v th i gian và s h n
ch v ki n th c, khó tránh kh i nh ng thi u sót khi hoàn thành khóa lu n
này. Vì v y em r t mong nh n đ
b n bè đ đ tài c a em đ

c nh ng ý ki n đóng góp c a th y cô và

c hoàn thi n h n .

Em xin chân thành c m n!
Hà N i, ngày 05 tháng 05 tháng 2010
Sinh viên th c hi n
Tr n H i Y n

Khóa lu n t t nghi p

2


Tr n H i Y n – K32 CN Toán

L I CAM OAN
Tôi xin cam đoan nh ng v n đ em trình bày trong khóa lu n là nh ng
k t qu nghiên c u c a riêng b n thân tôi d
giáo Tr n Minh T

is h

ng d n t n tình c a th y

c, b n khóa lu n này không trùng v i k t qu nghiên c u

c a các tác gi khác.
N u không tôi xin hoàn toàn ch u trách nhi m.

Hà N i, ngày 05 tháng 05 n m 2010
Sinh viên th c hi n
Tr n H i Y n

Khóa lu n t t nghi p

3


Tr n H i Y n – K32 CN Toán

M

U

1. Lý do ch n đ tƠi
Bài toán quy ho ch tuy n tính là bài toán gi i quy t nh ng v n đ
kh n th

khó

ng g p trong cu c s ng và trong lao đ ng s n xu t. Vi c gi i nh ng

bài toán Quy ho ch tuy n tính này giúp ta tìm đ

c ph

ng án t i u nh t,

h p lý nh t nh m mang l i hi u qu cao nh t trong s n xu t.
Thông th

ng chúng ta dùng ph

ng pháp đ n hình đ gi i bài toán

Quy ho ch tuy n tính. ây là m t cách gi i nhanh và hi u qu . Tuy nhiên v i
nh ng bài toán có đ ph c t p l n thì ph
s
ph

ng pháp đ n hình không còn th c

hi u qu n a. V i nh ng bài toán này ng
ng pháp khác là ph

i ta th

ng pháp đi m trong.

pháp đi m trong tôi đã ch n đ tài: “Ph

ng s

d ng m t

tìm hi u k h n v ph

ng

ng pháp đi m trong gi i bài toán

quy ho ch tuy n tính” . cho khóa lu n t t nghi p.
2. M c đích, nhi m v nghiên c u
M c đích nghiên c u: Tìm hi u các thu t toán c a ph

ng pháp đi m

trong đ gi i bài toán Quy ho ch tuy n tính.
Nhi m v nghiên c u: Trình bày khái quát và đánh giá hi u qu
thu t toán c a ph
3. Ph

các

ng pháp đi m trong.

ng pháp nghiên c u
Trong đ tài s d ng nh ng ph

ng pháp chính nh : ph

ng pháp tìm

ki m, phân tích, th ng kê, t ng h p, so sánh,….
4. B c c khóa lu n
Khóa lu n g m m đ u, hai ch

ng và k t lu n

Ch

ng I: Bài toán quy ho ch tuy n tính và ph

Ch

ng II: Ph

ng pháp đ n hình

ng pháp đi m trong

Khóa lu n t t nghi p

4


Tr n H i Y n – K32 CN Toán

Ch

ng I BÀI TOÁN QUY HO CH TUY N TệNH VÀ
PH

NG PHÁP

N HÌNH

1.1 BƠi toán quy ho ch tuy n tính vƠ quy ho ch tuy n tính đ i ng u
1.1.1 BƠi toán quy ho ch tuy n tính
a) D ng t ng quát
Tìm véc t x   x1 , x2 ,..., xn   ฀ n sao cho
t

n

f(x) =

c x
j 1

j

j

 min(max)

v i các đi u ki n:

 n

 a ij x j  b j
 j 1
 n
 a ij x j  b j
 j 1

D: n
a ij x j  b j

j 1

 xj  0
 x 0
j


xj

(i  1,..., m)
(i  m1  1,..., m2 )
(i  m2  1,..., m)
( j  1,..., n1 )
( j  n1  1,..., n2 )
( j  n2  1,..., n)

b) D ng chính t c
n

 f ( x)   c j x j  min
j 1


 n
(i  1, 2,..., m)
 a ij x j  b j
 j 1
 xj  0
( j  1, 2,..., n)



Hay d

i d ng ma tr n

Khóa lu n t t nghi p

5


Tr n H i Y n – K32 CN Toán
 f  x  c t x  min

 Ax  b
x  0


Trong đó c, x  ฀ n , b  ฀ m , A là ma tr n c p m  n .
c) D ng chu n t c
n


 f ( x)   cij x j  min
j 1

n

a ij x j  b j


(i  1,2,..., m)
j 1


xj  0
( j  1,2,..., n)



Hay d

i d ng ma tr n
 f  x  c t x  min

 Ax  b
x  0


1.1.2 Bài toán quy ho ch tuy n tính đ i ng u
a)

i ng u c a bài toán quy ho ch tuy n tính d ng chu n t c

bt x  max
 t
A x  c
y  0


b)

i ng u c a bài toán quy ho ch tuy n tính d ng chính t c
bt y  max
 t
A y  c
y
 có d u tùy ý

c)

i ng u c a bài toán quy ho ch tuy n tính d ng t ng quát

Khóa lu n t t nghi p

6


Tr n H i Y n – K32 CN Toán

bt y  min
m
   a  y  c
i

j
ij

i 1
 n

  a ij  yi  c j
 i 1
 yi  0

 yi t do


 j  1, n 
1

 j  n  1, n 
i  1, m 
i  m  1, m
1

1

1

1.2 T p l i vƠ các đi m c c biên.
a) T p C  ฀ n g i là t p l i n u l y 2 đi m b t k ồ’ và ồ”  C thì đo n
th ng [ồ’,ồ”] n i 2 đi m này hoàn toàn thu c C.
b)

i m x0 thu c t p l i C đ

c g i là đi m c c biên c a C n u nó không là

đi m trong c a b t k đo n nào n i 2 đi m khác nhau c a C t c là không t n
t i ồ’, ồ” C, ồ’ ≠ ồ” sao cho x0=  ồ’+ (1- )ồ” v i  nào đó thu c (0,1).
c) M t t h p l i c a các đi m xi  ฀ n (i  1,2,...m) là đi m x ฀ n có d ng:

x  1x1   2 x2  ....   n xn
trong đó  i  0(i  1, m),

1.3 Ph

m


i 1

i

 1.

ng pháp đ n hình

1.3.1 T t

ng c a ph

ng pháp đ n hình

Xét bài toán quy ho ch tuy n tính d ng chính t c:
 f  x  c t x  min

 Ax  b
x  0


V i x, c  ฀ n , b  ฀ m , A là ma tr n c p m  n . Gi thi t r ng h ng A  m (m là
s r ng bu c c a bài toán).

Khóa lu n t t nghi p

7


Tr n H i Y n – K32 CN Toán
ã bi t r ng:
- N u bài toán có ph

ng án thì có ph

ng án c c biên.

- N u bài toán có ph

ng án t i u thì c ng có ph

ng án c c biên t i

u

- S ph

ng án c c biên là h u h n.

Do đó ta có th tìm m t ph
trong t p h p các ph

ng án t i u hay l i gi i c a bài toán

ng án c c biên. Do t p này là h u h n nên Dantzig đã

đ xu t m t thu t toán g i là thu t toán đ n hình:
Xu t phát t m t ph
ph i là ph

ng án c c biên x0 . Sau đó ki m tra xem x0 có

ng án t i u hay không. N u x0 ch a ph i là ph

tìm cách c i ti n nó đ đ

c m t ph

ng án t i u thì

ng án c c biên khác là x0 t t h n x0

theo ngh a f  x1   f  x0  . Quá trình này l p l i nhi u l n. vì s ph

ng án

c c biên là h u h n nên sau m t s h u h n b

ng án

c l p ta tìm đ

c ph

c c biên t i u.
th c hi n thu t toán đ ra
- Làm th nào đ bi t m t ph

trên ta c n làm rõ hai v n đ :
ng án c c biên đã cho là t i u hay

ch a? T c là đi tìm d u hi u t i u.
- Làm th nào đ m t ph
ph

ng án c c biên ch a t i u tìm đ

cm t

ng án c c biên m i t t h n nó?

1.3.2 D ng ma tr n c a th t c đ n hình
Xét bài toán quy ho ch tuy n tính d ng chính t c
 f  x  c t x  min


 Ax  b
x  0


Khóa lu n t t nghi p

8


Tr n H i Y n – K32 CN Toán
V i x, c  ฀ n , b  ฀ m , A là ma tr n c p m  n .

đ n gi n ta gi thi t

c s J đang xét g m đúng m c t đ u tiên c a ma tr n A, t c J={1,2,....,m}.
t K={1,2,....,n}\J. Ma tr n A đ
ngoài c s AK. các véc t c ng đ

c tách làm 2 : ma tr n c s AJ và ph n
c tách làm 2 ph n t

ng ng trong và

ngoài c s J.

x 
c 
A   AJ AK  x   J  , c   J  .
 xK 
 cK 

Ta có th t c đ n hình d
B

c 1: Tính ph

i d ng ma tr n nh sau:
ng án c c biên t

ng ng c s J theo công th c:

X j  AJ1b .
Tính véc t
B

cl

ng  k   AJ 1 AK  cJ  cK .
t

c 2: Ki m tra d u c a các thành ph n  k c a véc t  K :
 N u t t c các thành ph n c a véc t
k t lu n ph

ng án đang xét là ph

 N u có thành ph n  k c a véc t
mãn
B

cl

ng  K đ u  0 thì

ng án t i u.

K d

ng thì ch n s th a

 s = max{  k >0, k  J } và chuy n sang b c 3.

c 3: Tính c t z s theo các h s z js theo công th c:

zs  AJ1a s
Ki m tra đi u ki n: c t zs  0 t c là z js  0j  J . N u
-

úng: thì k t lu n hàm m c tiêu gi m vô h n trên mi n ràng bu c.

K t thúc thu t toán.
- Sai: chuy n sang b
B

c 4.

c 4:
 Ch n ch s r th a mãn:

Khóa lu n t t nghi p

9


Tr n H i Y n – K32 CN Toán

 x

xr
 min  j , j  J , z js  0 
zrs
 z js

 L p c s m i J j  J \ r  s.
c 5: Tính ma tr n ngh ch đ o AJ11 và l p l i t b

B

c 1.

1.4 Th i gian th c hi n thu t toán.
nh ngh a

1.4.1

M t thu t toán đ

c g i là t t h n n u th i gian th c hi n đ gi i bài

toán là ng n h n. Th i gian th c hi n thu t toán đ

c đo b ng s các phép

toán c n ti n hành đ gi i bài toán b ng thu t toán này. Tuy nhiên s phép
toán l i ph thu c vào “kích th
chính là “s l
th

ng đ

c” c a bài toán, là m t s n nguyên d

ng,

ng” d li u đ u vào. Do đó th i gian th c hi n thu t toán

c bi u di n d

i d ng T(n) là m t hàm s d

ng c a n, đ ng bi n

theo n.
ti n so sánh th i gian th c hi n c a các thu t toán, ng

i ta đ a ra

ký hi u O (đ c là O l n).
Gi s

f  n  là hàm s không âm. Ta vi t T  n   O  f  n   ngh a là

t c đ t ng c a T  n  khi n ti n đ n vô cùng không v
c a f  n  . Khi n l n , f  n  cho ta hình dung đ
là th

t quá t c đ t ng

c m c l n c a T  n , f  n

c đo đ l n c a T  n 

1.4.2 Th i gian th c hi n thu t toán đ n hình.
Trong m i b

c l p c a ph

ng pháp đ n hình c n th c hi n O(m.n)

phép toán s h c đ tính giá tr hàm m c tiêu, các bi n c s và O(m2) phép

Khóa lu n t t nghi p

10


Tr n H i Y n – K32 CN Toán
toán đ tính l i ma tr n c s . T ng s phép toán s h c trong m t phép l p
đ n hình là O(m.n + m3).
Nói chung, ng

i ta th y c n O(m) phép l p đ n hình đ gi i bài toán

quy ho ch tuy n tính. V trung bình, th i gian gi i bài toán quy ho ch tuy n
tính b ng thu t toán đ n hình là m t đa th c theo m và n.

Khóa lu n t t nghi p

11


Tr n H i Y n – K32 CN Toán

Ch
2.1 T t

ng II

ng c a ph

NG PHÁP I M TRONG

ng pháp đi m trong

2.1.1 N i dung c a ý t
Ph

PH

ng

ng pháp đ n hình tìm l i gi i bài toán quy ho ch tuy n tính b ng

cách di chuy n qua các đi m c c biên, n m trên biên c a mi n r ng bu c.
Ph

ng pháp đi m trong xu t phát t m t đi m n m bên trong mi n

r ng bu c và di chuy n d n đ n l i gi i t i u nh ng v n luôn
mi n r ng bu c. Tên g i c a ph

ng pháp này c ng đã cho th y ý t

bên trong
ng này.

T m t đi m đang xét ta di chuy n d n đ n m t đi m m i t t h n theo
h

ng d. H

là h

ng di chuy n là t h p c a hai thành ph n. Thành ph n th nh t

ng gi m hàm m c tiêu. Thành ph n th hai nh m h

ng vào bên trong

đ không ch m vào biên c a mi n r ng bu c, g i là thành ph n h
Nh v y đ gi i quy t bài toán quy ho ch tuy n tính b ng ph

này chúng ta ph i tìm đ
trình bày d

ng tâm.
ng pháp

c 2 thành ph n. Vi c xác đ nh 2 thành ph n đó đ

c

i đây.

2.1.2 Xác đ nh h

ng gi m

Xét mi n r ng bu c c a bài toán quy ho ch tuy n tính

 Ax  b

x  0
Xu t phát t đi m x0 n m bên trong mi n r ng bu c, ta di chuy n đ n
đi m m i x1= x0+  d .

không vi ph m các r ng bu c ph i có Ad = 0 và 

đ bé.
Gi s z là h
Chi u g

ng gi m nhanh nh t hàm m c tiêu t i đi m đang xét.

ng gi m này lên không gian con Ax = 0 ta đ

ch

ng gi m hàm

m c tiêu mà không vi pham ràng bu c.

Khóa lu n t t nghi p

12


Tr n H i Y n – K32 CN Toán
Gi thi t r ng rankA = m. Toán t chi u lên không gian con Ax là :
P  I  At  AAt  A
1

vì z, A( Pz)  A( I  At ( AAt )1 A) z  ( A AAt ( AAt )1 A) z  Az  Az  0 .
V yh

ng di chuy n là d = Pz.

Trong tr
đi m x h

ng h p hàm m c tiêu là hàm tuy n tính f  x  ct x thì t i m i

ng gi m nhanh nh t là h

ng ng

c gradient –c. Ta c n tính  Pc .

t   ( AAt )1 Ac hay nói cách khác  là nghi m c a h ph

ng trình

đ i s tuy n tính: AAt  Ac .
Ta có: Pc  ( I  At ( AAt )1 A)c  c  At ( AAt )1 Ac  c  At .
tính Pc thay cho vi c ngh ch đ o ma tr n ta gi i h ph
tuy n tính AAt  Ac , sau đó tính theo công th c
2.1.3 ThƠnh ph n h

ng trình đ i s

trên.

ng tơm

dãy đi m đang xét nh m h

ng vào bên trong không ch m vào biên c a

mi n r ng bu c ta có hai cách:
Cách m t (ph
m t hàm s d

ng pháp hàm ch n): Ta c ng thêm vào hàm m c tiêu

ng, d n t i  m i khi dãy đi m g n ti n t i biên mi n ràng

bu c. M t hàm ch n hay dùng là là hàm logarit:
n

 ( x)   ln x j
j 1

do các ràng bu c b t đ ng th c có d ng x  0 nên khi x  0 thì các hàm ch n
trên d n ti n đ n  .
Cách hai (ph

ng pháp c n ch nh Ềllipsoiế): Ta xây d ng m t elip có

tâm t i đi m đang xét và n i ti p trong mi n ràng bu c. Biên c a mi n ràng
bu c xác đ nh b ng các đ ng th c xj= 0, nên n u m t ràng bu c s p vi ph m

Khóa lu n t t nghi p

13


Tr n H i Y n – K32 CN Toán
t i đi m đang xét thì bán tr c c a elip t
di chuy n s đ

ng ng v i bi n này s ng n, h

ng

c đi u ch nh đ nghiêng v phía bán tr c dài h n c a elip.

H

Khóa lu n t t nghi p

ng di chuy n

14


Tr n H i Y n – K32 CN Toán

2.2 M t s thu t toán c a ph
2.2.1 Ph
2.2.1.1 ụ t

ng pháp đi m trong

ng pháp t l affin
ng c a thu t toán

T im ib

c l p, khi đã có môt nghi m trong, ta thay bài toán quy

ho ch tuy n tính b ng bài toán có cùng hàm m c tiêu nh ng t p ràng bu c là
m t elip có tâm là nghi m trong đã có, x p x v i t p l i đa di n ràng bu c

c a quy ho ch tuy n tính. Nghi m c a bài toán m i s đ

c ch ng minh là

nghi m trong c a bài toán c a bài toán quy ho ch tuy n tính và s đ
làm tâm c a elip

b

c dùng

c l p ti p theo. C ti p t c quá trình này đ n khi

kho ng cách đ i ng u nh h n m t ng

ng   0 nào đó.

2.2.1.2 Xơy d ng thu t toán

Ta có hình trên là quá trình ch y thu t toán t l affin cho bài toán d

Khóa lu n t t nghi p

i đây

15


Tr n H i Y n – K32 CN Toán

min  x1  x2
 x  2 x  8
2
 1
2 x1  x2  9
3x  x  6
 1 2
 x1 , x2  0
Bây gi ta đi xét chi ti t t ng b

c c a thu t toán.

Xét bài toán quy ho ch tuy n tính chính t c

min ct x,
Ax  b,
x  0.
Tr

(1.1)

c tiên ta đi xây d ng elip v i tâm là nghi m trong x0 đã có:
2
n


 xi  xi0 
n
2
E  x ฀ : 

  
0
x
i 1 
i




Bài toán elip x p x là bài toán nh n đ

(1.2)

c t bài toán quy ho ch tuy n tính

(1.1) v i nghi m trong x0 đã cho và thay các ràng bu c x  0 b ng ràng bu c
elip (1.2). Ta có bài toán elip x p x :

min ct x,
Ax  b,

(1.3)

2

 xi  x 
2

 


0
xi 
i 1 
0
i

n

0
i bi n x  X x ' , X0 là ma tr n đ



ng chéo v i các ph n t th I

đ

ng



0
0
0
chéo là Xii  xi , X  diag x1 ,..., xn .

0

0

Bài toán elip x p x tr thành bài toán c c ti u hàm tuy n tính trên hình c u:

Khóa lu n t t nghi p

16


Tr n H i Y n – K32 CN Toán

min ct X 0 x '
AX 0 x '  b
n

  x ' 1
i 1

2

i

(1.4)



2

n


2

0
0
Vì e là tâm hình c u B   x '  ฀ n :   x 'i  1   2  , X e  x , và e
i 1



thu c đa t p tuy n tính H  x ': AX 0 x '  b cho nên e c ng là tâm c a hình
c u v i s chi u ít h n s chi u c a B  H và có cùng bán kính  .
bài (1.4) hình c u ràng bu c n m trong đa t p tuy n tính H song song





v i không gian con Ker( AX 0 ) : x '  ฀ n : AX 0 x '  0 do đó đóng vai trò
h

ng –c

đây ph i là h

ng P( ct X 0 ), v i P là phép chi u ฀ n lên

Ker( AX 0 ). Áp d ng công th c nghiêm t i u c a bài toán tìm c c ti u hàm
tuy n tính trên hình c u ta có nghi m t i u là :

PX 0c
x'  e  
฀ PX 0c ฀

*

(1.5)

tính PX0c ta c n s d ng b đ (1.1) sau đây:
B

(1.1): Gi s A là ma tr n c p m  n v i rank A = m. Khi đó v i

n
t
t 1
m i x  ฀ : P ( x) : A ( AA ) Ax là hình chi u c a ồ lên không gian

hàng R(At) và x - P(x) là hình chi u c a ồ lên không gian KỀrA.
CH NG MINH: ThỀo đ nh ngh a c a hình chi u P lên R(At) ta ph i
tính

P(x)= arg min ||x – Atu||.
u฀ n

t
Do đó ta ph i tìm minn || x  Au || ho c bài toán t
u฀

ng đ

ng là

t

t
x  Au
min(
)t ( x  Au
) , đâỔ là bài toán c c ti u hàm c p hai:
n
u฀

Khóa lu n t t nghi p

17


Tr n H i Y n – K32 CN Toán
t
t
min(
xt x  2 xt Au
 u t AAu
).
n
u฀

Nghi m c a bài toán chính là đi m ế ng u*= (AAt)-1Aồ. Do đó ta có:
P(x)= Atu*= At(AAt)-1Ax.
Vì KỀrA là ph n bù tr c giao ( R( At )) nên x-P(ồ) là hình chi u c a ồ
lên không gian nhân KerA.
Vì P là ma tr n chi u lên không gian con Ker( AX 0 ) nên theo b đ trên ta có

PX 0  ( I  X 0 At ( A( X 0 )2 At ) 1 AX 0 ) X 0c

V y ta đã có nghi m t i u c a bài toán (1.4) bi u di n qua A, c c a bài toán
quy ho ch và nghi m trong x0 đã bi t.
Ta dùng phép đ i bi n x= X0x‟ vào (1.5) đ đ

X 0 PX 0c
x  x 
.
|| PX 0c ||
*

0

c nghi m t i u:
(1.6)

Ta th y nghi m t i u x* c a bài toán elip x p x là nghi m ch p nh n
đ

c c a bài toán quy ho ch tuy n tính. H n n a nó đ t c c ti u hàm m c

tiêu c t x trong elip. Nh ng elip ch là m t ph n c a t p l i đa di n ràng bu c
c a bài toán quy ho ch tuy n tính nên x* ch a ph i là nghi m t i u c a bài
toán quy ho ch tuy n tính.

x* là nghi m t i u c a bài toán quy ho ch

tuy n tính thì x* ph i r i vào biên c a t p l i hay nói cách khác: “n u x j  0
*

v i j nào đó thì x* cho b i (1.6) là nghiêm t i u c a bài toán quy ho ch

tuy n tính”.
Ta đi ch ng minh kh ng đ nh trên.
Ta có b đ : N u ồ  E thì x> 0 khi  < 1 và x  0 khi  = 1. B đ đ
h a b ng hình h c sau và ch ng minh đ

Khóa lu n t t nghi p

c minh

c b ng gi tích:

18


Tr n H i Y n – K32 CN Toán

 2

 1
Ta bi n đ i PX 0c nh sau:

PX 0c  ( I  X 0 At ( A( X 0 )2 At )1 AX 0 ) X 0c
 X 0 ( I  At ( A( X 0 ) 2 At ) 1 A( X 0 ) 2 )
 X 0 (c  At y)

(1.7)

X s
0

0 2 t 1
0 2
V i y  ( A( X ) A ) A( X ) c và s  c  At y

Ta đang xét bài toán quy ho ch tuy n tính chính t c và bài toán quy ho ch đ i
ng u c a nó là:
max yt b,
yt A  c

Ta s ch ng minh n u j{0, . . . , n} đ x*j  0 thì x* và (y,s) t

ng ng là

c p nghi m t i u c a hai bài toán quy ho ch tuy n tính đ i ng u nhau.
Thay (1.6) vào (1.7) ta có

( X 0 )2 s
x x 
|| X 0 s ||
*

Vì X0 là ma tr n đ

0

ng chéo nên ta có:

0x  x 
*
j

Khóa lu n t t nghi p

0
j

( x0j )2 s j
|| X 0 s ||

19


Tr n H i Y n – K32 CN Toán
0
0
Do đó xj s j ฀ X s ฀ > 0, suy ra sj > 0, m t khác theo đ nh ngh a chu n

|| X 0 s|| thì ph i có xi si  0i  j . Mà
0

xio  0 nên si  0i  j . Nh

v y ( y, s ) th a mãn m i ràng bu c c a bài toán đ i ng u.

ng th i c p x* và

(y,s) th a mãn đi u ki n đ l ch bù. Do đó chúng là c p nghi m t i u.
2.2.1.3 Mô t thu t toán
*

u vào c a thu t toán:
- D li u c a bài toán A, b, c
- M t nghi m trong t c là nghi m ch p nh n đ

c g c x0 > 0;

- C n i l ng t i u   0 ;
- Tham s   (0,1].
* Th t toán
Xu t phát t x0. b

c l p đi n hình xu t phát t xk > 0 g m các đo n sau:

1. Tính nghi m đ i ng u ng viên

yk  ( A( X k ) 2 At ) 1 A( X k ) 2 c
V i Xk = diag( x1 ,..., xn )
k

k

2. Tính bi n bù đ i ng u ng viên

s k  c  At yk
k
3. Ki m tra đi u ki n t i u: n u s  0 và et X k s k   thì ng ng.

Nghi m hi n hành g c xk là  - t i u và yk là ngi m đ i ng u  - t i
u.
k 2 k

4. Ki m tra tính không gi i n i: n u ( X ) s  0 thì ng ng, m c

tiêu t i u là 
5. Tính nghi m trong ti p theo

Khóa lu n t t nghi p

20


Tr n H i Y n – K32 CN Toán

k 1

x

( X k )2 s k
 x 
|| X k s k ||
k

k 1
6. Ki m tra tính t i u: n u x j  0 v i m t j nào đó thì ng ng. x

k 1

khi đó là nghi m g c t i u. Trái l i đ t k  k  1 và quay l i đo n 1.
2.2.1.4

Tìm nghi m trong xu t phát

tìm nghi m trong xu t phát x0 ta đ a thêm vào bi n xn1 và xét bài

toán t ng c

ng:

min ct x  Mxn 1,
Ax  (b  Ae) xn 1  b,
( x, xn 1 )  0.
đây M>0 là s r t l n nào đó và e = (1,1,…,1)t฀ n . ta có (x, xn+1) là
nghi m trong c a bài toán quy ho ch tuy n tính t ng c
ch ng minh đ

c xn+1= 0 là nghi m t i

ng này. Ta có th

u c a bài toán t ng c

ng, do đó nó

là nghiêm t i u c a bài toán g c.
2.2.1.5

Nh n xét v thu t toán

Trong thu t toán affin, t i m i b

c l p th i gian tính toán ch y u là

dành đ tính nghi m đ i ng u x p x . C th là: đ u tiên tính ma tr n A(Xk)2At
v i O(m2n) phép toán s h c. Sau đó là gi i h ph

ng trình tuy n tính có ma

tr n là A(Xk)2At v i O(m3) phép toán s h c. Vì m < n nên t ng s phép toán
s h c đ tính yk là O(m2n + m3) = O(n3)
Trong th c hành ng

i ta th y khi x g n đ n biên thì thu t toán s bi n

đ i x ch y d c theo biên c a đa di n l i( g n gi ng v i ph
hình). Vì v y ng

ng pháp đ n

i ta tin r ng đ ph c t p c a thu t toan affin c ng gi ng

v i đ ph c t p c a thu t toán đ n hình (m c dù ch a có ch ng minh).

Khóa lu n t t nghi p

21


Tr n H i Y n – K32 CN Toán
2.2.2 Thu t toán gi m th
2.2.2.1 ụ t
Do b

ng thu t toán
c nh y trong thu t toán affin b gi i h n khi nghi m hi n t i x

g n ch m đ n biên c a đa di n l i, trong thu t toán gi m th ng

i ta đ a

thêm vào hàm m c tiêu các s h ng có tác d ng ph t khi x g n ch m đ n biên
c a đa di n l i. Nh v y x s đ

c gi càng cách xa biên c a đa di n l i càng

t t n u x ch a g n v i nghi m t i u.
Thu t toán gi m th kh c ph c đi m y u c a thu t toán t l affin là „b
b y‟ khi g n ch m vào biên c a đa di n l i.
2.2.2.2 Xơy d ng thu t toán

Ta có hình v trên là quá trình ch y thu t toán cho bài toán sau đây:

Khóa lu n t t nghi p

22


Tr n H i Y n – K32 CN Toán

min  x1  x2
 x  2 x  8
2
 1

2 x1  x2  9
3 x  x  6
 1 2
 x1 , x2  0
Bây gi ta xét chi ti t t ng b

c c a thu t toán:

Xét bài toán quy ho ch tuy n tính d ng chính t c:

min ct x,
Ax  b,
x  0,
và bài toán quy ho ch tuy n tính đ i ng u c a nó:

max yt b,
yt A st  ct ,
s0
V i gi thi t A là ma tr n c p m  n có h ng m và c quy ho ch g c và quy
ho ch đ i ng u đ u có nghi m trong.
Ta th y r ng trong thu t toán t l affin khi nghi m t i u x p x hi n
hành g n ti n t i biên c a mi n ch p nh n đ

c thì elip x p x r t d t và b

nh y c a thu t toán r t ng n. Do đó s c i thi n m c tiêu qua các b

c

c là r t

ít. Cách t t nh t đ kh c ph c tình tr ng này là „đ y xa‟ đi m hi n hành ra
kh i biên.

ng th i các b

c c a thu t toán c ng ph i làm gi m d n đ l ch

bù stx (stx c ng chính là l h ng đ i ng u, t c là đ l ch gi a hai giá tr m c
tiêu c a hai bài toán g c và đ i ng u).
đ tđ

c hai đi u này ta đ a thêm vào hàm th đ

c đ nh ngh a nh

sau:
n

n

j 1

j 1

G( x, s)  q log s x   log x j   log s j
t

Khóa lu n t t nghi p

(2.1)

23


Tr n H i Y n – K32 CN Toán
đây q > n là h ng s , log là kí hi u c a loge. ta th y G(x,s) là m t l a hàm
ph t: s h ng đ u đ c ch ng cho l h ng đ i ng u, hai s h ng sau ph t vào
s g n biên c a nghi m trong x và s.
Ta xỨt đ nh lý (2.1): Gi s ồ0 > 0 và (y0,s0) v i s0 >0 là nghi m ch p
nh n đ

c c a bài toán quỔ ho ch g c và quỔ ho ch đ i ng u t

M i thu t toán sao cho

các b

c luôn đ m b o tính ch p nh n đ

c p nghiêm hi n hành và gi m hàm th G(ồ,s) m t l

ng ng.
cc a

ng không ít h n   0

s đ tđ

c c p nghi m g c và đ i ng u v i l h ng đ i ng u (s K )t xK  

sau K b

c.

đâỔ
1
1
K  [G( x0 , s 0 )  (q  n) log  n log n]





(2.2)

* Ch ng minh đ nh lý
n

n

j 1

j 1

G( x, s)  q log s t x   log x j   log s j
n

n

j 1

j 1

 n log s x   log x j   log s j  (q  n) log s t x
t

 n log n  (q  n) log s t x
Ta có đ

n

n

j 1

j 1

c b t đ ng th c trên ếo n log s x   log x j   log s j đ t c c
t

ti u khi xi si 

1 t
s x, i  1,..., n và b ng nlogn. Do đó ta có
n

n

n

j 1

j 1

n log s t x   log x j   log s j  n log n

(2.3)

V i   0 c đ nh thì thu t toán th a mãn:

G( xk 1 , s k 1 )  G ( xk , s k )   , k
Sau K b

c ta có G( xK , s K )  G( x0 , s 0 )  K

Khóa lu n t t nghi p

24


Tr n H i Y n – K32 CN Toán
V iKb

c ồác đ nh thỀo (2.2) thì ta suỔ ra đ

G( xK , s K )  (q  n) log

1



c

 n log n

M t khác thỀo (2.1) và (2.3) ta có

G( xK , s K )  n log n  (q  n) log( s K )t xK
Do đó ( s ) x  
K t

K

nh lý trên đã kh ng đ nh n u qua m i b
hàm th G(x,s) đ u gi m m t l

c l p c a thu t toán b t k mà

ng c đ nh thì ta s đ t đ

u c a c c p quy ho ch đ i ng u nhau sau m t s nh b
C ng t đ nh lý trên c ng cho ta ý t

c nghi m  - t i
c l p.

ng c a thu t toán:

m ib

c

l p, xu t phát t nghi m g c trong hi n hành x > 0 và nghi m trong đ i ng u
hi n hành s > 0 ta c g ng tìm h

ng d sao cho G( x  d , s)  G( x, s) và x  d

v n là nghi m trong g c t c là d ph i th a mãn b đ (1.1):

Ad  0 , ||X-1d ||   <1
có đ

(2.4)

c b t đ ng th c G( x  d , s)  G( x, s) ta ph i gi i

min G ( x  d , s )
Ad  0,
|| X 1d || 
gi i bài toán phi tuy n trên ta x p x hàm th phi tuy n G ( x  d , s ) b i

G( x, s)  xG( x, s)t d là ph n chính b c nh t trong công th c Taylor c a
G ( x  d , s ) theo d,

G(.,s) t i x, đ c bi t

'
đây  xG( x, s) là gradient (đ o hàm c a Gx ( x, s) ) c a

đây G(.,s): ฀ n  ฀ n là phi m hàm nên Gx ( x, s) là
'

vect n chi u và g i là gradient.
Tai m i b

c ta c n gi i bài toán x p x :

Khóa lu n t t nghi p

25