Luận văn sư phạm Tôpô yếu trong không gian Banach

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2
KHOA TOÁN

LÊ THỊ THU HIỀN

TÔPÔ YẾU TRONG
KHÔNG GIAN BANACH

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Chuyên ngành: Giải tích

Người hướng dẫn khoa học
Th.S HOÀNG NGỌC TUẤN

Hà Nội - 2013


LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Th.S Hoàng Ngọc Tuấn - Người
thầy đã trực tiếp tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn thành bài khoá luận
của mình. Đồng thời em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong tổ Giải
tích và các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2,
Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt bài khoá
luận này.
Do thời gian và kiến thức có hạn và cũng là lần đầu nghiên cứu khoa
học cho nên không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định. Vì vậy,
em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn
sinh viên.
Em xin chân thành cảm ơn !
Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Lê Thị Thu Hiền


LỜI CAM ĐOAN
Qua quá trình nghiên cứu khóa luận: “ Tôpô yếu trong không gian Banach” đã giúp em tìm hiểu sâu hơn về bộ môn Giải tích. Qua đó cũng giúp
em bước đầu làm quen với phương pháp nghiên cứu khoa học..
Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khoá luận này em đã tham khảo
một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo.
Em xin cam đoan khóa luận được hoàn thành do sự cố gắng, nỗ lực
tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân em cùng với sự hướng dẫn chỉ bảo của
thầy giáo - Th.S Hoàng Ngọc Tuấn. Kết quả của đề tài “ Tô pô yếu trong
không gian Banach” không có sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác..

Hà Nội, tháng 05 năm 2013
Sinh viên

Lê Thị Thu Hiền


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1. Không gian tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.1. Kiến thức mở đầu về không gian tôpô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.1.2. Không gian compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.2. Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.1. Kiến thức mở đầu về không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2.2. Toán tử tuyến tính bị chặn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.3. Nguyên lí bị chặn đều Banach - Steinhaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.2.4. Không gian liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

Chương 2. Tôpô yếu trong không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.1. Tôpô yếu và tôpô yếu* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.2. Cấu trúc cực biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46


LỜI MỞ ĐẦU
1. Lí do chọn đề tài
Giải tích hàm là một ngành toán học được xây dựng vào khoảng nửa đầu
thế kỉ XX nhưng hiện nay hầu như được xem như là một ngành toán học cổ
điển. Nội dung của nó là sự hợp nhất của những lí thuyết tổng quát xuất phát
từ việc mở rộng một số khái niệm và kết quả của Giải tích, Đại số, Phương
trình vi phân. . .
Trong quá trình phát triển từ đó đến nay, Giải tích hàm đã tích lũy được

một nội dung hết sức phong phú. Những phương pháp và kết quả rất mẫu
mực của giải tích hàm đã xâm nhập vào tất cả các ngành toán học có liên
quan và có sử dụng đến những công cụ của Giải tích. Ngoài ra, nó còn có
những ứng dụng trong vật lí lí thuyết và trong một số lĩnh vực khoa học
khác.
Sự xâm nhập ấy một mặt mở ra những chân trời rộng lớn cho các ngành
toán học nói trên, mặt khác nó còn đòi hỏi ngành Giải tích hàm phải đúc kết
những kết quả của những ngành toán học riêng rẽ để trong chừng mực nào
đó đề ra những mẫu toán học tổng quát và trìu tượng.
Với mong muốn được nghiên cứu và tìm hiểu sâu hơn về bộ môn giải
tích hàm em đã chon đề tài: “Tôpô yếu trong không gian Banach”. Nghiên
cứu đề tài này chúng ta có cơ hội tìm hiểu sâu hơn về tôpô, một nội dung
khá quen thuộc và bao hàm nhiều tính chất đặc trưng và tổng quát của giải
tích hàm.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu lí thuyết về tô pô yếu trong không gian Banach để thấy được
1


các tính chất của nó.
3. Đối tượng và nhiệm vụ nghiên cứu
Các kiến thức liên quan đến tô pô yếu và tô pô yếu*.
4.Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng kết hợp các phương pháp nghiên cứu: nghiên cứu lí luận, nghiên
cứu tài liệu tham khảo, phân tích, tổng hợp, so sánh,. . .
5. Phạm vi nghiên cứu
Nghiên cứu các kiến thức liên quan đến tô pô yếu trong không gian
Banach.
6. Cấu trúc khóa luận
Ngoài mục lục, phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luận

gồm hai chương:
Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.
Chương 2: Tôpô yếu trong không gian banach.

2


Chương 1

Kiến thức chuẩn bị
1.1. Không gian tôpô
1.1.1. Kiến thức mở đầu về không gian tôpô
Định nghĩa 1.1. Cho X là một tập bất kỳ. Ta nói một họ τ những tập con
của X là một tôpô (hay xác định một cấu trúc tôpô) trên X nếu:
(i) Hai tập φ và X đều thuộc họ τ.
(ii) τ kín đối với phép giao hữu hạn, tức là: giao của một số hữu hạn tập
thuộc họ τ thì cũng thuộc họ đó.
(iii) τ kín đối với phép hợp bất kỳ, tức là: hợp của một số bất kỳ (hữu hạn
hay vô hạn) tập thuộc họ τ thì cũng thuộc họ đó.
Một tập X, cùng với một tôpô τ trên X, gọi là không gian tôpô (X, τ)(hay
đơn giản không gian tôpô X).
3


Định nghĩa 1.2. Cho X là một không gian tôpô và x ∈ X. Tập con V của X
được gọi là một lân cận của điểm x nếu tồn tại tập mở G sao cho x ∈ G ⊂ V .
Nếu lân cận V của x là tập mở thì V được gọi là lân cận của x.
Mọi lân cận của X đều chứa một lân cận mở.
Định nghĩa 1.3. Cho không gian tôpô X tập con A và điểm x ∈ X.
• Điểm x gọi là điểm trong của A nếu có một lân cận V sao cho V ⊂ A.

• Điểm x gọi là điểm ngoài của A nếu có một lân cận V sao cho
V ∩ A = ∅.
• Điểm x gọi là điểm biên của A nếu mọi lân cận V của x đều có
V ∩ A = ∅ và V ∩ (X\A) = ∅.
Tập tất cả các điểm biên của A gọi là biên của A. Kí hiệu: ∂ A.
• Ta gọi phần trong của A là hợp tất cả các tập mở chứa trong A. Kí
hiệu: Ao .
Từ định nghĩa ta có: Ao là tập mở lớn nhất chứa trong A. A ⊂ B thì
Ao ⊂ Bo và A khi và chỉ khi A = Ao .
• Ta gọi bao đóng của A là giao của tất cả các tập đóng chứa A. Kí
hiệu: A.
Từ định nghĩa ta có: A là tập đóng nhỏ nhất chứa A. A ⊂ B thì A ⊂ B
và A là đóng khi và chỉ khi A = A.
Định nghĩa 1.4. Một tập con M của không gian tôpô X được gọi là trù mật
trong X nếu M = X.

4


Định nghĩa 1.5. Không gian tôpô X gọi là tách được nếu tồn tại tập hợp
M ⊂ X đếm được và trù mật trong X.
Định nghĩa 1.6. Cho X là không gian tôpô thỏa mãn với mọi cặp các điểm
khác nhau x1 , x2 ∈ X đều có hai lân cận V1 ,V2 của x1 , x2 sao cho V1 ∩V2 = ∅.
Khi đó, X được gọi là không gian tách (hay không gian Hausdorff), và tôpô
của nó cũng gọi là tôpô tách (hay tôpô Hausdorff).

1.1.2. Không gian compact
Định nghĩa 1.7. (Tập compact)
Cho X là một không gian tôpô. Tập con A ⊆ X gọi là compact( trong X)
nếu với mọi phủ mở của A đều có một phủ con hữu hạn. Điều này có nghĩa

là nếu Di là các tập con mở của X với mọi i ∈ I và A ⊆

Di có một tập hợp
i∈I

hữu hạn I0 ⊆ I sao cho

Di ⊇ A.
i∈I0

Chú ý: Ảnh của một tập compact qua ánh xạ liên tục là một tập compact.
Định nghĩa 1.8. (Không gian compact)
Không gian X được gọi là không gian compact nếu X là một tập compact
trong X. Tức là nếu Di là mở trong X với mọi i ∈ I và

Di = X thì có một
i∈I

tập hữu hạn I0 ⊆ I sao cho

Di = X.
i∈I0

Định lý 1.1. (Tychonoff)
Tích Descartes ∏ Xi của một họ các không gian tôpô không rỗng {Xi , i ∈ I}
i∈I

là không gian compact khi và chỉ khi Xi là không gian compact với mọi
i∈I .

5


1.2. Không gian định chuẩn
1.2.1. Kiến thức mở đầu về không gian định chuẩn
Định nghĩa 1.9. Cho X là không gian vectơ trên trường K ( K = R hoặc
K = C ). Ánh xạ · : X → R được gọi là chuẩn trên X nếu:
(i) x ≥ 0 với mọi x ∈ X;
(ii) x = 0 khi và chỉ khi x = 0;
(iii) λ x = |λ | x với mọi x ∈ Xvà λ ∈ K;
(iv) x + y ≤ x + y với mọi x, y ∈ X( bất đẳng thức tam giác).
Không gian vectơ với chuẩn (X, . ) được gọi là không gian tuyến tính
định chuẩn (hoặc đơn giản là không gian định chuẩn).
Ví dụ: Không gian C[0,1] biểu thị không gian vectơ của tất cả các hàm
vô hướng có giá trị liên tục trên [0, 1], cho bởi chuẩn
f

∞

= sup {| f (t)| ;t ∈ [0, 1]} = max {| f (t)| ;t ∈ [0, 1]}

Chúng ta dễ dàng kiểm tra được C [0, 1] là không gian định chuẩn.
Định nghĩa 1.10. Không gian định chuẩn X gọi là không gian Banach, nếu
mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ.
Mệnh đề 1.1. Cho X là không gian định chuẩn. Ta đặt
d(x, y) = x − y , ∀x, y ∈ X

(∗)

Khi đó d là một metric trên X

Nhận xét: Nhờ Mệnh đề 1.1, mọi không gian định chuẩn đều có thể trở
6


thành không gian metric với metric (*). Do đó mọi khái niệm, mệnh đề đã
đúng trong không gian metric đều đúng trong không gian định chuẩn.
Nguyên lý phạm trù Baire đã được phát biểu trong không gian metric,
sau đây ta sẽ phát biểu lại trong không gian định chuẩn.
Định nghĩa 1.11. Cho không gian định chuẩn X. Tập E ⊂ X gọi là không
đâu trù mật trong không gian X, nếu hình cầu bất kỳ B ⊂ X đều chứa một
hình cầu B1 sao cho B1 ∩ E = ∅.
Định nghĩa 1.12. Cho không gian định chuẩn X . Tập F ⊂ X gọi là tập
phạm trù thứ nhất, nếu tập F là hợp đếm được những tập không đâu trù mật
trong không gian X . Tập con của X không là tập phạm trù thứ nhất thì gọi
là tập phạm trù thứ hai.
Mệnh đề 1.2. Mọi không gian Banach là tập phạm trù thứ hai.
Định nghĩa 1.13. Tập Y = ∅ gọi là không gian định chuẩn con của không
gian định chuẩn X, nếu Y là không gian tuyến tính con của không gian Xvà
chuẩn xác định trên Y là chuẩn xác định trên X. Nếu Y đồng thời là tập đóng
trong không gian X, thì Y gọi là không gian định chuẩn con đóng của không
gian X.
Mệnh đề 1.3. (Riesz)
Cho X là không gian định chuẩn. Nếu Y là một không gian con đóng
thực sự của X, thì với mọi ε > 0 tồn tại x ∈ SX sao cho
dist(x,Y ) = inf { x − y : y ∈ Y } ≥ 1 − ε
.

7

Định nghĩa 1.14. Cho X = (X, . ) là một không gian Banach, M ⊂ X .
Khi đó:
• BX = {x ∈ X : x ≤ 1 kí hiệu hình cầu đơn vị đóng của X.
• SX = {x ∈ X : x = 1} kí hiệu hình cầu đơn vị của X.
• Bao tuyến tính ( hoặc khoảng) của M được kí hiệu bởi span (M) ;
nghĩa là giao của tất cả các không gian con tuyến tính của X chứa M.
Tương đương, khoảng (M) là không gian con nhỏ nhất ( theo nghĩa
bao hàm) của X chứa M. Tương tự, span (M) là viết tắt cho bao lồi
đóng tuyến tính của M.
• Bao lồi của Mđược kí hiệu bởi conv (M); nghĩa là giao của tất cả các
tập lồi chứa M và conv (M) là kí hiệu bao lồi đóng của M.
Định nghĩa 1.15. Cho X là không gian Banach. Tập A ⊂ X được gọi là lồi
nếu:
∀x, y ∈ A, ∀λ ∈ R : 0 ≤ λ ≤ 1 ⇒ λ x + (1 − λ )y ∈ A
Định nghĩa 1.16. Cho X là không gian Banach, tập A ⊂ X. Đoạn nối x, y
được định nghĩa như sau:
[x,y] = {z ∈ A : z = λ x + (1 − λ )y, 0 ≤ λ ≤ 1}

1.2.2. Toán tử tuyến tính bị chặn
Định nghĩa 1.17. Cho hai không gian tuyến tính X và Y trên trường
P(P = R hoặc P = C). Ánh xạ A từ không gian X vào không gian Y gọi
là tuyến tính, nếu ánh xạ A thỏa mãn các điều kiện:
8


(i) (∀x, x′ ∈ X) A(x + x′ ) = Ax + Ax;
(ii) (∀x ∈ X) (∀α ∈ P) Aαx = αAx.
Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính và khi Y = P thì
toán tử tuyến tính gọi là phiếm hàm tuyến tính.
Định nghĩa 1.18. Cho hai không gian định chuẩn X và Y . Toán tử tuyến

tính A từ không gian X vào không gian Y gọi là bị chặn, nếu tồn tại hằng số
C > 0 sao cho:
Ax ≤ C x , ∀x ∈ X
Ta kí hiệu B(X,Y ) là tập hợp tất cả các toán tử tuyến tính bị chặn từ
không gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y . Nếu X = Y ,đặt
B(X) = B(X, X).
Định lý 1.2. Cho A là toán tử tuyến tính từ không gian định chuẩn X vào
không gian định chuẩn Y . Khi đó, ba mệnh đề sau tương đương:
(i) A liên tục;
(ii) A liên tục tại điểm x0 nào đó thuộc X;
(iii) A bị chặn.
Định lý 1.3. Cho hai không gian định chuẩn X và Y . Nếu Y là không gian
Banach, thì B(X,Y ) là không gian Banach.

1.2.3. Nguyên lí bị chặn đều Banach - Steinhaus
Định nghĩa 1.19. Cho họ (At )t∈T gồm các toán tử tuyến tính At từ không
gian định chuẩn X vào không gian định chuẩn Y , trong đó T là tập chỉ số có
lực lượng nào đấy. Họ (At )t∈T gọi là bị chặn từng điểm, nếu với mỗi x ∈ X
9


tập (At x)t∈T bị chặn. Họ (At )t∈T gọi là bị chặn đều, nếu tập ( At )t∈T bị
chặn.
Định lý 1.4. (Nguyên lí bị chặn đều Banach- Steinhaus)
Nếu họ (At )t∈T các toán tử tuyến tính liên tục từ không gian Banach X
vào không gian định chuẩn Y bị chặn từng điểm, thì họ đó bị chặn đều.

1.2.4. Không gian liên hợp
Định nghĩa 1.20. Cho không gian định chuẩn X trên trường K (K = R hoặc
K = C). Ta gọi không gian I(X, K) các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên

không gian X là không gian liên hợp (hay không gian đối ngẫu) của không
gian X và kí hiệu là X ∗ .
Như vậy, không gian liên hợp X ∗ của không gian định chuẩn X là không
gian Banach.
Không gian liên hợp của không gian X ∗ gọi là không gian liên hợp thứ
hai của không gian định chuẩn X, kí hiệu là X ∗∗ , các không gian liên hợp
thứ ba X ∗∗∗ không gian liên hợp thứ tư X ∗∗∗∗ ,. . . của không gian định chuẩn
X được định nghĩa tương tự.
Định lý 1.5. ( Hahn, Banach)
Cho C là một tập lồi đóng trong không gian Banach X. Nếu x0 ∈
/ C thì
tồn tại f ∈ X ∗ sao cho Re( f (x0 )) > sup {Re( f (x)) : x ∈ C}.
Hệ quả 1.1. Cho X là một không gian Banach thực .
(i) Cho C là một tập lồi mở trong X. Nếu x0 ∈
/ C thì tồn tại f ∈ X ∗ và λ ∈ R
sao cho f (x0 ) = λ và f (x) < λ với mọi x ∈ C.
10


(ii) Cho A, B là các tập lồi rời nhau trong X. Nếu A là mở, thì tồn tại f ∈ X ∗
và λ ∈ R sao cho f (a) < λ với mọi a ∈ A và f (b) ≥ λ với mọi b ∈ B.
Định lý 1.6. Cho X là không gian tuyến tính định chuẩn. Ta nói rằng X là
tách được nếu tồn tại một dãy {xi }∞
i=1 trong X mà trù mật trong X.
Mệnh đề 1.4. Cho X là một không gian Banach. Nếu X ∗ là tách được, thì
X là tách được.
Mệnh đề 1.5. Ta có:
(i) Nếu p ∈ [0, ∞], thì không gian l p là tách được.
(ii) Các không gian C và C0 là tách được.
(iii) Không gian l∞ là không tách được.

Mệnh đề 1.6. Không gian C∗ [ 0,1] là không tách được.

11


Chương 2

Tôpô yếu trong không gian
Banach
Cho trước không gian định chuẩn (X, · ), ta kí hiệu không gian X ∗∗ là
(X ∗ )∗ với chuẩn F = sup |F( f )|. Chúng ta thường định nghĩa cao hơn
bằng phương pháp quy

f ∈BX ∗
nạp X ∗∗∗

= (X ∗∗ )∗ , . . .

2.1. Tôpô yếu và tôpô yếu*
Định nghĩa 2.1. Cho X là không gian định chuẩn. Phép nhúng chính tắc π
từ X vào X ∗∗ được định nghĩa với x ∈ X theo công thức
π(x) : f → f (x)
.
12


Chú ý rằng π là toán tử tuyến tính. Thật vậy,
π (αx + β y) ( f ) = f (αx + β y) = α f (x) + β f (y) = [απ(x) + β π(y)] ( f )
Hơn nữa, với x ∈ X ta có π(x) = lim | f (x)| ≤ lim
f ∈BX ∗

f ∈BX ∗

f · x ≤ x .

Xét f0 ∈ SX ∗ sao cho f0 (x) = x , ta có π(x) ≥ | f0 (x)| = x .
Vậy π(x) = x .
Cách dùng kí hiệu tự nhiên này, với x ∈ X ta thường viết x ∈ X ∗∗ thay vì
viết π(x) ∈ X ∗∗ , và ta đồng nhất X với π(X) ∈ X ∗∗ . Đặc biệt, x( f ) = x( f )
với x ∈ X và f ∈ X ∗ .
Tính chất 2.1. Với mọi không gian định chuẩn X, đều tồn tại không gian
đủ X của nó, tức là, một không gian Banach X sao cho X là tập con trù mật
của X.
Chứng minh. Chúng ta có thể sử dụng X = π(x)

X ∗∗

.

Cho trước các không gian định chuẩn X,Y và T ∈ B(X,Y ), ta định nghĩa
tương tự T ∗∗ = (T ∗ )∗ . Chú ý rằng với x ∈ X ta có T ∗∗ (π(x)) = π(T (x)); đặc
biệt T ∗∗ (π(X)) ⊂ π(Y ). Ta có T ∗∗ (X) ⊂ Y và T ∗∗ |X = T .
Định nghĩa 2.2. Cho X là một không gian định chuẩn.
Tôpô yếu (w-) trên X là tôpô sinh bởi một cơ sở gồm các tập
O = {x ∈ X : | fi (x − x0 )| < ε, i = 1, 2, ..., n}
Với mọi x0 ∈ X, f1 , ..., fn và ε > 0.
Tương tự, tôpô yếu* (w∗ -) trên không gian liên hợp X ∗ của không gian
X được sinh bởi một cơ sở gồm các tập
O∗ = { f ∈ X ∗ : |( f − f0 )(xi )| < ε, i = 1, 2, ..., n}
13

Với mọi f0 ∈ X ∗ , x1 , ..., xn ∈ X và ε > 0.
Trong trường hợp phức, ta có thể định nghĩa tương đương tôpô yếu trên
X chỉ dùng các hàm từ XR . Tôpô yếu* trên không gian X ∗ cũng có thể được
định nghĩa tương đương dùng |Re( f − f0 )(xi )| trong sự mô tả cơ sở của
chúng.
Cho X là một không gian Banach thực. Kí hiệu nửa không gian của X là
tập mở yếu có dạng {x ∈ X : f (x) < α } với f ∈ X ∗ \ {0} và α ∈ R nào đó.
Giao hữu hạn của các nửa không gian tạo thành một cơ sở của tôpô yếu.
Chú ý rằng tôpô yếu* và tôpô yếu là Hausdorff. Thật vậy, cho trước
f = g trong không gian X ∗ tồn tại x ∈ X và một vô hướng α sao cho
f (x) > α > g(x). Các tập mở yếu* {h ∈ X ∗ : h(x) > α } và
{h(x) ∈ X ∗ : h(x) < α } tách f và g. Chứng minh tương tự cho trường hợp
tôpô yếu, trong đó có sử dụng định lí Hahn-Banach. Cũng chú ý rằng nếu
tập A ⊂ X là mở yếu (tương ứng A ⊂ X ∗ là mở yếu*) thì tập x + A là tập mở
yếu (tương ứng mở yếu*) với mọi x ∈ X (tương ứng x ∈ X ∗ ).
Hiển nhiên mọi tập mở yếu thì cũng mở theo chuẩn, vì vậy tôpô chuẩn
thì mạnh hơn tôpô yếu. Vì các tập hợp xác định tôpô yếu* trên X* là trong
số các tập xác định tôpô yếu trên X*, nên tôpô yếu mạnh hơn tôpô yếu* trên
X*. Hơn nữa, A ⊂ X là compact yếu khi và chỉ khi π(A) là compact yếu*
trong X**.
w

Ta sẽ kí hiệu M và M

w∗

là bao đóng trong các tôpô yếu tương ứng. Ta

cũng sẽ kí hiệu convσ (M) là bao lồi đóng σ của M.
Các tính chất của không gian tôpô tổng quát không thể lúc nào cũng
được diễn tả qua các dãy. Ta sẽ diễn tả ở đây những định nghĩa cần phải có
và một vài vấn đề đơn giản về lưới.

14


Định nghĩa 2.3. Kí hiệu tập chỉ số I là một tập sắp thứ tự bộ phận bất
kì, nghĩa là, tập I với một quan hệ hai ngôi ≤ trên I thỏa mãn với mọi
α, β , γ ∈ I:
(1) α ≤ α;
(2) Nếu α ≤ β và β ≤ γ thì α ≤ γ;
(3) Nếu α ≤ β và β ≤ α thì α = β .
Chú ý rằng ta không giả sử hai phần tử tùy ý của I là có quan hệ.
Định nghĩa 2.4. Một lưới trong tập X khác rỗng là một ánh xạ N từ tập chỉ
số I vào X. Thay vì viết N(α), ta thường viết xα và kí hiệu lưới là {xα }α∈I .
Cho {xα }α∈I là một lưới. Cho J là một tập chỉ số và S : J → I là một ánh
xạ với tính chất sau: cho trước α0 ∈ I, tồn tại β0 ∈ J sao cho α0 ≤ S(β ) với
mỗi β0 ≤ β . Khi đó lưới xS(β )

β ∈J

được gọi là lưới con của lưới {xα }α∈I .

Giả sử rằng X là một không gian tôpô. Ta sẽ mô tả sự hội tụ của các lưới
vừa định nghĩa trong X.
Định nghĩa 2.5. Ta nói rằng một lưới {xα }α∈I trong không gian tôpô X hội
tụ đến điểm x ∈ X nếu mọi lân cận U(x) của x đều tồn tại α0 ∈ I sao cho
xα ∈ U(x) với mỗi α0 ≤ α. Khi đó ta nói rằng x là giới hạn của {xα }α∈I và

viết xi → x.
Ta nói rằng x ∈ X là một điểm tụ của lưới {xα }α∈I nếu với mọi lân cận
U(x) của x và α0 ∈ I đều tồn tại α ∈ I sao cho α0 ≤ α và xα ∈ U(x).
Chú ý rằng nếu xα → x, thì mọi lưới con của {xα } cũng hội tụ đến x.
Một lưới hội tụ đến x khi và chỉ khi mọi lưới con có x là một điểm tụ.
Tôpô của một không gian tôpô X có thể được chỉ rõ bằng việc mô tả sự
hội tụ của các lưới. Do đó, tất cả các khái niệm thuộc tôpô có thể được định
15


nghĩa bởi thuật ngữ lưới. Ví dụ, cho trước một tập con A của không gian
tôpô X, bao đóng A của nó là bằng với tập tất cả các giới hạn của các lưới
trong A. Như vậy, tập A là đóng khi và chỉ khi nó bao gồm tất cả các giới
hạn của các lưới hội tụ với các phần tử trong A.
Ta đưa vào một vài kí hiệu thích hợp cho sự hội tụ. xn → x (hoặc
lim(xn ) = x) nghĩa là sự hội tụ trong chuẩn trừ khi biểu diễn bằng kí hiệu
w

→ x ( đôi khi w − lim(xn ) = x) để nói rằng {xn } hội
khác. Ta cũng viết xn −
w∗

tụ đến x trong tôpô yếu của X; với các phiếm hàm ta dùng fn −→ f (đôi khi
w∗ − lim( fn ) = f ) để nói rằng fn hội tụ đến f trong tôpô yếu* của X ∗ . Quy
ước tương tự áp dụng cho sự hội tụ của các lưới.
w

→ x. Tương tự, trong không gian liên
Chú ý rằng xn → x kéo theo xn −
w∗

hợp X ∗ ta có fn → f kéo theo fn −→ f . Sự hội tụ yếu của các dãy là đơn
giản như sau:
Mệnh đề 2.1. Cho X là một không gian định chuẩn.
w∗

(i) Cho f , f1 , f2 , ..., ∈ X ∗ . Khi đó fn −→ f khi và chỉ khi lim ( fn (x)) = f (x)
n→∞

với mọi x ∈ X.
w

→ x khi và chỉ khi lim ( f (xn )) = f (x)
(ii) Cho x, x1 , x2 , ..., ∈ X. Khi đó xn −
n→∞

với mọi f ∈

X ∗.

Trong trường hợp mô tả ở (i), ta nói rằng fn hội tụ theo từng điểm đến
f trên X. Hơn nữa nói chung, cho các ánh xạ F, Fn : X → Y và một tập con
G ⊂ X, ta nói rằng Fn → F theo từng điểm trên G nếu Fn (x) → F(x) (hội tụ
trong Y ) với mọi x ∈ G.
Chứng minh. (i): Giả sử rằng fn → f theo từng điểm trên X Nếu O là một
16


tập mở trong tôpô yếu* chứa f , tồn tại ε > 0 và x1 , x2 , ..., xm ∈ X sao cho
{g ∈ X ∗ : |(g − f )(xi )| < ε, i = 1, ..., m} ⊂ O

Vì fn (xi ) → f (xi ) với mọi i = 1, 2, ..., m, tồn tại n0 sao cho
|( fn − f )(xi )| < ε với n ≥ n0
Vì thế, fn nằm trong mỗi tập mở chứa f .
Mặt khác, giả sử lim ( fn ) = f trong tôpô yếu* và xét với x ∈ X. Cho
ε > 0, tập A = {g ∈

n
∗
X :

|(g − f )(x)| < ε} là mở yếu*, và như vậy với n đủ

lớn ta có fn ∈ A, nghĩa là | fn (x) − f (x)| < ε.
(ii) Chứng minh tương tự.
Mệnh đề 2.2. Nếu một không gian định chuẩn X là hữu hạn chiều, thì tôpô
yếu trong X trùng với tôpô chuẩn trong X, và tôpô yếu* trong X ∗ trùng với
tôpô chuẩn trong X ∗ .
Chứng minh. Ta chứng minh tính chất thứ hai bằng cách chỉ ra rằng mọi tập
mở trong X ∗ là mở yếu*. Để thấy được điều này, lấy O ⊂ X ∗ là tập mở. Lấy
f0 ∈ O và ε > 0 để sao cho f0 + εBX ∗ ⊂ O. Cho {e1 , e2 , ..., en } là một cơ sở
của X, và ta định nghĩa | f | = max | f (ei )|. Vì mọi chuẩn trong X ∗ là tương
đương(X ∗

1≤i≤n

là hữu hạn chiều), ta chọn δ > 0 để với mỗi f ∈ X ∗ , | f | ≤ δ , ta

có f < ε. Khi đó tập mở yếu*

f : max f (ei ) − f0) (ei < δ chứa trong

{ f : f − f0 < ε}. Vậy, O là mở yếu*.
Cho không gian vô hạn chiều X tôpô yếu* không trùng với tôpô chuẩn
của X*. Để chứng minh tính chất thứ hai này trước tiên ta cần bổ đề sau.

17


Bổ đề 2.1. Cho X là một không gian véc tơ, và cho f , f1 , f2 , ..., fn là các
phiếm hàm tuyến tính trên X. Nếu
tuyến tính của f1 , ..., fn .

n

fi −1 (0) ⊂ f −1 (0), thì f là một tổ hợp

i=1

Ta sử dụng tính chất dưới đây từ đại số tuyến tính.
Khẳng định: Cho E1 , E2 , E3 là các không gian véc tơ, và cho f : E1 → E3
và g : E1 → E2 là các ánh xạ tuyến tính. Có một ánh xạ tuyến tính h : E2 → E3
mà f = h ◦ g khi và chỉ khi g−1 (0) ⊂ f −1 (0).
Chứng minh. Giả sử g−1 (0) ⊂ f −1 (0). Cách xác định h : g[E1 ] → E3 với
h(g(x)) = f (x) với x ∈ E. Để kiểm tra tính đồng nhất, giả sử g(x1 ) = g(x2 ).
Khi đó(x1 − x2 ) ∈ g−1 (0) ⊂ f −1 (0), như vậy f (x1 ) = f (x2 ). Thác triển h để
được một ánh xạ tuyến tính trên E2 , rõ ràng h(g) = f . Chiều ngược lại là rõ
ràng.
Chứng minh Bổ đề 2.1: Sử dụng khẳng định với E1 = X , E2 = Rn
, E3 = R , f = f và g(x) = ( f1 (x), ..., fn (x)) ta nhận được một ánh xạ
tuyến tính h : Rn → R mà f (x) = h(g(x)) . Ánh xạ h có thể được viết là

h(y) = ∑ αi yi với α1 , ..., αn nào đó và mỗi y = (yi ) ∈ Rn . Bởi vậy
f (x) = ∑ αi fi (x) với mỗi x ∈ X .
Mệnh đề 2.3. Cho X là một không gian định chuẩn vô hạn chiều và O ⊂ X
Nếu O = ∅ là mở yếu thì O không bị chặn.
Đặc biệt, tôpô yếu và tôpô chuẩn không trùng nhau.
Chứng minh. Ta có thể giả sử rằng 0 ∈ O. Khi đó tồn tại ε > 0,
f1 , ..., fn ∈ X ∗ , sao cho {x; | f1 (x)| < ε} ⊂ O. Rõ ràng, tập
N = {x ∈ X : fi (x) = 0, i − 1, ..., n} = ∩ fi−1 (0)
18


được bao hàm trong O Ta khẳng định rằng N = {0}. Thật vậy, giả sử rằng
N = {0}. Khi đó với mỗi f ∈ X ∗ ta có N ⊂ f −1 (0), vì vậy theo Bổ đề 2.1, f
là một tổ hợp tuyến tính của f1 , ..., fn . Vì vậy X ∗ = span { fi }, mâu thuẫn.
Vì thế ta có thể tìm 0 = x ∈ N. Khi đó với mỗi vô hướng λ ta có λ x ∈ N,
do vậy O bao gồm một dãy qua x Vì vậy O không thể bị chặn trong X.
Định nghĩa 2.6. Cho X,Y là các không gian định chuẩn và F ⊂ B(X,Y ).
Ta nói rằng F là bị chặn theo từng điểm nếu sup { T (x)

Y

: T ∈ F} < ∞ với

mọi x ∈ X.
Nếu F bị chặn trong B(X,Y ) - nghĩa là, tồn tại C > 0 sao cho T < C
với mọi T ∈ F – khi đó F là bị chặn theo từng điểm. Thật vậy, với x ∈ X ta
có T (x)

Y

≤ T · x

X

≤C x

sup { T (x)

X,

Y

như vậy,

: T ∈ F} ≤ C x

X

Điều ngược lại thường được gọi là nguyên lí bị chặn đều (BanachSteinhaus).
Định lý 2.1. (Banach - Steinhaus)
Cho X,Y là các không gian Banach và F ⊂ B(X,Y ). Nếu F là bị chặn
theo từng điểm, thì F bị chặn trong B(X,Y ).
Chứng minh. Với mỗi n ∈ N, đặt Nn = x ∈ X : sup T (x)
T ∈F

Y

≤n .

Ta khẳng định rằng Nn là tập đóng, tập lồi và đối xứng trong X. Tính đối

xứng của Nn là hiển nhiên. Để kiểm tra tính đóng, lấy xk ∈ Nn và xk → x ∈ X.
Cho trước T ∈ F, ta có T (xk )

Y

≤ n, như vậy T (x)

Y

≤ n do tính liên tục.

Để thấy rằng Nn là tập lồi, lấy x1 , x2 ∈ Nn và λ ∈ [0, 1]. Khi đó, với mỗi

19


T ∈ F, ta có
T (λ x1 + (1 − λ )x2 )

Y

≤ λ T (x1 )

+ (1 − λ ) T (x2 )

Y

Y

≤ λ n + (1 − λ )n = n.

Vì với mọi x ∈ X ta có sup T (x)
T ∈F

Y

< ∞, tồn tại một chỉ số n ∈ N lớn

hơn cận trên đúng. Do đó x ∈ Nn , như vậy

∞

Nn = X. Theo Mệnh đề 1.2,

n=1

tồn tại n0 sao cho tập Nn0 chứa một điểm trong x0 . Như vậy, tồn tại δ > 0
sao cho x0 + δ BX ⊂ Nn0 . Do tính đối xứng của Nn0 , ta có −x0 + δ BX ⊂ Nn0 .
Nếu b ∈ BX , theo tính lồi của Nn0 ta có b = 21 (x0 + b) + 21 (−x0 + b) ∈ Nn0 .
Do đó δ BX ⊂ Nn0 . Vì vậy cho nên, cho trước T ∈ F, với mỗi x ∈ BX ta có
T (δ x) y < n0 ; tức là, T ≤

n0
δ .

Điều này có nghĩa sup T ≤
T ∈F

n0
δ .

Hệ quả 2.1. Cho X,Y là các không gian Banach và Tn ∈ B(X,Y ) với n ∈ N.
Giả sử rằng với mỗi x ∈ X tồn tại giới hạn T (x) = lim (Tn (x)). Khi đó,
n→∞

T ∈ B(X,Y ) và T ≤ lim inf Tn .
n→∞

Chứng minh. Tính chất tuyến tính của T là dễ thấy. Thật vậy, với mọi
λ , λ ′ ∈ R ta có:
T (λ x + λ ′ y) = lim(Tn (λ x + λ ′ y)) = lim(Tn (λ x) + Tn (λ ′ y))
= lim(λ Tn (x)) + lim(λ ′ Tn (y)) = λ T (x) + λ ′ T (y)
Vì Tn (x) → T (x) ta có Tn (x) → T (x) ; đặc biệt, ta có được { Tn (x) : n ∈ N}
là bị chặn với mọi x ∈ X. Theo Định lí Banach-Steinhaus, {Tn } là bị chặn
trong B(X,Y ). Kí hiệu C = lim inf Tn . Khi đó
T (x) = lim Tn (x) = lim inf Tn (x) ≤ lim inf( x

Tn )

Điều này chứng tỏ rằng T (x) ≤ C x ; nghĩa là, T là bị chặn và
T ≤ C.
20


Định nghĩa 2.7. Cho X là một không gian Banach. Ta nói rằng tập M ⊂ X
là bị chặn yếu(w-) nếu sup { | f (x)| : x ∈ M} < ∞ với mọi f ∈ X ∗ . Ta nói rằng
tập M ⊂ X ∗ là bị chặn yếu* nếu sup{| f (x)| : f ∈ M} < ∞ với mọi x ∈ X.
Định lý 2.2. (Banach - Steinhaus) Cho X là một không gian Banach. Nếu
M ⊂ X ∗ là bị chặn yếu* thì M là bị chặn. Nếu M ⊂ X là bị chặn yếu thì M
là bị chặn.
Chứng minh. Nếu M ⊂ X ∗ là bị chặn yếu*, thì M là bị chặn theo từng điểm

trong B(X, K); do đó, theo Định lí 2.1, M là bị chặn trong B(X, K) = X ∗ .
Nếu M ⊂ X là bị chặn yếu, thì π(M) là bị chặn theo từng điểm trong
B(X ∗ , K); do đó, theo Định lí 2.1 π(M) là bị chặn trong B(X ∗ , K) = X ∗∗ Vì
π là một phép đẳng cự, nên M là bị chặn trong X.
Định lý 2.3. Cho X là một không gian Banach và F ∈ X ∗∗ . Nếu F là liên tục
trong tôpô yếu*, thì tồn tại x ∈ X sao cho F = π(x) (hoặc ngắn gọn, F ∈ X).
Lưu ý rằng theo định nghĩa của tôpô yếu*, mọi π(x) ∈ X ∗∗ là liên tục
yếu*.
Chứng minh. Nếu F là liên tục yếu* trên X ∗ , thì F là bị chặn bởi một lân
cận yếu* U nào đó của 0 trong X ∗ với U =
đó x1 , x2 , ..., xn ∈ X và ε > 0. Lấy f

∈ X∗

f ∈ X ∗ : max | f (xi )| < ε ,ở
1≤i≤n

sao cho f (xi ) = 0 với i = 1, 2, ..., n.

Khi đó k f ∈ U, vì vậy |F(k f )| ≤ 1 với mọi k. Vì vậy F( f ) = 0. Vậy thì,
n

π(xi )−1 (0) ⊂ F −1 (0); do đó, theo Bổ đề 2.1, F là một tổ hợp tuyến tính

i=1

của π(x1 ), ..., π(xn ). Vậy F ∈ X.
Sau đây ta sẽ chứng minh thêm một số định lí tách. Để đơn giản, ta chỉ

xét các không gian thực.

21