Tóm tắt lý thuyết và bài tập trắc nghiệm tích phân
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (1.14 MB, 78 trang )
CHỦ ĐỀ 2. TÍCH PHÂN
A. KIẾN THỨC CƠ BẢN
1. Định nghĩa
Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử F là một nguyên hàm của f trên [a; b]. Hiệu số
F (b) − F (a ) được gọi là tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định trên đoạn [a; b] của hàm số
f ( x), kí hiệu là
b
∫ f ( x)dx.
a
b
Ta dùng kí hiệu F (=
x) a F (b) − F (a ) để chỉ hiệu số F (b) − F (a ) . Vậy
Nhận xét: Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi
b
∫
b
)dx
∫ f ( x=
a
b
F (=
x) a F (b) − F (a ) .
f ( x)dx hay
a
b
∫ f (t )dt. Tích phân đó
a
chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số.
Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f liên tục và không âm trên đoạn [a; b] thì tích phân
b
∫ f ( x)dx là diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số
y = f ( x) , trục Ox và hai đường
a
b
thẳng=
x a=
, x b. Vậy S = ∫ f ( x)dx.
a
2. Tính chất của tích phân
1.
3.
a
∫ f ( x)dx = 0
a
b
2.
a
∫ f ( x)dx = −∫ f ( x)dx
a
c
c
b
a
∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx =
∫ f ( x)dx ( a < b < c
a
b
b
5. ∫ [ f ( x) ± g ( x)]dx =
a
b
b
a
a
b
b
b
a
a
) 4.=
∫ k. f ( x)dx k.∫ f ( x)dx (k ∈ )
∫ f ( x)dx ± ∫ g ( x)dx .
B. KỸ NĂNG CƠ BẢN
1. Một số phương pháp tính tích phân
I. Dạng 1: Tính tích phân theo công thức
Ví dụ 1: Tính các tính phân sau:
1
1
dx
.
3
(1
+
x
)
0
a) I = ∫
b) I = ∫
0
1
dx
0 (1 + x )
1
1
1
d (1 + x)
0 (1 + x )
1
x
dx .
x +1
1
2x + 9
dx .
+
x
3
0
x
dx .
2
−
x
4
0
c) I = ∫
d) I = ∫
Hướng dẫn giải
1
2(1 + x)
1
3
8
a) I =
.
==
−
=
∫
∫
3
3
2
x
1
dx =
1 − ln 2 .
( x ln( x + 1) ) 10 =
1 −
dx =−
∫
x +1
x
+
1
0
b) I =
∫
0
1
0
1
1
2x + 9
3
dx =
3 + 6ln 2 − 3ln 3 .
( 2 x + 3ln( x + 3) ) 0 =
2+
dx =
∫
x+3
x +3
0
0
c) I =
∫
(
)
2
1
1
x
1 d 4− x
3
d) I =
− ∫
=
ln | 4 − x 2 | =
ln .
∫ 4 − x 2 dx =
2
0
2 0 4− x
4
0
1
Bài tập áp dụng
1) I
=
1
3
4
5
∫ x ( x − 1) dx .
0
2) =
I
1
∫(
0
)
2 x + 3 x + 1 dx .
Trang 1/80
3) I
=
16
1
dx
.
x+9 − x
4) I = ∫
∫ x 1 − xdx .
0
0
II. Dạng 2: Dùng tính chất cận trung gian để tính tích phân
b
Sử dụng tính chất ∫ [f ( x) + g ( x)]dx =
a
b
∫
a
∫ | x + 1| dx .
−2
2
−1
a
2
Ví dụ 2: Tính tích phân=
I
x + 1,
Nhận xét: x + 1 =
− x − 1,
b
f ( x)dx + ∫ g ( x)dx để bỏ dấu giá trị tuyệt đối.
−1 ≤ x ≤ 2
− 2 ≤ x < −1
Hướng dẫn giải
. Do đó
2
−1
−1
2
2
x2
x2
I =+
|
x
1|
dx
|
x
1|
dx
|
x
1|
dx
x
1
dx
x
1
dx
x
5.
=+
+
+
=
−
+
+
+
=
−
+
+
(
)
(
)
+ x =
∫
∫
∫
∫
∫
2
−2 2
−1
−2
−2
−1
−2
−1
Bài tập áp dụng
3
2
∫ | x − 4 | dx .
1)
=
I
2) =
I
−4
2
∫| x
3
− 2 x 2 − x + 2 | dx .
−1
π
3
∫| 2
3)
=
I
x
− 4 | dx .
2
∫π 2 | sin x | dx .
4) I =
0
−
π
∫
5)=
I
1 + cos 2 xdx .
0
2
III. Dạng 3: Phương pháp đổi biến số
1) Đổi biến số dạng 1
Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số u = u ( x) có đạo hàm liên tục trên đoạn
[a; b] và α ≤ u ( x) ≤ β . Giả sử có thể
=
viết f ( x) g (u ( x))u '( x), x ∈ [a;b], với g liên tục trên đoạn
[α ; β ]. Khi đó, ta có
=
I
b
u (b )
a
u (a)
f ( x)dx
∫=
∫
g (u )du.
π
2
Ví dụ 3: Tính tích phân I = ∫ sin 2 x cos xdx .
0
Hướng dẫn giải
π
π
Đặt u = sin x. Ta có du = cos xdx. Đổi cận: x =
0 ⇒ u (0) =
0; x =⇒ u =
1.
2
2
π
Khi =
đó I
2
2
xdx
∫ sin x cos=
0
Bài tập áp dụng
1) I
=
1
u du
∫=
2
0
1
2
∫ x x + 1dx .
1 31 1
=
u
.
3 0 3
2) I
=
3) I = ∫
1
1 + ln x
dx .
x
4) I =
Có
f ( x)
e2
3
x + 1dx .
∫ 2x
e
dx
2 + ln x
.
Dấu hiệu nhận biết và cách tính tính phân
Có thể đặt
Ví dụ
Dấu hiệu
1
∫x
0
0
e
1
t=
f ( x)
I =∫
3
0
x3 dx
. Đặt=
t
x +1
x +1
Trang 2/80
Có (ax + b) n
2
dx . Đặt t= x − 1
e tan x +3
=
t tan x + 3
dx . Đặt
0 cos 2 x
e ln xdx
. Đặt=
I =∫
t ln x + 1
1 x (ln x + 1)
I =∫4
3
Có a
4
Có
5
Có e x dx
t = e x hoặc biểu thức
=
I
chứa e x
6
Có sin xdx
t = cos x
7
Có cos xdx
t = sin xdx
8
Có
dx
cos 2 x
t = tan x
9
Có
dx
sin 2 x
t = cot x
t = ln x hoặc biểu thức
chứa ln x
dx
và ln x
x
2016
π
t = f ( x)
f ( x)
1
∫0 x( x + 1)
=
I
=
t ax + b
ln 2 2 x
∫0
e
3e x + 1dx . Đặt
t
=
3e x + 1
π
I = ∫ 2 sin 3 x cos xdx . Đặt t = sin x
0
sin 3 x
dx Đặt
=
t 2cos x + 1
0 2cos x + 1
π
π
1
1
4 (1 + tan 2 x )
=
=
I ∫4
dx
dx
∫
4
0 cos x
0
cos 2 x
Đặt t = tan x
I =∫
π
π
ecot x
4
=
∫π 1 − cos 2 x dx
6
=
I
∫
ecot x
dx . Đặt t = cot x
2sin 2 x
2) Đổi biến số dạng 2
Cho hàm số f liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Giả sử hàm số x = ϕ (t) có đạo hàm
và liên tục trên đoạn [α ; β ](*) sao cho=
ϕ (α ) a=
,ϕ ( β ) b và a ≤ ϕ (t ) ≤ b với mọi t ∈ [α ; β ]. Khi
đó:
b
∫
a
β
f ( x)dx = ∫ f (ϕ (t ))ϕ '(t )dt.
α
Một số phương pháp đổi biến: Nếu biểu thức dưới dấu tích phân có dạng
π π
1. a 2 − x 2 :=
đặt x | a | sin t ; t ∈ − ;
2 2
|a|
π π
x 2 − a 2 : đặt
=
x
; t ∈ − ; \ {0}
sin t
2 2
π π
x 2 +=
a 2 : x | a | tan t ; t ∈ − ;
2 2
a+x
a−x
hoặc
: đặt x = a.cos 2t
a−x
a+x
2.
3.
4.
Lưu ý: Chỉ nên sử dụng phép đặt này khi các dấu hiệu 1, 2, 3 đi với x mũ chẵn. Ví dụ, để tính
tích phân I =
biến dạng 1.
3
∫
x 2 dx
0
x2 + 1
thì phải đổi biến dạng 2 còn với tích phân I = ∫
0
Ví dụ 4: Tính các tích phân sau:
a)=
I
1
∫
3
x3 dx
x2 + 1
thì nên đổi
1
dx
.
2
0 1+ x
b) I = ∫
1 − x 2 dx .
0
Hướng dẫn giải
a) Đặt x = sin t ta có dx = cos tdt. Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 0; x = 1 ⇒ t =
π
π
1
2
2
0
0
0
π
2
.
π
Vậy I =∫ 1 − x 2 dx =∫ | cos t |dt =∫ cos tdt =sin t |02 =1.
x = 0 → t = 0
π .
x
=
1
→
t
=
4
b) Đặt x = tan t , ta có dx= (1 + tan 2 t ) dt . Đổi cận:
Trang 3/80
π
1
dx
Vậy =
=
I ∫
2
0 1+ x
4
∫ dt=
π
π
t=
|04
4
0
.
IV. Dạng 4: Phương pháp tính tích phân từng phần.
Định lí : Nếu u = u ( x) và v = v( x) là hai hàm số có đạo hàm và liên tục trên đoạn [a; b] thì
b
( x)v '( x)dx
∫ u=
a
b
b
( u ( x)v( x) ) a − ∫ u '( x)v( x)dx ,
a
b
b
b
a
a
a
hay viết gọn là ∫ udv
= uv |ba − ∫ vdu . Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính I = ∫ P ( x).Q( x)dx
Dạng
hàm
P(x): Đa thức
Q(x): sin ( kx ) hay
Cách
đặt
* u = P( x)
* dv là Phần còn lại
của biểu thức dưới
dấu tích phân
P(x): Đa thức
Q(x): ln ( ax + b )
P(x): Đa thức
Q(x): e kx
cos ( kx )
* u = P( x)
* u ln ( ax + b )
* dv là Phần còn =
lại của biểu thức * dv = P ( x ) dx
dưới dấu tích phân
P(x): Đa thức
Q(x):
1
1
hay
2
sin x
cos 2 x
* u = P( x)
* dv là Phần còn lại của
biểu thức dưới dấu tích
phân
Thông thường nên chú ý: “Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ”.
π
2
Ví dụ 5: Tính các tích phân sau : a) I = ∫ x sin xdx.
b) I
=
u = x
ta có
dv = sin xdx
∫ x ln( x + 1)dx .
0
0
a) Đặt
e −1
Hướng dẫn giải
du = dx
.
v = − cos x
π
π
2
π
π
2
Do đó I =
0 + sin x |02 =
1.
( − x cos x ) |02 + ∫ cos xdx =
∫ x sin xdx =
0
0
=
u ln( x + 1)
b) Đặt
ta có
dv = xdx
I=
e −1
∫
0
1
du = x + 1 dx
2
v = x − 1
2
e −1
e −1
x2 − 1
e 2 − 2e + 2 1 x 2
1
−
−
=
− − x
x ln( x + 1)dx = ln( x + 1)
x
dx
(
1)
∫
2 0
2 0
2
2 2
e −1
0
e 2 − 2e + 2 1 e 2 − 4e + 3 e 2 + 1
=
−
=
.
2
2
2
4
Bài tập áp dụng
1)
=
I
1
x
∫ (2 x + 2)e dx .
0
π
2
2) I = ∫ 2 x.cos xdx .
0
3) I =
2π
∫
0
x
x 2 .sin dx .
2
4)=
I
1
∫ ( x + 1)
2 2x
e dx .
0
Trang 4/80
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
Câu 1.
NHẬN BIẾT – THÔNG HIỂU
Cho hai hàm số f , g liên tục trên đoạn [a; b] và số thực k tùy ý. Trong các khẳng định sau,
khẳng định nào sai?
A.
b
b
b
a
a
a
∫ [ f ( x) + g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx .
b
b
a
a
C. ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx .
Câu 2.
b
∫
B.
a
a
f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx .
b
b
b
a
a
∫ xf ( x)dx = x ∫ f ( x)dx .
D.
Cho hàm số f liên tục trên và số thực dương a . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào
luôn đúng?
A.
a
∫
B.
f ( x)dx = 0 .
∫
f ( x)dx = 1 .
a
∫
C.
a
a
Câu 3.
a
f ( x)dx = −1 .
D.
a
∫ f ( x)dx = f (a) .
a
a
1
Tích phân ∫ dx có giá trị bằng
0
A. −1 .
Câu 4.
B. 1.
Cho số thực a thỏa mãn
a
∫e
x +1
C. 0 .
D. 2 .
dx= e 2 − 1 , khi đó a có giá trị bằng
−1
Câu 5.
B. −1 .
C. 0 .
D. 2 .
A. 1.
Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có tích phân trên đoạn [0; π ] đạt giá trị bằng 0 ?
A. f ( x) = cos 3 x .
Câu 6.
x π
x π
C. =
D. =
f ( x) cos + .
f ( x) sin + .
4 2
4 2
Trong các tích phân sau, tích phân nào có giá trị khác 2 ?
A.
e2
1
∫ ln xdx .
B. ∫ 2dx .
1
Câu 7.
0
π
C. ∫ sin xdx .
A. f ( x) = e .
B. f ( x) = cos x .
D.
0
Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào thỏa mãn
x
Câu 8.
B. f ( x) = sin 3 x .
2
∫ xdx .
0
1
2
−1
−2
∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx ?
C. f ( x) = sin x .
D. f ( x)= x + 1 .
5
dx
có giá trị bằng
x
2
Tích phân I = ∫
A. 3ln 3 .
B.
1
ln 3 .
3
C. ln
5
.
2
D. ln
2
.
5
π
Câu 9.
2
Tích phân I = ∫
π
dx
có giá trị bằng
sin x
3
A.
1 1
ln .
2 3
Câu 10. Nếu
0
∫ (4 − e
B. 2 ln 3 .
− x /2
C.
1
ln 3 .
2
1
D. 2 ln .
3
) dx =
K − 2e thì giá trị của K là
−2
A. 12,5 .
B. 9 .
1
Câu 11. Tích phân I = ∫
0
C. 11 .
D. 10 .
1
dx có giá trị bằng
x −x−2
2
Trang 5/80
2 ln 2
.
3
A.
B. −
2 ln 2
.
3
C. −2 ln 2 .
Câu 12. Cho hàm số f và g liên tục trên đoạn [1;5] sao cho
D. 2 ln 2 .
5
∫ f ( x)dx = 2
và
1
5
∫ g ( x)dx =
−4 . Giá trị
1
5
∫ [ g ( x) − f ( x)] dx là
của
1
A. −6 .
B. 6 .
Câu 13. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;3] . Nếu
C. 2 .
D. −2 .
3
∫ f ( x)dx = 2
thì tích phân
3
∫ [ x − 2 f ( x)] dx có giá
0
0
trị bằng
A. 7 .
B.
5
.
2
Câu 14. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;6] . Nếu
C. 5 .
D.
5
3
1
1
∫ f ( x)dx = 2 và ∫ f ( x)dx = 7
trị bằng
B. −5 .
C. 9 .
A. 5 .
Câu 15. Trong các phép tính sau đây, phép tính nào sai?
3
3
A. ∫ e x dx = ( e x ) 1 .
B.
1
C.
2π
−2
1
.
2
thì
5
∫ f ( x)dx
có giá
3
D. −9 .
1
∫ x dx = ( ln x )
−2
−3
.
−3
2π
∫ cos xdx = ( sin x ) π
2
2
x2
D. ∫ ( x + 1) dx = + x .
2
1
1
.
π
Câu 16. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] có một nguyên hàm là hàm F trên đoạn [a; b] . Trong
các phát biểu sau, phát biểu nào sai ?
A.
b
∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) .
a
B. F '( x) = f ( x) với mọi x ∈ (a; b) .
C.
b
∫ f ( x)dx = f (b) − f (a) .
a
D. Hàm số G cho bởi G=
( x) F ( x) + 5 cũng thỏa mãn
b
∫ f ( x)dx = G(b) − G(a) .
a
Câu 17. Xét hàm số f liên tục trên và các số thực a , b , c tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng
định nào sai?
A.
C.
b
b
a
a
c
c
b
c
b
a
a
c
∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx .
∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx .
B.
D.
b
c
b
a
a
c
b
c
c
a
a
b
∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx .
∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx .
Câu 18. Xét hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [ a; b ] . Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
b
A. Nếu m ≤ f ( x) ≤ M ∀x ∈ [a; b] thì m(b − a ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (a − b) .
a
Trang 6/80
b
∫ f ( x)dx ≥ m(b − a) .
B. Nếu f ( x) ≥ m ∀x ∈ [a; b] thì
a
C. Nếu f ( x) ≤ M ∀x ∈ [a; b] thì
b
∫ f ( x)dx ≤ M (b − a) .
a
D. Nếu f ( x) ≥ m ∀x ∈ [a; b] thì
b
∫ f ( x)dx ≥ m(a − b) .
a
Câu 19. Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [a; b] sao cho g ( x) ≠ 0 với mọi x ∈ [a; b] . Xét các
khẳng định sau:
I.
b
b
b
∫ [ f ( x) + g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx .
a
II.
a
b
b
∫ [ f ( x) − g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx − ∫ g ( x)dx .
a
III.
a
b
a
b
a
b
b
a
a
∫ [ f ( x).g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx.∫ g ( x)dx .
a
b
IV.
b
∫
a
f ( x)
dx =
g ( x)
∫ f ( x)dx
a
b
.
∫ g ( x)dx
a
Trong các khẳng định trên, có bao nhiêu khẳng định sai?
B. 2 .
C. 3 .
A. 1.
Câu 20. Tích phân
3
∫ x( x − 1)dx
D. 4 .
có giá trị bằng với giá trị của tích phân nào trong các tích phân dưới
0
đây?
3π
2
A. ∫ ( x 2 + x − 3) dx .
B. 3 ∫ sin xdx .
C.
ln 10
∫
0
0
π
D. ∫ cos(3 x + π )dx .
e 2 x dx .
0
0
Câu 21. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [ a; b ] , sao cho
b
∫ f ( x)dx ≥ 0 thì
f ( x) ≥ 0 ∀x ∈ [a; b] .
a
3
∫ f ( x)dx = 0 .
B. Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn [−3;3] , luôn có
−3
C. Với mọi hàm số f liên tục trên , ta có
b
∫
a
a
f ( x)dx = ∫ f ( x)d (− x) .
b
D. Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn [1;5] thì
5
∫ [ f ( x)]
2
1
3 5
[ f ( x)]
dx =
3
.
1
Câu 22. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
1
A. Nếu f là hàm số chẵn trên thì ∫ f ( x)dx =
0
B. Nếu
0
1
−1
0
∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx thì
0
∫ f ( x)dx .
−1
f là hàm số chẵn trên đoạn [−1;1] .
Trang 7/80
1
∫ f ( x)dx = 0 thì
C. Nếu
f là hàm số lẻ trên đoạn [−1;1] .
−1
1
∫ f ( x)dx = 0 thì
D. Nếu
f là hàm số chẵn trên đoạn [−1;1] .
−1
Câu 23. Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số y = x 6 sin 5 x trên khoảng (0; +∞) . Khi đó
2
∫x
6
sin 5 xdx có giá trị bằng
1
A. F (2) − F (1) .
B. − F (1) .
C. F (2) .
D. F (1) − F (2) .
Câu 24. Cho hàm số f liên tục trên và hai số thực a < b . Nếu
b
∫ f ( x)dx = α
thì tích phân
a
b2
∫
f (2 x)dx có giá trị bằng
a 2
α
.
B. 2α .
C. α .
D. 4α .
2
Câu 25. Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số y = x 3 sin 5 x trên khoảng (0; +∞) . Khi đó tích phân
A.
2
∫ 81x
3
sin 5 3 xdx có giá trị bằng
1
A. 3 [ F (6) − F (3) ] .
B. F (6) − F (3) .
C. 3 [ F (2) − F (1) ] .
2
∫ f ( x)dx = 6 .
Câu 26. Giả sử hàm số f liên tục trên đoạn [0; 2] thỏa mãn
D. F (2) − F (1) .
Giá trị của tích phân
0
π 2
∫
f (2sin x) cos xdx là
0
B. 6 .
A. −6 .
e
Câu 27. Bài toán tính tích phân I = ∫
1
C. −3 .
ln x + 1 ln x
dx được một học sinh giải theo ba bước sau:
x
I. Đặt ẩn phụ=
t ln x + 1 , suy ra dt =
x
t
II. I
=
e
ln x + 1 ln x
=
dx
x
∫
1
2
∫
D. 3 .
1
dx và
x
1
1
e
2
t ( t − 1) dt
1
2
2
5 2
III. I =
1+ 3 2 .
t − =
∫1 t ( t − 1) dt =
t 1
Học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?
A. Bài giải đúng.
B. Sai từ Bước II.
C. Sai từ Bước I.
Câu 28. Xét tích phân I =
π 3
sin 2 x
∫ 1 + cos x dx . Thực hiện phép đổi biến
D. Sai ở Bước III.
t = cos x , ta có thể đưa I về dạng
0
nào sau đây
π 4
A. I = − ∫
0
2t
dt .
1+ t
B. I =
π 4
∫
0
2t
dt .
1+ t
1
2t
C. I = − ∫
dt .
1 1+ t
2
1
2t
dt .
1 1+ t
D. I = ∫
2
Trang 8/80
Câu 29. Cho hàm số y = f ( x) liên tục trên đoạn [a; b] . Trong các bất đẳng thức sau, bất đẳng thức nào
luôn đúng?
A.
b
∫
f ( x) dx >
a
C.
b
∫
b
∫
B.
f ( x)dx .
a
∫
a
a
f ( x) dx ≥
b
b
∫
D.
f ( x)dx .
b
∫
a
a
b
f ( x ) dx ≥ ∫ f ( x) dx .
a
b
f ( x ) dx > ∫ f ( x) dx .
a
Câu 30. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?
1
1
1
A. ∫ sin(1 − x)dx =
∫ sin xdx .
0
B. ∫ (1 + x) x dx =
0.
0
0
π 2
π
x
C. ∫ sin dx = 2 ∫ sin xdx .
2
0
0
D.
1
∫x
2017
−1
2
(1 + x)dx = .
2019
Câu 31. Cho hàm số y = f ( x) lẻ và liên tục trên đoạn [−2; 2] . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào
luôn đúng?
A.
2
∫
B.
2
∫ f ( x)dx = 0 .
0
−2
2
0
2
−2
−2
−2
C.
2
f ( x)dx = 2 ∫ f ( x)dx .
∫ f ( x)dx = 2 ∫ f ( x)dx .
D.
∫ f ( x)dx =
−2
1
∫ ( x + 1)
Câu 32. Bài toán tính tích phân=
I
2
2
−2 ∫ f ( x)dx .
0
dx được một học sinh giải theo ba bước sau:
−2
t ( x + 1) 2 , suy ra =
dt 2( x + 1)dx ,
I. Đặt ẩn phụ =
II. Từ đây suy ra
1
dt
dt
=
dx ⇒
=
dx . Đổi cận
2( x + 1)
2 t
x
−2
t
1
4
1
4
4
t
1
7
III. Vậy I =∫ ( x + 1) dx =∫
dt = t 3 = .
3
3
1
−2
1 2 t
Học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?
A. Sai từ Bước I.
B. Sai ở Bước III.
C. Sai từ Bước II.
D. Bài giải đúng.
Câu 33. Một học sinh được chỉ định lên bảng làm 4 bài toán tích phân. Mỗi bài giải đúng được 2,5
điểm, mỗi bài giải sai (sai kết quả hoặc sai bước tính nguyên hàm) được 0 điểm. Học sinh đã
giải 4 bài toán đó như sau:
Bài
Đề bài
Bài giải của học sinh
1
∫e
1
2
x2
xdx
0
1
2
1
∫0 x 2 − x − 2 dx
π
3
∫ sin 2 x cos xdx
0
1
2
1
1
1 x2 ( 2 ) e x
e −1
e
=
xdx
e d=
x
=
∫0
∫
20
2 0
2
x2
1
∫x
0
2
1
dx=
−x−2
[ln x 2 − x − 2 ] 0=
1
ln 2 − ln 2= 0
Đặt t = cos x , suy ra dt = − sin xdx . Khi x = 0 thì t = 1 ; khi
x = π thì t = −1 . Vậy
π
π
−1
1
2t 3
4
sin
2
x
cos
xdx
=
2
sin
x
cos
xdx
=
−
2
t
dt
==
∫0
∫0
∫1
3 −1 3
2
2
Trang 9/80
e
1 + (4 − 2e) ln x
dx =
∫1
x
e
1 + (4 − 2e) ln x
dx
∫1
x
4
e
∫ [1 + (4 − 2e) ln x ] d ( ln x )
1
e
= x + (4 − 2e) ln 2 x 1 =3 − e
Số điểm mà học sinh này đạt được là bao nhiêu?
A. 5,0 điểm.
B. 2,5 điểm.
C. 7,5 điểm.
D. 10,0 điểm.
Câu 34. Cho hai hàm số liên tục f và g liên tục trên đoạn [a; b] . Gọi F và G lần lượt là một nguyên
hàm của f và g trên đoạn [a; b] . Đẳng thức nào sau đây luôn đúng?
A.
b
f ( x)G ( x)dx [ F ( x) g ( x) ] − ∫ F ( x)G ( x)dx .
∫=
a
a
B.
b
f ( x)G ( x)dx
∫=
a
C.
a
b
[ F ( x)G ( x)] a − ∫ F ( x) g ( x)dx .
b
a
b
b
( x)G ( x)dx [ f ( x) g ( x) ] − ∫ F ( x) g ( x)dx .
∫ f=
b
a
a
D.
b
b
b
a
b
f ( x)G ( x)dx [ F ( x)G ( x) ] − ∫ f ( x) g ( x)dx .
∫=
b
a
a
Câu 35. Tích phân I =
0
∫ xe
−x
a
dx có giá trị bằng
−2
B. 3e 2 − 1 .
C. −e 2 − 1 .
D. −2e 2 + 1 .
A. −e 2 + 1 .
Câu 36. Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [a; b] và số thực k bất kỳ trong . Trong các phát
biểu sau, phát biểu nào sai?
A
b
b
b
a
a
a
∫ [ f ( x) + g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx .
b
b
a
a
C. ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx .
B.
b
∫
a
D.
a
f ( x)dx = − ∫ f ( x)dx .
b
b
b
a
a
∫ xf ( x)dx = x ∫ f ( x)dx .
Câu 37. Cho hàm số f liên tục trên và số thực dương a . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào
luôn đúng?
A.
a
∫
f ( x)dx = 1 .
B.
a
a
∫
f ( x)dx = 0 .
C.
a
∫
f ( x)dx = −1 .
D.
∫ f ( x)dx = f (a) .
a
a
a
a
1
Câu 38. Tích phân ∫ dx có giá trị bằng
0
A. 2 .
Câu 39. Cho số thực a thỏa mãn
B. −1 .
a
∫e
x +1
C. 0 .
D. 1 .
dx= e 2 − 1 , khi đó a có giá trị bằng
−1
A. 0 .
B. −1 .
D. 1 .
D. 2 .
Câu 40. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào có tích phân trên đoạn [0; π ] đạt giá trị bằng 0 ?
A. f ( x) = cos 3 x .
B. f ( x) = sin 3 x .
x π
x π
C. =
D. =
f ( x) cos + .
f ( x) sin + .
4 2
4 2
Câu 41. Tích phân nào trong các tích phân sau có giá trị khác 2 ?
π
A. ∫ sin xdx .
0
1
B. ∫ 2dx .
0
B.
e2
∫ ln xdx .
1
D.
2
∫ xdx .
0
Trang 10/80
Câu 42. Trong các hàm số dưới đây, hàm số nào thỏa mãn
1
∫
−1
∫ f ( x)dx ?
−2
x
B. f ( x) = sin x .
A. f ( x) = cos x .
2
f ( x)dx =
C. f ( x) = e .
D. f ( x)= x + 1 .
C. 3ln 3 .
D. ln
5
dx
có giá trị bằng
x
2
Câu 43. Tích phân I = ∫
1
ln 3 .
3
A.
B. ln
5
.
2
2
.
5
π
2
Câu 44. Tích phân I = ∫
π
dx
có giá trị bằng
sin x
3
1
A. 2 ln .
3
0
∫ (4 − e
Câu 45. Nếu
B. 2 ln 3 .
− x /2
C.
1
ln 3 .
2
D.
1 1
ln .
2 3
) dx =
K − 2e thì giá trị của K là
−2
B. 10 .
A. 9 .
1
Câu 46. Tích phân I = ∫
0
C. 11 .
D. 12,5 .
1
dx có giá trị bằng
x −x−2
2
A. −2 ln 2 .
B.
2 ln 2
.
3
C. −
2 ln 2
.
3
Câu 47. Cho hàm số f và g liên tục trên đoạn [1;5] sao cho
5
∫
D. Không xác định.
f ( x)dx = 2 và
5
∫ g ( x)dx =
−4 . Giá trị
1
1
5
∫ [ g ( x) − f ( x)] dx là
của
1
A. −2 .
B. 6 .
Câu 48. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;3] . Nếu
C. 2 .
3
∫
D. −6 .
f ( x)dx = 2 thì tích phân
0
3
∫ [ x − 2 f ( x)] dx có giá
0
trị bằng
A. 7 .
B.
5
.
2
Câu 49. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;6] . Nếu
C. 5 .
5
∫
f ( x)dx = 2 và
1
D.
3
∫
f ( x)dx = 7 thì
1
2
x2
A. ∫ ( x + 1) dx = + x .
2
1
1
C.
2π
2π
∫π cos xdx = ( sin x ) π
.
3
5
∫ f ( x)dx
có giá
3
trị bằng
A. −9 .
B. 5 .
C. 9 .
Câu 50. Trong các phép tính sau đây, phép tính nào sai?
2
1
.
2
D. −5 .
3
B. ∫ e x dx = ( e x ) 1 .
1
D.
−2
1
∫ x dx = ( ln x )
−2
−3
.
−3
Câu 51. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] có một nguyên hàm là hàm F trên đoạn [a; b] . Trong
các phát biểu sau, phát biểu nào sai ?
A. F '( x) = f ( x) với mọi x ∈ (a; b) .
Trang 11/80
b
∫ f ( x)dx = f (b) − f (a) .
B.
a
b
∫ f ( x)dx = F (b) − F (a) .
C.
a
b
∫ f ( x)dx = G(b) − G(a) .
D. Hàm số G cho bởi G=
( x) F ( x) + 5 cũng thỏa mãn
a
Câu 52. Xét hàm số f liên tục trên và các số thực a , b , c tùy ý. Trong các phát biểu sau, phát biểu
nào sai?
b
c
b
a
c
b
b
a
a
c
c
∫
A.
a
f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx .
B.
∫
D.
c
b
f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx .
a
∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx .
C.
b
a
c
b
c
c
a
a
b
∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx − ∫ f ( x)dx .
Câu 53. Xét hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [ a; b ] .Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?
A. Nếu f ( x) ≥ m ∀x ∈ [a; b] thì
b
∫ f ( x)dx ≥ m(a − b) .
a
b
∫ f ( x)dx ≥ m(b − a) .
B. Nếu f ( x) ≥ m ∀x ∈ [a; b] thì
a
C. Nếu f ( x) ≤ M ∀x ∈ [a; b] thì
b
∫ f ( x)dx ≤ M (b − a) .
a
b
D. Nếu m ≤ f ( x) ≤ M ∀x ∈ [a; b] thì m(b − a ) ≤ ∫ f ( x)dx ≤ M (a − b) .
a
Câu 54. Cho hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [a; b] sao cho g ( x) ≠ 0 với mọi x ∈ [a; b] . Một học
sinh lên bảng và phát biểu các tính chất sau:
I.
b
b
b
a
a
a
∫ [ f ( x) + g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx .
II.
b
b
b
a
a
∫ [ f ( x) − g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx − ∫ g ( x)dx .
a
b
III.
b
b
b
a
a
a
∫ [ f ( x).g ( x)] dx = ∫ f ( x)dx.∫ g ( x)dx .
IV.
b
∫
a
f ( x)
dx =
g ( x)
∫ f ( x)dx
a
b
.
∫ g ( x)dx
a
Trong số các phát biểu trên, có bao nhiêu phát biểu sai?
A. 3 .
B. 1 .
C. 2 .
Câu 55. Tích phân
3
∫ x( x − 1)dx
D. 4 .
có giá trị bằng với tích phân nào trong các tích phân dưới đây ?
0
π
A. ∫ cos(3 x + π )dx .
0
3π
2
C. ∫ ( x 2 + x − 3) dx .
B. 3 ∫ sin xdx .
0
0
D.
ln 10
∫
e 2 x dx .
0
Câu 56. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn [−3;3] , luôn có
3
∫ f ( x)dx = 0 .
−3
b
a
a
b
B. Với mọi hàm số f liên tục trên , ta có ∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)d (− x) .
Trang 12/80
C. Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [ a; b ] , sao cho
b
∫ f ( x)dx ≥ 0 thì
f ( x) ≥ 0 ∀x ∈ [a; b] .
a
D. Với mọi hàm số f liên tục trên đoạn [1;5] thì
5
∫ [ f ( x)]
2
3 5
[ f ( x)]
dx =
3
1
.
1
Câu 57. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
1
A. Nếu f là hàm số chẵn trên thì ∫ f ( x)dx =
0
0
1
−1
0
∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx thì
B. Nếu
1
∫ f ( x)dx = 0 thì
C. Nếu
0
∫ f ( x)dx .
−1
f là hàm số chẵn trên đoạn [−1;1] .
f là hàm số lẻ trên đoạn [−1;1] .
−1
1
∫ f ( x)dx = 0 thì
D. Nếu
f là hàm số chẵn trên đoạn [−1;1] .
−1
Câu 58. Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số y =
giá trị bằng
A. F (2) − F (1) .
2
sin x
trên khoảng (0; +∞) . Khi đó
x
B. − F (1) .
C. F (2) .
sin x
dx có
x
1
∫
D. F (2) + F (1) .
Câu 59. Cho hàm số f liên tục trên và hai số thực a < b . Nếu
b
∫ f ( x)dx = α
thì tích phân
a
b2
∫
f (2 x)dx có giá trị bằng
a 2
A. α .
B. 2α .
C.
α
2
D. 4α .
.
sin x
trên khoảng (0; +∞) . Khi đó
Câu 60. Giả sử F là một nguyên hàm của hàm số y =
x
giá trị bằng
A. F (6) − F (3) .
Câu 61. Giả sử hàm số
B. 3 [ F (6) − F (3) ] .
f
C. 3 [ F (2) − F (1) ] .
liên tục trên đoạn [0; 2] thỏa mãn
2
sin 3x
dx có
x
1
∫
D. F (2) − F (1) .
2
∫ f ( x)dx = 6 .
Giá trị của
0
π 2
∫
f (2sin x) cos xdx là
0
A. 3 .
B. 6 .
e
Câu 62. Bài toán tính tích phân I = ∫
1
C. −3 .
ln x + 1 ln x
dx được một học sinh giải theo ba bước sau:
x
I. Đặt ẩn phụ=
t ln x + 1 , suy ra dt =
x
t
II. I
=
e
∫
1
ln x + 1 ln x
=
dx
x
2
∫
D. −6 .
1
dx và
x
1
1
e
2
t ( t − 1) dt
1
Trang 13/80
2
2
5 2
III. I =
1+ 3 2 .
t − =
∫1 t ( t − 1) dt =
t 1
Vây học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?
A. Bài giải đúng.
B. Sai từ Bước II.
Câu 63. Xét tích phân I =
π 3
C. Sai từ Bước I.
sin 2 x
∫ 1 + cos x dx . Thực hiện phép đổi biến
D. Sai ở Bước III.
t = cos x , ta có thể đưa I về dạng
0
nào sau đây
1
2t
A. I = ∫
dt .
1 1+ t
B. I =
π 4
∫
0
2
π 4
1
2t
C. I = − ∫
dt .
1 1+ t
2t
dt .
1+ t
D. I = − ∫
0
2
2t
dt .
1+ t
Câu 64. Cho hàm số y = f ( x) bất kỳ liên tục trên đoạn [a; b] . Trong các bất đẳng thức sau, bất đẳng
thức nào luôn đúng?
A.
b
∫
a
C.
b
∫
b
f ( x ) dx ≥ ∫ f ( x) dx .
B.
a
f ( x) dx >
a
b
∫
b
∫
b
∫ f ( x)dx .
f ( x) dx ≥
a
D.
f ( x)dx .
b
∫
a
a
a
b
f ( x ) dx > ∫ f ( x) dx .
a
Câu 65. Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào sai?
1
A. ∫ (1 + x) x dx =
0.
0
π 2
π
1
1
0
0
B. ∫ sin(1 − x)dx =
∫ sin xdx .
x
C. ∫ sin dx = 2 ∫ sin xdx .
2
0
0
D.
1
∫x
2017
−1
2
(1 + x)dx = .
2019
Câu 66. Cho hàm số y = f ( x) lẻ và liên tục trên đoạn [−2; 2] . Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào
luôn đúng?
A.
2
∫
−2
C.
2
f ( x)dx = −2 ∫ f ( x)dx .
B.
0
2
0
−2
−2
2
∫
−2
∫ f ( x)dx = 2 ∫ f ( x)dx .
D.
2
f ( x)dx = 2 ∫ f ( x)dx .
0
2
∫ f ( x)dx = 0 .
−2
1
∫ ( x + 1)
Câu 67. Bài toán tính tích phân=
I
2
dx được một học sinh giải theo ba bước sau:
−2
t ( x + 1) 2 , suy ra =
dt 2( x + 1)dx ,
I. Đặt ẩn phụ =
II. Từ đây suy ra
dt
dt
=
dx ⇒
=
dx . Bảng giá trị
2( x + 1)
2 t
x
1
−2
t
1
4
1
4
t
4
1
7
dt = t 3 = .
3
3
1
−2
1 2 t
Vây học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?
III. Vậy I =∫ ( x + 1) 2 dx =∫
A. Sai ở Bước III.
B. Sai từ Bước II.
C. Sai từ Bước I.
D. Bài giải đúng.
Trang 14/80
Câu 68. Một học sinh được chỉ định lên bảng làm 4 bài toán tích phân. Mỗi bài giải đúng được 2,5
điểm, mỗi bài giải sai (sai kết quả hoặc sai bước tính nguyên hàm) được 0 điểm. Học sinh đã
giải 4 bài toán đó như sau:
Bài
Đề bài
Bài giải của học sinh
1
∫e
1
x2
1
xdx
0
1
1
1
∫0 x 2 − x − 2 dx=
1
∫0 x 2 − x − 2 dx
2
∫ sin 2 x cos xdx
[ln x 2 − x − 2 ] 0=
1
π
ln 2 − ln 2= 0
π
−1
1
2t 3
4
sin
2
cos
2
sin
cos
2
x
xdx
x
xdx
t
dt
=
=
−
==
∫0
∫0
∫1
3 −1 3
0
e
1 + (4 − 2e) ln x
dx =
∫1
x
e
4
1
Đặt t = cos x , suy ra dt = − sin xdx . Khi x = 0 thì t = 1 ; khi
x = π thì t = −1 . Vậy
π
3
2
1
e −1
1 x2 ( 2 ) e x
=
xdx
e d=
x
∫0 e =
∫
20
2 0
2
x2
1 + (4 − 2e) ln x
dx
∫1
x
2
2
e
∫ [1 + (4 − 2e) ln x ] d ( ln x )
1
e
= x + (4 − 2e) ln 2 x 1 =3 − e
Số điểm mà học sinh này đạt được là bao nhiêu?
A. 7,5 điểm.
B. 2,5 điểm.
C. 5,0 điểm.
D. 10,0 điểm.
Câu 69. Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn [a; b] . Đẳng
thức nào sau đây luôn đúng?
A.
b
a
a
B.
b
a
b
b
a
b
( x)G ( x)dx [ f ( x) g ( x) ] − ∫ F ( x) g ( x)dx .
∫ f=
b
a
a
D.
a
f ( x)G ( x)dx [ F ( x)G ( x) ] − ∫ F ( x) g ( x)dx .
∫=
b
a
C.
b
f ( x)G ( x)dx [ F ( x) g ( x) ] − ∫ F ( x)G ( x)dx .
∫=
b
b
b
a
Câu 70. Tích phân I =
b
[ F ( x)G ( x)] a − ∫ f ( x) g ( x)dx .
f ( x)G ( x)dx
∫=
0
a
a
∫ xe
−x
dx có giá trị bằng
−2
A. −2e 2 + 1 .
C. −e 2 + 1 .
B. 3e 2 − 1 .
Câu 71. Ta đã biết công thức tích phân từng phần
b
D. −e 2 − 1 .
b
F ( x) g ( x)dx [ F ( x)G ( x) ] − ∫ f ( x)G ( x)dx , trong
∫=
a
b
a
a
đó F và G là các nguyên hàm của f và g . Trong các biến đổi sau đây, sử dụng tích phân
từng phần ở trên, biến đổi nào là sai?
e
e
e
2
( ln x ) xdx x ln x − 1 ∫ xdx , trong đó F ( x) = ln x , g ( x) = x .
A. ∫ =
2
1 2 1
1
1
1
1
B. ∫ =
xe dx ( xe x ) 0 − ∫ e x dx , trong đó F ( x) = x , g ( x) = e x .
0
π
x
0
π
π
C. ∫=
x sin xdx ( x cos x ) 0 − ∫ cos xdx , trong đó F ( x) = x , g ( x) = sin x .
0
0
Trang 15/80
1
1
1 x +1
2 x +1
2
D. ∫=
x 2 dx x
dx , trong đó F ( x) = x , g ( x) = 2 x +1 .
−
∫
ln 2 0 0 ln 2
0
x +1
Câu 72. Tích phân
π
π
∫ x cos x + 4 dx có giá trị bằng
0
(π − 2 ) 2
(π − 2 ) 2
(π + 2 ) 2
(π + 2 ) 2
.
B. −
.
C.
.
D. −
.
2
2
2
2
Câu 73. Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn [0; 2] . Biết rằng
A.
2
∫ F ( x) g ( x)dx = 3 . Tích phân
F (0) = 0 , F (2) = 1 , G (0) = −2 , G (2) = 1 và
0
2
∫ f ( x)G( x)dx
có
0
giá trị bằng
A. 3 .
B. 0 .
C. −2 .
D. −4 .
Câu 74. Cho hai hàm số liên tục f và g có nguyên hàm lần lượt là F và G trên đoạn [1; 2] . Biết rằng
3
F (1) = 1 , F (2) = 4 , G (1) = , G (2) = 2 và
2
giá trị bằng
11
A.
.
12
B. −
2
∫
1
145
.
12
67
. Tích phân
f ( x)G ( x)dx =
12
C. −
Câu 75. Cho hai số thực a và b thỏa mãn a < b và
11
.
12
b
∫ x sin xdx = π ,
D.
2
∫ F ( x) g ( x)dx
có
1
145
.
12
đồng thời a cos a = 0 và
a
b
b cos b = −π . Tích phân ∫ cos xdx có giá trị bằng
a
A.
145
.
12
B. π .
e
Câu 76. Cho tích phân: I = ∫
1
0
C. −π .
1 − ln x
dx .Đặt =
u
2x
1 − ln x .Khi đó I bằng
0
A. I = ∫ u 2 du .
B. I = − ∫ u 2 du .
1
1
2
Câu 77. Tích phân I = ∫
1
D. 0 .
0
1
u2
du . D. I = − ∫ u 2 du .
2
0
1
C. I = ∫
x2
dx có giá trị bằng
x 2 − 7x + 12
A. 5ln 2 − 6 ln 3 .
B. 1 + 2 ln 2 − 6 ln 3 .
C. 3 + 5ln 2 − 7 ln 3 .
D. 1 + 25ln 2 − 16 ln 3 .
2
Câu 78. Tích phân I = ∫ x 5 dx có giá trị là:
1
A.
19
.
3
B.
32
.
3
C.
16
.
3
D.
C.
1
.
8
D. 12 .
21
.
2
1
xdx
bằng
( x + 1)3
0
Câu 79. Tích phân I = ∫
1
A. − .
7
B.
1
.
6
Trang 16/80
π
2
2 − x, dv =
sin xdx thì I
∫ (2 − x) sin xdx . Đặt u =
Câu 80. Cho tích phân=
I
bằng
0
π
π
2
π
A. −(2 − x) cos x − ∫ cos xdx .
2
0
B. −(2 − x) cos x + ∫ cos xdx .
2
0
0
2
Câu 81. Tích phân
1
D. (2 − x) + ∫ cos xdx .
x
∫ (1 + x )
2 5
0
A.
1 (t − 1)3
dt .
2 ∫1 t 5
Câu 82. Tích phân I =
3
∫ x( x
1
A. ln
0
dx bằng
2
4
2
0
0
7
2
π
C. (2 − x) cos x + ∫ cos xdx .
2
0
0
π
π
π
2
π
B.
1
4
+ 1)
3
.
2
(t − 1)3
∫1 t 5 dt .
2
4
C.
1 (t − 1)3
dt .
2 ∫1 t 4
D.
3 (t − 1)3
dt .
2 ∫1 t 4
C.
1 3
ln .
5 2
D.
1 3
ln .
4 2
dx bằng
B.
2
3
1 3
ln .
3 2
2
Câu 83. Cho hai tích phân I = ∫ x dx , J = ∫ xdx .Tìm mối quan hệ giữa I và J
3
0
A. I .J = 8 .
0
B. I .J =
128
C. I − J = .
7
32
.
5
64
D. I + J = .
9
a
Câu 84. Cho số thực a thỏa mãn ∫ e x +1dx= e 4 − e 2 , khi đó a có giá trị bằng
1
A. −1 .
B. 3.
C. 0 .
D. 2.
2
Câu 85. Tích phân ∫ ke x dx (với k là hằng số )có giá trị bằng
0
2
A. k (e − 1) .
Câu 86.
B. e 2 − 1 .
C. k (e 2 − e) .
D. e 2 − e .
Với hằng số k , tích phân nào sau đây có giá trị khác với các tích phân còn lại ?
1
A. ∫ k (e 2 − 1)dx .
0
2
3
2
B. ∫ ke x dx .
2
3
C. ∫ 3ke3 x dx .
0
D. ∫ ke 2 x dx .
0
0
Câu 87. Với số thực k , xét các phát biểu sau:
1
(I) ∫ dx = 2 ;
−1
Số phát biểu đúng là
A. 4.
1
(II)
∫ kdx = 2k ;
−1
B. 3.
1
(III) ∫ xdx = 2 x ;
−1
C. 1.
Câu 88. Cho hàm số f và g liên tục trên đoạn [1;5] sao cho
1
(IV) ∫ 3kx 2 dx = 2k .
0
D. 2.
5
∫
f ( x)dx = −7 và
1
5
19 Giá trị của k
∫ [ g ( x) − kf ( x)] dx =
5
∫ g ( x)dx = 5
và
1
là:
1
A. 2 .
B. 6 .
C. 2.
D. −2 .
Trang 17/80
Câu 89. Cho hàm số f liên tục trên . Nếu
5
∫ 2 f ( x)dx = 2 và
1
bằng:
A. 5 .
B. −6 .
Câu 90. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [0;3] . Nếu
3
∫
∫
∫ f ( x)dx
1
có giá trị
3
C. 9 .
2
5
f ( x)dx = 7 thì
D. −9 .
f ( x)dx = 4 và tích phân
1
2
−1
∫ [ kx − f ( x)] dx =
1
giá trị k bằng
A. 7 .
B.
5
.
2
C. 5 .
D. 2.
e
Câu 91. Tích phân ∫ (2 x − 5) ln xdx bằng
1
e
e
A. − ( x 2 − 5 x) ln x − ∫ ( x − 5)dx .
1
1
e
e
C. ( x 2 − 5 x) ln x − ∫ ( x − 5)dx .
1
1
e
e
B. ( x 2 − 5 x) ln x + ∫ ( x − 5)dx .
1
e
1
e
D. ( x − 5) ln x 1 − ∫ ( x 2 − 5 x)dx .
1
π
2
Câu 92. Tích phân I = ∫ cos 2 x cos 2 xdx có giá trị bằng
0
A.
−5π
.
8
B.
π
Câu 93. Tích phân I = ∫ 2
0
A. 4.
Câu 94. Tích phân
=
I
2π
∫
π
2
.
4sin 3 x
dx có giá trị bằng
1 + cos x
B. 3.
C.
3π
.
8
C. 2.
D.
π
8
.
D. 1.
1 + sin xdx có giá trị bằng
0
A. 4 2 .
B. 3 2 .
C.
2.
D. − 2 .
π
3
Câu 95. Tích phân I = ∫ sin 2 x tan xdx có giá trị bằng
0
3
3
3
A ln 3 − .
B. ln 2 − 2 .
C. ln 2 − .
D. ln 2 − .
4
5
8
4
cos x với mọi x ∈ . Giá trị của tích phân
Câu 96. Cho hàm số f(x) liên tục trên và f ( x) + f (− x) =
π
I=
2
∫
f ( x)dx là
−π
2
A. −2 .
Câu 97. Nếu
0
∫ (5 − e
B.
−x
3π
.
16
3
C. ln 2 − .
4
3
D. ln 3 − .
5
C. 7.
D. 12,5 .
) dx =
K − e 2 thì giá trị của K là:
−2
A. 11.
B. 9 .
π
Câu 98. Cho tích phân=
I
2
∫
.Đặt u
1 + 3cos x .sin xdx =
3cos x + 1 .Khi đó I bằng
0
Trang 18/80
3
2
2
A. ∫ u 2 du .
31
2
B. ∫ u 2 du .
30
e
Câu 99. Tích phân I = ∫
1
B.
Câu 100. Tích phân
∫x
2
3
D. ∫ u 2 du .
3
C. ln 2 − .
4
3
D. ln 3 − .
5
C. 7.
D. 12,5 .
C. 7.
D. 4.
C. −2 .
D. 5.
1
8ln x + 1
dx bằng
x
A. −2 .
5
2
2
C. u 3 .
9 1
13
.
6
− 2 x − 3 dx có giá trị bằng
−1
A. 0.
64
.
3
B.
2
Câu 101. Tìm a để ∫ (3 − ax)dx =
−3 ?
1
A. 2.
B. 9 .
5
Câu 102. Nếu ∫ k 2 ( 5 − x3 ) dx =
−549 thì giá trị của k là:
2
A. ±2
B. 2.
Câu 103. Tích phân
3
∫
2
A.
2
x −x+4
dx bằng
x +1
1
4
+ 6 ln .
3
3
1
4
+ 6 ln .
2
3
B.
C.
1
4
− ln .
2
3
Câu 104. Cho hàm số f liên tục trên thỏa f ( x) + f (− x) =
D.
1
4
+ ln .
2
3
2 + 2 cos 2 x , với mọi x ∈ . Giá trị của
π
tích phân I =
2
∫
f ( x)dx là
−π
2
A. 2.
B. −7 .
C. 7.
D. −2 .
2
122
Câu 105. Tìm m để ∫ (3 − 2 x) 4 dx =
?
5
m
A. 0.
B. 9 .
C. 7.
4.2 TÍCH PHÂN
I. VẬN DỤNG THẤP
1
2
1
Câu 106. Giá trị của tích phân I = ∫
A.
π
6
B.
.
dx là
1 − x2
0
π
4
D.2.
C.
.
π
3
D.
.
π
2
.
1
dx
là
1 + x2
0
Câu 107. Giá trị của tích phân I = ∫
AI =
π
2
.
Câu 108. Giá trị của tích phân I =
B. I =
3 −1
∫
0
A. I =
5π
.
12
3π
.
4
C. I =
π
.
D. I =
3π
.
12
D. I =
4
5π
.
4
dx
là
x + 2x + 2
2
B. I =
π
6
.
C. I =
π
12
.
Trang 19/80
1
∫x
Câu 109. Tích phân
I
=
2
x 3 + 5dx có giá trị là
0
A.
4
10
6−
3.
3
9
Câu 110. Tích phân
2
∫
4
10
7−
5.
3
9
B.
C.
4
10
6−
5.
3
9
D.
2
10
6−
5.
3
9
4 − x 2 dx có giá trị là
0
A.
π
4
Câu 111. Tích phân
=
I
π
B.
.
1
∫x
C.
.
2
π
3
D. π .
.
x 2 + 1dx có giá trị là
0
A.
3 2 −1
.
3
Câu 112. Tích phân
=
I
2 2 −1
.
3
B.
0
∫x
3
C.
2 2 −1
.
2
D.
3 2 −1
.
2
C.
3
.
28
D.
9
.
28
C.
16 − 10 2
.
4
D.
16 − 11 2
.
3
C.
1
.
166
D.
1
.
165
C.
52
.
5
D.
51
.
5
x + 1dx có giá trị là
−1
A. −
9
.
28
B. −
3
.
28
1
x 2 dx
là
0 ( x + 1) x + 1
Câu 113. Giá trị của tích phân I = 2 ∫
A.
16 − 10 2
.
3
B.
1
16 − 11 2
.
4
∫ x (1 − x ) dx là
Câu 114. Giá trị của tích phân
=
I
3 6
5
0
A.
1
.
167
B.
1
.
168
3
2x2 + x −1
dx là
x +1
0
Câu 115. Giá trị của tích phân I = ∫
A.
53
.
5
1
Câu 116. Giá trị của tích phân I = ∫
0
A.
π
2
3− x
dx là
1+ x
B.
− 2+2.
Câu 117. Giá trị của tích phân
54
.
5
B.
π
3
1
∫ ( 2 x + 1)
− 2+2.
5
C.
π
3
− 3+2.
D.
π
2
− 3+2.
dx là
0
1
A. 30 .
3
Câu 118. Giá trị của tích phân
1
B. 60 .
3
1
∫x
0
A. ln 2 .
Câu 119. Giá trị của tích phân
C. 2 ln 2 .
D. 2 ln 3 .
4x + 2
dx là
+ x +1
dx
∫ (2 x − 1)
1
2
D. 30 .
3
2
B. ln 3 .
2
2
C. 60 .
3
2
là
Trang 20/80
A
1
.
2
B.
3
0
3
A. 3 + 3ln .
2
3
B. 3 + 6 ln .
2
4
Câu 121. Giá trị của tích phân: I = ∫
1
.
2
x +1
(
1+ 1+ 2x
0
A. 2 ln 2 −
C.
1
.
4
D.
2
.
3
x −3
dx là
x +1 + x + 3
∫ 3.
Câu 120. Giá trị của tích phân
1
.
3
)
3
B. −3 + 6 ln .
2
2
3
D. −3 + 3ln .
2
dx là
1
B. 2 ln 2 − .
3
C. 2 ln 2 −
1
.
4
1
D. ln 2 − .
2
( 7 x − 1)99
Câu 122. Giá trị của tích phân: I = ∫
dx là
101
0 ( 2 x + 1)
1
A.
1
2100 − 1 .
900
B.
1
2101 − 1 .
900
C.
1
299 − 1 .
900
D.
1
298 − 1 .
900
C.
1
.
2001.21002
D.
1
.
2002.21002
2
x 2001
dx có giá trị là
(1 + x 2 )1002
1
Câu 123. Tích phân I = ∫
A.
1
.
2002.21001
Câu 124. Giá trị của tích phân
B.
1
.
2001.21001
2π
3
∫ cos(3x −
π
2π
)dx là
3
3
3
.
3
A. −
2
.
3
B. −
C. −
2 3
.
3
D. −
.
D.
2 2
.
3
π
2
Câu 125. Giá trị của tích phân I = ∫ cos 2 x cos 2 xdx là
0
A.
π
6
B.
.
π
8
C.
.
π
4
π
2
.
π
x sin x
dx là
2
1
cos
+
x
0
Câu 126. Giá trị của tích phân: I = ∫
A.
π2
2
B.
.
π2
6
.
C.
π2
8
.
D.
π2
4
.
π
Câu 127. Giá trị tích phân
=
J
2
∫ ( sin
4
x + 1) cos xdx là
0
A.
2
.
5
B.
3
.
5
4
.
5
D.
6
.
5
C. ln 2 .
D.
1
ln 2 .
2
C.
π
2
Câu 128. Giá trị tích phân I = ∫
π
sin x − cos x
dx là
1 + sin 2 x
4
A.
3
ln 2 .
2
B.
1
ln 3 .
2
Trang 21/80
π
sin x
dx là
1 + 3cos x
0
2
Câu 129. Giá trị tích phân I = ∫
A.
2
ln 2 .
3
B.
2
ln 4 .
3
C.
1
ln 4 .
3
D.
1
ln 2 .
3
2
Câu 130. Giá trị của tích phân
=
I 2 ∫ 6 1 − cos3 x .sin x.cos5 xdx là
1
A.
21
.
91
B.
12
.
91
C.
21
.
19
D.
12
.
19
C.
5
.
8
D.
7
.
8
C.
1
.
2
D.
1
.
6
π
cos x
dx là
(sin x + cos x)3
0
4
Câu 131. Giá trị của tích phân I = ∫
A.
1
.
8
B.
3
.
8
π
Câu 132. Giá trị của tích phân I =
2
sin xdx
∫ ( sin x + cos x)
0
A
1
.
4
B.
3
là
1
.
3
π
2
Câu 133. Giá trị của tích phân I = ∫ cos 4 x sin 2 xdx là
0
A. I =
π
32
B. I =
.
π
C. I =
16
.
π
8
.
D. I =
π
4
.
π
2
4
4
6
6
Câu 134. Giá trị của tích phân I =
∫ (sin x + cos x)(sin x + cos x)dx là
0
A. I =
32
π.
128
B. I =
33
π.
128
C. I =
31
π.
128
D. I =
30
π.
128
π
sin 4 x
4
Câu 135. Giá trị của tích phân I = ∫
6
sin x + cos 6 x
1
B. .
3
0
A.
4
.
3
dx là
C.
2
.
3
D.
5
.
3
π
xdx
là
sin x + 1
0
Câu 136. Giá trị của tích phân I = ∫
A. I =
π
4
B. I =
.
π
2
C. I =
.
π
3
.
D. I = π .
π
sin 2007 x
dx là
sin 2007 x + cos 2007 x
0
2
Câu 137. Giá trị của tích phân I = ∫
A. I =
π
2
B. I =
.
π
4
.
C. I =
3π
.
4
D. I =
5π
.
4
π
2
Câu 138. Giá trị của tích phân ∫ cos11 xdx là
0
Trang 22/80
A.
250
.
693
254
.
693
B.
C.
252
.
693
D.
256
.
693
C.
63π
.
512
D.
65π
.
512
π
2
Câu 139. Giá trị của tích phân ∫ sin10 xdx là
0
A.
67π
.
512
61π
.
512
B.
1
dx
là
1 + ex
0
Câu 140. Giá trị của tích phân I = ∫
2e
A. ln
.
e +1
e
B. ln
.
e +1
Câu 141. Giá trị của tích phân I =
ln 5
e 2 x dx
∫
ex −1
10
B.
.
3
e
C. 2 ln
.
e +1
2e
D. 2 ln
.
e +1
là
ln 2
A.
5
.
3
Câu 142. Giá trị của tích phân
=
I
ln 2
∫
e x − 1dx là
B.
4 −π
.
2
C.
20
.
3
D.
2
.
3
C.
5 −π
.
3
D.
5 −π
.
2
0
A.
4 −π
.
3
Câu 143. Giá trị của tích phân I =
ln 3
∫
0
A. 2 2 − 1 .
(e
B.
Câu 144. Giá trị của tích phân I =
e2
ex
x
+ 1)
3
dx là
C.
2 −1.
dx
∫ x ln x
2 −2.
D. 2 2 − 2 .
là
e
A. 2 ln 3 .
B. ln 3 .
Câu 145. Giá trị của tích phân: I =
ln 3
∫e
A. 2 ln 2 − 1 .
Câu 146. Cho M =
∫e
0
A.
e dx
−1 + ex − 2
B. 2ln3 – 1.
ln 2
ln 2
2x
3x
x
C. ln 2 .
D. 2 ln 2 .
C. ln 3 − 1 .
D. ln 2 − 1 .
là
2x
2e + e − 1
dx . Giá trị của e M là
+ e2 x − e x + 1
3x
7
.
4
B.
9
.
4
C.
11
.
4
D.
5
.
4
B.
3 3 5 3 4
3 − 2 .
8
C.
3 3 4 3 5
3 − 2 .
8
D.
3 3 4 3 4
3 − 2 .
8
e
ln x 3 2 + ln 2 x
Câu 147. I = ∫
dx .
x
1
A
3 3 5 3 5
3 − 2 .
8
1
ln(1 + x)
dx là
2
+
1
x
0
Câu 148. Giá trị của tích phân I = ∫
A. I =
π
8
ln 3 .
B. I =
π
4
ln 2 .
C. I =
π
8
ln 3 .
D. I =
π
8
ln 2 .
Trang 23/80
Câu 149. Cho hàm số f(x) liên tục trên và thỏa f (− x) + 2 f ( x) =
cos x . Giá trị của tích phân
π
I=
2
∫π
−
f ( x)dx là
2
1
.
3
II. VẬN DỤNG CAO
A. I =
B. I =
4
.
3
2
.
3
C. I =
D. I = 1 .
2
Câu 150. Tìm hai số thực A, B sao cho
=
f ( x) A sin π x + B , biết rằng f '(1) = 2 và ∫ f ( x)dx = 4 .
0
A = −2
A.
2.
B = − π
A = 2
B.
2.
B = − π
Câu 151. Giá trị của a để đẳng thức
A = −2
C.
2 .
B = π
2
4
2
3
∫ a + (4 − 4a) x + 4 x dx =
∫ 2 xdx là đẳng thức đúng
1
A. 4.
a
∫x
0
A.
π
4a
2
B. 3.
Câu 152. Giá trị của =
tích phân I
B.
.
2
A = −
D.
π.
B = 2
2
C. 5.
D. 6.
dx
( a > 0) là
+ a2
π2
4a
C. −
.
π2
4a
D. −
.
π
4a
.
π
cos x
dx là
2 + cos 2 x
3
Câu 153. Giá trị của tích phân I = ∫
0
A.
π
4 2
B.
.
π
2 2
.
C.
4π
.
2
D.
−π
.
2
1
dt
. Tích phân nào sau đây có giá trị bằng với giá trị của tích phân đã cho.
2
+
t
1
x
Câu 154. Cho I = ∫
x
x
dt
.
2
1 1+ t
dt
.
1+ t2
1
A. − ∫
B. ∫
1
x
1
x
dt
.
2
1 1+ t
dt
.
2
1 1+ t
D. − ∫
C. ∫
π
2
Câu 155. Giá trị của tích phân I = ∫
π
1
ln(sin x)dx là
sin 2 x
6
A − 3 ln 2 + 3 +
π
C. − 3 ln 2 − 3 −
3
π
3
π
.
B. 3 ln 2 + 3 −
.
D. − 3 ln 2 + 3 −
3
.
π
3
.
2
Câu 156. Giá trị của tích phân I = ∫ min {1, x 2 } dx là
0
3
.
4
−3
dx
Câu 157. Giá trị của tích phân I = ∫
dx là
−8 x 1 − x
A. 4 .
B.
C.
4
.
3
3
D. − .
4
Trang 24/80
2
A. ln .
3
B. 2 .
C. − ln 2 .
D. 2 ln 2 .
a
x3 − 2 ln x
1
Câu 158. Biết I= ∫
+ ln 2 . Giá trị của a là
dx=
2
x
2
1
A. 2.
C. π .
B. ln 2 .
Câu=
159. Cho I1
π
2
sin 2 x
dx . Khẳng định nào sau đây là sai ?
2
+
x
(sin
2)
0
2
∫ cos x 3sin x + 1dx , I 2 = ∫
0
A. I1 =
D. 3.
π
14
.
9
3 3
B.
=
I 2 2 ln + .
2 2
B. I1 > I 2 .
3 2
D.
I 2 2 ln − .
=
2 3
m
6 là
∫ ( 2 x + 5) dx =
Câu 160. Tất cả các giá trị của tham số m thỏa mãn
0
A. m = 1, m = −6 .
B. m =
−1, m =
−6 .
C. m =
−1, m =
6.
D. =
m 1,=
m 6.
π
Câu 161. Cho hàm số h( x) =
2
sin 2 x
a cos x
b cos x
.
Tìm
để
và
tính
=
+
h
x
(
)
I
=
∫0 h( x)dx
(2 + sin x) 2
(2 + sin x) 2 2 + sin x
2
3
2
3
A. a =
B. a =4, b =−2; I =− − 2 ln .
−4, b =
2; I =
+ 2 ln .
3
2
3
2
1
3
1
3
D. a =
C. a= 2, b= 4; =
I − + 4 ln .
−2, b =
4; I =
+ 4 ln .
3
2
3
2
Câu 162. Giá trị trung bình của hàm số y = f ( x ) trên [ a; b ] , kí hiệu là m ( f ) được tính theo công
b
1
thức m ( f ) =
f ( x ) dx . Giá trị trung bình của hàm số f ( x ) = sin x trên [ 0; π ] là
b − a ∫a
A.
4
π
B.
.
3
π
C.
.
1
π
D.
.
2
π
.
π
1
dx
, J
=
3x + 1
0
Câu 163. Cho ba tích phân I = ∫
nào có giá trị bằng
A. K.
21
?
2
4
∫ ( sin
B. I.
B. ln
2
∫ (x
∫x
a−2
.
a −1
2
2
+ 3 x + 1) dx . Tích phân
−1
C. J.
a
0
a−2
.
2a − 1
x − cos 4 x ) dx và K=
0
Câu 164. Với 0 < a < 1 , giá trị của tích phân sau
A. ln
4
D. J và K.
dx
dx là:
− 3x + 2
C. ln
a−2
.
2 ( a − 1)
D. ln
a−2
.
2a + 1
1
4 x3
dx =
0 . Khi đó giá trị của 144m 2 − 1 bằng
4
2
( x + 2)
0
Câu 165. Cho 2 3m − ∫
−2
2 3
2 3
.
B. 4 3 − 1 .
C.
.
D. −
.
3
3
3
Câu 166. Cho hàm số f liên tục trên đoạn [a; b] và có đạo hàm liên tục trên ( a; b ) , đồng thời thỏa mãn
A.
f (a ) = f (b) . Lựa chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau
A.
b
∫ f '( x).e
a
f ( x)
dx = 2 .
B.
b
∫ f '( x).e
f ( x)
dx = 1 .
a
Trang 25/80
