Đề thi thử THPT QG môn Toán năm 2020 lần 1 - THPT Bỉm Sơn, Thanh Hóa

ĐỀ THI THỬ TNTHPT QUỐC GIA LẦN 1
NĂM HỌC 2019 – 2020
Môn: Toán
Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT BỈM SƠN

Câu 1.

(

A. P = 6 .

Câu 2.

Câu 3.

) (
2

Tính giá trị của biểu thức P = 1 + 3i + 1 − 3i
B. P = 4 .

)

2

.

C. P = −6 .

D. P = −4 .

x= 1+ t

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :  y= 2 − 4t . Hỏi d đi qua điểm nào
 z= 3 − 5t

dưới đây?
A. M (1; − 4; − 5 ) .
B. N ( 3;6;8 ) .
C. P ( −1; 2;3) .
D. Q ( 0;6;8 ) .
Cho hình chóp đều S . ABC có chiều cao bằng a , cạnh bên bằng 2a . Tính thể tích V của khối
chóp S . ABC .

9a 3 3
a3 3
3a 3 3
a3 3
V
=
V
=
V
=
.
B.
.
C.

.
D.
.
4
4
12
4
Biết đường cong trong hình dưới là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn
phương án A, B, C, D dưới đây:
A. V =

Câu 4.

Câu 5.
Câu 6.

Câu 7.

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
4
2
2
− x3 + 3x + 1 . D. y = x3 − 3x + 1 .
A. y = x − x + 1 .
B. y =− x + x − 1 .
C. y =
Thể tích khối cầu có bán kính R là
1
4
3

A. π R 3 .
B. π R 3 .
C. π R 3 .
D. 4π R 3 .
3
3
4
Cho hình lăng trụ đứng ABCD. A′B′C ′D′ có đáy là hình thoi, biết AA′ = 4a , BD = a , AC = 2a .
Thể tích của khối lăng trụ là
8
A. V = 2a 3 .
B. V = 4a 3 .
C. V = a 3 .
D. V = 8a 3 .
3
0 . Véc tơ nào dưới đây là
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : y − 2 z + 1 =
véc tơ pháp tuyến của ( P ) ?


n (1; −2;0 ) .
n
A. =
B.=

Câu 8.

Câu 9.

( 0;1; −2 ) .


n
C. =



(1; −2;1) .
D. n = ( 0; 2; 4 ) .
điểm A ( 2;1;1) , B ( −1; 2;1) . Tìm tọa độ điểm

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho 2
A′ đối xứng với điểm A qua điểm B .
A. A′ ( 3; 4; −3) .
B. A′ ( −4;3;1) .
C. A′ ( 4; −3;3) .

D. A′ ( 4;3;3) .

Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân theo công thức S = A.e rt , trong đó A là số lượng vi
khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng ( r > 0 ), t là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi
khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con. Hỏi sau 10 giờ có bao nhiêu con vi khuẩn?
A. 900 con.
B. 800 con.
C. 700 con.
D. 600 con.
Trang 1/24 - WordToan


log 3 x 4 log 3 a + 7 log 3 b

Câu 10. Cho a, b là các số dương. Tìm x biết =
1

1

A. x = a 4 b 7 .
B. x = a 4b 7 .
C. x = a 4b 7 .
Câu 11. Số giao điểm của đồ thị hàm số =
y x 3 − 4 x và trục hoành là:
A. 0.
B. 2.
C. 3.
5

5

1

1

Câu 12. Cho biết=
Tính K
∫ f ( x ) dx 6,=
∫ g ( x ) dx 8 . =

5

A. x = 2 .

B. y =

1
.
2

1
Câu 15. Tập nghiệm của bất phương trình  
3
A. ( 3; + ∞ ) .
B. ( −∞ ;1) .

D. 4.

∫ 4 f ( x ) − g ( x ) dx .
1

A. K = 16 .
B. K = 61 .
C. K = 5 .
4
2
Câu 13. Điểm nào sau đây không thuộc đồ thị hàm số y =x − 2 x − 1 ?
A. (1; −2 ) .
B. ( 2; 7 ) .
C. ( 0; −1) .
Câu 14. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =

D. x = a 7b 4 .

x +1
có phương trình là:
2x − 4
1
C. y = − .
4

D. K = 6 .
D. ( −1; 2 ) .

D. x = −1 .

x2 − 4 x

< 27 là
C. (1;3) .

D. ( −∞ ;1) ∪ ( 3; + ∞ ) .

Câu 16. Cho cấp số cộng ( un ) có u1 = −2 và công sai d = 3 . Tìm số hạng u10 .
A. u10 = 28 .

B. u10 = −29 .

C. u10 = −2.39 .

x2  3
trên đoạn  2; 4 .
x 1
19

min y  3 .
B. min y  .
 2;4
 2;4
3

D. u10 = 25 .

Câu 17. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y 
A.
min y  2 .

C. min y  6 . D.
 2;4

 2;4

Câu 18. Cho hình chóp S . ABCD , có đáy là hình vuông cạnh bằng x . Cạnh bên SA  x 6 và vuông góc
với mặt phẳng  ABCD  . Tính theo x diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S . ABCD .
2
2
2
2
C. 2x .
D. 2x .
A. 8x .
B. x 2 .
Câu 19. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A ' B ' C ' D ' có AB = a 3 và AD = a . Góc giữa hai đường thẳng
B ' D ' và AC bằng
A. 450 .

B. 600 .
C. 900 .
D. 300 .
Câu 20. Hàm số y = f ( x ) xác định liên tục trên khoảng ( −∞; +∞ ) và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ

bên:
y

4

3
x
-1

O1

Hàm số f ( x ) đạt cực tiểu tại điểm nào dưới đây?
A. x = 3 .
B. x = 0 .
C. x = −1 .
D. x = 1 .
Câu 21. Cho khối trụ có bán kính đáy bằng 5 và có diện tích xung quanh bằng 30π . Tính thể tích V của
khối trụ đó.
Trang 2/24 – Diễn đàn giáo viên Toán


A. V = 65π .
B. V = 56π .
C. V = 75π .
2

y log 2 ( x − 2 x − 3) .
Câu 22. Tìm tập xác định của hàm số=
A. D =
C. D =

( −∞; −1) ∪ ( 3; +∞ ) .
( −1;3) .

B. D =

D. V = 57π .

( −∞; −1] ∪ [3; +∞ ) .

D. [ −1;3] .

Câu 23. Cho hàm số y  f  x có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng 1; 0 và 0;1 .
B. Hàm số đồng biến trên các khoảng  ; 1 và 0;1 .
C. Hàm số đồng biến trên các khoảng 1; 0 và 1;  .
D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 1 và 0;1 .
2  i
Câu 24. Tìm số phức liên hợp của số phức z 
i
A. z  1 2i .
B. z  1  i .
C. z  1 i .
D. z  1  2i .

Câu 25. Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình thang cong giới
hạn bởi đồ thị hàm số liên tục y  f  x , trục Ox và hai đường thẳng x  a, x  b a  b , xung
quanh trục Ox .
b

A. V = π ∫ f
a

2

( x ) dx .

b

B. V = ∫ f

2

( x ) dx .

a

b

C. V = π ∫ f ( x ) dx .
a

b

D. V = ∫ f ( x ) dx .

a

Câu 26. Cho tập hợp T gồm 7 phần tử khác nhau. Số tập hợp con gồm 3 phần tử của tập hợp T là
7!
A.
.
B. 21 .
C. A73 .
D. C73 .
3!
Câu 27. Tìm các số thực x, y thỏa mãn 2 x − 1 + (1 − 2 y ) i = 2 − x + ( 3 y + 2 ) i .

1
1
3
x 3;=
y
A. x = 3; y = − .
B. x = 1; y = − .
C.=
.
5
5
5
Câu 28. Cho hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a < 0, b > 0, c < 0 .
C. a < 0, b < 0, c < 0 .
Câu 29. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau

x 1;=
y
D.=

3
.
5

B. a > 0, b > 0, c < 0 .
D. a < 0, b > 0, c > 0 .

Trang 3/24 - WordToan


Số nghiệm của phương trình f ( x ) + 3 =
0 là
A. 1.
B. 3 .
C. 2 .
D. 4 .
Câu 30. Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu có tâm I ( 3; − 3;1) và đi qua điểm

M ( 5; − 2;1) ?

5.
A. ( x − 3) + ( y + 3) + ( z − 1) =

B. ( x − 3) + ( y + 3) + ( z − 1) =5 .

25 .
C. ( x − 3) + ( y + 3) + ( z − 1) =

4.
D. ( x − 3) + ( y + 3) + ( z − 1) =

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Câu 31. Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức z .

Tính mô-đun của số phức w= z + iz
A. w = 28 .

B. w = 182 .

C. w = 128 .

D. w = 12 .
2

2

0 . Tính=
P z1 + z2
Câu 32. Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình z 2 − 2 z + 5 =
A. 10 .
B. 5 .
C. 12 . D. 4 .
Câu 33. Kí hiệu S ( t ) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y =2 x + 1, y =0, x =1, x =t (t > 1).
Tìm t để S (t ) = 10
A. t = 4 .
B. t = 13 .
C. t = 3 .
D. t = 14 .
Câu 34. Thiết diện của một khối trụ đi qua trục là hình vuông có cạnh bằng 2a. Tính diện tích toàn phần của
khối trụ đó.
A. 3π a 2 .
B. 8π a 2 .

C. 16π a 2 .
D. 6π a 2 .
Câu 35: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (α ) : x + 2 y + 3z − 6 =
0 và đường thẳng

x +1 y +1 z − 3
=
=
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
−1
−1
1
A. ∆ ⊥ (α ) .
B. ∆ cắt và không vuông góc với (α ) .
∆:

C. ∆ ⊂ (α ) .

D. ∆ // (α ) .

2

Câu 36: Biết rằng ∫ ln ( x + 1) dx = a ln 3 + b ln 2 + c với a, b, c là các số nguyên. Tính S = a + b + c được
1

A. S = −2 .
B. S = 2 .
C. S = 1 .
D. S = 0 .
AB a=

, AD 2a . Tam giác SAB cân tại
Câu 37. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,=
S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABCD )
Trang 4/24 – Diễn đàn giáo viên Toán


bằng 45° . Gọi M là trung điểm của SD , hãy tính theo a khoảng cách từ M đến mặt phẳng
( SAC ) .

2a 1513
a 1315
2a 1315
a 1513
.
.
.
.
B. d =
C. d =
D. d =
89
89
89
89
Câu 38. Biết rằng trong tất cả các cặp ( x ; y ) thỏa mãn log 2 ( x 2 + y 2 + 2 ) ≤ 2 + log 2 ( x + y − 1) chỉ có duy
A. d =

0 . Khi đó hãy tính tổng tất cả các giá trị của m tìm
nhất một cặp ( x ; y ) thỏa mãn: 3 x + 4 y − m =

được?
A. 20.

B. 14.
C. 46.
D. 28.
Câu 39. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a 2 . Một
thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 60° . Diện tích của thiết diện này bằng
a2 2
a2 2
a2 2
2
2a
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
2
4
3
π

2

Câu 40. Xét tích phân I = ∫
0

sin 2 x
dx . Nếu đặt =
t
1 + cos x
2

2

2
−4 ∫ ( t 2 − 1) dt . =
A. I =
B. I 4 ∫ ( t − 1) dt .

1 + cos x , ta được
C. I =

1

1

1

4t 3 − 4t
∫ t dt .
2

D. I =

1

−4t 3 + 4t
∫ t dx .
2

ABC = 300 , BC = a , hai mặt phẳng
Câu 41. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông tại A , 
( SAB ) , ( SAC ) cùng vuông góc với mặt đáy, mặt bên ( SBC ) tạo với đáy góc 450 . Thể tích khối
chóp S . ABC là
a3
A.
.
64

a3
a3
a3
B.
.
C.
.
D.
.
16
9
32
m sin x + 1
Câu 42. Cho hàm số y =
có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ −5;5]
cosx + 2

để giá trị nhỏ nhất của y nhỏ hơn −1 .
A. 4 .
B. 2 .
C. 6 .
D. 8 .
x
 π π
Câu 43. Cho hàm số f ( x ) =
trên  − ;  và F ( x ) là một nguyên hàm của x. f ′ ( x ) thỏa mãn
2
 2 2
cos x
 π π
F ( 0 ) = 0 . Biết a ∈  − ;  thỏa mãn tan a = 3 . Tính giá trị biểu thức T = F ( a ) − 10a 2 + 3a .
 2 2
1
1
1
A. − ln10 .
B. ln10 .
C. − ln10 .
D. ln10 .
2
2
4
Câu 44. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên  và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên dưới. Đặt
g ( x ) = f  f ( x )  . Tìm số nghiệm của phương trình g ′ ( x ) = 0 .

A. 8 .

B. 2 .

C. 4 .

D. 6 .
Trang 5/24 - WordToan


Câu 45. Trường trung học phổ thông Bỉm Sơn có 23 lớp, trong đó khối 10 có 8 lớp, khối 11 có 8 lớp, khối
12 có 7 lớp, mỗi lớp có một chi đoàn, mỗi chi đoàn có một em làm bí thư. Các em bí thư đều giỏi
và rất năng động nên Ban chấp hành Đoàn trường chọn ngẫu nhiên 9 em bí thư đi thi cán bộ đoàn
giỏi cấp thị xã. Tính xác suất để 9 em được chọn có đủ cả ba khối?
7345
7012
7234
7123
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
7429
7429
7429
7429
Câu 46. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A (1; 4;5 ) , B ( 3; 4;0 ) , C ( 2; −1;0 ) và mặt phẳng

12 . Gọi điểm
( P ) : 3x − 3 y − 2 z =

M ( a; b; c ) thuộc ( P ) sao cho MA2 + MB 2 + 3MC 2 đạt giá trị

nhỏ nhất. Tính tổng a + b + c
A. 3 .
B. 2 .
C. −2 .
D. −3 .
Câu 47. Một người vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất là 0, 7% / tháng theo thỏa thuận cứ mỗi tháng
người đó sẽ trả cho ngân hàng 5 triệu đồng và cứ trả hàng tháng như thế cho đến khi hết nợ (tháng
cuối cùng có thể trả dưới 5 triệu). Hỏi sau bao nhiêu tháng thì người đó trả được hết nợ ngân hàng?
A. 21 .
B. 22 .
C. 23 .
D. 24 .
2
2
Câu 48. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình log 2 x − log 2 x + 3 =
m có nghiệm x ∈ [1;8] .
A. 2 ≤ m ≤ 6

B. 3 ≤ m ≤ 6
C. 6 ≤ m ≤ 9
D. 2 ≤ m ≤ 3 .
ax + b
y f=
=
(với a, b, c, d ∈  , c ≠ 0 , d ≠ 0 ) có đồ thị là ( C ) . Biết đồ thị của

Câu 49. Cho hàm số
( x)
cx + d
hàm số y = f ′ ( x ) như hình vẽ dưới

Biết đồ thị ( C ) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 . Tiếp tuyến của ( C ) tại giao điểm của

( C ) với trục hoành có phương trình là
0.
A. x − 3 y − 2 =

0.
B. x − 3 y + 2 =

0.
C. x + 3 y − 2 =

(

2

)

0.
D. x + 3 y + 2 =

Câu 50. Xét các số thực dương x. y thỏa mãn log 1 x + log 1 y ≤ log 1 x + y . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của
2

biểu thức P= x + 3 y .

A. Pmin =

17
.
2

B. Pmin = 8 .

2

C. Pmin = 9 .

------ HẾT ------

Trang 6/24 – Diễn đàn giáo viên Toán

2

D. Pmin =

25 2
.
4


ĐỀ THI THỬ TNTHPT QUỐC GIA LẦN 1
NĂM HỌC 2019 – 2020
Môn: Toán
Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ
TRƯỜNG THPT BỈM SƠN

BẢNG ĐÁP ÁN
1
D
26
D

2
D
27
B

3
C
28
A

4
D
29
B

5
A
30
A

6

B
31
C

7
B
32
A

8
B
33
A

9
A
34
D

10
C
35
C

11
C
36
D

12

A
37
D

13
D
38
D

14
B
39
A

15
D
40
B

16
D
41
D

17
C
42
C

18

A
43
B

19
B
44
A

20
B
45
C

21
C
46
A

22
A
47
B

23
B
48
A

24

A
49
C

25
A
50
C

LỜI GIẢI CHI TIẾT
Câu 1.

(

B. P = 4 .

A. P = 6 .
Chọn D

(

) (
2

P = 1 + 3i + 1 − 3i
Câu 2.

) (
2

Tính giá trị của biểu thức P = 1 + 3i + 1 − 3i

)

2

)

2

.

C. P = −6 .
Lời giải

D. P = −4 .

= 1 + 2 3i + 3i 2 + 1 − 2 3i + 3i 2 = 2 + 6i 2 = 2 − 6 = −4 .

x= 1+ t

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d :  y= 2 − 4t . Hỏi d đi qua điểm nào
 z= 3 − 5t

dưới đây?
A. M (1; − 4; − 5 ) .
B. N ( 3;6;8 ) .
C. P ( −1; 2;3) .
D. Q ( 0;6;8 ) .
Lời giải

Chọn D
x −1 y − 2 z − 3
Phương trình chính tắc của d : = =
.
−4
−5
1
Thay tọa độ điểm M (1; − 4; − 5 ) vào phương trình chính tắc của d ta được:
1 − 1 −4 − 2 −5 − 3
= =
(không thỏa mãn) ⇒ M ∉ d .
−4
−5
1
Thay tọa độ điểm N ( 3;6;8 ) vào phương trình chính tắc của d ta được:
3 −1 6 − 2 8 − 3
= =
(không thỏa mãn) ⇒ N ∉ d .
−4
−5
1
Thay tọa độ điểm P ( −1; 2;3) vào phương trình chính tắc của d ta được:
−1 − 1 2 − 2 3 − 3
= =
(không thỏa mãn) ⇒ P ∉ d .
1
−4
−5
Thay tọa độ điểm Q ( 0;6;8 ) vào phương trình chính tắc của d ta được:

Câu 3.

0 −1 6 − 2 8 − 3
=
=
= −1 (thỏa mãn) ⇒ Q ∈ d .
1
−4
−5
Cho hình chóp đều S . ABC có chiều cao bằng a , cạnh bên bằng 2a . Tính thể tích V của khối chóp
S . ABC .
a3 3
9a 3 3
3a 3 3
a3 3
A. V =
.
B. V =
.
C. V =
.
D. V =
.
4
4
12
4
Lời giải
Chọn C
Trang 7/24 - WordToan

Gọi O là tâm tam giác đều ABC , M là trung điểm của BC .
Khi đó SO là đường cao của hình chóp đều S . ABC .
Ta có:
3
3
3a 3
AM =
AO =
SA2 − SO 2 =
.
2
2
2
3a 3

=
BC 2=
BM 2 AM tan BAM
= 2.
.tan=
30° 3a .
2
Thể tích V của khối chóp S . ABC là:
1
1
1
1 1 3a 3
3a 3 3

=
V =
.SO.S ∆ABC
.SO. =
. AM .BC
.a. =
.
.3a
.
3
3
2
3 2 2
4
Câu 4. Biết đường cong trong hình dưới là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số được liệt kê ở bốn
phương án A, B, C, D dưới đây:

Câu 5.

Câu 6.

Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
− x3 + 3x + 1 . D. y = x3 − 3x + 1 .
A. y = x 4 − x 2 + 1 .
B. y =− x 2 + x − 1 .
C. y =
Lời giải
Chọn D
Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của một hàm số bậc ba y = ax3 + bx 2 + cx + d với hệ số a > 0.
Thể tích khối cầu có bán kính R là

1
4
3
A. π R 3 .
B. π R 3 .
C. π R 3 .
D. 4π R 3 .
3
3
4
Lời giải
Chọn A
Cho hình lăng trụ đứng ABCD. A′B′C ′D′ có đáy là hình thoi, biết AA′ = 4a , BD = a , AC = 2a .
Thể tích của khối lăng trụ là
8
A. V = 2a 3 .
B. V = 4a 3 .
C. V = a 3 .
D. V = 8a 3 .
3
Lời giải
Chọn B

Trang 8/24 – Diễn đàn giáo viên Toán


1
′. AC.BD 4a 3 .
AA=
2

0 . Véc tơ nào dưới đây là
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : y − 2 z + 1 =
′.S ABCD
=
=
VABCD
AA
. A′B′C ′D′

Câu 7.

véc tơ pháp tuyến của ( P ) ?


A. =
B.=
n
n (1; −2;0 ) .

( 0;1; −2 ) .


n
C. =

(1; −2;1) .


D. n = ( 0; 2; 4 ) .

Lời giải

Chọn B

0 có một véc tơ pháp tuyến là=
Mặt phẳng ( P ) : y − 2 z + 1 =
n
Câu 8.

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho 2 điểm
đối xứng với điểm A qua điểm B .
A. A′ ( 3; 4; −3) .
B. A′ ( −4;3;1) .

Câu 9.

( 0;1; −2 ) .
A ( 2;1;1) , B ( −1; 2;1) . Tìm tọa độ điểm

C. A′ ( 4; −3;3) .

A′

D. A′ ( 4;3;3) .

Lời giải
Chọn B
Điểm A′ đối xứng với điểm A qua điểm B ⇒ B là trung điểm của đoạn AA′ ⇒ Tọa độ A′
x A + x A′


 xB =
2
 x A′ =2 xB − x A =2.( −1) − 2 =−4

y A + y A′


thỏa:  yB=
⇔  y A′= 2 yB − y A= 2.2 − 1= 3
2


 z A′ = 2 z B − z A = 2.1 − 1= 1
z A + z A′

 zB =
2

Vậy tọa độ A′ ( −4;3;1) .

Sự tăng trưởng của một loại vi khuẩn tuân theo công thức S = A.e rt , trong đó A là số lượng vi
khuẩn ban đầu, r là tỉ lệ tăng trưởng ( r > 0 ), t là thời gian tăng trưởng. Biết rằng số lượng vi
khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con. Hỏi sau 10 giờ có bao nhiêu con vi khuẩn?
A. 900 con.
B. 800 con.
C. 700 con.
D. 600 con.
Lời giải
Chọn A
Vì số lượng vi khuẩn ban đầu là 100 con và sau 5 giờ có 300 con nên thay vào công thức ta được:

ln 3
.
300 = 100.e r .5 ⇔ e5 r = 3 ⇔ 5r = ln 3 ⇔ r =
5
Vậy sau 10 giờ số lượng vi khuẩn là:
ln 3

.10

2ln 3
2
5
S 100.e
100.e
100.3
900 (con).
=
=
=
=
log 3 x 4 log 3 a + 7 log 3 b
Câu 10. Cho a, b là các số dương. Tìm x biết =
1
4

A. x = a b .
7

1
7

B. x = a b .
4

C. x = a 4b 7 .
Lời giải

D. x = a 7b 4 .

Chọn C
Ta có: log 3 x = 4 log 3 a + 7 log 3 b ⇔ log 3 x = log 3 a 4 + log 3 b 7 ⇔ log 3 x = log 3 a 4b 7 ⇔ x = a 4b 7 .
Trang 9/24 - WordToan


Câu 11. Số giao điểm của đồ thị hàm số =
y x 3 − 4 x và trục hoành là:
A. 0.
B. 2.
C. 3.
Lời giải
Chọn C

D. 4.

x = 0
Phương trình hoành độ giao điểm: x − 4 x =0 ⇔ x ( x − 4 ) =0 ⇔  x =−2 .
 x = 2
Do đó số giao điểm của đồ thị hàm số và trục hoành là 3.
3

5

5

1

1

2

5

Câu 12. Cho biết=
Tính K
∫ f ( x ) dx 6,=
∫ g ( x ) dx 8 . =
A. K = 16 .
Chọn A
Ta có K =

B. K = 61 .

∫ 4 f ( x ) − g ( x ) dx .
1

C. K = 5 .
Lời giải

5

5

5

1

1

1

D. K = 6 .

∫ 4 f ( x ) − g ( x ) dx= 4∫ f ( x ) dx − ∫ g ( x ) dx= 4.6 − 8= 16 .

Câu 13. Điểm nào sau đây không thuộc đồ thị hàm số y =x 4 − 2 x 2 − 1 ?
A. (1; −2 ) .
B. ( 2; 7 ) .
C. ( 0; −1) .

D. ( −1; 2 ) .

Lời giải

Chọn D
Xét từng đáp án:
+ Thay x = 1; y = −2 vào hàm số đã cho ta được: −2 =14 − 2.12 − 1 =−2 . Suy ra điểm có tọa độ
(1; −2 ) thuộc đồ thị hàm số đã cho. Loại A.

x 2;=
y 7 vào hàm số đã cho ta được: 7 = 24 − 2.22 − 1 = 7 . Suy ra điểm có tọa độ ( 2;7 )

+ Thay=
thuộc đồ thị hàm số đã cho. Loại B.
+ Thay x = 0; y = −1 vào hàm số đã cho ta được: −1 =04 − 2.02 − 1 =−1 . Suy ra điểm có tọa độ
( 0; −1) thuộc đồ thị hàm số đã cho. Loại C.
−2 (vô lý). Suy ra điểm
−1; y =
2 vào hàm số đã cho ta được: 2 =
+ Thay x =
( −1) − 2. ( −1) − 1 =
4

2

có tọa độ ( −1; 2 ) không thuộc đồ thị hàm số đã cho. Chọn D.
Câu 14. Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y =
B. y =

A. x = 2 .

1
.
2

Chọn B
Tập xác định: D =  \ {2} .

=
lim y
Vì
x →−∞

1
Ta có:  
3

D. x = −1 .

1
1
1
=
, lim y
nên đồ thị hàm số đã cho có đường tiệm cận ngang là y = .
2 x →+∞
2
2

1
Câu 15. Tập nghiệm của bất phương trình  
3
A. ( 3; + ∞ ) .
B. ( −∞ ;1) .
Chọn D

x +1
có phương trình là:
2x − 4
1
C. y = − .
4

Lời giải

x2 − 4 x

< 27 ⇔ 3− x

2

Trang 10/24 – Diễn đàn giáo viên Toán

+4 x

x2 − 4 x

< 27 là
C. (1;3) .
Lời giải

D. ( −∞ ;1) ∪ ( 3; + ∞ ) .

x < 1
< 33 ⇔ − x 2 + 4 x < 3 ⇔ − x 2 + 4 x − 3 < 0 ⇔ 
.
x > 3


x2 − 4 x

1
< 27 là ( −∞ ;1) ∪ ( 3; + ∞ ) .

Vậy tập nghiệm của bất phương trình  
3
Câu 16. Cho cấp số cộng ( un ) có u1 = −2 và công sai d = 3 . Tìm số hạng u10 .
A. u10 = 28 .

B. u10 = −29 .

C. u10 = −2.39 .
Lời giải

D. u10 = 25 .

Chọn D
Vì un  là cấp số cộng nên ta có: u10 =u1 + 9d =−2 + 9.3 =25 .

x2  3
Câu 17. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y 
trên đoạn  2; 4 .
x 1
19
A.
B. min y  .
min y  3 .
 2;4
 2;4
3
min y  2 .

C. min y  6 . D.
 2;4

 2;4

Lời giải

Chọn C
Xét trên  2; 4
Ta có y  

x2  2x  3
2

 x 1

; y  0 

y (2)  7, y (3)  6, y (4) 

Vậy min y  6 .

19
.
3

x2  2x  3
2

 x 1

 x  1   2; 4

 0  
.
 x  3   2; 4

 2;4

Câu 18. Cho hình chóp S . ABCD , có đáy là hình vuông cạnh bằng x . Cạnh bên SA  x 6 và vuông góc
với mặt phẳng  ABCD  . Tính theo x diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S . ABCD .
B. x 2 2 .

A. 8x 2 .
Chọn A

C. 2x 2 .
Lời giải

D. 2x 2 .

+ Ta có SA  ( ABCD)  SA  AC , SA  BC , SA  CD .


BC  SA

CD  SA

 CD  SD .
 BC  SB , 





BC
AB
CD

AD








Vậy SAC  SBC  SDC  90o do đó A, B, D, S , C thuộc mặt cầu đường kính SC .
+ Ta có AC  2 x , SC  SA2  AC 2  2 2 x . R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp
SC
S . ABCD khi đó R 
 2 x . Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S . ABCD bằng
2
S  4R 2  4



2



2 x  8x 2 .

Câu 19. Cho hình hộp chữ nhật
B ' D ' và AC bằng

ABCD.A ' B ' C ' D ' có AB = a 3 và AD = a . Góc giữa hai đường thẳng
Trang 11/24 - WordToan


A. 450 .

B. 600 .

C. 900 .
Lời giải

D. 300 .

D'

C'

A'

B'

D

C

O

a

A

B

a 3

(

) (

)



' D ', AC = BD
, AC .
Vì ABCD.A ' B ' C ' D ' là hình hộp chữ nhật nên BD / / B ' D ' suy ra B

ABCD là hình chữ nhật có AB = a 3 và AD = a nên BD = AB 2 + AD 2 =
2a =
AC
⇒ OD =
OA ==
a AD do đó tam giác OAD là tam giác đều ⇒ 
AOD =
600 .

(


,=
AC )
) ( BD


' D ', =
AC
Vậy B


AOD
= 600 .

Câu 20. Hàm số y = f ( x ) xác định liên tục trên khoảng ( −∞; +∞ ) và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ
bên:
y

4

3
x
-1

O1

Hàm số f ( x ) đạt cực tiểu tại điểm nào dưới đây?
A. x = 3 .

B. x = 0 .

C. x = −1 .
Lời giải

D. x = 1 .

Chọn B
Dựa vào đồ thị hàm số như hình vẽ ta có bảng biến thiên:

x

∞
+

y'

1

0

0

0

∞

+

+∞

0
4

4

y

1

3

∞

Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số đạt cực tiểu tại điểm x = 0 .
Câu 21. Cho khối trụ có bán kính đáy bằng 5 và có diện tích xung quanh bằng 30π . Tính thể tích V của
khối trụ đó.
A. V = 65π .
B. V = 56π .
C. V = 75π .
D. V = 57π .
Lời giải
Chọn C
Trang 12/24 – Diễn đàn giáo viên Toán


Áp dụng công thức tính diện tích xung quanh của hình trụ ta có:
S xq= 2π rl ⇔ 2π .5.=
l 30π ⇔ =
l 3.

Vì là hình trụ nên h= l = 3 . Do đó
=
V π=
r 2 .h π=
.52.3 75π .
Câu 22. Tìm tập xác định của hàm số=
y log 2 ( x 2 − 2 x − 3) .

( −∞; −1) ∪ ( 3; +∞ ) .
( −1;3) .

A. D =
C. D =

B. D =

( −∞; −1] ∪ [3; +∞ ) .

D. [ −1;3] .
Lời giải

Chọn A

 x < −1
Điều kiện: x 2 − 2 x − 3 > 0 ⇔ 
.
 x>3
Tập xác định D = ( −∞; −1) ∪ ( 3; +∞ ) .
Câu 23. Cho hàm số y  f  x có bảng biến thiên như sau:

Mệnh đề nào dưới đây là đúng?
A. Hàm số nghịch biến trên các khoảng 1; 0 và 0;1 .
B. Hàm số đồng biến trên các khoảng  ; 1 và 0;1 .
C. Hàm số đồng biến trên các khoảng 1; 0 và 1;  .
D. Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 1 và 0;1 .
Lời giải
Chọn B
Dựa vào BBT ta thấy hàm số đồng biến trong các khoảng  ; 1 và 0;1 .
2  i
Câu 24. Tìm số phức liên hợp của số phức z 
i
A. z  1 2i .
B. z  1  i .
C. z  1 i .
D. z  1  2i .
Lời giải
Chọn A
2  i 2
2i

 1  2  1  1  2i .
Ta có: z 
i
i
i
Vậy z  1 2i .
Câu 25. Viết công thức tính thể tích V của khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình thang cong giới hạn
bởi đồ thị hàm số liên tục y  f  x , trục Ox và hai đường thẳng x  a, x  b a  b , xung quanh
trục Ox .
b

A. V = π ∫ f 2 ( x ) dx .
a

b

B. V = ∫ f 2 ( x ) dx .
a

b

C. V = π ∫ f ( x ) dx .

Lời giải

a

b

D. V = ∫ f ( x ) dx .
a

Chọn A
Khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số liên tục
y  f  x  , trục Ox và hai đường thẳng x  a, x  b a  b , xung quanh trục Ox có thể tích là
b

V = π ∫ f 2 ( x ) dx .
a

Xét đáp án B thiếu nhân "  " , nên loại.
Trang 13/24 - WordToan


Xét đáp án C thiếu bình phương của f  x , nên loại.
Xét đáp án D , đây là công thức tính diện tích hình phẳng nên loại.
Câu 26. Cho tập hợp T gồm 7 phần tử khác nhau. Số tập hợp con gồm 3 phần tử của tập hợp T là
7!
A.
.
B. 21 .
C. A73 .
D. C73 .
3!
Lời giải
Chọn D
Mỗi cách chọn 3 phần tử trong 7 phần tử của tập hợp T là một tổ hợp chập 3 của 7 phần tử trong
tập hợp T .
Số tập hợp con gồm 3 phần tử của tập hợp T là C73 .

Câu 27. Tìm các số thực x, y thỏa mãn 2 x − 1 + (1 − 2 y ) i = 2 − x + ( 3 y + 2 ) i .

1
A. x = 3; y = − .
5
Chọn B

1
3
x 3;=

y
B. x = 1; y = − .
C.=
.
5
5
Lời giải

x 1;=
y
D.=

x = 1
2 x − 1 = 2 − x

⇔
Ta có: 2 x − 1 + (1 − 2 y ) i = 2 − x + ( 3 y + 2 ) i ⇔ 
1.
1 − 2 y = 3 y + 2
 y = − 5
Câu 28. Cho hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có đồ thị như hình vẽ dưới đây

Mệnh đề nào dưới đây đúng?
A. a < 0, b > 0, c < 0 .
C. a < 0, b < 0, c < 0 .

B. a > 0, b > 0, c < 0 .
D. a < 0, b > 0, c > 0 .
Lời giải

Chọn A
• Từ dạng đồ thị ⇒ a < 0 .
• Đồ thị giao trục Oy tại điểm bên dưới trục hoành ⇒ c < 0 .
a <0

• Hàm số có 3 cực trị ⇒ a.b < 0 ⇒ b > 0 .
Câu 29. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên sau

Số nghiệm của phương trình f ( x ) + 3 =
0 là
A. 1 .

B. 3 .

Chọn B
Ta có f ( x ) + 3 =0 ⇔ f ( x ) =−3 .
Trang 14/24 – Diễn đàn giáo viên Toán

C. 2 .
Lời giải

D. 4 .

3
.
5


Số nghiệm phương trình f ( x ) = −3 là số giao điểm của đồ thị hàm số y = f ( x ) và đường thẳng

y = −3 .
Dựa vào bảng biến thiên hàm số y = f ( x ) suy ra phương trình có 3 nghiệm phân biệt.
Câu 30. Phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu có tâm I ( 3; − 3;1) và đi qua điểm

M ( 5; − 2;1) ?

5.
A. ( x − 3) + ( y + 3) + ( z − 1) =

B. ( x − 3) + ( y + 3) + ( z − 1) =5 .

25 .
C. ( x − 3) + ( y + 3) + ( z − 1) =

4.
D. ( x − 3) + ( y + 3) + ( z − 1) =

2

2

2

Chọn A

Ta có IM =

2

2

2

2

2

2

2

2

2

Lời giải

( 2;1;0 ) ⇒ IM =

22 + 12 =

5.

5 có phươn trình là

R IM
=
Vậy mặt cầu tâm I có bán kính =

( x − 3) + ( y + 3) + ( z − 1)

2

2

2

=
5.

Câu 31. Điểm M trong hình vẽ bên là điểm biểu diễn số phức z .

Tính mô-đun của số phức w= z + iz
A. w = 28 .
B. w = 182 .

C. w = 128 .

D. w = 12 .

Lời giải
Chọn C
Số phức có dạng: z= a + bi . Điểm M ( a; b ) trong hệ tọa độ vuông góc của mặt phẳng được gọi là
điểm biểu diễn số phức z= a + bi .
Theo điểm biểu diễn ở trên điểm M ( −4; 4 ) là điểm biểu diễn của số phức: z =−4 + 4i .
Ta cũng suy ra được số phức liên hợp của z là z =−4 − 4i .
Do đó: w =z + iz =−4 − 4i + i ( −4 + 4i ) =−8 − 8i .
Vậy mô-đun của số phức w là: w =

( −8)

2

+ ( −8 ) =
2

128 .
2

Câu 32. Gọi z1 , z2 là các nghiệm phức của phương trình z 2 − 2 z + 5 =
0 . Tính=
P z1 + z2
A. 10 .

B. 5 .

C. 12 .
Lời giải

Chọn A

2

D. 4 .

 z1 = 1 − 2i
Ta có: z 2 − 2 z + 5 =
.
0⇔
 z2 = 1 + 2i
2

2

2

2

Khi đó:=
P z1 + z2 = 1 − 2i + 1 + 2i = 5 + 5 = 10 .

Câu 33. Kí hiệu S ( t ) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y =2 x + 1, y =0, x =1, x =t (t > 1).
Tìm t để S (t ) = 10
A. t = 4 .
Chọn A

B. t = 13 .

C. t = 3 .
Lời giải

D. t = 14 .

Trang 15/24 - WordToan


Ta có công thức diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y =2 x + 1, y =0, x =1, x =t (t > 1) là:
S (t ) =

t

∫ | 2 x + 1| dx =
1

t

∫ (2 x + 1)dx =

( x 2 + x) |1t = t 2 + t − 2 .

1

t = 4
.
S (t ) = 10 ⇔ t 2 + t − 2 = 10 ⇔ t 2 + t − 12 = 0 ⇔ 
t = −3
Do t > 1 nên t = −3 loại, vậy t = 4 .
Câu 34. Thiết diện của một khối trụ đi qua trục là hình vuông có cạnh bằng 2a. Tính diện tích toàn phần của
khối trụ đó.
A. 3π a 2 .
B. 8π a 2 .
C. 16π a 2 .
D. 6π a 2 .
Lời giải
Chọn D

Thiết diện qua trục của khối trụ là hình vuông có cạnh bằng chiều cao của hình trụ cũng bằng
đường kính đáy. Tức là h = 2r = 2a ⇒ r = a .
Diện tích toàn phần của khối trụ là: S = 2π rh + 2π r 2 = 4π a 2 + 2π a 2 = 6π a 2 .
Câu 35: Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng (α ) : x + 2 y + 3z − 6 =
0 và đường thẳng

x +1 y +1 z − 3
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
=
=
−1
−1
1
A. ∆ ⊥ (α ) .
B. ∆ cắt và không vuông góc với (α ) .
∆:

D. ∆ // (α ) .
Lời giải

C. ∆ ⊂ (α ) .

Chọn C

∆ có 1 vectơ chỉ phương là u = ( −1; −1;1) và đi qua điểm M ( −1; −1;3) .
(α ) có 1 vectơ pháp tuyến là n = (1; 2;3) .

Ta thấy u .n = 0 và M ∈ (α ) nên ∆ ⊂ (α ) .
2

Câu 36: Biết rằng ∫ ln ( x + 1) dx = a ln 3 + b ln 2 + c với a, b, c là các số nguyên. Tính S = a + b + c được
1

A. S = −2 .
Chọn D
2

∫ ln ( x + 1) dx =
1

B. S = 2 .
2

C. S = 1 .

D. S = 0 .

2

∫ ln ( x + 1) d ( x + 1) = ( x + 1) ln ( x + 1) 1 − ∫ ( x + 1) d ( ln ( x + 1) )
2

1

1

2

1
2
dx = 3ln 3 − 2 ln 2 − x 1 = 3ln 3 − 2 ln 2 − 1 .
x +1
1
Do đó a =3, b =−2, c =−1 ⇒ S =a + b + c =0 .
Câu 37. Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật,=
AB a=

, AD 2a . Tam giác SAB cân tại
S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng ( ABCD )
bằng 45° . Gọi M là trung điểm của SD , hãy tính theo a khoảng cách từ M đến mặt phẳng
( SAC ) .
= 3ln 3 − 2 ln 2 − ∫ ( x + 1)

Trang 16/24 – Diễn đàn giáo viên Toán


A. d =

2a 1513
.
89

B. d =

Chọn D

a 1315
2a 1315
.
.
C. d =
89
89
Lời giải

D. d =

a 1513
.
89

Gọi H là trung điểm của AB ⇒ SH ⊥ AB ( ∆SAB cân tại S ).
( SAB ) ∩ ( ABCD ) =
AB

⇒ SH ⊥ ( ABCD ) .
Ta có ( SAB ) ⊥ ( ABCD )

 SH ⊥ AB ( cmt )
Vì SH ⊥ ( ABCD ) , nên hình chiếu vuông góc của đường thẳng SC lên mặt phẳng
= 45°.
HC , suy ra ( SC , ( ABCD )=
) ( SC , HC=) SCH

∆HBC vuông tại B , có HC =

2

2

HB + BC =

∆SHC vuông cân tại H , suy ra SH
= HC
=
Ta có

d ( M , ( SAC ) )
d ( D , ( SAC ) )

Mặt khác

2

 AB 
2

 + BC =
2



( ABCD )

là

2

a 17
2
a
.
  + ( 2a ) =
2
2

a 17

.
2

MS 1
1
1
=
=
⇒ d ( M , ( SAC ) ) =
d ( D , ( SAC ) ) =
d ( B , ( SAC ) ) .
DS 2
2
2

d ( B , ( SAC ) )

d ( H , ( SAC ) )

BA
=
=
2 ⇒ d ( B , ( SAC ) ) =
2d ( H , ( SAC ) ) .
HA

Từ đó d ( M , ( SAC ) ) = d ( H , ( SAC ) ) .
Trong mặt phẳng ( SAC ) , kẻ HI ⊥ AC và kẻ HK ⊥ SI .

 AC ⊥ HI ( gt )

⇒ AC ⊥ ( SHI ) ⇒ AC ⊥ HK .
Ta có 
 AC ⊥ SH ( SH ⊥ ( ABCD ) )
 HK ⊥ SI ( gt )
Ta có 
⇒ HK ⊥ ( SAC ) ⇒ d ( H , ( SAC ) ) =
HK .
HK
AC
cmt
⊥
(
)


∆ABC vuông tại B , có AC = AB 2 + BC 2 = a 2 + ( 2a ) =a 5.
2

∆AIH  ∆ABC ⇒

AI IH AH
BC. AH BC. AB
2a.a
a 5
.
=
=
⇒ IH
=
=

=
=
AB BC AC
AC
2 AC
5
2.a 5

Trang 17/24 - WordToan


a 17 a 5
.
a 1513
2 =
5
.
∆SHI vuông tại=
H , có HK
2
2
89
 a 17   a 5 

 +

 2   5 
Câu 38. Biết rằng trong tất cả các cặp ( x ; y ) thỏa mãn log 2 ( x 2 + y 2 + 2 ) ≤ 2 + log 2 ( x + y − 1) chỉ có duy
SH .HI
=

SH 2 + HI 2

nhất một cặp ( x ; y ) thỏa mãn: 3 x + 4 y − m =
0 . Khi đó hãy tính tổng tất cả các giá trị của m tìm
được?
A. 20.

B. 14.

C. 46.
Lời giải

D. 28.

Chọn D
Ta có log 2 ( x 2 + y 2 + 2 ) ≤ 2 + log 2 ( x + y − 1) ⇔ log 2 ( x 2 + y 2 + 2 ) ≤ log 2 4 + log 2 ( x + y − 1)
⇔ log 2 ( x 2 + y 2 + 2 ) ≤ log 2 4 ( x + y − 1) ⇔ x 2 + y 2 + 2 ≤ 4 ( x + y − 1)

⇔ x2 + y 2 − 4 x − 4 y + 6 ≤ 0 ⇔ ( x − 2) + ( y − 2) ≤ 2 (C ) .
2

2

Khi đó tập hợp các điểm M ( x ; y ) thỏa mãn đề bài nằm trong hình tròn tâm I ( 2; 2 ) , bán kính

R = 2 và nằm trên đường thẳng ∆ : 3 x + 4 y − m =
0.
Để tồn tại duy nhất một cặp ( x ; y ) thì đường tròn ( C ) phải tiếp xúc với đường thẳng ∆ .
Điều kiện tiếp xúc: d ( I , ∆ ) = R ⇔

3.2 + 4.2 − m
32 + 42

=

14 − m =
5 2
2 ⇔ 14 − m = 5 2 ⇔ 
−5 2
14 − m =

 m= 14 − 5 2
.
⇔
14
5
2
m
=
+

Vậy tổng tất cả các giá trị của m là 28 .
Câu 39. Thiết diện qua trục của một hình nón là một tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng a 2 . Một
thiết diện qua đỉnh tạo với đáy một góc 60° . Diện tích của thiết diện này bằng
a2 2
a2 2
a2 2
A.
.
B.

.
C. 2a 2 .
D.
.
4
2
3
Lời giải
Chọn A

Giả sử hình nón có đỉnh S , tâm đường tròn đáy là O . Thiết diện qua trục là ∆SAB , thiết diện qua
đỉnh là ∆SCD ; gọi I là trung điểm của CD .
a 2
Theo giả thiết ta có ∆SAB vuông cân tại S , cạnh huyền AB= a 2 ⇒ r= OA=
2

SA= SB = l = a ⇒ h = SO =

Trang 18/24 – Diễn đàn giáo viên Toán

2

2

SA − OA =

2a 2 a 2
.
a −
=

4
2
2


a 2
SO
2 = a 6;
= 60° ⇒ sin 60°= SO ⇒ SI=
Ta lại có SIO
=
SI
sin 60°
3
3
2
2
6a
a 3
2a 3
ID = SD 2 − SI 2 = a 2 −
=
⇒ CD =
.
9
3
3
1
1 2a 3 a 6 a 2 2
.

.CD.SI
.
.
=
=
2
2 3
3
3

Diện tích thiết diện cần tìm là=
S ∆SCD
π
2

Câu 40. Xét tích phân I = ∫
0

2

sin 2 x
t
dx . Nếu đặt =
1 + cos x
2

1 + cos x , ta được

−4 ∫ ( t − 1) dt . =
A. I =

B. I 4 ∫ ( t − 1) dt .
2

1

2

1

1

4t 3 − 4t
dt .
C. I = ∫
t
2

Lời giải
Chọn B
1 + cos x ⇒ cos x =t 2 − 1 ⇒ sin x.dx =−2t.dt .
t
Đặt =
π
Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 2; x = ⇒ t = 1 . Khi đó ta có
2

1

−4t 3 + 4t
dx .

D. I = ∫
t
2

π

1
1
2
2 ( t 2 − 1) ( −2tdt )
2sin x cos x
2
I=
=
−4 ∫ ( t − 1) dt =
4 ∫ ( t 2 − 1) dt .
∫0 1 + cos x dx =
∫
t
1
2
2
ABC = 300 , BC = a , hai mặt phẳng
Câu 41. Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam giác vuông tại A , 
( SAB ) , ( SAC ) cùng vuông góc với mặt đáy, mặt bên ( SBC ) tạo với đáy góc 450 . Thể tích khối
2

chóp S . ABC là
a3
A.

.
64

a3
B.
.
16

Chọn D

a3
C.
.
9
Lời giải

a3
D.
.
32

S

A

C
M
B

( SAB ) ⊥ ( ABC ) 


1
Ta có ( SAC ) ⊥ ( ABC )
 ⇒ SA ⊥ ( ABC ) . Vậy VS . ABC = .SA.S ∆ABC .
3

SA
( SAB ) ∩ ( SAC ) =
Ta có ABC là một nửa tam giác đều có cạnh BC = a nên=
AC

a
a 3
.
=
, AB
2
2
Trang 19/24 - WordToan


1
1 a 3 a a2 3
.
.
AB. AC =
=
2
2 2 2
8

 ⇒ SMA
 = 450 .
Từ A kẻ AM ⊥ BC tại M ta có ( ( ABC ) , ( SBC ) ) = ( SM , AM ) = SMA

S ∆ABC
=

AM .
Suy ra tam giác SAM vuông cân tại A ⇒ SA =
Trong tam giác ABC vuông tại A đường cao AM ta có
a 3 a
.
AB. AC
2
2 = a 3 ⇒ SA= a 3 .
AB. AC = AM .BC ⇒ AM =
=
4
4
BC
a
2
3
1
1a 3 a 3 a
Vậy
.
.
VS . ABC =
SA.S ∆ABC

=
=
3
3 4
8
32
m sin x + 1
Câu 42. Cho hàm số y =
có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m thuộc đoạn [ −5;5]
cosx + 2
để giá trị nhỏ nhất của y nhỏ hơn −1 .
A. 4 .
B. 2 .
C. 6 .
D. 8 .
Lời giải
Chọn C
Điều kiện: cosx + 2 ≠ 0 luôn đúng ∀x ∈  .
m sin x + 1
=
y
⇔ y ( cosx + =
2 ) m sin x + 1 (do cosx + 2 ≠ 0 luôn đúng ∀x ∈  )
cosx + 2
⇔ m sin x − ycosx =
2 y − 1 (*).
Phương trình (*) có nghiệm

2 − 1 + 3m 2
2 + 1 + 3m 2

⇔ m + y ≥ ( 2 y − 1) ⇔ 3 y − 4 y + 1 − m ≤ 0 ⇔
≤ y≤
.
3
3
2

2

2

2

2

2 − 1 + 3m 2
Vậy Min y =
.

3
Min y < −1 ⇔


 m > 2 2 ≈ 2,82
2 − 1 + 3m 2
.
< −1 ⇔ 1 + 3m 2 > 5 ⇔ m 2 − 8 > 0 ⇔ 
3
 m < −2 2 ≈ −2,82

Mà m ∈ , m ∈ [ −5;5] nên m ∈ {−5; −4; −3;3; 4;5} .

x
 π π
trên  − ;  và F ( x ) là một nguyên hàm của x. f ′ ( x ) thỏa mãn
2
cos x
 2 2
 π π
F ( 0 ) = 0 . Biết a ∈  − ;  thỏa mãn tan a = 3 . Tính giá trị biểu thức T = F ( a ) − 10a 2 + 3a .
 2 2
1
1
1
A. − ln10 .
B. ln10 .
C. − ln10 .
D. ln10 .
2
2
4
Lời giải
Chọn B
 π π
∀x ∈  − ; 
 2 2
=
u x=
du dx
⇒

Đặt 
.
′ ( x ) dx v f ( x )
=
dv f=

Câu 43. Cho hàm số f ( x ) =

x2
x
x. f ( x ) − ∫ f ( x ) dx = 2 − ∫
dx .
Ta có F ( x ) =
cos x
cos 2 x
u1 = x
 du = dx

Đặt 
⇒ 1
1
dv1 = cos 2 x dx v1 = tan x

Trang 20/24 – Diễn đàn giáo viên Toán


x2
F ( x ) = 2 − x.tan x − ∫ tan xdx =
x 2 1 + tan 2 x − x.tan x − ln cos x + C .
cos x

Vì F ( 0 ) =0 ⇒ C =0 .

(

(

)

(

)

)

F ( x ) =x 2 1 + tan 2 x − x tan x − ln cos x .
Ta có

1
1
1 + tan 2 a =
10 ⇒ cos a = .
=
2
cos a
10

1
1
= ln10 .
10 2

Câu 44. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm trên  và có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên dưới. Đặt
Khi đó T =
a 2 (1 + 9 ) − 3a − ln cos a − 10a 2 + 3a =
− ln

g ( x ) = f  f ( x )  . Tìm số nghiệm của phương trình g ′ ( x ) = 0 .

A. 8 .

B. 2 .

Chọn A

C. 4 .
Lời giải

D. 6 .

 f ′( x) = 0
 f ′( x) = 0

Ta có g '( x) =
.
⇔  f ( x) =
f ′ ( x ) . f ′  f ( x )  =
0⇔
0
 f x = m ∈ 1;3
 f ′  f ( x )  = 0
( )

 ( )
Phương trình f ′ ( x ) = 0 có 2 nghiệm

Phương trình f ( x ) = 0 có 3 nghiệm
Phương trình f ( x )= m ∈ (1;3) có 3 nghiệm
Vậy phương trình có 8 nghiệm.
Câu 45. Trường trung học phổ thông Bỉm Sơn có 23 lớp, trong đó khối 10 có 8 lớp, khối 11 có 8 lớp, khối
12 có 7 lớp, mỗi lớp có một chi đoàn, mỗi chi đoàn có một em làm bí thư. Các em bí thư đều giỏi
và rất năng động nên Ban chấp hành Đoàn trường chọn ngẫu nhiên 9 em bí thư đi thi cán bộ đoàn
giỏi cấp thị xã. Tính xác suất để 9 em được chọn có đủ cả ba khối?
7345
7012
7234
7123
A.
.
B.
.
C.
.
D.
.
7429
7429
7429
7429
Lời giải
Chọn C
9
=

817190 .
Số phần tử của không gian mẫu là: n ( Ω ) C23
Gọi X là biến cố “9 em được chọn có đủ cả ba khối”
⇒ X “9 em được chọn không có đủ ba khối”
Vì mỗi khối số bí thư đều nhỏ hơn 9 nên có các khả năng sau:
TH1: Chỉ có học sinh ở khối 10 và 11. Có C169 cách.
TH2: Chỉ có học sinh ở khối 11 và 12. Có C159 cách.
TH3: Chỉ có học sinh ở khối 10 và 12. Có C159 cách.
Trang 21/24 - WordToan


( )
21450
195
là:=
.
P( X ) =
817190 7429
7234
là: P ( X ) =
1− P ( X ) = .
7429

Số phần tử của biến cố X là: n X = C169 + C159 + C159 = 21450
Xác suất của biến cố X
Xác suất của biến cố X

Câu 46. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho ba điểm A (1; 4;5 ) , B ( 3; 4;0 ) , C ( 2; −1;0 ) và mặt phẳng

12 . Gọi điểm

( P ) : 3x − 3 y − 2 z =
nhỏ nhất. Tính tổng a + b + c
A. 3 .
B. 2 .

M ( a; b; c ) thuộc ( P ) sao cho MA2 + MB 2 + 3MC 2 đạt giá trị
D. −3 .

C. −2 .
Lời giải

Chọn A
   
Gọi I là điểm thỏa mãn IA + IB + 3IC =
0
0
1 − x + 3 − x + 3 ( 2 − x ) =
x = 2


⇔ 4 − y + 4 − y + 3 ( −1 − y ) = 0 ⇔  y = 1 ⇒ I ( 2;1;1)

z = 1
0

5 − z − z + 3 ( − z ) =
  2   2
  2
Ta có: MA2 + MB 2 + 3MC 2 = MI + IA + MI + IB + 3 MI + IC
   

= 5MI 2 + IA2 + IB 2 + 3IC 2 + 2 MI IA + IB + 3IC

(

) (

)

(

(

)

)

= 5MI 2 + IA2 + IB 2 + 3IC 2
Khi đó MA2 + MB 2 + 3MC 2 nhỏ nhất khi MI nhỏ nhất, tức là M là hình chiếu của I trên mặt
phẳng ( P ) .
Phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm I và vuông góc với mặt phẳng ( P ) là:
x − 2 y −1 z −1
.
= =
3
−3
−2
Khi đó tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình:
x = 7
3 x − 3 y − 2 z =
12

2
12
3 x − 3 y − 2 z =




−
1
⇔ y =
⇔  x + y =3
 x − 2 =− ( y − 1)
2


2 x + 3z =
7
2
x
2
3
z
1
−
=
−
−
)
( ) 
 (

 z = 0
7 1
Vậy a + b + c = − = 3 .
2 2
Câu 47. Một người vay ngân hàng 100 triệu đồng với lãi suất là 0, 7% / tháng theo thỏa thuận cứ mỗi tháng
người đó sẽ trả cho ngân hàng 5 triệu đồng và cứ trả hàng tháng như thế cho đến khi hết nợ (tháng
cuối cùng có thể trả dưới 5 triệu). Hỏi sau bao nhiêu tháng thì người đó trả được hết nợ ngân hàng?
A. 21 .
B. 22 .
C. 23 .
D. 24 .
Lời giải
Chọn B
Gọi số tháng là n ( n ∈  * ). Đặt a = 5 , q = 1, 007 . Đến lần nộp tiền thứ n :

Khoản tiền a đầu tiên trở thành a. q n −1 . Khoản tiền a thứ hai trở thành a. q n − 2 . … Giả sử khoản
qn −1
1, 007 n − 1
.
= 5.
q −1
0, 007
Số tiền 100 triệu đồng với lãi suất là 0, 7% / tháng, sau n tháng, sẽ trở thành 100. 1, 007 n .

tiền cuối cùng vẫn là a thì tổng số tiền đã trả cả vốn lẫn lãi là a.

1, 007 n − 1
Ta có phương trình 5. = 100.1, 007 n ⇔ n ≈ 21, 6 .
0, 007
Theo đề bài, tháng cuối cùng có thể trả dưới 5 triệu đồng nên số tháng phải làm tròn là 22 tháng.

Trang 22/24 – Diễn đàn giáo viên Toán


Câu 48. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình log 22 x − log 2 x 2 + 3 =
m có nghiệm x ∈ [1;8] .
A. 2 ≤ m ≤ 6

B. 3 ≤ m ≤ 6

C. 6 ≤ m ≤ 9
Lời giải

D. 2 ≤ m ≤ 3 .

Chọn A
Đặt t = log 2 x . Khi x ∈ [1;8] thì t ∈ [ 0;3] . Bài toán trở thành: Tìm m để phương trình

t 2 − 2t + 3 =
m có nghiệm t ∈ [ 0;3] . Xét hàm số f ( t ) = t 2 − 2t + 3 với t ∈ [ 0;3] , ta có:
f ′ ( t ) = 2t − 2 = 0 ⇔ t = 1 ; min f=
( 3) 6 .
( t ) f=
( t ) f=
(1) 2 ; max f=
t∈[ 0;3]

t∈[ 0;3]

Đồ thị hàm số y = f ( t ) = t − 2t + 3 và đường thẳng y = m sẽ cắt nhau tại điểm có hoành độ
2

t ∈ [ 0;3] nếu như min f ( t ) ≤ m ≤ max f ( t ) ⇔ 2 ≤ m ≤ 6 .
t∈[ 0;3]

t∈[ 0;3]

ax + b
(với a, b, c, d ∈  , c ≠ 0 , d ≠ 0 ) có đồ thị là ( C ) . Biết đồ thị của
cx + d
hàm số y = f ′ ( x ) như hình vẽ dưới

y f=
=
Câu 49. Cho hàm số
( x)

Biết đồ thị ( C ) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 . Tiếp tuyến của ( C ) tại giao điểm của

( C ) với trục hoành có phương trình là
0.
A. x − 3 y − 2 =
Chọn C

′( x)
=
y′ f=
Ta có

0.
0.

B. x − 3 y + 2 =
C. x + 3 y − 2 =
Lời giải
ad − bc

( cx + d )

2

0.
D. x + 3 y + 2 =

.

Đồ thị ( C ) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2 nên f ( 0 ) = 2 ⇒
Từ đồ thị của hàm số y = f ′ ( x ) ta có:

b
=
2.
d

d
d
1.
=
−1 ⇔ =
c
c
ad − bc

+ Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) đi qua điểm ( −2; −3) nên f ′ ( −2 ) =
.
−3 ⇒ −3 =
2
( −2c + d )

+ Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) có tiệm cận đứng là đường thẳng x = −1 nên −

+ Đồ thị hàm số y = f ′ ( x ) cắt trục tung tại điểm ( 0; −3) nên f ′ ( 0 ) = −3 ⇒ −3 =

ad − bc
.
d2

b 2=
d 2c
b 2=
c 2=
d 2t ( t ≠ 0 )
=
=

 ad − bc
 at − 2t.t = −3

= −3
b 2=
c 2=
d 2t
=

2
Ta có hệ phương trình  ( d − 2c )
⇔
⇔  ( t − 2t )2
2
−3t 2
at − 2t =


 ad − bc = −3
 at − 2t.t = −3
2
 d
 t 2
b 2=
c 2=
d 2t
=
.
⇔
a = −t

Trang 23/24 - WordToan


Giao điểm của đồ thị ( C ) với trục hoành là

k = f ′( 2) =

−3

−tx + 2t − x + 2
′( x)
=
y′ f=
=
và
tx + t
x +1

Suy =
ra y f=
( x)

−3

( 2 + 1)

2

.

( x + 1)
A ( 2;0 ) ⇒ Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm
2

A là

1
= − .

3

1
− ( x − 2) + 0 ⇔ x + 3 y − 2 =
0.
Vậy phương trình tiếp tuyến là y =
3
Câu 50. Xét các số thực dương x. y thỏa mãn log 1 x + log 1 y ≤ log 1 x + y 2 . Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của

(

2

biểu thức P= x + 3 y .
A. Pmin =

17
.
2

2

B. Pmin = 8 .

)

2

C. Pmin = 9 .

D. Pmin =

Lời giải

Chọn C
Ta có log 1 x + log 1 y ≤ log 1 x + y 2 ⇔ log 1 ( xy ) ≤ log 1 x + y 2 ⇔ xy ≥ x + y 2

(

2

2

⇔ ( y − 1) x ≥ y 2 .

)

(

2

2

)

2

Do y > 0 ⇒ y 2 > 0 ⇒ ( y − 1) x ≥ y 2 > 0 . Mà x > 0 nên y − 1 > 0 , hay y > 1 .
y2
y2

. Suy ra P =x + 3 y ≥
+ 3y
y −1
y −1

Khi đó ta có x ≥

Xét hàm số f =
( y)

y2
+ 3 y trên (1;+∞ ) .
y −1


 y=
4y − 8y + 3
y − 2y
Ta có=
; f ′( y ) = 0 ⇔ 
+3 =
f ′( y )
2
2
( y − 1)
( y − 1)
 y=

Bảng biến thiên:
2

2

1
∉ (1; +∞ )
2
3
∈ (1; +∞ )
2

3
9 . Vậy P ≥ f ( y ) ≥ 9 .
Từ bảng biến thiên suy ra f ( y ) ≥ f   =
2
3

 y = 2
Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi 
.
y2
9

=
x =

y −1 2
 HẾT 

Trang 24/24 – Diễn đàn giáo viên Toán

25 2
.
4