BÁO CÁO BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
-----------------------------------

BÁO CÁO
BÀI TẬP LỚN GIẢI TÍCH 2
Giảng viên hướng dẫn: Lê Thị Yến Nhi

Nhóm 3


STT

Họ và tên

MSSV

1

Nguyễn Tiến Đạt

1510703

2

Nguyễn Đức Hùng

1511349

3

Đinh Nguyễn Ngọc Hân

1610964

4

Võ Thị Tú Như

1512369

5

Lê Văn Sinl

1512822

6

Phạm Thị Phương Thảo

1613224

7

Phạm Nguyễn Xuân Nhi

1512322

8

Hứa Xương Khang

G1201576

9

Nguyễn Minh Tuệ

1513890

Năm học: 2017 - 2018
I. LỜI MỞ ĐẦU: Ngày nay khoa học ngày càng phát triển, với đà phát triển này việc ứng

dụng khoa học và sáng chế khoa học ở trường học là rất thiết thực và quan trọng. Chính


vì vậy, ngay từ năm đầu các giảng viên Trường ĐH Bách Khoa Tp.HCM đã giúp cho các
sinh viên ngành kỹ thuật làm quen với các ứng dụng lập trình ví dụ như Matlab.
MATLAB là một môi trường tính toán số và lập trình cho phép tính toán số với ma trận,
vẽ đồ thị hàm số hay biểu đồ thông tin, thực hiện thuật toán, tạo các giao diện người dùng
và liên kết với những chương trình máy tính viết trên nhiều ngôn ngữ lập trình khác. Với
thư viện Toolbox, MATLAB cho phép mô phỏng tính toán, thực nghiệm nhiều mô hình
trong thực tế và kỹ thuật. Với hơn 40 năm hình thành và phát triển, ngày nay với thiết kế
sử dụng tương đối đơn giản và phổ thông, MATLAB là công cụ tính toán hữu hiệu để giải
quyết các bài toán kỹ thuật. Vì vậy, đối với những bài toán trong môn Đại số, đặc biệt là
các bài toán Ma trận, ta có thể sử dụng các ứng dụng tính toán của MATLAB để giải
quyết theo cách đơn giản và dễ hiểu nhất, giúp chúng ta làm quen và bổ sung thêm kỹ
năng sử dụng các chương trình, ứng dụng cho sinh viên.


I.

Cơ sở lý thuyết

1. Vẽ vật thể giới hạn

Không gian ba chiều là một mô hình hình học có ba thông số (không tính
đến thoời gian), trong đó bao gồm tất cả các vật chất được chúng ta biết đến. Ba chiều
được nhắc đến ở đây thường là chiều dài, chiều rộng và chiều cao (hoặc chiều sâu).
Ba hướng bất kì nào cũng có thể được chọn, miễn là chúng không nằm trong cùng
một mặt phẳng.
Trong vật lý và toán học, một chuỗi các con số n có thể được hiểu là một vị trí
trong không gian n chiều. Khi n = 3, tập hợp tất cả các vị trí đó được gọi là không
gian Euclide 3 chiều, thường ký hiệu là . Không gian này chỉ là một ví dụ trong một
loạt các không gian ba chiều thường gọi là đa tạp ba chiều.
* Ví dụ: Vẽ vật thể giới hạn bởi: z=1–x2, z=0, y=0, y=3.


2. Tính đạo hàm

2.1. Định nghĩa:
Giả sử phương trình
lập x và y:

(1) xác định với u, v là hàm số của các biến độc
(2) thì khi đó z được gọi là hàm số hợp của các

biến số x và y thông qua 2 biến trung gian u và v.
Như vậy z cũng có thể biểu diễn như hàm 2 biến x, y:
Ví dụ: Cho
Khi đó:

(3)


Tình huống:
Nếu ta cần khảo sát đạo hàm của hàm số hợp thì có thể viết hàm số dưới dạng
tường minh theo 2 biến x, y. Tuy nhiên, với hàm trên thì việc lấy đạo hàm riêng sẽ
rất khó khăn. Hoặc nếu hàm số chưa xác định được công thức, ví
dụ:

hoặc

thì làm sao tính được các đạo

hàm riêng

2.2. Định lý: (Tính

từ (1), (2) mà không dùng (3))

Cho z = f(u,v) và u, v là các hàm của hai biến u = u(x,y) và v = v(x,y). Cho các
hàm z, u, v khả vi tại các điểm tương ứng. Khi đó, z = f(u,v) có các đạo hàm

riêng

xác định bởi công thức:

2.3. Quy tắc Xích để xác định công thức tính đạo hàm cho hàm hợp:

– Dòng 1: Viết hàm cần tính đạo hàm z

– Dòng 2: Xác định các biến trung gian có trong hàm z. Ví dụ: (u,v)
– Dòng 3: xác định biến cần lấy đạo hàm. Ví dụ x


– Nối z với các biến trung gian u, v bằng những đoạn kẻ. Mỗi đoạn kẻ tương ứng
với phép lấy đạo hàm.
– Nếu u, v là những biến phụ thuộc x thì nối u với x bằng 1 đường kẻ; nối v với x
bằng 1 đường kẻ. Các đường kẻ trên chính là các phép toán lấy đạo hàm riêng.
– Tổng hợp tất cả các cách nối được từ z đến x ta sẽ có công thức tính đạo hàm
của z theo x.
2.4. Một số trường hợp tổng quát:

1. Với z = f(u,v, w) , trong đó u = u(t), v = v(t), w = w(t)
Khi đó: z là hàm số hợp của 1 biến số t thông qua 3 biến trug gian u, v, w.
Bấy giờ, đạo hàm của z theo t được xác định

(do z, u, v, w đều là hàm theo 1 biến t nên đạo hàm là đạo hàm thường)

Áp dụng: tính

, nếu

, với


Tương tự quy tắc trên, ta có:

Nghĩa là:

Hay:

Ví dụ 1: Tính

nếu

với y = f(x).

Trong ví dụ này, ta cần chú ý và phân biệt ý nghĩa của hai ký hiệu

Đầu tiên, ký hiệu
của z là:

chỉ z là hàm theo 1 biến x, trong khi đó, biểu thức xác định
nên với ký hiệu này ta sẽ hiểu là z là hàm số hợp của 1

biến x thông qua biến trung gian y.

Còn ký hiệu,

chỉ đạo hàm riêng của z theo biến x, điều này được hiểu là z là

hàm hai theo 2 biến độc lập x, y.

Như vậy:
Còn:

Ví

dụ

2: Tìm

biết
Bạn có thể lập sơ đồ xích cho 3 biến r, s, t để xác định công thức tính đạo hàm như
sau:


Dựa vào sơ đồ
trên, ta có:
,

Việc còn lại bạn làm tiếp tục nhé.

Ví dụ 3: Tìm
Ta đặt:

thì f là hàm số hợp của 2 biến x, y thông qua 2

biến trung gian u, v.
Khi đó:

2.4. Đạo hàm cấp 2 của hàm số hợp 2 biến:
Giả sử z là hàm số hợp theo 2 biến x, y thông qua 2 biến trung gian u, v. Khi đó ta
đã có công thức tính đạo hàm riêng cấp 1 của z đối với 2 biến x, y. Vấn đề đặt ra


là: vậy nếu cần tính tiếp tục đạo hàm riêng cấp 2 của hàm số hợp thì ta phải làm
thế nào?
Ta chú ý, trong công thức:

Các đại lượng

lại là các biểu thức theo u, v nên nó lại là những hàm số hợp

của hai biến x, y thông qua 2 biến trung gian u, v.
Do đó:
(*)

Mặt khác, áp dụng quy tắc tính đạo hàm hàm số hợp cho 2 hàm

. Ta có:

, (**)
Từ (*), (**) ta có:

Hoàn toàn tương tự, ta tìm được công thức xác định

(bạn thử tìm xem

nhé)

Ví dụ áp dụng: Tìm nếu
Đáp số:

*Ví dụ: Cho hàm f(x, y)=e3x+2y ,trong đó x=sint, y=t2. Tính khi t=0.


Ta có: df= dx + dy = . dt + . dt = 3.e3x+2y. cost dt + 2.e3x+2y . 2t dt.
 = 3.e3x+2y. cost + 2.e3x+2y . 2t = e3x+2y. (3cost + 4t).
 Với t=0, ta có:

Đáp số: 3.

3. Tìm GTLN, GTNN
Để tìm GTLN, GTNN của hàm nhiều biến f(x,y) trên D:
1. Tìm trong D:

Giải hệ  P1(x1,y1), P2(x2,y2), …
Loại các điểm không là điểm trong của D.
Tính f(x1,y1), f(x2,y2), … tại các điểm trong D.
2. Tìm trên biên.
3. So sánh các giá trị tìm được ở bước 1, bước 2 và các giá trị của f tại các đỉnh.

Kết luận.

*Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của hàm f(x,y)=x2−y2 trên miền D=(x,y) :
x2+y2 ≤ 25 . Vẽ đồ thị minh họa trên đó chỉ ra điểm đạt GTLN, GTNN nếu có.


Đặt =>
=>


4.Tích phân đường
4.1. Định nghĩa tích phân đường loại 2:
Cho các hàm P(x,y), Q(x,y) xác định trên cung

thuộc mặt phẳng (Oxy).

Từ biểu thức (1.5) nếu tổng An tiến đến 1 giới hạn xác định, không phụ thuộc vào

cách chia cung BC và cách chọn điểm

trên mỗi cung nhỏ

thì giới hạn

đó được gọi là tích phân đường loại 2 (tích phân theo tọa độ) của hai hàm số
P(x,y) và Q(x,y) dọc theo cung BC và được ký hiệu là:


4.2. Khái niệm cung trơn:

Giả sử cung
Cung

có phương trình

được gọi là cung trơn nếu tồn tại các đạo hàm

liên tục và

không đồng thời bằng 0.
Cung AB được gọi là trơn từng khúc nếu ta có thể chia thành hữu hạn các cung
trơn.
4.3. Định lý tồn tại:
Nếu các hàm số P(x,y) và Q(x,y) liên tục trong miền mở chứa cung

trơn từng

khúc thì tồn tại tích phân đường loại 2 của P(x,y) và Q(x,y) dọc theo cung AB.

(ta công nhận kết quả này)
4.4. Tính chất:
1. Từ định nghĩa dễ thấy rằng: nếu ta đổi chiều trên cung từ C đến B thì các hình
chiếu

của

vectơ

lên

hai

trục

Ox,

Oy

đổi

dấu,

do

đó:
2. Nếu P, Q khả tích trên cung AB và

được chia thành 2 cung

cũng

cung

khả

tích

trên

2

đó

và

có:
3. Tích phân đường có các tính chất như tích phân xác định.
4.5. Cách tính (tính trực tiếp):

thì P, Q
khi

ấy

ta


Để tính tích phân đường

ta đưa về tích phân xác định

(tích phân 1 biến).
Giả sử

là cung trơn, các hàm số P(x,y), Q(x,y) liên tục trên

. Ta có các

trường hợp sau:
Th1: cung AB có phương trình tổng quát:
B ứng với

. Điểm A ứng với

, điểm

. Điểm A ứng với

, điểm

.

Khi đó, ta có công thức sau:

Th2: cung AB có phương trình tổng quát:
B ứng với

.

Khi đó, ta có công thức sau:

Th3: cung AB có phương trình tham số:
, điểm B ứng với

. Điểm A ứng với

.

Khi đó, ta có công thức sau:

Nhận xét: Từ 3 trường hợp trên, nếu cung AB không có cùng 1 phương trình
đường cong khi đi từ A đến B thì ta phải chia nhỏ cung AB thành các cung sao cho
trên mỗi cung có cùng 1 pt đường cong.


* Ví dụ: Tính I = với C là cung x2+y2=2x từ 0(0, 0) đến A(1, 1) theo chiều kim đồng
hồ. Vẽ đường cong C.

Đặt =>
=> I = = 1

5. Tính tổng chuỗi số.
Định nghĩa 1:
Cho dãy số thực vô hạn
Các số

được gọi là số hạng của chuỗi,

được gọi là số hạng

tổng quát thứ n của chuỗi.
Một dãy là được cho nếu biết quy luật tính số hạng tổng quát thứ n của nó.


Định nghĩa 2:
Tổng n hữu hạn số hạng đầu của chuỗi gọi là tổng riêng phần thứ n của chuỗi:
.
Nếu

hữu hạn thì ta nói chuỗi hội tụ.

Nếu

hoặc không tồn tại ta nói chuỗi phân kỳ.

* Ví dụ: Tính tổng chuỗi số .
Ta có:
S = = + =A-B
A = = 3. = 1
B==
Đặt G(x)=
= dx = -ln+C
Tại x=0 thì G=0 => C=0 => G(x)= -ln.
 B=



II.

Các lệnh MATLAB cơ bản


Matlab là một hệ tính toán lớn và mạnh, được dùng phổ biến trong giảng dạy, nghiên
cứu và làm việc thực tế. Tuy nhiên phần mềm này có bản quyền, tương đối cồng
kềnh, có thể lên tới hàng gigabybes
Tài liệu hướng dẫn chủ yếu là phần Help của chương trình. Ngoài ra có thể tìm đọc
quyển sách Jeffery Cooper, A Matlab companion for multivariable calculus, Harcourt,
2001.
a. Thông báo biến x, y là một biến kí hiệu (symbolic)
syms x y
Nhập vào hàm f, ví dụ f(x)=x2-3x+1
f=x^2-3*x+1
b. Tính giá trị của f tại một điểm , chẳng hạn tại x=2

subs(f,x,2)
c. Tính giới hạn khi x dần đến hằng số a

limit(f,x,a)
Tính giới hạn khi x dần đến hằng số a bên trái hoặc phải
limit(f,x,a,’left’)
limit(f,x,a,’right’)
Tính giới hạn khi x dần đến +vô cùng hoặc –vô cùng
limit(f,x,Inf)
limit(f,x,-Inf)
d. Tính đạo hàm
Tính đạo hàm của hàm f theo biến x
diff(f,x)
e. Khai triển Taylor hàm f tại điểm cụ thể x0 tới cấp cụ thể n
f.

taylor(f,x0,n)
Vẽ đồ thị hàm một biến
Vẽ đồ thị hàm f, chẳng hạn với x từ 1 tới 2
ezplot(f,1,2)

g. Tích phân của hàm một biến

Tính tích phân không xác định của hàm f theo biến x
int(f,x)
Tính tích phân xác định của hàm f theo biến x, với x từ 1 tới 2


int(f,x,1,2)
h. Nhập hàm nhiều biến ở dạng kí hiệu

Nhập vào một hàm nhiều biến
syms x y
f=x^2*y^3-3*x*y^2
i.

Tính giá trị của hàm hai biến
Tính giá trị của f tại một điểm, chẳng hạn tại x=2, y=3
subs(subs(f,x,2),y,3)

j.

Tính đạo hàm riêng
Tính đạo hàm riêng của f theo biến y
diff(f,y)

k. Vẽ đồ thị hàm hai biến

Vẽ đồ thị hàm f trên khoảng x từ 1 tới 2, y từ 3 tới 4
ezsurf(f,[1,2,3,4])
l.

Tính tích phân bội
Tính tích phân của f trên hình hộp chữ nhật x từ 1 tới 2, y từ 3 tới 4:
Đưa về tích phân lặp:
int(int(f,x,1,2),y,3,4)

m. Vẽ mặt cho bởi phương trình tham số

Ví dụ vẽ mặt cầu x=sin(u)cos(v), y=sin(u)sin(v), z=cos(u), u từ 0 tới pi, v từ 0 tới
2pi:
syms u v
ezsurf(sin(u)*cos(v),sin(u)*sin(v),cos(u),[0 pi 0 2*pi])
mẫu lệnh tổng quát là
ezsurf(x,y,z,[a b c d])
tham số thứ nhất biến thiên từ a tới b, tham số thứ hai biến thiên từ c tới d.


n. Tính xấp xỉ tích phân

Tính xấp xỉ tích phân của hàm f (x) với x từ a tới b:
Vì đây không còn là phép toán kí hiệu nữa mà là phép toán số (numerical), nên
cần chuyển f thành một dạng hàm khác, gọi là inline.
Ví dụ tích tích phân f(x)=e^(x^2) từ 0 tới 1:
Nhập hàm f ở dạng inline

f=inline('exp(x.^2)')
Chú ý có dấu chấm trước toán tử ^ (Matlab dùng nó để tính toán trên ma trận).
Tính xấp xỉ tính phân của f:
quad(f,0,1)

Code MATLAB một số đề tài

III.

Câu 1:
syms u v
a=input('nhap a= ')
b=input('nhap b= ')
f=x^2/a^2+y^2/b^2;
f=eval(f);


ezsurf(f)

Câu 2:
syms x y
f=log(2*x+3*y);
C1:
d10f=diff(diff(f,y,3),x,7)
d10f =
-1254113280/(2*x + 3*y)^10
>> subs(d10f,{x,y},[-1 1])
ans =
-1254113280
C2:

subs(diff(diff(f,y,3),x,7),{x y},[-1 1])
ans =
-1254113280

Câu 3:
syms x y
f=x^2+y^2-32*log(x*y);
fx=diff(f,x);
fy=diff(f,y);
solve(fx)
ans =
-4
4
solve(fy)
ans =
-4
4
% x*y>0 nên M(4;4) và N(-4,-4)
A=diff(fx,x);
B=diff(fx,y);
C=diff(fy,y);
%cap [x y]=[-4 -4]
subs(A,{x,y},[-4,-4])
ans =
4
subs(A*C-B^2,{x,y},[-4,-4])
ans =
16

%suy ra la diem cuc tieu
%cap [x y]=[4 4]
subs(A,{x,y},[4,4])


ans =
4
>> subs(A*C-B^2,{x,y},[4,4])
ans =
16
%suy ra la diem cuc tieu
% ve do thi bieu dien 2 diem cuc tieu
hold on
ezsurf(f,[4 4 -4 4])
plot3(4,4,32-128*log(2),'rp')
plot3(-4,-4,32-128*log(2),'rp')

Câu 4:


syms x y z
>> int(int(int(y,z,0,1-y),y,x^2,1),x,-1,1)
ans =
8/35

Câu 5:
syms n;
symsum(n/3^n,1,inf)
ans =
3/4

Câu 1:
hold on
xlabel('Truc Ox')
ylabel('Truc Oy')
zlabel('Truc Oz')
y=linspace(0,3,100);
x=linspace(-1,1,100);
[y x]=meshgrid(y,x);
z1=1-x.^2; z2=0*y;
mesh(x,y,z1,'FaceColor','r','FaceAlpha',0.5,'EdgeColor','non
')
mesh(x,y,z2,'FaceColor','m','FaceAlpha',0.5,'EdgeColor','non
')
hold on
z=linspace(0,1,100);