Phương pháp chọn đại diện giải toán trắc nghiệm – Trần Tuấn Anh

Trần Tuấn Anh – Mail:
Việc tìm ra đáp án đúng cho bài toán trắc nghiệm là rất khác so với
việc trình bày bài giải tự luận. Giải quyết bài toán tự luận, chúng ta phải
trình bày lời giải bài toán theo suy luận của mình, sao cho người đọc hiểu
đúng, dựa trên nền tảng kiến thức chuẩn mực. Với bài thi toán trắc nghiệm,
học sinh không cầøn trình bày lời giải và có nhiều cách tiếp cận. Không cần
xét mọi trường hợp, có thể một vài trường hợp cũng đủ chọn được đáp án vì
loại được các khả năng khác. Các suy luận không cần diễn giải, viết ra, chỉ
viết ý chính để tìm ra đáp án khi nháp! Sau đây là một hướng tiếp cận như
vậy !
Trần Tuấn Anh – Mail:

CHỌN ĐẠI DIỆN GIẢI TOÁN TRẮC NGHIỆM
Nếu bài toán đúng với mọi giá trò x  K thì nó sẽ đúng với
một giá trò xác đònh x 0  K .

I. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ
Ví dụ 1. Hàm số y =

x 2 − m ( m + 1) x + m3 + 1
luôn có cực đại và cực tiểu với
x−m

mọi giá trò thực của m. Gọi điểm cực đại và cực tiểu của hàm số lần lượt
là x1 , x2 . Khi đó ta có :
B. x1 − x2 = m .

A. x1 − x2 = 2 .

C. x1 − x2 = 1 .

D. x1 − x2 = 2m .

Cách giải thông thường
* y' =

x 2 − 2mx + m 2 − 1

( x − m )2

;

* y ' = 0  x 2 − 2mx + m2 − 1 = 0 .

m +1

x1 =

1   x1 = m + 1  x − x = 2 .
 ' = m2 − m2 − 1 = 1  0  
1
2
x = m −1
 2
x = m −1
 2
1

(

)

Chọn đáp án A.
Trần Tuấn Anh – Mail:


Trần Tuấn Anh – Mail:
Cách khác (chọn đại diện)
Do bài toán đúng với mọi số thực m nên ta chọn một phần tử đại diện của
m, chẳng hạn m = 3 . Khi đó hàm số trở thành y =

y' =

x 2 − 6x + 8

( x − 3) 2

x 2 − 12x + 28
;
x −3

x = 4
=0  1
x2 = 2

Ta có : x1 − x2 = 2 .
Chọn đáp án A.
Lưu ý : Ta không chọn m = 1 vì khi đó các đáp án A trùng với D ; B trùng
với C. (tương tự cho trường hợp m = 2 )

x3 − 3x = m2 + m có ba nghiệm thực khi tham số

Ví dụ 2. Phương trình
thực m thỏa mãn :
A.

−2  m  1 .

m  1.

B.

C.

−1  m  2 .

m  −21 .

D.

Cách giải thông thường 1
Xét hàm số

y = x3 − 3x ; y ' = 3 x 2 − 3 ; y ' = 3x 2 − 3 = 0  x = 1

Bảng biến thiên

x

−
+

−1
+

y'

0

+

1
-

0

2

−2
Phương trình đã cho có 3 nghiệm khi

−2  m2 + m  2  −2  m  1.

Chọn đáp án A.
Cách giải thông thường 2

x 3 − 3 x = m2 + m  x 3 − 3 x − m2 − m = 0 .
3
2
Để thỏa mãn bài toán thì đồ thò hàm số y = x − 3x − m − m có hai
Ta có

điểm cực trò nằm khác phía so với trục hoành.

y ' = 3 x 2 − 3 ; y ' = 3x 2 − 3 = 0  x = 1 .
Vậy ta cần có

y ( −1) . y (1)  0  ( 2 − m2 − m )( −2 − m2 − m )  0

 −2  m  1 .
Trần Tuấn Anh – Mail:


Trần Tuấn Anh – Mail:
Chọn đáp án A.
Cách khác (chọn đại diện)
Nếu

m = −2

phương trình trở thành :

x =1
.
x3 − 3x = 2  x3 − 3x − 2 = 0  
x
=
−
2

 Loại trường hợp B, D.

3
phương trình trở thành :
2
15
15
x3 − 3x =  x3 − 3x − = 0 . (không thỏa)
4
4

Nếu

m=

 Loại trường hợp C.
Chọn đáp án A.
Ví

dụ

3.

Các

giá

trò

thực

của

tham

số

m

để

m 3
x − mx 2 + (2m − 1) x + m 2 nghòch biến trên
là
3
B. m  0 .
C. 0  m  1 .
m  0 hoặc m  1 .

hàm

số

y=
A.

D.

m  0.

Cách giải thông thường

y ' = mx 2 − 2mx + 2m − 1 .
TH1: Nếu m = 0 thì y ' = −1  0 thỏa mãn bài toán.
TH2:
Nếu
m  0 , để thỏa mãn bài toán
Ta có

ta

cần

có

m=0

thỏa

m  0
m  0
 2
m0
 2
m
−
m
2
m
−
1


0
−
m
+
m

0
(
)


Vậy m  0 , chọn đáp án D.
Cách khác (chọn đại diện)
Nếu

m=0

hàm số trở thành

y = − x ; y ' = −1  0 .

Suy ra

mãn bài toán.

 Loại trường hợp A, C. (do không chứa giá trò m = 0 )
Nếu

m = −3

hàm số trở thành

y ' = −3x 2 + 6 x − 7  0, x 

y = − x3 + 3x 2 − 7 x + 9
Suy ra

m = −3

;

thỏa mãn bài toán.

 Loại trường hợp B.
Chọn đáp án D.
Ví dụ 4. Với tất cả các giá trò thực nào của tham số m thì đồ à thò hàm số

y = x 4 + ( m + 1) x 2 + 4

có ba điểm cực trò ?

Trần Tuấn Anh – Mail:


Trần Tuấn Anh – Mail:
A.

m  −1

;

B.

m  −1

;

C.

m  −1

;

D.

m  −1 .

Cách giải thông thường
Ta có

y ' = 4 x3 + 2 ( m + 1) x = 2 x ( 2 x 2 + m + 1)

.

Để thỏa mãn bài toán thì phương trình 2 x + m + 1 = 0 phải có hai
nghiệm phân biệt khác 0 . Suy ra : m + 1  0  m  −1 .
2

Chọn đáp án C.

Cách khác (chọn đại diện)

m = −1 hàm số trở thành y = x 4 + 4 (hàm số này chỉ có một cực
trò). Suy ra m = −1 không thỏa mãn bài toán.
 Loại trường hợp B, D. (do chứa giá trò m = −1 , làm hàm số có một cực
Nếu

trò)

Nếu

m=0

hàm số trở thành

y = x4 + x2 + 4

;

y ' = 4 x3 + 2 x = 2 x ( 2 x 2 + 1) = 0  x = 0 .

Suy ra

m=0

không thỏa

mãn bài toán.

 Loại trường hợp A.

Chọn đáp án C.
Ví dụ 5. Với tất cả các giá trò thực nào của tham số m thì hàm số

m 3
x − mx 2 + (2m − 1) x + m 2
3
1
1
m .
B. m  .
2
2

y=
A.

nghòch biến trên đoạn
C.

m  1.

0;1 ?
D.

m  1.

Cách giải thông thường

y ' = mx 2 − 2mx + 2m − 1 .
TH1: Nếu m = 0 thì y ' = −1  0

Ta có

TH2: Nếu

thỏa mãn bài toán.

m  0 , ta cần có y '  0, x  0;1

 mx 2 − 2mx + 2m − 1  0, x   0;1

 m ( x 2 − 2 x + 2 )  1, x  0;1  m 
Xét hàm số

1
, x   0;1 .
x − 2x + 2
2

1
trên đoạn  0;1 .
x2 − 2 x + 2
2x − 2
; f '( x ) = 0  x = 1 .
f '( x ) = −
2
2
( x − 2x + 2)
f ( x) =

Trần Tuấn Anh – Mail:

Trần Tuấn Anh – Mail:
Ta có :

f ( 0) =

1
2

;.

f ( 0) = 1.

Suy ra :

Để thỏa mãn bài toán ta cần có

m

min f ( x ) = f ( 0 ) =
0;1

1
.
2

1
.
2

Chọn đáp án B.
Cách khác (chọn đại diện)

m=0

Nếu

y = − x ; y ' = −1  0 .

hàm số trở thành

Suy ra

m=0

thỏa

mãn bài toán.

 Loại trường hợp A, D. (do không chứa giá trò m = 0 )
Nếu

m =1

hàm số trở thành

1
y = x3 − x 2 + x + 1 ;
3

y ' = x 2 − 2 x + 1 = ( x − 1)  0, x 
2

m =1

. Suy ra

không thỏa mãn bài

toán.

 Loại trường hợp C.
Chọn đáp án B.
Ví dụ 6. Cho hàm số y

= ax 4 + bx 2 + c ( a  0 )
x

−

y'

−

và có bảng biến thiên :

+

0

0

+

+

+

y
c
Chọn khẳng đònh đúng :
A.
C.

a0
a0

và
và

b 0.
b  0.

Cách giải thông thường
Trong khoảng ngoài cùng (khoảng
Ta có

B.
D.

a0
a0

( 0;+ ) ) thì

và
và

b  0.
b 0.

y'  0

nên

x = 0
y ' = 4ax3 + 2bx = 2 x ( 2ax 2 + b ) = 0  
2
 2ax + b = 0

Trần Tuấn Anh – Mail:

a  0.
.


Trần Tuấn Anh – Mail:

2ax2 + b = 0

Do hàm số có một cưcï trò nên phương trình

 ab  0
x = 0 . Ta phải có : 
b = 0
b 0.

hoặc có nghiệm
Mà

a0

nên

phải vô nghiệm

.

Chọn đáp án D.
Cách khác (chọn đại diện)
Trong khoảng ngoài cùng (khoảng

( 0;+ ) ) thì

y'  0

nên

a  0.

Loại

đáp án A, B.

a = 1 , b = −2

Xét trường hợp C : cho

y = x − 2x
4

2

và

c = 0 , ta được hàm số

;

x = 0
y ' = 4 x − 4 x = 4 x ( x − 1) = 0   x = −1 .

 x = 1
3

2

Suy ra hàm số đã cho có ba cực trò. Loại đáp án C.
Chọn đáp án D.
Ví dụ 7. Cho hàm số y

= ax 4 + bx 2 + c ( a  0 )

có đồ

y

thò như hình bên. Chọn khẳng đònh đúng :
2
A.

a  0, b  0, c  0 .

B.

a  0, b  0, c  0 .
O

C.

a  0, b  0, c  0 .

D.

x

a  0, b  0, c  0 .

Cách giải thông thường
Ta có

x=0

thì

c = 2  0.

Nhánh ngoài cùng, bên phải của đồ thò trên đi xuống từ trái qua phải nên
a  0 . Loại các đáp án A và B.

x = 0
y ' = 4ax3 + 2bx = 2 x ( 2ax 2 + b ) = 0  
.
2
2
ax
+
b
=
0

2
Do hàm số có ba cưcï trò nên phương trình 2ax + b = 0 phải
nghiệm phân biệt khác x = 0 . Ta phải có : ab  0 .
Mà a  0 nên b  0 .
Ta có

Chọn đáp án D.
Cách khác (chọn đại diện)
Trần Tuấn Anh – Mail:

có hai


Trần Tuấn Anh – Mail:
Nhánh ngoài cùng, bên phải của đồ thò trên đi xuống từ trái qua phải nên
a  0 . Loại các đáp án A và B.

a = −1, b = −2 và c = 2 , ta được
y ' = −4 x − 4 x = −4 x ( x 2 + 1) = 0  x = 0 .

Xét trường hợp C : cho

y = −x − 2x
4

2

;

hàm số

3

Suy ra, hàm số đã cho có một cực trò. Loại đáp án C.
Chọn đáp án D.
Ví dụ 8. Với tất cả các giá trò thực nào của tham số m thì hàm số

x−3
đồng biến trên khoảng ( 2;+ ) ?

x+m
B. m  −2 .
C. −3  m  −2 .
m  −3 .

y=
A.

D.

m  −2 .

Cách giải thông thường

y' =

Ta có

m+3

( x + m)

2

.

Để thỏa mãn bài toán ta cần có

y '  0, x  ( 2; + )

m + 3  0

0,

x

2;
+

(
)

2
( x + m)
−m  ( 2; + )
m  −3 m  −3


 m  −2 .
−
m

2
m

−
2




m+3

Chọn đáp án D.
Cách khác (chọn đại diện)
Nếu

m = −2

m = −2

hàm số trở thành

y=

x−3
x−2

;

y' =

1

( x − 2)

thỏa mãn bài toán.

 Loại trường hợp A, B, C. (do không chứa giá trò m = −2 )
Chọn đáp án D.

Ví dụ 9. Cho hàm số y

= f ( x)

có đồ thò

(C )

như

hình bên. Tìm tất cả các giá trò thực của tham số
để đường thẳng

y = 2m − 6

cắt đồ thò

điểm phân biệt đều có hoành độ lớn hơn

(C )

m

tại hai

−1.

A.

3 m5

.

B.

3  m  5.

C.

3 m5

.

D.

3  m  5.

Trần Tuấn Anh – Mail:

2

 0.

Suy ra


Trần Tuấn Anh – Mail:

Cách giải thông thường
Từ đồ thò ta suy ra, giá trò của tham số

m

thỏa mãn bài toán là :

 2m − 6  0

 2m − 6  4
 2m  6
m  3
.


2m  10
m  5
Chọn đáp án B.
Cách khác (chọn đại diện)
- Nếu

m = 3,

y=0

có một giao điểm

y = 2m − 6 trở thành y = 0 . Đường thẳng
với đồ thò ( C ) . Suy ra m = 3 không thỏa mãn

đường thẳng

bài toán.

 Loại trường hợp A, C. (do chứa giá trò m = 3 )

y = 2m − 6 trở thành y = 4 .
y = 4 có hai giao điểm với đồ thò ( C ) , trong đó có một
hoành độ bằng −1 . Suy ra m = 5 không thỏa mãn bài toán.
 Loại trường hợp D. (do chứa giá trò m = 5 )
- Nếu

m = 5,

đường thẳng

Đường thẳng
giao điểm có

Chọn đáp án B.
Ví dụ 10. Các giá trò thực của tham số thực

m

y = mx + ( m − 1) x + 1 − 2m có một điểm cực trò là :
4

A.

để đồ thò hàm số

2

m  0
m  1 .


B.

( −;0  (1; + ) .

C.

0  m  1.

D.

( −;0 )  (1; + ) .

Cách giải thông thường
TH1: Nếu
trò.
TH2: Nếu

m=0

thì

y = − x 2 + 1 , đồ thò

của hàm số này có một điểm cực

m  0 , ta có y ' = 4mx3 + 2 ( m − 1) x = 2 x ( 2mx 2 + m − 1)

Để thỏa mãn bài toán thì phương trình
nghiệm x = 0 hoặc vô nghiệm.
Suy ra :

2mx2 + m − 1 = 0

m − 1 = 0
m = 1

.


m
m
−
1

0
m

−
;0

1;
+
(
)
(

)
(
)



Trần Tuấn Anh – Mail:

.

phải có một


Trần Tuấn Anh – Mail:
Kết hợp hai trường hợp trên ta được

m  0
m  1 .


Chọn đáp án A.
Cách khác (chọn đại diện)

y = x 4 − 1 ; y ' = 4 x3 = 0  x = 0 . (đồ thò
hàm số có một điểm cực trò). Suy ra m = 1 thỏa mãn bài toán.
- Nếu

m =1

hàm số trở thành

 Loại các đáp án B, C, D.
Chọn đáp án A.
II. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ
HÀM SỐ LÔGARIT
Ví dụ 1. Cho log a x = 3, logb x = 4 với a, b là các số thực lớn hơn 1. Tính

P = log ab x .
A. P =

7
.
12

B. P =

1
.
12

C. P = 12 .

D. P =

12
7

(Câu 42 - Mã đề 101 – THPT QG - 2017)
Cách giải thông thường
Ta có : P = log ab x =

1
1
1
12
=
=
= .
log x ab log x a + log x b 1 + 1 7
3 4

Chọn đáp án D.
Cách khác (Chọn đại diện)
3

12
a = 2
Chọn 
.
 x = 2 . Khi đó P = log 3 2. 4 2 2 = log 7 2 =
(
)
4
7
212

b = 2

(ta có thể dùng máy tính cầm tay để hỗ trợ tính cho nhanh)
Chọn đáp án D.

Ví dụ 2. Cho a = log2 m với m  0 ; m  1 và A = l og8 ( 8m ) . Khi đó mối quan
hệ giữa A và a là :
A. A = a ( 3 − a ) .

B. A =

3+a
.
3

C. A =

3−a
.
a

D. A = a ( 3 + a ) .

Cách giải thông thường
Ta có A = l og8 ( 8m ) = l og8 8 + l og8 m = 1 + l og 3 m = 1 + l og2 m =
2
3
1

Vậy A =

3+a
.
a

Trần Tuấn Anh – Mail:

3 + l og2 m
3

.


Trần Tuấn Anh – Mail:
Chọn đáp án B.
Cách khác (chọn đại diện)
Chọn m = 4 ta tính a = log2 m = log2 4 = 2 ; A = log8 ( 8m ) = log8 32 =
Khi thì ta có :

A. A = a ( 3 − a ) = 2 .
C. A =

3−a 1
= .
a
2

B. A =

5
.
3

3+a 5
= .

3
3

D. A = a ( 3 + a ) = 10 .

Chọn đáp án B.
Ví dụ 3. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 5x+1 −
A. S = (1; + ) .

B. S = ( −1; + ) .

1
0.
5

C. S = ( −2; + ) .

D. S = ( −; −2 ) .

Cách giải thông thường
5x +1 −

1
1
 0  5x +1   5x +1  5−1  x + 1  −1  x  −2 .
5
5

Tập nghiệm của bất phương trình là S = ( −2; + ) .
Chọn đáp án C.

Cách khác (chọn đại diện)
1
- Với x = 0 thì 50 +1 −  0 . suy ra, loại các đáp án A và D.
5

- Với x = −1 thì 5−1+1 −

1
1 4
= 1 − =  0 . suy ra, loại đáp án B.
5
5 5

Chọn đáp án C.
Ví dụ 4. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình l og 1 x2  −1 .
4

A. ( −; 2 .

B. −2; 2 .

C. −2; 0 )  ( 0; 2 .

D. ( 0; 2 .

Cách giải thông thường
x  0
x  0

x  0

2
−1  
l og 1 x  −1  

 x  −2; 0 )  ( 0; 2  .
 2
1
2
−2  x  2
x  4
x   

4
4


Chọn đáp án C.
Cách khác (chọn đại diện)
- Với x = 0 thì l og 1 x2 không xác đònh. Suy ra, loại các đáp án A và B.
4

Trần Tuấn Anh – Mail:


Trần Tuấn Anh – Mail:
- Với x = −2 thì log 1 ( −2 ) = log −1 4 = −1 . suy ra, loại đáp án D.
4
2

4

Chọn đáp án C.
 1

P = a 2



Ví dụ 5. Cho biểu thức

 1 1
 − −
a 3 b 2



6
2 
 a3b6  3   , với
a, b là các số

 

 
 

thực dương. Khẳng đònh nào sau đây đúng ?
21
13
B. P = a b 4 .

A. P = a13b21 .

21
5
C. P = a b 3 .

D. P = a21b13 .

Cách giải thông thường
 1

Ta có : P = a 2



 1 1
 − −
a 3 b 2



6
2 
 a3b6  3  

 

 
 

6

 1
 2

  = a





 1

= a 2



 1 1
 −3 −2 2 4
a b
a b



 1

= a 2



6
 1

1
1 
2
−
4
−

 

3
2
b
a
  = a 2





 

( )

6
1
1 


2
−
4
−


3b 2 
a






6
6
 5 7 
 13 7 
 3 2  


13 21
 a b   = a 6 b 2  = a b .








 

Chọn đáp án A.
Cách khác (chọn đại diện)
Sau khi rút gọn thì được kết quả đúng với mọi a, b là các số thực dương
nên ta có thể chọn đại diện.
- Chọn a = 1 ; b = 2 thì
 1


P = 1 2




 1 1
 − −
1 3 2 2



6
 1
2 
 −

 1326  3  

   = 2 2


 

 



2
 26  3 
  
  


6

 1

 −2 4 
= 2 .2 





6
= 221 .

(có thể dùng máy tính để tính giá trò của P )
- Thế a = 1 ; b = 2 vào các đáp án thì chỉ có đáp án A thỏa mãn.
Chọn đáp án A.

Ví dụ 6. Cho a là số thực dương và b là số thực khác 0 . Khẳng đònh nào
sau đây đúng?

Trần Tuấn Anh – Mail:


Trần Tuấn Anh – Mail:
 3a3 
 = 1 + 3 l og a − 2 l og b .
3
3
 2 
 b 

B. l og3 

 3a3 
 = 1 + 3 l og a + 2 l og b .
3
3
 2 
 b 

 3 a3 
 = 1 + 3 l og a − 2 l og b .
3
3
 2 
 b 

D. l og3 

A. l og3 

 3a 3 
 = 1 + 1 l og a − 2 l og b .
3
3
 2 
3
 b 

C. l og3 

Cách giải thông thường
 3 a3 
 = l og  3a3  − l og b2
3
3
 2 

 b 

Ta có : l og3 

= log3 3 + log3 a3 − log3 b2 = 1 + 3 log3 a − 2 log3 b .

Chọn đáp án C.
Cách khác (chọn đại diện)
Sau khi biến đổi thì được kết quả đúng với mọi a là số thực dương và

b là số thực khác 0 , nên ta có thể chọn đại diện.
- Chọn b = −1 thì các biểu thức bên vế phải của đáp án A và B đều không
xác đònh nên loại các đáp án A, B.

 3

3
VT = l og  3a  = l og  3.3  = 4
3 2 
3 2 

- Chọn a = 3 ; b = 1 thì ở đáp án C ta có 
 b 
 1 

 3
2
VP = l og3  3.3  − l og3 1 = 4




(thỏa mãn) ;

 3

3
VT = l og  3a  = l og  3.3  = 4
3
3


 2 
 2 
ở đáp án D ta có 
(không thỏa mãn nên
 b 
 1 

1
4


VP = l og3  3.33  − l og3 12 =
3
3




loại đáp án D).
Chọn đáp án C.
2018

Ví dụ 7. Cho x = lg  a2 − ab + b2 




; y = lg a2018 − lg

1
(với a và b là
2018
b

các số thực dương). Khẳng đònh nào sau đây đúng ?
A. x  y .

B. x  y .

C. x  y .

D. x  y .

Cách giải thông thường
2018

Ta có : x = l g  a2 − ab + b2 


y = lg a2018 − lg



= 2018 lg  a2 − ab + b2  ;



1
= 2018 lg a − lg b−2018 = 2018 ( lg a + lg b)

2018
b

Trần Tuấn Anh – Mail:


Trần Tuấn Anh – Mail:
= 2018 lg ( ab ) .

Xét hiệu x − y = 2018 lg ( ab) − 2018 lg  a2 − ab + b2 






= 2018  l g  a2 − ab + b2  − l g ( ab ) 

 




= 2018  l g  a2 − ab + b2  − l g ( ab )  . (1)





Lại có :  a2 − ab + b2  − ab = ( a − b )  0 nên a2 − ab + b2  ab  0 (do a, b  0 )

2





.
 lg  a2 − ab + b2   lg ( ab ) . (2)



Từ (1) và (2) suy ra x  y .
Chọn đáp án C.
Cách khác (chọn đại diện)
Bất đẳng thức đúng với các số thực dương a và b bất kỳ nên ta có thể
chọn đại diện.
- Chọn a = 2 ; b = 1 thì

1 
 = l g 32018 − l g 22018  0 .
x − y = l g 32018 −  l g 22018 − l g


2018
1



Suy ra x  y , loại các đáp án A, B.
- Chọn a = b = 1 thì x = y = 0 , loại đáp án D.

Chọn đáp án C.
Ví dụ 8. Hàm số y =
A. (1; + ) .

2
+ ln ( x + 1) đồng biến trên khoảng nào ?
x +1

B. ( −1; + ) .

C. ( −1;1) .

D. −
 1; + ) .

Cách giải thông thường 1
Tập xác đònh : ( −1; + ) .
Ta có y ' =

−2

( x + 1)2

+

1
=
x +1

x −1

( x + 1)2

Bảng biến thiên

x
y'
y

; y' = 0 

−

−1

x −1

( x + 1)2
−

= 0  x −1 = 0  x = 1 .

1
0

1 + ln 2
Trần Tuấn Anh – Mail:

+

+


Trần Tuấn Anh – Mail:

Hàm số đồng biến trên khoảng (1; + ) .
Chọn đáp án A.
Cách giải thông thường 2
Tập xác đònh : ( −1; + ) .
Ta có y ' =

−2

( x + 1)

2

+

1
=
x +1

x −1

( x + 1)

2

0 x 1 .

Hàm số đồng biến trên khoảng (1; + ) .
Chọn đáp án A.
Cách khác (chọn đại diện)
- Với x = −1 thì hàm số không xác đònh nên loại các đáp án D.
−2

Ta có y ' =
- Giá trò

+

1
.
x +1

( x + 1)2
y ' ( 0 ) = −1  0 , loại đáp án C, B.

Chọn đáp án A.
* Lưu ý : Các bạn có thể dùng máy tính cầm tay để tính đạo hàm của hàm
số đã cho tại x = 0 .
y
Ví dụ 9. Cho
Đồ

thò

a, b, c

của

y = log c x

hàm

y=logax

là các số thực dương và khác
số

y = log a x ,

1.
y = logb x ,

y=logbx

được cho trong hình vẽ bên. Chọn khẳng
O

đònh đúng ?
A.

abc

.

B.

b c  a.

C.

cab

.

D.

c b  a.

1

x
y=logcx

Cách giải thông thường
Đồ thò của hàm số
số

y = logc x

y = logc x

có hướng đi xuống từ trái qua phải nên hàm

nghòch biến trên khoảng xác đònh của nó. Ngược lại, đồ thò

y = log a x và y = logb x có hướng đi lên từ trái qua phải

nên hàm số y = log a x và y = logb x đồng biến trên khoảng xác đònh của
nó. Suy ra c  a và c  b .
của các hàm số

Trần Tuấn Anh – Mail:


Trần Tuấn Anh – Mail:
Đường thẳng

y =1

cắt đồ thò của hai hàm số

các điểm có tọa độ lần lượt là
Vậy

và

a

b . Do đó,

y = log a x
a  b.

và

y = logb x

tại

c  a  b.

Chọn đáp án C.
Cách khác (chọn đại diện)
- Với x = 5 thì

a  1; b  1 .

logc 5  0

- Với x = 5; a = 3; b = 4 thì
Vậy

0  c 1

nên

log3 5 − log 4 5  0

và

loga 5  0 ; logb 5  0

(đúng) nên

nên

a  b.

c  a  b.

Chọn đáp án C.
Ví dụ 10. Cho a, b là các số thực thỏa mãn 0  a  b  1 . Mệnh đề nào sau
đây đúng ?
A. logb a  loga b .

B. logb a  loga b .

C. logb a  0 .

D. loga b  1 .

Cách giải thông thường 1
Ta có logb a  loga b  logb a − loga b  0  l ogb a −
2
l ogb a ) − 1
(

0.
l ogb a

1
0
l ogb a

(đúng vì từ 0  a  b  1 suy ra logb a  logb b = 1 )

Chọn đáp án A.

Cách giải thông thường 2
Từ 0  a  b  1 suy ra logb a  logb b hay logb a  1 và loga a  loga b hay
1  loga b . Do đó, ta loại các đáp án B, C, D.
Chọn đáp án A.
Cách khác (chọn đại diện)
Chọn a =

1
1
1
thì ta được : loga b = log −2 2−1 =  loại đáp án D.
;b=
2
2
4
2
l ogb a = l og −1 2−2 = 2  loại đáp án C.
2

Và ta cũng có logb a  loga b nên loại đáp án B.
Chọn đáp án A.
Ví dụ 11. Cho biểu thức

P=

3 2
5
x . x. x3 , với x  0 là số thực dương.

Khẳng đònh nào sau đây đúng ?

14
A. P = x 15 .

13
B. P = x 15 .

16
C. P = x 15 .

Trần Tuấn Anh – Mail:

24
15
D. P = x .


Trần Tuấn Anh – Mail:
Cách giải thông thường
3
8
4 3 14
14
3
3
3
3 2
5 3
2
2
2

5
5
5
5
Ta có P = x . x. x = x . x.x = x . x = x .x = x
= x 15 .

Chọn đáp án A.
Cách khác (chọn đại diện)
Sau khi rút gọn thì được kết quả đúng với mọi x  0 là các số thực
dương nên ta có thể chọn đại diện.
- Chọn x = 2 thì P  1, 9 .

(dùng máy tính để tính giá trò của P )

- Thế x = 2 vào các đáp án thì chỉ có đáp án A thỏa mãn.
Chọn đáp án A.
* Lưu ý : Các bạn kết hợp thủ thuật khi dùng máy tính cầm tay thì giải
quyết bài toán rất nhanh.
Ví dụ 12. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 31+ 2 x − 3 x +1  x2 − 2 x
là :
A. S = ( 0; + ) .

B. S = 2; + ) .

D. S = 2; + )  0 .

C. S = 0; 2 .

Cách giải thông thường

Ta có : 31+ 2 x − 3x +1  x2 − 2 x  31+ 2 x + 2 x  31+ x + x2 .
Xét hàm số f ( t ) = 31+ t + t 2 , t  0 ; f ' ( t ) = 31+ t ln 3 + 2t  0, t 
Suy ra, f ( t ) là hàm số đồng biến trên
nên

.

. Mà theo (*) ta có f

( 2x )  f ( x )


 2
2


 x  ( −; 0   2; + )
2x  x 2 x  x   x − 2 x  0  
 x  2; + )  0 .

x  0
x  0
x  0



Tập nghiệm của bất phương trình là S = 2; + )  0 .
Chọn đáp án D.
Cách khác (chọn đại diện)
- Với x = 0 thì 31+0 − 30 +1  0 − 0 (đúng). suy ra, loại các đáp án A và B.

- Với x = 8 thì 31+ 4 − 38 +1  82 − 2.8 (đúng). suy ra, loại đáp án C.
Chọn đáp án D.
Ví dụ

13 .

Cho

x 1

;

a, b, c

là

các

số

dương khác

logc x  logb x  0  log a x . Chọn khẳng đònh đúng :

A. a  b  c .

B. c  b  a .

C. b  a  c .

D. b  c  a .

Cách giải thông thường
Ta có x  1 , màø loga x  0  loga x  loga 1 nên suy ra :
logb x  0  logb x  logb 1 nên suy ra :

Trần Tuấn Anh – Mail:

a  1.
0  b  1.

1 và


Trần Tuấn Anh – Mail:
logc x  0  logc x  logc 1 nên suy ra :

0  c  1.

Suy ra : a  b ; a  c . (*)
Lại có : l og c x  l ogb x 

l og x b − l og x c
1
1


 0.
l og x c l og x b
l og x c. l og x b

Vì log x b  log x 1 = 0 và log x c  log x 1 = 0 nên suy ra :
log x b − log x c  0  log x b  log x c  b  c . ( do x  1 ) (**)

Từ (*) và (**) ta được : b  c  a .
Chọn đáp án D.
Cách khác (chọn đại diện)
- Chọn x = 2 và c = 2−1 ; b = 2−2 ; a = 2 thì
l ogc x = −1  l ogb x = −

Rõ ràng rằng b = 2−2 =

1
 0  l oga x = 1 .
2

1
1
 c = 2−1 =  a = 2 .
4
2

Chọn đáp án D.
1
t
t
−
1
t
−

Ví dụ 14 . Cho x = t
, y = t 1 với t  0, t  1 . Giữa x và y có hệ thức

liên hệ nào sau đây ?
A. y x = x y .

1
x
C. y = x y .

B. x x = y y .

1
D. y x = x y .

Cách giải thông thường
Ta có :

Suy ra :

y
=
x

t
t
−
t 1
1
t

−
t 1

t
1
−
t
−
1
t
−
1 =t ;
=t

t
t
 1 


y = t t −1 =  t t −1  = x t .




y
 y


t
x

y = x  y = xx  y = xx 







x




 yx = x y .

Chọn đáp án A.
Cách khác (chọn đại diện)
Chọn t = 2 thìø x = 2, y = 4 . Khi đó ta có :
A. 42 = 24 .
(Đúng nhưng ta chưa chọn được đáp án này vì còn trường hợp đáp án khác
cũng đúng !)
B. 22 = 44 . ( Sai )
Trần Tuấn Anh – Mail:


Trần Tuấn Anh – Mail:
1
2
C. 4 = 2 4 . ( Sai )

1
D. 4 2 = 24 . ( Sai )

Chọn đáp án A.
III. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN
6
2
Ví dụ 1. Cho  f x dx = 12 . Tính I =  f ( 3 x ) dx .
0
0

( )

A. I = 6 .

B. I = 36 .

C. I = 2 .

D. I = 4 .

(Câu 25 - Mã đề 101 – THPT QG - 2017)
Cách giải thông thường 1
2

Ta xét I =  f ( 3 x ) dx .
0

Đặt t = 3x  dt = 3dx .
Đổi cận :

x

0
0

t

2
6

6

1
1
Tược : I =  f ( t ) dt = .12 = 4 .
3
3
0

Chọn đáp án D.
Cách giải thông thường 2
2

Ta có I =  f ( 3x ) dx =
0

2
6
1

1
f
3
x
d
3
x
=
( ) ( ) 3  f ( t ) d ( t ) = 13 .12 = 4 .
3
0
0

Chọn đáp án D.
Cách khác (chọn đại diện)
Ta chọn đại diện: f ( x ) = 2 thỏa mãn

6

6

 2dx = 2x 0 = 2.6 − 2.0 = 12 .

0
2
2
 I =  2dx = 2 x = 2.2 − 2.0 = 4 .
0
0

Chọn đáp án D.

Trần Tuấn Anh – Mail:


Trần Tuấn Anh – Mail:
Ví

dụ

2.

Cho

hàm

f ( x)

số

f ( x ) + f ( − x ) = 2 + 2 cos2 x , x 

liên

tục
3
2

. Tính I =



−

B. I = −6 .

trên

3
2

và

thỏa

mãn

f ( x ) dx .

B. I = 0 .
C. I = −2 .
(Đề tham khảo lần 3 của Bộ GD&ĐT)

D. I = 6 .

Cách giải thông thường
3
3
2



Ta có I =
−

=

3
2



 2 + 2 cos 2x − f ( − x )  dx





−

3
2
−

2

f ( x ) dx =

3
2

3
2



4 cos2 xdx −

3
2

−

3
2

f ( − x ) dx = 2



I =2
−



=2

−

I =

3
2



−

−

3
2

2

−

3
2



cos x dx +

3
2

cos x dx −

3

2





cos x dx = −

−

3
2

3
2



−

Đặt t = − x và đổi cận, ta được :
3
2

3
2

3
2



−

3
2

3
2

2



−

−



3
2

f ( −x ) d ( −x ) .

f ( t ) dt

f ( x ) dx = 2

cos xdx −

3
2



−

cos x dx − I

3
2

3
2







2

2

cos xdx

3


−
= − s i nx 2 + s i nx 2 − s i nx 2 = − s i nx 2 + s i nx
3


3
−
−
−
2
2
2
2
−



cos x dx +

3
2



cos xdx +

3
2




2
−

Chọn đáp án D.
Cách khác (chọn đại diện)
Ta có f ( x ) + f ( − x ) = 2 + 2 cos 2 x = 4 cos2 x = 2 cos x . (*)
Trần Tuấn Anh – Mail:


2

3
− s i nx 2 = 6 .



2


Trần Tuấn Anh – Mail:
Có vô số hàm f thỏa mãn (*), ta chọn đại diện như sau :
f ( x ) = cos x
3
2



I =

−

f ( − x ) = cos ( − x ) = cos x .

;

cos x dx = 6 . (máy tính casio cũng phải mất nhiều thời gian để

3
2

cho ra kết quả!)
Chọn đáp án D.
Ví dụ 3. Cho hàm số

y = f ( x ) liên tục trên

và thỏa mãn



f ( x ) + f ( − x ) = 3 − 2 cos x, x 

. Tính I =

2

 f ( x ) dx .

−



A. I =

2

+2.

B. I =

3
−2.
2



2

C. I =

 −1
3

.

D. I =

 +1

2

.

Cách giải thông thường


Ta có I =

2



−

=


2

f ( x ) dx =

2

3 − 2 cos x − f ( − x )  dx





−


2









2

2

2

2

 ( 3 − 2 cos x ) dx −  f ( − x ) dx =  ( 3 − 2 cos x ) dx +  f ( − x ) d ( − x )

−



2

−



−

2



−

2



2



Đặt

t = −x

và đổi cận, ta được :

I =

2



−

=





2

2

 ( 3 − 2 cos x ) dx −  f ( t ) dt

−



2

−



2



−

( 3 − 2 cos x ) dx +

2



=

2

 ( 3 − 2 cos x ) dx − I

−



2

Trần Tuấn Anh – Mail:


2

 f ( t ) dt



2

Trần Tuấn Anh – Mail:





1 2
1
I =
( 3 − 2 cos x ) dx = 2  3x 2 − 2 s i nx 2
2 
−
 −

2
2

−
2


 3
 = 2 −2.



Chọn đáp án B.
Cách khác (chọn đại diện)

Ta có f ( x ) + f ( − x ) = 3 − 2 cos x . (*)

( )

Ta chọn đại diện như sau : f ( x ) =

( )

3
3
3
− cos x ; f − x = − cos − x = − cos x ,
2
2
2
thỏa mãn giả thiết f x + f − x = 3 − 2 cos x .

( )

( )






3

2
 I =   − cos x  dx =  x

− s i nx 2


2
2


−
−


2
2
−

2 
3

2


 3
−2.
=
2




(có thể dùng máy tính casio để có kết quả rồi so sánh với đáp án !)

Chọn đáp án B.

( )

Ví dụ 4. Cho hàm số F x là một nguyên hàm của hàm số f ( x ) . Khi đó,
hiệu số F (1) − F ( 2 ) bằng
A.

2

 f ( x ) dx .

B.

1

1

 F ( x ) dx .

2

C.

2

 f ( x ) d ( −x ) .

1

Cách giải thông thường
Ta có F (1) − F ( 2 ) = F ( x )

1
=
2

1

2
2
f
x
dx
=
−
f
x
dx
=
(
)
(
)


 f ( x ) d ( −x ) .
2
1
1

Chọn đáp án C.
Cách khác (chọn đại diện)

Ta chọn F ( x ) = x  f ( x ) = 1 .
Ta được F (1) − F ( 2 ) = 1 − 2 = −1 .

I1 =
I2 =

2

2

1

1

 f ( x ) dx =  dx = 2 − 1 = 1 . Loại đáp án A.
1

1

2

2

 F ( x ) dx =  xdx =

x2 1 1

3
= − 2 = − . Loại đáp án B.
2 2 2
2

Trần Tuấn Anh – Mail:

1

D. −  F ( x ) dx .
2


Trần Tuấn Anh – Mail:
2

2

1

1

 f ( x ) d ( −x ) =  d ( −x ) = − ( 2 − 1) = −1 . Thỏa mãn bài toán.

I3 =

1

1

2

2

I 4 = −  F ( x ) dx = −  xdx = −

1
 3
x2 1
= −  − 2  = . Loại đáp án D.
2 2
2
 2

Chọn đáp án C.
* Lưu ý: cách chọn đại diện nhìn trình bày có vẽ dài, nhưng trên thực tế,
chúng ta nhẩm rất nhanh.
Ví dụ 5. Biết

1

 f ( x ) dx = 2

và f ( x ) là hàm số lẻ. Khi đó I =

0

0

 f ( x ) dx

có

−1

giá trò bằng
A. I = 1 .

B. I = 0 .

C. I = −2 .

D. I = 2 .

Cách giải thông thường
0
Ta có I =  f x dx .
−1

( )

Đặt x = −t  dx = −dt ; Đổi cận x = 0  t = 0 ; x = −1  t = 1 .
0

1

1

1

0

0

Suy ra I = −  f ( −t ) dt =

 f ( −t ) dt = −  f ( t ) dt = −2 .

Chọn đáp án C.
Cách khác (chọn đại diện)
Ta chọn f ( x ) = 4 x thỏa mãn

1

1

 f ( x ) dx =  4 xdx = 2x

0

0

21=2
và f x = 4 x

( )

0

là hàm số lẻ.

Khi đó I =

0

0

−1

−1

2
 f ( x ) dx =  4 xdx = 2x −1 = −2 .

0

Chọn đáp án C.
IV. MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ SỐ PHỨC
Ví dụ 1. Cho hai số phức z1 , z 2 thỏa mãn

z1 = z 2 = 1, z1 + z 2 = 3 . Tính

z1 − z 2 :
A. 1 .

B. 2 .

C. 3 .

Cách giải thông thường
Gọi z1 = a + bi; z 2 = c + di , ta có :

Trần Tuấn Anh – Mail:

D. 4 .


Trần Tuấn Anh – Mail:
•

z1 = 1  a 2 + b 2 = 1 ; z 2 = 1  c2 + d 2 = 1 ; (*)

• z1 + z 2 = (a + c) + (b + d)i  z1 + z 2 = 3  (a + c) 2 + (b + d) 2 = 3

 a 2 + 2ac + c2 + b 2 + 2bd + d 2 = 3 .
Kết hợp với (*) ta được : 2ac + 2bd = 1 .
Lại có : z1 − z 2 = (a − c) + (b − d)i = (a − c) 2 + (b − d) 2

= a 2 − 2ac + c2 + b2 − 2bd + d 2 = 2 − ( 2ac + 2bd ) = 2 − 1 = 1 .
Chọn đáp án A.
Cách khác (chọn đại diện)
Ta sẽ chọn hai số phức z1 , z 2 thỏa mãn giả thiết của bài toán là :

z1 =

3 1
3 1
+ i ; z2 =
− i .
2 2
2 2

Khi đó

 3 1   3 1 
z1 − z 2 = 
+ i  − 
− i  = i = 1 .
 2 2   2 2 

Chọn đáp án A.
Ví dụ 2. Cho số phức z thỏa mãn

z − 2 = 2 . Biết rằng tập hợp các điểm

biểu diễn các số phức w = (1 − i ) z + i là một đường tròn. Tính bán kính r
của đường tròn đó.
A. r = 2 2 .

B. r = 4 .

C. r =

2.

D. r = 2 .

Cách giải thông thường 1

w −i
w −i
w +i−2

.
 z−2=
−2 z−2=
1− i
1− i
1− i
w +i−2
w +i−2
 w + i − 2 = z − 2 . 1− i
 z−2 =
 z−2 =
1− i
1− i

Ta có : w = (1 − i ) z + i  z =

 w +i−2 = 2 2 .
Bán kính r của đường tròn cần tìm là r = 2 2 .
Chọn đáp án A.
Cách giải thông thường 2

Ta có : w = (1 − i ) z + i  w = (1 − i ) z − 2 (1 − i ) + 2 − i

 w = (1 − i )( z − 2 ) + 2 − i  w − 2 + i = (1 − i )( z − 2 )
 w − 2 + i = (1 − i )( z − 2 )  w − 2 + i = 1 − i . z − 2  w + i − 2 = 2 2 .
Bán kính r của đường tròn cần tìm là r = 2 2 .
Chọn đáp án A.
Trần Tuấn Anh – Mail:

Trần Tuấn Anh – Mail:
Cách khác (chọn đại diện)
Ta chọn các số phức z1, z 2 , z3 thỏa mãn giả thiết của bài toán là :

z1 = 2 + 2i  w1 = (1 − i )( 2 + 2i ) + i = 4 + i , với điểm biểu diễn của w1 là
M1 ( 4;1) .

z2 = 2 − 2i  w 2 = (1 − i )( 2 − 2i ) + i = −3i , với điểm biểu diễn của w 2 là
M 2 ( 0; −3) .

 w 3 = (1 − i ) 4 + i = 4 − 3i , với điểm biểu diễn của

z3 = 2 − 2i

M3 ( 4; −3) .

w 3 là

Tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w = (1 − i ) z + i là đường tròn ( C )
nên các điểm M1 , M 2 , M3 đều thuộc ( C ) .
Gọi ( C ) : x + y + ax + by + c = 0 , ta có hệ phương trình :
2

2

4a + b + c = −17
a = −4


 − 3b + c = −9  b = 2

4a − 3b + c = −25
c = −3


Khi đó, bán kính đường tròn ( C ) là r = 2 + 1 + 3 = 2 2 .
2

2

Chọn đáp án A.
Ví dụ 3. Cho z là số phức và

1
là số phức có phần thực bằng 4 . Tính
z −z

A. z = 4 .

z.
D. z =

B. z =

1
.
4

C. z =

1

.
8

1
.
2

Cách giải thông thường
1
Ta có w =
là số phức có phần thực bằng 4 nên suy ra: w + w = 8
z −z




z −z+ z −z
z −z+ z −z
1
1
+
=8  2
=8 
=8
2
z −z z −z
z − z .z − z .z + z.z
2 z − z .z − z .z
2 z −z−z

1
=8 z = .
8
z 2 z −z−z

(

)

(2 z −z−z  0)

Lưu ý : 2 z − z − z = 0  2 z = z + z . Đặt z = a + bi, ( a, b 

a 2 + b 2 = a 2
b = 0

2 a 2 + b 2 = 2a  
.

a  0
a  0

Trần Tuấn Anh – Mail:

)

ta có


Trần Tuấn Anh – Mail:

Khi đó z là số thực không âm nên z − z = 0 , vi phạm điều kiện của biểu
thức

1
.
z −z

Chọn đáp án C.
Cách khác (chọn đại diện)
Ta chọn một số phức z thỏa mãn

1
8

Dễ thấy z = − . Khi đó z =

1
là số phức có phần thực bằng 4 .
z −z

1
.
8

Chọn đáp án C.
Ví dụ 4. Cho số phức z thỏa mãn

z + z = 0 . Khi đó :

A. z là số thực nhỏ hơn hoặc bằng 0 .

B. z = 1 .

C. Phần thực của z là số âm.

D. z là số thuần ảo.

Cách giải thông thường
Đặt z = a + bi, ( a, b 

) . Khi đó ta có :

a + bi + a + bi = 0

 a 2 + b 2 + a = 0
 a 2 + b 2 = −a

 a 2 + b 2 + a + bi = 0  
b = 0
b = 0

a 2 + b 2 = a 2

b = 0
.
 b = 0

a  0
a  0


Vậy z là số thực nhỏ hơn hoặc bằng 0 .
Chọn đáp án A.
Cách khác (chọn đại diện)
Ta chọn số phức z thỏa mãn
Chọn z = 0 thỏa mãn

z + z = 0 rồi kiểm tra các đáp án.

z + z = 0 thì loại đáp án B, C, D.

Chọn đáp án A.
Ví dụ 5. Tìm tất cả cá giá trò thực của tham số m để số phức z =

m+i
có
m−i

phần thực dương.

 m  −1
.
m  1

A. 

B. m  1 .

C. −1  m  1.

Cách giải thông thường

Trần Tuấn Anh – Mail:

D. m  0 .