Toàn tập trụ – nón – cầu 2019 Full đáp án

MỤC LỤC
NỘI DUNG
A – LÝ THUYẾT CẦN NHỚ--------------------------------------------------------------1. Mặt nón tròn xoay và khối nón---------------------------------------------------2. Mặt trụ tròn xoay và khối trụ-----------------------------------------------------3. Mặt cầu – khối cầu ------------------------------------------------------------------4. Một số dạng toán và công thức giải nón – cầu/ -------------------------------5. Một số dạng toán và công thức bài toán mặt cầu ----------------------------6. Tổng họp các công thức đặc biệt ------------------------------------------------B – BÀI TẬP RÈN LUYỆN.---------------------------------------------------------------1. Dạng 1 – Mặt cầu – Khối Cầu -----------------------------------------------Mức độ < 8đ------------------------------------------------------------Mức độ 8+ ---------------------------------------------------------------Đáp án.-------------------------------------------------------------------2. Dạng 2 – Mặt Nón – Khối Nón -----------------------------------------------Mức độ < 8đ ------------------------------------------------------------Mức độ 8+. --------------------------------------------------------------Đáp án.-------------------------------------------------------------------3. Dạng 3 – Mặt Trụ - Khối Trụ-------------------------------------------------Mức độ < 8đ.------------------------------------------------------------Mức độ 8+ ---------------------------------------------------------------Đáp án -------------------------------------------------------------------BÀI TẬP TỔNG HỢP NÓN – TRỤ - 2019 --------------------------------------------AMỨC ĐỘ < 8Đ ---------------------------------------------------------------------ĐÁP ÁN------------------------------------------------------------------------------------BMỨC ĐỘ 8+-------------------------------------------------------------------------ĐÁP ÁN------------------------------------------------------------------------------------C – TỔNG ÔN CÁC DẠNG VD – VDC -----------------------------------------------Thể tích và các yếu tố liên quan.
Vật thể tròn xoay.
Ứng dụng thực tiễn.
Các khối Nón – Trụ - Cầu tiếp xúc.
Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện.
Bài toán cực trị

TRANG
--------------------01
--------------------01
--------------------02
--------------------02
--------------------04
--------------------08
--------------------13
--------------------15
--------------------15
--------------------15
--------------------22
--------------------34
--------------------36
--------------------36
--------------------49
--------------------54
--------------------55
--------------------55
--------------------61
--------------------64

--------------------65
--------------------65
--------------------87
--------------------88
--------------------104
--------------------105

LỚP TOÁN THẦY HUY – THANH TRÌ – HN – 0969141404 – TÀI LIỆU NỘI BỘ


TRỤ - NÓN – CẦU – LỚP TOÁN THẦY HUY – THANH TRÌ – HN – 0969141404

PHẦN II. MẶT NÓN - MẶT TRỤ - MẶT CẦU
A – LÝ THUYẾT CẦN NHỚ
1. MẶT NÓN TRÒN XOAY VÀ KHỐI NÓN
1.1. Mặt nón tròn xoay
Nội dung
Đường thẳng d ,  cắt nhau tại O và tạo thành góc  với

 

Hình vẽ

 

00    900 , mp P chứa d , . P quay quanh trục  với

góc  không đổi  mặt nón tròn xoay đỉnh O.
  gọi là trục.
 d được gọi là đường sinh.

 Góc 2  gọi là góc ở đỉnh.

1.2. Khối nón
Nội dung
Là phần không gian được giới hạn bởi một hình nón tròn
xoay kể cả hình nón đó. Những điểm không thuộc khối nón gọi
là những điểm ngoài của khối nón.
Những điểm thuộc khối nón nhưng không thuộc hình nón
tương ứng gọi là những điểm trong của khối nón. Đỉnh, mặt đáy,
đường sinh của một hình nón cũng là đỉnh, mặt đáy, đường sinh
của khối nón tương ứng.

Hình vẽ

Cho hình nón có chiều cao h, đường sinh l và bán kính đáy r .
 Diện tích xung quanh: của hình nón: S xq   rl .
 Diện tích đáy (hình tròn): S đáy   r 2 .
 Diện tích toàn phần: của hình nón: S tp   rl   r 2 .
1 2
r h .
3
1.3. Thiết diện khi cắt bởi mặt phẳng
Điều kiện
Kết quả
(
Q
)
Cắt mặt nón tròn xoay bởi mp
đi qua đỉnh của mặt nón.
 mp(Q ) cắt mặt nón theo 2 đường sinh.

 Thiết diện là tam giác cân.
 (Q ) là mặt phẳng tiếp diện của hình
 mp(Q ) tiếp xúc với mặt nón theo một đường sinh.
nón.
Cắt mặt nón tròn xoay bởi mp (Q ) không đi qua đỉnh của mặt nón.
 mp(Q ) vuông góc với trục hình nón.
 Giao tuyến là 1 đường parabol.
 Giao tuyến là 2 nhánh của 1 hypebol.
 Giao tuyến là một đường tròn.
 mp(Q ) song song với 2 đường sinh hình nón.
 mp(Q ) song song với 1 đường sinh hình nón.

 Thể tích khối nón: V 

1


TRỤ - NÓN – CẦU – LỚP TOÁN THẦY HUY – THANH TRÌ – HN – 0969141404

2. MẶT TRỤ TRÒN XOAY
2.1. Mặt trụ
Nội dung
Trong mặt phẳng  P  cho hai đường thẳng  và l song

Hình vẽ

song với nhau, cách nhau một khoảng bằng r . Khi quay mặt
phẳng  P  xung quanh  thì đường thẳng l sinh ra một mặt
tròn xoay được gọi là mặt trụ tròn xoay, gọi tắt là mặt trụ.
 Đường thẳng  gọi là trục.

 Đường thẳng l là đường sinh.
 r là bán kính của mặt trụ đó.
2.2. Hình trụ tròn xoay và khối trụ tròn xoay
Nội dung
Ta xét hình chữ nhật ABCD . Khi quay hình chữ nhật
ABCD xung quanh đường thẳng chứa một cạnh nào đó,
chẳng hạn cạnh AB thì đường gấp khúc ADCB sẽ tạo thành
một hình gọi là hình trụ tròn xoay, hay gọi tắt là hình trụ.

Hình vẽ

 Khi quay quanh AB, hai cạnh AD và BC sẽ vạch ra hai hình tròn bằng nhau gọi là hai đáy của hình
trụ, bán kính của chúng gọi là bán kính của hình trụ.
 Độ dài đoạn CD gọi là độ dài đường sinh của hình trụ.
 Phần mặt tròn xoay được sinh ra bởi các điểm trên cạnh CD khi quay xung quanh AB gọi là mặt
xung quanh của hình trụ.
 Khoảng cách AB giữa hai mặt phẳng song song chứa hai đáy là chiều cao của hình trụ.
Khối trụ tròn xoay hay khối trụ là phần không gian được giới hạn bởi một hình trụ tròn xoay kể cả hình trụ
tròn xoay đó. Những điểm không thuộc khối trụ gọi là những điểm ngoài của khối trụ. Những điểm thuộc khối
trụ nhưng không thuộc hình trụ tương ứng gọi là những điểm trong của khối trụ. Mặt đáy, chiều cao, đường
sinh, bán kính của một hình trụ cũng là mặt đáy, chiều cao, đường sinh, bán kính của khối trụ tương ứng.Hình
trụ có chiều cao h, đường sinh l và bán kính đáy r.
 Diện tích xung quanh: S xq  2 rl .
 Diện tích toàn phần: S tp  2 rl  2 r 2 .
 Thể tích: V   r 2h .
3. MẶT CẦU – KHỐI CẦU
3.1. Mặt cầu
Nội dung
Cho điểm I cố định và một số thực dương R .
Tập hợp tất cả những điểm M trong không gian cách I một

khoảng R được gọi là mặt cầu tâm I , bán kính R.



Hình vẽ



Kí hiệu: S I ; R . Khi đó:



 



S I ; R  M IM  R

2


TRỤ - NÓN – CẦU – LỚP TOÁN THẦY HUY – THANH TRÌ – HN – 0969141404

3.2. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và mặt phẳng
Cho mặt cầu S I ; R và mặt phẳng P . Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên P  d  IH





 

 

là

 

khoảng cách từ I đến mặt phẳng P . Khi đó:

d R
Mặt cầu và mặt phẳng
không có điểm chung.

d R
d R
Mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu:
Mặt phẳng cắt mặt cầu theo thiết diện là
đường
tròn có tâm I  và bán kính
P là mặt phẳng tiếp diện của
r  R 2  IH 2
mặt cầu và H : tiếp điểm.

 

Lưu ý:
Khi mặt phẳng P đi qua tâm I của mặt cầu thì mặt phẳng P được gọi là mặt phẳng kính và thiết diện

 

 

lúc đó được gọi là đường tròn lớn.
3.3. Vị trí tương đối giữa mặt cầu và đường thẳng
Cho mặt cầu S I ; R và đường thẳng  . Gọi H là hình chiếu của I lên  . Khi đó:





IH  R
 không cắt mặt cầu.

IH  R
 tiếp xúc với mặt cầu.
 : Tiếp tuyến của S

IH  R
 cắt mặt cầu tại hai điểm phân biệt.

 

H : tiếp điểm.

Lưu ý:
Trong trường hợp  cắt S tại 2 điểm A, B thì bán kính R của S được tính như sau:

 

 

 

d I ;   IH

2

 AB  .
2
2
2
R  IH  AH  IH  

 2 

3.4. Đường kinh tuyến và vĩ tuyến của mặt cầu
Nội dung
Giao tuyến của mặt cầu với nửa mặt phẳng có bờ là trục
của mặt cầu được gọi là kinh tuyến.
Giao tuyến (nếu có) của mặt cầu với các mặt phẳng vuông
góc với trục được gọi là vĩ tuyến của mặt cầu.
Hai giao điểm của mặt cầu với trục được gọi là hai cực của
mặt cầu

Hình vẽ

3

TRỤ - NÓN – CẦU – LỚP TOÁN THẦY HUY – THANH TRÌ – HN – 0969141404

* Mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp hình đa diện:
Nội dung
Mặt cầu nội tiếp hình đa diện nếu mặt cầu đó tiếp xúc với
tất cả các mặt của hình đa diện. Còn nói hình đa diện ngoại
tiếp mặt cầu.

Hình vẽ

Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện nếu tất cả các đỉnh của
hình đa diện đều nằm trên mặt cầu. Còn nói hình đa diện nội
tiếp mặt cầu.
Mặt cầu tâm O bán kính r ngoại tiếp hình chóp
S .ABCD khi và chỉ khi
OA  OB  OC  OD  OS  r



Cho mặt cầu S I ; R



 Diện tích mặt cầu: S  4 R 2 .
 Thể tích khối cầu: V 

4
 R3 .
3

4. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI
4.1. Bài toán mặt nón
4.1.1.Dạng 1. Thiết diện của hình nón cắt bởi một mặt phẳng
Nội dung
Hình vẽ
Thiết diện qua trục của hình nón là tam giác cân.

Thiết diện qua đỉnh của hình nón là những tam giác cân có
hai cạnh bên là hai đường sinh của hình nón.

Thiết diện vuông góc với trục của hình nón là những đường
tròn có tâm nằm trên trục của
hình nón.

4.1.2. Dạng 2. Bài toán liên quan đến thiết diện qua đỉnh của hình nón
Cho hình nón có chiều cao là h , bán kính đáy r và đường sinh l .
Một thiết diện đi qua đỉnh của hình nón có khoảng cách từ tâm của đáy đến mặt phẳng chứa thiết diện là d.

4


TRỤ - NÓN – CẦU – LỚP TOÁN THẦY HUY – THANH TRÌ – HN – 0969141404

Nội dung
Gọi M là trung điểm của AC. Khi đó:
 AC  SMI



Hình vẽ



.
 Góc giữa SAC và ABC là góc SMI



   
.
Góc giữa SAC  và SI là góc MSI
d  I , SAC    IH  d.

Diện tích thiết diện
1
1
Std  S SAC  SM.AC 
SI 2  IM 2 .2 AI 2  IM 2
2
2
2 2
h
d
h2d 2
2
 r2  2
.
h

h  d2

h2  d2
4.1.3. Dạng 3. Bài toán hình nón ngoại tiếp và nội tiếp hình chóp
Nội dung
Hình nón nội tiếp hình chóp S .ABCD đều là hình nón có
đỉnh là S , đáy là đường tròn nội tiếp hình vuông ABCD .
Khi đó hình nón có:
AB
 Bán kính đáy r  IM 
,
2
 Đường cao h  SI , đường sinh l  SM .

Hình vẽ
Hình chóp tứ giác đều S .ABCD
S

A

D
I

M

B

C

Hình nón ngoại tiếp hình chóp S .ABCD đều là hình nón có Hình chóp tứ giác đều S .ABCD
S
đỉnh là S , đáy là đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD .

Khi đó hình nón có:
 Bán kính đáy: r  IA 

AC AB 2

.
2
2

A

D
I

C
B
 Chiều cao: h  SI.
 Đường sinh: l  SA.
Hình nón nội tiếp hình chóp S .ABC đều là hình nón có đỉnh Hình chóp tam giác đều S .ABC
S
là S , đáy là đường tròn nội tiếp tam giác ABC .
Khi đó hình nón có

 Bán kính đáy: r  IM 

AM AB 3

.
3
6

 Chiều cao: h  SI.
 Đường sinh: l  SM .

A

C

I
M
B

Hình nón ngoại tiếp hình chóp S .ABC đều là hình nón có Hình chóp tam giác đều S .ABC
S
đỉnh là S , đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .
Khi đó hình nón có:
 Bán kính đáy: r  IA 
 Chiều cao: h  SI.
Đường sinh: l  SA.

2AM AB 3

.
3
3
C
A

M

I
B

5


TRỤ - NÓN – CẦU – LỚP TOÁN THẦY HUY – THANH TRÌ – HN – 0969141404

4.1.4. Dạng 4. Bài toán hình nón cụt
Khi cắt hình nón bởi một mặt phẳng song song với đáy thì phần mặt phẳng nằm trong hình nón là một hình
tròn. Phần hình nón nằm giữa hai mặt phẳng nói trên được gọi là hình nón cụt.
Nội dung
Hình vẽ
Khi cắt hình nón cụt bởi một mặt phẳng song song với đáy
thì được mặt cắt là một hình tròn.

Khi cắt hình nón cụt bởi một mặt phẳng song song với trục
thì được mặt cắt là một hình thang cân.

Cho hình nón cụt có R, r, h lần lượt là bán kính đáy lớn,
bán kính đáy nhỏ và chiều cao.
Diện tích xung quanh của hình nón cụt:



r
h



S xq   l R  r .

R

Diện tích đáy (hình tròn):

S đáy 1   r 2
  S đáy   r 2  R 2 .

2
S


R
 đáy 2
Diện tích toàn phần của hình nón cụt:









S tp   l R  r   r 2   R 2 .

Thể tích khối nón cụt:
1
 h R 2  r 2  Rr .

3
4.1.5. Dạng 5. Bài toán hình nón tạo bởi phần còn lại của hình tròn sau khi cắt bỏ đi hình quạt
Nội dung
Hình vẽ
V 









Từ hình tròn O; R cắt bỏ đi hình quạt AmB. Độ dài cung

AnB bằng x. Phần còn lại của hình tròn ghép lại được một hình
nón. Tìm bán kính, chiều cao và độ dài đường sinh của hình nón
đó.
Hình nón được tạo thành có
l  R

2

.
2 r  x  r 
x

h  l 2  r 2
4.2. Một số dạng toán và công thức giải bài toán mặt trụ

4.2.1. Dạng 1. Thiết diện của hình trụ cắt bởi một mặt phẳng
Nội dung

Hình vẽ

6


TRỤ - NÓN – CẦU – LỚP TOÁN THẦY HUY – THANH TRÌ – HN – 0969141404

Thiết diện vuông góc trục là một đường tròn bán kính R
Thiết diện chứa trục là một hình chữ nhật ABCD trong đó
AB  2R và AD  h . Nếu thiết diện qua trục là một hình vuông
thì h  2R .
Thiết diện song song với trục và không chứa trục là hình chữ
BGHC
nhật
có
khoảng
cách
tới
trục
là:





d OO '; BGHC

   OM

O

A

M

G

B

C

D
H

4.2.2. Dạng 2. Thể tích khối tứ diện có 2 cạnh là đường kính 2 đáy
Nội dung
Nếu như AB và CD là hai đường kính bất kỳ trên hai đáy của
hình trụ thì:
1
VABCD  AB.CD.OO '.sin AB,CD
6
* Đặc biệt:
Nếu AB và CD vuông góc nhau thì:
1
VABCD  AB.CD .OO ' .
6



Hình vẽ
O

A

B



C
O'
D

4.2.3. Dạng 3. Xác định góc khoảng cách
Nội dung
Góc giữa AB và trục OO ' :


AB, OO '  A
' AB





Hình vẽ
O
A

O'
B

A'

Khoảng cách giữa AB và trục OO ' :
d AB;OO '  OM .



O



A

O'
M

A'

Nếu ABCD là một hình vuông nội tiếp trong hình trụ thì
đường chéo của hình vuông cũng bằng đường chéo của hình trụ.
Nghĩa là cạnh hình vuông:

A

O

B

B

I

AB 2  4R 2  h 2 .
D

O'
C

7


TRỤ - NÓN – CẦU – LỚP TOÁN THẦY HUY – THANH TRÌ – HN – 0969141404

4.2.4. Dạng 4. Xác định mối liên hệ giữa diện tích xung quanh, toàn phần và thể tích khối trụ trong bài
toán tối ưu
Nội dung
Hình vẽ
Một khối trụ có thể tích V không đổi.
 Tìm bán kính đáy và chiều cao hình trụ để diện tích toàn
phần nhỏ nhất:

V
R  3

4
Stp min  

h  2 3 V

4
 Tìm bán kính đáy và chiều cao hình trụ để diện tích xung
quanh cộng với diện tích 1 đáy và nhỏ nhất:

V
R  3


S min  
h  3 V


4.2.5. Dạng 5. Hình trụ ngoại tiếp, nội tiếp một hình lăng trụ đứng
Cho hình lăng trụ tam giác đêu nội tiếp trong một hình trụ. Thể tích khối lăng trụ là V thì thể tích khối trụ là
4V
V(T) 
9
Cho hình lăng trụ tứ giác đêu ABCD.A ' B ' C ' D ' ngoại tiếp trong một hình trụ. Diện tích xung quanh hình
2S
trụ là S xq thì diện tích xung quanh của hình lăng trụ là S xq 

5. MỘT SỐ DẠNG TOÁN VÀ CÔNG THỨC GIẢI BÀI TOÁN MẶT CẦU
5.1. Mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện
5.1.1. Các khái niệm cơ bản
Trục của đa giác đáy: là đường thẳng đi qua tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đáy và vuông góc với
mặt phẳng chứa đa giác đáy  Bất kì một điểm nào nằm trên trục của đa giác thì cách đều các đỉnh của đa giác
đó.
Đường trung trực của đoạn thẳng: là đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với

đoạn thẳng đó.
 Bất kì một điểm nào nằm trên đường trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.
Mặt trung trực của đoạn thẳng: là mặt phẳng đi qua trung điểm của đoạn thẳng và vuông góc với đoạn
thẳng đó.
 Bất kì một điểm nào nằm trên mặt trung trực thì cách đều hai đầu mút của đoạn thẳng.
5.1.2. Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp: là điểm cách đều các đỉnh của hình chóp. Hay nói cách khác, nó chính
là giao điểm I của trục đường tròn ngoại tiếp mặt phẳng đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên hình
chóp.
Bán kính: là khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp.
5.1.3. Cách xác định tâm và bán kính mặt cầu của một số hình đa diện
5.1.3.1. Hình hộp chữ nhật, hình lập phương
Nội dung
Hình vẽ
Tâm: trùng với tâm đối xứng của hình hộp chữ nhật (hình lập
phương)  Tâm là I , là trung điểm của AC ' .
Bán kính: bằng nửa độ dài đường chéo hình hộp chữ nhật
(hình lập phương).
AC '
.
 Bán kính: R 
2

8


TRỤ - NÓN – CẦU – LỚP TOÁN THẦY HUY – THANH TRÌ – HN – 0969141404

5.1.3.2. Hình lăng trụ đứng có đáy nội tiếp đường tròn
Nội dung

Xét hình lăng trụ đứng A1A2A3 ...An .A1' A2' A3' ...An' , trong đó có 2

 

Hình vẽ

 

đáy A1A2A3 ...An và A1' A2' A3' ...An' nội tiếp đường tròn O và O ' .
Lúc đó, mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng có:
 Tâm: I với I là trung điểm của OO ' .
 Bán kính: R  IA1  IA2  ...  IAn' .
5.1.3.3. Hình chóp có các đỉnh nhìn đoạn thẳng nối 2 đỉnh còn lại dưới 1 góc vuông
Nội dung
Hình vẽ
0


Hình chóp S .ABC có SAC  SBC  90 .
 Tâm: I là trung điểm của SC .
SC
 Bán kính: R 
 IA  IB  IC .
2
Hình chóp S .ABCD có
  SBC
  SDC
  900 .
SAC
 Tâm: I là trung điểm của SC .

SC
 Bán kính: R 
 IA  IB  IC  ID .
2
5.1.3.4. Hình chóp đều
Nội dung
Cho hình chóp đều S .ABC ...
 Gọi O là tâm của đáy  SO là trục của đáy.
 Trong mặt phẳng xác định bởi SO và một cạnh bên,
chẳng hạn như mp SAO , ta vẽ đường trung trực của



Hình vẽ



cạnh SA là  cắt SA tại M và cắt SO tại I  I là
tâm của mặt cầu.
Bán kính:
SM SI
SMI ∽ SOA 


Ta có:
Bán kính:
SO SA
SM.SA SA2
R  IS 


 IA  IB  IC  ...
SO
2SO

5.1.3.5. Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy
Nội dung
S
.
ABC
...
Cho hình chóp
có cạnh bên SA   ABC ... và
đáy ABC ... nội tiếp được trong đường tròn tâm O .
Tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S .ABC ...
được xác định như sau:
 Từ tâm O ngoại tiếp của đường trònđáy, ta vẽ đường
thẳng d vuông góc với mp ABC... tại O .





Hình vẽ





 Trong mp d, SA , ta dựng đường trung trực  của
cạnh SA , cắt SA tại M , cắt d tại I  I là tâm mặt cầu

ngoại tiếp hình chóp và bán kính
9


TRỤ - NÓN – CẦU – LỚP TOÁN THẦY HUY – THANH TRÌ – HN – 0969141404

R  IA  IB  IC  IS  ...
 Tìm bán kính
Ta có: MIOB là hình chữ nhật.
Xét MAI vuông tại M có:
2

 SA 
R  AI  MI  MA  AO  
 .
 2 
2

2

2

5.1.3.6. Hình chóp khác
- Dựng trục  của đáy.
- Dựng mặt phẳng trung trực   của một cạnh bên bất kì.
-

     I  I

là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.

- Bán kính: khoảng cách từ I đến các đỉnh của hình chóp.
5.1.3.7. Đường tròn ngoại tiếp một số đa giác thường gặp
Khi xác định tâm mặt cầu, ta cần xác định trục của mặt phẳng đáy, đó chính là đường thẳng vuông góc với
mặt phẳng đáy tại tâm O của đường tròn ngoại tiếp đáy. Do đó, việc xác định tâm ngoại O là yếu tố rất quan
trọng của bài toán.

O

O

Hình vuông: O là giao
điểm 2 đường chéo.

O

Hình chữ nhật: O là giao
điểm của hai đường chéo.

∆ đều: O là giao điểm của 2
đường trung tuyến (trọng tâm).

O

O

∆ vuông: O là trung điểm
của cạnh huyền.

∆ thường: O là giao điểm của hai đường

trung trực của hai cạnh ∆.

5.2. Kỹ thuật xác định mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
Nội dung
Cho hình chóp S .A1A2 ...An (thoả mãn điều kiện tồn tại mặt
cầu ngoại tiếp). Thông thường, để xác định mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp ta thực hiện theo hai bước:
 Bước 1:
Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
Dựng  : trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
 Bước 2:
Lập mặt phẳng trung trực ( ) của một cạnh bên.
Lúc đó

Hình vẽ
S


I
O
D
A

C

H
B

10

TRỤ - NÓN – CẦU – LỚP TOÁN THẦY HUY – THANH TRÌ – HN – 0969141404



 Tâm O của mặt cầu:   mp(  )  O





 Bán kính: R  SA  SO . Tuỳ vào từng trường hợp.
5.3. Kỹ năng xác định trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy
5.3.1. Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy
Nội dung
Định nghĩa
Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy là đường thẳng đi
qua tâm đường tròn ngoại tiếp đáy và vuông góc với mặt
phẳng đáy.
Tính chất
M   : MA  MB  MC
Suy ra: MA  MB  MC  M  
Các bước xác định trục
 Bước 1:
Xác định tâm H của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
 Bước 2:
Qua H dựng  vuông góc với mặt phẳng đáy.
Một số trường hợp đặc biệt
 Đáy là tam giác vuông

Hình vẽ

M

A
C

H
B


H

B

C

A


 Đáy là tam giác đều

B

C
H
A

B

 Đáy là tam giác thường

C
H
A

5.3.2. Kỹ năng tam giác đồng dạng
Nội dung
SO SM
SMO đồng dạng với SIA 
.

SA
SI

Hình vẽ
S

M
O
I

A

5.3.3. Nhận xét quan trọng
MA  MB  MC
M , S : 
 SM là trục đường tròn ngoại tiếp ABC .
SA  SB  SC

11


TRỤ - NÓN – CẦU – LỚP TOÁN THẦY HUY – THANH TRÌ – HN – 0969141404

5.4. Kỹ thuật sử dụng hai trục xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp đa diện
Nội dung
Cho hình chóp S .A1A2 ...An (thõa mãn điều kiện tồn tại mặt
cầu ngoại tiếp). Thông thường, để xác định mặt cầu ngoại tiếp
hình chóp ta thực hiện theo hai bước:
 Bước 1:
Xác định tâm của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
Dựng  : trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy.
 Bước 2:
Xác định trục d của đường tròn ngoại tiếp một mặt bên
(dễ xác định) của khối chóp.
Lúc đó:
 Tâm I của mặt cầu:   d  I

Hình vẽ
Δ
S

R
d

I
D

C

A
B







 Bk: R  IA  IS . Tuỳ vào từng trường hợp.
5.5. Tổng kết các dạng tìm tâm và bán kính mặt cầu
5.5.1. Dạng 1
Nội dung
Cạnh bên SA vuông góc đáy và 
ABC  900

Hình vẽ
khi đó
S

S

SC
và tâm là trung điểm SC .
R
2

C

A

A

B

D

C

B

5.5.2. Dạng 2
Nội dung
Cạnh bên SA vuông góc đáy và bất kể đáy là hình gì, chỉ cần
tìm được bán kính đường tròn ngoại tiếp của đáy là RD , khi đó :

R 2  RD2 


SA2
4

RD 

 Nếu
RD 

Hình vẽ
S

K
I

abc







4 p p a p b p  c
 ABC



( p : nửa chu vi).

vuông

tại

A

1
 AB 2  AC 2  AS 2  .
4

 Đáy là hình vuông cạnh a thì RD 

C

A
O

thì:
B

a 2
2

 nếu đáy là tam giác đều cạnh a thì RD 

a 3
.
3

12


TRỤ - NÓN – CẦU – LỚP TOÁN THẦY HUY – THANH TRÌ – HN – 0969141404

5.5.3. Dạng 3
Nội dung
Chóp có các cạnh bên bằng nhau: SA  SB  SC  SD :

Hình vẽ
S

SA2

.
2SO
 ABCD là hình vuông, hình chữ nhật, khi đó O là giao
hai đường chéo.
 ABC vuông, khi đó O là trung điểm cạnh huyền.
 ABC đều, khi đó O là trọng tâm, trực tâm.
R

A

D

B

C

5.5.4. Dạng 4
Nội dung
Hai mặt phẳng SAB và ABC









Hình vẽ
S

vuông góc với nhau và

có giao tuyến AB . Khi đó ta gọi R1, R2 lần lượt là bán kính
đường tròn ngoại tiếp các tam giác SAB và ABC . Bán kính
mặt cầu ngoại tiếp:

O
I
A

AB 2
R R R 
4
2

2
1

C

2
2

J
K
B

5.5.5. Dạng 5
Chóp S.ABCD có đường cao SH , tâm đường tròn ngoại tiếp đáy là O . Khi đó ta giải phương trình:

SH  x 

2

2
2
2
 OH 2  x 2  RD2 . Với giá trị x tìm được ta có: R  x  RD .

5.5.6. Dạng 6: Bán kính mặt cầu nội tiếp: r 

3V
.
Stp

6. TỔNG HỢP CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT VỀ KHỐI TRÒN XOAY
6.1. Chỏm cầu
Nội dung

Hình vẽ





S  2 Rh   r 2  h 2
 xq

h  h 2

2 
2
V   h  R  3   6 h  3r






h



r

R

6.2. Hình trụ cụt
Nội dung



Hình vẽ



S   R h  h
1
2
 xq



h

h

2
1
2
V   R  2 




h2
h1
R

6.3. Hình nêm loại 1
Nội dung

V 

Hình vẽ

2 3
R tan 
3

13

TRỤ - NÓN – CẦU – LỚP TOÁN THẦY HUY – THANH TRÌ – HN – 0969141404

6.4. Hình nêm loại 2
Nội dung

Hình vẽ

 2
V     R 3 tan 
 2 3

6.5. Parabol bậc hai-Paraboloid tròn xoay
Nội dung

Hình vẽ

3
3

a 
4
S'  x 
S
 parabol  3 Rh; S   h    R 
 





1
1
2
V   R h  Vtru

2
2 

h

6.6. Diện tích Elip và Thể tích khối tròn xoay sinh bởi Elip
Nội dung

Selip   ab

4
2
Vxoay  quanh 2a   ab
3

4 2
V
 a b
 xoay  quanh 2b 3
6.7. Diện tích hình vành khăn
Nội dung
S   R2  r 2



R

R

Hình vẽ
b

a

a
b

Hình vẽ



R
r

6.8. Thể tích hình xuyến (phao)
Nội dung

Hình vẽ
2

R  r  R  r 
V  2 2 



 2  2 

r

R

Việc ghi nhớ công thức sẽ khó khắn với 1 số bạn. Do vậy để làm được vấn đề này thì các em nên hình thành cho mình
cách nhớ riêng hoặc khủng khiếp nhất là các em nên chứng minh được công thức (Xưa thầy cũng thế).
Cách hiệu quả và đơn giản nhất là rèn luyện thật nhiều bài tập,thật nhiều dạng.
Với mỗi dạng các em nên ghi nhớ đặc điểm – phương pháp giải – chú ý thương gặp – kỹ thuật giải nhanh.
Vì 1 tương lai shopping không them nhìn giá :D
Thầy Huy siêu cấp đẹp trai.

14


TRỤ - NÓN – CẦU – LỚP TOÁN THẦY HUY – THANH TRÌ – HN – 0969141404

B – BÀI TẬP RÈN LUYỆN
DẠNG 1 - MẶT CẦU – KHỐI CẦU
Câu 1. (THPT Kim Liên - Hà Nội - Lần 1 năm 2017 - 2018)Trong các hình đa diện sau đây,hình đa
diện nào không nội tiếp được một mặt cầu?
A. Hình tứ diện.
B. Hình hộp chữ nhật.
C. Hình chóp ngũ giác đều. D. Hình chóp có đáy là hình thang vuông.
Câu 2. (THPT Đoàn Thượng – Hải Dương – Lần 2 năm 2017 – 2018)Chọn mệnh đề đúng trong các
mệnh đề sau?
A. Hình có đáy là hình bình hành thì có mặt cầu ngoại tiếp.
B. Hình có đáy là hình tứ giác thì có mặt cầu ngoại tiếp.
C. Hình chóp có đáy là hình thang vuông thì có mặt cầu ngoại tiếp.

D. .Hình chóp có đáy là hình thang cân thì có mặt cầu ngoại tiếp.
Câu 3. (THPT Chuyên Hạ Long – Lần 1 năm 2017 – 2018)Cho đường tròn quay quanh một đường
thẳng đi qua tâm đường tròn đó một góc 3600 ta được hình gì ?
A. .Một mặt cầu.
B. Một khối cầu.
C. Hai mặt cầu.
D. Hai khối cầu.
Câu 4. (THPT Chu Văn An - Thái Nguyên - Lần 1 năm 2017 - 2018)Tìm mệnh đề sai:
A. .Hình chóp có đáy là tứ giác thì có mặt cầu ngoại tiếp.
B. Hình chóp cí đáy là hình vuông thì có mặt cầu ngoại tiếp.
C. Hình chóp có đấy là hình thang cân thì có mặt cầu ngoại tiếp.
D. Hình chóp có đáy là tam giác thì có mặt cầu ngoại tiếp.
Câu 5. (HKI_THPT Đan Phượng Hà Nội năm học 2017-2018)Hình đa diện nào sau đây có thể
không có mặt cầu ngoại tiếp?
A. Hình chóp có đáy là tam giác.
B. Hình chóp tứ giác đều.
C. .Hình hộp.
D. Hình lập phương.
Câu 6. (Sở Ninh Bình Lần1)Khẳng định nào dưới đây đúng?
A. Hình chóp có đáy là hình thang vuông thì có mặt cầu ngoại tiếp.
B. Hình chóp có đáy là tứ giác thì có mặt cầu ngoại tiếp.
C. .Hình chóp có đáy là hình thang cân thì có mặt cầu ngoại tiếp.
D. Hình chóp có đáy là hình bình hành thì có mặt cầu ngoại tiếp.
Câu 7. (THPT Kim Liên – Hà Nội – Ôn tập HK I năm 2017 – 2018)Cho hình chóp S . ABC có đáy
ABC là tam giác vuông tại B, SA   ABC  .Tìm tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp?
A. Trung điểm SB.
B. .Trung điểm SC.
C. Trung điểm BC.
D. Một đáp án khác.
Câu 8. (THPT Chuyên Lương Văn Tụy lần 1 Ninh Bình năm học 2017-2018)Cho mặt cầu có diện

8 a2
tích bằng
.Bán kính của mặt cầu bằng
3
a 6
a 3
A. .
B.
3
3

C.

a 6
2

D.

a 2
3

Câu 9. (HKI-Sở GD&ĐT Bạc Liêu năm học 2017-2018)Khối cầu ( S ) có bánh kính bằng r và thể
tích bằng V .Mệnh đề nào dưới đây đúng?
4
4
4
4
A. . V   r 3 .
B. V   2 r 2 .

C. V   2 r 3 .
D. V   r .
3
3
3
3
Câu 10. (THPT Phan Chu Trinh – ĐĂK LĂK – lần 2 năm 2017 – 2018)Mặt cầu  S  có diện tích
bằng 100  cm2  thì có bán kính là:
A. 3  cm  .
B. 5  cm  .
C. 4  cm  .
D. . 5  cm  .
Câu 11. (THPT Hồng Quang – Hải Dương – lần 1 năm 2017 – 2018)Tính bán kính r của khối cầu có
thể tích là V  36  cm 3  .
A. r  6  cm  .

B. r  9  cm  .

C. . r  3  cm  .

D. r  4  cm  .

15


TRỤ - NÓN – CẦU – LỚP TOÁN THẦY HUY – THANH TRÌ – HN – 0969141404

Câu 12. (THPT Kim Liên – Hà Nội – HKI năm 2017 – 2018)Cho mặt cầu S  I ; R  và mặt phẳng  P 
.Giả sử d là khoảng cách từ tâm I của mặt cầu đến mặt phẳng  P  .Biết mặt phẳng  P  tiếp xúc mặt
cầu.Khẳng định nào sau đây đúng?

A. R  2d .
B. R  d
C. d  2 R .
D. . d 3  R3  0 .
Câu 13. (THPT Trần Phú – Vĩnh Phúc – Lần 1 năm 2017 – 2018)Cho hình chóp S . ABC có đáy là
tam giác vuông cân tại C và CA  CB  a .Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với
đáy.Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC có bán kính là
a 6
a 2
a 6
A.
.
B. a 3 .
C.
.
D.
.
4
2
3
Câu 14. (HKI_THPT Thăng Long Hà Nội năm học 2017-2018)Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp
một bát diện đều cạnh a.
a 3
a 2
A. R 
.
B. . R 
.
C. R  a 2 .
D. R  a .

2
2
Câu 15. (HKI-Sở GD&ĐT Bạc Liêu năm học 2017-2018)Cho tứ diện ABCD có tam giác BCD vuông
tại B, AC vuông góc với mặt phẳng  BCD  , AC  5a, BC  3a và BD  4 a .Tính bán kính R của mặt cầu
ngoại tiếp tứ diện ABCD .
5a 3
5a 2
5a 3
5a 2
A. R 
.
B. R 
.
C. R 
.
D. . R 
.
2
3
3
2
Câu 16. (HKI-THPT Amsterdam-Hà Nội năm hóc 2017-2018)Bốn bạn An,Bình,Chí,Dũng lần lượt có
chiều cao là 1, 6m , 1, 65m , 1, 70m muốn tham gia trò chơi lăn bóng.Quy định người tham gia trò chơi phải
đứng thẳng trong quả bóng hình cầu có thể tích là 0 , 8 m3 và lăn trên cỏ.Bạn không đủ điều kiện tham
gia trò chơi là
A. An.
B. An,Bình.
C. .D.ũng.
D. Chí,Dũng.
Câu 17. (THPT Lương Thế Vinh– Hà Nội – Lần 1 năm 2017 – 2018)Cho hình chóp S. ABC có

  1200 ; BC  2 a .Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S. ABC
SA  SB  SC  2a; BAC
A.

a 3
.
2

B.

2a 3
.
3

C.

a 6
.
6

D. .

a 6
.
2

Câu 18. (HKI_THPT Trần Suyền Phú Yên năm học 2017-2018)Diện tích mặt cầu bán kính r có công
thức là:
4
4

A. S  4 r 3 .
B. . S  4 r 2 .
C. S   2 .
D. S   3 .
3
3
Câu 19. (THPT Chuyên Long An lần 1 năm học 2017-2018)Để tạo ra một quả bóng bàn,người ta gia
công các miếng nhựa cứng phẳng hình tròn thành một nửa quả bóng có dạng
Câu 20. (HKI_THPT Chuyên ĐH Vinh năm 2017-2018 )Khối cầu bán kính R  6 có thể tích bằng
bao nhiêu?
A. 72 .
B. 48 .
C. . 288 .
D. 144 .
Câu 21. (THPT Chuyên - Bắc Giang - Lần 1 năm 2017 - 2018)Cho mặt cầu  S  tâm O .Mặt phẳng

 P  cách

O một khoảng bằng 3 và  P  cắt mặt cầu  S  theo một đường tròn có bán kính bằng 4 .Thể

tích cuả khối cầu bằng:
400
125 3
500
125 5
A.
.
B.
.
C.

.
D.
.
3
3
3
3
Câu 22. (THPT Kim Môn - Hải Dương - Năm 2017 - 2018)Nếu bán kính mặt cầu giảm 3 lần thì diện
tích mặt cầu sẽ như thế nào?
A. tăng 3 lần.
B. giảm 3 lần.
C. giảm 6 lần.
D. .giảm 9 lần.
Câu 23. (THPT Trần Phú – Vĩnh Phúc – Lần 1 năm 2017 – 2018)Cho mặt cầu  S  có diện tích 4 a 2
cm 2 .Khi đó,thể tích khối cầu  S  là
16


TRỤ - NÓN – CẦU – LỚP TOÁN THẦY HUY – THANH TRÌ – HN – 0969141404
3

4 a
16 a3
cm 3 .
B. 32 a 3 cm 3 .
C. 16 a 3 cm 3 .
D.
cm 3 .
3
3

Câu 24. (Đề thi thử 02 – Thầy Lê Bá Bảo – Năm 2017 – 2018)Một mặt cầu có diện tích bằng 3 thì
thể tích V của mặt cầu đó bằng bao nhiêu?
A.

3
.
B. V  3 .
C. V  32 3 .
D. V  12 3.
2
2
Câu 25. (THPT Mộ Đức 2 Quãng Ngãi lần 1 năm học 2017-2018)Mặt cầu  S  có diện tích bằng 20
A. . V 

,thể tích khối cầu  S  bằng

20
20 5
4 5
B. 20 5
C.
D.
3
3
3
Câu 26. (THPT Nguyễn Huệ lần 1 Ninh Bình năm học 2017-2018)Cho hình chóp S . ABC có SA
A. .

  60o .Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp
vuông góc với mặt phẳng  ABC  , SA  a , AB  a , AC  2a , BAC

hình chóp S . ABC .
5 a3
20 5 a 3
5 5 a 3
5 5 a 3
A. V 
.
B. . V 
.
C. V 
.
D. V 
.
3
6
2
6
Câu 27. (HKI_THPT Tiến Tịnh Hà Nội năm học 2017-2018)Hình nón có thiết diện qua trục là một
tam giác đều cạnh là 6  cm  .Thể tích khối cầu nội tiếp hình nón này là.
A. V 

4 3
 cm3 
3

B. V 

2 3
 cm3 
3



C. .V  4 3 cm3





D. V  9 3 cm3



Câu 28. (THPT Chuyên Lương Văn Tụy lần 1 Ninh Bình năm học 2017-2018)Trong không gian mặt
cầu  S  tiếp xúc với 6 mặt của một hình lập phương cạnh a ,thể tích khối cầu  S  bằng

 a3
 a3
 a3
4
.
B. V 
.
C. . V 
.
D. V   a 3 .
24
3
6
3

Câu 29. (HKI_THPT Đan Phượng Hà Nội năm học 2017-2018)Cho hình chóp tứ giác S. ABCD có
đáy là hình vuông cạnh a, SA   ABCD  và SA  a .Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp
S .ABCD theo a .
 a3
 a3 3
 a3 3 3
 a3 3
A.
.
B. .
.
C.
.
D.
.
2
2
2
3
Câu 30. (HKI-THPT Amsterdam-Hà Nội năm hóc 2017-2018)Cho khối chóp S . ABC có đáy ABC
là tam giác vuông tại B với AB  3 , BC  4 .Hai mặt bên  SAB  và  SAC  cùng vuông góc với mặt
A. V 

đáy.Biết SC hợp với  ABC  góc 450 .Thể tích khối cầu ngoại tiếp  S . ABC  là
A.

5 2
.
3

B.

25 2
..
3

C.

125 3
.
3

D. .

125 2
.
3

Câu 31. (Đề HKI-THPT Tiến Thịnh-Hà Nội năm 2017 – 2018)Hình nón có thiết diện qua trục là một
tam giác đều cạnh là 6  cm  .Thể tích khối cầu nội tiếp hình nón này là.
A. V 

4 3
cm3 

3

B. V 

2 3

cm3 

3



C. .V  4 3 cm3





D. V  9 3 cm3



Câu 32. (THPT Đô Lương 4 – Nghệ An – lần 1 năm 2017 – 2018)Thể tíchcủa khối cầu có diện tích
mặt ngoài bằng 36 .


A. 9 .
B. . 36 .
C. .
D. .
9
3
Câu 33. (THPT Đan Phượng – Hà Nội – Lần 1 năm 2017 – 2018)Cho hình chóp tứ giác S . ABCD có
đáy là hình vuông cạnh a, SA   ABCD  và SA  a .Tính thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp
S .ABCD theo a .
17

TRỤ - NÓN – CẦU – LỚP TOÁN THẦY HUY – THANH TRÌ – HN – 0969141404
3

a
 a3 3
 a3 3 3
 a3 3
.
B. .
.
C.
.
D.
.
2
2
2
3
Câu 34. (THPT Đoàn Thượng – Hải Dương – Lần 2 năm 2017 – 2018)Cho hình chóp S . ABCD có
đáy là hình chữ nhật, AB  a 3 và AD  a .Đường thẳng SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA  a
.Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S .BCD bằng
5 a 3 5
5 a 3 5
3 a 3 5
3 a 3 5
A. .
.
B.

.
C.
.
D.
.
6
24
25
8
Câu 35. (THPT Chu Văn An - Thái Nguyên - Lần 1 năm 2017 - 2018)Cho hình cầu S  O; R  có
A.

đường kính cố định AB .Gọi I là trung điểm của đoạn OB .Mặt phẳng   vuông góc với AB tại I cắt
mặt cầu S  O; R  theo giao tuyến là
R 3
và nằm trong mặt phẳng   .
3
R 3
B. .Đường tròn tâm I có bán kính
và nằm trong mặt phẳng   .
2
C. Đường tròn tâm I có bán kính R 3 và nằm trong mặt phẳng   .

A. Đường tròn tâm I có bán kính

D. Đường tròn tâm I có bán kính R 2 .
Câu 36. (THPT Kim Liên – Hà Nội – HKI năm 2017 – 2018)Cho ba điểm A, B, C nằm trên một mặt
cầu,biết rằng góc ACB bằng 90o .Trong các khẳng định sau khẳng định nào đúng?
A. Có AB là đường kính mặt cầu.
B. Tam giác ABC vuông cân tại C

C. Mặt phẳng ABC cắt mặt cầu theo giao tuyến là một đường tròn lớn.





D. .Luôn có một đường tròn nằm trên mặt cầu ngoại tiếp tam giác ABC .
Câu 37. (THPT Chu Văn An - Thái Nguyên - Lần 1 năm 2017 - 2018)Cho mặt cầu  S  có tâm I và
bán kính R  3 .Mặt phẳng

P

cắt mặt cầu theo giao tuyến là đường tròn  C  có chu vi 2 .Tính

khoảng cách d từ tâm I đến mặt phẳng  P  .
A. d  2 7 .
B. . d  2 2 .
C. d  7 .
D. d  2 .
Câu 38. (THPT Kim Liên – Hà Nội – HKI năm 2017 – 2018)Một mặt cầu  S  ngoại tiếp một hình lập
phương cạnh là

3 cm .Một mặt phẳng  P  cách tâm I của hình lập phương một khoảng 1 cm cắt mặt

cầu  S  theo một đường tròn.Diện tích của hình tròn bằng
3
5
.
C. 5 .
D. .

.
5
4
Câu 39. (THPT Kim Liên – Hà Nội – Ôn tập HK I năm 2017 – 2018)Cho mặt cầu tâm O bán kính R
R
và mặt phẳng  P  cách tâm O một khoảng
.Tìm bán kính r của đường tròn giao tuyến giữa mặt
2
phẳng  P  và mặt cầu đã cho.

A. 3 2 .

B.

R 3
R 3
R 2
R 2
.
B. r 
.
C. r 
.
D. r 
.
2
4
2
4
Câu 40. (HKI_THPT Kiến An năm học 2017-2018)Cho hình cầu đường kính 2a 3 .Mặt phẳng  P 

A. . r 

cắt hình cầu theo thiết diện là hình tròn có bán kính bằng a 2 .Tính khoảng cách từ tâm hình cầu đến mặt
phẳng  P  .
A. . a .

B.

a
.
2

C. a 10 .

D.

a 10
.
2
18


TRỤ - NÓN – CẦU – LỚP TOÁN THẦY HUY – THANH TRÌ – HN – 0969141404

 S  .Mặt phẳng
2,4 a .Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến  P  bằng 1,6a

Câu 41. (HKI_THPT Đan Phượng Hà Nội năm học 2017-2018)Cho một hình cầu

P

cắt hình cầu theo một hình tròn có chu vi

.Diện tích mặt cầu và thể tích của khối cầu lần lượt là
32 3
 a 2 2 32 3
8
32 3
a .
a .
a .
A.  a 2 2 ;
B.
;
C.  a 2 2 ;  a3 .
D. . 16 a 2 ;
3
2
3
3
3
Câu 42. (Đề ôn tập HKI-THPT Kim Liên-Hà Nội năm 2017 – 2018)Cho mặt cầu tâm O có bán kính
R  17 dm .Mặt phẳng  P  cắt mặt cầu sao cho giao tuyến đi qua ba điểm A, B, C mà

AB  18dm, BC  24dm, CA  30dm .Tính khoảng cách từ O đến  P  .
A. 14dm
B. 7dm
C. . 8dm
D. 16dm

Câu 43. (THPT Nghi Xuân - Hà Tĩnh - Học kì 1 năm 2017 - 2018)Một hình hộp chữ nhật nội tiếp mặt
cầu và có ba kích thước là a , b , c .Khi đó,bán kính r của mặt cầu bằng:
a 2  b2  c 2
1 2
.
D. .
a  b2  c 2 .
3
2
Câu 44. (THPT Chuyên Hạ Long - Quảng Ninh - Lần 1 năm 2017 - 2018)Cho hình lập phương cạnh
a nội tiếp mặt cầu ( S ) .Tính diện tích mặt cầu ( S ) .
A.

2  a 2  b2  c 2  .

B.

a 2  b2  c 2 .

C.

3 a 2
 a2
.
C. . 3 a 2 .
D.
.
4
3
Câu 45. (THPT Kim Liên – Hà Nội – HKI năm 2017 – 2018)Cho hình lập phương ABCD. ABC D

cạnh a .Bán kính mặt cầu đi qua 8 đỉnh của hình lập phương là
a
a 3
a 2
a 5
A. .
B. .
.
C.
.
D.
.
3
2
2
2
Câu 46. (HKI_THPT Kim Liên đề 01 Hà Nội năm học 2017-2018)Cho hình hộp chữ nhật có kích
thước 3, 4,5 .Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp đó là:
A.  a 2 .

B.

5 2
.
C. 2 5 .
D. 5 .
2
Câu 47. HKI_THPT Kim Liên đề 01 Hà Nội năm học 2017-2018)Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD
có AC  2a ,góc giữa cạnh bên và mặt đáy là 60 .Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD bằng:
A. 5 2 .

B. .

16 a 2
A. .
3

8 a 2
B.
3

4 a 2
C.
3

2 a 2
D.
3

Câu 48. (HKI_THPT Kim Liên đề 01 Hà Nội năm học 2017-2018)Cho lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C có
đáy ABC là tam giác vuông tại B . AB  a 2 ; BC  3a .Góc giữa đường thẳng A ' B và mặt phẳng đáy
là 60 .Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC . A ' B ' C .
A. 2a

3

3

B. . 3a

3

3

a3 3
C.
3

D. a 3 3

Câu 49. (Đề ôn tập HKI-THPT Kim Liên-Hà Nội năm 2017 – 2018)Cho hình hộp chữ nhật có kích
thước 3, 4,5 .Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp đó là:

5 2
.
C. 2 5 .
D. 5 .
2
Câu 50. (Trung Tâm Giáo Dục VIETTE4 – Lần 4 năm 2017 – 2018)Cho hình chóp S . ABC có đáy
ABC vuông cân tại B , AB  a ,biết SA  2a và SA vuông góc với mp  ABC  .Gọi H và K lần
A. 5 2 .

B. .

lượt là hình chiếu của A trên các cạnh SB và SC .Ta có 5 điểm A, B, C , H , K cùng thuộc mặt cầu
A. đường kính HK .
B. đường kính AC .
C. đường kính SC .
D. đường kính SB .
Câu 51. (Trung Tâm Giáo Dục VIETTE4 – Lần 4 năm 2017 – 2018)Cho hình chóp S . ABC có đáy

ABC là tam giác vuông cân tại B , AB  a ,biết SA  2a và SA vuông góc với mp  ABC  .Bán kính R
của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. ABC là
19


TRỤ - NÓN – CẦU – LỚP TOÁN THẦY HUY – THANH TRÌ – HN – 0969141404

a 2
a 6
.
B. R  a 2 .
C. R 
.
D. R  a 6 .
2
2
Câu 52. (THPT Kim Liên - Hà Nội - Lần 1 năm 2017 - 2018)Cho hình chóp S . ABC có SA  BC  2 a
.Gọi M , N lần lượt là trung điểm của AB và SC và MN  a 3 .Tính số đo góc giữa hai đường thẳng SA
và BC .
A. 30o .
B. 150o .
C. 60o .
D. 120o .
Câu 53. (THPT Nghi Xuân - Hà Tĩnh - Học kì 1 năm 2017 - 2018)Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp
khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng 2 và góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60 .
4
6
6
6
A.

.
B.
.
C.
.
D. .
.
4
6
2
6
Câu 54. (THPT Chuyên Thái Bình - Thái Bình - Lần 1 năm 2017 - 2018)Cho hình lăng trụ tam giác đều
có cạnh đáy bằng a cạnh bên bằng b .Tính thể tích khối cầu đi qua các đỉnh của hình lăng trụ.
3
3
1

4a 2  3b 2 .
4a 2  3b 2 .
A.
B. .
18 3
18 3

A. R 



C.


18 3

 4a



2

3

 b2  .



D.


18 2

 4a



2

3

 3b2  .

Câu 55. (THPT Chuyên Thái Bình - Thái Bình - Lần 1 năm 2017 - 2018)Cho hình chóp tam giác đều có
cạnh đáy bằng 6 và chiều cao h = 1.Diện tích của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó là
A. . S  9 .
B. S  6 .
C. S  5 .
D. S  27 .
n

Câu 56. Biết rằng hệ số của x4 trong khai triển nhị thức Newton  2  x  ,(n  N * ) bằng 60.Tìm n .
A. n  5.
B. . n  6.
C. n  7.
D. n  8.
Câu 57. (THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội – Lần 1 năm 2017 – 2018)Cho hình chóp S. ABCD có đáy
là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng đáy, AB  1 ; AD  SA  2 .Tính thể tích của mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp S .ABCD .
3
9
A. .
B.
.
C. 36 .
D. . 9 .
2
4
Câu 58. (Thi thử – Thầy Lê Bá Bảo – Lần 1 năm 2017 – 2018)Tứ diện OABC có OA , OB, OC đôi
một vuông góc, OA  OB  OC  1. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.

1
3

2
.
C. .
.
D.
.
2
2
2
Câu 59. (Thi thử – Thầy Lê Bá Bảo – Lần 1 năm 2017 – 2018)Cho đường tròn (C) ngoại tiếp một tam
giác đều ABC có cạnh bằng a , M là trung điểm BC. Quay hình tròn (C) xung quanh trục AM ,ta được
một khối cầu có thể tích bằng bao nhiêu?
 a3 3
4 a 3
4 a 3 3
4 a 3
A.
.
B.
.
C. .
.
D.
.
54
9
27
3
Câu 60. (Toán học – Tuổi trẻ – Số 487 tháng 1 năm 2018)Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC. ABC 
có 9 cạnh bằng nhau và bằng 2a .Tính diện tích S của mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đã cho.

28 a 2
7 a 2
28 a 2
7 a 2
A. S 
.
B. S 
.
C. . S 
.
D. S 
.
9
9
3
3
Câu 61. (THPT Kim Liên – Hà Nội – Ôn tập HK I năm 2017 – 2018)Cho hình chóp S. ABCD có đáy
là hình vuông cạnh a ,cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA  a .Tính diện tích S của mặt
cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho.
A. S  4 a 2 .
B. S  3 a 2 .
C. S  3 a 2 .
D. S  6 a 2 .
Câu 62. (Đề tập huấn Sở Bắc Ninh lần 1 năm học 2017-2018)Cho hình chóp đều SABCD có tất cả
các cạnh bằng a .Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là:
A. 4 a 2
B.  a2
C. 2 a2
D. . 2 a 2
A. 1.

B.

20


TRỤ - NÓN – CẦU – LỚP TOÁN THẦY HUY – THANH TRÌ – HN – 0969141404

Câu 63. (HKI_THPT Kim Liên đề 01 Hà Nội năm học 2017-2018)Cho hình chóp S . ABC có đáy là
tam giác vuông cân tại B , AB  a ,cạnh bên SA vuông góc mặt phẳng  ABC  và cạnh bên SC tạo với
đáy một góc 600 .Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC :
4 2 a 3
8 2 a 3
5 2 a 3
2 2 a 3
A.
.
B. .
.
C.
.
D.
.
3
3
3
3
Câu 64. (HKI_THPT Đan Phượng Hà Nội năm học 2017-2018)Cho hình lăng trụ tứ giác đều
ABCD. ABC D có cạnh đáy bằng a và đường chéo tạo với đáy một góc 45 .Tính thể tích của mặt cầu
ngoại tiếp hình lăng trụ.

1
4
4
A. V  4 a 3 .
B. V   a 3 .
C. V  a3 .
D. . V   a3 .
3
3
3
Câu 65. (Đề ôn THPT-Nguyễn Phú Khánh năm 2017 – 2018)Cho lăng trụ đứng ABC. A ' B ' C ' có đáy
là tam giác đều cạnh a .Mặt phẳng (AB'C') tạo với mặt đáy góc 60 và điểm G là trọng tâm tam giác
ABC .Bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp G. A ' B ' C ' bằng:
85a
3a
3a
31a
A.
.
B.
.
C.
.
D. .
.
108
2
4
36
Câu 66. (Đề Vted lần 5 năm 2017 – 2018)Tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp một hình lập phương

có cạnh bằng 2a .
3a
A. R 
.
B. R  2 3a .
C. . R  3a .
D. R  a .
3
Câu 67. (THPT Thăng Long – Thi Giữ Kỳ I năm 2017 – 2018)Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp
một hình bát diện đều cạnh a
a 3
a 2
A. R 
.
B. . R 
.
C. R  a 2 .
D. R  a .
2
2
Câu 68. (THPT Hồng Quang – Hải Dương – lần 1 năm 2017 – 2018)Cho hình chóp S . ABCD có đáy
ABCD là hình vuông cạnh a ,tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy.Tính thể
tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp S . ABCD ?
7 21 3
7 21 3
49 21 3
7 21 3
A. V 
a .
B. V 

a .
C. V 
a .
D. . V 
a .
162
216
36
54
Câu 69. (THPT Chuyên Hạ Long – Lần 1 năm 2017 – 2018)Cho hình chóp S . ABC có đáy ABC là
tam giác vuông tại A, biết SA  ( ABC ) và SA  a, AB  2a, AC  3a. Tính bán kính r của mặt cầu ngoại
tiếp hình chóp S . ABC .
13
3a
14
A. r 
a.
B. r 

C. r  a 14.
D. . r 
a.
3
2
2
Câu 70. (THPT Hải An – Hải Phòng – lần 1 năm 2017 – 2018)Cho hình chóp S . ABCD có đáy là hình
chữ nhật với AB  3a, BC  4 a, SA  12a và SA vuông góc với đáy.Tính bán kính R của mặt cầu
ngoại tiếp hình chóp S . ABCD .
13a
5a

17 a
A. . R 
.
B. R 
.
C. R 
.
D. R  6a .
2
2
2
Câu 71. (THPT Kinh Môn – Hải Dương năm 2017 – 2018)Cho tứ diện ABCD ,biết tam giác BCD là
tam giác đều cạnh a .Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD nhận đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD làm
đường tròn lớn.Khi đó thể tích lớn nhất của tứ diện ABCD sẽ là:
a3 3
a3 2
a3
a3
A.
.
B.
.
C. . .
D.
.
12
12
12
4
Câu 72. (THPT Đan Phượng – Hà Nội – Lần 1 năm 2017 – 2018)Cho hình lăng trụ tứ giác đều

ABCD. ABC D có cạnh đáy bằng a và đường chéo tạo với đáy một góc 45 .Tính thể tích của mặt cầu
ngoại tiếp hình lăng trụ.
1
4
4
A. V  4 a 3 .
B. V   a 3 .
C. V  a3 .
D. . V   a3 .
3
3
3
21


TRỤ - NÓN – CẦU – LỚP TOÁN THẦY HUY – THANH TRÌ – HN – 0969141404

Câu 73. (THPT Đào Duy Từ – Thanh Hóa – Lần 1 năm 2017 – 2018)Cho hình chóp S . ABC có đáy
ABC là tam giác vuông cân tại A , AB  a ,cạnh bên SA  a 3 , SA   ABC  .Thể tích khối cầu ngoại
tiếp hình chóp S . ABC bằng:
 a3 5
5 a 3 5
 a3 5
 a3 5
A.
.
B.
.
C.
.

D.
.
6
6
12
24
Câu 74. (THPT Trần Đại Nghĩa - ĐẮK LẮK – Lần 1 năm 2017 – 2018)Cho hình lăng trụ tam giác đều
có các cạnh bằng a .Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ là
7a 2
7
7a 2
A.
.
B.  a 2 .
C. 7 a 2 .
D.
.
3
2
6
Câu 75. (Toán thi thử 01 - Lần 1 năm 2017 - 2018)Gọi V1 là thể tích của khối lập phương và V2 là thể
V
tích của khối cầu ngoại tiếp khối lập phương đó.Tính tỉ số 2 .
V1
V2  3
V
V
2 3
V
3

.
B. 2  4 3 .
C. 2 
.
D. 2 
.

V1
2
V1
V1
3
V1 12
MỨC ĐỘ VD – VDC
Câu 76. (THPT Chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An - Lần 2 năm 2017 - 2018)Cho quả địa cầu có độ
dài đường kinh tuyến 300 Đông là 40 (cm).Độ dài đường xích đạo là:
80 3
A. 40 3 (cm) .
B. 40 (cm) .
C. . 80 (cm) .
D.
(cm) .
3
Câu 77. (Đề thi thử tổng hợp Thầy Lê Bá Trần Phương năm học 2017-2018)Cho tứ diện ABCD có
(ABC) vuông góc với (DBC) ,hai tam giác ABC, DBC là các tam giác đều cạnh a .Gọi (S) là mặt cầu đi
qua B,C và tiếp xúc với đường thẳng AD tại A .Tính bán kính R của mặt cầu (S) .

A. .

a 6

a 6
.
C. R 
D. R  a 3.
.
3
5
Câu 78. (THPT Vĩnh Long lần 1 năm học 2017-2018)Cho tứ diện S.ABC có SA  ( ABC ) ,đáy ABC
là tam giác vuông cân tại A ,có AB  AC  SA  a .Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối tứ diện S.ABC
?

A. R  a 6.

B. . R 

a 2
a 3
2a 3
a 3
.
B.
.
C.
.
D. .
.
3
3
3
2

Câu 79. (HKI_THPT Kiến An năm học 2017-2018)Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình
chữ nhật với AB  a, AD  a 2 .Hình chiếu của S trên mặt phẳng  ABCD  là trung điểm H của BC ,

A.

a 2
.Tính bán kính của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S .BHD .
2
a 2
a 5
a 17
a 11
A.
.
B. .
.
C.
.
D.
.
2
2
4
4
Câu 80. (THPT Chuyên Vĩnh Phúc lần 2 năm học 2017-2018)Cho đường tròn tâm O có đường kính
AB  2a nằm trong mặt phẳng  P  .Gọi I là điểm đối xứng với O qua A. Lấy điểm S sao cho
SH 

SI   P  và SI  2a. Tính bán kính R mặt cầu đi qua đường tròn đã cho và điểm S .
7a

a 65
a 65
a 65
.
B. R 
.
C. . R 
.
D. R 
.
4
16
4
2
Câu 81. (HKI_THPT Nguyễn Khuyến Tp Hồ Chí Minh năm học 2017-2018)Cho hình chóp S . ABC
có tam giác ABC vuông tại B , SA vuông góc với mặt phẳng  ABC  , SA  5, AB  3, BC  4 .Tính bán
A. R 

kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC .
5 2
5 2
A. . R 
.
B. R 
.
2
3

C. R 

5 3
.
3

D. R 

5 3
.
2
22


TRỤ - NÓN – CẦU – LỚP TOÁN THẦY HUY – THANH TRÌ – HN – 0969141404

Câu 82. (HKI_THPT Thăng Long Hà Nội năm học 2017-2018)Người ta bỏ 3 quả bóng bàn cùng kích
thước vào một chiếc hộp hình trụ có đáy bằng đường tròn lớn của quả bóng bàn và chiều cao bằng 3 lần
đường kính của quả bóng bàn.Gọi S1 là tổng diện tích của 3 quả bóng bàn, S 2 là diện tích xung quanh của
S
hình trụ.Tỉ số 1 bằng:
S2
A. . 1.
B. 2 .
C. 3 .
D. 4 .
Câu 83. (THPT Triệu Sơn 2 lần 1 năm học 2017-2018)Cho hình chóp tam giác đều có cạnh đáy bằng
6 và chiều cao h  1 .Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đó là.
A. . S  9 .
B. S  5 .
C. S  6 .
D. S  27 .

Câu 84. (THPT Chuyên Lương Văn Tụy lần 1 Ninh Bình năm học 2017-2018)Cho hình chóp
 
S . ABCD có ABC  ADC  900 , cạnh bên SA vuông góc với  ABCD  ,góc tạo bởi SC và đáy ABCD
bằng 60 0 , CD  a và tam giác ADC có diện tích bằng

a2 3
. Diện tích mặt cầu Smc ngoại tiếp hình
2

chóp S .ABCD là
A. . S mc  16 a 2 .
B. S mc  4 a 2 .
C. S mc  32 a 2 .
D. S mc  8 a 2 .
Câu 85. (THPT Trần Đại Nghĩa - Dak Lak - Năm 2017 - 2018)Cho hình chóp S . ABCD có đáy
ABCD là hình vuông cạnh a .Hai mặt bên  SAB  và  SAD  cùng vuông góc với đáy.Góc giữa SC và
mặt đáy bằng 30 .Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD là

64 6 3
8 6 3
32 3
8 6 3
a .
B.
a .
C.
D.
a .
a .
27

9
9
27
Câu 86. (THPT Trần Đại Nghĩa - Dak Lak - Năm 2017 - 2018)Cho hình chóp tứ giác đều S . ABCD
có các cạnh cùng bằng a .Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là
2
a 3
A. . a
.
B. a 2 .
C.
.
D. a 3 .
2
2
Câu 87. (THPT Trần Đại Nghĩa - Dak Lak - Năm 2017 - 2018)Cho hình chóp S . ABC có đáy là tam
giác vuông cân tại A , AB  a .Cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy.Góc giữa SB và mặt đáy bằng 45
.Thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABC là
3 3
3 3
3 3
3 3
A.
a .
B. .
a .
C.
a .
D.
a .

8
2
4
16
Câu 88. (THPT Chu Văn An - Thái Nguyên - Lần 1 năm 2017 - 2018)Cho hình chóp S . ABCD có
đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1.Các mặt bên  SAB  và  SAD  cùng vuông góc với mặt phẳng
A. .

đáy,cạnh bên SA  7 .Tính thể tích V của khối cầu ngoại tiếp hình chóp S .ABCD .
9
8 2
2
.
B. V  36 .
C. V 
.
D. V 
.
2
3
3
Câu 89. (THPT Lương Thế Vinh – Hà Nội – Lần 1 năm 2017 – 2018)Cho hình chóp S.ABC có
  900 .Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp
SA  SB  SC  BC  4 , BAC

A. . V 

4 3
B. 3
C. 2

D. 4
3
Câu 90. (THPT Kim Liên – Hà Nội – HKI năm 2017 – 2018)Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD
là hình vuông cạnh a ,mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng
đáy.Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S . ABCD .
a 21
2 a 21
a 21
a 21
A.
.
B.
.
C. .
.
D.
.
3
6
6
6
Câu 91. (THPT Kim Liên – Hà Nội – HKI năm 2017 – 2018)Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD
  120 .Cạnh bên SA vuông góc với đáy ABCD và SA  2a .Tính bán
là hình thoi cạnh a ; góc BAD

A. .

kính R của mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S .BCD .
23