Đề thi Học sinh giỏi Toán 9 và Đáp án

Trường THCS Tam Phước ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
Môn: Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
(không kể thời gian phát đề)
Câu 1: (5điểm) Rút gọn biểu thức:
a.
22
)1a(
1
a
1
1A
+
++=
với a > 0
b. Tính giá trị của tổng
22222222
100
1
99
1
1......
4
1
3
1
1
3
1
2
1

1
2
1
1
1
1B
++++++++++++=
Câu 2: (4điểm) Cho
20052005yy2005xx
22
=






++






++

a. Chứng minh







+−−=++
2005xx2005yy
22
; (2điểm)
b. Tính S = x + y. (2điểm)
Câu 3: (3điểm) Giải phương trình
x3x23
=−+
.
Câu 4: (3,5điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của
1b
b
1a
a
A
22
−
+
−
=
với a > 1, b > 1.
Câu 5: (4,5điểm)
Cho đường tròn tâm O, điểm K nằm bên ngoài đường tròn. Kẻ các tiếp tuyến KA, KB với
đường tròn (A, B là các tiếp điểm). Kẻ đường kính AOC. Tiếp tuyến của đường tròn (O) tại
C cắt AB ở E. Chứng minh rằng: Các tam giác KBC và OBE đồng dạng.
ĐÁP ÁN
Câu1: a/

ñ)0)a vìñ)
ñ)
(
ñ)
ñ)
ñ)
5,0((
)1a(a
1aa
25,0(
)1a(a
1aa
5,0(
)1a(a
)1aa
25,0(
)1a(a
)1a()1a(a2a
5,0(
)1a(a
)1a()11a2a(a
5,0(
)1a(a
a)1a()1a(a
)1a(
1
a
1
1A
2

2
2
22
22
22
224
22
222
22
2222
22
>
+
++
=








+
++
=
+
++
=
+

++++
=
+
+++++
=
+
++++
=
+
++=
b/ Từ câu a suy ra
ñ)
ñ)
:ñoù Do
ñ)
1(99,99
100
1
100
100
1
99
1
...
4
1
3
1
3
1

2
1
2
1
1
1
99
1(
100
1
99
1
1...
4
1
3
1
1
3
1
2
1
1
2
1
1
1
1B
5,0(
1a

1
a
1
1
)1a(a
1aa
)1a(
1
a
1
1
2
22
=−=






−++−+−+−+=






−+++







−++






−++






−+=
+
−+=
+
++
=
+
++
Câu 2 :
a/ Ta thấy:
ñ)5,0()1(2005x2005x2005xx
22

=






−+






++
Ta có:
ñ)5,0()2(20052005yy2005xx
22
=






++







++
Từ (1) và (2) suy ra:
ñ)5,0(2005xx2005yy
22






+−−=++
b/ Tương tự
ñ)1()3(2005yy2005xx
22






+−−=++
Cộng từng vế của (2) và (3), ta có:
ñ)
ñ)
ñ)
25,0(0yxS:raSuy
25,0(0yx0y)(x2
1(2005y2005x)yx(2005xx2005yy

2222
=+=
=+⇔=+⇔
+++++−=+++++
Câu 3: ĐKXĐ: 2x – 3 ≥ 0 (0,25đ)

đ)6.xnhất duy nghiệm 1 có pt Vậy
đ)
nhận)loại)
đ)
đ)đ)
đ)
5,0(
5,0(
(6x;(2x
3x
5,0(
0)6x)(2x(
3x
5.0(
012x8x
3x
5,0(
9x6x3x2
03x
25,0(3x3x2x3x23
21
22
=




==
≥
⇔



=−−
≥
⇔



=+−
≥
⇔



+−=−
≥−
⇔
−=−⇔=−+
Câu 4 : Đặt a – 1 = x > 0, b – 1 = y > 0 (0,25đ), ta có:
đ)
đ)đ)
5,0(4
y
1

y
x
1
x
5,0(
y
1y2y
x
1x2x
5,0(
y
)1y(
x
)1x(
A
2222
+








++







+=
++
+
++
=
+
+
+
=

Với x > 0, y > 0 ta có
8 A nên
≥≥+≥+
2
y
1
y,2
x
1
x
(1đ)
minA = 8 ⇔ x = y = 1 ⇔ a = b = 2. (0,75đ)
Câu 5: Vẽ hình đúng 0,5đ
a/ Ta có AK // CE (cùng vng góc với AC) (0,5đ)
đ)(2)EBOCBK nên B với phụcùngB có lại Ta
đ)
BC
KB

đ)ECtgB
đ)
31
75,0(
ˆˆ
)
ˆ
(B
ˆ
ˆ
5,0()1(
BE
OB
1(
KB
OB
BC
BE
BK
ˆ
tgO
ˆ
75,0(BK
ˆ
OK
ˆ
EC
ˆ
BA
ˆ

CE
ˆ
B
2
11
==
=⇒
=⇒=⇒
==⇒=⇒
Từ (1) và (2) suy ra ∆KBC ∆OBE (cgc) (0,5đ)