Phương pháp giải nhanh một số bài tập hay, lạ, khó phần sóng cơ học

I.MỞ ĐẦU
1.1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Trong những năm gần đây đề thi THPT Quốc gia xuất hiện nhiều các câu hỏi vận
dụng và vận dụng cao ở phần sóng cơ học, Với mỗi dạng toán thường có nhiều cách giải
khác nhau. Đối với hình thức thi trắc nghiệm đòi hỏi phải đưa ra quyết định nhanh và chính
xác vì vậy phải đưa ra cách giải nhanh và hiệu quả nhất. nhiều tài liệu tham khảo thường lựa
chọn cách giải tuần tự chi tiết từng bước cho bài toán. Thiết nghĩ với những bài toán mở đầu
của các dạng thì việc làm đó là cần thiết và nó phù hợp với cách thi tự luận hơn. Các bài
toán tiếp theo phải tìm ra cách giải nhanh, giúp học sinh nhớ được những dạng toán cơ bản
đã học và phát triển tới các dạng lạ, khó từ những dạng quen thuộc.
Để giúp các em học sinh chinh phục các câu khó phần sóng cơ trong đề thi THPT
Quốc gia tôi xin được trình bầy phương pháp giải nhanh một số bài toán hay, lạ, khó phần
sóng cơ cụ thể với đề tài: “phương pháp giải nhanh một số dạng bài tập hay, lạ, khó phần
sóng cơ học”.
1.2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU:

- Giúp học sinh nắm chắc kiến thức cơ bản tìm ra cách giải hay, kỹ năng giải nhanh
các bài toán hay, lạ, khó rút ra các quy tắc, công thức để áp dụng cho các dạng bài tập này.
- Rèn luyện khã năng tư duy, suy luận cho học sinh.
- Rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức toán học để giải quyết các bài tập vật lý.
1.3. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:

Đề tài nghiên cứu về các phương pháp giải nhanh một số dạng toán hay, lạ, khó phần
sóng cơ học.
1.4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

Đưa ra cơ sở lý thuyết, phát triển các bài toán khó từ các bài toán cơ bản.sử dụng
phương pháp giải nhanh nhất để giải quyết bài toán phức tạp nhờ công cụ toán học
Sưu tầm và hệ thống các bài tập từ các đề thi thử của các trường,đề thi THPTQG,đề minh
hoạ và một số câu tự biên soạn, phân loại bài tập và hệ thống bài tập để các em học sinh tiếp

thu có hệ thống nhằm giúp các em tiếp cận kiến thức dễ dàng hơn.
Mỗi chủ đề bài tập đều được chia làm các phần cụ thể:
Phần 1: Các kiến thức cần nhớ.
Phần 2: Bài tập ví dụ có lời giải.
Phần 3: Bài tập áp dụng các em tự giải.
1.5. NHỮNG ĐIỂM MỚI CỦA SÁNG KIẾN KNH NGHIỆM:

- Đưa ra hệ thống các bài tập hay, lạ, khó.
- Sắp xếp theo mạch logich của các dạng bài từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp.
- Đưa ra cách giải nhanh, có nhận xét ở một số dạng bài đặc biệt.
II. NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1. CƠ SỞ LÝ LUẬN CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM:

a) Sóng cơ- Định nghĩa- phân loại
+ Sóng cơ là những dao động đàn hồi lan truyền trong môi trường vật chất theo thời gian.
+ Khi sóng cơ truyền đi chỉ có pha dao động của các phần tử vật chất lan truyền còn các phần tử vật
chất thì dao động xung quanh vị trí cân bằng cố định.
+ Sóng ngang là sóng trong đó các phần tử của môi trường dao động theo phương vuông góc với
phương truyền sóng. Ví dụ: sóng trên mặt nước, sóng trên sợi dây cao su.
1


+ Sóng dọc là sóng trong đó các phần tử của môi trường dao động theo phương trùng với phương
truyền sóng. Ví dụ: sóng âm, sóng trên một lò xo.
b) Các đặc trưng của một sóng hình sin
+ Biên độ của sóng A: là biên độ dao động của một phần tử của môi trường có sóng truyền qua.
+ Chu kỳ sóng T: là chu kỳ dao động của một phần tử của môi trường sóng truyền qua.
+ Tần số f: là đại lượng nghịch đảo của chu kỳ sóng : f =

1

T

+ Tốc độ truyền sóng v : là tốc độ lan truyền dao động trong môi trường .
+ Bước sóng λ: là quảng đường mà sóng truyền được trong một chu kỳ.

λ = vT =

v
f

+Bước sóng λ cũng là khoảng cách giữa hai điểm gần nhau nhất trên phương truyền sóng dao động
cùng pha.
+ Năng lượng của sóng là năng lượng dao động của một đơn vị thể tích môi trường khi có sóng

1
2

truyền qua. Năng lượng sóng tỉ lệ với bình phương biên độ sóng E = Dω 2A 2 . Một nguồn điểm
năng lượng EN lan truyền theo các cách khác nhau thì biên độ giảm khác nhau:

EN
2π R

•

Nếu lan truyền trên mặt phẳng ( sóng phẳng) thì năng lượng sóng E R =

•

Nếu lan truyền trong không gian ( sóng cầu) thì E R =

•

Nếu lan truyền trên một đường thẳng thì ER = const nên biên độ sóng không đổi

EN
4π R 2

•

Năng lượng sóng E: Esóng = Edd = mω2A2
+ Lưu ý: Giữa n đỉnh (ngọn) sóng có (n - 1) bước sóng.

c) Phương trình sóng:
- Tại nguồn O: uO =Aocos(ωt +φ)
- Tại điểm M cách O một đoạn x trên phương truyền sóng.
* Sóng truyền theo chiều dương của trục Ox thì:
x
v

uM = AMcos(ωt + ϕ - ω ) = AMcos(ωt + ϕ - 2π
* Sóng truyền theo chiều âm của trục Ox thì:
x
v

x
)
λ

uM = AMcos(ωt + ϕ + ω ) = AMcos(ωt + ϕ + 2π

t ≥ x/v

x
)
λ

- Tại một điểm M xác định trong môi trường sóng: x =const; uM là hàm điều hòa theo t với chu kỳ T.
- Tại một thời điểm xác định t =const, uM là hàm biến thiên điều hòa theo không gian x với chu kỳ λ.
- Độ lệch pha giữa hai điểm cách nguồn một khoảng xM, xN:
∆ϕ MN = ω

x N − xM
x − xM
= 2π N
=2π
v
λ

với d = xN – xM

Chú ý : Trong hiện tượng truyền sóng trên sợi dây, dây được kích thích dao động bởi nam châm điện
với tần số dòng điện là f thì tần số dao động của dây là 2f.
2.2. THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ TRƯỚC KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

- Học sinh gặp khó khăn khi xác định chiều truyền sóng và trạng thái dao động của các phần
tử của các thời điểm.
- Đối với những bài toán liên quan đến đồ thị đa số học sinh rất lúng túng khi đọc đồ thị.
Đối với các bài tập phức tạp cần phải có kiến thức toán đề giải quyết như xác định khoảng
2

cách cực đại, cực tiểu của các điểm trên phương truyền sóng, hầu như học sinh chưa giải
quyết được
2.3. GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN:
CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
A. Dạng 1: xác định chiều truyền sóng và các đại lượng đặc trưng cơ bản của sóng từ đồ

thị sóng.
1. Cơ sở lý thuyết:
a) xác định chiều truyền sóng:
Cách 1: Trên cơ sở lý thuyết, quá trình truyền sóng là quá trình truyền pha. Nếu sóng truyền
từ O đến M với vận tốc truyền sóng là v, khi pha dao động của M ở thời điểm t trùng với
pha giao động của O tại thời điểm t −

OM
(v là vận tốc truyền sóng) ⇒ chiều truyền
v

Cách 2: Dùng vòng tròn lượng giác
Sử dụng vòng tròn lượng giác biểu diễn li độ của các phân tử tại M và N.

uuuu
r

uuur

Ta vẽ các vec tơ quay OM và ON biểu thị trạng thái
của phần tử sóng tại M và N ở cùng một thời điểm t
trên vòng tròn lượng giác.

+ Ví dụ trên hình vẽ phần tử vật chất tại M đang đi
xuống (theo chiều âm Ou), phần tử vật chất tại N
đang đi lên (theo chiều dương Ou). Như vậy ta thấy

uuuu
r
uuur
OM quay trước ON nên chứng tỏ M sớm pha hơn

N, do đó M gần nguồn sóng hơn N. Hay sóng truyền theo chiều từ M đến N.
Cách 3: Rút ra quy tắc về mối quan hệ của chiều Đỉnh
Sườn sau
Sườn trước
truyền sóng và vận tốc dao động của các phần tử:
sóng
+
v
Đứng trên đỉnh sóng, mắt nhìn theo chiều truyền
sóng, sườn trước mặt đi lên, sườn sau đi xuống.
b) Đọc đồ thị hàm điều hòa:
- Xác định biên độ dựa vào tọa độ đỉnh của đồ
Hõm sóng
thị.
- Xác định pha ban đầu φ: li độ u = u 0 khi t = 0 (giao điểm của đồ thị với trục x) sau đó
tính cos ϕ =

u0
đồng thời quan sát đồ thị đang đi lên thì φ có giá trị âm và ngược lại.
A

- Xác định khoảng thời gian, thời điểm, chu kỳ (tần số) dựa vào việc chia chu kỳ trên đồ
thị.
B

2. Một số ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Một sóng cơ truyền trên sợi dây với tần số f = 10 Hz.
Tại một thời điểm nào đó sợi dây có dạng như hình vẽ. Trong
đó khoảng cách từ vị trí cân bằng của A đến vị trí cân bằng của
3

E

C
A
D


D là 60 cm và điểm C đang đi xuống qua vị trí cân bằng. Chiều truyền sóng và vận tốc
truyền sóng là:
A. Từ E đến A với vận tốc 8 m/s.
B. Từ A đến E với vận tốc 8 m/s.
C. Từ A đến E với vận tốc 6 m/s.
D. Từ E đến A với vận tốc 6 m/s.
Hướng dẫn

3

AD = 6cm = λ ⇒ λ = 80cm = 0,8m
Ta có đoạn 
4

 v = λf = 0,8.10 = 8m/s
Từ đồ thị ta có: C ở VTCB và đang đi xuống, còn B đang
ở vị trí biên dương.
Biểu diễn trên vòng tròn lượng giác ta thấy C nhanh pha
hơn B, do vậy C gần nguồn sóng hơn. Vậy sóng truyền từ C đến B, tức là chiều truyền sóng
từ E đến A.
Ví dụ 2: Sóng truyền trên một sợi dây đàn hồi
theo ngược chiều dương trục Ox. Tại một thời
điểm nào đó thì hình dạng sợi dây được cho như
hình vẽ. Các điểm O, M, N nằm trên dây. Chọn
đáp án đúng
A. ON = 30cm, N đang đi lên
B. ON = 28cm, N đang đi lên
C. ON = 30cm, N đang đi xuống
D. ON = 28cm, N đang đi xuống
Hướng dẫn
Từ đồ thị ta có: OM = 12cm = λ/4 → λ = 48cm
+ Theo phương truyền sóng, so sánh với đỉnh gần
nhất. Trước đỉnh sóng thì phần tử môi trường đi
xuống, sau đỉnh sóng thì phần tử môi trường đi lên,
suy ra N trước đỉnh M sẽ đi xuống. (Hoặc sử dụng
vòng tròn lượng giác để biểu diễn dao động phần tử sóng tại M, N với điều kiện sóng truyền
từ N sang M nên N phải sớm pha hơn M).
+ Từ hình vẽ ta thấy điểm N có li độ u N = −2 = −

⇒ ∆ϕ =

AM
2

2πd MN 2π
λ
=
⇔ d MN = = 16cm , Vậy ON = OM + MN = 12 + 16 = 28cm
λ
3
3

Ví dụ 3: (ĐH - 2013): Một sóng hình sin
đang truyền trên một sợi dây theo chiều
dương của trục Ox. Hình vẽ mô tả hình dạng

4


của sợi dây tại thời điểm t1 (đường nét đứt) và t2 = t1 + 0,3 (s) (đường liền nét). Tại thời điểm
t2, vận tốc của điểm N trên dây là
A. -39,3 cm/s.
B. 65,4 cm/s.
C. -65,4 cm/s.
D. 39,3 cm/s.
Hướng dẫn
Từ hình vẽ ta thấy: Biên độ sóng A = 5 cm.
Từ 30 cm đến 60 cm có 6 ô nên chiều dài mỗi ô là (60 – 30)/6 = 5 cm. Bước sóng
bằng 8 ô nên λ = 8.5 = 40 cm.
Trong thời gian 0,3 s sóng truyền đi được 3 ô theo phương ngang tương ứng quãng
15

đường 15 cm nên tốc độ truyền sóng v = 0,3 = 50 ( cm / s ) .
Chu kì sóng và tần số góc: T = λ/v = 0,8 s; ω = 2π/T = 2,5π (rad/s).

Tại thời điểm t2, điểm N qua vị trí cân bằng và nằm ở sườn trước nên nó đang đi lên
với tốc độ cực đại, tức là vận tốc của nó dương và có độ lớn cực đại:
vmax = ωA = 2,5π.5 ≈ 39,3 cm/s ⇒ Chọn D.

Chú ý: Nếu phương trình sóng có dạng u = A cos  ωt −



phần tử có tọa độ x là v = u ' = −ω Asin  ωt −


2π x 
thì vận tốc dao động của
λ ÷


2π x 
. Đồ thị hình sin ở thời điểm t = 0 có dạng
λ ÷


như hình vẽ. Hai điểm M và N có tỉ số li độ và tỉ số vận tốc lần lượt:

2π xM 

2π xM
Acos  ω.0 −
÷ cos
u
λ



λ
M

=
=
2
π
 u N Acos  ω.0 − 2π xN  cos xN


λ
λ ÷


2π xM 

2π xM

−ω Asin  ω.0 −
sin
÷
 vM
λ 

λ
=
=


2
π
xN
2
π
x
v


N
 N −ω Asin  ω.0 −
sin
÷
λ

λ 


Trong đó có thể hiểu xM và xN là khoảng cách từ vị trí cân bằng của M và của N đến vị
trí cân bằng của đỉnh sóng A gần nhất. Nếu gọi y M và yN là khoảng cách từ vị trí cân bằng
2π yM

 uM sin λ
=

 u N sin 2π yN

λ
của M và N đến I thì: 
2

π
yM

cos
 vM =
λ
v
2
π
yN
 N cos
λ


Nếu điểm N trùng với I thì vM = vmax cos

Ví dụ 4: Một sóng cơ học tại thời điểm t = 0 có đồ
thị là đường liền nét. Sau thời gian t, nó có đồ thị là
đường đứt nét. Cho biết vận tốc truyền sóng là 4
m/s, sóng truyền từ phải qua trái. Giá trị của t là
A. 0,25 s.
B. 1,25 s.
C. 0,75 s.
D. 2,5 s.
Hướng dẫn

5

2π yM
.

λ


+ Chọn hai điểm M, N trên phương truyền sóng, cách nhau d = λ/4 như hình vẽ, độ lệch pha
của M, N là π/2. Vì sóng truyền từ phải qua trái nên N sớm pha hơn M.
Tại thời điểm t = 0 thì N ở biên dương, M ở VTCB.
Tại thời điểm t, N ở VTCB, M ở biên âm.

Trên vòng tròn lượng giác ta nhận thấy góc quét từ thời điểm t = 0 đến t là 3π/2.
Do đó: t =

λ 4
3T
; mà chu kì của sóng: T = = = 1s ⇒ t = 0,75s
v 4
4

Ví dụ 5: Một sóng hình sin đang truyền trên một sợi dây theo chiều dương của trục 0x. Hình
vẽ mô tả hình dạng của sợi dây tại thời điểm t 1 và t2=t1+1s. Tại thời điểm t2, vận tốc của
điểm M trên dây gần giá trị nào nhất sau đây?
A. – 3,029 cm/s.
B. – 3,042 cm/s.
C. 3,042 cm/s.
D. 3,029 cm/s.
Hướng dẫn
Ta có
+

λ 1
= ⇒ λ = 0,4m

4 10

Trong

1

s

sóng

truyền

đi

được

3 1
1
S
− = m ⇒ v = = 0,05 m/s
20 10 20
t
λ
π
Chu kì của sóng T = = 8s ⇒ ω = rad/s
v
4
S=

+ Độ lệch pha dao động theo tọa độ x của M và điểm O

11
2π∆x
30 = 11 π
∆ϕ =
=
λ
0,4
6
2π.

Lưu ý rằng tại thời điểm t1 M chuyển động theo chiều
âm (do nằm trước đỉnh sóng)
+ Hai thời điểm t1 và t2 lệch nhau tương ứng một góc ω.t=π/4 (chú ý rằng M đang chuyển
động ngược chiều dương, do vậy li độ điểm M tại thời điểm t 2 là: uM = a.cos(45o + 30o) =
4.cos75o (cm)
Vận tốc của M khi đó: v = -vmax.cos15o = -ωa. cos15o ≈ -3,029 cm/s
(hoặc sử dụng công thức độc lập để tìm v)
6


Ví dụ 6: Cho một sợi dây cao su căng ngang. Làm cho đầu O của dây dao động theo phương
thẳng đứng. Hình vẽ mô tả hình dạng sợi dây tại thời điểm t 1 (đường nét liền) và t2 = t1 +
0,2s (đường nét đứt).
Tại thời điểm t3 = t2 + 0,4s thì độ lớn li độ của
phần tử M cách đầu dây một đoạn 4 m (tính theo
phương truyền sóng) là

3 cm. Gọi δ là tỉ số của

tốc độ cực đại của phần tử trên dây với tốc độ
truyền sóng. Giá trị của δ gần giá trị nào nhất
sau đây?
A. 0,025
B. 0,018
C. 0,012
D. 0,022
Hướng dẫn
+ Từ đồ thị ta có λ = 6,4m
Vận tốc truyền sóng:

v=

∆x12 7,2 − 6,4
=
= 4 m/s
∆t12
0,2

Tần số góc dao động của các phần tử:

ω=

2π 2πv 5π
=
=
rad/s
T
λ
4

+ Độ lệch pha giữa M và O là:

∆ϕ =

2π∆d MO 2π.4 5π
=
=
rad
λ
6,4
4

Sử dụng vòng tròn lượng giác ta vẽ các vectơ quay biểu thị dao động của O tại 3 thời điểm
t1, t2, t3.
Góc quét từ t1 đến t2 là ∆φ1 = (t2 – t1).ω = π/4 rad, nên ở thời điểm t 1, O đi qua VTCB theo
chiều dương.
Góc quét từ t2 đến t3 là ∆φ1 = (t3 – t3).ω = π/2 rad.
Vì O nhanh pha hơn M một góc ∆φ = 5π/4 nên ta xác định được ở thời điểm t 3, M ở vị trí
biên âm → uM3 = -a.

5π
ωA 4 . 3
Suy ra biên độ sóng: a = 3cm ⇒
δ=
=
= 0,017
v
4.100
Ví dụ 7: Trên một sợi dây đàn hồi có ba

điểm M, N và P, N là trung điểm của
đoạn MP. Trên dây có một sóng lan
truyền từ M đến P với chu kỳ T (T>0,5s).
Hình vẽ bên mô tả dạng sợi dây tại thời
điểm t1 (đường 1) và t2 = t1 + 0,5s (đường
7


2); M, N và P là vị trí cân bằng của chúng trên dây. Lấy 2 11 = 6,6 và coi biên độ sóng
không đổi khi truyền đi. Tại thời điểm t 0 = t1 – 1/9 s, vận tốc dao động của phần tử dây tại N
là
A. 3,53 cm/s
B. 4,98 cm/s
C. – 4,98 cm/s
D. – 3,53 cm/s
Hướng dẫn
+ Ta để ý rằng điểm N tại thời điểm t 1 đang ở vị trí cân bằng, tại thời điểm t 2 N đi đến vị trí
biên → t1 và t2 là hai thời điểm vuông pha nhau.
Sóng truyền từ M đến P, nên ở thời điểm t 1 N đang đi qua VTCB theo chiều âm (N đi
xuống).
Xét điểm P, tại thời điểm t1, P có li độ uP1=6,6= 2 11 mm, tại thời điểm t2, P có li độ uP2
=3,5mm.
2

2

u  u 
2
Ta có hệ thức:  P1 ÷ +  P2 ÷ = 1 ⇒ A = u 2P1 + u P2
= 7,5mm

A
A

 

Vì t1 và t2 là hai thời điểm vuông pha nhau nên:
∆t = t2 – t1 = 0,5s = ( 2k + 1) .

T
2
⇒T=
. Vì T < 0,5 s, nên ta có hai trường hợp:
4
2k + 1

T = 2s
ω = π rad/s

+ Với k = 0 ⇒ 

Tại thời điểm t1, phần tử N có vận tốc v = -vmax nên vận tốc của N tại thời điểm t0 = t1 -1/9 s
là: vωAcos
N(t 0 ) = − ω.

 1
 22,14mm
÷≈ − / s
 9

2


T = s
3
+ Với k = 1 ⇒ 
ω = 3π rad/s



ω. 
Vận tốc của phần tử N tại thời điểm t0 = t1 -1/9 s là: vωAcos
N =−

1
35,34
÷≈ −
9

mm/s.

Ví dụ 8: Sóng cơ lan truyền trên mặt nước dọc theo chiều
dương của trục Ox với bước sóng λ, tốc độ truyền sóng là v và
biên độ a gắn với trục tọa độ như hình vẽ. Tại thời điểm t1 sóng
có dạng nét liền và tại thời điểm t2 sóng có dạng nét đứt. Biết AB
= BD và vận tốc dao động của điểm C là v C = -0,5πv. Tính góc
OCA.
A. 106,10.
B. 107,30.
C. 108,40.
D. 109,90.
Hướng dẫn

Vì AB = BD nên thời gian dao động từ A đến B là t2 – t1 = T/6 tương ứng với sóng
truyền từ O đến C với quãng đường OC = λ/6 ⇒ CD = λ/4 - λ/6 = λ/12.
Vì C đang ở VTCB nên nó có tốc độ cực đại v max = ωa = 2πa/T = 0,5πv ⇒AD = a
8


2
2

λ
λ
 AC = CD 2 + AD 2 =  ÷ +  ÷ =

 12   4 
= vT/4 = λ/4 ⇒ 
2
2

λ λ
2
2
 AO = OD + AD =  ÷ +  ÷ =
4 4

2

10
λ
12
2

λ
4

2

2
 λ   10   2 
λ÷ −
λ÷
 ÷ +
2
2
2
6
12
4


OC
+
CA
−
OA
·



 = − 10 ; ⇒ OCA
·
= 108, 40 ⇒ Chọn C.

⇒ cos OCA
=
=
2.OC.CA
10
λ 10
2. .
λ
6 12

3. Một số bài tập vận dụng:
Bài 1: (Quốc gia – 2017) Trên một sợ dây dài, đang có
sóng ngang hình sin truyền qua theo chiều dương của
trục Ox. Tại thời điểm t0 một đoạn của sợi dây có hình
dạng như hình bên. Hai phần tử M và O dao động lệch
pha nhau
A. π/4 rad
B. π/3 rad
C. 3π/4 rad
D. 2π/3 rad
Bài 2: Một sóng hình sin đang truyền trên một sợi dây,
theo chiều dương của trục Ox. Hình vẽ mô tả hình
dạng của sợi dây ở các thời điểm t1 và t2 = t1 + 0,3s.
Chu kì của sóng là:
A. 0,9 s
B. 0,4 s
C. 0,6 s
D. 0,8 s
Bài 3: Một sóng cơ truyền trên một sợi dây theo phương ngang, tốc độ truyền sóng là 20
cm/s. Tại thời điểm t=0 hình dạng của sợi dây

được biểu diễn như hình vẽ. Phương trình sóng cơ
mô tả hình dáng của sợi dây tại thời điểm t=2,125
s là:
A. u = 5cos(0,628x + 0,785) cm
B. u = 5cos(0,628x + 1,57) cm
C. u = 5cos(0,628x - 0,785) cm
D. u = 5cos(0,628x -1,57) cm
Bài 4: Một sóng cơ lan truyền dọc theo trục Ox với

2πx 
 2π
t−
÷. Trên
 Tλ


phương trình có dạng u = a cos 

hình vẽ đường (1) là hình dạng của sóng ở thời
điểm t, hình (2) là hình dạng của sóng ở thời điểm
trước đó 1/12 s. Phương trình sóng là:




A. u = 2cos 16πt −

πx 
÷cm
3 




B. u = 2cos  8πt −
9

πx 
÷cm
3 





C. u = 2cos 16πt +

2πx 
÷cm
3 




D. u = 2cos  8πt −

2πx 
÷cm
3 

Bài 5: Một sóng truyền theo phương AB. Tại
một thời điểm nào đó, hình dạng sóng có
dạng như hình vẽ. Biết rằng điểm M đang đi
lên vị trí cân bằng. Khi đó điểm N đang
chuyển động
A. đi xuống
B. đứng yên
C. chạy ngang
D. đi lên.
Bài 6: Một sóng ngang tần số 100Hz truyền trên một sợi dây nằm ngang với vận tốc 60m/s.
M và N là hai điểm trên dây cách nhau 0,75m
và sóng truyền theo chiều từ M tới N. Chọn
trục biểu diễn li độ cho các điểm có chiều
dương hướng lên trên. Tại một thời điểm nào
đó M có li độ âm và đang chuyển động đi
xuống. Tại thời điểm đó N sẽ có li độ và chiều
chuyển động tương ứng là
A. Âm, đi xuống
B. Âm, đi lên
C. Dương, đi xuống
D. Dương, đi lên
B. Dạng 2: Xác định trạng thái dao động của các phần tử ở các thời điểm.

1. Cơ sở lý thuyết:
*) Số điểm dao động cùng pha, ngược pha, vuông pha với nguồn
Dao động tại P cách nguồn một đoạn d trễ hơn dao động tại nguồn là
∆ϕ =

2π d

λ

=

2π d
vT

=

2π df
v

=

ωd
v

Khi P dao động cùng pha với nguồn khi ∆ϕ = k 2π ( k ∈ Z ) .
Khi P dao động ngược pha với nguồn khi ∆ϕ = ( 2k + 1) π ( k ∈ Z ) .
Khi P dao động ngược pha với nguồn khi ∆ϕ = ( 2k + 1)

π
( k∈Z) .
2

⇒ Tính d theo k và thay vào điều kiện giới hạn để tìm ra số giá trị nguyên của k.
Li độ và vận tốc dao động tại các điểm ở các thời điểm
a. Li độ vận tốc tại cùng 1 điểm ở 2 thời điểm
Cách 1: Viết phương trình li độ về dạng u = Acosωt và v = u’ = - ωAsinωt.
v( t +∆t ) = −ω A sin ω ( t1 + ∆t ) = −ω A sin [ ωt1 + ω∆t ] = ?

1

Cách 2: Dùng vòng tròn lượng giác
* Xác định vị trí đầu trên vòng tròn (xác định ϕ) và chọn mốc thời gian ở trạng thái này.
* Xác định pha dao động ở thời điểm tiếp theo φ = ω∆t + ϕ.
* Li độ và vận tốc dao động lúc này: u = Acosφ và v = -ωAsinφ.
10


b. Li độ và vận tốc tại hai điểm
uM = a cos ωt

* Li độ ở cùng một thời điểm u = a cos  ωt − 2π d 

 N
λ ÷




(giả sử sóng truyền M đến N và MN = d)
vM = u 'M = −ω a sin ωt

* Vận tốc dao động ở cùng một thời điểm v = u ' = −ω a sin  ωt − 2π d 
N

 N
λ ÷




 uM = a cos ωt

 vM = u 'M = −ω a sin ωt

2π d 

* Li độ và vận tốc dao động ở cùng 1 thời điểm u N = a cos  ωt −
λ ÷



2π d 
 vN = u 'N = −ω a sin  ωt −

λ ÷


 
 uM = a cos ωt

 vM = u 'M = −ω a sin ωt

2π d 

* Li độ và vận tốc dao động ở 2 thời điểm u N = a cos  ωt '−
λ ÷




2π d 
 vN = u 'N = −ω a sin  ωt '−

λ ÷
 



2. Một số ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Một nguồn O phát sóng cơ dao động theo phương trình u 0 = 2cos(20πt + π/3) (trong
đó u tính bằng đơn vị mm, t tính bằng đơn vị s). Xét trên một phương truyền sóng từ O đến
điểm M rồi đến điểm N với tốc độ 1 m/s. Biết OM = 10 cm và ON = 55 cm. Trong đoạn MN
có bao nhiêu điểm dao động vuông pha với dao động tại nguồn O?
A. 10.
B. 8.
C. 9.
D. 5.
Hướng dẫn
Độ lệch pha của một điểm trên MN cách O một khoảng d là:
∆ϕ =

ωd
v

=

20π d
100

=

πd
5

.

Điểm này dao động vuông pha với O thì ∆ϕ = (2k + 1)

π
⇒d=5k+2,5 (cm).
2

Thay vào điều kiện: OM≤ d≤ ON ⇒ 10≤ 5k+2,5≤ 55 ⇒ 1,5≤ k ≤ 10,5 ⇒ k = 2,
…,10: Có 9 giá trị nên có 9 điểm ⇒ Chọn C.
Suy nghĩ: Nếu O, M, N không thẳng hàng thì làm thế nào?
Chú ý: Để tìm số điểm dao động cùng pha, ngược pha, vuông pha với nguồn O trên
đoạn MN (MN không đi qua O) ta có thể làm theo các cách sau:
Cách 1:Từ O kẻ đường thẳng vuông góc với MN cắt MN tại H.
Vẽ các đường tròn tâm O, bán kính bằng kλ (nếu dao
động cùng pha) hoặc bằng (2k + 1)λ/2 (nếu dao động ngược
pha) hoặc bằng (2k + 1)λ/4 (nếu dao động vuông pha) đồng
thời bán kính phải lớn hơn hoặc bằng OH. Số điểm cần tìm
chính là số giao điểm của các đường tròn nói trên.
11


Cách 2: Ta chia MN thành hai đoạn MH và HN, tìm số điểm trên từng đoạn rồi cộng lại, dựa vào
OH ≤ d ≤ OM

điều kiện: 

OH < d ≤ ON
Ví dụ 2: Trên mặt thoáng của một chất lỏng, một mũi nhọn O chạm vào mặt thoáng dao
động điều hòa với tần số f, tạo thành sóng trên mặt thoáng với bước sóng λ. Xét 2 phương
truyền sóng Ox và Oy vuông góc với nhau. Gọi A là điểm thuộc Ox cách O một đoạn 16 λ
và B thuộc Oy cách O là 12λ. Tính số điểm dao động cùng pha với nguồn O trên đoạn AB.
A. 8.
B. 9.
C. 10.
D. 11.
Hướng dẫn
Kẻ OH ⊥ AB, từ hệ thức

1
1
1
=
+
tính được OH = 9,6λ.
2
2
OH
OA OB 2

Cách 1: Các điểm dao động cùng pha với O cách O một số
nguyên lần λ. Ta vẽ các vòng tròn tâm O bán kính một số nguyên
lần λ. Để các vòng tròn này cắt AB thì bán kính bắt đầu từ 10λ,
11λ, 12λ, 13λ, 14λ, 15λ, 16λ.
Các đường tròn bán kính 10λ, 11λ, 12λ cắt đoạn AB tại 2
điểm còn các đường tròn bán kính 13λ, 14λ, 15λ và 16λ chỉ cắt
đoạn AB tại 1 điểm. Nên tổng số điểm dao động cùng pha với O

trên AB là 3.2 + 4 = 10 điểm
Cách 2: Các điểm dao động cùng pha với O cách O một khoảng d = kλ.
+Số điểm trên AH: 9,6λ ≤ kλ ≤ 16λ ⇒ 9,6 ≤ k ≤ 16 ⇒ k = 10,…16: có 7 điểm.
+Số điểm trên HB: 9,6λ < kλ ≤ 12λ ⇒ 9,6 < k ≤ 12 ⇒ k = 10,…,12: có 3 điểm.
Tổng số điểm là 10.
Ví dụ 3 Một sóng cơ học được truyền theo phương Ox với biên độ không đổi. Phương trình
dao động tại nguồn O có dạng u = 4.cos(πt/6 + π/2) (mm) (t đo bằng giây). Tại thời điểm t 1
li độ của điểm O là 2 3 mm và đang giảm. Tính vận tốc dao động tại điểm O sau thời điểm
đó một khoảng 3 (s).
A. –π/3 cm/s.
D. π/3 cm/s.
B. – π/ 3 cm/s.
C. π/ 3 cm/s.
Hướng dẫn
Kinh nghiệm: Bài toán cho x1 và xu hướng đang tăng (v1>0) hoặc đang giảm (v1<0)
thì nên làm theo cách 2.
Cách 1: Viết lại phương trình li độ vận tốc:
πt

u = 4co s
=2 3

πt π
πt
π
πt

6
⇒
=

u = 4co s ( cm ) và v = u ' = −4. sin ( cm / s ) ⇒ 
6 6
6
6
6
u ' = −4. π sin π t < 0

6
6

v( t +3)



π ( t + 3)
2π
πt π 

= −4. sin
=−
sin
 6 + 2  = −π / 3 ( cm / s ) ⇒ Chọn B
6
6
3
 {

π /6
π

Cách 2: Chọn trạng thái tại thời điểm t 1 là trạng thái ban đầu ⇒ ϕ
= π/6
Pha dao động ở thời điểm tiếp theo:
Φ = ω∆t + ϕ =

π
π 2π
.3 + =
6
6
3

12


Vận tốc dao động lúc này:
π
2π
π
v = −ω A sin Φ = − .4sin
=−
( cm / s )
6
3
3

Chú ý:
1) Hai thời điểm cùng pha t2 − t1 = nT thì u2 = u1 ; v2 = v1 .
T
thì u2 = −u1 ; v2 = −v1 .

2
u12 + u22 = A2
T
3) Hai thời điểm vuông pha t2 − t1 = ( 2n + 1) thì 
.
4
 v2 = ωu1 ; v1 = ωu2
Nếu n chẵn thì v2 = −ωu1 ; v1 = ωu2
Nếu n lẻ thì v2 = ωu1; v1 = −ωu2

2) Hai thời điểm ngược pha t2 − t1 = ( 2n + 1)

Ví dụ 4: Một sóng cơ học được truyền theo phương Ox với biên độ không đổi. Phương trình
dao động tại nguồn O có dạng u = 6sinπt/3 (cm) (t đo bằng giây). Tại thời điểm t 1 li độ của
điểm O là 3 cm. Vận tốc dao động tại O sau thời điểm đó 1,5 (s) là
A. –π/3 cm/s.
B. – π cm/s.
C. π cm/s.
D. π/3 cm/s.
Hướng dẫn
T=

2π
T
T
= 6 ( s ) ⇒ = 1,5 ( s ) ⇒ t2 − t1 = ( 2.0 + 1) (n = 0 chẵn)
ω
4
4

π
⇒ v2 = −ωu1 = − .3 = −π ( cm / s ) ⇒ Chọn B
3

Ví dụ 5: Nguồn sóng ở O dao động với tần số 10 Hz, dao động truyền đi với vận tốc 0,4
m/s trên phương Oy. Trên phương này có 2 điểm P và Q theo thứ tự đó PQ = 15 cm. Cho biên
độ A = 4 cm và biên độ không thay đổi khi sóng truyền. Nếu tại thời điểm nào đó P có li độ
3 cm thì vận tốc dao động tại Q là
A. +60π cm/s.
B. -60π cm/s.
C. +20π cm/s.
D. –20π cm/s.
Hướng dẫn
Hai điểm vuông pha: sóng truyền từ M đến N (điểm M pha lớn hơn pha điểm N) mà

vM = −ωu N
 Khi k =0; 2;.. (ch½n) thì 

v N = ωu M

 Khi k =1;3;.. (lÎ ) thì vM = ωu N


vN = −ωuM

2π d 2π fd
π
π
∆ϕ =
=

= 7π + = ( 2.7 + 1) .
λ
v
2
2
Vì k = 7 là số lẻ nên vQ = −ωu p = −60π ( cm / s ) ⇒ Chọn B.
 A2 = uM2 + uN2

λ
MN = ( 2k + 1)
thì  vN = ωuM
4

 vM = ωu N

Ví dụ 6: Một sóng cơ hình sin lan truyền với bước sóng 12 cm với tần số 10 Hz với biên độ
2 cm truyền đi không đổi, từ M đến N cách nhau 3 cm. Tại thời điểm t điểm M có li độ 1 cm
và đang giảm. Sau thời điểm đó 1/6 chu kỳ điểm N có tốc độ là
A. 20π cm/s.
C. 0.
D. 10 cm/s.
B. 10 3 cm/s.
Hướng dẫn
π
; ω = 2π f = 20 ( rad / s )
λ
2
uM = 2 cos 20π t = 1
π
⇒ 20π t =


3
vM = u 'M = −40π sin 20π t < 0
∆ϕ =

2π d

=

13


π


u N = 2 cos  20π t '− 2 ÷


v = u ' = −40π sin  20π t '− π  = −40π sin  20π  t + 1  − π  = −20π ( cm / s )

÷

÷
N
N

÷
2

 60  2 




⇒ Chọn A.

Ví dụ 7: Một sóng cơ lan truyền trên một sợi dây rất dài từ M đến P với biên độ không đổi

uuu
r

uuuu
r

với chu kì T. Ba điểm M, N và P nằm trên sợi dây sao cho N là NP = −3NM . Tại thời điểm
t1, li độ của ba phần tử M, N, P lần lượt là − 5 3 mm; uN1 mm; 5 3 mm. Nếu tại thời điểm
t2 li độ của M và P đều bằng +5 mm, thì li độ của phần tử tại N tại thời điểm t2 + T/24 có độ
lớn là:
A. 4 3 mm.

B. 5 3 mm.

C. 5 2 mm.

D. 10 mm.

Hướng dẫn

uuu
r

uuuu
r

Vì NP = −3NM nên N nằm giữa M và P sao cho NM =

1
MP
4

2πMP
= α1
λ
2πMN 2πMP / 4 α1
= α2 =
=
=
λ
λ
4

M dao động sớm pha hơn P một góc: Δφ M/P =
M dao động sớm pha hơn N một góc: Δφ M/ N

Sử dụng vòng tròn lượng giác biểu diễn li độ dao động tại M, N, P, C (trung điểm MP) ở hai
thời điểm t1 và t2 (lưu ý sóng truyền từ M đến P nên vectơ OM quay trước vectơ OP).

Vì độ lệch pha của dao động tại M, N, C, P không đổi tại mọi thời điểm nên từ hình vẽ ta
có:
Tại thời điểm t1: sin

α
5
α1 5 3
; Tại thời điểm t2: cos 1 =
=
2 A
2
A
2

2


5
3
5


sin
+ cos
=1
÷ +  ÷ = 1 ⇒ a = 10 ( mm )
2
2 →

A

 A
2 ∆φ

2 ∆φ

14


·
Suy ra α1 = 120o; α2 = 30o → ở thời điểm t2, trên hình vẽ NOC
= 30o
Thời điểm t3 = t2 + T/24 s, tức là sau thời điểm t2, vectơ ON quét thêm góc ∆φN = 15o.
o
·
Như vậy tại thời điểm t3, NOC
= 30 + 15 = 45o , do đó N có li độ uN = A.cos45 = 5 2

mm.
Ví dụ 8: Lúc t = t 1 sóng ngang có
= 2m mới truyền đến A làm cho điểm A bắt đầu dao
động đi lên. Điểm O cách A 2,5m lần đầu tiên lên đến vị trí cao nhất là ở thời điểm
t=t1+0,3s.
1. Tìm tốc độ truyền sóng, chu kì sóng và khoảng thời gian hai lần liên tiếp A qua VTCB
2. Tại thời điểm t = t2 các điểm O và B (B nằm trong AO và BO = /4) ở trên vị trí cân bằng
lần lượt là 0,75cm và 1cm và đều đang đi lên. Tìm biên độ sóng và li độ tại O ở thời điểm
t=t2+1/30s.
Hướng dẫn giải.
1. Hai thời điểm lệch nhau 0,3s. Trong khoảng thời gian 0,3s này sóng truyền được từ A đến
O rồi làm cho O dao động từ VTCB ra đến biên. Vì vậy ta có:

OA T OA λ
+ =
+

⇒ v = 10m / s ⇒ T = 0, 2s
v
4 v 4v
T
= 0,1s
Khoảng thời gian hai lần liên tiếp A qua VTCB là
2
0, 3 =

2. Hai điểm O và B có độ lệch pha

∆d π
u
u
= ⇒ ( B )2 + ( O )2 = 1⇒ a = uB2 + uO2 = 1, 25mm
λ
2
a
a
Phương trình dao động tại O là: u0 = 1,25cos(10 π t + ϕ ) (mm)
∆ϕ = 2π

+ Tại thời điểm t2 có:

uO = 1, 25cos(10π t2 + ϕ ) = 0, 75 cos(10π t2 + ϕ ) = 0, 6
⇒

vO = −1, 25π sin(10π t2 + ϕ ) > 0
sin(10π t2 + ϕ ) = −0, 8

+ Tại thời điểm t = t2+ 1/30 s thì:


1

π

uo = 1, 25cos 10π  t2 + ÷+ ϕ  = 125
, cos ( 10π t2 + ϕ ) + 
30 
3



π
π

uo = 1, 25cos ( 10π t2 + ϕ ) cos − sin(10π t2 + ϕ )sin  = 1, 24mm
3
3

3. Một số bài tập vận dụng:
Bài 1: Một sóng cơ học lan truyền trên một sợi dây với chu kì T, biên độ A. Ở thời điểm t 0, li
độ của phần tử tại B và C tương ứng là -12 mm và +12 mm, đồng thời phần tử D là trung
điểm của BC đang ở vị trí cân bằng. Ở thời điểm t 1, li độ của phần tử tại B và C cùng là +5
mm thì phần tử D cách vị trí cân bằng của nó là
A. 8,5 mm.
B. 7,0 mm.
C. 17 mm.
D. 13 mm.

Bài 2: Một sóng cơ lan truyền trên một sợi dây rất dài với biên độ không đổi với chu kì T. Ba
điểm A, B và C nằm trên sợi dây sao cho B là trung điểm của AC. Tại thời điểm t 1, li độ của ba
phần tử A, B, C lần lượt là – 5,4 mm; 0 mm; 5,4 mm. Nếu tại thời điểm t2, li độ của A và C đều
bằng +7,2 mm, thì li độ của phần tử tại B tại thời điểm t2 + T/6 có độ lớn là
A. 10,3 mm.
B. 4,5 mm.
C. 9 mm.
D. 7,3 mm.
15


Bài 3: Một sóng cơ học được truyền theo phương Ox với biên độ không đổi. Phương trình
dao động tại nguồn O có dạng u = 6sinπt/3 (cm) (t đo bằng giây). Tại thời điểm t 1 li độ của
điểm O là 3 cm. Vận tốc dao động tại O sau thời điểm đó 1,5 (s) là
A. –π/3 cm/s.
B. – π cm/s.
C. π cm/s.
D. π/3 cm/s.
Bài 4: Một sóng cơ học lan truyền theo phương x có bước sóng λ, tần số f và có biên độ là A
không đổi khi truyền đi. Sóng truyền qua điểm M rồi đến điểm N và hai điểm cách nhau
7λ/3. Vào thời điểm nào đó vận tốc dao động của M là 2πfA thì tốc độ dao động tại N là
A. πfA.
B. πfA/2.
C. πfA/4.
D. 2πfA.
Bài 5: Một sóng cơ lan truyền từ M đến N với bước sóng 8 cm, biên độ 4 cm, tần số 2 Hz,
khoảng cách MN = 2 cm.
Tại thời điểm t phần tử vật chất tại M có li độ 2 cm và đang tăng thì phần tử vật chất tại N
có
B. li độ 2 cm và đang giảm.

A. li độ 2 3 cm và đang giảm.
C. li độ 2 3 cm và đang tăng.
D. li độ -2 3 cm và đang tăng.
C. Dạng 3: Xác định Khoảng cách cực đại, cực tiểu giữa hai điểm trên phương truyền

sóng.
1. Cơ sở lý thuyết:

Đối với trường hợp sóng ngang thì khoảng cách giữa hai điểm MN:
l=

( O1O2 )

2

+ ( ∆u )

2

l =
 min
⇒
lmax =


( O1O2 )

2

+ ( 0)

( O1O2 )

2

+ ( ∆umax )

2

2

với ∆u = u2 – u1; O1 và O2 lần lượt là vị trí cân

bằng của M và N.
Đối với trường hợp sóng dọc thì khoảng cách giữa hai điểm MN:
 lmin = O1O2 − ∆umax ( khi ∆umax < O1O2 )

l = O1O2 + ∆u ⇒  lmin = 0 ( khi ∆umax > O1O2 )
với ∆u = u2 – u1.

lmax = O1O2 + ∆umax

2. Một số ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: (Minh Họa – 2017): Một sóng ngang
hình sin truyền trên một sợi dây dài. Hình vẽ bên
là hình dạng của một đoạn dây tại một thời điểm
xác định. Trong quá trình lan truyền sóng, khoảng
cách lớn nhất giữa hai phần tử M và N có giá trị
gần nhất với giá trị nào sau đây? Biết biên độ sóng
là a = 10mm

A. 8,5 cm.
B. 8,2 cm .
C. 8,35 cm.
Hướng dẫn
16

D. 8,02 cm.


Từ đồ thị ta thấy λ = 24cm, M cách N 1 đoạn d = 4.2 = 8cm
Độ lệch pha dao động giữa hai phần tử M và N: ∆ϕ =

2π∆x 2π.8 2π
=
=
rad
λ
24
3

+ Trong hệ tọa độ (uOx), điểm M có tọa độ M(xM, uM), điểm N có tọa độ N(xN, uN)
Khoảng cách giữa hai chất điểm M, N là:

d=

( xN − xM )

2

+ ( u N − u M ) với ∆x = xN – xM = 8cm là không đổi, d lớn nhất khi ∆u =

2

uN - uM lớn nhất.

 2π 
÷ = A 3 = 3cm cm
 3 

Ta có ∆u max = ( u N − u M ) max = A 2 + A 2 − 2A.Acos 
2
Vậy d max = ∆x 2 + ∆u max
= 82 +

( )
3

2

≈ 8,2cm

Ví dụ 2: Sóng ngang có tần số f truyền trên một sợi
dây đàn hồi rất dài, với tốc độ 3 m/s. Xét hai điểm M
và N nằm trên cùng một phương truyền sóng, cách
nhau một khoảng x. Đồ thị biểu diễn li độ sóng của M
và N cùng theo thời gian t như hình vẽ. Biết t 1 = 0,05
s. Tại thời điểm t2, khoảng cách giữa hai phần tử chất
lỏng tại M và N có giá trị gần giá trị nào nhất sau đây?
A. 19 cm .

B.

20 cm .

C.

23cm .

D. 18 cm .

Hướng dẫn
Từ đồ thị ta tìm được phương trình dao động của hai phần tử M, N là:

u N = 4cosωt
( )


π

 − ÷
u M = 4cosωt
3


Ta thấy rằng một chu kỳ T chiếm 4 ô đơn vị trên đồ thị, khoảng thời gian t 1 = 0,05s chiếm 3
ô đơn vị, do đó ta có:

3
1
T = 0,05 ⇒ T = sω⇒ 30π
=

4
15

rad/s

Độ lệch pha giữa hai dao động sóng tại M và N là:

π 2πx
λ v.T 10
=
⇒ x = xM − x N = =
= cm
3λ
6
6
3
5
17
s khi đó điểm M đang có li độ uM = 0 và li độ của điểm N
Thời điểm t 2 = T + T =
12
180
Δφ =

(
là: u N = 4cosωt

) =4cos

17 


30π.
÷ = −2 3cm
180 

17


Khoảng cách giữa hai phần tử MN:

d=

( xM − x N )

2

+ ( uM − uN )

2

2

(

 10 
=  ÷ + −2 3
 3

)

2

=

4 13
cm
3

Ví dụ 3: Một nguồn phát sóng cơ hình sin đặt tại O,
truyền dọc theo sợi dây đàn hồi căng ngang rất dài
OA với bước sóng 48 cm. Tại thời điểm t1 và t2 hình
dạng của một đoạn dây tương ứng như đường 1 và
đường 2 của hình vẽ, trục Ox trùng với vị trí cân
bằng của sợi dây, chiều dương trùng với chiều
truyền sóng. Trong đó M là điểm cao nhất, u M, uN, uH lần lượt là li độ của các điểm M, N, H.
Biết u 2M = u 2N + u 2H và biên độ sóng không đổi. Khoảng cách từ P đến Q bằng
A. 2 cm.

B. 12 cm.
C. 6 cm.
D. 4 cm.
Hướng dẫn
+ Tại thời điểm t1, điểm H có li độ uH và đang tăng, đến thời điểm t2, điểm H có li độ vẫn là
uH và đang giảm.
+ Phương pháp đường tròn, ta thu được hình vẽ như sau:
Độ lệch pha của hai dao động tại M và H là không đổi
tại mọi thời điểm nên góc quét hợp bởi 2 vectơ quay
biểu thị M và H là bằng nhau ở mọi thời điểm → α = β.

· OH = 90o → α = β = π/6

Vì u 2M = u 2N + u 2H ⇒ M
(t 2 )
(t1 )
Vì phần tại tại P dao động sớm pha hơn phần tử tại M
nên vectơ quay biểu thị P được vẽ như trên hình. Khi
đó độ lệch pha của P so với M là ∆φP/M = π/6.
Mặt khác: Δφ P/M =

2π ( x M − x P ) 2πPQ π
λ
=
= ⇒ PQ = = 4cm
λ
λ
6
12

Ví dụ 4: M và N là hai điểm trên một mặt nước phẳng lặng cách nhau 1 khoảng 20 cm. Tại
1 điểm O trên đường thẳng MN và nằm ngoài đoạn MN, người ta đặt nguồn dao động theo
phương vuông góc với mặt nước với phương trình u = 5cosωt cm, tạo ra sóng trên mặt nước
với bước sóng λ = 15 cm. Khoảng cách xa nhất và gần nhất giữa 2 phần tử môi trường tại M
và N khi có sóng truyền qua là bao nhiêu?
Hướng dẫn
Khoảng cách cực tiểu giữa M và N là:
lmin = MN = 20 ( cm )

Giả sử sóng truyền qua M rồi đến N thì dao động
tại M sớm pha hơn dao động tại N: ∆ϕ = 2πMN/λ =
8π/3.
Chọn lại gốc thời gian để phương trình dao động tại M là: u 1 = 5cosωt cm thì phương

trình dao động tại N là: u2 = 5cos(ωt - 8π/3) cm.
Độ lệch li độ của hai phần tử tại M và tại N:
18


∆u = u2 − u1 = 5cos(ωt - 8π/3) - 5cosωt = 5 3 cos(ωt - 5π/6) cm ⇒ ∆umax = 5 3 cm.
Khoảng cách xa nhất giữa hai phần tử tại M và N:
lmax =

( O1O2 )

2

(

+ ( ∆umax ) = 202 + 5 3
2

)

2

= 5 19 ( cm ) .

Ví dụ 5: Sóng dọc lan truyền trong một môi trường với bước sóng 15 cm với biên độ không
đổi A = 5 3 cm. Gọi M và N là hai điểm cùng nằm trên một phương truyền sóng mà khi
chưa có sóng truyền đến lần lượt cách nguồn các khoảng 20 cm và 30 cm. Khoảng cách xa
nhất và gần nhất giữa 2 phần tử môi trường tại M và N khi có sóng truyền qua là bao nhiêu?
Hướng dẫn
Giả sử sóng truyền qua M rồi đến N thì dao động tại M sớm pha hơn dao động tại

N: ∆ϕ = 2πMN/λ = 4π/3.
Chọn lại gốc thời gian để phương trình dao động tại M là: u 1 = 5 3 cosωt cm thì
phương trình dao động tại N là: u2 = 5 3 cos(ωt - 4π/3) cm.
Độ lệch li độ của hai phần tử tại M và tại N:
∆u = u2 − u1 = 5 3 cos(ωt - 4π/3) - 5 3 cosωt = 15cos(ωt + 5π/6) cm
⇒ ∆umax = 15 cm > MN = 10 cm.
Khoảng cách xa nhất và gần nhất giữa hai phần tử tại M và N:
lmax = MN + ∆umax = 10 + 15 = 25 ( cm )

lmin = 0

Ví dụ 6: Sóng ngang lan truyền trong một môi trường với tần số f = 50 Hz, tốc độ truyền
sóng v = 200 cm/s và biên độ không đổi A = 2 cm. Gọi A và B là hai điểm cùng nằm trên
một phương truyền sóng mà khi chưa có sóng truyền đến lần lượt cách nguồn các khoảng 20
cm và 42 cm. Khi có sóng truyền qua khoảng cách cực đại giữa A và B là bao nhiêu?
A. 26 cm.
B. 22 cm.
C. 24 cm.
D. 10 5 cm.
Hướng dẫn
Cách 1: Bước sóng: λ = v/f = 4 cm/s.
Khoảng cách khi chưa dao động: d = O1O2 = 42 – 20 = 22 cm.
Dao động tại A sớm pha hơn dao động tại B: ∆ϕ =

2π d 2π .22
=
= 11π (hai dao động này
λ
4

ngược pha nhau).
Vì hai dao động ngược pha nhau nên để chúng
cách xa nhau nhất thì chúng phải nằm đối diện nhau
như hình vẽ.
Khoảng cách cực đại:
lmax =

( A' B)

2

+ ( AA ' ) =
2

( 22 )

2

+ ( 4 ) = 10 5 ( cm )
2

Cách 2: Độ lệch li độ của hai phần tử tại A và tại B:
∆u = uA − uB = 2cos(100πt) - 2cos(100πt - π) = 4cos(100πt) cm ⇒ ∆umax = 4 cm.
Khoảng cách xa nhất giữa hai phần tử tại M và N:
2
2
2
2
lmax = ( O1O2 ) + ( ∆umax ) = ( 22 ) + ( 4 ) = 10 5 ( cm ) .
Ví dụ 7: Tại thời điểm đầu tiên t = 0 đầu O của sợi dây cao su căng thẳng nằm ngang bắt

đầu dao động đi lên với tần số 2 Hz với biên độ A = 6 5 cm. Gọi P, Q là hai điểm cùng nằm
trên một phương truyền sóng cách O lần lượt là 6 cm và 9 cm. Biết vận tốc truyền sóng trên
dây là 24 cm/s và coi biên độ sóng không đổi khi truyền đi. Tại thời điểm O, P, Q thẳng
hàng lần thứ 2 thì vận tốc dao động của điểm P và điểm Q lần lượt là v P và vQ. Chọn phương
án đúng.
A. vQ = -24π cm/s.
B. vQ = 24π cm/s.
C. vP = 48π cm/s.
D. vP = -24π cm/s.
19


Hướng dẫn

Bước sóng: λ = v/f = 12 cm.
Chu kì sóng: T = 1/f = 0,5 s.
Ở thời điểm t = T/2 = 0,25 s điểm O trở về vị trí cân
bằng và sóng mới truyền được một đoạn λ/2 = 6 cm, nghĩa
là vừa đến P (và Q đều chưa dao động), tức là lúc này O, P
và Q thẳng hàng lần thứ 1.
Vì P luôn dao động ngược pha với O nên P và O
luôn đối xứng quan trung điểm I.
Lần thứ 2 ba điểm thẳng hàng, lúc này: -u O = uP = 0,5uQ > 0, điểm P có li độ dương
và đang đi xuống còn điểm Q có li độ dương và đang đi lên.
2

2

 u   uQ 
Điểm Q dao động vuông pha với điểm P nên:  P ÷ +  ÷ = 1

 A  A
2

2

 0,5uQ   uQ 
⇒
÷ +
÷ = 1 ⇒ uQ = 12 ( cm ) ⇒ u P = 6 ( cm )
 6 5  6 5
2

2
2
v
=
−
ω
A
−
u
=
−
4
π
6
5
− 6 2 = −48π ( cm / s )
P
P


⇒
⇒ Chọn B.
v = − + ω A2 − u 2 = −4π 6 5 2 − 122 = 24π ( cm / s )
Q
 Q

(

)

(

)

3. Một số bài tập vận dụng:
Bài 1: Lúc t = 0 đầu O của dây cao su căng thẳng nằm ngang bắt đầu dao động đi lên, biên độ
a, chu kì 1 s. Hai điểm gần nhau nhất trên dây dao động ngược pha cách nhau 6 cm. Tìm thời
điểm đầu tiên để M cách O là 24 cm dao động cùng trạng thái ban đầu với O
A. 2 s.
B. 6 s.
C. 9 s.
D. 3 s.
Bài 2: Tại thời điểm đầu tiên t = 0 đầu O của sợi dây cao su căng thẳng nằm ngang bắt đầu
dao động đi lên với tần số 2 Hz. Gọi P, Q là hai điểm cùng nằm trên một phương truyền
sóng cách O lần lượt là 8 cm và 16 cm. Biết vận tốc truyền sóng trên dây là 24 cm/s và coi
biên độ sóng không đổi khi truyền đi. Hỏi sau thời gian ngắn nhất là bao lâu thì O, P, Q
thẳng hàng?
A. 0,16 s.
B. 0,25 s.

C. 0,56 s.
D. 1,67 s.
Bài 3: Tại thời điểm đầu tiên t = 0 đầu O của sợi dây cao su căng thẳng nằm ngang bắt đầu
dao động đi lên với tần số 2 Hz. Gọi P, Q là hai điểm cùng nằm trên một phương truyền
sóng cách O lần lượt là 8 cm và 16 cm. Biết vận tốc truyền sóng trên dây là 24 cm/s và coi
biên độ sóng không đổi khi truyền đi. Hỏi sau thời gian ngắn nhất là bao lâu thì O, P, Q
thẳng hàng lần thứ 2?
A. 0,3478 s.
B. 0,25 s.
C. 0,5568 s.
D. 0,4318 s.
Bài 4: Hai sợi dây cao su giống nhau dài 3 m căng thẳng nằm ngang song song với nhau và
có cùng độ cao so với mặt đất. Điểm đầu của các sợi dây là O 1 và O2. Đầu tiên cho O1 dao
động đi lên với tần số 0,25 Hz. Sau đó 10 s cho O 2 dao động đi xuống với tần số 0,5 Hz.
Sóng tạo ra trên hai sợi dây là sóng hình sin với cùng biên độ A và cùng bước sóng 60 cm.
Hỏi sau thời gian ngắn nhất bao nhiêu kể từ khi O 2 bắt đầu dao động thì hình dạng của hai
sợi dây giống hệt nhau?
A. 10 s.
B. 15 s.
C. 12 s.
D. 20 s.
Bài 5: Tại thời điểm đầu tiên t = 0 đầu O của sợi dây cao su căng thẳng nằm ngang bắt đầu
dao động đi lên với tần số 2 Hz với biên độ A = 6 5 cm. Gọi P, Q là hai điểm cùng nằm
trên một phương truyền sóng cách O lần lượt là 6 cm và 9 cm. Biết vận tốc truyền sóng trên
20


dây là 24 cm/s và coi biên độ sóng không đổi khi truyền đi. Tại thời điểm O, P, Q thẳng
hàng lần thứ 3 thì Q có li độ là
A. -5,5 cm.

B. 12 cm.
C. 5,5 cm.
D. -12 cm.
2.4. HIỆU QUẢ KHI ÁP DỤNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

- Tiến hành dạy thực nghiệm cho học sinh ôn thi THPT Quốc Gia tại trường THPT Lương
Đắc Bằng qua nhiều năm tôi thấy hiệu quả rõ rệt. Học sinh không còn lúng túng khi gặp các
bài tập vận dụng, vận dụng cao phần này. Các em đã chinh phục tốt phần bài tập sóng cơ
trong đề thi PTTH Quốc gia các năm. Trong đề minh họa năm 2019 các em đã giải quyết rất
tốt bài tập phần này.
III. KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ
Để ôn luyện tốt kiến thức về phần sóng cơ hoc thì trước hết các em học sinh phải đọc lại kiến thức
của phần này trong sách giáo khoa, tiếp theo các em phương pháp giải đã đọc vào làm các bài tâp ví
dụ. Trong quá trình đọc sách không nên đọc lời giải trước mà phải cố gắng suy nghĩ tự tìm tòi lời giải.
Nếu không làm được chúng ta mới đọc phần hướng dẫn giải. Sau đó các em tiếp tục đọc và làm các
bài tập vận dụng một lần nữa để củng cố lại kiên thức.
Tôi hi vọng rằng với đề tài “phương pháp giải nhanh một số dạng bài tập hay, lạ, khó
phần sóng cơ học” là tài liệu bổ ích giúp các em ôn luyện và làm bài tâp tốt phần này.
XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG
ĐƠN VỊ CÔNG TÁC

Thanh Hóa ngày tháng 05 năm 2019
Người viết

Đỗ Thị Phước Hà

21