Ăn chắc 9+ Vật lý Chủ đề 5: tổng hợp dao động điều hòa

CHỦ ĐỀ 5. TỔNG HỢP DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA
BÀI TOÁN THUẬN
Nội dung bài toán: Cho biết các phương trình dao động thành phần, yêu cầu tìm dao động tổng hợp.
Phương pháp giải
Tổng hợp hai hay nhiều dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số là một dao động điều hoà cùng
phương, cùng tần số.
Cách 1. Phương pháp áp dụng trực tiếp công thức tính A và tan ϕ
=
 x1 A1 cos (ωt + ϕ1 )
=
⇒ x A cos (ωt + ϕ )

=
 x2 A2 cos (ωt + ϕ 2 )
 A=
A12 + A22 + 2 A1 A2 cos (ϕ2 − ϕ1 )


A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ2
 tan ϕ =
A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ 2

* Nếu một dạng hàm cos, một dạng hàm sin thì đổi:

π

sin (ωt +=
α ) cos  ωt + α − 
2

* Nếu hai dao động cùng pha ϕ2 − ϕ1 = k 2π ⇒ Amax = A1 + A2

* Nếu hai dao động thành phần ngược pha ϕ2 − ϕ1 = ( 2k + 1) π ⇒ Amin = A1 − A2
* Nếu hai dao động thành phần vuông pha ϕ2 − ϕ1 =

( 2k + 1)

π
2

Cách 2. Phương pháp cộng các hàm lượng giác
x = x1 + x2 + ....

=
x A1 cos (ωt + ϕ1 ) + A2 cos (ωt + ϕ 2 ) + ....
=
x cos ωt ( A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ 2 ) − sin ω t ( A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ2 )


A cos ϕ

=
⇒ x A cos (ωt + ϕ )
Cách 3. Phương pháp cộng số phức.
x = x1 + x2 + ...
x = A1∠ϕ1 + A2 ∠ϕ2 + ....

A sin ϕ

⇒ A=

A12 + A22

Kinh nghiệm:
1) Khi cần tổng hợp hai dao động điều hòa có thể dùng một trong ba cách trên.
Khi cần tổng hợp ba dao động điều hòa trở lên thì nên dùng cách 2 hoặc cách 3.
2) Phương pháp cộng số phức chỉ áp dụng trong trường hợp các số liệu tường minh hoặc biên độ của
chúng có dạng nhân cùng với một số,
 A1 = 2a

Ví dụ: =
A2
3a ⇒ chọn a = 1

 A3 = 5a
3) Trường hợp chưa biết một đại lượng nào đó thì nên dùng phương pháp vectơ quay hoặc cộng hàm
lượng giác. Trường hợp hai dao động thành phần cùng biên độ thì nên dùng phương pháp lượng giác.
Ví dụ 1: Một vật thực hiện hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số:
x1 =
4 cos (ωt + 30 ) cm, x2 =
8cos (ωt + 90 ) cm (với ω đo bằng rad/s và t đo bằng giây). Dao động tổng
hợp có biên độ là
A. 6,93 cm.

B. 10,58 cm.

C. 4,36 cm.

D. 11,87 cm.

Hướng dẫn: Chọn đáp án C

Bài toán đơn giản nên ta dùng cách 1: A=

A12 + A22 + 2 A1 A2 cos (ϕ 2 − ϕ1 )

42 + 82 + 2.4.8.cos ( 90 − 30 ) = 4,36 ( cm )

A=

Ví dụ 2: (ĐH‒2008) Cho hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số, cùng biên độ và có các pha
ban đầu là

π
3

và −

π
6

(phương trình dạng cos). Pha ban đầu của dao động tổng hợp hai dao động trên

bằng
A. −

π
2

B.

π

4

C.

π
6

D.

π
12

Hướng dẫn: Chọn đáp án D
tan ϕ

π
−π
a sin + a sin
A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ2
3 =
6 ⇒ϕ π
=
A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ 2 a cos π + a cos −π
12
3
6

Ví dụ 3: Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có phương trình:

π


x1 =
3 cos  ωt +  ( cm ) , x2 =
cos (ωt + π )( cm ) . Phương trình dao động tổng hợp là
2

5π 
2π 
π
π




A. x 2 cos  ωt − =
=
 D. x 2 cos  ωt − 
 C. x 2 cos  ωt + =
 B. x 2 cos  ωt + =
6 
3 
3
6





Hướng dẫn: Chọn đáp án

x=

3∠

π
2

+ 1∠π = 2∠

2π
2π 

⇒ x = 2 cos  ωt +
 ( cm )
3
3 


Dùng máy tính Casio fx 570 – ES, bấm như sau:
(Để chọn đơn vị góc là radian)
(Để chọn chế độ tính toán với số phức)

(Màn hình máy tính sẽ hiện thị

Màn hình sẽ hiện kết quả: 2∠

3∠

π

2

+ 1∠π )

2π
.
3

Nghĩa là biên độ A = 2cm và pha ban đầu ϕ =

2π
nên ta sẽ chọn B.
3

Chú ý: Để thực hiện phép tính về số phức, bấm: MODE 2 màn hình xuất hiện CMPLX.
Muốn biểu diện số phức dạng A∠ϕ , bấm SHIFT 2 3 =
Muốn biểu diện số phức dạng: a + bi , bấm SHIFT 2 4 =
Để nhập ký tự ∠ bấm: SHIFT (-)
Khi nhập các số liệu thì phải thống nhất được đơn vị đo góc là độ hay rađian
Nếu chọn đơn vị đo là độ (D), bấm: SHIFT MODE 3 màn hình hiển thị chữ D
Nếu chọn đơn vị đo là Rad (R), bấm: SHIFT MODE 4 màn hình hiển thị chữ R.
Ví dụ 4: Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có phương trình:
5π 
π


x1 =
2sin  π t −
cos  π t +  ( cm ) . Phương trình dao động tổng hợp
 ( cm ) , x2 =

6 
6



A. x
=

5 cos (π t + 1, 63)

π

C. x cos  π t − 
=
6


5π 

B. x cos  π t −
=

6 


D. x
=

5 cos (π t − 1,51)

Hướng dẫn: Chọn đáp án D

5π 
4π 


x1 2sin  π t − =
 2 cos  π t −
 ( cm )
=
6 
3 



Đổi hàm sin về hàm 
 x cos  π t + π 
=


 2
6

Cách 1:


A12 + A22 + 2 A1 A2 cos (ϕ2 − ϕ1 )=

A=

 π −4π 
22 + 12 + 2.2.1.cos  −
=
3 
6

5 ( cm )

−4π
π
+ 1.sin
A sin ϕ1 + A2 sin ϕ 2
3
6 =−8 − 5 3 ⇒ ϕ =−1,51( rad )
tan ϕ = 1
=
A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ 2 2 cos −4π + 1.cos π
3
6
2sin

Cách 2:
5π

x = x1 + x2 = 2sin  π t −
6


x= 2sin π t cos

π


 + cos  π t + 
6



5π
5π
π
π
− 2 cos π t sin
+ cos π t cos − sin π t sin
6
6
6
6

 −2 + 3 
 1+ 2 3 
x=
cos π t. 
5 cos (π t − 1,51)( cm )
 − sin π t. 
=
2 
2 





5 cos( −1,51)

5 sin ( −1,51)

Cách 3:
 4π
x = x1 + x2 = 2∠  −
 3


π 
 + 1∠   =

6

5∠1, 63 ⇒ x =

5 cos (π t + 1, 63)( cm )

Bình luận : Đáp án đúng là A! Vậy cách 1 và cách 2 sai ở đâu? Ta dễ thấy,
  
véc tơ tổng A
= A1 + A2 nằm ở góc phần tư thứ III vì vậy không thể lấy

ϕ = −1,51rad !
Sai lầm ở chỗ, phương trình có hai nghiệm :
ϕ = −1,51( rad )
tan ϕ =−8 − 5 3 ⇒ 

π − 1,51 =
1, 63 ( rad )
ϕ =
Ta phải chọn nghiệm 1,63 rad để cho véc tơ tổng “bị kẹp” bởi hai véc tơ thành phần. Qua đó ta thấy máy
tính không “dính những bẫy” thông thường giống như con người! Đây chính là một trong những lợi thế
của cách 3.
Ví dụ 5: Cho hai dao động điều hoà cùng phương cùng tần số, biên độ lần lượt là a và a 3 và pha ban
đầu tương ứng=
là ϕ1
A.

π
2

2π
π
. Pha ban đầu của dao động tổng hợp là:
=
; ϕ2
3
6

B.

π
3

C. −

π

2

D.

Hướng dẫn: Chọn đáp án B
Muốn sử dụng máy tính ta chọn a = 1 và thực hiện như sau :

π

x =x1 + x2 =1∠ ( 2π / 3) + 3∠ (π / 6 ) =2∠ (π / 3) ⇒ x =2 cos  ωt +  ( cm )
3

Dùng máy tính Casio fx 570 – ES, bấm như sau:

2π
3


SHIFT MODE 4 (Để chọn đơn vị góc là radian)
MODE 2 (Để chọn chế độ tính toán với số phức)
1 SHIFT ( − )

2π
+
3

3 SHIFT ( − )

π
6

:

(Màn hình máy tính sẽ hiện thị 1∠ ( 2π / 3) + 3∠ (π / 6 ) )
SHIFT 2 3 =
Màn hình sẽ hiện kết quả: 2∠ (π / 3)
Nghĩa là biên độ A = 2a và pha ban đầu ϕ =

π
3

nên ta sẽ chọn B.

Dùng máy tính Casio fx 570 – MS, bấm như sau:
SHIFT MODE 3 = (Để cài đặt ban đầu, đơn vị đo góc là độ).
MODE 2 (Để cài đặt tính toán với số phức).

Baám SHIFT
ñöôïc A 2
=
+ seõ=
3 SHIFT ( − ) 30 : 
SHIFT seõ
=
ñöôïc ϕ 60
Baám=

1 SHIFT ( − ) 120 +

Nghĩa là biên độ A = 2 cm và pha ban đầu ϕ= 60° nên ta sẽ chọn B.

Chú ý: Nếu hai dao động thành phần có cùng biên độ thì ta nên dùng phương pháp lượng giác:
=
x a cos (ωt + ϕ1 ) + a cos (ωt +=
ϕ2 ) 2a cos

ϕ1 − ϕ2
2

ϕ + ϕ2 

cos  ωt + 1

2 


Ví dụ 6: Phương trình dao động tổng hợp của 2 dao động thành phần cùng phương cùng tần số:

π

=
x1 4 cos (100t )(
=
cm ) ; x2 4 cos 100t +  ( cm ) là:
2

π

A. x 4.cos 100t +  cm
=
4



π

B. x 4 2.cos 100t +  cm
=
8


π

C. x 4 2.cos 100t +  cm
=
4


3π 

D. x 4.cos 100t +
=
 cm
4 


Hướng dẫn: Chọn đáp án B
x = x1 + x2 = 2.4.cos
Ví

dụ

7:

Biên

π

π
π


.cos 100t +  = 4 2 cos 100t +  ( cm )
4
4
4


độ

dao

động

tổng

hợp

của

ba

dao

động

x1 = 4 2 cos 4π t ( cm ) ,

=
x2 4 cos ( 4π t + 0, 75π )( cm=
) và x3 3cos ( 4π t + 0, 25π ) ( cm ) là:
A. 7 cm.

B. 8 2 cm.

Hướng dẫn: Chọn đáp án A
Cách 1: Phương pháp cộng các hàm lượng giác

C. 8 cm.

D. 7 2 cm.


x = x1 + x2 + ....

x

cos ωt ( A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ 2 + ....) − sin ωt ( A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ 2 + ...)

3π
π
3π

π


=
x cos 4π t  4 2 cos 0 + 4 cos
+ 3cos  − sin 4π t  4 2 sin 0 + 4sin
+ 3sin 
4
4
4
4



π

=
x 3,5 2 cos 5t − 3,5 2=
sin 5t 7.cos  4π t +  ( cm=
) ⇒ A 7 ( cm )
3

Cách 2: Phương pháp cộng số phức
x = x1 + x2 + ... = A1∠ϕ1 + A2 ∠ϕ2 + ....
x = 4 2∠0 + 4∠

3π
π
π
+ 3∠ = 7∠

4
4
4

Dùng máy tính Casio fx 570 – ES, bấm như sau:
SHIFT MODE 4 (Để chọn đơn vị góc là radian)
MODE 2 (Để chọn chế độ tính toán với số phức)

4 2 SHIFT ( − ) 0 + 4 SHIFT ( − )

3π
π
+ 3 SHIFT ( − ) :
4
4

(Màn hình máy tính sẽ hiện thị 4 4 2∠0 + 4∠

3π
π
+ 3∠ )
4
4

SHIFT 2 3 =
Màn hình sẽ hiện kết quả: 7∠

π
4

Nghĩa là biên độ A = 7 cm và pha ban đầu ϕ =

π
4

(Pha ban đầu bằng 0 thì chỉ cần nhập 4 2 + 4∠

nên ta sẽ chọn A.

3π
π
+ 3∠ vẫn được kết quả như trên).
4
4

Dùng máy tính Casio fx 570 – MS, bấm như sau:
SHIFT MODE 3 = (Để cài đặt ban đầu, đơn vị đo góc là độ).
MODE 2 (Để cài đặt tính toán với số phức).

4

2 + 4 SHIFT ( − ) 135 + 3 SHIFT ( − ) 45

Baám SHIFT
=
+ seõ=
ñöôïc A 7

SHIFT seõ
=

ñöôïc ϕ 45
Baám=
Nghĩa là biên độ A = 7 và pha ban đầu ϕ= 45° nên ta sẽ chọn A.


Ví dụ 8: Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hòa cùng pha cùng tần số có phương trình lần lượt

π
5π
là x1 =5cos ( 2π t + ϕ )( cm ) ; x2 =3cos ( 2π t − π )( cm
=
) ; x3 4 cos  2π t −  ( cm ) , với 0 < ϕ <
2
6 

tan ϕ =

và

4
. Phương trình dao động tổng hợp là
3

5π 

A. x 4 3 cos  2π t +
=
 ( cm )
6 


2π 

B. x 3 3 cos  2π t −
=
 ( cm )
3 


5π 

C. x 4 cos  2π t +
=
 ( cm )
6 


5π 

D. x 3cos  2π t −
=
 ( cm )
6 


Hướng dẫn: Chọn đáp án A
4
−5π
5π
5∠ arctan + 3∠ − π + 4∠

= 4∠
3
6
6

π

Ví dụ 9: Vật thực hiện đồng thời hai dao động cùng phương có phương=
trình x1 8cos  20t −  ( cm )
3


π

và x2 3cos  20t +  ( cm ) (với t đo bằng giây). Tính gia tốc cực đại, tốc độ cực đại và vận tốc của vật
=
3

khi nó ở vị trí cách vị trí thế năng cực đại gần nhất là 2 cm.
Hướng dẫn:
Biên độ dao động tổng hợp:

A=

A12 + A22 + 2. A1. A2 cos (ϕ2 − ϕ1 =
)

64 + 9 + 2.8.3.cos

2π

= 7 ( cm )
3

2
2
a=
ω=
A 20=
.7 2800 ( cm / s 2 )
max
Gia tốc cực đại và tốc độ cực đại: 
= ω=
A 20.7
= 140 ( cm / s )
vmax

Vị trí cách vị trí thế năng cực đại gần nhất là 2 cm, tức là vị trí đó cách vị trí cân bằng x = 7 − 2 = 5 ( cm )
.
Vận tốc tính theo công thức: v =
±ω A2 − x 2 =
±20 7 2 − 52 =
±40 6 ( cm / s )
Ví dụ 10: Một vật có khối lượng 0,5 kg thực hiện đồng thời ba dao động điều hoà cùng phương, cùng
tần

có

số

phương

trình:

π
π


x1 =
2 3 cos 10t +  ( cm ) ; x2 =
4 cos 10t +  ( cm ) ;
3
6



π

=
x3 8cos 10t −  ( cm ) (với t đo bằng s). Tính cơ năng dao động và độ lớn gia tốc của vật ở vị trí cách
2

vị trí thế năng cực đại gần nhất là 2 cm.
Hướng dẫn:
Tổng hợp theo phương pháp cộng số phức:
2 3∠

π
3

+ 4∠

π
6

+ 8∠

−π
2

shift 23 =

=

6∠ −

π
6


Biên độ dao động tổng hợp là 6 cm nên cơ năng dao động :
W
=

1
1
2
mω 2 A2
.0,5.10
.0, 062 0, 09 ( J )
=

=
2
2

Vị trí cách vị trí thế năng cực đại gần nhất là 2 cm, tức là vị trí đó cách vị trí cân bằng x = 6 − 2 = 4 ( cm )
2
2
Độ lớn gia tốc của vật tính theo công thức:=
a ω=
x 10
=
.4 400 ( cm / s 2 )

Ví dụ 11: Một vật tham gia đồng thời 2 dao động điều hoà cùng phương cùng tần số và vuông pha với
nhau. Nếu chỉ tham gia dao động thứ nhất thì vật đạt vận tốc cực đại là v1. Nếu chỉ tham gia dao động
thứ hai thì vật đạt vận tốc cực đại là v2. Nếu tham gia đồng thời 2 dao động thì vận tốc cực đại là
A. 0,5 ( v1 + v2 )

C. ( v12 + v22 )

B. ( v1 + v2 )

0,5

D. 0,5 ( v12 + v22 )

0,5

Hướng dẫn: Chọn đáp án C
Vì hai dao động vuông pha nên biên độ dao động tổng hợp:=

A

A12 + A22

Vận tốc cực đại của vật: v =
ωA =
v12 + v22
(ω A1 ) + (ω A2 ) =
2

2

Ví dụ 12: (CĐ‒2011) Một vật nhỏ có chuyển động là tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương.

π

Hai dao động này có phương trình là x1 = A1 cos ω
t và x2 A2 cos  ωt +  . Gọi E là cơ năng của vật.
=
2

Khối lượng của vật bằng
A.

E

ω 2 A12 + A22

B.

2E

ω 2 A12 + A22

C.

E
ω ( A12 + A22 )
2

D.

2E
ω ( A12 + A22 )
2

Hướng dẫn: Chọn đáp án D
Vì hai dao động vuông pha nên biên độ dao động tổng hợp:=
A
Cơ năng dao động của vật:=
E

A12 + A22

mω 2 A2
2E
⇒
=
m
2

ω 2 ( A12 + A22 )

Chú ý: 1) Lực kéo về cực đại: Fmax
= kA
= mω 2 A
2) Lực đàn hồi cực đại: Fdh max = k ∆l0 + A
mg

∆l0 =k
Trong đó, ∆l0 là độ biến dạng của lò xo ở vị trí cân bằng: 
mg sin α
∆l =
0

k
Ví dụ 13: Con lắc lò xo gồm vật nhỏ nặng 1 kg thực hiện đồng thời hai dao động điều hoà theo phương
ngang, theo các phương trình: x1 = 5cos π t ( cm ) và x2 = 5sin π t ( cm ) (Gốc tọa độ trùng với vị trí cân
bằng, t đo bằng giây, lấy π 2 = 10 ). Lực cực đại mà lò xo tác dụng lên vật là
A. 50 2N

B. 0,5 2N

Hướng dẫn: Chọn đáp án B

C. 25 2N

D. 0, 25 2N


 x1 = 5cos π t


π


=
=
π t 5cos  π t − 
 x2 5sin
2


2
k m=
=
ω 10 ( N / m )

⇒ A=

A12 + A22 + 2 A1 A2 cos (ϕ2 − ϕ1 )= 0, 05 2 ( m )

(

)

⇒ Fmax = k ( ∆l0 + A ) = 10 0 + 0, 05 2 = 0,5 2 ( N )
Ví dụ 14: Con lắc lò xo gồm vật nhỏ nặng 1 kg thực hiện đồng thời hai dao động điều hoà theo phương
thẳng đứng, theo các phương trình: x1 = 5 2 cos10t ( cm ) và x2 = 5 2 sin10t ( cm ) (Gốc tọa độ trùng với
vị trí cân bằng, t đo bằng giây và lấy gia tốc trọng trường g = 10 m/s2). Lực cực đại mà lò xo tác dụng
lên vật là
A. 10 N.

B. 20 N.

C. 25 N.

D. 0,25 N.

Hướng dẫn: Chọn đáp án B

 x1 = 5 2 cos10t

π


=
2 sin10t 5 2 cos 10t − 
 x2 5=
2



mg
2
k mω=
100 ( N / m ) ⇒ ∆=
l0
= 0,1( m )
=
k


 A=
A12 + A22 + 2 A1 A2 cos (ϕ2 − ϕ1 ) = 10 ( cm ) = 0,1( m )
⇒
 Fmax = k ( ∆l0 + A ) = 100 ( 0,1 + 0,1) = 20 ( N )

Chú ý: Giả sử ở thời điểm nào đó x =

A
và đang tăng (giảm) để tính giá trị x1 và x2 có thể: Dùng
n

phương pháp vectơ quay; Giải phương trình lượng giác.

π

Ví dụ 15: Hai dao động điều hòa cùng phương cùng tần số có phương=
trình x1 6 cos 10t +  ( cm ) và
6

5π 

=
x2 6 cos 10t +
 ( cm ) . Tại thời điểm li độ dao động tổng hợp là 3 cm và đang tăng thì li độ của dao
6 


động thứ hai là bao nhiêu?
A. . 10 cm.

B. 9 cm.

C. 6 cm.

Hướng dẫn: Chọn đáp án C
Phương trình dao động tổng hợp: x = x1 + x2 = 6∠

π
6

+ 6∠

5π
π
= 6∠
6
2

D. −3 cm.


π

= 6 cos 10t +  (cm).
2

Vì x = 3 và đang tăng nên pha dao động bằng (ở nửa dưới vòng
10t +

π

=
−

2

π
3

⇒ 10t =
−

5π

⇒ x2 = 6 cos 10t +
6


tròn)

5π
6


 5π 5π 
+
 = 6 cos  −
 = 6 ( cm )
6 


 6

Chú ý:
1) Hai thời điểm cùng pha cách nhau một khoảng thời gian kT
t2 − t=
kT ⇒ ∆ϕ= k 2π ⇒ x=
xt 2
1
t1
2) Hai thời điểm ngược pha nhau cách nhau một khoảng ( 2k + 1)

T
2

⇒ ∆ϕ = ( 2k + 1) π ⇒ xt1 = − xt2
3) Hai thời điểm vuông pha nhau cách nhau một khoảng ( 2k + 1)
t2 −=
t1

( 2k + 1)

T
⇒ ∆=
j
4

( 2k + 1)

π
2

⇒=
A

T
4

xt21 + xt22

Ví dụ 16: Một vật thực hiện đồng thời 3 dao động điều hòa cùng pha cùng tần số có phương trình lần
2π 
2π

lượt là x1 =A1 cos  2π t +
)( cm ) , x3 A3 cos  2π t −  ( cm ) . Tại thời điểm
 ( cm ) , x2 =A2 cos ( 2π t =
3 
3 


t1 các giá trị li độ x1 ( t1 ) =
−10cm, x2 ( t1 ) =
40 cm , x3 ( t1 ) = −20cm . Thời điểm t2= t1 +

T
các giá trị li độ
4

x1 ( t2 ) =
−10 3 cm, x2 ( t2 ) =

0 cm, x3 ( t2 ) = 20 3 cm . Tìm phương trình của dao động tổng hợp?

π

A. x 30 cos  2π t + 
=
3


π

B. x 20 cos  2π t − 
=
3


π

C. x 40 cos  2π t + 
=
3


π

D. x 20 2 cos  2π t − 
=
3


Hướng dẫn: Chọn đáp án B
Hai thời điểm t2 và t1 vuông pha nên biên độ tính theo công thức:

=
A

xt21 + xt22
x12(t1) + x12(t 2) = 20 ( cm ) ; A2 =

Với A1 =
A3 =

x22(t1) + x22(t 2) = 40 ( cm )

x32(t1) + x32(t 2) = 40 ( cm )

Tổng hợp theo phương pháp cộng số phức:
x = x1 + x2 + x3 = A1∠ϕ1 + A2 ∠ϕ2 + A3∠ϕ3


20∠

2π
−2π
−π
π

+ 40 + 40∠
= 20∠
⇒ x = 20 cos  2π t −  ( cm )

3
3
3
3


Chú ý: Nếu bài toán cho biết trạng thái của hai dao động thành phần ở cùng một thời điểm nào đó, yêu
cầu tìm trạng thái của dao động tổng hợp thì có thể làm theo hai cách (vòng tròn lượng giác và giải
phương trình lượng giác).
Ví dụ 17: Hai dao động điều hòa (1) và (2) cùng phương, cùng tần số và
cùng biên độ 4 cm. Tại một thời điểm nào đó, dao động (1) có li độ
2 3 cm , đang chuyển động ngược chiều dương, còn dao động (2) có li

độ 2 cm theo chiều dương. Lúc đó, dao động tổng hợp của hai dao động
trên có li độ bao nhiêu và đang chuyển động theo chiều nào?
A. x = 8 và chuyển động ngược chiều dương.
B. x = 5, 46 và chuyển động ngược chiều dương.
C. x = 5, 46 và chuyển động theo chiều dương.
D. x = 8 và chuyển động theo chiều dương.
Hướng dẫn: Chọn đáp án B
Cách 1: Chọn thời điểm khảo sát là thời điểm ban đầu t = 0 thì phương trình dao động của các chất điểm

π

=
 x1 4 cos  ωt + 6 



lần lượt là: 

 x 4 cos  ωt − π 
=


 2
3

Phương trình dao động tổng hợp (bằng phương pháp cộng các hàm lượng giác):

π
π


x = x1 + x2 = 4 cos  ωt +  + 4 cos  ωt − 
6
3


x

2.4.cos

π

π 

.cos  ωt − 
4
12 


π 

=
x 4 2 cos  ωt −  ( cm ) .
12 

Tại thời điểm ban đầu li độ tổng hợp x0 = x01 + x02 = 2 3 + 2 ≈ 5, 46 ( cm ) .
Pha ban đầu của dao động tổng hợp −

π
12

thuộc góc phần tư thứ IV nên vật đang chuyển động theo chiều

dương.
Cách 2:
Li độ tổng hợp: x = x1 + x2 = 2 3 + 2 ≈ 5, 46 cm
  
Véc tơ tổng hợp A
= A1 + A2 nằm ở góc phần tư thứ IV nên hình chiếu chuyển động theo chiều dương.


BÀI TOÁN NGƯỢC VÀ “BIẾN TƯỚNG”

1. Bài toán ngược trong tổng hợp dao động điều hoà
Nội dung bài toán: Cho biết các đại lượng trong dao động tổng hợp, yêu cầu
tìm một số đại lượng trong các phương trình dao động thành phần.
Phương pháp giải
 x = x1 + x2 ⇒ x2 = x − x1 = A∠ϕ − A1∠ϕ1

Từ công thức 
 x = x1 + x2 + x3 ⇒ x3 = x − x1 − x2 = A∠ϕ − A1∠ϕ1 − A2 ∠ϕ2
Ví dụ 1: (ĐH‒2010) Dao động tổng hợp của hai dao động điều hòa cùng phương, cùng tần số có phương
5π 

trình li =
độ x 3cos  π t −
 ( cm ) . Biết dao động thứ nhất có phương trình li độ
6 


π

=
x1 5cos  π t +  ( cm ) . Dao động thứ hai có phương trình li độ là
6

A.=
x 2 8cos(π t + π / 6) (cm).

B.=
x 2 2 cos(π t + π / 6) (cm).

C. =
x 2 2 cos(π t − 5π / 6) (cm).

D. =
x 2 8cos(π t − 5π / 6) (cm).

Hướng dẫn: Chọn đáp án D

Từ công thức x = x1 + x2 ⇒ x2 = x − x1 = 3∠

−5π
π
−5π
− 5∠ = 8∠
⇒ Chọn D
6
6
6

Dùng máy tính Casio fx 570 – ES, bấm như sau:
Shift MODE 4 (Để chọn đơn vị góc là radian)
MODE 2 (Để chọn chế độ tính toán với số phức)
3 shift

( −)

−5π
− 5 shift
6

( −)

π
−5π
π
(Màn hình máy tính sẽ hiển thị 3∠
− 5∠ )
6

6
6

Shift 2 3 =
5
Màn hình sẽ hiện kết quả: 8∠ − π
6

Nghĩa là biên độ A 2 = 8 cm và pha ban đầu ϕ2 =−

5π
nên ta sẽ chọn D.
6

Ví dụ 2: Ba dao động điều hòa cùng phương:
=
x1 10 cos(10t + π / 2) (cm),
=
x 2 12 cos(10t + π / 6) (cm)
và x 3 A 3 cos(10t + ϕ3 ) (cm). Biết dao động tổng hợp của ba dao động trên có phương trình là
=
x = 6 3 cos10t (cm). Giá trị A3 và ϕ3 lần lượt là
A. 16 cm và ϕ3 = −π / 2

B. 15 cm và ϕ3 = −π / 2

C. 10 cm và ϕ3 = −π / 3

D. 18 cm và ϕ3 =π / 2

Hướng dẫn: Chọn đáp án A


π
π
1
x = x1 + x2 + x3 ⇒ x3 = x − x1 − x2 = 6 3 − 10∠ − 12∠ =16∠ − π ⇒ chọn A
2
6
2
Dùng máy tính Casio fx 570 – ES, bấm như sau:
Shift MODE 4 (Để chọn đơn vị góc là radian)
MODE 2 (Để chọn chế độ tính toán với số phức)
6 3 − 10 Shift (−)

π
π
− 12 Shift (−)
2
6

π
π
(Màn hình máy tính sẽ hiển thị 6 3 − 10∠ − 12∠ )
2
6

Shift 2 3 =
1
Màn hình sẽ hiện kết quả: 16∠ − π

2
1
Nghĩa là biên độ A 3 = 16 cm và pha ban đầu ϕ3 =− π nên ta sẽ chọn A.
2
Chú ý: Để tính biên độ thành phần ta dựa vào hệ thức:
vmax = ωA

A = A + A + 2 A1 A2 cos ( ϕ2 − ϕ1 ) amax = ω2 A

2 2
=
W 0,5.mω A
2

2
1

2
2

Ví dụ 3: Một vật thực hiện đồng thời 2 dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có dạng

và x 2 A 2 cos(10t + π) cm. Biết rằng vận tốc cực đại của vật bằng 0, 2 7
=
x1 4 cos(10t − π / 3) cm
=
m/s. Xác định biên độ A 2
A. 4 cm

B. 5 cm

C. 6 cm

D. 3 cm

Hướng dẫn: Chọn đáp án C
Biên độ dao động tổng hợp:=
A

vmax 20 7
=
= 2 7(cm)
ω
10

2
Mặt khác: A=
A12 + A22 + 2 A1 A2 cos(ϕ2 − ϕ1 )

⇒ 4.7 =16 + A22 − 4 A2 ⇒ A2 = 6(cm) ⇒ chọn C
Ví dụ 4: Một vật có khối lượng 0,2 (kg) tham gia đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương, cùng
tần số và có dạng như sau:
=
x1 6 cos(15t + π / 3) (cm);
=
x 2 a.cos(15t + π) (cm), với t đo bằng giây.
Biết cơ năng dao động của vật là 0,06075 (J). Tính a.
A. 3 cm

B. 1 cm

C. 4 cm

D. 6 cm

Hướng dẫn: Chọn đáp án A

W
Biên độ được tính từ công thức: =

mω2 A
⇒=
A
2

2
Mặt khác: A=
A12 + A22 + 2 A1 A2 cos(ϕ2 − ϕ1 )

2W
= 0, 03 3(=
m) 3 3(cm)
mω2


π

⇒ 9.3= 36 + a 2 + 2.6.a.cos  π −  ⇒ a= 3(cm) ⇒ Chọn A
3


Ví dụ 5: Một con lắc lò xo tham gia đồng thời hai dao động cùng phương, cùng tần số góc 5 2 (rad/s),
có độ lệch pha bằng 2π/3 và biên độ lần lượt là A1 = 4 cm và A2. Biết độ lớn vận tốc của vật tại thời
điểm động năng của vật bằng 2 lần thế năng là 20 cm/s. Biên độ A2 bằng
A. 4 cm

B. 6 cm

C. 2 3 cm

D. 2 cm

Hướng dẫn: Chọn đáp án D
1

 Wt = 3 W
Khi =
Wd 2Wt ⇒ 
 W = 2 W ⇒ v=
 d 3

2
ωA ⇒ 20=
3

2
.5 2 A ⇒ A= 2 3 (cm)
3

2
Mặt khác: A=

A12 + A22 + 2 A1 A2 cos(ϕ2 − ϕ1 )

⇒ 4.3 = 42 + A22 + 2.4 A2 cos

2π
⇒ A2 = 2(cm) ⇒ Chọn D
3

Chú ý: Khi liên qua đến độ lệch pha ( ϕ2 − ϕ1 ) hoặc ( ϕ − ϕ1 ) hoặc ( ϕ − ϕ2 ) ta dựa vào hệ thức véc tơ:

  
A
= A1 + A2
   
 A1= A − A2 và bình phương vô hướng hai vế:
 

A
=
A
− A1
 2
  
* A = A1 + A2 ⇒ A2 = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos(ϕ 2 − ϕ1 )
   
2
2
2
* A1 =A − A2 ⇒ A1 =A + A2 − 2 AA2 cos(ϕ − ϕ 2 )
 

 
A
A
*
=
− A1 ⇒ A22 = A2 + A12 − 2 AA1 cos(ϕ − ϕ1 )
 2
Ví dụ 6: Một vật thực hiện đồng thời hai dao động cùng phương, cùng tần số 4Hz và cùng biên độ 2 cm.
Khi qua vị trí động năng của vật bằng 3 lần thế năng vật đạt tốc độ 24π (cm/s). Độ lệch pha giữa hai
dao động thành phần bằng
A. π / 6

B. π / 2

C. π / 3

D. 2π / 3

Hướng dẫn: Chọn đáp án C
1

Wt = 4 W
Khi W
=
3Wt ⇒ 
d
W= 3 W ⇒ v=
 d 4

3

ω A ⇒ 24π=
4

2
Mặt khác: A=
A12 + A22 + 2 A1 A2 cos(ϕ2 − ϕ1 )

⇒ 12= 22 + 22 + 2.2.2.cos ∆ϕ ⇒ ∆ϕ=

π
3

⇒ Chọn C

3
.8π A ⇒ A= 2 3(cm)
4


Ví dụ 7: Chuyển động của một vật là tổng hợp của hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số.
Biên độ của dao động thứ nhất là 4 3 cm và biên độ dao động tổng hợp bằng 4 cm. Dao động tổng
hợp trễ pha π/3 so với dao động thứ hai. Biên độ của dao động thứ hai là
A. 4 cm

B. 8 cm

C. 10 3 cm

D. 10 2 cm

Hướng dẫn: Chọn đáp án C
  

 
A =A1 + A2 ⇒ A1 =A − A2 ⇒ A12 =A2 + A22 − 2 AA2 cos(ϕ − ϕ2 )
⇒ 16.3 =16 + A22 − 2.4. A2 .cos

 A 8(cm) ⇒ choïn C
=
⇒ 2
3
 A2 = −4(cm)

π

Ví dụ 8: Một chất điểm tham gia đồng thời hai dao động điều hòa trên cùng một trục Ox có phương
trình: =
x1 4 cos(ωt + π / 3) (cm),
=
x 2 A 2 cos(ωt + ϕ2 ) (cm). Phương trình dao động tổng hợp

π / 2. Cặp giá trị nào của A2 và ϕ sau đây là đúng?
=
x 2 cos(ωt + ϕ) (cm). Biết ϕ − ϕ2 =
A. 3 3 cm và 0

B. 2 3 cm và π / 4

C. 3 3 cm và π / 2

D. 2 3 cm và 0

Hướng dẫn: Chọn đáp án D
  

 
 A =A1 + A2 ⇒ A1 =A − A2 ⇒ A12 =A2 + A22 − 2 AA2 cos(ϕ − ϕ2 )

 
  
2
2
2
 A =A1 + A2 ⇒ A2 =A − A1 ⇒ A2 =A + A1 − 2 AA1 cos(ϕ − ϕ1 )


π
2
16 =4 + A2 − 2.4. A2 cos 2 ⇒ A2 =2 3(cm)

π 1

⇒ cos  ϕ −  = ⇒ ϕ = 0 ⇒ Chọn D.

3 2

12 =4 + 16 − 2.2.4 cos  ϕ − π 

3


Ví dụ 9: Hai dao động cùng phương lần lượt có phương trình=
x1 A1 cos(πt − π / 2) (cm) và
=
x 2 6 cos(πt + ϕ) (cm).

Dao

động

tổng

hợp

của

hai

dao

động

này

có

phương

trình

=
x A cos(ωt − π / 6) (cm) . A có thể bằng

A. 9 cm

B. 6 cm

Hướng dẫn: Chọn đáp án B

C. 12 cm

D. 18 cm

  

 
Vì chưa biết pha ban đầu của x2 nên từ A
= A1 + A2 ta viết lại A2= A − A1 rồi bình phương vô hướng

hai vế: A22 = A2 + A12 − 2 AA1


 π π
⇒ A22 = A2 + A12 + 2 AA1cos  − +  ⇒ A12 − AA1 + ( A2 − 36 ) = 0
 6 2
Vì cần tìm điều kiện của A nên ta xem phương trình trên là phương trình bậc 2 đối với ẩn A1. Điều
kiện để phương trình này có nghiệm là:
∆= A2 − 4 ( A2 − 36 ) ≥ 0 ⇒ 0 < A ≤ 4 3 ≈ 6,9(cm) ⇒ Chọn B
Chú ý: Nếu hai dao động cùng biên độ thì phương trình dao động tổng hợp:

ϕ +ϕ 
 ϕ −ϕ 

x = x1 + x2 = a cos(ωt + ϕ1 ) + a cos(ωt + ϕ 2 ) = 2 acos  2 1  cos  ωt + 2 1 
2 
 2 

Nếu cho biết phương trình dao động tổng hợp
=
x A cos(ωt + ϕ) thì ta đối chiếu suy ra:
ϕ2 + ϕ1
 2 = ϕ ϕ1 = ?
⇒

?
ϕ2 =
ϕ2 − ϕ1 = ?
 2

=
x1 2 cos(4t + ϕ1 ) (cm);
Ví dụ 10: Một vật tham gia đồng thời hai dao động điều hoà cùng phương:
=
x 2 2 cos(4t + ϕ2 ) (cm) với

0 ≤ ϕ2 − ϕ1 ≤ π .

Biết

phương

trình

dao

động

tổng

hợp

=
x 2 cos(4t + π / 6) (cm). Hãy xác định ϕ1.

B. −π / 6

A. π/6

C. π / 2

D. 0

Hướng dẫn: Chọn đáp án B


ϕ2 − ϕ1
ϕ + ϕ1 
ϕ2 + ϕ1 π
cos  4t + 2
 x = x1 + x2 = 4 cos


=
ϕ2 −ϕ1 π
0
≤
≤
2
2

 2
6

 →
2
2



π
 Ñoái chieáu=
 ϕ2 − ϕ1 = π
vôù
i
:
x
2
cos
4
t
+




 2
3
6


⇒ ϕ1 = −

π
⇒ Chọn B
6

x1 2 cos ωt (cm),
Ví dụ 11: Một vật tham gia đồng thời ba dao động điều hoà cùng phương:=
=
x 2 2 cos(ωt + ϕ2 ) (cm)
=
và x 3 2 cos(ω t + ϕ3 ) (cm) với ϕ3 ≠ ϕ2 và 0 ≤ ϕ3 , ϕ2 ≤ π. Dao động tổng hợp
của x1 và x2 có biên độ là 2 cm, dao động tổng hợp của x1 và x3 có biên độ là 2 3 cm. Độ lệch pha
giữa hai dao động x2 và x3 là
A. 5π/6

B. π/3

C. π/2

Hướng dẫn: Chọn đáp án B

ϕ
ϕ 
ϕ
1
2π

x12= x1 + x2= 2.2 cos 2 .cos  4t + 2  ⇒ cos 2 =
⇒ ϕ2=
2
2 
2 2
3



2

ϕ
ϕ 
ϕ

x13= x1 + x3= 2.2 cos 3 .cos  4t + 3  ⇒ cos 3=
2
2 
2



2 3

π
3
⇒ ϕ3=
2
3

D. 2π/3


2π π π
− =
⇒ Chọn B
3 3 3

⇒ ϕ2 − ϕ3=

Chú ý: Khi cho biết A, ϕ1, ϕ2 tìm điều kiện để A1 max hoặc A2 max ta viết lại hệ thức:

 A2 = ( A2 − xA1 )2 + yA12 ⇒ A1 = max


0
2
2
2

A= A1 + A2 + 2 A1 A2 cos(ϕ2 − ϕ1 ) ⇒
 A2 = ( A − xA )2 + yA2 ⇒ A = max
1
2

2

2

0


=
x1 A1 cos(ωt − π / 6) (cm)
Ví dụ 12: Hai dao động điều hoà cùng phương, cùng tần số có phương trình

x 2 A 2 cos(ωt + π / 2) (cm) (t đo bằng giây). Dao động tổng hợp có phương trình
và=
3 cos(ωt + ϕ) (cm). Trong số các giá trị hợp lý của A1 và A2 tìm giá trị của A1 và ϕ để A2 có giá

=
x

trị cực đại.
A. A1 = 3 cm, ϕ = π / 3

B. A1 = 1 cm, ϕ = π / 3

C. A1 = 1 cm, ϕ = π / 6

D. A1 = 3 cm, ϕ = π / 6

Hướng dẫn: Chọn đáp án B
Cách 1:
2

A  3 A2

A = A + A + 2 A1 A2 cos(ϕ2 − ϕ1 ) ⇒ 3 = A + A − A1 A2 =  A1 − 2  + 2
2
4

 
2

2
1

2
2

2
1

2
2

0

 A2max = 2(cm)

⇒ A1 =
1(cm).

A2

0
 A1 − 2 =

Phương pháp cộng số phức: x= x1 + x2= A1∠ϕ1 + A2 ∠ϕ2
1∠ −

π
π
+ 2∠ =
6
2

1
3∠ π ⇒ Chọn B
3

Dùng máy tính Casio fx 570 – ES, bấm như sau:
Shift MODE 4 (Để chọn đơn vị góc là radian)
MODE 2 (Để chọn chế độ tính toán với số phức)
1 Shift

( −)

−

π
+ 2 Shift
6

( −)

π
2

(Màn hình máy tính sẽ hiển thị 1∠ −

π
π
+ 2∠ )
6
2

Shift 2 3 =
Màn hình sẽ hiện kết quả:

1
3∠ π
3

Nghĩa là biên độ A = 3 cm và pha ban đầu ϕ =

π
nên ta sẽ chọn B.
3

max


2
Cách 2: Ta coi phương trình bậc 2 đối với A1: A=

A12 + A22 + 2 A1 A2 cos(ϕ2 − ϕ1 )

A12 − A1 A2 + ( A22 − 3) =
0
Để phương trình có nghiệm thì ∆= A22 − 4 ( A22 − 3) ≥ 0 ⇒ A2 ≤ 2(cm)

⇒ A2max= 2(cm) ⇒ A=
1(cm) ⇒ tan =
ϕ
1

A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ2
=
A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ2

π

ϕ = 3
3⇒
 ϕ = 4π

3

Ví dụ 13: Một chất điểm thực hiện đồng thời hai dao động điều hòa cùng phương

=
x1 a cos(ωt + π / 3) (cm) và=
x 2 b cos(ωt − π / 2) (cm) (t đo bằng giây). Biết phương trình dao động
tổng hợp là
=

x 8cos(ωt + ϕ) (cm). Biên độ dao động b có giá trị cực đại khi ϕ bằng
A. −π / 3

B. −π / 6

C. π / 6

D. 5π / 6

Hướng dẫn: Chọn đáp án B
Cách 1:


b 2  3b
A= A + A + 2 A1 A2 cos(ϕ2 − ϕ1 ) ⇒ 8= a + b − 3ab=
+ 
− a 
4  2

2

2
1

2
2

2

2

2

2

bmax = 16cm

π


ϕ
=
−

A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ2
−1
 3b
6
⇒
 2 − a = 0 ⇒ a = 8 3cm ⇒ tan ϕ = A cos ϕ + A cos ϕ =
5
π
3
ϕ =
1
1
2
2



6

Cách 2: Áp dụng định lý hàm số sin ta có
π

sin  + ϕ 
8
b
3

=
=
⇒b 8 
π
π
π

sin
sin
sin  + ϕ 
6
6
3

π
π

b đạt cực đại khi sin  + ϕ  = 1 ⇒ ϕ =
lấy dấu trừ.
6

3


=
x1 A1 cos(πt + π / 6) (cm)
Ví dụ 14: (ĐH‒2012) Hai dao động cùng phương lần lượt có phương trình
x 2 6 cos(πt − π / 2) (cm). Dao động tổng hợp của hai dao động này có phương trình
và =
=
x A cos(ωt + ϕ) (cm). Thay đổi A1 cho đến khi biên độ A đạt giá trị cực tiểu thì ϕ bằng

A. −π / 6

B. −π / 3

C. π

D. 0

Hướng dẫn: Chọn đáp án B
2
A=
A12 + A22 + 2 A1 A2 cos(ϕ2 − ϕ1=
) A12 + 62 − 6 A=
1

A1 − 3) + 27 ⇒ A=
(
1



2

0

Phương pháp cộng số phức: x= x1 + x2= A1∠ϕ1 + A2 ∠ϕ2

3(cm)


π
π
1
3∠ + 6∠ −= 3 3∠ − π ⇒ Chọn B.
6
2
3
Ví dụ 15: (ĐH‒2014) Cho hai dao động điều hòa cùng phương với các phương trình lần lượt là

=
x1 A1 cos(ωt + 0,35) (cm) và
=
x 2 A 2 cos(ωt − 1,57) (cm). Dao động tổng hợp của hai dao động này
có phương trình=
là x 20 cos(ωt + ϕ) (cm). Giá trị cực đại của (A1 + A2) gần giá trị nào nhất sau
đây?
A. 25 cm

B. 20 cm

C. 40 cm

D. 35 cm

Hướng dẫn: Chọn đáp án D
Áp dụng định lý hàm số sin:
A1
A2
A1 + A2
A1 + A2
A
= =
=
=
sin1, 22 sin α sin β sin α + sin β 2sin α + β cos α − β
2
2

A
α +β
α −β
⇒ A1 + A2 =
.2sin
cos
sin1, 22
2
2
20
π − 1, 22
α −β

⇒ A1 + A2 =
.2sin
cos
sin1, 22
2
2
⇒ A1 + A2= 34,912 cos

α −β
= max= 34,912(cm) ⇒ chọn D
2

2. “Biến tướng” trong tổng hợp dao động điều hoà
Về mặt toán học, thực chất của tổng hợp các dao động điều hoà là cộng các hàm
sin, hàm cos (cộng các véc tơ hay cộng các số phức).
Vì

− sin ( ωt + ϕ
=
) sin ( ωt + ϕ + π )

và

− cos(ωt + =
ϕ) cos(ωt + ϕ + π) nên trừ các hàm sin, cos có thể xem

như đó là “biến tướng” của tổng hợp dao động. Giả sử hai chất điểm M, N dao động điều hòa trên
cùng một trục Ox cùng vị trí cân bằng O và cùng tần số với phương trình lần lượt:

=

 x1 A1 cos(ωt + ϕ1 )

=
 x2 A2 cos(ωt + ϕ2 )


 x= x1 + x2= A1 cos(ωt + ϕ1 ) + A2 cos(ωt + ϕ2 )
Tổng đại số OM + ON là: 
 x= A1∠ϕ1 + A2 ∠ϕ2= A∠ϕ ⇒ x max = A
∆x= x2 − x1= A2 cos(ωt + ϕ2 ) − A1 cos(ωt + ϕ1 )
Khoảng cách đại số MN là: 
∆x = A2 ∠ϕ2 − A1∠ϕ1 = b∠ϕ ⇒ ∆x max = b
Ví dụ 1: Hai điểm M và N cùng dao động điều hòa trên một trục x quanh điểm O với cùng tần số góc ω.
Biên độ của M là A 3 , của N là A. Dao động của M chậm pha hơn một góc π/2 so với dao động của
N. Nhận xét nào sau đây là đúng:
A. Độ dài đại số MN biến đổi điều hòa với tần số góc ω, biên độ 2A và vuông pha với dao động của M.
B. Khoảng cách MN biến đổi điều hòa với tần số góc 2ω, biên độ A 3
C. Khoảng cách MN biến đổi điều hòa với tần số góc ω, biên độ 2A và lệch pha 5π/6 với dao động
của M.
D. Độ dài đại số MN biến đổi điều hòa với tần số góc 2ω, biên độ A 3 và vuông pha với dao động của
N.
Hướng dẫn: Chọn đáp án C

π

=
π
 x2 A cos  ωt + 2 



 ⇒ MN = x2 − x1 = A cos  ωt +  − A 3 cos ωt

2

 x A 3 cos ωt
=
 1
π
5
Để dùng máy tính cầm tay chọn A = 1: 1∠ − 3 = 2∠ π ⇒ Chọn C
2
6

Dùng máy tính Casio fx 570 – ES, bấm như sau:
Shift MODE 4 (Để chọn đơn vị góc là radian)
MODE 2 (Để chọn chế độ tính toán với số phức)
1 Shift

(−)

π
2

(−)

3

π
(Màn hình máy tính sẽ hiển thị 1∠ − 3 )
2

Shift 2 3 =
5
Màn hình sẽ hiện kết quả: 2∠ π
6

Nghĩa là biên độ 2A và pha ban đầu

5π
nên ta sẽ chọn C.
6

Ví dụ 2: Hai chất điểm M, N dao động điều hòa trên trục Ox, quanh điểm O, cùng biên độ A, cùng tần
số, lệch pha góc φ. Khoảng cách MN

A. bằng 2 A cos ϕ.

B. giảm dần từ 2A về 0.

C. tăng dần từ 0 đến giá trị 2A

D. biến thiên tuần hoàn theo thời gian.


Hướng dẫn: Chọn đáp án D

=
 x2 A cos(ωt + ϕ)
. Với bài toán này thì không thể dùng máy tính được nên ta dùng phương pháp


=
 x1 A cos ωt
trừ các hàm lượng giác:
MN =x2 − x1 = A cos(ωt + ϕ) − A cos ωt =−2 A sin

ϕ 
ϕ
sin  ωt +  ⇒ chọn D
2
2


ϕ

Bình luận: Khoảng cách MN cực tiểu bằng 0 khi sin  ωt +  =0
2

2 A sin

và cực đại bằng

ϕ
ϕ
ϕ

khi sin  ωt +  =±1 nên 0 ≤ MN ≤ 2 A sin .
2
2
2


Ví dụ 3: Hai chất điểm dao động điều hoà trên cùng một trục tọa độ Ox, coi trong quá trình dao động
hai chất điểm không va chạm vào nhau. Biết phương trình dao động của hai chất điểm lần lượt là:

=
=
x1 4 cos(4t + π / 3) (cm)
và x 2 4 2 cos(4t + π /12) (cm). Trong quá trình dao động khoảng cách
lớn nhất giữa hai vật là
A. 4 cm

B. 4

(

)

2 − 1 cm

C. 4

(

)

2 + 1 cm

D. 6 cm

Hướng dẫn: Chọn đáp án A




π
π
∆x = x2 − x1 = 4 2 cos  4t +  − 4 cos  4t + 

12 
3



π
π
−π

∆x = 4 2∠ 12 − 4∠ 3 = 4∠ 6 ⇒ ∆x max = 4(cm) ⇒ choïn A
Chú ý: Để tìm các thời điểm cách nhau một khoảng b thì hoặc giải phương trình ∆x =
b hoặc dùng
vòng tròn lượng giác để tìm bốn thời điểm đầu tiên t1, t2, t3, t4. Các thời điểm khác xác định như
sau:
dö

soá laàn dö
n=

4 dö
dö


1 → t= nT + t2
2 → t= nT + t2
3 → t= nT + t3
4 → t= nT + t4

Ví dụ 4: Hai chất điểm M và N dao động điều hoà trên cùng một trục tọa độ Ox (O là vị trí cân bằng
của chúng), coi trong quá trình dao động hai chất điểm không va chạm vào nhau. Biết phương trình

=
dao động của chúng lần lượt=
là: x1 10 cos(4πt + π / 3) (cm)
và x 2 10 2 cos(4πt + π /12) (cm). Hai
chất điểm cách nhau 5 cm ở thời điểm đầu tiên và thời điểm lần thứ 2014 kể từ lúc t = 0 lần lượt là
A. 11/24 s và 2015/8 s. B. 3/8 s và 6041/24 s.
C. 1/8 s và 6041/24 s.

D. 5/24 s và 2015/8 s.

Hướng dẫn: Chọn đáp án C


T=

2π
π
π


= 0,5( s ); ∆x= x2 − x1 = 10 2 cos  4πt +  − 10 cos  4πt +  (cm)
ω

12 
3



∆x = 10 2∠

π
π
−π
π

− 10∠ = 10∠
⇒ ∆x = 10 cos  4πt −  (cm)
12
3
6
6


Hai chất điểm cách nhau 5 cm thì ∆x = 5(cm) . Để tìm các thời điểm để ∆x =
5 (cm) ta dùng vòng
tròn lượng giác. Thời điểm lần 1, lần 2, lần 3 và lần 4 lần lượt là:

t1 =

t =
2

t =

3

t4 =


T T 1
+ = (s)
12 6 8
T T T
5
+ + =
(s)
12 6 6 24
T T T T T 3
+ + + + = (s)
12 6 6 6 6 8
T T T T T T 11
+ + + + + =
(s)
12 6 6 6 6 6 24

Ta xét

2014
5 6041
= 503 dư 2 ⇒=
t 503T +=
t2 503.0,5 + =
(s) ⇒ Chọn C
4

24
24

Ví dụ 5: Ba con lắc lò xo 1, 2, 3 đặt thẳng đứng cách đều nhau theo thứ tự 1, 2, 3. Vị trí cân bằng của
ba vật dao động cùng nằm trên một đường thẳng. Chọn trục Ox có phương thẳng đứng, gốc tọa độ ở
vị trí cân bằng thì phương trình dao động lần lượt =
là: x1 A1 cos(20t + ϕ1 ) (cm),

=
x 2 5cos(20t + π / 6)=
(cm) và x 3 10 3 cos(20t − π / 3) (cm).
Để ba vật dao động của ba con lắc luôn nằm trên một đường thẳng thì
A. A1 = 20 cm và ϕ1 = π / 2 rad.

B. A1 = 20 cm và ϕ1 = π / 4 rad.

C. A1 = 20 3 cm và ϕ1 = π / 4 rad.

D. A1 = 20 3 cm và ϕ1 = π / 2 rad.

Hướng dẫn: Chọn đáp án A
Vì vật (2) cách đều vật (1) và (3) (x2 là đường trung bình của hình thang) nên
ta có:
x2 =

x1 + x3
⇒ x1 = 2 x2 − x3
2

π

π


=
⇒ x1 10 cos  20t +  − 10 3 cos  20t − 
6
3


π
−π
π
Chuyển sang dạng phức: 10∠ − 10 3∠
= 20∠
6
3
2

π

=
⇒ x1 20 cos  20t +  (cm) ⇒ Chọn A
2


Dùng máy tính Casio fx 570 – ES, bấm như sau:
Shift MODE 4
MODE 2

10 Shift

( −)

π
− 10 3 Shift
6

( −)

−

π
3

Shift 2 3 =
Hiện kết quả: 20∠

π
⇒ chọn A
2

Bình luận: Bài toán này cũng là một kiểu biến tướng của tổng hợp dao động. Khi cho hai trong 3
dao động x1, x2 và x3 tìm được dao động còn lại.
3. Hai chất điểm dao động điều hòa trên 2 đường thẳng song song hoặc trong hai mặt phẳng song
song có cùng vị trí cân bằng là ở gốc tọa độ
Nếu hai dao động điều hòa lệch pha nhau ∆ϕ
và x 2 A2 cos ( ωt + ∆ϕ ) thì tổng li độ
=
: x1 A1 cos ωt =

=
x x 2 + x=
A 2 cos ( ωt + ∆ϕ ) + A1 cos ωt
1

và

hiệu

li

độ

∆x= x 2 − x=
A 2 cos ( ωt + ∆ϕ ) + A1 cos ( ωt + π ) .
1
Gọi A và b lần lượt là biên độ dao động tổng hợp và khoảng cách
cực đại giữa hai chất điểm thì:
2
 A=
A12 + A22 + 2 A1 A2 cos∆ϕ
 2
2
2
 B= A1 + A2 − 2 A1 A2 cos∆ϕ

(trên hình vẽ A và b là hai đường chéo của hình bình hành!). Khi biết một số đại lượng trong số các
đại lượng A, B, A1, A2 và ∆ϕ thì sẽ tính được đại lượng còn lại.
Ví dụ 1: Hai chất điểm M và N, dao động điều hòa cùng tần số dọc theo hai đường thẳng song song kề

nhau và song song với trục tọa độ Ox. Vị trí cân bằng của M và của N đều ở trên một đường thẳng
qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox. Biên độ của M và N lần lượt là A1 và A2 (A1 > A2). Biên độ dao
động tổng hợp của hai chất điểm là 7 cm. Trong quá trình dao động, khoảng cách lớn nhất giữa M và
N theo phương Ox là

97 cm. Độ lệch pha của hai dao động là 2π/3. Giá trị A1 và A2 lần lượt là

A. 10 cm và 3 cm.

B. 10 cm và 8 cm

C. 8 cm và 3 cm.

D. 8 cm và 6 cm.

Hướng dẫn: Chọn đáp án C
2
 A=
A12 + A22 + 2 A1 A2 cos∆ϕ
2
2
2
 B= A1 + A2 − 2 A1 A2 cos∆ϕ

Áp dụng các công thức: 

2π

2
2

49 = A1 + A2 + 2 A1 A2 cos 3
 A1 = 8(cm)
⇒
⇒ chọn C

A
=
3(
cm
)
2
π
2
2
3

97 = A + A − 2 A A cos
1
2
1 2

3
Ví dụ 2: Hai chất điểm M và N có cùng khối lượng, dao động điều hòa cùng tần số dọc theo hai đường
thẳng song song kề nhau và song song với trục tọa độ Ox. Vị trí cân bằng của M và của N đều ở trên
một đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox. Biên độ của M và N đều là 6 cm. Trong quá
trình dao động, khoảng cách lớn nhất giữa M và N theo phương Ox là 6 cm. Độ lệch pha của hai dao
động là


A. 3π / 4

B. 2π / 3

D. π / 2

C. π / 3

Hướng dẫn: Chọn đáp án C
2
Cách 1: Áp dụng: B=
A12 + A22 − 2 A1 A2 cos∆ϕ

2
6=
62 + 62 − 26.6 cos ∆ϕ ⇒ cos ∆ϕ
=

⇒ ∆ϕ=

1
2

π
⇒ chọn C
3

Cách 2: Khoảng cách hai chất điểm lớn nhất khi M1M2 // MN và tứ giác MM1M2N là hình chữ nhật.
⇒ M 1M
=
MN

= 6(cm
=
) OM
=
OM 2 ⇒ ∆OM 1M 2 đều ⇒ ∆ϕ=
2
1

π
⇒ chọn C
3

Quy trình giải nhanh:
Khi cho biết biên độ dao động tổng hợp của hai chất điểm dao động là A thì độ lệch pha giữa hai
dao động thành phần là: cos ∆ϕ =

A2 − A12 − A22
2 A1 A2

Khi cho biết khoảng cách cực đại giữa hai chất điểm là B thì độ lệch pha giữa hai dao động thành
phần là: cos ∆ϕ =

A12 + A22 − B 2
2 A1 A2

Nếu ∆ϕ = π / 2 (hai dao động vuông pha) thì B =

A12 + A22 = A

Nếu ∆ϕ > π / 2 thì B > A12 + A22 và B > A

Nếu ∆ϕ < π / 2 thì B < A12 + A22 và B < A
Ví dụ 3: Hai con lắc lò xo giống hệt nhau dao động điều hòa trên mặt phẳng nằm ngang, dọc theo hai
đường thẳng song song cạnh nhau và song song với trục Ox. Biên độ của con lắc 1 là A1 = 4 cm, con
lắc 2 là A 2 = 4 3 cm. Con lắc 2 dao động sớm pha hơn con lắc 1 và trong quá trình dao động khoảng
cách lớn nhất giữa hai vật dọc theo trục Ox là 4 cm. Khi động năng của con lắc 1 cực đại thì động
năng con lắc thứ 2 bằng
A. 1/4 giá trị cực đại. B. 3/4 giá trị cực đại.
C. 2/3 giá trị cực đại. D. 1/2 giá trị cực đại.
Hướng dẫn: Chọn đáp án B
Cách 1: Khoảng cách giữa hai chất điểm lớn nhất khi M1M2 // MN và tứ giác MM1M2N là hình chữ
nhật ⇒ M 1M 2 =
MN =
4(cm)

=
cos ∆ϕ

2
2
2
) ( 4)
( OM 1 ) + ( OM 2 ) − ( M 1M 2=

2.OM 1.OM 2

2

(

+ 4 3

)

2

2.4.4 3

− ( 4)
=
2

π
3
⇒ ∆ϕ
=
2
6


=
 x1 4sin ωt (cm)

Ta chọn: 
π

=
 x2 4 3 sin  ωt + 6  (cm)




Chọn t = 0 thì x1 = 0 và Wd1 = max, còn x2 = A2/2 nên thế năng con
lắc 2 bằng 1/4 cơ năng của nó và động năng bằng 3/4 cơ năng của
nó ⇒ Chọn B.
Cách 2: Áp dụng công thức: cos ∆ϕ =

⇒ cos ∆ϕ
=

( 4)

2

(

+ 4 3

)

2

2.4.4 3

− ( 4)
=
2

A12 + A22 − B 2
2 A1 A2

3

π
⇒ ∆ϕ
=
.
2
6

=
 x1 4sin ωt (cm)

Ta có thể chọn: 
. Chọn t = 0 thì x1 = 0 và Wd1 = max,
π

=
 x2 4 3 sin  ωt + 6  (cm)



còn x2 = A2/2 nên thế năng con lắc 2 bằng 1/4 cơ năng của nó và động năng bằng 3/4 cơ năng của nó
⇒ Chọn B.
Ví dụ 4: Hai chất điểm M và N có cùng khối lượng, dao động điều hòa cùng tần số dọc theo hai đường
thẳng song song kề nhau và song song với trục tọa độ Ox. Vị trí cân bằng của M và của N đều ở trên
một đường thẳng qua gốc tọa độ và vuông góc với Ox. Biên độ của M và N đều là 6 cm. Trong quá
trình dao động, khoảng cách lớn nhất giữa M và N theo phương Ox là 6 cm. Mốc thế năng tại vị trí
cân bằng. Ở thời điểm mà M có động năng gấp ba lần thế năng, tỉ số động năng của M và thế năng
của N là
A. 4 hoặc 4/3

B. 3 hoặc 4/3

C. 3 hoặc 3/4

D. 4 hoặc 4/3

Hướng dẫn: Chọn đáp án C
Cách 1: Khoảng cách hai chất điểm lớn nhất khi M1M2 // MN và tứ giác MM1M2N là hình chữ nhật
⇒ M 1M
=
MN
= 6 (cm
=
) OM
=
OM 2 ⇒ ∆OM 1M 2 đều ⇒ ∆ϕ =
2
1
A1
1

600
1
WtM= 4 WM ⇒ OM= 2 ⇒ α=
3WtM ⇒ 
=
W
dM
W = 3 W
 dM 4 M


WdM
=
1
1

0
 WtN
α 2= 60 ⇒ WtN= WdN= WN
⇒
3
4



α = 0 0 ⇒ W = W
tN
N
 2
W
dM
=
 WtN

3
WM
4= 3
1
WN
4

⇒ Chọn C
3
WM
4= 3
WN
4

π
3