TỰ học TOÁN lớp 9 HAY
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (4.15 MB, 511 trang )
TOÁN
9
TỰ HỌC TOÁN 9
Tự học Toán 9
Năm học 2019-2020
MỤC LỤC
CHƯƠNG 1 Căn bậc hai, căn bậc ba
1
Căn bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A
1
Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
Phương pháp giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
√
Căn thức bậc hai và hằng đẳng thức A2 = |A| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
B
2
1
8
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
B
Phương pháp giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
C
Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
Dạng 1. Phá dấu trị tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
√
Dạng 2. Điều kiện để A có nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
√
Dạng 3. Sử dụng hằng đẳng thức A2 = |A| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Dạng 4. Giải phương trình - Bất phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
D
Bài tập tự luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
CHƯƠNG 2 Căn bậc hai, căn bậc ba
1
2
21
Liên hệ giữa phép nhân và phép khai phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
B
Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
C
Bài tập tự luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
LIÊN HỆ GIỮA PHÉP CHIA VÀ PHÉP KHAI PHƯƠNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Dạng 1. Khai phương một thương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Dạng 2. Chia hai căn thức bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3
B
Phương pháp giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
C
Bài tập tự luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
B
Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Dạng 1. Đưa một thừa số vào trong hoặc ra ngoài dấu căn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Dạng 2. Khử mẫu của biểu thức dưới dấu căn-Phép nhân liên hợp . . . . . . . . . . . . . . . . 43
Dạng 3. Sử dụng các phép biến đổi căn thức bậc hai cho bài toán rút gọn và chứng
minh đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Dạng 4. Sử dụng các phép biến đổi căn thức bậc hai giải phương trình . . . . . . . . . . . 47
4
Rút gọn biểu thức có chứa căn bậc hai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
B
Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
Dạng 1. Thực hiện phép tính rút gọn biểu thức có chứa căn bậc hai . . . . . . . . . . . . . . 55
Tự học Toán 9
C
5
Năm học 2019-2020
Vấn đề 2: Giải phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
CĂN BẬC BA - CĂN BẬC n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
B
Phương pháp giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
C
KHỬ MẪU CHƯA CĂN BẬC BA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
D
GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN BẬC BA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
CHƯƠNG 3 HÀM SỐ BẬC NHẤT
1
81
Nhắc lại và bổ sung khái niệm về hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
B
Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Dạng 1. Sự xác định của một hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Dạng 2. Tìm tập xác định của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Dạng 3. Xét tính chất biến thiên của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
CHƯƠNG 4 Hàm số bậc nhất
1
Hàm số bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
A
Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
B
Phương pháp giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
C
Bài tập luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
CHƯƠNG 5 Hàm số bậc nhất
1
2
3
101
107
Đồ thị của hàm số bậc nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
A
Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
B
Phương pháp giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
C
Bài tập luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
Đường thẳng song song và đường thẳng cắt nhau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
B
Phương pháp giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
C
Bài tập luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
Hệ số góc của đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
B
Phương pháp giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Dạng 1. Hệ số góc của đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
Dạng 2. Lập phương trình đường thẳng biết hệ số góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
C
Bài tập tự luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128
CHƯƠNG 6 Hệ thức lượng trong tam giác vuông
131
Tự học Toán 9
1
Năm học 2019-2020
Một số hệ thức về cạnh và đường cao của tam giác vuông . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
B
Phương pháp giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Dạng 1. Giải các bài toán định lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
Dạng 2. Giải các bài toán định tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
C
Bài tập tự luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134
CHƯƠNG 7 Hệ thức lượng trong tam giác vuông
1
139
Tỉ số lượng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
B
Phương pháp giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Dạng 1. Giải các bài toán định lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
Dạng 2. Giải các bài toán định tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
C
Bài tập tự luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
CHƯƠNG 8 Đường tròn
1
143
Sự xác định đường tròn - Tính chất đối xứng của đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143
B
Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Dạng 1. Chứng minh nhiều điểm cùng nằm trên một đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
Dạng 2. Quỹ tích điểm là một đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
Dạng 3. Dựng đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148
2
ĐƯỜNG KÍNH VÀ DÂY CUNG CỦA ĐƯỜNG TRÒN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
B
Phương pháp giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Dạng 1. Giải bài toán định tính và định lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Dạng 2. Giải bài toán dựng hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
Dạng 3. Giải bài toán quỹ tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
3
4
5
LIÊN HỆ GIỮA DÂY VÀ KHOẢNG CÁCH TỪ TÂM ĐẾN DÂY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
B
Phương pháp giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
C
Bài tập luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162
CHỦ ĐỀ 4. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ ĐƯỜNG TRÒN . . . . . . . . . . . . . . 163
A
TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
B
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
CHỦ ĐỀ 5. TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
A
TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
B
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Dạng 1. DỰNG TIẾP TUYẾN CỦA ĐƯỜNG TRÒN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170
Tự học Toán 9
Năm học 2019-2020
Dạng 2. GIẢI BÀI TOÁN ĐỊNH TÍNH VÀ ĐỊNH LƯỢNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Dạng 3. Chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn. . . . . . . . . . . . . . 174
Dạng 4. Sử dụng tính chất tiếp tuyến để tìm quỹ tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
6
7
TÍNH CHẤT CỦA HAI TIẾP TUYẾN CẮT NHAU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
A
TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
B
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
C
BÀI TẬP LUYỆN TẬP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
D
HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
Vị trí tương đối của hai đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
A
Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
B
Phương pháp giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
C
Bài tập luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199
CHƯƠNG 9 Hệ hai phương trình bậc nhất một ẩn
1
2
3
207
Phương trình bậc nhất hai ẩn số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
A
Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
B
Phương pháp giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208
C
Bài tập luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217
B
Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
B
Phương pháp giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
Dạng 1. Giải hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
Dạng 2. Sử dụng hệ phương trình giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
4
Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
B
Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
Dạng 1. Giải hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251
Dạng 2. Sử dụng hệ phương trình giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257
C
5
Bài tập luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
Giải bài toán bằng cách lập hệ phương trình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
B
Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
Dạng 1. Bài toán chuyển động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263
Dạng 2. Bài toán vòi nước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268
CHƯƠNG 10 Hàm số y = ax2 . Phương trình bậc hai một ẩn số
273
Tự học Toán 9
1
2
3
4
Năm học 2019-2020
Hàm số y = ax2 , (a = 0) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
B
Phương pháp giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273
Đồ thị hàm số y = ax2 , a = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
B
Phương pháp giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278
Phương trình bậc hai một ẩn số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
A
TÓM TẮT LÍ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
B
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288
C
BÀI TẬP LUYỆN TẬP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293
Công thức nghiệm của phương trình bậc hai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
B
Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
Dạng 1. Giải phương trình bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298
Dạng 2. Điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
Dạng 3. Nghiệm nguyên và nghiệm hữu tỉ của phương trình bậc hai . . . . . . . . . . . . . . 310
C
5
Bài tập luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311
CHỦ ĐỀ 5: HỆ THỨC VI-ÉT VÀ CÁC ỨNG DỤNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
A
A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
Dạng 1. Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321
Dạng 2. Tìm hai số biết tổng và tích của chúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
Dạng 3. Tìm giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
Dạng 4. Tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc vào tham số . . . . . . 329
Dạng 5. Xét dấu các nghiệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
Dạng 6. Tìm giá trị của tham số để các nghiệm của phương trình thỏa mãn điều
kiện cho trước. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334
6
PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
A
Phương pháp giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
Dạng 1. Giải phương trình tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
Dạng 2. Sử dụng ẩn phụ chuyển phương trình về phương trình bậc hai . . . . . . . . . . . 350
Dạng 3. Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
Dạng 4. Giải phương trình bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354
Dạng 5. Giải phương trình trùng phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
Dạng 6. Giải phương trình hồi quy và phản hồi quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359
Dạng 7. Phương trình dạng (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = m (1), với a + b = c + d362
Dạng 8. Phương trình dạng (x + a)4 + (x + b)4 = c
(1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363
Dạng 9. Sử dụng phương trình bậc hai giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối 365
Dạng 10. Sử dụng phương trình bậc hai giải phương trình chứa căn thức . . . . . . . . . 366
B
Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 368
Tự học Toán 9
7
Năm học 2019-2020
GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
B
Phương pháp giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
Dạng 1. Bài toán chuyển động . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384
Dạng 2. Bài toán về số và chữ số. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387
Dạng 3. Bài toán vòi nước . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390
Dạng 4. Bài toán có nội dung hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 391
Dạng 5. Bài toán về phần trăm - năng suất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 393
C
Bài tập luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395
CHƯƠNG 11 Góc với đường tròn
1
2
3
401
Góc ở tâm - Số đo cung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
B
Phương pháp giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 401
C
Bài tập tự luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404
Liên hệ giữa cung và dây . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 406
B
Phương pháp giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407
C
Bài tập tự luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 410
Góc nội tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412
B
Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
Dạng 1. Giải bài toán định lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414
Dạng 2. Giải bài toán định tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415
4
Góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
B
Các dạng toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
Dạng 1. Giải bài toán định tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425
Dạng 2. Giải bài toán định lượng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 427
C
5
Bài tập tự luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 428
Góc có đỉnh ở bên trong đường tròn, góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
A
Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433
B
Phương pháp giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434
C
Bài tập luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436
CHƯƠNG 12 GÓC VỚI ĐƯỜNG TRÒN
1
443
CUNG CHỨA GÓC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
A
TÓM TẮT LÝ THUYẾT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443
B
PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
Tự học Toán 9
Năm học 2019-2020
Dạng 1. TÌM QUỸ TÍCH CÁC ĐIỂM M TẠO THÀNH VỚI HAI MÚT CỦA ĐOẠN
÷
THẲNG AB CHO TRƯỚC MỘT GÓC AM
B CÓ SỐ ĐO KHÔNG ĐỔI BẰNG α
(0◦ < α < 180◦ ). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444
Dạng 2. DỰNG CUNG CHỨA GÓC α (0◦ < α < 180◦ ) TRÊN ĐOẠN THẲNG
AB = a CHO TRƯỚC. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448
Dạng 3. SỬ DỤNG QUỸ TÍCH CUNG CHỨA GÓC CHỨNG MINH NHIỀU ĐIỂM
CÙNG NẰM TRÊN MỘT ĐƯỜNG TRÒN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 451
Dạng 4. TOÁN TỔNG HỢP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453
C
BÀI TẬP TỰ LUYỆN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454
CHƯƠNG 13 Góc với đường tròn
1
465
Tứ giác nội tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
A
B
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465
Phương pháp giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
Dạng 1. Chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466
Dạng 2. Sử dụng tứ giác nội tiếp giải các bài toán hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 468
2
3
4
C
Bài tập luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 472
Đường tròn ngoại tiếp - Đường tròn nội tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 478
B
Phương pháp giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 479
C
Bài tập luyện tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483
Độ dài đường tròn, cung tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
A
Tóm tắt lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485
B
Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 486
Diện tích hình tròn, hình quạt tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491
B
Phương pháp giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 492
CHƯƠNG 14 Hình cầu, hình trụ, hình nón
1
499
HÌNH CẦU - DIỆN TÍCH MẶT CẦU. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499
A
Tóm tắt lí thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499
B
Phương pháp giải toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499
C
Bài tập tự luyện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 501
Tự học Toán 9
Năm học 2019-2020
CHƯƠNG
1
CĂN BẬC HAI, CĂN BẬC BA
BÀI
1
CĂN BẬC HAI
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Căn bậc hai của một số
Định nghĩa 1. Căn bậc hai số học của một số a ≥ 0 là một số x không âm mà bình phương của nó
√
bằng a. Ký hiệu a.
x≥0
√
x= a⇔
, với a ≥ 0.
x2 = a
Tổng quát trên R:
1 Mọi số dương a > 0 có hai căn bậc hai là hai số đối nhau.
√
a > 0 gọi là căn bậc hai số học hay còn gọi là căn bậc hai dương của a.
√
− a < 0 gọi là căn bậc hai âm của a.
2 Số 0 có căn bậc hai duy nhất là 0.
3 Số âm không có căn bậc hai.
2. So sánh các căn bậc hai số học
Định lí 1. Với hai số a, b không âm, ta có a < b ⇔
√
a<
√
b.
B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
VÍ DỤ 1. Tính
√ √
16; 1,44;
(−8)2 .
✍ LỜI GIẢI.
Ta có
√
16 = 4 vì 4 > 0 và 42 = 16.
√
1,44 = 1,2 vì 1,2 > 0 và (1,2)2 = 1,44.
√
(−8)2 = 64 = 8 vì 8 > 0 và 82 = 64.
Rất nhiều học sinh nhầm lẫn công thức
»
√
a2 = a, dẫn tới cho rằng (−8)2 = −8.
√
Cần chú ý rằng a2 = |a|, do đó (−8)2 = | − 8| = 8.
!
HDedu - Page 1
Tự học Toán 9
Năm học 2019-2020
VÍ DỤ 2. Tính giá trị của các biểu thức sau
…
√
4
a) 0,16 +
.
25
…
√
1
b) 3 − 0,36.
16
✍ LỜI GIẢI. …
Å ã
Å ã
√
4
4 2
2 2 2 2
4
1
0,16 +
=
+
= + = .
25
5
Å10 ã
Å 5 ã 5 5
…
2
2
√
1
7
6
7 3
23
2
3 − 0,36 =
−
= − = .
16
4
10
4 5
20
VÍ DỤ 3. Trong các số
√
(−3)2 ; 32 ; −
√
(−3)2 ; − 32 số nào là căn bậc hai số học của 9.
✍ LỜI GIẢI.
√
Ta có 9 = 3, mà
•
(−3)2 = | − 3| = 3 > 0.
• − (−3)2 = −| − 3| = −3 < 0.
√
Vậy (−3)2 ; 32 là căn bậc hai số học của 9.
√
32 = |3| = 3 > 0.
√
• − 32 = −|3| = −3 < 0.
•
VÍ DỤ 4. Tìm x, biết
a) x2 =
16
.
9
1
b) (x − 1)2 = .
9
✍ LỜI GIẢI.
16
9
Å ã2
4
x2 =
3
4
4
x = hoặc x = − .
3
3
Vậy tập nghiệm của phương trình là
ß
™
4 4
S= − ;
.
3 3
a) Ta có x2 =
1
9
Å ã2
1
(x − 1)2 =
3
1
1
x − 1 = hoặc x − 1 = −
3
3
4
2
x = hoặc x =
3
3
Vậy tập nghiệm của phương trình là
ß
™
4 2
S= − ;
.
3 3
b) Ta có (x − 1)2 =
Nhận xét. Như vậy, thông qua ví dụ trên chúng ta đã làm quen được với việc sử dụng khái niệm căn
bậc hai để tìm nghiệm của phương trình. Tuy nhiên chúng ta chỉ mới bắt đầu với phương trình dạng
x2 = a2 hoặc cần biến đổi đôi chút để có được dạng này hoặc sử dụng hằng đẳng thức, cụ thể
Å
ãÅ
ã
16
16
4
4
4
4
2
2
x =
⇔x −
=0⇔ x−
x+
= 0 ⇔ x = hoặc x = − .
9
9
3
3
3
3
Ví dụ tiếp theo sẽ nâng mức tiếp cận cho chúng ta.
HDedu - Page 2
Tự học Toán 9
Năm học 2019-2020
VÍ DỤ 5. Tìm x, biết
√
a) x2 = 4 − 2 3.
b) (2x − 1)2 = |1 − 2x|.
✍ LỜI GIẢI.
√
a) Ta có x2 = 4 − 2 3
Ä√
ä2
x2 =
3−1
√
√
x = 3 − 1 hoặc x = 1 − 3.
Vậy tập nghiệm của phương trình là
S=
¶√
b) Đặt t = |2x − 1| ≥ 0, ta có phương trình
t2 − t = 0
t(t − 1) = 0
t = 0 hoặc t = 1.
√ ©
3 − 1; 1 − 3 .
1
•t=0⇒x= .
2
• t = 1 ⇒ x = 0 hoặc x = 1.
Vậy tập nghiệm của phương trình là
ß
™
1
S = 0; ; 1 .
2
√
√
VÍ DỤ 6. So sánh các số x = 4 3 và y = 3 4.
✍ LỜI GIẢI.
Ta có
√
√
√
• x = 4 3 = 42 · 3 = 48.
√
√
√
• y = 3 4 = 32 · 4 = 36.
Vì 48 > 36 nên x > y.
VÍ DỤ 7. Tìm giá trị của x, biết
a) x2 < 25.
b) x2 + 2x − 3 > 0.
✍ LỜI GIẢI.
1 Ta có x2 < 25 ⇔ x2 < 52 ⇔ −5 < x < 5.
2 Ta có x2 + 2x − 3 > 0 ⇔ x2 + 2x + 1 > 4
⇔ (x + 1)2 > 22
⇔
!
x+1>2
x + 1 < −2
⇔
x>1
x < −3.
Với a > 0 ta có
• x2 < a2 ⇔ −a < x < a.
• x2 > a2 ⇔
x>a
x < −a.
HDedu - Page 3
Tự học Toán 9
Năm học 2019-2020
Các em học sinh cần cẩn trọng khi giải bài này vì có thể mặc phải sai lầm dẫn đến làm mất nghiệm
(x2 > 42 ⇔ x > 4) hoặc thừa (x2 < 5 ⇔ x < 5).
VÍ DỤ 8. Tìm giá trị của x, biết
a) x2 + 2x − 3 > 0.
b) 4x2 − 4x < 8.
✍ LỜI GIẢI.
Ta có
1 x2 + 2x − 3 > 0 ⇔ x2 + 2x + 1 > 4 ⇔ (x + 1)2 > 22 ⇔
x+1>2
⇔
x>1
x + 1 < −2
x < −3.
2 4x − 4x < 8 ⇔ (2x) − 4x + 1 < 9 ⇔ (2x − 1) < 3 ⇔ −3 < 2x − 1 < 3 ⇔ −1 < x < 2.
2
2
2
2
Từ định nghĩa về căn bậc hai, chúng ta mở rộng
!
•
√
A=B⇔
B≥0
A = B2.
•
√
A=
√
B⇔
A≥0
A = B.
VÍ DỤ 9. Giải các phương trình sau
a)
√
x − 1 = 3.
b)
√
x2 − 3x + 2 =
√
2x2 − 3x + 1
✍ LỜI GIẢI.
Ta có
a)
√
x − 1 = 3 ⇔ x − 1 = 32 .
⇔x−1=9
⇔ x = 10.
Vậy tập nghiệm của phương trình là
b)
√
x2 − 3x + 2 =
⇔
⇔
S = {10} .
√
2x2 − 3x + 1 .
x2 − 3x + 2 ≥ 0
x2 − 3x + 2 = 2x2 − 3x + 1
x2 − 3x + 2 ≥ 0
x2 = 1
⇔ x = 1 hoặc x = −1.
Vậy tập nghiệm của phương trình là
S = {−1; 1} .
1. Bài tập tự luyện
BÀI 1. Thực hiện phép tính
Å ã2
7
2
a) (−5) · −
.
5
2
b) (−0,25) :
Å
3
100
ã2
.
HDedu - Page 4
Tự học Toán 9
Năm học 2019-2020
✍ LỜI GIẢI.
Ta có
ã
7 2
a) (−5) · −
.
5
Å
ã2
7
= (−5) ·
= 72 = 49.
(−5)
2
Å
ã
3 2
b) (−0,25) :
100
Å
ã2 Å
ã
25
100 2
=
·
100
3
Å
ã2 Å ã2
25 100
25
625
=
·
=
=
.
100 3
3
9
2
Å
BÀI 2. Tìm x, biết
a) x2 = 9.
b) x2 = (−2)2 .
√
c) 4x2 + 1 = 8 − 2 6.
√
d) x2 + 1 = 6 − 2 6.
✍ LỜI GIẢI.
Ta có
a) x2 = 9 ⇔ x2 = 32
⇔ x = 3 hoặc x = −3.
Vậy S = {−3; 3}.
√
c) 4x2 + 1 = 8 − 2 6
√
⇔ (2x)2 = 7 − 2 6
√
⇔ (2x)2 = ( 6 − 1)2
√
6−1
x =
2√
⇔
1− 6
x=
.
´
® 2 √ √
1− 6 6−1
;
.
Vậy S =
2
2
b) x2 = (−2)2 ⇔ x = 2 hoặc x = −2.
Vậy S = {−2; 2}.
√
d) x2 + 1 = 6 − 2 6
√
⇔ x2 = 5 − 2 6
√
√
⇔ x2 = ( 3 − 2)2
√
√
x= 3− 2
⇔
√
√
x = 2 − 3.
¶√
√ √
√ ©
Vậy S =
2 − 3; 3 − 2 .
BÀI 3. So sánh các cặp số sau
a) 0,3 và 0,2(5).
√
√
c) 2 3 và 3 2.
…
…
1
1
b) 4
và 2
.
2
3
…
…
2
2
d) 6
và 7
.
7
6
✍ LỜI GIẢI.
a) 0,3 > 0,2(5).
√
√
√
c) 2 3 = 22 · 3 = 12.
√
√
√
3 2 = 32 · 2 = 18.
√
√
Vì 18 > 12 nên 3 2 > 2 3.
…
…
1
1
1
1
b) Vì 4 > 2 và > nên 4
>2
.
2
3
2
3
…
…
2
2
2
2
d) Vì 6 < 7 và < nên 6
<7
.
7
6
7
6
HDedu - Page 5
Tự học Toán 9
Năm học 2019-2020
BÀI 4. Chứng minh rằng các bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x.
a) x2 + 1 ≥ 2x.
b) 2x2 + 2x − 1 ≥ −15.
c) x2 (x2 − 1) ≥ x2 − 1.
d) x2 + 6ax + 9a2 − 4 > 0, với a là hằng số.
✍ LỜI GIẢI.
a) Giả sử x2 + 1 ≥ 2x
b) Giả sử 2x2 + 2x − 1 ≥ −15
⇔ x2 − 2x + 1 ≥ 0
⇔ 4x2 + 4x + 1 ≥ −27
⇔ (x − 1)2 ≥ 0 (luôn đúng).
⇔ (2x + 1)2 ≥ −27 (luôn đúng).
Vậy ta có điều chứng minh.
Vậy ta có điều chứng minh.
c) Giả sử x2 (x2 − 1) ≥ x2 − 1
d) Giả sử 9x2 + 6ax + a2 + 8 > 0
⇔ x2 (x2 − 1) − (x2 − 1) ≥ 0
⇔ (3x + a)2 > −8 (luôn đúng).
⇔ (x2 − 1)2 ≥ 0 (luôn đúng).
Vậy ta có điều chứng minh.
Vậy ta có điều chứng minh.
BÀI 5. Tìm giá trị của x, biết
a) x2 ≥ 25; x2 < 25.
b) x2 + 2x − 5 ≥ 0.
c) x2 − 1 < 9.
d) x2 + 6ax + 9a2 − 4 > 0, a là hằng số.
✍ LỜI GIẢI.
1 Ta có
x2 ≥ 25 ⇔ x2 ≥ 52 ⇔ x ≥ 5 hoặc x ≤ −5.
x2 < 25 ⇔ x2 < 52 ⇔ −5 < x < 5.
Vậy không tìm được x thỏa các điều kiện đề √
cho.
√
x
+
1
≥
6
x
≥
6−1
2 x2 + 2x − 5 ≥ 0 ⇔ (x + 1)2 ≥ 6 ⇔
√ ⇔
√
x+1≤− 6
x ≤ − 6 − 1.
2
2
2
3 x − 1 < 9 ⇔ x < 3 ⇔ −3 < x < 3.
x + 3a > 2
x > 2 − 3a
4 x2 + 6ax + 9a2 − 4 > 0 ⇔ (x + 3a)2 > 22 ⇔
⇔
x + 3a < −2
x < −2 − 3a.
BÀI 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 8 +
√
x2 + 3x − 4.
✍ LỜI GIẢI.
Å
ã
3 2 25
Ta có A = 8 +
x+
−
≥ 8.
2
4
Å
ã
x=1
3 2 25
Đẳng thức xảy ra khi x +
=
⇔
2
4
x = −4.
Vậy Amin = 8.
HDedu - Page 6
Tự học Toán 9
Năm học 2019-2020
BÀI 7. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = 11 −
√
x2 + 7x + 4.
✍ LỜI GIẢI.
Å
ã
7 2 25
Ta có A = 11 −
x+
−
≤ 11.
2
4
Å
ã
x = −1
7 2 25
Đẳng thức xảy ra khi x +
=
⇔
2
4
x = −6.
Vậy Amax = 11.
BÀI 8. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
√
a) A = 5 + x2 − 3x + 9.
√
c) C = x2 − 7x + 6 − 25.
b) B =
√
x2 − 7x + 5.
d) D = x2 − 6x + 11.
✍ LỜI GIẢI.
Ta có
√
27
3 3
a) A = 5 +
+
≥5+
.
4
2
3
3
Đẳng thức xảy ra khi x − = 0 ⇔ x = .
2
2
√
3 3
Vậy Amin = 5 +
.
2
Å
ã
7 2 25
c) C =
x−
−
− 25 ≥ −25.
2
4
Å
ã
7 2 25
Đẳng thức xảy ra khi x −
= .
2
4
Vậy Cmin = −25.
Å
3
x−
2
ã2
BÀI 9. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
√
a) A = 15 − x2 − 4x + 13.
√
c) C = 12 − x2 − 2x + 1.
Å
ã
7 2 29
b) B =
x−
−
≥ 0.
2
4
Å
ã
7 2 29
Đẳng thức xảy ra khi x −
= .
2
4
Vậy Bmin = 0.
d) D = (x − 3)2 + 2 ≥ 2.
Đẳng thức xảy ra khi x − 3 = 0 ⇔ x = 3.
Vậy Dmin = 2.
b) B = −3x2 + 6x − 15.
d) D = 17 + 10x − x2 .
✍ LỜI GIẢI.
Ta có
a) A = 15 −
(x − 2)2 + 9 ≤ 5 −
√
9 = 12.
b) B = −3(x − 1)2 − 12 ≤ −12.
Đẳng thức xảy ra khi x − 2 = 0 ⇔ x = 2.
Đẳng thức xảy ra khi x − 1 = 0 ⇔ x = 1.
Vậy Amax = 12.
Vậy Bmax = −12.
c) C = 12 −
(x − 1)2 ≤ 12.
d) D = −[(x − 5)2 − 48] = −(x − 1)2 + 48 ≤ 42.
Đẳng thức xảy ra khi x − 1 = 0 ⇔ x = 1.
Đẳng thức xảy ra khi x − 1 = 0 ⇔ x = 1.
Vậy Cmax = 12.
Vậy Bmax = 42.
BÀI 10. Giải các phương trình sau
HDedu - Page 7
Tự học Toán 9
Năm học 2019-2020
√
2x − 1 = 1.
√
√
c) x2 − 4 = x2 − 2x.
a)
b)
√
x2 + 5 = x + 1.
✍ LỜI GIẢI.
√
1 Ta có 2x − 1 = 1 ⇔ 2x − 1 = 1 ⇔ x = 1.
Vậy S = {1}.
√
2 Ta có x2 + 5 = x + 1 ⇔
x+1≥0
x2 + 5 = (x + 1)2
Vậy S = {2}.
√
√
3 Ta có x2 − 4 = x2 − 2x ⇔
⇔
x2 − 4 ≥ 0
x2 − 4 = x2 − 2x
x ≥ −1
⇔ x = 2.
2x = 4
⇔
x2 − 4 ≥ 0
⇔ x = 2.
2x = 4
Vậy S = {2}.
BÀI
2
CĂN THỨC BẬC HAI VÀ HẰNG ĐẲNG THỨC
√
A2 = |A|
A TÓM TẮT LÍ THUYẾT
√
1 Điều kiện để A có nghĩa
√
A có nghĩa khi và chỉ khi A ≥ 0.
√
2 Hằng đẳng thức A2 = |A|
√
A nếu A ≥ 0
A2 = |A| =
− A nếu A < 0.
B PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
C CÁC DẠNG TOÁN
DẠNG 1. Phá dấu trị tuyệt đối
Phương pháp giải:
VÍ DỤ 1. Tính |x − 1|.
✍ LỜI GIẢI.
Ta có |x − 1| =
x − 1 nếu x − 1 ≥ 0
− (x − 1) nếu x − 1 < 0
=
x − 1 nếu x ≥ 1
1 − x nếu x < 1.
VÍ DỤ 2. Bỏ dấu giá trị tuyệt đối và rút gọn biểu thức
C = |x − 1| + 2|x + 2| + 3.
HDedu - Page 8
Tự học Toán 9
Năm học 2019-2020
✍ LỜI GIẢI.
Nhận xét rằng x − 1 = 0 ⇔ x = 1 và x + 2 = 0 ⇔ x = −2.
Do đó để bỏ được dấu giá trị tuyệt đối của C ta cần xét các trường hợp sau
1 Nếu x ≤ −2 ta được C = −(x − 1) − 2(x + 2) + 3 = −3x.
2 Nếu −2 ≤ x ≤ 1 ta được C = −(x − 1) + 2(x + 2) + 3 = x + 8.
3 Nếu x > 1 ta được C = (x − 1) + 2(x + 2) + 3 = 3x + 6.
DẠNG 2. Điều kiện để
√
A có nghĩa
Phương pháp giải:
VÍ DỤ 3. Tìm điều kiện của x để
√
−2x + 1 tồn tại.
✍ LỜI GIẢI.
√
1
Để −2x + 1 tồn tại, điều kiện là −2x + 1 ≥ 0 ⇔ 2x − 1 ≤ 0 ⇔ x ≤ .
2
√
1
Vậy −2x + 1 tồn tại khi và chỉ khi x ≤ .
2
VÍ DỤ 4. Tìm các giá trị của x để các biểu thức sau có nghĩa
1
1 A= √
.
5x
√ + 10
2x + 1
2 B= 2
.
3x − 5x + 2
✍ LỜI GIẢI.
1 Để A có nghĩa, điều kiện là 5x + 10 > 0 ⇔ x > −2.Vậy với x > −2 thì A có nghĩa.
1
x ≥ −
2x + 1 ≥ 0
2
2 Để B có nghĩa, điều kiện là
⇔
2
3x − 5x + 2 = 0
x = 1; x = 2 .
3
1
2
Vậy, với x ≥ − và x = 1, x = thì B có nghĩa.
2
3
VÍ DỤ 5. Tìm các giá trị của x để biểu thức sau có nghĩa
√
1 A = x2 − 36.
√
2 B = …x2 − 4x + 3.
2−x
.
3 C=
x−3
✍ LỜI GIẢI.
1 Để A có nghĩa, điều kiện là x2 − 36 ≥ 0 ⇔ x2 ≥ 62 ⇔ |x| ≥ 6.
Vậy, với |x| ≥ 6 thì A có nghĩa.
2 Để B có nghĩa, điều kiện là
x2 − 4x + 3 ≥ 0 ⇔ x2 − 4x + 4 ≥ 1 ⇔ (x − 2)2 ≥ 1 ⇔ |x − 2| ≥ 1 ⇔
x−2≥1
x − 2 ≤ −1
⇔
x≥3
x ≤ 1.
HDedu - Page 9
Tự học Toán 9
Năm học 2019-2020
Vậy, với x ≥ 3 hoặc x ≤ 1 thì B có nghĩa.
2−x
3 Để C có nghĩa, điều kiện là
≥ 0. Ta lập bảng xét dấu, dựa trên
x−3
2−x=0⇔x=2
x−3=0⇔x=3
như sau
x
2
2−x
+
x−3
−
2−x
x−3
−
3
−
0
−
+
0
−
0
+
−
2−x
≥ 0 ⇔ 2 ≤ x < 3.
x−3
Vậy, với 2 ≤ x < 3 thì C có nghĩa.
Từ đó suy ra
DẠNG 3. Sử dụng hằng đẳng thức
√
A2 = |A|
Phương pháp giải:
VÍ DỤ 6. Tính:
a)
b)
(0,09)2
Ä√
ä2
3−2 .
✍ LỜI GIẢI.
a) Ta có
b) Ta có
(0,09)2 = |0,09| = 0,09.
Ä√
ä2
√
√
√
3 − 2 = | 3 − 2| = 2 − 3, vì 3 − 2 < 0.
VÍ DỤ 7. Tính:
√
1
x6
√
2
x2 − 4x + 4
√
3 x + x2 − 2x + 1
4 x + y + (x − y)2 .
✍ LỜI GIẢI.
√
1 Ta có x6 =
2 Ta có
√
(x3 )2
3
= |x | =
x2 − 4x + 4 =
x3 nếu x3 ≥ 0
− x3 nếu x3 < 0
(x − 2)2 = |x − 2| =
=
x3 nếu x ≥ 0
− x3 nếu x < 0.
x − 2 nếu x − 2 ≥ 0
− (x − 2) nếu x − 2 < 0
=
x − 2 nếu x ≥ 0
2 − x nếu x < 2.
HDedu - Page 10
Tự học Toán 9
Năm học 2019-2020
3 Ta có
√
x+ x2 − 2x + 1 = x+ (x − 1)2 = x+|x−1| =
4 Ta có x + y +
(x − y)2 = x + y + |x − y| =
x + x − 1 nếu x − 1 ≥ 0
x − (x − 1) nếu x − 1 < 0
2x − 1 nếu x ≥ 1
=
1 nếu x < 1.
x + y + x − y nếu x − y ≥ 0
x + y − (x − y) nếu x − y < 0
=
2x nếu x ≥ y
2y nếu x < y.
VÍ DỤ 8. Chứng minh rằng
»
»
√
√
x+2 x−1+ x−2 x−1=
√
2 x − 1 nếu x ≥ 2
2 nếu 1 ≤ x < 2.
✍ LỜI GIẢI.
Ta có
»
»
√
√
P = x+2 x−1+ x−2 x−1
»√
»√
= ( x − 1 + 1)2 + ( x − 1 − 1)2
√
√
= x − 1 + 1 + | x − 1 − 1|
√
√
√
x − 1 + 1 + x − 1 − 1 nếu x − 1 − 1 ≥ 0
= √
√
√
x − 1 + 1 − x − 1 + 1 nếu x − 1 − 1 < 0
√
√
2 x − 1 nếu x − 1 ≥ 1
=
√
nếu x − 1 < 1
√
2 x − 1 nếu x − 1 ≥ 1
=
2 nếu 0 ≤ x − 1 < 1
√
2 x − 1 nếu x ≥ 2
=
2 nếu 1 ≤ x < 2.
Vậy ta đã chứng minh được
√
x+2 x−1+
√
VÍ DỤ 9. Cho biểu thức A =
√
x−2 x−1=
√
2 x − 1 nếu x ≥ 2
2 nếu 1 ≤ x < 2.
9x2 − 6x + 1
.
9x2 − 1
1 Tìm tập xác định của A.
2 Rút gọn biểu thức A.
3 Tính giá trị của A tại x = 1.
1
4 Tìm giá trị của x để A = .
3
5 Tìm giá trị của x để A < 0.
✍ LỜI GIẢI.
HDedu - Page 11
Tự học Toán 9
Năm học 2019-2020
1 Điều kiện để biểu thức A có nghĩa
9x2 − 6x + 1 ≥ 0
2
9x − 1 = 0
⇔
(3x − 1)2 ≥ 0
1
⇔x=± .
3
(3x − 1)(3x + 1) = 0
2 Ta có
√
(3x − 1)2
9x2 − 6x + 1
|3x − 1|
A=
=
=
9x2 − 1
9x2 − 1
(3x − 1)(3x + 1)
1
nếu 3x − 1 > 0
3x
+
1
=
− 1
nếu 3x − 1 < 0
3x + 1
1
1
nếu x >
3
= 3x + 1
.
1
1
−
nếu x <
3x + 1
3
1
1
3 Với x = 1 ta được A =
= .
3·1+1
4
1
4 Để A = , ta có hai trường hợp:
3
1
1
=
3 = 3x + 1
2
3x
+
1
3
+ Trường hợp 1: Nếu
⇔
⇔x= .
1
x >
3
x > 1
3
3
−1
1
=
− 3 = 3x + 1
4
3 ⇔
+ Trường hợp 2: Nếu 3x + 1
⇔x=− .
1
x <
3
x < 1
3
3
2
4
1
Vậy với x = hoặc x = − thì A = .
3
3
3
2
3x − 1 = 0
(3x − 1)
1
1
1
5 A<0⇔
<0⇔
⇔ 9x2 − 1 < 0 ⇔ |x| < ⇔ − < x < .
2
9x − 1
3
3
3
9x2 − 1 < 0
1
1
Vậy với − < x < thì A < 0.
3
3
Ở câu này ta có thể làm cách khác nhanh hơn nhờ việc đánh giá được: |3x − 1| > 0 (Tập xác
1
định: x = ± ).
3
1
1
1
2
Do đó 9x − 1 < 0 ⇔ |x| < ⇔ − < x < .
3
3
3
!
VÍ DỤ 10.
√
√
1 Chứng minh bất đẳng thức a2 + b2 ≥
(a + b)2 .
2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
»
»
A = (2006 − x)2 + (2005 − x)2 .
✍ LỜI GIẢI.
HDedu - Page 12
Tự học Toán 9
Năm học 2019-2020
1 Xét bất đẳng thức, vì hai vế không âm nên bình phương hai vế ta được
√
√
a2 + b2 + 2 a2 · b2 ≥ (a + b)2 ⇔ 2|ab| ≥ 2ab, luôn đúng.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh và dấu “=” xảy ra khi ab ≥ 0, tức là khi a và b cùng dấu.
2 Ta viết A = (2006 − x)2 + (x − 2005)2 ≥
Vậy ta được min A = 1, đạt được khi
(2006 − x + x − 2005)2 = 1.
(2006 − x)(2005 − x) ≥ 0 ⇔ 2005 ≤ x ≤ 2006.
!
Trong câu a), chúng ta đã sử dụng phép bình phương để khử căn, rồi từ đó nhận được bất đẳng thức
đúng. Tuy nhiên, ta cũng có thể chứng minh bằng cách biến đổi:
»
√
√
a2 + b2 ≥ (a + b)2 ⇔ |a| + |b| ≥ |a + b|.
Ta thấy ngay đẳng thức trên luôn đúng (vì đã được chứng minh trong phần bất đẳng thức chứa dấu trị
tuyệt đối).
DẠNG 4. Giải phương trình - Bất phương trình
Phương pháp giải:
VÍ DỤ 1. Tìm x, biết
(x + 1)2 = 9;
a)
(x − 3)2 = 3 − x.
b)
✍ LỜI GIẢI.
1 Ta biến đổi về dạng
|x + 1| = 9 ⇔
x+1=9
nếu x + 1 ≥ 0
− (x + 1) = 9 nếu x + 1 < 0
⇔
x=8
nếu x ≥ −1
x = −10 nếu x < −1
.
Vậy ta nhận được hai giá trị x = 8 và x = −10.
2 Ta có
(x − 3)2 = 3 − x ⇔ |x − 3| = 3 − x ⇔ x − 3 ≤ 0 ⇔ x ≤ 3.
Vậy nghiệm của phương trình là x ≤ 3.
!
Trong lời giải câu b), chúng ta đã sử dụng tính chất
|a| = −a ⇔ a ≤ 0.
VÍ DỤ 2. Tìm x, biết
a)
√
x − 2 + 2 = x;
b)
√
x − 1 + 1 ≤ x.
✍ LỜI GIẢI.
HDedu - Page 13
Tự học Toán 9
Năm học 2019-2020
1 Điều kiện có nghĩa x − 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2.
(∗)
Biến đổi phương trình về dạng
Ä√
ä2
Ä√
ä
√
√
√
x−2=x−2⇔ x−2=
x−2 ⇔ x−2
x−2−1 =0
√
x−2=0
x−2=0
x=2
⇔ √
⇔ √
⇔
, thỏa mãn (∗).
x−2−1=0
x−2=1
x=3
Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2 và x = 3.
2 Điều kiện có nghĩa x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1.
(∗)
Biến đổi bất phương trình về dạng
Ä√
ä2
Ä√
ä
√
√
√
x−1≤x−1⇔ x−1≤
x−1 ⇔ x−1
x−1−1 ≥0
√
x−1=0
x−1=0
x=1
⇔ √
⇔ √
⇔
, thỏa mãn (∗).
x−1−1≥0
x−1≥1
x≥2
Vậy bất phương trình có nghiệm x = 1 hoặc x ≥ 2.
D BÀI TẬP TỰ LUYỆN
BÀI 1. Tìm tập xác định của các biểu thức sau:
√
1 A = 5x + 40;
2x2 + 3x + 1
2 B= √
;
2
√ x −4
2x + 4
3 C= 2
;
x − 6x + 9
3x + 1
4 D=√
.
x2 + 123
✍ LỜI GIẢI.
1 Để A có nghĩa thì 5x + 40 ≥ 0 ⇔ x ≥ −8. Vậy tập xác định D = [−8; +∞);
x>2
2 Để B có nghĩa thì x2 − 4 > 0 ⇔
. Vậy tập xác định D = (−∞; −2) ∪ (2; +∞);
x < −2.
3 Để C có nghĩa thì
2x + 4 ≥ 0
⇔
x2 − 6x + 9 = 0
Vậy tập xác định D = [−2; +∞) \ {3};
x ≥ −2
⇔ −2 ≤ x = 3.
x=3
4 Để D có nghĩa thì x2 + 123 > 0 (đúng ∀x ∈ R). Vậy tập xác định D = R.
BÀI 2. Rút gọn các biểu thức sau:
√
x2 + 2 3x + 3
1 A=
;
2
√ x −3
x2 − 5x + 6
√
2 B=
;
x−2
(x − 4)2
3 C= 2
;
x − 5x + 4
3x + 1
4 D=√
.
9x2 + 6x + 1
HDedu - Page 14
Tự học Toán 9
Năm học 2019-2020
✍ LỜI GIẢI.
√
1 Điều kiện xác định: x2 − 3 = 0 ⇔ x = ± 3.
Ä
√ ä2
√
√
2
x
+
3
x + 2 3x + 3
|x + 3|
Ta có A =
=
= 2
.
x2 − 3
x2 − 3
x −3
Ta xét hai trường hợp:
√
√
√
x+ 3
1
√ .
TH1: Nếu x + 3 > 0 ⇔ x > − 3 thì A = Ä
√ äÄ
√ ä=
x− 3
x+ 3 x− 3
Ä
√ ä
−
x
+
3
√
√
1
√ .
TH2: Nếu x + 3 < 0 ⇔ x < − 3 thì A = Ä
√ äÄ
√ ä =−
x− 3
x+ 3 x− 3
2 Điều kiện xác
√ định: x ≥ 2.
(x − 2)(x − 3) √
x2 − 5x + 6
√
√
Ta có B =
=
= x − 3.
x−2
x−2
3 Điều kiện xác định: x2 − 5x + 4 = 0 ⇔ x = 1, x = 4.
(x − 4)2
(x − 4)2
|x − 4|
Ta có C = 2
=
=
.
x − 5x + 4
(x − 1)(x − 4)
(x − 1)(x − 4)
Ta xét hai trường hợp:
x−4
1
TH1: Nếu x − 4 > 0 ⇔ x > 4 thì C =
=
.
(x − 1)(x − 4)
x−1
−(x − 4)
1
TH2: Nếu x − 4 < 0 ⇔ x < 4 thì C =
=−
.
(x − 1)(x − 4)
x−1
1
4 Điều kiện xác định: 9x2 + 6x + 1 > 0 ⇔ (3x + 1)2 > 0 ⇔ x = − .
3
3x + 1
3x + 1
3x + 1
Ta có D = √
=
=
.
(3x + 1)2
|3x + 1|
9x2 + 6x + 1
Ta xét hai trường hợp:
1
3x + 1
TH1: Nếu 3x + 1 > 0 ⇔ x > − thì D =
= 1.
3
3x + 1
1
3x + 1
TH2: Nếu 3x + 1 < 0 ⇔ x < − thì D =
= −1.
3
−(3x + 1)
BÀI 3. Giải các phương trình sau:
√
1
x + 2 x + 1 = 3;
√
2
4x2 − 4x + 1 = 1 − 2x;
√
√
3
x − 2 x + 1 = x − 1;
√
√
4
x − 2 x − 2 − 1 = x − 2 − 1.
✍ LỜI GIẢI.
1 Biến đổi tương đương về dạng
»
√
√
√
√
x + 2 x + 1 = 3 ⇔ | x + 1| = 3 ⇔ x + 1 = 3 ⇔ x = 2 ⇔ x = 4.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 4.
2 Biến đổi tương đương về dạng
»
1
(2x − 1)2 = 1 − 2x ⇔ |2x − 1| = 1 − 2x ⇔ 1 − 2x ≤ 0 ⇔ x ≥ .
2
1
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x ≥ .
2
HDedu - Page 15
Tự học Toán 9
Năm học 2019-2020
3 Biến đổi tương đương về dạng
√
x−1
2
=
√
√
√
√
√
x − 1 ⇔ | x − 1| = x − 1 ⇔ x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1 ⇔ x ≥ 1.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x ≥ 1.
4 Biến đổi tương đương về dạng
…
Ä√
ä2 √
x−2−1 = x−2−1
√
√
⇔ | x − 2 − 1| = x − 2 − 1
√
⇔
x−2−1≥0
√
⇔
x−2≥1
⇔ x−2≥1
⇔ x ≥ 3.
Vậy phương trình đã cho có nghiệm x ≥ 3.
BÀI 4. Cho biểu thức A = 6x − 1 +
√
x2 − 4x + 4.
1 Rút gọn biểu thức A;
2 Tính giá trị biểu thức A với x = 5;
3 Tìm giá trị của x để biểu thức A = 1.
✍ LỜI GIẢI.
1 Điều kiện xác định: x2 − 4x + 4 ≥ 0 ⇔ (x − 2)2 ≥ 0 (đúng ∀x ∈ R).
√
Ta có A = 6x − 1 + x2 − 4x + 4 = 6x − 1 + (x − 2)2 = 6x − 1 + |x − 2|.
Ta xét hai trường hợp:
TH1: Nếu x − 2 ≥ 0 ⇔ x ≥ 2 thì A = 6x − 1 + (x − 2) = 7x − 3.
TH2: Nếu x − 2 < 0 ⇔ x < 2 thì A = 6x − 1 − (x − 2) = 5x + 1.
2 Với x = 5, ta có A = 7 · 5 − 3 = 32.
3 Để A = 1, ta có
4
TH1: Với x ≥ 2 thì 7x − 3 = 1 ⇔ x = , không thỏa mãn.
7
TH2: Với x < 2 thì 5x + 1 = 1 ⇔ x = 0, thỏa mãn.
Vậy x = 0 thỏa yêu cầu bài toán.
BÀI 5. Cho biểu thức A = x + 8 −
√
x2 − 6x + 9.
1 Rút gọn biểu thức A;
2 Tính giá trị biểu thức A với x = −1;
3 Tìm giá trị của x để biểu thức A = 0.
✍ LỜI GIẢI.
1 Điều kiện: x2 − 6x + 9 ≥ 0, luôn đúng.
√
Ta có A = x + 8 − x2 − 6x + 9 = x + 8 −
Ta xét hai trường hợp:
(x − 3)2 = x + 8 − |x − 3|.
TH 1. Nếu x − 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 3 thì A = x + 8 − (x − 3) = 11.
HDedu - Page 16
Tự học Toán 9
Năm học 2019-2020
TH 2. Nếu x − 3 < 0 ⇔ x < 3 thì A = x + 8 − (3 − x) = 2x + 5.
2 Với x = 3, ta tính được A = 11.
5
3 Để A = 0 với x < 3, ta có 2x + 5 = 0 ⇔ x = − .
2
5
Vậy x = − thỏa mãn điều kiện đầu bài.
2
BÀI 6. Tìm x, biết:
√
1
2x − 1 + 1 = 2x;
√
2
3x − 2 + 4 ≤ 6x.
✍ LỜI GIẢI.
1 Điều kiện có nghĩa 2x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥
1
2
(∗).
Biến đổi phương trình về dạng
√
√
√
√
√
2
2x − 1 = 2x − 1 ⇔ 2x − 1 =
2x − 1 ⇔ 2x − 1 2x − 1 − 1 = 0
√
√
1
x=
2x − 1 = 0
2x − 1 = 0
2 thỏa mãn (∗).
⇔ √
⇔ √
⇔
2x − 1 − 1 = 0
2x − 1 = 1
x=1
1
Vậy phương trình có hai nghiệm x = và x = 1.
2
2
2 Điều kiện có nghĩa 3x − 2 ≥ 0 ⇔ x ≥
(∗).
3
Biến đổi bất phương trình về dạng
√
√
√
2
3x − 2 ≤ 2(3x − 2) ⇔ 3x − 2 ≤ 2 3x − 2
√
√
⇔ 3x − 2 2 3x − 2 − 1 ≥ 0
2
√
3x − 2 = 0
x=
3x − 2 = 0
3 , thỏa mãn (∗).
⇔ √
⇔ √
1 ⇔
3
2 3x − 2 − 1 ≥ 0
3x − 2 ≥
x≥
2
4
2
3
Vậy bất phương trình có nghiệm x = hoặc x ≥ .
3
4
BÀI 7. Giải phương trình:
√
1
x2 − 5x + 8 = 2;
√
√
x + 1 − 2 − x = 0;
2
✍ LỜI GIẢI.
1 Ta có thể lựa chọn một trong hai cách trình bày sau:
Cách 1.
Giải theo kiểu đặt điều kiện có nghĩaÅrồi biến
ã2 đổi.
5
7
Điều kiện: ∀x ∈ R do x2 − 5x + 8 = x −
+ ≥ 0.
2
4
x=1
√
√
Ta có x2 − 5x + 8 = 2 ⇔ x2 − 5x + 8 = 2 ⇔ x2 − 5x + 8 = 4 ⇔
x = 4.
Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 1 và x = 4.
Cách 2.
Giải theo kiểu biến đổi tương đương.
HDedu - Page 17
