Đề thi thử toán 9 đống đa 1920

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG NĂM HỌC 2019 – 2020

QUẬN ĐỐNG ĐA

MÔN: TOÁN 9
Ngày khảo sát: 20 tháng 6 năm 2020
Thời gian làm bài: 120 phút

Bài 1.

(2,0 điểm) Cho hai biểu thức: A 

x 1
và B 
x

x 1 4 x  6
với x  0; x  9 .

x 3 x 3 x

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x  36 .
b) Rút gọn biểu thức B .
c) Cho P 
Bài 2.

B
. Tìm tất cả các giá trị của m để có giá trị x thỏa mãn P  m  1 .
A

(2,5 điểm)
1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.
Một tổ sản xuất dự định làm 600 chiếc khẩu trang để tặng lực lượng phòng chống dịch Covid
– 19 trong thời gian định trước. Sau khi làm xong 400 chiếc, tổ sản xuất đã tăng năng suất lao
động, mỗi giờ làm thêm được 10 chiếc khẩu trang. Vì vậy công việc được hoàn thành sớm hơn
dự định một giờ. Hỏi theo dự định, mỗi giờ tổ sản xuất được bao nhiêu chiếc khẩu trang?
2) Quả bóng đá sử dụng trong thi đấu ở giải Vô địch quốc gia Việt Nam V – League 2020 có
đường kính 22 cm . Để bơm căng quả bóng cần bao nhiêu cm3 khí (làm tròn đến chữ số thập
phân thứ nhất, lấy   3,14) .

Bài 3.

(2,0 điểm)
3

 x 1  y  2  5

1) Giải hệ phương trình: 
3 x  1  2  4
y2


2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : y   m  1 x  m  2 và parabol
( P) : y  x 2
a) Tìm tọa độ giao điểm của d và  P  khi m = 1.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng của d cắt  P  tại hai điểm phân biệt có hoành độ
lần lượt là x1 , x2 sao cho x14  x2 4  17 .
Bài 4.

(3,0 điểm) Cho đường tròn  O; R  và điểm M nằm ở bên ngoài đường tròn. Qua điểm M , vẽ
hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn  O  ( A và B là các tiếp điểm); MO cắt AB tại H .
Kẻ đường kính AF của đường tròn  O  .
1) Chứng minh bốn điểm M , A,O,B cùng thuộc một đường tròn.
2) Chứng minh đường thẳng MO song song với đường thẳng BF và OH .OM  R 2 .
3) Gọi E là trung điêm của AH . Đường thẳng vuông góc với EO tại E cắt MA và MB lần
lượt tại P và Q . Chứng minh rằng tam giác POQ cân và Q là trung điểm của MB .

Bài 5.

(0,5 điểm) Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn
thức: M 





a 1



b  1  4. Tìm GTNN của biểu

a2 b2
 .
b
a
Trang 1

HƯỚNG DẪN GIẢI
Bài 1.

x 1
và B 
x

Cho hai biểu thức: A 

x 1 4 x  6
với x  0; x  9 .

x 3 x 3 x

a) Tính giá trị của biểu thức A khi x  36 .
b) Rút gọn biểu thức B .
c) Cho P 

B
. Tìm tất cả các giá trị của m để có giá trị x thỏa mãn P  m  1 .
A

Lời giải
a) Tính giá trị của biểu thức A khi x  36
Thay x  36 (thỏa mãn điều kiện x  0; x  9 ) vào biểu thức A ta được:
36  1 6  1 7


6
6

36

A

Vậy với x  36 thì A 

7
6

b) Rút gọn biểu thức B
Với x  0; x  9
B

x 1 4 x  6

x 3 x 3 x

B

x 1
4 x 6

x 3
x x 3



x
B

 



x 1  4 x  6
x

B





x 3

x 3

x 2
x

B







x x 4 x 6
x

B









x 3

x 3





x 2
x

Vậy với x  0; x  9 thì B 
c) Cho P 

x 2
.
x

B

. Tìm tất cả các giá trị của m để có giá trị x thỏa mãn P  m  1
A

Với x  0; x  9
Ta có: P 

B
A

Trang 2


P

x  2 x 1
:
x
x

P

x 2
x
.
x
x 1

P

x 2

x 1

Theo bài: P  m  1 



x 2
x 2
 m  1  1
m 
x 1
x 1

3
 m  0 (Vì x  0  x  0 )
x 1

Vì x  0  x  0  x  1  1 

3
3 m3
x 1

Vì x  9  x  3  x  1  4 

3
3
3
 m
4

x 1 4

Từ đó suy ra: 0  m  3 , m 
Bài 2

x 1 x  2
m
x 1

3
thỏa mãn yêu cầu của bài.
4

(2,5 điểm)
1) Giải bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình.
Một tổ sản xuất dự định làm 600 chiếc khẩu trang để tặng lực lượng phòng chống dịch Covid
– 19 trong thời gian định trước. Sau khi làm xong 400 chiếc, tổ sản xuất đã tăng năng suất lao
động, mỗi giờ làm thêm được 10 chiếc khẩu trang. Vì vậy công việc được hoàn thành sớm hơn
dự định một giờ. Hỏi theo dự định, mỗi giờ tổ sản xuất được bao nhiêu chiếc khẩu trang?
2) Quả bóng đá sử dụng trong thi đấu ở giải Vô địch quốc gia Việt Nam V – League 2020 có
đường kính 22 cm . Để bơm căng quả bóng cần bao nhiêu cm3 khí (làm tròn đến chữ số thập
phân thứ nhất , lấy   3,14) .
Lời giải
1) Gọi số khẩu trang tổ sản xuất được mỗi giờ theo dự định là x (chiếc, x * ) .
Thời gian dự định tổ hoàn thành công việc là:

600
(chiếc).
x

Thời gian thực tế để tổ sản xuất 400 chiếc là:

400
(chiếc).
x

Thời gian thực tế để tổ sản xuất 200 chiếc là:

200
(chiếc).
x  10

Vì công việc được hoàn thành sớm hơn dự định một giờ nên ta có phương trình:
600  400 200 


 1
x  x
x  10 


200 200

1
x
x  10



200( x  10)  200 x x( x  10)


x( x  10)
x( x  10)
Trang 3


 200 x  2000  200 x  x2  10 x
 x2  10 x  2000  0
 x2  50 x  40 x  2000  0
 x( x  50)  40( x  50)  0
 ( x  50)( x  40)  0
 x  50  0
 x  50 (ktm)


 x  40 (tm)
 x  40  0
Vậy theo dự định, mỗi giờ tổ sản xuất được 40 chiếc khẩu trang.
2) Bán kính của quả bóng là 22 : 2  11cm .
4
Thể tích của quả bóng là: V  .3,14.113  5572, 5 cm3 .
3

Vậy để bơm căng quả bóng cần 5572,5cm3 khí.
Bài 3.

(2 điểm)
3

 x 1  y  2  5


1) Giải hệ phương trình: 
3 x  1  2  4

y2
2) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d : y   m  1 x  m  2 và parabol

( P) : y  x 2
a) Tìm tọa độ giao điểm của d và  P  khi m = 1.
b) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng của d cắt  P  tại hai điểm phân biệt có hoành độ
lần lượt là x1 , x2 sao cho x14  x2 4  17 .
Lời giải
1) ĐK: x  1, y  2 .
3
6


 x 1  y  2  5
2 x  1  y  2  10




3 x  1  2  4
9 x  1  6  12
y2
y2



11 x  1  22
 x 1  2



 3
3
 x 1  y  2  5
y2 3


 x 1  4
 x  5(tm)


 y  2  1  y  3(tm)

Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhất là  5;3  .
2) a) Tìm tọa độ giao điểm của d và  P  khi m = 1.
Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và (P):
x 2   m  1 x  m  2  x 2   m  1 x  m  2  0 (1)
Với m = 1 ta có PT: x 2  2 x  3  0 ta thấy : a  b  c  1  2  3  0 .
Trang 4


Do đó pt luôn có hai nghiệm phân biệt x1  1 ; x2  3 .

Với x1  1  y1  1
Với x2  3  y2  9 .
Vậy tọa độ giao điểm của d và  P  khi m = 1 là 1;1 ;  3;9 

b) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng của d cắt  P  tại hai điểm phân biệt có hoành
độ lần lượt là x1 , x2 sao cho x14  x2 4  17
2

Xét phương trình (1) Ta có:    m  1  4.  m  2   m2  6m  9   m  3

2

Để đường thẳng của d cắt  P  tại hai điểm phân biệt thì
2

   m  3  0  m  3  0  m  3
ta thấy : a  b  c  1  m  1  m  2  0 .
Do đó pt luôn có hai nghiệm phân biệt x1  1 ; x2  m  2 .
Ta có:
4

x14  x2 4  17  1   m  2   17
4

  m  2   16

m  2  2
 m  0 (tm)


 m  2  2
 m  4 (tm)
Vậy với m  0; 4 làgiá trị cần tìm.
Bài 4.

(3,0 điểm)
Cho đường tròn  O; R  và điểm M nằm ở bên ngoài đường tròn. Qua điểm M , vẽ hai tiếp
tuyến MA, MB với đường tròn  O  ( A và B là các tiếp điểm); MO cắt AB tại H . Kẻ
đường kính AF của đường tròn  O  .
1) Chứng minh bốn điểm M , A,O,B cùng thuộc một đường tròn.
2) Chứng minh đường thẳng MO song song với đường thẳng BF và OH .OM  R 2 .
3) Gọi E là trung điêm của AH . Đường thẳng vuông góc với EO tại E cắt MA và MB lần
lượt tại P và Q . Chứng minh rằng tam giác POQ cân và Q là trung điểm của MB .

Lời giải

Trang 5


P

A

E

H

M

O

Q
B
1)

F

Chứng minh bốn điểm M , A,O,B cùng thuộc một đường tròn.

Ta có: MA, MB là tiếp tuyến của  O  (gt)
 OA  MA; OB  MB
  MBO
  90
 MAO
  MBO
  180
 MAO
 và MBO
 là hai góc đối  MA OB nội tiếp đường tròn
Mà MAO
 M , A,O,B cùng thuộc một đường tròn.
2) Chứng minh đường thẳng MO song song với đường thẳng BF và OH .OM  R 2 .
+ Ta có: MA, MB là tiếp tuyến của  O  (gt)
1
  MBO
1
 MAO
AOB  sđ 
AB (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau, tính chất góc ở tâm)
2
2
1
Mà 
AFB  sđ 

AB (tính chất góc nội tiếp)
2


 MAO
AFB
Mà chúng ở vị trí đồng vị
 MO //BF (dấu hiệu nhận biết).

+ Xét AMO vuông tại A : có đường cao AH
OA2  OH .OM

Mà OA  R  OH .OM  R 2 (đpcm).
3) Chứng minh rằng tam giác POQ cân và Q là trung điểm của MB .

  90
+ Ta có: OE  PQ (gt)  OEQ
  90
MB là tiếp tuyến của  O  (gt)  OBQ
  OBQ
  180
 OEQ
 OBQ
 ở vị trí đối đỉnh
Mà OEQ;
 OBQE nội tiếp đường tròn.

  EBO
 (góc nội tiếp cùng chắn cung EO ) (1)
 EQO

+ Chứng minh tương tự có OEAP nội tiếp đường tròn.
Trang 6


  EPO
 (góc nội tiếp cùng chắn cung EO ) (2)
 EAO

+ Xét AOB có OA  OB  R
 AOB cân tại O (dấu hiệu nhận biết)

  EBO
 (3)
 EAO

  EPO

Từ (1) (2) và (3) suy ra EQO
 OPQ cân tại O (điều phải chứng minh).

Mà OE là đường cao (gt)
 OE đồng thời là đường trung tuyến  EP  EQ

+ Ta có MA, MB là tiếp tuyến của  O  (gt)

 MA  MB; OA  OB (tính chất)
 MO là trung trực của AB (tính chất đường trung trực của đoạn thẳng)

Mà MO cắt AB tại H  HA  HB (định nghĩa)
+ Xét tứ giác APHQ có:

AE  HE (gt)
PE  AE (cmt)
 APHQ là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)
 AP //QH (tính chất)
 AM //QH

Mà HA  HB (cmt)
 QM  QB (tính chất đường trung bình).

Bài 5.

(0,5 điểm).
Cho a , b là hai số thực dương thỏa mãn
Tìm GTNN của biểu thức: M 





a 1



b  1  4.

a 2 b2
 .
b
a
Lời giải





a 1



b 1  4 ⇔

ab  a  b  3

a 1  2 a
b 1  2 b
a  b  2 ab

⇒ 2  a  b  2  2



ab  a  b



⇒ ab  2
M

a 2 b2 a 2
b2

a2
b2
 
 b   a   a  b  2
.b  2.
.a   a  b 
b a
b
a
b
a

⇒ M  2a  2b   a  b 
Trang 7


⇒ M 2
⇒ GTNN của M  2 khi a  b  1

Trang 8